Twierdzenie Levy-Steiniza i zbiory osi galne szeregów warun
|
|
|
- Kazimiera Mazurek
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Twierdzenie Levy-Steiniza i zbiory osi galne szeregów warunkowo zbie»nych Jacek Marchwicki (praca wspólna z Szymonem Gª bem) Konopnica
2 Wprowadzenie
3 Wprowadzenie Zbiór osi galny A(x n ) = { n=1 ε nx n : (ε n ) {0, 1} N }
4 Wprowadzenie Zbiór osi galny A(x n ) = { n=1 ε nx n : (ε n ) {0, 1} N } Sum range SR(x n ) = { n=1 x σ(n) : σ S }
5 Wprowadzenie Zbiór osi galny A(x n ) = { n=1 ε nx n : (ε n ) {0, 1} N } Sum range SR(x n ) = { n=1 x σ(n) : σ S } Zwi zek pomi dzy sum range, a zbiorem osi galnym Niech n=1 x n b dzie szeregiem warunkowo zbie»nym w przestrzeni Banacha X. Wówczas SR(x n ) A(x n ).
6 Wprowadzenie Zbiór osi galny A(x n ) = { n=1 ε nx n : (ε n ) {0, 1} N } Sum range SR(x n ) = { n=1 x σ(n) : σ S } Zwi zek pomi dzy sum range, a zbiorem osi galnym Niech n=1 x n b dzie szeregiem warunkowo zbie»nym w przestrzeni Banacha X. Wówczas SR(x n ) A(x n ). Lemat SR(x n ) = R 2 wtedy i tylko wtedy gdy A(x n ) = R 2.
7 Ale to ju» byªo...
8 Ale to ju» byªo... Czym mo»e by zbiór osi galny? Dla szeregów warunkowo zbie»nych na pªaszczy¹nie zbiór osi galny mo»e by mi dzy innymi:
9 Ale to ju» byªo... Czym mo»e by zbiór osi galny? Dla szeregów warunkowo zbie»nych na pªaszczy¹nie zbiór osi galny mo»e by mi dzy innymi: wykresem funkcji;
10 Ale to ju» byªo... Czym mo»e by zbiór osi galny? Dla szeregów warunkowo zbie»nych na pªaszczy¹nie zbiór osi galny mo»e by mi dzy innymi: wykresem funkcji; zbiorem, który nie jest ani typu F σ ani G δ ;
11 Ale to ju» byªo... Czym mo»e by zbiór osi galny? Dla szeregów warunkowo zbie»nych na pªaszczy¹nie zbiór osi galny mo»e by mi dzy innymi: wykresem funkcji; zbiorem, który nie jest ani typu F σ ani G δ ; zbiorem g stym o pustym wn trzu;
12 Ale to ju» byªo... Czym mo»e by zbiór osi galny? Dla szeregów warunkowo zbie»nych na pªaszczy¹nie zbiór osi galny mo»e by mi dzy innymi: wykresem funkcji; zbiorem, który nie jest ani typu F σ ani G δ ; zbiorem g stym o pustym wn trzu; zbiorem otwartym nie b d cym pªaszczyzn ;
13 Wektory Leviego
14 Wektory Leviego Denicja Powiemy,»e u R 2, u = 1jest wektorem Leviego dla szeregu n=1 v n je»eli dla dowolnego ε > 0 mamy,»e v n S ε(u) v n =, gdzie S ε (u) = {v : u, v (1 ε) u v }.
15 Wektory Leviego Denicja Powiemy,»e u R 2, u = 1jest wektorem Leviego dla szeregu n=1 v n je»eli dla dowolnego ε > 0 mamy,»e v n S ε(u) v n =, gdzie S ε (u) = {v : u, v (1 ε) u v }. Fakt 1 Szereg bezwzgl dnie zbie»ny nie posiada wektorów Leviego.
16 Wektory Leviego Denicja Powiemy,»e u R 2, u = 1jest wektorem Leviego dla szeregu n=1 v n je»eli dla dowolnego ε > 0 mamy,»e v n S ε(u) v n =, gdzie S ε (u) = {v : u, v (1 ε) u v }. Fakt 1 Szereg bezwzgl dnie zbie»ny nie posiada wektorów Leviego. Fakt 2 Szereg warunkowo zbie»ny posiada wektor Leviego na ka»dej domkni tej póªsferze jednostkowej.
17 Wektory Leviego Denicja Powiemy,»e u R 2, u = 1jest wektorem Leviego dla szeregu n=1 v n je»eli dla dowolnego ε > 0 mamy,»e v n S ε(u) v n =, gdzie S ε (u) = {v : u, v (1 ε) u v }. Fakt 1 Szereg bezwzgl dnie zbie»ny nie posiada wektorów Leviego. Fakt 2 Szereg warunkowo zbie»ny posiada wektor Leviego na ka»dej domkni tej póªsferze jednostkowej. Wniosek Szereg warunkowo zbie»ny posiada przynajmniej dwa wektory Leviego, przy czym je»eli posiada dokªadnie dwa to s one wzajemnie przeciwne.
18 Przykªady
19 Przykªady Jednowymiarowe sum-range i dwa wektory Leviego Dla szeregów x n=1 n = ( ( 1)n n=1, 0); n y n=1 n = ( ( 1)n n=1, ( 1)n ) mamy odpowiednio n n L(x n ) = {(1, 0), ( 1, 0)} oraz L(x n ) = {(1, 1), ( 1, 1)}. Warto zauwa»y,»e SR(x n ) = span(l(x n )) + x n=1 n.
