( 1+ s 1)( 1+ s 2)( 1+ s 3)

Transkrypt

1 Kryteria stabilności przykład K T (s)= (s+1)(s+2)(s+3) = K /6 1 1+T (s) = (s+1)(s+2)(s+3) K +6+11s+6s 2 +s 3 ( 1+ s 1)( 1+ s 2)( 1+ s 3) Weźmy K =60: 1 1+T (s) =(s+1)(s+2)(s+3) 66+11s+6s 2 +s =(s+1)(s+2)(s+3) 3 (6+s)(11+s 2 ) s p1 = 1; s p2 = 2; s p3 = 3 f p1 =0,159 Hz; f p2 =0,318 Hz; f p3 =0,477 Hz (LHP) (s+1)(s+2)(s+3) = (s+6)(s+j 11)(s j 11) s z1 = 1 ; s z2 = 2; s z3 = 3 s p1 = 6+j0; s p2 =0 j 11; s p3 =0+j 11 Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, zima 2011/12 20

2 Kryterium biegunów T(s) K = 60 OL: s p1 = 1; s p2 = 2; s p3 = 3 CL: s z1 = 1; s z2 = 2; s z3 = 3 s p1 = 6+j0; s p2 =0 j 11; s p3 =0+j 11 bieguny na granicy LHP i RHP granica stabilności odpowiedź impulsowa dla T cl (s) T cl (s) = 1/(1+T(s)) Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, zima 2011/12 21

3 Kryterium Nyquista na płaszczyźnie zespolonej Przejście wykresu Nyquista funkcji charakterystycznej 1+ przez początek układu współrzędnych oznacza, że występują bieguny układu zamkniętego na granicy lewej i prawej półpłaszczyzny zmiennej zespolonej (układ stabilny granicznie) Jest to równoważne przejściu wykresu Nyquista transmitancji pętli otwartej przez punkt 1+ j0 K = Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, zima 2011/12 22

4 Związek między wykresem Nyquista a wykresem Bodego T = 15,5 db = K = Hz 0 0,001 Hz 0,528 Hz 1 e j( 180 ) 10 e j0 ~0,170 Hz 6 e j( 90 ) 90 T = 20 db 10 T(f c ) = 0 db 1 T db 0 f c = 0,528 Hz T(f c ) = 180 φ m = 0 Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, zima 2011/12 23

5 Położenie biegunów dla układu stabilnego i dla układu niestabilnego T cl (s) = 1/(1+T(s)) K = 30 odpowiedź impulsowa dla T cl (s) T cl (s) = 1/(1+T(s)) K = 90 odpowiedź impulsowa dla T cl (s) Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, zima 2011/12 24

6 Zapas fazy na wykresach Bodego i Nyquista Wykres Nyquista nie obejmuje punktu 1+j0, który znajduje się po jego lewej stronie idąc w kierunku rosnącej pulsacji Zapas fazy 0 oznaczałby, że wykres przechodzi przez punkt 1+j0 K = = ( 1+j0) φ m T(f c ) 0,374 Hz 1 e j( 154,6 ) s = 1 T(f c ) = 0 db 1 f c = 0,374 Hz T(f c ) = 154,6 φ m = 25,4 Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, zima 2011/12 25

7 Wykresy Bodego i Nyquista dla układu niestabilnego Wykres Nyquista obejmuje punkt 1+j0, który znajduje się po jego prawej stronie idąc w kierunku rosnącej pulsacji Występuje niedobór fazy: T(f c ) = 192 K = 90 f c T(f c ) s = 1 Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, zima 2011/12 26

8 Zapas amplitudy Zapas amplitudy to odwrotność modułu wzmocnienia pętli otwartej dla częstotliwości, dla której jego argument (faza) wynosi 180 ( π) Zgodnie z alternatywnym sformułowaniem kryterium Nyquista, układ jest stabilny, jeżeli jego zapas amplitudy wyrażony w db jest dodatni (g m ) db =0 db T ( f π ) db = T ( f π ) db K = 30 1 g m = T ( f π ) g m,db = T(f π ) db = +6 db g m = 1 / T(f π ) = 2 T(f π ) = 180 f π = 0,528 Hz T(f π ) = 6 db 0,5 Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, zima 2011/12 27

9 Zapas amplitudy na wykresie Nyquista Miarą stabilności jest odległość charakterystyki od punktu ( 1, j0) Można ją wyrazić za pomocą: s= 180 zapasu fazy (phase margin) odległość kątowa, różnica argumentów zapasu amplitudy (gain margin) odległość w linii prostej, różnica modułów (w jednostkach logarytmicznych; iloraz wartości bezwzględnych) 1+j0 db 0 db T(f π ) db 6 db g m,db 1/g m K = 30 f π = 0,528 Hz T(f π ) = 6 db 0,5 1= 1+j0 0,528 Hz 0,5 e j( 180 ) T(f π ) g m,db = 0 db T(f π ) db = +6 db g m = 1 / T(f π ) = 2 T(f π ) = 180 Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, zima 2011/12 28

10 Uogólnione kryterium Nyquista Niech: P oznacza liczbę biegunów transmitancji pętli otwartej T(s), N oznacza liczbę okrążeń punktu 1+j0 przez wykres Nyquista liczonych w kierunku ruchu wskazówek zegara (okrążenia w odwrotnym kierunku liczone są ze znakiem minus), Z oznacza liczbę zer funkcji charakterystycznej układu 1+T(s) w prawej półpłaszczyźnie (a więc liczbę biegunów układu zamkniętego w RHP). Wówczas zachodzi równość: Z = P + N. Układ zamknięty jest więc stabilny: jeżeli P = 0 (układ otwarty stabilny) gdy N = 0, a więc wykres nie okrąża punktu 1+j0; jeżeli P > 0 (układ otwarty niestabilny) gdy N = P, a więc wykres okrąża punkt 1+j0 wypadkowo P razy w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Można to w miarę prosto pokazać graficznie Formalny dowód opiera się na przekształceniu płaszczyzny zmiennej zespolonej względem pewnego konturu w prawej półpłaszczyźnie Łukasz Starzak, Sterowanie przekształtników elektronicznych, zima 2011/12 29