Liczby i działania na liczbach
|
|
- Juliusz Kwiatkowski
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Na tym wykładzie chciałbym przekonać Państwa, że Mathematica może być pomocna w studiowaniu analizy matematycznej. Liczby i działania na liczbach (* liczby całkowite *) Element[-, Integers] należy do zbiór liczb cał (* inaczej, używając pomocy Writing Assistant *) - Integers zbiór liczb całkowitych (* Dlaczego to jest ważne? *) Simplify[ Sin[n * Pi]] uprość sinus pi Sin[n π] Simplify[ Sin[n * Pi], uprość sinus pi 0 Element[n, należy do Integers]] zbiór liczb całko (* liczby pierwsze *) Element[5, Primes] należy do zbiór liczb pi Element[5, Primes] należy do zbiór liczb False Element 3 5, Integers należy do zbiór liczb cał False (* dzielniki liczby calkowitej *) Divisors[7] dzielniki {, 7}
2 NOF_.nb Divisors[36] dzielniki {,, 3, 4, 6, 9,, 8, 36} (* najwiekszy wspolny podzielnik greatest common divisor *) GCD[30, 5, 00] największy wspólny dzielnik 5 (* najmniejsza wspólna wielokrotność least common multiple *) LCM[, 50, 8] najmniejsza wspólna wielokrotność 600 (* liczby wymierne *) Element 3 5, Rationals należy do liczby wymierne (* inaczej *) 3 5 Rationals liczby wymierne Element[ E, Rationals] należy do l liczby wymierne False (* liczby rzeczywiste *) Element[ E, Reals] należy do l liczby rze Element[ Pi, Reals] należy do pi liczby rze I * I j jedność urojona - Element[ I, Reals] należy do liczby rze False (* liczby zespolone *) Element[ I, Complexes] należy do liczby zespolon
3 3 + 5 NOF_.nb 3 (* inaczej *) i Complexes liczby zespolone Solve[z^ + 0, z] rozwiąż równanie {{z -i}, {z i}} Element[3-4 * I, Complexes] należy do liczby zespolon (* Upraszczanie wyrażeń *) 5 + * (* Definiujemy dwie liczby z pierwiastkami, x i y, a następnie upraszczamy ich różnicę, iloczyn i iloraz *) x = - Sqrt[]; y = + * Sqrt[]; pierwiastek kwadratowy pierwiastek k Simplify[x - y] uprość - 3 Simplify[x * y] uprość Simplify[y / x] uprość * Sqrt[] y / x pierwiastek kwadratowy ClearAll[x, y]; wyczyść wszystko (* Uproscic wyrazenie *) Simplify[ Abs[x] + Abs[x + ] + Sqrt[x^ + 4 * x + 4], uprość wartość wartość bez pierwiastek kwadratowy Abs[x] + Abs[ + x] + Abs[ + x] Element[x, należy do Reals]] liczby rzecz (* Uproscic wyrazenia z logarytmami *)
4 4 NOF_.nb? Log Log[z] gives the natural logarithm of z (logarithm to base e). Log[b, z] gives the logarithm to base b. Log[ E] lo liczba Eulera Log[ Sqrt[ E]] lo pier liczba (* bo... *) E^ liczba Eulera Sqrt[ E] pier liczb Log0[000] logarytm dziesiętny 3 (* bo... *) 0^3 000 Log 64, 4 logarytm - 3 (* bo... *) 64^ Log 3, logarytm - 5 Log 4, logarytm - Log[] Log[4] Sqrt[] pierwiastek kwad
5 NOF_.nb 5 Simplify - Log[] uprość Log[4] - Log[] Log[6] FullSimplify - Log[] uprość pełniej Log[6] - 4 Log 5, 0 logarytm - Simplify[36^Log[6, 5]] uprość logarytm Log 5 36 Log 6 FullSimplify[36^Log[6, 5]] uprość pełniej logarytm 5 Simplify a a - b - b b - a - a * - a b^ - a^ uprość a + a b + b a - b Apart a + a b + b rozłóż na ułamki a -proste b a -a + b + - a a + b (* Rozłożyć na czynniki *) Factor[x^6 + 6 * x^5 - x^4-6 * x^3] rozłóż na czynniki - + x x 3 + x (6 + x) (* Dla jakiej wartosci k wielomian W(x)= x^5+3*x^4+*x^3-5*x^+3*x+k jest podzielny przez x-? *) Solve[ PolynomialRemainder[x^5 + 3 * x^4 + * x^3-5 * x^ + 3 * x + k, x -, x] 0, k] rozwi reszta z dzielenia wielomianów {{k -8}} (* sprawdzenie *) Simplify x^5 + 3 * x^4 + * x^3-5 * x^ + 3 * x - 8 x - uprość x + x + 5 x 3 + x 4
6 6 NOF_.nb Równania i nierówności Reduce x x^ - x^ - 3 > 0, x, Reals zredukuj liczby rze - 3 < x < - 0 < x < x > 3 Reduce[ ^x > E^x, x, Reals] zredukuj liczba E liczby rze x < 0 (* Dopuszczalna jest nierownosc jednoczesna *) Simplify Reduce < Abs E^ * x - 3 < 3, x, Reals uprość zredukuj wa liczba Eulera liczby rzecz x < 0 Log[5] < x < Log[6] (* Inny zapis z logicznym "and" *) Simplify Reduce < Abs E^ * x - 3 && Abs E^ * x - 3 < 3, x, Reals uprość zredukuj wa liczba Eulera wa liczba Eulera liczby rzecz x < 0 Log[5] < x < Log[6] (* Uwaga: to logiczne "lub" *) N Simplify Reduce < Abs E^ * x - 3 && Abs E^ * x - 3 < 3, x, Reals uprość zredukuj wa liczba Eulera wa liczba Eulera liczby rzeczy x < < x < (* Dobrze jest wynik sprawdzic na rysunku *) Plot, 3, wykres Abs E^ * x - 3, {x, -, }, wa liczba Eulera PlotRange {.8, 3.} zakres wykresu (* Przykład nierówności wymiernej *)
7 NOF_.nb 7 Simplify Reduce x + ^ - x^ x * * x + < -, x, Reals uprość zredukuj liczby rzecz - < x < 0 (* Podaj dziedzine funkcji f(x)= Sqrt[4-x^]+ Log[-x], pierwiastek k logarytm czyli nierówność z logarytmem i pierwistkiem kwadratowym *) Simplify[ Reduce[4 - x^ 0 && - x > 0, x, Reals]] uprość zredukuj liczby rzecz - x < (*... albo jeszcze prościej tak *) In[]:= FunctionDomain[ Sqrt[4 - x^] + Log[ - x], x] dziedzina funkcji pierwiastek kwadr logarytm Out[]= - x < (* Przykład nierówności trygonometrycznej *) Simplify[ Reduce[ Sin[x] + Cos[x] > Sqrt[] * Cos[ * x], x, Reals]] uprość zredukuj sinus cosinus pierwiaste cosinus liczby rzecz C[] Integers && ArcTan - + π C[] < x < ArcTan + + π C[] (* C[] jest dowolną liczbą całkowitą, a litera stała C jest zastrzeżona dla stałych *) stała FullSimplify[ Reduce[ Sin[x] + Cos[x] > Sqrt[] * Cos[ * x], x, Reals]] uprość pełniej zredukuj sinus cosinus pierwiaste cosinus liczby rzecz C[] Integers && π + 4 x > 8 π C[] && 4 x < π C[] (* Zmiana: teraz szukamy rozwiązań w postaci par liczb całkowitych *) Simplify[ Reduce[x^ + y^ - * x 7, {x, y}, Integers]] uprość zredukuj zbiór liczb całko x - x 3 && y - y (* Rysowanie funkcji danej w postaci uwikłanej *)
8 8 NOF_.nb ContourPlot Cos[x] + Cos[y], {x, 0, 4 Pi}, {y, 0, 4 Pi} wykres kontu cosinus cosinus pi pi (* Możemy podać więcej równań *) ContourPlot x^ + y^, x^ - y^ 4, wykres konturowy {x, -, }, {y, -, }, Axes osie y, pra AxesLabel {"x", "y"} oznaczenia osi 0 x (* Zadanie 6 z zestawu nr : Jaką figurę geometryczną wyznacza na płaszczyźnie xy układ nierówności: *x+y 4, (x+4) y, y -? *)
9 NOF_.nb 9 RegionPlot * x + y 4 && (x + 4) y && y -, {x, -7, 3}, y, -3, 3 wykres regionu na płaszczyźnie (* Zadanie 4 z zestawu nr 4: Dana jest funkcja f(x)= *x-3. Narysować wykresy funkcji f(x), f(x) -, f x+, f(-x),-f(x), -f(-x), f(x), f *x, f x, f^ - (x), f(x) *) Clear[f, x]; wyczyść f[x_] := * x - 3 sol = Solve[f[x] y, x] rozwiąż równanie x 3 + y ClearAll[g, y]; wyczyść wszystko g[y_] := x /. sol[[]] g[y] 3 + y
10 0 NOF_.nb Plot f[x], f[x] -, f[x + ], f[-x], -f[x], -f[-x], Abs[f[x]], f[ * x], f x, g[x], wykres wartość bezwzględna {x, -, }, PlotLegends "f(x)", "f(x)-", "f(x+)", "f(-x)", legenda dla grafik "-f(x)", "-f(-x)", " f(x) ", "f(x)", "f(/x)", "f - (x)" 5 f(x) f(x)- f(x+) f(-x) -f(x) -f(-x) f(x) f(x) f(/x) f - (x) Granice ciągów i funkcji (* Przykład "zwykłej" definicji ciągu *) a[n_] := n! n^ + Table[a[n], {n,, }] tabela, 5, 3 5, 4 7, 60 3, 70 37, 504 ClearAll[a] wyczyść wszystk 5, ,, 4 (* Rekurencyjna definicja ciągu Fibonacciego *) a[] = a[] = ; a[n_] := a[n - ] + a[n - ]; a[3] Table[a[n], {n,, 5}] tabela , 0 {,,, 3, 5, 8, 3,, 34, 55, 89, 44, 33, 377, 60} , ClearAll[a] wyczyść wszystko (* Mathematica potrafi rozpoznać, z jakim ciągiem mamy do czynienia *) RSolve[{a[] ==, a[] ==, a[n] == a[n - ] + a[n - ]}, a[n], n] rozwiąż równania rekurencyjne {{a[n] Fibonacci[n]}}
11 NOF_.nb Granice ciągów (przy n ) (* Dzięki programowi Mathematica mamy szansę lepiej zrozumieć definicje *) (* Mozemy sprawdzic z definicji, ze ponizszych ciagow wynosi zero *) (* Poniżej obrazek z serwisu *) g = 0; Simplify Reduce Abs n - g < epsilon, n, Reals, n > 0 && epsilon > 0 uprość zredukuj wartość bezwzględna liczby rzeczywiste epsilon n > (* czyli n > epsilon *) g = 0; wn = Simplify Reduce Abs n^ + n - g < epsilon, n, Reals, uprość zredukuj wartość bezwzględna liczby rzec n > 0 && epsilon > 0 && epsilon < + n > 4 + epsilon epsilon (* czyli n > 4+epsilon epsilon - *) g = 0; Simplify[ Reduce[ Abs[^(-n) - g] < epsilon, n, Reals], n > 0 && epsilon > 0 && epsilon < ] uprość zredukuj wartość bezwzględna liczby rzeczywiste n Log[] + Log[epsilon] > 0 (* czyli n > -Log[epsilon] Log[] *) logarytm logarytm g = 3; Simplify Reduce Abs 3 * n^ + n - n^ + 5 n + - g < epsilon, n, Reals, uprość zredukuj wartość bezwzględna liczby rzec n > 0 && epsilon > 0 && epsilon < epsilon 5 + n > epsilon + 7 epsilon
12 NOF_.nb epsilon = 000; soln0 = N Solve epsilon 5 + n == epsilon + 7 epsilon, n ; rozwiąż równanie n0 = Ceiling[n /. soln0[[]]]; sufit Plot 3 * n^ + n - n^ + 5 n +, 3, 3 + epsilon, 3 - epsilon, wykres {n, n0-000, n }, PlotRange 3 - epsilon * 0, 3 + epsilon * 0 zakres wykresu (* Pewne BARDZO znane granice *) Limit + n ^n, n e Infinity (* To nie jest "zwykłe" e, ale liczba Eulera, w Mathematice oznaczane przez E albo specjalne, pogrubione e *) liczba Eulera Limit - n ^n, n e (* Wzór Stirlinga *) Infinity Limit n! * E^n n^n * Sqrt[ * Pi * n], n liczba Eulera pierwias pi Infinity Limit 6 * n^ - * n + 3 * n^ + 5 * n -, n Infinity Limit ^n + 3 3^n +, n Infinity 0
13 NOF_.nb 3 Limit Sin[n!] n +, n Infinity sinus 0 Limit Sum[ * i -, {i,, n}] n +, n Infinity sumowanie Limit Sum[i, {i,, n}] n^, n Infinity sumowanie Limit n^ + n * n^ - 5 * n -, n Infinity 3 Granice funkcji (* Na początek ostrzeżenie *) Plot Exp - x, {x, -, }, wyk funkcja eksponencjalna f(x) 0 PlotRange {-, 0}, zakres wykresu AxesLabel {"x", "f(x)"} oznaczenia osi x - Limit Exp - x, x 0 funkcja eksponencjalna 0 (* To nie jest poprawna odpowiedź, bo 0 jest granicą prawostronną, a jako taka nie istnieje! *) (* W przypadkach wątpliwych warto narysować funkcję i sprawdzić jawnie granicę prawostronną... *) Limit Exp - x, x 0, Direction - funkcja eksponencjalna kierunek 0 (* oraz lewostronną: *)
14 4 NOF_.nb Limit Exp - x, x 0, Direction funkcja eksponencjalna kierunek (* Granice z funkcji wymiernych *) Limit[-5 * x^ - 3 * x +, x -Infinity] - Limit[-3 * x^ * Sqrt[5 * x^ + 7], x Infinity] pierwiastek kwadratowy - Limit -5 * x^5 + 3 * x x^ -, x -Infinity Limit x^4 - x -, x 4 Limit x^ - 4 * x + 3 x - 3, x 3 Limit x^3 + ^ 4 + x^4 + ^ 3, x Infinity Limit Sin[x] x, x 0 sinus Limit Cos[x] x * Sin[x], x 0 cosinus sinus Limit Sqrt[x] - x -, x pierwiastek kwadratowy Limit 5 * x^4 - * x^ * x^3 - x^4, x Infinity -5 Limit x - - (x + 6) x^ - 4, x 4
15 NOF_.nb 5 Ostrożność jest wymagana w przypadku funkcji wielu zmiennych Przykład: g(x,y)= x y x +y limit = Limit Limit x * y^ x^ + y^, y limit = Limit Limit x * y^ x^ + y^, x 0 Infinity, x ść Infinity, y ść Infinity Infinity Granica nie powinna zależeć od drogi, po której zmierzamy do punktu (x0,y0) w płaszczyźnie XY! Szeregi liczbowe Zbieżność szeregu liczbowego: czy sumy n i= a i istnieje przy n? (* Szereg harmoniczny jest rozbieżny *) SumConvergence n, n zbieżność sumy False (* ale taki naprzemienny szereg jest już zbieżny *) SumConvergence - ^n n, n zbieżność sumy (* i Mathematica zna sumę tego szeregu: *) Sum - ^n n, {n,, Infinity} sumowanie ść -Log[] SumConvergence n^, n zbieżność sumy Sum n^, {n,, Infinity} sumowanie ść π 6 (* Bardziej ogólny wynik dla szeregu n^alpha: dostaniemy warunek, kiedy szereg jest zbieżny *)
16 6 NOF_.nb SumConvergence n^alpha, n zbieżność sumy Re[alpha] > Simplify Sum n^alpha, {n,, Infinity}, Re[alpha] > uprość sumowanie ść część rzeczywista Zeta[alpha]? Zeta Zeta[s] gives the Riemann zeta function ζ(s). Zeta[s, a] gives the generalized Riemann zeta function ζ(s, a). (* Znany wynik dla szeregu geometrycznego *) SumConvergence[q^ n, n] zbieżność sumy Abs[q] < Simplify[ Sum[q^n, {n,, Infinity}], Abs[q] < ] uprość sumowanie ść wartość bezwzg q q Pochodne Pochodna funkcji f(x) w punkcie x0 (
17 NOF_.nb 7 (* Używając w programie Mathematica komendy D,musimy zawsze wskazać, oblicz pochodną po czym różniczkujemy, nawet jeśli nam wydaje się to zupełnie oczywiste! *) h = a * x^6 a x 6 D[h, x] oblicz pochodną 6 a x 5 D[h, a] oblicz pochodną x 6 (* pochodne wyższych rzędów *) D[h, {x, 4}] oblicz pochodną 360 a x w[x_] := x^3 x^ + w'[x] x x + x + x w''[x] 8 x 5 + x 3-4 x3 + x + Simplify[w''[x]] uprość - x -3 + x + x 3 (* i tak dalej... *) Simplify[w''''''[x]] uprość 6 x + x - 70 x x - x 4 + x 6 + x 7 Simplify[ D[w[x], {x, 6}]] uprość oblicz pochodną - 70 x x - x 4 + x 6 + x 7
18 8 NOF_.nb D[ Sqrt[ * x], x] pierwiastek kwadrato x D[ Sin[x] * Cos[x], x] sinus cosinus Cos[x] - Sin[x] D Sin[ * x] ^5, x ob sinus 0 Cos[ x] Sin[ x] 4 D[ Exp[7 * x + 3], x] funkcja eksponencjalna 7 e 3+7 x D[ Tan[x], x] tangens Sec[x] In[4]:= (* Sec[x] to Cos[x] *) secans cosinus In[3]:= Out[3]= Sec[x] === Cos[x] secans cosinus In[5]:= Out[5]= D[ Tan[x], x] === Cos[x] ^ tangens cosinus D[x^x, x] oblicz pochodną x x + Log[x] (* Mathematica zna też ogólniejsze twierdzenia o pochodnych, na przykład o pochodnej iloczynu... *) D[f[x] * f[x], x] oblicz pochodną f[x] f [x] + f[x] f [x] (* lub ilorazu *) Factor D f[x] f[x], x rozłóż oblicz pochodną f[x] f [x] - f[x] f [x] f[x]
19 NOF_.nb 9 (* Równaniami różniczkowymi będziemy się zajmować bardziej szczegółowo na jednym z kolejnych wykładów; teraz sprawdźmy, że funkcja x[t]= A* Cos Sqrt k m *t + co pierwiastek kwadratowy B* Sin Sqrt k m *t jest rozwiązaniem równania m*x''[t]+k*x[t]=0 *) si pierwiastek kwadratowy Clear[x, A, B, k, m] wyczyść x[t_] := A * Cos Sqrt k m * t + B * Sin Sqrt k m * t co pierwiastek kwadratowy si pierwiastek kwadrato Simplify[m * x''[t] + k * x[t] == 0] uprość (* Weźmy funkcję wielu zmiennych *) v = Sin[x + y] * Cos[x - * z] sinus cosinus Cos[x - z] Sin[x + y] D[v, x] oblicz pochodną Cos[x + y] Cos[x - z] - Sin[x + y] Sin[x - z] D[v, y] oblicz pochodną Cos[x + y] Cos[x - z] D[v, z] oblicz pochodną Sin[x + y] Sin[x - z] (* pochodna po x i y *) D[v, x, y] oblicz pochodną -Cos[x - z] Sin[x + y] - Cos[x + y] Sin[x - z] (* rozwinięcie w szereg *) Series[ Sin[x], {x, 0, 5}] szereg sinus x - x3 6 + x5 0 + O[x]6 Series[ Cos[x], {x, 0, 7}] szereg cosinus - x + x4 4 - x O[x]8
20 0 NOF_.nb Plot Cos[x], - x^ + x^4 4 - x^6 70, {x, 0, 3} wykres cosinus Jedno z wielu zastosowań pochodnych: równania stycznych do wykresu funkcji (* Styczna do paraboli y=x^ o równaniu y = a*x + b *) Clear[f, x]; wyczyść f[x_] = x^ x df = x D[f[x], x] oblicz pochodn x0 = 3; (* Współczynnik kierunkowy prostej jest równy pochodnej w punkce x0 *) a = df /. x x0 6 (* Współczynnik b dostajemy z warunku, ze prosta musi przechodzić przez punkt x0,f x0 *) solb = {{b -9}} Solve[a * x0 + b f[x0], b] rozwiąż równanie b = b /. solb[[]] -9
21 NOF_.nb Plot[{f[x], a * x + b, f[x0]}, {x, x0-3, x0 + 3}, PlotRange wykres zakres wykresu x^ All, ws AxesLabel {"x", "x^"}] oznaczenia osi x -0 Clear[a, b, x0]; wyczyść (* Styczna do elipsy *) A = ; B = ; ContourPlot x^ A^ + y^ B^, {x, -A, A}, wykres konturowy {y, -B, B}, Axes osie, pra AxesLabel {"x", "y"}, oznaczenia osi AspectRatio format obrazu.0 y x Clear[A, B]; wyczyść elipsa = x^ A^ + y^ B^ x A + y B (* Dla ustalonego x szukamy y *) soly = Solve[elipsa, y] rozwiąż równanie y - B A - x A, y B A - x A