20 Przykªady Jednowymiarowe sum-range i dwa wektory Leviego Dla szeregów x n=1 n = ( ( 1)n n=1, 0); n y n=1 n = ( ( 1)n n=1, ( 1)n ) mamy odpowiednio n n L(x n ) = {(1, 0), ( 1, 0)} oraz L(x n ) = {(1, 1), ( 1, 1)}. Warto zauwa»y,»e SR(x n ) = span(l(x n )) + x n=1 n. Dwuwymiarowe sum-range i dwa wektory Leviego Dla ( ( 1)n n=1 n, ( 1)n n ) mamy L(x n ) = {(0, 1), (0, 1)}
21 Przykªady Jednowymiarowe sum-range i dwa wektory Leviego Dla szeregów x n=1 n = ( ( 1)n n=1, 0); n y n=1 n = ( ( 1)n n=1, ( 1)n ) mamy odpowiednio n n L(x n ) = {(1, 0), ( 1, 0)} oraz L(x n ) = {(1, 1), ( 1, 1)}. Warto zauwa»y,»e SR(x n ) = span(l(x n )) + x n=1 n. Dwuwymiarowe sum-range i dwa wektory Leviego Dla ( ( 1)n n=1 n Mnóstwo wektorów Leviego, ( 1)n n ) mamy L(x n ) = {(0, 1), (0, 1)} Niech z C, z = 1 b dzie takie,»e z n 1 dla dowolnego n N. Wtedy z n n=1 jest warunkowo n zbie»ny oraz L(z n ) = S(0, 1).
22 Przykªady
23 Przykªady Trzy wektory Leviego Niech x 3n 2 = ( 1, 1 ), x 3n 2 3n 2 3n 1 = ( 1, 0), 3n 1 x 3n = (0, 1 ) dla n N. Wtedy 3n L(x n ) = {( 1, 1), (1, 0), (0, 1)}.
24 Przykªady Trzy wektory Leviego Niech x 3n 2 = ( 1, 1 ), x 3n 2 3n 2 3n 1 = ( 1, 0), 3n 1 x 3n = (0, 1 ) dla n N. Wtedy 3n L(x n ) = {( 1, 1), (1, 0), (0, 1)}. Niech x 3n 2 = ( 1, 1 3n 2 3n 2 ), x 3n 1 = ( 1, 0), 3n 1 1 x 3n = (0, 3n ) dla n N. Wtedy L(x n ) = {(0, 1), (1, 0), (0, 1)}. W szczególno±ci L(x n ) {(x, y) : x < 0} =. Cztery wektory Leviego
25 Przykªady Trzy wektory Leviego Niech x 3n 2 = ( 1, 1 ), x 3n 2 3n 2 3n 1 = ( 1, 0), 3n 1 x 3n = (0, 1 ) dla n N. Wtedy 3n L(x n ) = {( 1, 1), (1, 0), (0, 1)}. Niech x 3n 2 = ( 1, 1 3n 2 3n 2 ), x 3n 1 = ( 1, 0), 3n 1 1 x 3n = (0, 3n ) dla n N. Wtedy L(x n ) = {(0, 1), (1, 0), (0, 1)}. W szczególno±ci L(x n ) {(x, y) : x < 0} =. Cztery wektory Leviego x 2n 1 = (0, ( 1)n ), x n 2n = ( ( 1)n, 0) dla ka»dego n N. n Wtedy L(x n ) = {(0, 1), ( 1, 0), (0, 1), (1, 0)}.
26 Przynajmniej trzy wektory Leviego
27 Przynajmniej trzy wektory Leviego Lemat Zaªó»my,»e szereg warunkowo zbie»ny x n=1 n posiada dwa liniowo niezale»ne wektory Leviego u, v. Wtedy span + (u, v) A abs (x n ) = { ε n=1 nx n : (ε n ) {0, 1} N, ε n=1 n x n < }.
28 Przynajmniej trzy wektory Leviego Lemat Zaªó»my,»e szereg warunkowo zbie»ny x n=1 n posiada dwa liniowo niezale»ne wektory Leviego u, v. Wtedy span + (u, v) A abs (x n ) = { ε n=1 nx n : (ε n ) {0, 1} N, ε n=1 n x n < }. Twierdzenie Zaªó»my,»e szereg warunkowo zbie»ny n=1 x n posiada wektor Leviego na ka»dej otwartej póªsferze jednostkowej. Wówczas A abs (x n ) = R 2.
29 Przynajmniej trzy wektory Leviego Lemat Zaªó»my,»e szereg warunkowo zbie»ny x n=1 n posiada dwa liniowo niezale»ne wektory Leviego u, v. Wtedy span + (u, v) A abs (x n ) = { ε n=1 nx n : (ε n ) {0, 1} N, ε n=1 n x n < }. Twierdzenie Zaªó»my,»e szereg warunkowo zbie»ny n=1 x n posiada wektor Leviego na ka»dej otwartej póªsferze jednostkowej. Wówczas A abs (x n ) = R 2. Twierdzenie Zaªó»my,»e szereg warunkowo zbie»ny n=1 x n posiada przynajmniej trzy wektory Leviego. Wówczas A abs (x n ) = R 2.
30 Dwa wektory Leviego
31 Dwa wektory Leviego Wªasno± redukcji Powiemy,»e szereg (x n=1 n, y n ) posiada wªasno± redukcji y gdy lim n n x n = oraz dla ka»dego ε > 0, x ( ε, ε), N N istnieje sko«czony zbiór indeksów A = {k 1 < k 2 <... < k m } gdzie k 1 N taki,»e n A x n x < ε ; max 2 1 j m j x n=1 k n < ε oraz max 1 j m j y n=1 k n < ε.
32 Dwa wektory Leviego Wªasno± redukcji Powiemy,»e szereg (x n=1 n, y n ) posiada wªasno± redukcji y gdy lim n n x n = oraz dla ka»dego ε > 0, x ( ε, ε), N N istnieje sko«czony zbiór indeksów A = {k 1 < k 2 <... < k m } gdzie k 1 N taki,»e n A x n x < ε ; max 2 1 j m j x n=1 k n < ε oraz max 1 j m j y n=1 k n < ε. Wªasno±ci Zaªó»my,»e warunkowo zbie»ny szereg n=1 (x n, y n ) posiada wªasno± redukcji. Wtedy: SR(x n, y n ) = R 2
33 Dwa wektory Leviego Wªasno± redukcji Powiemy,»e szereg (x n=1 n, y n ) posiada wªasno± redukcji y gdy lim n n x n = oraz dla ka»dego ε > 0, x ( ε, ε), N N istnieje sko«czony zbiór indeksów A = {k 1 < k 2 <... < k m } gdzie k 1 N taki,»e n A x n x < ε ; max 2 1 j m j x n=1 k n < ε oraz max 1 j m j y n=1 k n < ε. Wªasno±ci Zaªó»my,»e warunkowo zbie»ny szereg n=1 (x n, y n ) posiada wªasno± redukcji. Wtedy: SR(x n, y n ) = R 2 L(x n, y n ) = {(0, 1), (0, 1)}
34 Dwa wektory Leviego Wªasno± redukcji Powiemy,»e szereg (x n=1 n, y n ) posiada wªasno± redukcji y gdy lim n n x n = oraz dla ka»dego ε > 0, x ( ε, ε), N N istnieje sko«czony zbiór indeksów A = {k 1 < k 2 <... < k m } gdzie k 1 N taki,»e n A x n x < ε ; max 2 1 j m j x n=1 k n < ε oraz max 1 j m j y n=1 k n < ε. Wªasno±ci Zaªó»my,»e warunkowo zbie»ny szereg n=1 (x n, y n ) posiada wªasno± redukcji. Wtedy: SR(x n, y n ) = R 2 L(x n, y n ) = {(0, 1), (0, 1)} A(x n, y n ) = R 2
35 Przykªadowa klasa szeregów o wªasno±ci redukcji
36 Przykªadowa klasa szeregów o wªasno±ci redukcji Konstrukcja Niech (x n ), (y n ) b d nierosn cymi ci gami liczb dodatnich zbie»nymi do 0 oraz x n=1 n = y y n=1 n = i lim n = n x. n Zdeniujmy v 4n 3 = ( x 2n 1, y 2n 1 ), v 4n 2 = ( x 2n 1, y 2n 1 ), v 4n 1 = (x 2n, y 2n ), v 4n = (x 2n, y 2n ) dla ka»dego n N. Wtedy A(v n ) = R 2.
37 Przykªadowa klasa szeregów o wªasno±ci redukcji Konstrukcja Niech (x n ), (y n ) b d nierosn cymi ci gami liczb dodatnich zbie»nymi do 0 oraz x n=1 n = y y n=1 n = i lim n = n x. n Zdeniujmy v 4n 3 = ( x 2n 1, y 2n 1 ), v 4n 2 = ( x 2n 1, y 2n 1 ), v 4n 1 = (x 2n, y 2n ), v 4n = (x 2n, y 2n ) dla ka»dego n N. Wtedy A(v n ) = R 2. Przykªad Niech v 2n 1 = (x 2n 1, y 2n 1 ) = ( ( 1)n, ( 1)n n n ), v 2n = (x 2n, y 2n ) = ( ( 1)n, ( 1)n+1 n n ) dla n N. Wtedy L(v n ) = {(0, 1), (0, 1)}, SR(v n ) = R 2 oraz A(v n ) = R 2.
38 Dwa wektory Leviego i A abs (v n ) A(v n ) 1
39 Dwa wektory Leviego i A abs (v n ) A(v n ) 1 Lemat Niech szereg n=1 y n b dzie warunkowo zbie»ny oraz n=1 x n b dzie bezwzgl dnie zbie»ny, x n > 0 dla n N. Rozwa»my v n = (x n, y n ), wtedy L(v n ) = {(0, 1), (0, 1)}
40 Dwa wektory Leviego i A abs (v n ) A(v n ) 1 Lemat Niech szereg n=1 y n b dzie warunkowo zbie»ny oraz n=1 x n b dzie bezwzgl dnie zbie»ny, x n > 0 dla n N. Rozwa»my v n = (x n, y n ), wtedy L(v n ) = {(0, 1), (0, 1)} SR(v n ) = span(l(v n )) + n=1 v n
41 Dwa wektory Leviego i A abs (v n ) A(v n ) 1 Lemat Niech szereg n=1 y n b dzie warunkowo zbie»ny oraz n=1 x n b dzie bezwzgl dnie zbie»ny, x n > 0 dla n N. Rozwa»my v n = (x n, y n ), wtedy L(v n ) = {(0, 1), (0, 1)} SR(v n ) = span(l(v n )) + v n=1 n v n=1 n A(v n ) \ A abs (v n ). Przykªad
42 Dwa wektory Leviego i A abs (v n ) A(v n ) 1 Lemat Niech szereg n=1 y n b dzie warunkowo zbie»ny oraz n=1 x n b dzie bezwzgl dnie zbie»ny, x n > 0 dla n N. Rozwa»my v n = (x n, y n ), wtedy L(v n ) = {(0, 1), (0, 1)} SR(v n ) = span(l(v n )) + v n=1 n v n=1 n A(v n ) \ A abs (v n ). Przykªad Niech v n = ( 1, ( 1)n ) dla n N. Wtedy 2 n n (1, ln 2) A(v n ) \ A abs (v n ).
43 Dwa wektory Leviego i A abs (v n ) A(v n ) 2
44 Dwa wektory Leviego i A abs (v n ) A(v n ) 2 Przykªad Niech n 0 = 0, n k = 4 k2 + n k 1 dla k N. Zdeniujmy x n = 1, y 4 k2 n = 1 dla n (n 2 k k 1, n k ] oraz poªó»my v 4n 3 = ( x 2n 1, y 2n 1 ), v 4n 2 = ( x 2n 1, y 2n 1 ), v 4n 1 = (x 2n, y 2n ), v 4n = (x 2n, y 2n ) dla ka»dego n N. Wówczas
45 Dwa wektory Leviego i A abs (v n ) A(v n ) 2 Przykªad Niech n 0 = 0, n k = 4 k2 + n k 1 dla k N. Zdeniujmy x n = 1, y 4 k2 n = 1 dla n (n 2 k k 1, n k ] oraz poªó»my v 4n 3 = ( x 2n 1, y 2n 1 ), v 4n 2 = ( x 2n 1, y 2n 1 ), v 4n 1 = (x 2n, y 2n ), v 4n = (x 2n, y 2n ) dla ka»dego n N. Wówczas L(v n ) = {(0, 1), (0, 1)}
46 Dwa wektory Leviego i A abs (v n ) A(v n ) 2 Przykªad Niech n 0 = 0, n k = 4 k2 + n k 1 dla k N. Zdeniujmy x n = 1, y 4 k2 n = 1 dla n (n 2 k k 1, n k ] oraz poªó»my v 4n 3 = ( x 2n 1, y 2n 1 ), v 4n 2 = ( x 2n 1, y 2n 1 ), v 4n 1 = (x 2n, y 2n ), v 4n = (x 2n, y 2n ) dla ka»dego n N. Wówczas L(v n ) = {(0, 1), (0, 1)} SR(v n ) = R 2
47 Dwa wektory Leviego i A abs (v n ) A(v n ) 2 Przykªad Niech n 0 = 0, n k = 4 k2 + n k 1 dla k N. Zdeniujmy x n = 1, y 4 k2 n = 1 dla n (n 2 k k 1, n k ] oraz poªó»my v 4n 3 = ( x 2n 1, y 2n 1 ), v 4n 2 = ( x 2n 1, y 2n 1 ), v 4n 1 = (x 2n, y 2n ), v 4n = (x 2n, y 2n ) dla ka»dego n N. Wówczas L(v n ) = {(0, 1), (0, 1)} SR(v n ) = R 2 A(v n ) = R 2
48 Dwa wektory Leviego i A abs (v n ) A(v n ) 2 Przykªad Niech n 0 = 0, n k = 4 k2 + n k 1 dla k N. Zdeniujmy x n = 1, y 4 k2 n = 1 dla n (n 2 k k 1, n k ] oraz poªó»my v 4n 3 = ( x 2n 1, y 2n 1 ), v 4n 2 = ( x 2n 1, y 2n 1 ), v 4n 1 = (x 2n, y 2n ), v 4n = (x 2n, y 2n ) dla ka»dego n N. Wówczas L(v n ) = {(0, 1), (0, 1)} SR(v n ) = R 2 A(v n ) = R 2 A abs (v n ) { 1 3 } R =, wi c A abs(v n ) R 2.
49 Bibliograa T. Banakh, A. Bartoszewicz, M. Filipczak, E. Szymonik, Topological and measure properties of some self-similar sets, Topol. Methods Nonlinear Anal., 46(2) (2015), A. Bartoszewicz, S. Gªab, Achievement sets on the plane perturbations of geometric and multigeometric series, Chaos Solitons Fractals 77 (2015) A. Bartoszewicz, S. Gªab, J. Marchwicki, Achievement sets of conditionally convergent series, arxiv: A. Bartoszewicz, M. Filipczak, F. Prus-Wi±niowski, Topological and algebraic aspects of subsums of series. Traditional and present-day topics in real analysis, , Faculty of Mathematics and Computer Science. University of Šód¹, Šód¹, A. Bartoszewicz, M. Filipczak, E. Szymonik, Multigeometric sequences and Cantorvals, Cent. Eur. J. Math. 12(7) (2014), C. Ferens, On the range of purely atomic probability measures, Studia Math. 77 (1984), J.A. Guthrie, J.E. Neymann, The topological structure of the set of subsums of an innite series, Colloq. Math. 55:2 (1988), R. Jones, Achievement sets of sequences, Am. Math. Mon. 118:6 (2011), I. Halperin, Sums of series, permitting rearrangements, M. I. Kadets, V. M. Kadets, Series in Banach spaces. Conditional and unconditional convergence. Translated from the Russian by Andrei Iacob. Operator Theory: Advances and Applications, 94. Birkh» user Verlag, Basel, viii+156 pp.
50 Bibliograa S. Kakeya, On the partial sums of an innite series, Tôhoku Sic. Rep. 3 (1914), P. Klinga, Rearranging series of vectors on a small set, J. Math. Anal. Appl. 424 (2015) P. Mendes, F. Oliveira, On the topological structure of the arithmetic sum of two Cantor sets, Nonlinearity. 7 (1994), M. Morán, Fractal series. Mathematika 36 (1989), no. 2, (1990). M. Morán, Dimension functions for fractal sets associated to series. Proc. Amer. Math. Soc. 120 (1994), no. 3, J.E. Neymann, R.A. Sáenz, On the paper of Guthrie and Nymann on subsums of innite series, Colloq. Math. 83 (2000), 14. Z. Nitecki, The subsum set of a null sequence, arxiv: v1 Z. Nitecki, Cantorvals and subsum sets of null sequences. Amer. Math. Monthly 122 (2015), no. 9, A.D. Weinstein, B.E. Shapiro, On the structure of a set of α-representable numbers, Izv. Vys². U ebn. Zaved. Matematika. 24 (1980), 811.
Proponowane tematy prac magisterskich (wersja polskojęzyczna): Tytuł: Operacje Kuratowskiego w zakresie skończenie wielu topologii na jednym
Proponowane tematy prac magisterskich (wersja polskojęzyczna): Tytuł: Operacje Kuratowskiego w zakresie skończenie wielu topologii na jednym zbiorze. [1] T. Banakh, O. Chervak, T. Martynyuk, M. Pylypovych,
O zbiorach małych w polskich grupach abelowych
O zbiorach małych w polskich grupach abelowych Eliza Jabłońska Katedra Matematyki Politechniki Rzeszowskiej Warsztaty z Analizy Rzeczywistej, Konopnica 2016 E. Jabłońska (KM PRz) O zbiorach małych Konopnica
Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych. Zbiory na pªaszczy¹nie i w przestrzeni.
Strategia czy intuicja?
Strategia czy intuicja czyli o grach niesko«czonych Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 29 sierpnia 2009 Denicja gry Najprostszy przypadek: A - zbiór (na ogóª co najwy»ej przeliczalny),
Twierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski
Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej
Ekstrema lokalne i punkty otwarto±ci funkcji ci gªej
Politechnika Šódzka, Instytut Matematyki Konopnica, maj 2016 Plan Wspóªautorzy Omawiane wyniki zostaªy uzyskane w pracy M. Balcerzak, M. Popªawski, J. Wódka, Local extrema and nonopenness points for continuous
1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d
Poj cia pomocnicze Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty zawieraj cy punkt x. Najcz ±ciej rozwa»amy otoczenia kuliste, tj. kule o danym promieniu ε i ±rodku x. S siedztwem punktu x nazywamy
AM II /2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium
AM II.1 2018/2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium Normy w R n, iloczyn skalarny sprawd¹ czy dana funkcja jest norm sprawd¹, czy dany zbiór jest kul w jakiej± normie i oblicz norm wybranego
Ekstremalnie maªe zbiory
Maªe jest pi kne Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Nadarzyn, 27.08.2011 Zbiory silnie miary zero Przypomnienie Zbiór X [0, 1] jest miary Lebesgue'a zero, gdy dla ka»dego ε > 0 istnieje ci
Zadania. 4 grudnia k=1
Zadania 4 grudnia 205 Zadanie. Poka»,»e dla dowolnych liczb zespolonych z,..., z n istnieje zbiór B {,..., n}, taki,»e n z k π z k. k B Zadanie 2. Jakie warunki musz speªnia ci gi a n i b n, aby istniaªy
Zbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
W poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków. Relacje równowa»no±ci. Zbiór (typ) ilorazowy. Klasy abstrakcji
W poprzednim odcinku... Podstawy matematyki dla informatyków Rodzina indeksowana {A t } t T podzbiorów D to taka funkcja A : T P(D),»e A(t) = A t, dla dowolnego t T. Wykªad 3 20 pa¹dziernika 2011 Produkt
Matematyka. Justyna Winnicka. rok akademicki 2016/2017. Szkoªa Gªówna Handlowa
Matematyka Justyna Winnicka Szkoªa Gªówna Handlowa rok akademicki 2016/2017 kontakt, konsultacje, koordynator mail: justa_kowalska@yahoo.com, jkowal4@sgh.waw.pl, justyna.winnicka@sgh.waw.pl konsultacje:
Podstawy matematyki dla informatyków
Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 6 10 listopada 2011 W poprzednim odcinku... Zbiory A i B s równoliczne (tej samej mocy ), gdy istnieje bijekcja f : A 1 1 B. Piszemy A B lub A = B. na Moc zbioru
Maªgorzata Murat. Modele matematyczne.
WYKŠAD I Modele matematyczne Maªgorzata Murat Wiadomo±ci organizacyjne LITERATURA Lars Gårding "Spotkanie z matematyk " PWN 1993 http://moodle.cs.pollub.pl/ m.murat@pollub.pl Model matematyczny poj cia
Mierzalne liczby kardynalne
czyli o miarach mierz cych wszystko Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 26 stycznia 2007 Ogólny problem miary Pytanie Czy na pewnym zbiorze X istnieje σ-addytywna miara probabilistyczna,
Matematyka dyskretna dla informatyków
UNIWERSYTET IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU Jerzy Jaworski, Zbigniew Palka, Jerzy Szyma«ski Matematyka dyskretna dla informatyków uzupeænienia Pozna«007 A Notacja asymptotyczna Badaj c du»e obiekty kombinatoryczne
Twierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski
Twierdzenie Wedderburna Witold Tomaszewski Pier±cie«przemienny P nazywamy dziedzin caªkowito±ci (lub po prostu dziedzin ) je±li nie posiada nietrywialnych dzielników zera. Pier±cie«z jedynk nazywamy pier±cieniem
Typ potęgowy Szlenka
Uniwersytet Śląski w Katowicach Letnia Szkoła Instytutu Matematyki Podlesice, 22 26 września 2014 r. Motywacja Pytanie (Banach Mazur, Księga Szkocka, Problem 49) Czy istnieje ośrodkowa i refleksywna przestrzeń
Matematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski
Matematyka 1 Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Pochodna funkcji Niech a, b R, a < b. Niech f : (a, b) R b dzie funkcj oraz x, x 0 (a, b) b d ró»nymi punktami przedziaªu (a, b). Wyra»enie
Elementarna statystyka
Elementarna statystyka Alexander Bendikov 26 marca 2017 Klasyczny model: eksperyment o jednakowo prawdopodobnych wynikach Zaªo»enia: 1 Przestrze«próbek S ma sko«czenie wiele wyników ω 1, ω 2,..., ω n,
WŠASNO CI PROJEKCJI MINIMALNYCH
UNIWERSYTET JAGIELLO SKI WYDZIAŠ MATEMATYKI I INFORMATYKI INSTYTUT MATEMATYKI WŠASNO CI PROJEKCJI MINIMALNYCH DOMINIK MIELCZAREK Praca doktorska napisana pod kierunkiem prof. dr hab. Grzegorza Lewickiego
r = x x2 2 + x2 3.
Przestrze«aniczna Def. 1. Przestrzeni aniczn zwi zan z przestrzeni liniow V nazywamy dowolny niepusty zbiór P z dziaªaniem ω : P P V (które dowolnej parze elementów zbioru P przyporz dkowuje wektor z przestrzeni
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Oba zbiory s uporz dkowane liniowo. Badamy funkcj w pobli»u kresów dziedziny. Pewne punkty szczególne (np. zmiana denicji funkcji).
Plan Spis tre±ci 1 Granica 1 1.1 Po co?................................. 1 1.2 Denicje i twierdzenia........................ 4 1.3 Asymptotyka, granice niewªa±ciwe................. 7 2 Asymptoty 8 2.1
Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja
Macierze 1 Podstawowe denicje Macierz wymiaru m n, gdzie m, n N nazywamy tablic liczb rzeczywistych (lub zespolonych) postaci a 11 a 1j a 1n A = A m n = [a ij ] m n = a i1 a ij a in a m1 a mj a mn W macierzy
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Zbiory ograniczone i kresy zbiorów
Zbiory ograniczone i kresy zbiorów Def.. Liczb m nazywamy ograniczeniem dolnym a liczb M ograniczeniem górnym zbioru X R gdy (i) x m; (ii) x M. Mówimy,»e zbiór X jest ograniczony z doªu (odp. z góry) gdy
JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1
J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Rozwini cia asymptotyczne dla mocy testów przybli»onych
Rozwini cia asymptotyczne dla mocy testów przybli»onych Piotr Majerski, Zbigniew Szkutnik AGH Kraków Wisªa 2010 P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa 2010 1 / 22
Wst p do sieci neuronowych, wykªad 14 Zespolone sieci neuronowe
Wst p do sieci neuronowych, wykªad 14 Zespolone sieci neuronowe M. Czoków, J. Piersa Faculty of Mathematics and Computer Science, Nicolaus Copernicus University, Toru«, Poland 2011-18-02 Motywacja Liczby
1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:
Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt: zdzedzej@mif.pg.gda.pl www.mif.pg.gda.pl/homepages/zdzedzej () 5 pa¹dziernika 2016 1 / 1 Literatura podstawowa R. Rudnicki, Wykªady z analizy
Algorytmy zwiazane z gramatykami bezkontekstowymi
Algorytmy zwiazane z gramatykami bezkontekstowymi Rozpoznawanie j zyków bezkontekstowych Problem rozpoznawania j zyka L polega na sprawdzaniu przynale»no±ci sªowa wej±ciowego x do L. Zakªadamy,»e j zyk
Prawdopodobie«stwo warunkowe, twierdzenie Bayesa, niezale»no± zdarze«.
Prawdopodobie«stwo warunkowe, twierdzenie Bayesa, niezale»no± zdarze«. Alicja Czy» WFTiMS April 14, 2010 Spis tre±ci 1 Wprowadzenie Denicja prawdopodobie«stwa warunkowego Twierdzenie Bayesa Niezale»no±
Wielomiany o wspóªczynnikach rzeczywistych
Wielomiany o wspóªczynnikach rzeczywistych Wielomian: W (x) = a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n 2 +... + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 wspóªczynniki wielomianu: a 0, a 1, a 2,..., a n 1, a n ; wyraz wolny: a 0
Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni
Wykªad 3 Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni W wykªadzie tym wi kszy nacisk zostaª poªo»ony raczej na intuicyjne rozumienie deniowanych poj, ni» ±cisªe ich zdeniowanie. Dlatego niniejszy wykªad
Matematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski
Mtemtyk 1 Šuksz Dwidowski Instytut Mtemtyki, Uniwersytet l ski Cªk oznczon Niech P = [, b] R b dzie przedziªem. Podziªem przedziªu P b dziemy nzywli k»d sko«czon rodzin Π = {P 1, P 2,..., P m } tkich przedziªów,»e
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych I. Malinowska, Z. Šagodowski Politechnika Lubelska 8 czerwca 2015 Caªka iterowana podwójna Denicja Je»eli funkcja f jest ci gªa na prostok cie P = {(x, y) : a x
Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Twierdzenie Archimedesa o paraboli oraz o metodzie wyczerpywania.
Twierdzenie Archimedesa o paraboli oraz o metodzie wyczerpywania. Marcin Szweda 5 listopada 015 Z cyklu Akademickie myśli osłodzone : Jak wieść gminna z Syrakuz niesie, wór pełen pomysłów, pozostał po
Przeksztaªcenia liniowe
Przeksztaªcenia liniowe Przykªady Pokaza,»e przeksztaªcenie T : R 2 R 2, postaci T (x, y) = (x + y, x 6y) jest przeksztaªceniem liniowym Sprawdzimy najpierw addytywno± przeksztaªcenia T Niech v = (x, y
istnienie elementu neutralnego dodawania (zera): 0 K a K a + 0 = a, istnienie elementu neutralnego mno»enia (jedynki): 1 K a K a 1 = a,
Ciaªo Denicja. Zbiór K z dziaªaniami dodawania + oraz mno»enia (których argumentami s dwa elementy z tego zbioru, a warto±ciami elementy z tego zbioru) nazywamy ciaªem, je±li zawiera co najmniej dwa elementy
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych
Zadania z analizy matematycznej - sem II Rachunek ró»niczkowy funkcji wielu zmiennych Denicja (Pochodne cz stkowe dla funkcji trzech zmiennych) Niech D R 3 b dzie obszarem oraz f : D R f = f y z) P 0 =
Stacjonarne szeregi czasowe
e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis tre±ci 1 Denicja 1 Szereg {x t } 1 t N nazywamy ±ci±le stacjonarnym (stacjonarnym w w»szym sensie), je»eli dla dowolnych m, t 1, t 2,..., t m, τ ª czny rozkªad prawdopodobie«stwa
Indeksowane rodziny zbiorów
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 7 Indeksowane rodziny zbiorów Niech X b dzie przestrzeni zbiorem, którego podzbiorami b d wszystkie rozpatrywane zbiory, R rodzin wszystkich podzbiorów X za± T
1. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: 2. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie: +j +j 3 Re z = Im z = 5 z ( j) = z j z +
A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta
ELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±
ELEMENTARNA TEORIA LICZB IZABELA AGATA MALINOWSKA N = {1, 2,...} 1. Podzielno± Denicja 1.1. Niepusty podzbiór A zbioru liczb naturalnych jest ograniczony, je»eli istnieje taka liczba naturalna n 0,»e m
Funkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x, y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) Pochodn cz stkow pierwszego rz du funkcji dwóch zmiennych wzgl
Funkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Analiza matematyczna 2; MatematykaS-I 0 lic 21 maja 2018 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(, y b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu
I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x
I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji Niech f jest okre±lona w Q(x 0, δ) i x Q(x 0, δ). Oznaczenia: x = x x 0 y = y y 0 = f(x 0 + x) f(x 0 ) y x = f(x 0 + x) f(x 0 ) iloraz ró»nicowy x y x = tgβ,
1 Granice funkcji wielu zmiennych.
AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica
Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.
Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór
Twierdzenie Hilberta o nieujemnie określonych formach ternarnych stopnia 4
Twierdzenie Hilberta o nieujemnie określonych formach ternarnych stopnia 4 Strona 1 z 23 Andrzej Sładek, Instytut Matematyki UŚl sladek@math.us.edu.pl Letnia Szkoła Instytutu Matematyki 20-23 września
Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. Zadanie 1: a) 6 punktów, b) 3 punkty, Zadanie 2: a) 6 punktów, b) 4 punkty,
VII Wojewódzki Konkurs Matematyczny "W ±wiecie Matematyki" im. Prof. Wªodzimierza Krysickiego Etap drugi - 17 lutego 2015 r. Maksymalna liczba punktów do zdobycia: 80. 1. Drugi etap Konkursu skªada si
XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne
1 XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne Kategoria: klasa VIII szkoªy podstawowej i III gimnazjum Olsztyn, 16 maja 2019r. Zad. 1. Udowodnij,»e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z speªniaj cych
O pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych)
(niekoniecznie ograniczonych) Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza, Poznań Będlewo, 25-30 maja 2015 Funkcje prawie okresowe w sensie Bohra Definicja Zbiór E R nazywamy względnie
Wykªad 12. Transformata Laplace'a i metoda operatorowa
Wykªad 2. Tranformata Laplace'a i metoda operatorowa Tranformata Laplace'a Dla odpowiednio okre±lonej klay funkcji zdeniujemy operator L, nazywany tranformat Laplace'a, okre±lony wzorem L[ f ]() = f(t)e
ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Z czterech wierzchołków w głąb geometrii
Paweł Walczak Uniwersytet Łódzki 7 października 2009 Ogólny problem Problem Dla danej wielkości (funkcji, pola wektorowego, pola tensorowego) i danego niezmiennika geometrycznego (krzywizny pewnego typu,
PRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow V, o wymiarze dim V = n < nad ciaªem F mo»na jednoznacznie odwzorowa na przestrze«f n n-ek uporz dkowanych:
Plan Spis tre±ci 1 Homomorzm 1 1.1 Macierz homomorzmu....................... 2 1.2 Dziaªania............................... 3 2 Ukªady równa«6 3 Zadania 8 1 Homomorzm PRZYPOMNIENIE Ka»d przestrze«wektorow
Funkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
*** Teoria popytu konsumenta *** I. Pole preferencji konsumenta 1. Przestrze«towarów 2. Relacja preferencji konsumenta 3. Optymalny koszyk towarów
*** Teoria popytu konsumenta *** I. Pole preferencji konsumenta 1. Przestrze«towarów 2. Relacja preferencji konsumenta 3. Optymalny koszyk towarów I.1 Przestrze«towarów Podstawowe poj cia Rynek towarów
1 Podstawowe terminy. Funkcje Analityczne II. Literatura Pomocnicza:
Funkcje Analityczne II Literatura Pomocnicza: 1. J.Ch dzy«ski, Wst p do Analizy Zespolonej, PWN 2. J.Ch dzy«ski, Wst p do Analizy Zespolonej w Zadaniach, Wydawnictwo Uniwersytetu Šódziego 3. A.Birkholc,
det A := a 11, ( 1) 1+j a 1j det A 1j, a 11 a 12 a 21 a 22 Wn. 1 (Wyznacznik macierzy stopnia 2:). = a 11a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32
Wyznacznik Def Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcj, która ka»dej macierzy A = (a ij ) przyporz dkowuje liczb det A zgodnie z nast puj cym schematem indukcyjnym: Dla macierzy A = (a ) stopnia
Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów
Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Wprowadzenie PWSZ Gªogów, 2009 Plan wykªadów Wprowadzenie, podanie zagadnie«, poj cie metody numerycznej i algorytmu numerycznego, obszar zainteresowa«i stosowalno±ci
Funkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze
Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a
Funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej. Pochodna (szkic wykªadu)
Funkcja rzeczywista zmiennej rzeczywistej. Pochodna (szkic wykªadu) opracowaªa Gra»yna Ciecierska 1 Denicja pochodnej Denicja. Niech : X R, X R oraz U(x 0, r) X dla pewnego r > 0. Ilorazem ró»nicowym unkcji
ANALIZA MATEMATYCZNA. semestr zimowy dr Damian Wi±niewski, KAiRR
ANALIZA MATEMATYCZNA semestr zimowy 2015 dr Damian Wi±niewski, KAiRR Moje dane e-mail : dawi@matman.uwm.edu.pl www: http://wmii.uwm.edu.pl/ kairr/dawi godziny konsultacji : poniedziaªki 9:45-10:30, 12:45-14:00
Estymacja parametru gªadko±ci przy u»yciu falek splajnowych
Estymacja parametru gªadko±ci przy u»yciu falek splajnowych Politechnika Gda«ska Wydziaª Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Wisªa, 3-7.12.2012 Przestrze«Biesowa Przestrze«Biesowa B s p,q, 1 p,
Informacje pomocnicze
Funkcje wymierne. Równania i nierówno±ci wymierne Denicja. (uªamki proste) Wyra»enia postaci Informacje pomocnicze A gdzie A d e R n N (dx e) n nazywamy uªamkami prostymi pierwszego rodzaju. Wyra»enia
x y x y x y x + y x y
Algebra logiki 1 W zbiorze {0, 1} okre±lamy dziaªania dwuargumentowe,, +, oraz dziaªanie jednoargumentowe ( ). Dziaªanie x + y nazywamy dodawaniem modulo 2, a dziaªanie x y nazywamy kresk Sheera. x x 0
Szczecin, dnia 2 lipca 2015 roku. dr hab. Franciszek Prus-Wi±niowski Instytut Matematyki Uniwersytet Szczeci«ski
dr hab. Franciszek Prus-Wi±niowski Instytut Matematyki Uniwersytet Szczeci«ski Szczecin, dnia 2 lipca 2015 roku. Recenzja pracy doktorskiej magister Emilii Szymonik Zbiory generowane przez sumy podszeregów
Liczenie podziaªów liczby: algorytm Eulera
Liczenie podziaªów liczby: algorytm Eulera Wojciech Rytter Podziaªy liczb s bardzo skomplikowanymi obiektami kombinatorycznymi, przedstawimy dwa algorytmy liczenia takich oblektów. Pierwszy prosty algorytm
COLT - Obliczeniowa teoria uczenia si
Hung Son Nguyen (UW) COLT - Obliczeniowa teoria uczenia si 2007 1 / 32 COLT - Obliczeniowa teoria uczenia si Hung Son Nguyen Institute of Mathematics, Warsaw University son@mimuw.edu.pl 2007 Hung Son Nguyen
Hotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego
Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Festiwal Nauki, 20.09.2011 Nasze do±wiadczenia hotelowe Fakt oczywisty Hotel nie przyjmie nowych go±ci, je»eli wszystkie
1 0 Je»eli wybierzemy baz A = ((1, 1), (2, 1)) to M(f) A A =. 0 2 Daje to znacznie lepszy opis endomorzmu f.
GAL II 2012-2013 A Strojnowski str1 Wykªad 1 Ten semestr rozpoczniemy badaniem endomorzmów sko«czenie wymiarowych przestrzeni liniowych Denicja 11 Niech V b dzie przestrzeni liniow nad ciaªem K 1) Przeksztaªceniem
Elementy geometrii w przestrzeni R 3
Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi
Spl tanie i inne korelacje kwantowe w ukªadach zªo»onych
Spl tanie i inne korelacje kwantowe w ukªadach zªo»onych Lech Jakóbczyk Instytut Fizyki Teoretycznej Uniwersytet Wrocªawski 1 / 17 Spl tanie stanów czystych Formalna denicja spl tania Ukªad zªo»ony: Hilberta
Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach
Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach Teoria obowi zuje z wykªadu, dlatego te» zostan tutaj przedstawione tylko podstawowe denicje, twierdzenia i wzory. Denicja 1. Równanie
Nieklasyczna analiza skªadowych gªównych
* Wydziaª Matematyki i Informatyki UAM Pozna«Referat ten jest przygotowany na podstawie wspólnych wyników uzyskanych z Karolem Der gowskim z Instytutu Zarz dzania Pa«stwowej Wy»szej Szkoªy Zawodowej w
Materiaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
Systemy hybrydowe. Joanna Iwaniuk. 2 listopada 2010
2 listopada 2010 Plan prezentacji 1. Co to jest system hybrydowy? 2. Liniowe systemy hybrydowe 3. Wyznaczanie stanów osi galnych Model checking 4. Podsumowanie Automaty hybrydowe System hybrydowy Komponent
Metody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Funkcje jednej zmiennej. Granica, ci gªo±. (szkic wykªadu)
Funkcje jednej zmiennej Granica, ci gªo± (szkic wykªadu) opracowaªa Gra»yna Ciecierska 1 Granica funkcji Denicja Niech 0 R, r > 0 Otoczeniem punktu 0 o promieniu r nazywamy przedziaª ( 0 r, 0 +r) Otoczeniem
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Denicja 1. Niech X = R n b dzie przestrzeni unormowan oraz d(x, y) = x y.
Szeregowanie zada« Wykªad nr 5. dr Hanna Furma«czyk. 4 kwietnia 2013
Wykªad nr 5 4 kwietnia 2013 Procesory dedykowane Przypomnienie: zadania s podzielone na operacje (zadanie Z j skªada si z operacji O ij do wykonania na maszynach M i, o dªugo±ciach czasowych p ij ); zadanie
Uczenie Wielowarstwowych Sieci Neuronów o
Plan uczenie neuronu o ci gªej funkcji aktywacji uczenie jednowarstwowej sieci neuronów o ci gªej funkcji aktywacji uczenie sieci wielowarstwowej - metoda propagacji wstecznej neuronu o ci gªej funkcji
Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb
Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych
Spis tre±ci. 1 Gradient. 1.1 Pochodna pola skalarnego. Plan
Plan Spis tre±ci 1 Gradient 1 1.1 Pochodna pola skalarnego...................... 1 1.2 Gradient................................ 3 1.3 Operator Hamiltona......................... 4 2 Ró»niczkowanie pola
Poni»ej podane s przykªadowe pytania Konstrukcja zbioru liczb rzeczywistych Dowód niewymierno±ci liczby 2.
Pytania na egzaminie magisterskim dotycz gªównie zagadnie«zwi zanych z tematem pracy magisterskiej. Nale»y by przygotowanym równie» na pytania sprawdzaj ce podstawow wiedz ze wszystkich zaliczonych wykªadów.
CAŠKA NIEOZNACZONA. Politechnika Lubelska. Z.Šagodowski. 18 lutego 2016
WYKŠAD CAŠKA NIEOZNACZONA Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 8 lutego 06 Denicja CAŠKA NIEOZNACZONA Funkcja F jest funkcja pierwotn funkcji f na przedziale A, je»eli Zauwa»my,ze F (x) = f (x), dla ka»dego
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Liczby zespolone. dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0.in». 6 pa¹dziernika Oznaczenia. B dziemy u»ywali nast puj cych oznacze«:
Liczby zespolone Oznaczenia B dziemy u»ywali nast puj cych oznacze«: N = {1, 2, 3,...}- zbiór liczb naturalnych, Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}- zbiór liczb caªkowitych, Q = { a b : a, b Z, b 0}- zbiór
GRUPA PODSTAWOWA I X. GRZEGORZ ZBOROWSKI
GRUPA PODSTAWOWA GRZEGORZ ZBOROWSKI 1. Definicja i podstawowe poj cia Pierwszym krokiem do zdeniowania grupy podstawowej b dzie poj cie drogi w przestrzeni topologicznej, czyli mówi c nie±ci±le, krzywej
Metodydowodzenia twierdzeń
1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych
Zastosowania metod analitycznej złożoności obliczeniowej do przetwarzania sygnałów cyfrowych oraz w metodach numerycznych teorii aproksymacji
Zastosowania metod analitycznej złożoności obliczeniowej do przetwarzania sygnałów cyfrowych oraz w metodach numerycznych teorii aproksymacji Marek A. Kowalski Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego