NUMERYCZNE MODELOWANIE TRANSPORTU RUMOWISKA WLECZONEGO *** Robert Bialik *** Acta Sci. Pol., Formatio Circumiectus 9 (2) 2010, 3 12

Transkrypt

1 Acta Sci. Pol., Fomatio Cicumiectu 9 (2) 2010, 3 12 NUMERYCZNE MODELOWANIE TRANSPORTU RUMOWISKA WLECZONEGO *** Robet Bialik *** Intytut Geofizyki PAN Stezczenie. Podtawowym celem atykułu jet opacowanie matematycznego modelu opatego na opiie Lagange a. Model ten umożliwia okeślenie ilościowe tanpotowanego edymentu w watwie umowika wleczonego. Model dotyczy opiu tajektoii uchu altacyjnego czątki umowika. Wśód wielu naukowców itnieje pogląd, że uch ten jet dominujący w tefie umowika wleczonego i ma itotny wpływ na jego tanpot. Opi tajektoii czątek umowika pouzających ię uchem altacyjnym opiea ię na ogólnych ównaniach hydodynamiki opiujących bilan wzytkich ił działających na czątkę podlegającą altacji, tzn. ił: nośnej, opou, Baeta, Magnua, od ma towazyzonych oaz wypou. Na podtawie licznej gupy ymulacji dla zeokiego zakeu wielkości czątek okeślone zotały gętości pawdopodobieńtwa położenia czątek w funkcji czau i odległości od dna kanału oaz pędkości czątek w kieunku poziomym. Metoda okeślania funkcji gętości pawdopodobieńtwa oaz tanpotu umowika wleczonego jet ozwinięciem popozycji pzedtawionej pzez Wibeg i Smitha [1989]. Jej udokonalenie bazuje na zatoowaniu technik Monte-Calo, któe pozwalają na dokładne okeślenie koncentacji czątek ulegających altacji. Otzymane wyniki ą poównane ze znanymi fomułami ekpeymentalnymi, któe m.in. zapezentowali Fenandez-Luque i Van Beek [1976] oaz Meye-Pete i Muelle [1948]. Otzymane wyniki z ymulacji numeycznych wykazują badzo dobą zgodność z wynikami z fomuł ekpeymentalnych i dowodzą, że podana popozycja obliczania tanpotu umowika wleczonego może być taktowana jako altenatywna dla tych fomuł. Słowa kluczowe: tanpot umowika wleczonego, opi Lagange a, altacja WSTĘP Tanpot umowika jet jednym z najważniejzych i najtudniejzych w analizie i opiie poceów zachodzących w pzepływach w kanałach otwatych. W zekach można go podzielić na części związane z umowikiem unozonym, wleczonym oaz pławial- Paca powtała w amach pojektu badawczego pomotokiego Minitetwa Nauki i Szkolnictwa Wyżzego,,Modelowanie uchu czątek umowika w watwie pzydennej w pzepływie tubulentnym n N N oaz w amach The Polih-Bitih Young Scientit Pogamme (YSP). Ade do koepondencji Coeponding autho: d Robet Bialik, Zakład Hydologii i Hydodynamiki, Intytut Geofizyki PAN, ul. K. Januza 64, Wazawa, bialik@igf.edu.pl.

2 4 R. Bialik nym [Pazonka 1991]. W tefie wleczenia czątki edymentu mogą pzemiezczać ię na kutek toczenia, ślizgania lub wykonując niewyokie koki po podłożu. Ten kokowy uch nazywa ię uchem altacyjnym. Wielu naukowców, np. Bagdnold [1956], Wibeg i Smith [1989], Hu i Hui [1996], wyznaje pogląd, że uch ten jet dominujący w tefie umowika wleczonego i że ma itotny wpływ na tanpot tego otatniego. Dokładne zozumienie zachowania czątek związanego z ich uchem w pobliżu dna w pzepływie tubulentnym pozwoliłoby na opi mofologicznych zmian koyta, poceów eozyjnych i zamulania zbioników wodnych czy na okeślenie momentu, w któym natępuje początek uchu umowika. Dotaczenie infomacji dotyczącej ilości umowika dopowadzonego do zbioników wodnych jet niezbędne do utzymania koyt zecznych w dobym tanie. Obecnie jedyny popawny fizycznie opi tajektoii czątek umowika opiea ię na ogólnych ównaniach hydodynamiki opiujących bilan wzytkich ił działających na czątkę podlegającą altacji, tj. ił: nośnej, opou, Magnua, Baeta, od ma towazyzonych oaz wypou. Dokładna analiza i uwzględnienie wzytkich tych ił działających na czątkę badzo komplikuje i tak już dość złożony opi matematyczny, co zniechęca do pac nad jego ozwinięciem i powoduje, że nie zajmują ię tym ani kajowe, ani zaganiczne ośodki badawcze. Podtawowym celem niniejzej pacy jet udokonalenie matematycznego modelu, któy umożliwiłby okeślenie ilościowe tanpotowanego edymentu, pzy założeniu popawności diagamu Shielda opiującego watość napężeń ganicznych, któe wytępują pzed ozpoczęciem uchu umowika. BILANS SIŁ DZIAŁAJĄCYCH NA PORUSZAJĄCĄ SIĘ W PRZEPŁYWIE TURBULENTNYM SFERYCZNĄ CZĄSTKĘ RUMOWISKA Tajektoię czątki w czaie jej uchu altacyjnego da ię opiać za pomocą układu ównań uchu pojedynczej feycznej czątki w ośodku płynnym, któy może mieć natępującą fomę [Hinze 1975]: dx = v dt (1) dv m = FD + FL + FM + FV + FB + FG dt wekto położenia czątki, x v wekto pędkość czątki, t cza, m oznacza maę czątki. (2) Piewzy człon po pawej tonie ównania (1) oznacza iłę opou, dugi iłę nośną, tzeci iłę Magnua okeślającą dodatkową iłę nośną związaną z otacją czątki, czwaty iłę od ma towazyzonych, piąty iłę Baeta, a otatni iłę wypou. Acta Sci. Pol.

3 Numeyczne modelowanie tanpotu umowika wleczonego 5 Powyżzy układ ównań był wielokotnie analizowany w óżnych fomach; obili to np. Wibeg i Smith [1989], Lee i Hu [1994], Niño i Gacía [1994] oaz Sommefeld [2001]. Jednakże wiele poblemów, takich jak dokładny opi zdezenia czątki z dnem kanału czy uwzględnienie zdezeń pomiędzy czątkami w takcie ich lotu albo wpływu tubulencji na uch pojedynczej czątki, pozotaje wciąż bez odpowiedzi. W celu ozwiązania powyżzego układu ównań niezbędne jet okeślenie ozkładu pędkości płynu bliko dna kanału oaz waunków początkowych; dodatkowo, aby zachować ciągłość ozwiązania, należy popawnie fomułować waunek odbicia czątki od dna. Rozkład pędkości u f płynu może być opiany pawem logaytmicznym: uf ( z) 1 z = ln + 8,5 (3) u* κ k κ tała von Kamana = 0,41, u * pędkość dynamiczna na dnie kanału, k zotkość efektywna, z odległość od dna kanału. Analizując uch altacyjny czątki umowika za pomocą dynamicznego układu ównań opiującego bilan wzytkich ił działających na tę czątkę, należy dokładnie opiać zdezenie z dnem kanału. Poblem ten był ozważany pzez wielu autoów [Sekine i Kikkawa 1992, Rice i in. 1996, Bialik i Czenuzenko 2008], pzy czym najpopulaniejze wyażenia łączące pędkość pzed i po zdezeniu podali Niño i Gacía [1994]. Mają one natępującą potać: 2 2 co( Θ +Θb) u out = f u in + v in co( Θ in +Θb ) coθ (4) 2 2 in( Θ +Θb) v out = f u in + v in co( Θ in +Θb ) coθ (5) u i v f e indeky in i out Θ in Θ b Θ = Θ out Θ b, e tan Θ = tan( Θ +Θ b) (6) f pędkości czątki w kieunku poziomym i pionowym, wpółczynnik tacia, wpółczynnik taty pędu, paamety czątki odpowiednio pzed zdezeniem i po nim, kąt, pod jakim czątka udeza w dno kanału, kąt między tyczną w punkcie zdezenia a witualnym dnem, gdzie Θ out to kąt odbicia. Fomatio Cicumiectu 9 (2) 2010

4 6 R. Bialik Wzoy wypowadzone pzez wpomnianych badaczy opieają ię na zależnościach geometycznych i uwzględniają założenie, że czątki ą upakowane jednoodnie na dnie. Wydaje ię, że pzy analizowaniu zdezenia czątek z dnem kanału najitotniejze jet uwzględnienie fizyki tego poceu, dlatego należy jezcze uwzględnić zjawiko podwójnego odbicia oaz efektu cienia. Piewzy z poceów badali Bialik i Czenuzenko [2008], podając metodę pozwalającą na uwzględnienie tego zjawika w modelu numeycznym. Poceem dugim zajęli ię Rowińki i Czenuzenko [1999], któzy podali wzoy na makymalną i minimalną watość kąta Θ b. Uwzględnienie tych efektów jet itotne z uwagi na fakt, że Θ b epezentuje loowe ułożenie ziaen na dnie kanału. Ry. 1 pokazuje zależności pomiędzy pozczególnymi kątami w poceie zdezenia czątki z dnem kanału. Ry. 1. Schemat zdezenia czątki z dnem kanału [Niño i Gacía 1994] Fig. 1. Scheme of paticle colliion with channel bed [Niño and Gacía 1994] Ry. 2. Pzykładowe tajektoie lotu czątek o śednicach d = 1, 36 mm oaz d = 15 mm Fig. 2. Exemplay tajectoie of paticle with diamete d = 1.36 mm and d = 15 mm Acta Sci. Pol.

5 Numeyczne modelowanie tanpotu umowika wleczonego 7 Ry. 2 pzedtawia pzykładowe tajektoie lotu czątek o śednicach d = 1,36 mm oaz d = 15 mm. Waunki początkowe uchu zotały utalone jako: u (0) = 2u *, v (0) = 2u *, z (0) = 0,5d oaz x (0) = 0 [Van Rijn 1987]. Pozotałe paamety zotały okeślone na podtawie ekpeymentu numeycznego [Czenuzenko i Bialik 2009]. Można zauważyć, że czątki o więkzej śednicy, a tym amym o więkzej maie, wykonują dużo niżze i kótze koki niż czątki mniejze. Spowodowane jet to pzewagą ił ciężkości i opou nad iłą nośną dla tych więkzych czątek. METODA OBLICZANIA TRANSPORTU RUMOWISKA WLECZONEGO Do wyznaczenia ozkładów koncentacji i tanpotu umowika wleczonego na podtawie modelu altacji w opiie Lagange a wykozytana zotanie metoda, któa zapoponowali Wibeg i Smith [1989]. W tym celu niezbędne wydaje ię podanie kilku podtawowych założeń tej teoii. Tanpot edymentu w tefie wleczenia q jet opiany pzez natępujące wyażenie: H q = c ( z) u ( z) dz (7) z c (z) pionowa koncentacja edymentu, definiowana w natępujący poób: c ( z) = c c ( z) (8) c * (z) pionowy pofil koncentacji, ówny czaowi, jaki czątka pędza w odległości z od dna. Pzy pzepływie jednotajnym dla liczby koków więkzej niż 100, funkcję gętości, któa odpowiada temu danemu pofilowi koncentacji, można okeślić natępująco [Wibeg i Smith 1989]: n dx c * (z) = γ (9) i= 1 dt d n liczba ozpatywanych koków, γ paamet, któy okeśla długość twania ymulacji. Natomiat c w ównaniu (8) oznacza pionową koncentację objętościową, któą Wibeg i Smith [1989] definiują natępująco: * c τ τ * c = FD( z) α (10) D c* ( zo ) A D Fomatio Cicumiectu 9 (2) 2010

6 8 R. Bialik τ * napężenie w watwie ganicznej, τ c napężenie kytyczne (w pzypadku altacji ziaen feycznych 0,06), α D paamet dla kuli wynozący 1,5, F D (z 0 ) śednia iła opou działająca na czątkę pzy dnie kanału, A D pzekój popzeczny kuli. W celach poównawczych, wyznaczony tanpot umowika będzie pzedtawiany w fomie bezwymiaowej w natępującej potaci: q φ = 3 ( ρ ρ) gd φ bezwymiaowy tanpot umowika, ρ gętość edymentu, ρ gętość wody, g pzypiezenie ziemkie, d śednica ziaen. (11) Otzymane wyniki zotały poównane ze znanymi fomułami ekpeymentalnymi, któe pzedtawili Meye-Pete i Mülle [1948] oaz Fenandez Luque i Van Beek [1976]. WYNIKI Ry. 3 i 4 pzedtawiają pzykładowe ozkłady koncentacji dla czątek o śednicy d = 1,36 mm pzy dwóch pzypadkach pzepływu, dla: u * = 0,036 m 1, oaz u * = 0,074 m 1. Wyaźnie można zauważyć, że waz ze wzotem pędkości płynu czątki wykonują wyżze koki i można je znaleźć w więkzej odległości od dna kanału. Ponadto widać dwie chaakteytyczne wyokości, na któych czątki ię kupiają. Piewza lokuje ię pzy dnie kanału, natomiat duga w okolicy makymalnej wyokości, na jakiej zachodzi altacja. Zjawiko to jet deteminowane pzez odpowiedni dobó kątów zdezenia. Ry. 5 i 6 pzedtawiają otzymane watości tanpotu umowika wleczonego w fomie altacji na podtawie modelu Lagange a. Rozpatywane były tzy pzypadki uchu umowika: 1) w fomie nieozwiniętej altacji, w któej wyokość pojedynczego koku nie pzekaczała jednej śednicy czątki; 2) w fomie całkowicie ozwiniętej altacji, w któej wzytkie koki były wyżze niż jedna śednica czątki; 3) uch czątki z uwzględnieniem zaówno piewzego, jak i dugiego pzypadku, tzn. że po nikim koku mógł wytąpić kok wyoki, a po wyokim niki. Każdy z odzajów uchu i odpowiadające im ymulacje Monte Calo zotały uzykane popzez odpowiedni wybó waunków bzegowych, któe epezentowane ą pzez kąty odbicia Θ b. Jak już wcześniej wpomnieliśmy, czątki edymentu mogą koncentować ię Acta Sci. Pol.

7 Numeyczne modelowanie tanpotu umowika wleczonego 9 Ry. 3. Rozkład koncentacji edymentu dla śednicy czątek d = 1,36 mm, pzy pzepływie u * = 0,036 m 1 ; z odległość od dna kanału, N liczba czątek na 1 m 3 Fig. 3. Vetical ditibution of altating paticle with diamete d = 1.36 mm, at flow u * = m 1 ; z ditance fom channel bed, N numbe of paticle pe m 3 Ry. 4. Rozkład koncentacji edymentu dla śednicy czątek d = 1,36 mm, pzy pzepływie u * = 0,074 m 1 ; z odległość od dna kanału, N liczba czątek na 1 m 3 Fig. 4. Vetical ditibution of altating paticle with diamete d = 1.36 mm, at flow u * = m 1 ; z ditance fom channel bed, N numbe of paticle pe m 3 Fomatio Cicumiectu 9 (2) 2010

8 10 R. Bialik Ry. 5. Poównanie wyznaczonych watości bezwymiaowego tanpotu umowika wleczonego (Φ) ze znanymi fomułami ekpeymentalnymi dla czątek o śednicy d = 0,53 mm; altacja nieozwinięta (wyokość pojedynczego koku nie pzekacza jednej śednicy czątki), altacja całkowicie ozwinięta (wzytkie koki wyżze niż jedna śednica czątki), altacja miezana (po nikim koku może wytąpić kok wyoki, a po wyokim niki), τ * napężenie w watwie ganicznej Fig. 5. Compaion between dimenionle bed-load ediment tanpot (Φ) and well-known expeimental fomulae fo paticle with diamete d = 0.53 mm; non-developed altation (height of ingle jump/hop doe not exceed one diamete of paticle), fully-developed altation (all jump/hop ae highe than one diamete of paticle), mixed altation (low jump/hop may be followed by high jump/hop, and vice vea), τ * bed hea te na dwóch wyokościach. Piewza zlokalizowana jet bliżej dna kanału i pojawia ię dla natępujących kątów zdezenia: Θ b (60, 90 ), natomiat duga, powyżej popzedniej, dla Θ b (90, 120 ) α (90, 120 ). Dla każdego z pzypadków liczba pzepowadzonych wywołań ymulacji Monte Calo była jednakowa (wzytkie paamety zotały wyznaczone dla co najmniej koków). Bez względu na odzaj uchu liczba ziaen pouzających ię jednocześnie była taka ama. Można wyaźnie zauważyć, że poponowana metoda daje wyniki poównywalne z fomułami ekpeymentalnymi jedynie dla badzo małych czątek. Dla ziaen o śednicy zędu d = 1,36 mm widać już wyaźne óżnice. Waz ze wzotem śednicy ziaen otzymane wyniki coaz badziej odbiegają od ezultatów ekpeymentów. Nie znaczy to, że pzyjęta metoda jet obaczona błędem. Należy pamiętać, że zaówno fomuła Meyea-Petea i Müllea [1948], jak i ta, któą podali Fenandez Luque i Van Beek [1976], uwzględniają tanpot edymentu we wzytkich możliwych fomach: gdy czątka ię toczy, gdy ię ślizga i gdy jej uch ma fomę altacji. Otzymane wyniki potwiedzają jedynie łuzność pzyjęcia watości napężeń ganicznych jako 0,06, czyli dokładnie watości odpowiadającej tałej Shielda. Acta Sci. Pol.

9 Numeyczne modelowanie tanpotu umowika wleczonego 11 Ry. 6. Poównanie wyznaczonych watości bezwymiaowego tanpotu umowika wleczonego (Φ) ze znanymi fomułami ekpeymentalnymi dla czątek o śednicy d = 1,36 mm; altacja nieozwinięta (wyokość pojedynczego koku nie pzekacza jednej śednicy czątki), altacja całkowicie ozwinięta (wzytkie koki wyżze niż jedna śednica czątki), altacja miezana (po nikim koku może wytąpić kok wyoki, a po wyokim niki), τ * napężenie w watwie ganicznej Fig. 6. Compaion between dimenionle bed-load ediment tanpot (Φ) and well-known expeimental fomulae fo paticle with diamete d = 1.36 mm; non-developed altation (height of ingle jump/hop doe not exceed one diamete of paticle), fully-developed altation (all jump/hop ae highe than one diamete of paticle), mixed altation (low jump/hop may be followed by high jump/hop, and vice vea), τ * bed hea te WNIOSKI 1. Omówiona w pacy metoda obliczania tanpotu umowika wleczonego, któą zapoponowali Wibeg i Smith [1989] zotała uzupełniona o póbkowanie Monte Calo, co umożliwiło dokładniejze wyznaczenie pofili pędkości czątki oaz ozkładów koncentacji. Poównanie otzymanych wyników z dwoma znanymi fomułami ekpeymentalnymi pozwoliło na potwiedzenia łuzności diagamu Shielda dla czątek feycznych. Pzyjęta watość napężeń ganicznych ówna 0,06 potwiedziła ię dokładnie dla badzo małych ziaen zędu d = 0,53 mm i d = 1,36 mm. Natomiat ze wzotem wielkości czątki wyniki coaz badziej odbiegały od fomuł ekpeymentalnych. Sugeuje to, że watość napężeń ganicznych dla tych czątek powinna być więkza. 2. Pzedtawiona metoda obliczania tanpotu umowika wleczonego może być taktowana jako metoda wpomagająca w analizie tego poceu dla umowika piazczytego. Dla więkzych ziaen może dawać wyniki odbiegające od oczekiwanych. 3. Rozwój modelu powinien iść w kieunku uwzględnienia zdezeń pomiędzy czątkami i wpływu tubulencji na zachowanie pojedynczej feycznej czątki umowika, a także wzięcia pod uwagę kztałtu ziaen innego niż feyczny. Fomatio Cicumiectu 9 (2) 2010

10 12 R. Bialik PIŚMIENNICTWO Bagnold R.A., The flow of coheionle gain in fluid. Poc. Royal Soc. Philo. Tan. 249, Bialik R., Czenuzenko W., D numeical model fo the bed-load tanpot of altating gain. Poc. Int. Conf. on Fluvial Hydaulic Rive Flow , Czenuzenko W., Bialik R., Lagangian model fo continuou altating gain in flowing wate. Poc. 33d IAHR Conge Wate Engineeing fo a Sutainable Envionment, Fenandez Luque R., Van Beek R., Eoion and tanpot of bed-load ediment. J. Hydaul. Re. 14(2), Hinze J.O., Tubulence. McGaw-Hill New Yok. Hu C., Hui Y., Bed-load tanpot. I: Mechanical chaacteitic. J. Hydaul. Eng. 122(5), Lee H.Y., Hu I., Invetigation of altating paticle motion. J. Hydaul. Eng. 120(7), Meye-Pete E., Mülle R., Fomula fo bed-load tanpot. Poc. 2nd Meeting IAHR, Stockholm, Niño Y., Gacía M., Gavel altation. 2: Modeling. Wate Reou. Re. 30(6), Pazonka W., Eozja, tanpot i edymentacja umowika w zekach. Mat. XI Ogólnopol. Szkoły Hydauliki, Gdańk, Rice M.A., Willet B.B., McEwan I.K., Obevation of colliion of altating gain with a ganula bed fom high-peed cine-film. Sedimentology 43(1), Rowińki P., Czenuzenko W., Modeling of and gain path in a tubulent open channel flow. Poc. 28th IAHR Conge, Gaz (CD). Sekine M., Kikkawa H., Mechanic of altating gain. II. J. Hydaul. Eng. 118, Sommefeld M., Validation of a tochatic Lagangian modeling appoach fo inte-paticle colliion in homogeneou iotopic tubulence. Int. J. Multiphae Flow 27, Van Rijn L.C., 1987, Mathematical modelling of mophological pocee in the cae of upended ediment tanpot. D Thei. Dept. of Fluid Mech., Delft Univeity of Technology. Wibeg P.L., Smith J.D., Model fo calculating bed-load tanpot of ediment. J. Hydaul. Eng. 115(1), NUMERICAL MODELLING OF BED-LOAD SEDIMENT TRANSPORT Abtact. Thi pape deal with the bed-load tanpot of ive ediment moving by altation. The movement of pheical olid paticle in an open channel flow i detemined by numeical calculation baed on Lagangian appoach. Thi appoach eflect the balance of the dag foce, lift foce, added ma foce, Magnu and Baet foce. The paticle behaviou fo diffeent bounday condition a well a fo diffeent paticle ize ae dicued in detail. Solving the Lagange equation make it poible to compute the equence of tajectoie of individual altating gain and to eceive the vetical pofile of ediment concentation. To veify thee calculation, compaion with meauement ae peented. The compaion ae made fo a few ediment ize in the ange fom to m and fo the Pete- Meye and Muelle, and Fenandez Luque and Beek fomulae. The eult of compaion how that the model can be ued fo etimating the bed-load tanpot. Key wod: bed-load ediment tanpot, Lagangian model, altation Zaakceptowano do duku Accepted fo pint: Acta Sci. Pol.