22 NOF_.nb (* Rózniczkuje rownanie elipsy. Dzieki opcji y moge wyliczyc pochodna dy dx! *) delipsa = x A D[elipsa, x, NonConstants y] oblicz pochodną nie stałe y D[y, x, NonConstants {y}] + 0 B Solve[delipsa, rozwiąż równanie D[y, x, oblicz NonConstants {y}]] nie stałe D[y, x, NonConstants {y}] - B x A y NonConstants nie stałe (* Równanie prostej, która przechodzi przez punkt x0,y0 i ma współczynnik kierunkowy a, ma postac: y-y0 = a* x - x0 *) h = Together y - y0 + B x0 x - x0 0 zgrupuj A y0 B x x0 - B x0 + A y y0 - A y0 A y0 0 h = Simplify[h, A > 0 && y0 0] uprość y + B x - x0 x0 A y0 y0 (* Musimy jeszcze uwzglednic fakt, ze punkt x0,y0 nalezy do elipsy, czyli spelnia rownanie elipsy *) h3 = Expand[h] rozszerz y + B x x0 A y0 B x0 - A y0 y0 styczna[x0_, y0_] = h3 /. B^ * x0^ + A^ * y0^ A^ * B^ y + B x x0 A y0 B x0 - A y0 y0 (* Czesciej uzywana forma *) styczna[x0_, y0_] = x0 * x A^ + y0 * y B^ x x0 A + y y0 B (* Przykład *) A = ; B = ; x0 = ;
23 NOF_.nb 3 soly y x, y 4 - x solyx0 = soly /. x x0 y - 3, y 3 y0 = {y /. solyx0[[]], y /. solyx0[[]]} - 3, 3 styczna[x0, y0[[]]] x 4-3 y styczna[x0, y0[[]]] x y A = ; B = ; ContourPlot x^ A^ + y^ B^, x wykres konturowy y, x 4-3 y, {x, - * A, * A}, {y, - * B, * B}, Axes osie, pra AxesLabel {"x", "y"}, oznaczenia osi AspectRatio format obrazu y 0 x Badanie przebiegu zmienności funkcji (* Zadanie domowe nr 3 z zestawu nr 5: zbadać przebieg zmienności funkcji f(x)= x^+ x+ *) ClearAll[f, x, y]; wyczyść wszystko
24 4 NOF_.nb f[x_] = x^ + x + + x + x (* Dziedzina funkcji *) Df = FunctionDomain[f[x], x, Reals] dziedzina funkcji liczby rze x < - x > - (* Dziedzina funkcji jest w danym przypadku oczywista *) Simplify[ Reduce[ + x 0, x, Reals]] uprość zredukuj liczby rzecz + x 0 (* Przeciwdziedzina zbiór wartości funkcji: uwaga na składnię! *) Rf = FunctionRange[f[x], x, y] zakres funkcji y y (* To już nie było takie oczywiste! *) (* Granice w minus i plus ści *) g = Limit[f[x], x -> -Infinity] - g = Limit[f[x], x -> Infinity] (* Funkcja nie ma więc asymptot poziomych *) (* Granica lewostronna i prawostronna przy x - *) g3 = - Limit[f[x], x -, Direction ] kierunek g4 = Limit[f[x], x -, Direction -] kierunek (* Czy funkcja jest parzysta? *) FullSimplify[ ForAll[x, Df, f[x] f[-x]]] uprość pełniej kwantyfikator ogólny False (* Czy funkcja jest nieparzysta? *)
25 NOF_.nb 5 FullSimplify[ ForAll[x, Df, f[-x] -f[x]]] uprość pełniej kwantyfikator ogólny False (* pierwsza pochodna *) df = Simplify[ D[f[x], x]] uprość oblicz pochodną - + x + x + x (* Dla jakich x pochodna jest ujemna? *) FullSimplify[ Reduce[df < 0, x, Reals]] uprość pełniej zredukuj liczby rzecz x > 0 && + x < 0 - < x < (* Funkcja jest malejąca dla -- 3 < x < - oraz gdy - < x < -+ 3 *) (* Dla jakich x pochodna jest dodatnia? *) FullSimplify[ Reduce[df > 0, x, Reals]] uprość pełniej zredukuj liczby rzecz x < 0 + x > 3 (* Funkcja jest rosnąca dla x < -- 3 oraz dla x > 3 - *) (* Dla jakich x pochodna przyjmuje wartosc zero? *) sdfzero = Solve[df 0, x] rozwiąż równanie x - - 3, x (* Lista punktów x, dla których pierwsza pochodna przyjmuje wartość zero *) zerapoch = x /. sdfzero - - 3, N[zerapoch = x /. sdfzero] przybliżenie numeryczne {-.7305, } (* Po uproszczeniu wartości funkcji w tych punktach *) FullSimplify[f[zerapoch]] uprość pełniej - + 3, N[ FullSimplify[f[zerapoch]]] uprość pełniej { ,.464}
26 6 NOF_.nb df = Simplify[ D[df, x]] uprość oblicz pochodn 6 + x 3 (* Dla jakich x druga pochodna jest ujemna? *) FullSimplify[ Reduce[df < 0, x, Reals]] uprość pełniej zredukuj liczby rzecz x < - (* Funkcja jest wklęsła dla x < - *) (* Dla jakich x druga pochodna jest dodatnia? *) FullSimplify[ Reduce[df > 0, x, Reals]] uprość pełniej zredukuj liczby rzecz x > - (* Funkcja jest wypukła dla x > - *) (* Dla jakich x druga pochodna przyjmuje wartosc zero? *) sdfzero = {} Solve[df 0, x] rozwiąż równanie (* Funkcja nie ma punktów przegięcia *) (* Wartości drugiej pochodnej dla miejsc zerowych pierwszej pochodnej *) zerapoch - - 3, wartoscipoch = df /. sdfzero - 3, 3 (* Dlatego f(x) ma w punkcie -- 3,- 3 maksimum lokalne, a w punkcie -+ 3, 3 minimum lokalne *) (* Na koniec sprawdzimy jeszcze, czy istnieją asympoty ukośne *) a = Limit f[x] x, x -Infinity
27 NOF_.nb 7 b = Limit[f[x] - a * x, x -Infinity] a = Limit f[x] x, x Infinity b = - Limit[f[x] - a * x, x Infinity] (* Prosta o równaniu y=x- jest asymptotą ukośną zarówno dla x -, jak i dla x *) (* Wykres funkcji wraz z asymptotami *) Plot[{f[x], a * x + b}, {x, -4, 3}, AxesLabel {"x", "f(x)"}] wykres oznaczenia osi f(x) x Całka nieoznaczona Integrate[x^ a, x] całka x +a + a Integrate x, x całka Log[x]
28 8 NOF_.nb Integrate Sqrt (x + 7) x +, x całka pierwiastek kwadratowy 7 + x 7 + x + x + x 7 + x x ArcSinh + x x Simplify D uprość oblicz 7 pochodną + x + x + x 7 + x x ArcSinh + x, x arcus sinus hiperboliczny x + x Integrate[ Cos[x], x] całka cosinus Sin[x] Integrate[ Sin[x], x] całka sinus -Cos[x] Integrate[ Tan[x], x] całka tangens -Log[Cos[x]] Integrate[ Cot[x], x] całka cotangens Log[Sin[x]] Integrate Sin[x] * Cos[x] Sin[x] ^4 + Cos[x] ^, x całka sinus cosinus sinus cosinus - 3 ArcTan - Tan[x] + ArcTan + Tan[x] 3 3 Integrate[ Exp[x], x] całka funkcja ekspon e x Integrate x^3 x^ +, x całka x - Log + x Integrate[ Sqrt[ + x^], x] całka pierwiastek kwadratowy x + x + ArcSinh[x] Integrate[ Sqrt[ - x^], x] całka pierwiastek kwadratowy x - x + ArcSin[x]
29 NOF_.nb 9 Integrate[ Sqrt[x^ - ], x] całka pierwiastek kwadratowy x - + x - Log x x Integrate Sqrt[ + x^], x całka pierwiastek kwadratowy ArcSinh[x] ArcSinh[x] dx arcus sinus hiperbo - + x + x ArcSinh[x] Integrate Sqrt[ - x^], x całka pierwiastek kwadratowy ArcSin[x] Integrate Sqrt[x^ - ], x całka pierwiastek kwadratowy Log x x Log x + logarytm - + x dx x + x Log x x x + x Log x x dx logarytm x - + x + 4 Log x x + x Log x x x - + x + Log x + 4 logarytm - + x + x Log x x dx logarytm x x x 3/ + 3 x 3 + x Log x x (* Czasem trzeba zachować ostrożność, bo Mathematica lubi używać zespolonego rachunku, a my oczekujemy funkcji rzeczywistej *) Integrate Cos[x] + Sin[x] ^ + Cos[x] ^3, x całka cosinus sinus cosinus i - i ArcTan - i Tan x i + i ArcTan + i Tan x - 5 Tan x (* Oczywiście nie powinniśmy żądać rzeczy niemożliwych: niektóre całki nie wyrażają się przez funkcje elementarne *)
30 30 NOF_.nb Integrate[ Exp[-x^], x] całka funkcja eksponencja π Erf[x] e-x dx π Erf[x] x π Erf[x] funkcja błęd e -x Cos[x] dx x CosIntegral[x] Sin[x] dx x SinIntegral[x] Całka oznaczona Całka oznaczona w przypadku funkcji jednej zmiennej a b f (x) dx (rysunek ze strony
31 NOF_.nb 3 Jeśli F (x) = f(x), to a b f (x) dx = F(b) - F(a) Plot[x, {x,, 3}, wykres 3.0 x AxesLabel {"x", "x"}, oznaczenia osi Filling wypełnienie Axis] oś x PoleTrapezu = * 3 + * 3-4 Integrate[x, x] całka x
32 3 NOF_.nb CalkaOznaczona = 4 x /. x 3 - x /. x Plot[ Sin[x], {x, 0, wyk sinus sin(x).0 Pi}, pi AxesLabel {"x", "sin(x)"}, oznaczenia osi Filling wypełnienie Axis] oś x Integrate[ Sin[x], {x, 0, Pi}] całka sinus pi WAŻNA UWAGA PRAKTYCZNA: W wielu przypadkach opłaca się policzyć najpierw całkę nieoznaczoną, a następnie przy jej pomocy całkę oznaczoną! (* Poniższa instrukcja byłaby wykonywana bardzo dłuuuugo: *) (* L/v Simplify 0 uprość v + alpha+ beta t v dt,v>0&&alpha>0&&beta>0&&l>0 *) L (* Dlatego zrobimy tak: *) s0 = Simplify v beta t v + alpha + uprość L dt, v > 0 && alpha > 0 && beta > 0 && L > 0 beta t v L alpha + beta v L v + beta t v alpha + L + v beta t v Log alpha + + v beta t v + alpha + L L (* A następnie: *)
33 NOF_.nb 33 s = Simplify s0 /. t L v - s0 /. t 0 uprość beta v L -alpha alpha + v + alpha + beta alpha + beta + v - v Log alpha + alpha + v + v Log alpha + beta + alpha + beta + v (* Pole koła o promieniu r *) r = ; RegionPlot[x^ + y^ r^, {x, -r, r}, {y, -r, r}, wykres regionu na płaszczyźnie y Axes osie, pra AxesLabel {"x", "y"}] oznaczenia osi 0 x (* To samo przy pomocy innej instrukcji i innych opcji *)
34 34 NOF_.nb r = ; Plot[{-Sqrt[r^ - x^], Sqrt[r^ - x^]}, {x, -r, r}, wykres pierwiastek kwadrat pierwiastek kwadratowy AspectRatio, format obrazu Frame ramka, pra y Filling { {}}, wypełnienie AxesLabel {"x", "y"}] oznaczenia osi 0 x r =.; Simplify[ * Integrate[ Sqrt[r^ - x^], {x, -r, r}], r > 0] uprość całka pierwiastek kwadratowy π r (* Kilka badzo ważnych całek niewłaściwych *) Plot[ Exp[-x^], {x, -4, 4}, PlotRange wyk funkcja eksponencjalna zakres wykresu.0 All, ws Filling wypełnienie Axis] oś Integrate[ Exp[-x^], {x, -Infinity, Infinity}] całka funkcja eksponencja nieskończ ść π
35 NOF_.nb 35 a = ; Plot[ Exp[-a * x], {x, 0, 4}, PlotRange wyk funkcja eksponencjalna zakres wykresu All, ws Filling wypełnienie Axis] oś a =.; Simplify[ Integrate[ Exp[-a * x], {x, 0, Infinity}], a > 0] uprość całka funkcja eksponencjalna ść a f[x_] = Max Sin[x] x, 0 ; m sinus f[x_] = Min Sin[x] x, 0 ; mi sinus Plot[{f[x], f[x]}, {x, -5, 5}, PlotRange All, wykres zakres wykresu wszys Filling wypełnienie Axis, oś AxesLabel {"x", "sin(x)/x"}] oznaczenia osi sin(x)/x x -0. Integrate Sin[x] x, {x, -Infinity, Infinity} całka sinus nieskończ ść π Clear[f, f]; wyczyść f[x_] = Max[ Sin[x^], 0]; m sinus
36 36 NOF_.nb f[x_] = Min[ Sin[x^], 0]; mi sinus Plot[{f[x], f[x]}, {x, -4, 4}, PlotRange All, wykres zakres wykresu wszys Filling wypełnienie Axis, oś AxesLabel {"x", "sin(x^)"}] oznaczenia osi sin(x^) x Integrate[ Sin[x^], {x, -Infinity, Infinity}] całka sinus nieskończ ść π Integrate[ Cos[x^], {x, -Infinity, Infinity}] całka cosinus nieskończ ść π (* Objętość pod wykresem funkcji dwóch zmiennych wymaga podwójnej całki oznaczonej *) Plot3D[x^ + * y, {x, 0, 3}, {y, 0, 5}, AxesLabel {"x", "y", "f(x,y)"}] wykres trójwymiarowy oznaczenia osi
37 NOF_.nb 37 Integrate[x^ + * y, {x, 0, 3}, {y, 0, 5}] całka 0 (* Policzmy teraz objętość kuli, czyli podwojoną objętość półkuli o promieniu r, używając współrzednych kartezjańskich *) Clear[r]; wyczyść * Integrate [ Sqrt[r^ - x^ - y^], {x, -r, r}, {y, - Sqrt[r^ - x^], Sqrt[r^ - x^]}] całka pierwiastek kwadratowy pierwiastek kwadrat pierwiastek kwadratowy 4 π r 3 3 (* Kula jest kostką we współrzędnych sferycznych i trójwymiarowa całka oznaczona po rp, theta i phi ma bardzo proste granice *) Integrate[rp^ * Sin[theta], {rp, 0, r}, {theta, 0, Pi}, {phi, 0, * Pi}] całka sinus pi pi 4 π r 3 3 Inne zastosowania całek oznaczonych w fizyce i technice poznacie Państwo niebawem!
Rachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowo1 Funkcje elementarne
1 Funkcje elementarne Funkcje elementarne, które będziemy rozważać to: x a, a x, log a (x), sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), arcsin(x), arccos(x), arctan(x), arc ctg(x). 1.1 Funkcje x a. a > 0, oraz a N
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowoFunkcje Andrzej Musielak 1. Funkcje
Funkcje Andrzej Musielak 1 Funkcje Funkcja liniowa Funkcja liniowa jest postaci f(x) = a x + b, gdzie a, b R Wartość a to tangens nachylenia wykresu do osi Ox, natomiast b to wartość funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowoWYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA1, lista zadań 1
WYDZIAŁ INFORMATYKI I ZARZĄDZANIA, studia niestacjonarne ANALIZA MATEMATYCZNA, lista zadań. Dla podanych ciągów napisać wzory określające wskazane wyrazy tych ciągów: a) a n = n 3n +, a n+, b) b n = 3
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowoZestaw 4. Rozdział 2: Analiza matematyczna
Zestaw 4. Rozdział 1: Wykresy Do tworzenia wykresów funkcji jednej zmiennej służą następujące funkcje: Plot[f[x],{x,a,b}] - zwykły wykres ParametricPlot[{x[t],y[t]},{t,a,b}] - wykres krzywej danej wzorem
Bardziej szczegółowoKURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale
Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy
Bardziej szczegółowo< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia:
Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 Zdania logiczne Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory Ocenić wartość logiczną zdania (odpowiedź uzasadnić): < Nieprawda, że
Bardziej szczegółowo1. Równania i nierówności liniowe
Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 2 zadania z odpowiedziami
Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści I Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju II Całki niewłaściwe drugiego rodzaju 5 III Szeregi liczbowe 6 IV Szeregi potęgowe
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),
ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j
Bardziej szczegółowoFunkcja f jest ograniczona, jeśli jest ona ograniczona z
FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ. PODSTAWOWE POJĘCIA. PODSTAWOWE FUNKCJE ELEMENTARNE R - zbiór liczb rzeczywistych, D R, P R Definicja. Jeżeli każdemu elementowi ze zbioru D jest przyporządkowany dokładnie jeden
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI
WYMAGANIA WSTĘPNE Z MATEMATYKI Wydział Informatyki, Elektroniki i Telekomunikacji Akademia Górniczo-Hutnicza im. Stanisława Staszica w Krakowie I. ZBIORY I.1. Działania na zbiorach I.2. Relacje między
Bardziej szczegółowo1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia
1 Funkcje dwóch zmiennych podstawowe pojęcia Definicja 1 Funkcją dwóch zmiennych określoną na zbiorze A R 2 o wartościach w zbiorze R nazywamy przyporządkowanie każdemu punktowi ze zbioru A dokładnie jednej
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowoPodstawy nauk przyrodniczych Matematyka Wstęp
Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Wstęp Katarzyna Kluzek i Adrian Silesian Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 58 33 adrian.silesian@amu.edu.pl katarzyna.kluzek@amu.edu.pl Pokój 1.117
Bardziej szczegółowo(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008
Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5
Bardziej szczegółowoPojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze
Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze I. Funkcja i jej własności POZIOM PODSTAWOWY Pojęcie
Bardziej szczegółowo1 Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne.
Wyrażenia potęgowe i logarytmiczne. I. Wyrażenia potęgowe (wykładnik całkowity). Dla a R, n N mamy a = a, a n = a n a. Zatem a n = } a a {{... a}. n razy Przyjmujemy ponadto, że a =, a. Dla a R \{}, n
Bardziej szczegółowo7. Funkcje elementarne i ich własności.
Misztal Aleksandra, Herman Monika 7. Funkcje elementarne i ich własności. Definicja funkcji elementarnej Podstawowymi funkcjami elementarnymi nazywamy funkcje: stałe potęgowe, np. wykładnicze logarytmiczne
Bardziej szczegółowo10 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji.
0 zadań związanych z granicą i pochodną funkcji Znajdź przedziały monotoniczności funkcji f() 4, określonej dla (0,) W przedziale ( 0,) wyrażenie 4 przyjmuje wartości ujemne, dlatego dla (0,) funkcja f()
Bardziej szczegółowoFunkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania 1. Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:
Funkcja jednej zmiennej - przykładowe rozwiązania Zadanie 4 c) Badając przebieg zmienności funkcji postępujemy według poniższego schematu:. Analiza funkcji: (a) Wyznaczenie dziedziny funkcji (b) Obliczenie
Bardziej szczegółowoRepetytorium z matematyki ćwiczenia
Spis treści 1 Liczby rzeczywiste 1 2 Geometria analityczna. Prosta w układzie kartezjańskim Oxy 4 3 Krzywe drugiego stopnia na płaszczyźnie kartezjańskiej 6 4 Dziedzina i wartości funkcji 8 5 Funkcja liniowa
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA 2 zadania z odpowiedziami
ANALIZA MATEMATYCZNA zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Całki niewłaściwe pierwszego rodzaju Całki niewłaściwe drugiego rodzaju Szeregi liczbowe 4 4 Szeregi potęgowe 5 5
Bardziej szczegółowoJolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r.
Jolanta Pająk Wymagania edukacyjne matematyka w zakresie rozszerzonym w klasie 2f 2018/2019r. Ocena dopuszczająca: Temat lekcji Stopień i współczynniki wielomianu Dodawanie i odejmowanie wielomianów Mnożenie
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski
Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x
WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania
Bardziej szczegółowoKurs Start plus poziom zaawansowany, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.
Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus poziom zaawansowany,
Bardziej szczegółowoSin[Pi / 4] Log[2, 1024] Prime[10]
In[1]:= (* WSTĘP DO PAKIETU MATHEMATICA *) (* autorzy: Łukasz Płociniczak,Marek Teuerle*) (* Składnia: nazwy funkcji z wielkiej litery a argumenty w kwadratowych nawiasach. Wywołujemy wartość SHIFT+ENTER
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15
Bardziej szczegółowoZagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony
Zagadnienia do małej matury z matematyki klasa II Poziom podstawowy i rozszerzony Uczeń realizujący zakres rozszerzony powinien również spełniać wszystkie wymagania w zakresie poziomu podstawowego. Zakres
Bardziej szczegółowoKLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń)
KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń) Treści nauczania wymagania szczegółowe: ZAKRES PODSTAWOWY: 1) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x), y = c f(x), y =
Bardziej szczegółowoProjekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zajęcia 1 Pewne funkcje - funkcja liniowa dla gdzie -funkcja kwadratowa dla gdzie postać kanoniczna postać iloczynowa gdzie równanie kwadratowe pierwiastki równania kwadratowego: dla dla wzory Viete a
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101 MAP1067
1 Analiza Matematyczna MAEW101 MAP1067 Wydział Elektroniki Przykłady do Listy Zadań nr 14 Funkcje wielu zmiennych. Płaszczyzna styczna. Ekstrema Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Przykłady do zadania
Bardziej szczegółowoLista zadań nr 2 z Matematyki II
Lista zadań nr 2 z Matematyki II dla studentów wydziału Architektury, kierunku Gospodarka Przestrzenna. Wyznaczyć dziedzinę funkcji f(x, y) = ln(4 x 2 y 2 ), f(x, y) = x 2 + y 2, f(x, y) = ln(4 x 2 y 2
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka 1. Efekty kształcenia. Literatura. Warunki zaliczenia. Ogólne własności funkcji. Definicja 1. Funkcje elementarne.
Treści programowe Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2016/17
41. Niech z = 5 + 4i. Dla podanych liczb m, n podać taką liczbę całkowitą k, aby 5 zachodziła równość z m z n =z k. Uwaga na sprzężenie w drugim czynniku po lewej stronie. a) m = 1, n = 1, k = 9 ; b) m
Bardziej szczegółowoKLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości
Bardziej szczegółowoMatematyka i Statystyka w Finansach. Rachunek Różniczkowy
Rachunek Różniczkowy Ciąg liczbowy Link Ciągiem liczbowym nieskończonym nazywamy każdą funkcję a która odwzorowuje zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R a : N R. Tradycyjnie wartość a(n)
Bardziej szczegółowoWykład 5. Informatyka Stosowana. 6 listopada Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada / 28
Wykład 5 Informatyka Stosowana 6 listopada 2017 Informatyka Stosowana Wykład 5 6 listopada 2017 1 / 28 Definicja (Funkcja odwrotna) Niech f : X Y będzie różnowartościowa na swojej dziedzinie. Funkcja odwrotna
Bardziej szczegółowoEgzamin podstawowy (wersja przykładowa), 2014
Egzamin podstawowy (wersja przykładowa), Analiza Matematyczna I W rozwiązaniach prosimy formułować lub nazywać wykorzystywane twierdzenia, przytaczać stosowane wzory, uzasadniać wyciągane wnioski oraz
Bardziej szczegółowoNa podstawie informacji zdobytych na poprzednich zajęciach proszę wykonać następujące zadania:
Informatyka. I. Przypomnienie wiadomości z poprzednich zajęć: Na podstawie informacji zdobytych na poprzednich zajęciach proszę wykonać następujące zadania: 1. Proszę wygenerować wykresy funkcji sinus
Bardziej szczegółowoWykład 11. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 18 grudnia Magdalena Alama-Bućko Wykład grudnia / 22
Wykład 11 Informatyka Stosowana Magdalena Alama-Bućko 18 grudnia 2017 Magdalena Alama-Bućko Wykład 11 18 grudnia 2017 1 / 22 Twierdzenie Granica lim f (x) x x 0 istnieje i wynosi a wtedy i tylko wtedy,
Bardziej szczegółowoBAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA
BAZA ZADAŃ KLASA 2 TECHNIKUM FUNKCJA KWADRATOWA 1. Podaj zbiór wartości i monotoniczność funkcji: b) c) j) k) l) wskazówka: - oblicz wierzchołek (bez miejsc zerowych!) i naszkicuj wykres (zwróć uwagę na
Bardziej szczegółowo2) R stosuje w obliczeniach wzór na logarytm potęgi oraz wzór na zamianę podstawy logarytmu.
ZAKRES ROZSZERZONY 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: 1) przedstawia liczby rzeczywiste w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego, ułamka dziesiętnego okresowego, z użyciem symboli pierwiastków, potęg); 2)
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne
Bardziej szczegółowo6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)
PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ.
ROZKŁAD MATERIAŁU DO II KLASY LICEUM (ZAKRES ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ. LICZBA TEMAT GODZIN LEKCYJNYCH Potęgi, pierwiastki i logarytmy (8 h) Potęgi 3 Pierwiastki 3 Potęgi o wykładnikach
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe
MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ). Ciągi liczbowe.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony) liczbom naturalnym.
Bardziej szczegółowoZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol
ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA oprac. I. Gorgol Spis treści. Elementy logiki. Elementy rachunku zbiorów 4. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory. 4 4. Funkcja złożona i odwrotna 6 5. Granica ciągu liczbowego
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Warunki zaliczenia. Literatura. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO
PLAN WYNIKOWY Z MATEMATYKI DLA KLASY IV TECHNIKUM 5 - LETNIEGO Lp. Temat lekcji Umiejętności Podstawowe Ponadpodstawowe I Granica i pochodna funkcji. Uczeń: Uczeń: 1 Powtórzenie wiadomości o granicy ciągu,
Bardziej szczegółowoMatematyka. rok akademicki 2008/2009, semestr zimowy. Konwersatorium 1. Własności funkcji
. Własności funkcji () Wyznaczyć dziedzinę funkcji danej wzorem: y = 2 2 + 5 y = +4 y = 2 + (2) Podać zbiór wartości funkcji: y = 2 3, [2, 5) y = 2 +, [, 4] y =, [3, 6] (3) Stwierdzić, czy dana funkcja
Bardziej szczegółowo2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange
Bardziej szczegółowoElementy logiki (4 godz.)
Elementy logiki (4 godz.) Spójniki zdaniotwórcze, prawa de Morgana. Wyrażenie implikacji za pomocą alternatywy i negacji, zaprzeczenie implikacji. Prawo kontrapozycji. Podstawowe prawa rachunku zdań. Uczestnik
Bardziej szczegółowoOpracowanie: mgr Jerzy Pietraszko
Analiza Matematyczna Opracowanie: mgr Jerzy Pietraszko Zadanie 1. Oblicz pochodną funkcji: (a) f(x) = x xx (b) f(x) = log sin 4 x cos 4 x (c) f(x) = sin sin x log x 2(2x) (d) f(x) = ( tg ( x + π 2 (e)
Bardziej szczegółowoBlok III: Funkcje elementarne. e) y = 1 3 x. f) y = x. g) y = 2x. h) y = 3x. c) y = 3x + 2. d) y = x 3. c) y = x. d) y = x.
Blok III: Funkcje elementarne III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x y = x y = x y = x III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x + y = 4 x III. Znajdź miejsca zerowe funkcji: a) y = 6 x y = x e) y = x f) y
Bardziej szczegółowoW. Krysicki, L.Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach cz. 1 i cz. 2. Pomocnicze symbole. Spójniki logiczne: Symbole kwantyfikatorów:
dr Urszula Konieczna-Spychała Instytut Matematyki i Fizyki UTP imif.utp.edu.pl Literatura: M. Lassak, Matematyka dla studiów technicznych. M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1. M. Gewert, Z.
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW0 Wydział Elektroniki Listy zadań nr -7 (część I) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 005 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowoPodstawy analizy matematycznej II
Podstawy analizy matematycznej II Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań
Bardziej szczegółowoLiteratura podstawowa
1 Wstęp Literatura podstawowa 1. Grażyna Kwiecińska: Matematyka : kurs akademicki dla studentów nauk stosowanych. Cz. 1, Wybrane zagadnienia algebry liniowej, Wydaw. Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk, 2003.
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU
Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Rok szkolny 2018/2019
WYMAGANIA EDUKACYJNE Rok szkolny 2018/2019 Przedmiot Klasa Nauczyciele uczący Poziom matematyka 3e Łukasz Jurczak rozszerzony 6. Ułamki algebraiczne. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne.
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum
Wymagania edukacyjne z matematyki klasa IV technikum Poziom rozszerzony Obowiązują wymagania z zakresu podstawowego oraz dodatkowo: FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje
Bardziej szczegółowoUniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Egzamin wstępny z matematyki
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Egzamin wstępny z matematyki lipca 2006 roku Zestaw I wariant A Czas trwania egzaminu: 240 minut 1. Dane są zbiory liczbowe A = {x; x R x < 2}, B = {x; x R x +
Bardziej szczegółowoPlan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA
Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA Szkoła: Liceum Ogólnokształcące Klasa: pierwsza Poziom nauczania: podstawowy Numer programu: DPN-5002-31/08 Podręcznik: MATEMATYKA Anna Jatczak, Monika Ciołkosz,
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA Kartoteka testu. Maksymalna liczba punktów. Nr zad. Matematyka dla klasy 3 poziom podstawowy
Matematyka dla klasy poziom podstawowy LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA 06 Kartoteka testu Nr zad Wymaganie ogólne. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.. II. Wykorzystanie i interpretowanie
Bardziej szczegółowoCiągi. Granica ciągu i granica funkcji.
Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Ciągi. Granica ciągu i granica funkcji.. Ciągi Ciąg jest to funkcja określona na zbiorze N lub jego podzbiorze. Z tego względu ciągi dziey na
Bardziej szczegółowoFUNKCJA POTĘGOWA, WYKŁADNICZA I LOGARYTMICZNA
FUNKCJA POTĘGOWA, WYKŁADNICZA I LOGARYTMICZNA POTĘGA, DZIAŁANIA NA POTĘGACH Potęga o wykładniku naturalnym. Jest to po prostu pomnożenie przez siebie danej liczby tyle razy ile wynosi wykładnik. Zapisujemy
Bardziej szczegółowoTO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH )
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA TO TRZEBA ROZWIĄZAĆ-(I MNÓSTWO INNYCH ) PAKIET ZADAŃ (zadania wybrano ze zbiorów autorów i wydawnictw: Kiełbasa, Res Polona,
Bardziej szczegółowoLista 1 - Funkcje elementarne
Lista - Funkcje elementarne Naszkicuj wykresy funkcji: a) y = sgn, y = sgn ; b) y = ; c) y = 2 Przedstaw w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji potęgowej y = α dla: a) α =, 2, 3, 4; b) α =,, 2;
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony
MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład
Bardziej szczegółowoPróbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013
Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne
Bardziej szczegółowoFUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006
FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)
Bardziej szczegółowoPrzedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony
Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych klasa druga zakres rozszerzony Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem
Bardziej szczegółowoFunkcje elementarne. Matematyka 1
Funkcje elementarne Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje
Bardziej szczegółowoFunkcje. Alina Gleska. Instytut Matematyki, Wydział Elektryczny, Politechnika Poznańska
Dr Instytut Matematyki, Wydział Elektryczny, Politechnika Poznańska Definicja Funkcja f ze zbioru X w zbiór Y nazywamy relację, która każdemu elementowi x X przyporzadkowuje dokładnie jeden element y Y.
Bardziej szczegółowoTreści programowe. Matematyka. Literatura. Warunki zaliczenia. Funkcje elementarne. Katarzyna Trąbka-Więcław
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcje elementarne. Granica funkcji, własności granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość funkcji. Pochodna funkcji w punkcie i w przedziale, pochodne
Bardziej szczegółowoI. Funkcja liniowa WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES ROZSZERZONY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY DRUGIEJ LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCEGO ZAKRES ROZSZERZONY I. Funkcja liniowa wie, jaką zależność między dwiema wielkościami zmiennymi nazywamy proporcjonalnością
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA. A) B) C) D) Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. A) B) C) D)
FUNKCJA LINIOWA 1. Funkcja jest rosnąca, gdy 2. Wskaż, dla którego funkcja liniowa jest rosnąca Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. 3. Funkcja liniowa A) jest malejąca i jej
Bardziej szczegółowoFUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Wyznaczyć i narysować dziedziny naturalne podanych funkcji: 4 x 2 y 2 ; (b) g(x, y) = e y x 2 1 ; (c) u(x, y) = arc sin xy; (d) v(x, y) = sin(x 2 + y 2 ); (e) w(x, y) = x sin
Bardziej szczegółowoPRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY
PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY Warszawa 2019 LICZBY RZECZYWISTE stosować prawidłowo pojęcie zbioru, podzbioru, zbioru pustego; zapisywać zbiory w różnej postaci
Bardziej szczegółowoPLAN WYNIKOWY PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY
PLAN WYNIKOWY PROSTO DO MATURY KLASA 1 ZAKRES PODSTAWOWY Copyright by Nowa Era Sp. z o.o. Warszawa 019 Liczba godzin TEMAT ZAJĘĆ EDUKACYJNYCH Język matematyki 1 Wzory skróconego mnożenia 3 Liczby pierwsze,
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY 2a zakres rozszerzony. I Przekształcenia wykresów funkcji
WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY 2a zakres rozszerzony I Przekształcenia wykresów funkcji Stopień bardzo Wiadomości i umiejętności Uczeń: - zna określenie
Bardziej szczegółowoPróbny egzamin maturalny z matematyki Poziom rozszerzony
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Marzec 2017 we współpracy z 1. Rozwiązania zadań i
Bardziej szczegółowoZastosowania pochodnych
Zastosowania pochodnych Zbigniew Koza Wydział Fizyki i Astronomii Wrocław, 2015 SZACOWANIE NIEPEWNOŚCI POMIAROWEJ Przykład: objętość kuli Kulka z łożyska tocznego ma średnicę 2,3 mm, co oznacza, że objętość
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 4 / 5 rachunek różniczkowy
Matematyka dla Ciekawych Świata, 2012/2013 13 listopada 2012 Ćwiczenia 4 / 5 rachunek różniczkowy 0. Kangur powraca Przypomnij sobie, że nasz kangur porusza się z prędkością 4 km/h. Zamodeluj ruch kangura
Bardziej szczegółowopostaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n
Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY
WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE OCENY matematyka stosowana kl.2 rok szkolny 2018-19 Zbiór liczb rzeczywistych. Wyrażenia algebraiczne. potrafi sprawnie działać na wyrażeniach zawierających potęgi
Bardziej szczegółowo