Matematyka dyskretna Literatura Podstawowa: 1. K.A. Ross, C.R.B. Wright: Matematyka Dyskretna, PWN, 1996 (2006) 2. J. Jaworski, Z. Palka, J.

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Matematyka dyskretna Literatura Podstawowa: 1. K.A. Ross, C.R.B. Wright: Matematyka Dyskretna, PWN, 1996 (2006) 2. J. Jaworski, Z. Palka, J."

Antoni Pietrzyk
5 lat temu
Przeglądów:

1 Matematyka dyskretna Literatura Podstawowa: 1. K.A. Ross, C.R.B. Wright: Matematyka Dyskretna, PWN, 1996 (2006) 2. J. Jaworski, Z. Palka, J. Szmański: Matematyka dyskretna dla informatyków, UAM, 2008 Uzupełniająca: 3. Matematyka dyskretna ( 4. J. Słupecki, Katarzyna Hałkowska, Krystyna Piróg-Rzepecka: Logika matematyczna, PWN, H. Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej, PWN, N.L. Biggs: Discrete Mathematics, Oxford University Press, T.H. Cormen, C.E. Leiserson, R.L. Rivest, C. Stein: Wprowadzenie do algorytmów, WNT, 2004

2 MATEMATYKA DYSKRETNA dział(y) matematyki zajmujący się badaniem struktur nieciągłych, to znaczy struktur zawierających zbiory co najwyżej przeliczalne. Zbiór przeliczalny intuicyjnie, zbiór którego elementy można ustawić w ciąg (skończony bądź nie), tzn. "ponumerować". Matematyka dyskretna stała się popularna w ostatnich latach dzięki zastosowaniom w informatyce, która w sposób naturalny zajmuje się jedynie strukturami skończonymi.

3 Działy matematyki związane z matematyką dyskretną logika, teoria mnogości, algebra liniowa, algebra struktur skończonych, kombinatoryka, teoria liczb, teoria częściowych porządków, rachunek prawdopodobieństwa, algorytmika, teoria informacji, teoria grafów, złożoność obliczeniowa.

4 Elementy teorii mnogości (teorii zbiorów) Zbiór pojęcie pierwotne teorii zbiorów (teorii mnogości (Georg Cantor )); intuicyjnie jest to nieuporządkowany zestaw różnych obiektów, czy też kolekcja niepowtarzających się komponentów bez wyróżnionej kolejności. Zbiory dystrybutywne (G. Cantor, 1883) (definicja) Według Cantora zbiór, to każda wielość, która da się pomyśleć jako jedność, tzn. każdy ogół określonych elementów, który można za pomocą jakiegoś prawa powiązać w całość.

5 Zbiory Każdy zbiór jest jednoznacznie wyznaczony przez jego składowe (elementy). Zbiory (zwykle) oznaczamy dużymi literami, natomiast jej elementy małymi literami. W teorii mnogości zbiory wprowadza się wraz z relacją należenia lub przynależności do zbioru oznaczaną zmodyfikowaną małą literą alfabetu greckiego ε (epsilon). Fakt, że element a należy do zbioru B zapisujemy symbolicznie: a B, natomiast fakt, że element b nie należy do zboru B zapisujemy: b B Mamy zbiory skończone, nieskończone oraz zbiór pusty (ozn. ) Używamy symboli =,,,, (litera alfabetu norweskiego), Ω,,, \, A C (A ), (Δ).

6 Działania na zbiorach Sumą zbiorów A i B nazywa się zbiór tych elementów, które należą choć do jednego ze zbiorów A B = {x Ω x A x B}.

7 Działania na zbiorach Iloczynem zbiorów A i B nazywa się zbiór tych elementów, które należą jednocześnie do obu zbiorów A B = {x Ω x A x B}.

$elementów, które należą do zbioru A i nie należą do zbioru B A \ B = {x Ω$

8 Działania na zbiorach Różnicą zbiorów A i B nazywa się zbiór tych elementów, które należą do zbioru A i nie należą do zbioru B A \ B = {x Ω x A x B}.

$się zbiór tych ele- mentów, które nie należą do zbioru B B C = x Ω x B = Ω \ B.$

9 Działania na zbiorach Dopełnieniem zbioru B (w przestrzeni Ω, w uniwersum) nazywa się zbiór tych ele- mentów, które nie należą do zbioru B B C = x Ω x B = Ω \ B. (B )

$elementów, które należą do jednego i tylko jednego ze zbiorów A B = (A \ B) (B\A)$

10 Działania na zbiorach Różnicą symetryczną zbiorów A i B nazywa się zbiór tych elementów, które należą do jednego i tylko jednego ze zbiorów A B = (A \ B) (B\A) (A B)

11 Prawa (własności) algebry zbiorów przemienność sumy zbiorów przemienność iloczynu zbiorów łączność sumy zbiorów łączność iloczynu zbiorów A B = B A A B = B A (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) rozdzielność iloczynu względem sumy zbiorów A (B C) = (A B) (A C) rozdzielność sumy względem iloczynu zbiorów A (B C) = (A B) (A C)

12 Prawa (własności) algebry zbiorów prawa idempotentności A A = A, A A = A prawa identyczności A = A, A = prawo podwójnego dopełnienia (A')' = A prawa dopełnienia A A' = Ω, Ω' =, A A' = ' = Ω prawa de Morgana dla zbiorów (A B)' = A' B' (A B)' = A' B'

13 Para uporządkowana (a, b) to zbiór dwuelementowy, zawierający informacje o kolejności elementów, tzn. (a, b) (b, a). W teorii mnogości definiuje się go zwykle jako zbiór dwuelementowy: a, b = { a, {a, b}}. Iloczyn kartezjański (A x B) zbiorów A, B nazywa się zbiór wszystkich par uporządkowanych, których pierwszy element należy do zbioru A a drugi do zbioru B. Jeśli A=B to A x A oznazamy jako A 2. Zbiór potęgowy (P(A)) zbioru A to rodzina (zbiór zawierający) wszystkich podzbiorów zbioru A. Moc zbioru ( A, lub card(a)) dla zbioru skończonego A, to liczba jego elementów. A B = A B P(A) = 2 A (i dlatego czasami P(A) oznacza się przez 2 A )

Podobne dokumenty

1 Działania na zbiorach

M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej