rozwiązanie (bardzo) dokładne MRS: gęsta siatka

Transkrypt

1 laboratorium u rozwiązanie (bardzo) dokładne MRS: gęsta siatka ρ

2 u rozwiązanie metodą elementów skończonych z liniowymi funkcjami kształtu na dziewięciu węzłach ρ rozwiązanie MES w tej wersji (liniowe fcje kształtu 1D) jest dokładne w węzłach odchylenia: tylko między węzłami

3 dla porównania: MRS na 9 ciu węzłach MES uwaga na rysunku - dla MRS punkty łączymy liniami tylko dla ilustracji dla MES z liniowymi funkcjami kształtu połączenie punktów: ma znaczenie dosłowne

4 u odstępstwo między wynikiem MES a dokładnym ρ

5 u rozwiązanie MES w naszej bazie jest odcinkami liniowe ρ a rozwiązanie dokładne jest liniowe tam gdzie ρ=0 wniosek: tam gdzie ρ=0 wystarczy jeden element!

6 u rozwiązanie MES w naszej bazie jest odcinkami liniowe ρ a rozwiązanie dokładne jest liniowe tam gdzie ρ=0 wniosek: tam gdzie ρ=0 wystarczy jeden element! pomysł: przesunąć wszystkie węzły poza brzegowymi do obszaru gdzie nie znika gęstość ładunku tam gdzie u zaokrąglone. wiemy już, że przesuwanie czerwonych punktów pójdzie po krzywej dokładnej.

7 x1= -x9 = -1 zacieśniamy węzły wokół x=0 Kryterium wyboru węzłów? (bx) i=2,8 W przypadku ogólnym zawsze można policzyć pozostałość Lu-f=r i badać np. (r,r).

8 x1= -x9 = -1 zacieśniamy węzły wokół x=0 Kryterium wyboru węzłów? (bx) i=2,8 W przypadku ogólnym zawsze można policzyć pozostałość Lu-f=r i badać np. (r,r). dla równania Poissona mamy znacznie lepsze kryterium: przy okazji dyskusji metod relaksacyjnych dowiedzieliśmy się, że najbliższe dokładnego jest rozwiązanie, które minimalizuje funkcjonał całki działania wykorzystajmy działanie jako kryterium jakości rozwiązania w metodzie elementów skończonych

9 rozpoznajemy: jednorodny warunek brzegowy Dirichleta: c 1 =c 9 =0 do oceny jakości wyboru węzłów użyjemy macierzy A i wektora F, które uprzednio i tak musimy wyznaczyć aby wyliczyć rozwiązanie c.

10 funkcjonał działania a wybór położeń węzłów: numer iteracji MRS a równoodleg³e działanie w MES w funkcji parametru bx działanie w relaksacji MRS pkt bx

11 rozwiązanie dla optymalnego bx: 0.80 czerwone: MES niebieskie: wynik dokładny czarne: niejednorodność równania

12 Wybór węzłów: przez optymalizację funkcjonału... metoda Galerkina, w tym w wersji elementów skończonych ma charakter wariacyjny metoda Galerkina dla dowolnej bazy jest równoważna metodzie Reyleigha-Ritza gdy ta stosowalna metoda Reyleigha-Ritza: rozwiązanie w bazie funkcyjnej dla ustalonych funkcji bazowych (w naszym przykładzie: dla ustalonych węzłów) c wyznaczone przez warunek minimum a. (pokazać, że warunek min a produkuje Ac=F)

13 Wybór węzłów: przez optymalizację funkcjonału... metoda elementów skończonych ma charakter wariacyjny w ogóle: metoda Galerkina dla dowolnej bazy jest równoważna metodzie Reyleigha-Ritza gdy ta stosowalna metoda Reyleigha-Ritza: rozwiązanie w bazie funkcyjnej dla ustalonych funkcji bazowych (w naszym przykładzie: dla ustalonych węzłów) c wyznaczone przez warunek minimum a. (pokazać, że warunek min a produkuje Ac=F) uwaga: w naszym przykładzie : dodatkowo optymalizowaliśmy funkcje bazowe (położenie węzłów). Zasada wariacyjna (najmniejszego działania) wykorzystana została więc dwukrotnie. jeśli tylko znamy funkcjonał dla równania różniczkowego: przyda się do optymalizacji kształtu elementów (2D)

14 wracamy do zagadnienia ścisłości rozwiązania MES w węzłach 0.01 błąd: Równanie Poissona, funkcje kształtu liniowe wynik MES dokładny w węzłach w MRS wszystko co możemy otrzymać, to wartości w węzłach, które są dokładne TYLKO w granicy Δx 0!!! Wniosek: cały rachunek na 2 elementach: f(q) -1 q +1 niezależnie od wyboru q: f(q) da dokładne rozwiązanie równania

15 q możemy ustawić gdziekolwiek, zawsze dostaniemy rozwiązanie dokładne 0.20 q = wniosek: wystarczy przeskanować q przez pudło aby uzyskać dokładny wynik q=

16 f(q) -1 q +1 jeden węzeł wewnątrz pudłą funkcja kształtu v 1 = (x+1)/(q+1) dla x<q v 1 = (1-x) / (1-q) dla x>q rozwiązanie przybliżone: v=f(q)v 1 (x) Lu=ρ funkcjonał: F(v)=½(v,Lv)-(ρ,v) wiemy że MES wyprodukuje takie f(q) aby F było minimalne wyliczymy F jako funkcję f(q) z warunku min F(v) wyznaczymy f(q)

17 v=f(q)v 1 (x) F(v)=½(v,Lv)-(ρ,v) v 1 = (x+1)/(q+1) dla x<q v 1 = (1-x) / (1-q) dla x>q v znika na brzegach:

18 v=f(q)v 1 (x) F(v)=½(v,Lv)-(ρ,v) v 1 = (x+1)/(q+1) dla x<q v 1 = (1-x) / (1-q) dla x>q v znika na brzegach:

19 =0

20 policzmy pochodne f(q) po q =0

21 policzmy pochodne f(q) po q =0

22 =0 policzmy pochodne f(q) po q spełnia silną formę równania! u = -ρ stąd wynik dokładny dla u w x=q

23 silna a słaba forma równania: różnica v(q) u(x) = -ρ(x) -1 q +1 druga pochodna potencjału = ładunek funkcja v nie spełnia silnej formy równania różniczkowego, tylko słabą: v (q) (v,v )f(q)=-(v,ρ) v (q) druga pochodna potencjału: delta Diraca, niezależnie od tego jak wygląda niejednorodność równania Poissona

24 Podobny zabieg dla MRS: 3 węzły. Metoda różnic skończonych, siatka nierównomierna Iloraz różnicowy drugiej pochodnej dla nierównej siatki: Δl Δp + Wzór trójpunktowy W MES: nie ma problemu bo pochodne i całki liczymy dokładnie! tracimy jeden rząd dokładności w porównaniu z siatką równomierną Problem rozwiązany w metodzie elementów skończonych.

25 Co się stanie jeśli taki zabieg powtórzymy w MRS? Δp=1-x Δl=x+1 v(x) -1 x +1

26 Co się stanie jeśli taki zabieg powtórzymy w MRS? Δp=1-q Δl=q+1 v(q) -1 q u(q) rozwiązanie dokładne

27 liniowe fcje kształtu a warunki Neumanna tylko v 1 oraz v 2 wnoszą przyczynek do pochodnej na lewym końcu: pierwszy wiersz macierzy S (-1/h 2 1/h ) prawa strona pierwszy wiersz F : C warunki mieszane [Robina] u (x 1 )+Du(x 1 )=E: (-1/h 2 +D 1/h )

28 wybrane narzędzia MES umożliwiające jej automatyzację w więcej niż 1D: 1) macierze sztywności pojedynczych elementów oraz ich 2) składanie do globalnej macierzy sztywności 3) przestrzeń odniesienia i jej mapowanie do przestrzeni fizycznej

29 Przestrzeń referencyjna [odniesienia] element w przestrzeni fizycznej x= -1 1 y=1 y= -1 element w przestrzeni odniesienia w 1D Problem fizycznie zadany jest na siatce [x 1,x 2,x 3,...x N ] Rachunki (całkowanie elementów macierzowych) dla każdego elementu chcemy przenieść do przedziału (-1,1) x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 itd przestrzeń fizyczna -1 1 przestrzeń odniesienia

30 Przestrzeń referencyjna [odniesienia] element w przestrzeni fizycznej x= -1 1 y=1 y= -1 element w przestrzeni odniesienia w 1D Problem fizycznie zadany jest na siatce [x 1,x 2,x 3,...x N ] Rachunki (całkowanie elementów macierzowych) dla każdego elementu chcemy przenieść do przedziału (-1,1) Element K m =(x m-1, x m ) (-1,1) mapowanie z (-1,1) do K m : x=(x m +x m-1 )/2+(x m -x m-1 )/2 ξ, gdzie ξ z przedziału (-1,1) Modelowy operator będziemy całkować jego elementy macierzowe w przestrzeni odniesienia

31 Całkowanie macierzy sztywności w przestrzeni referencyjnej element macierzowy całkowany w elemencie [fizycznym] -1 całkę i pochodne przenosimy do przestrzeni odniesienia: x(ξ )=(x m-1 +x m )/2+(x m -x m-1 )/2 ξ skala transformacji m-tego elementu: (czynnik skali, jakobian) przy transformacji: granice całki zmieniają się na 1,1, poza tym dx=j m dξ transformacja pochodnych: J m =(x m -x m-1 )/2 pole elementu fizycznego / pole elementu odniesienia 1D: J nie zależy od ξ w 2D: zobaczymy, że nie zawsze tak jest [gdy element zmienia swój kształt w mapowaniu. w 1D: odcinek -> odcinek]

32 Całkowanie macierzy sztywności w przestrzeni referencyjnej -1 x(ξ )=(x m-1 +x m )/2+(x m -x m-1 )/2 ξ całkowanie wektora sztywności: całka (f,v j ) transformuje się jak wyraz z a 0.

33 odcinkowo liniowe funkcje kształtu w przestrzeni odniesienia x(ξ )=(x i +x i+1 )/2+(x i+1 -x i )/2 ξ W elemencie i+1 dwie funkcje kształtu v i (x(ξ)) =1/2 1/2 ξ v i+1 (x(ξ)) =1/2 ξ+ 1/2 1 fcja kształtu fizyczna v i+1 (x) v i v i+1 v i (x) x i+2 K i K i+1 x i-1 x i x i+1 x -1 K 1 i+1 odniesienia

34 Przykład całkowanie w przestrzeni odniesienia dla bazy odcinkami liniowej (całka po elemencie K i+1 ) tu prim to pochodna po x J i+1 =(x i+1 -x i )/2 pole elementu fizycznego / pole elementu odniesienia a tu po ξ v i (x(ξ)) =1/2 1/2 ξ v i+1 (x(ξ)) =1/2 ξ+ 1/2 ten wynik już znamy z całkowania w przestrzeni fizycznej

35 Macierz sztywności pojedynczego elementu składanie macierzy globalnej Zmieniamy punkt widzenia: u 1 u 2 (parametry węzłowe (z funkcji kształtu na elementy) x m-1 x m niewiadome) v i (x(ξ)) =1/2 1/2 ξ v i+1 (x(ξ)) =1/2 ξ+ 1/2-1 1 element J m =h m /2 u m (ξ)=u 1m φ 1 (ξ)+u 2m φ 2 (ξ) φ 1 =1/2 1/2 ξ φ 2 =1/2 +1/2 ξ [ funkcje bazowe : ważone parametrami węzłowymi ]

36 Zmieniamy punkt widzenia: u 1 u 2 (parametry węzłowe (z funkcji kształtu na elementy) x m-1 x m niewiadome) -1 1 element J m =h m /2 macierz sztywności elementu m [wymiar taki jak liczba funkcji kształtu na element] u m (ξ)=u 1m φ 1 (ξ)+u 2m φ 2 (ξ) φ 1 =1/2 1/2 ξ φ 2 =1/2 +1/2 ξ E m = Em 11 E m 12 E m 21 E m 22 zależność od m w J m : x(ξ )=(x m-1 +x m )/2+(x m -x m-1 )/2 ξ m

37 Składanie (assembly) globalnej macierzy sztywności u m (ξ)=u 1m φ 1 (ξ)+u 2m φ 2 (ξ) globalna [U] i lokalna [u] numeracja węzłów węzły na granicy elementów obsługują więcej niż jeden element U 1 1 U 2 2 U 3 3 U 4 u 2 1 =u 1 2 na U 2 opiera się rozwiązanie w dwóch sąsiednich elementach E m = Em 11 E m 12 E m 21 E m 22 na przekrywających się węzłach:suma do macierzy S wchodzą całki po sąsiednich elementach z funkcją kształtu wspólną dla sąsiadów macierz globalna S (rozmiar = liczbie węzłów)

38 case study u 1 u 2 x m-1 x m -1 1 u(ξ)=u 1 φ 1 (ξ)+u 2 φ 2 (ξ) u(x=-1)=0 u(x=1)=0 J m =h m /2 Przedział (-1,1) Podzielony na 7 elementów (8 węzłów) φ 1 =1/2 1/2 ξ φ 2 =1/2 +1/2 ξ

39 Składanie (assembly) macierzy sztywności z całek po elementach Element 2 Element 3 dodajemy elementy z różnych macierzy lokalnych które odpowiadają temu samemu węzłowi h 2 h 3 h 4 Forma już znana

40 Wektor obciążeń pojedynczego elementu/składanie globalnego po elemencie K i po K i+1 U i-1 U i U i+1 x i-1 x i x i+1 druga funkcja elementu i oraz pierwsza elementu i+1 = to ta sama funkcja v i (x)

41 Składanie globalnej macierzy sztywności buchalteria węzłów g=1 g=2 g=3 g=4 m=1 m=2 m= lokalne numery węzłów m-numeruje elementy g globalna numeracja węzłów nr (k,m) przyporządkowanie numeru globalnego węzłowi o lokalnym numerze k w elemencie m 1 = nr (1,1) 2 = nr (2,1) = nr (1,2) 3 = nr (2,2) = nr (1,3) 4 = nr (2,3)

42 Składanie globalnej macierzy sztywności buchalteria węzłów g=1 g=2 g=3 g=4 m=1 m=2 m= lokalne numery węzłów m-numeruje elementy g globalna numeracja węzłów nr (k,m) przyporządkowanie numeru globalnego węzłowi o lokalnym numerze k w elemencie m 1 = nr (1,1) 2 = nr (2,1) = nr (1,2) 3 = nr (2,2) = nr (1,3) 4 = nr (2,3) pętla po elementach m=1,m pętla po węzłach lokalnych k=1,n pętla po węzłach lokalnych l=1,n identyfikacja numeru globalnego węzła i=nr(k,m) j=nr(l,m) S(i,j)=S(i,j)+E(m,k,l) identycznie składa się macierze dla wyższych funkcji kształtu i w więcej niż 1D

43 Składanie globalnej macierzy sztywności buchalteria węzłów g=1 g=2 g=3 g=4 m=1 m=2 m= = nr (1,1) 2 = nr (2,1) = nr (1,2) 3 = nr (2,2) = nr (1,3) 4 = nr (2,3) pętla po elementach m=1,m pętla po węzłach lokalnych k=1,n pętla po węzłach lokalnych l=1,n identyfikacja numeru globalnego węzła i=nr(k,m) j=nr(l,m) S(i,j)=S(i,j)+E(m,k,l)

44 składanie globalnego wektora obciążeń z lokalnych: pętla po elementach m=1,m pętla po węzłach lokalnych k=1,n identyfikacja numeru globalnego węzła i=nr(k,m) F(i)=F(i)+P(k,m)

45 o potrzebie używania wyższych funkcji kształtu (i o laboratorium): u(1)=u(-1)=0 rozwiązanie dokładne: równanie Poissona z odcinkowo stałą prawą stroną równania

46 o potrzebie używania wyższych funkcji kształtu (i o laboratorium): u(1)=u(-1)=0 rozwiązanie dokładne: równanie Poissona z odcinkowo stałą prawą stroną równania rozwiązanie dokładne: z liniowymi funkcjami kształtu: poza węzłami nie uzyskamy dokładnego rozwiązania tego równania (nigdy nie uzyskamy rozwiązania silnej postaci równania, druga pochodna wewnątrz elementów jest zawsze równa zeru a ma być równa niejednorodności dla równań Poissona niejednorodność to źródło potencjału, dla równania przew. ciepl. źródło ciepła)

47 całka działania a rozkład elementów dla funkcji odcinkowo linowych: optymalne rozwiązanie odcinkami liniowe rozwiązanie dokładne a -0.6 u dokładne działanie bx i=2,

48 Funkcje kształtu Lagrange a wyższych rzędów: u 3 u 1 u 2 u 4 ξ 1 ξ 2 ξ 3 ξ 4 jeden element, cztery (n) węzły funkcje kształtu wielomian stopnia n-1, taki, że

49 Funkcje kształtu Lagrange a wyższych rzędów: u 3 u 1 u 2 u 4 ξ 1 ξ 2 ξ 3 ξ 4 jeden element, cztery (n) węzły funkcje kształtu wielomian stopnia n-1, taki, że wiemy jak go wskazać: wielomian węzłowy Lagrange a

50 Funkcje kształtu wyższych rzędów: u 3 u 1 u 2 u 4 ξ 1 ξ 2 ξ 3 ξ 4 jeden element, cztery (n) węzły funkcje kształtu wielomian stopnia n-1, taki, że wiemy jak go wskazać: wielomian węzłowy Lagrange a funkcje kształtu Lagrange a: rozwiązanie interpolowane wielomianowo w każdym z elementów. jedynie ciągłość rozwiązania między elementami. w przeciwieństwie do problemów z KSN: wartości funkcji w węzłach nie są znane. należy je wyliczyć. istota FEM.

51 Elementy wyższych rzędów: u 1 u 2 u ξ 1 Jeden element, trzy funkcje bazowe, 3 parametry węzłowe Funkcje bazowe : w danym węźle tylko jedna z nich niezerowa (co min. gwarantuje liniową niezależność funkcji bazowych) funkcja bąbelkowa (bubble function) węzeł wewnątrz elementu φ 1 =ξ(ξ -1)/2 φ 2 =-(ξ -1)(ξ +1) φ 3 = ξ(ξ +1)/2 funkcje wierzchołkowe (vertex functions) 1 na krawędziach elementu

52 Funkcje kształtu Lagrange a: odcinkowo liniowe i kwadratowe węzły= granice elementów każda strzałka to węzeł granice elementów czerwone liniowa baza Lagrange a kwadratowa baza Lagrange a

53 Macierz sztywności dla kwadratowych f. Lagrange a φ 1 =ξ(ξ -1)/2 φ 2 =-(ξ -1)(ξ +1) φ 3 = ξ(ξ +1)/2 całki wyliczone analitycznie: ilu punktowego Gaussa należałoby użyć aby dokładnie scałkować m.sztywności numerycznie? przy równym podziale przedziału E takie samo dla każdego elementu liczone numerycznie lecz P nie! [inny zakres x(ξ)] x(ξ )=(x m +x m+1 )/2+(x m+1 -x m )/2 ξ

54 Składanie globalnej macierzy sztywności i wektora obciążeń dla kwadratowych funkcji Lagrange a lokalne globalne Liczba wierszy: 2n+1 (n-liczba elementów)

55 Laboratorium: elementy: x x x x dokładne 2 centralne elementy o długości bx krzyżyki: węzły bąbelkowe MES dla bx=0.5 (równoodległe węzły) widzimy: dokładne dla węzłów granicznych

56 Laboratorium: elementy: a x x x x dokładne 2 centralne elementy o długości bx krzyżyki: węzły bąbelkowe bx na laboratorium zobaczymy, że potencjał dokładny odtworzony

57 0.20 Wyniki dla problemu modelowego funkcje odcinkami liniowe 9 węzłów (8 elementów) funkcje kwadratowe 9 węzłów (4 elementy) rozwiązanie dokładne

58 Funkcje liniowe i kwadratowe 0.01 funkcje odcinkami liniowe 9 węzłów (8 elementów) 0.00 funkcje kwadratowe 9 węzłów (4 elementy) [ błąd =0 tylko na węzłach wierzchołkowych ] jeden rząd funkcji kształtu więcej: maksymalny błąd zmniejszony trzykrotnie rozmiar problemu liniowego bez zmian, ale S ma więcej niezerowych elementów

59 0.20 dla kwadratowej bazy Lagrange a pochodna jest nieciągła na granicy elementów nieciągła pochodna

60

61 u 1 u 2 u Co zrobiliśmy : poprowadziliśmy przez każdy element wielomian interpolacyjny Lagrange a. Zabieg zakończył się sukcesem. Lepsza dokładność prawie tej samej złożoności obliczeniowej w porównaniu z liniowymi funkcjami kształtu. Rozmiar URL bez zmian, ale macierz układu więcej niezerowych elementów. Chcemy podnieść rząd wielomianu interpolacyjnego. Czy równomiernie rozłożenie większej ilości węzłów na elemencie jest dobrym pomysłem? NIE

62 Błąd interpolacji Lagrange a (przypomnienie): x 0,x 1,..., x n n+1 różnych węzłów f(x) gładka funkcja interpolowana (klasy co najmniej n+1) x w przedziale interpolacji odchylenie funkcji interpolowanej od wielomianu Lagrange a ξ należy do (najmniejszego) przedziału, w którym mieszczą się punkty x i norma nieskończoność: g(x) = max g(x) w przedziale (a,b)

63 4 punkty 0-1 -a a 1 norma nieskończoność wielomianu węzłowego punkty rozłożone równomiernie równomierne rozłożenie nie jest optymalne dla celów aproksymacyjnych

64 Efekt Rungego nieoptymalność interpolacji na równoodległych węzłach robi się drastyczna dla wysokiego rzędu wielomianu interpolacyjnego 3 punkty 5 punktów 11 punktów im wyższy stopień wielomianu interpolacyjnego tym gorsze przybliżenie [większa norma nieskończoność błędu] - szczególniej przy brzegach przedziału

65 Węzły Czebyszewa: bliskie optymalnym 3 punkty 5 punktów 11 punktów 21 punktów [w.czebyszewa: węzły wielomianów ortogonalnych na przedziale ( 1,1) z wagą 1/sqrt(1-x**2) [! waga gęsto punkty przy brzegu, błąd nie urośnie ] więcej węzłów przy brzegach

66 u 2 u 3 u u 4 1 Kubiczne funkcje kształtu Lagrange a z węzłami Czebyszewa cos(πj/3), j=0,1,2,3,: -1,-0.5,0.5, Jeden element, 4 funkcje bąbelki 0.8 wierzchołek ξ

67 Wyniki dla problemu modelowego 0.01 błąd: funkcje odcinkami liniowe 9 węzłów (8 elementów) funkcje kwadratowe 9 węzłów (4 elementy) funkcje kubiczne 10 węzłów (3 elementy) zwiększenie stopnia wielomianów kształtu o jeden: max. odchylenie wyniku od dokładnego zmniejsza się 3 krotnie

68 MES używa jako funkcji bazowych określonych na elemencie wielomianów potrafimy je numerycznie różniczkować i całkować dokładnie różniczkowanie: C=1/2 C=-1/6 u(x) u (x) (błąd na czerwono) x x 2 2x 2x+Δx 2x 2x x 3 3x 2 3x 2 +3xΔx+Δx 2 3x 2 +Δx 2 3x 2 x 4 4x 3 4x 3 +6x 2 Δx+4xΔx 2 +Δx 3 4x 3 +4xΔx 2 4x 3 x 5 5x 4 5x 4 +10x 3 Δx+10x 2 Δx 2 +5xΔx 3 +Δx 4 5x 4 +10x 2 Δx 2 +Δx 4 5x 4-4Δx 4 a całkowanie... Gaussa

69 kwadratury Gaussa-Legendra do całkowania elementów macierzowych Gauss= najbardziej efektywna metoda dla MES funkcje kształtu są wielomianami(!), a Gauss całkuje je dokładnie ważona suma funkcji podcałkowej w wybranych punktach x i Chcemy wybrać tak wagi i punkty aby kwadratura była dokładna dla wielomianu jak najwyższego stopnia (funkcje kształtu będą wielomianami) Na pewno uda nam się skonstruować kwadraturę dokładną dla wielomianu stopnia n-1

70 kwadratury Gaussa-Legendra Wybieramy wagi i punkty Gaussa, tak aby dokładnie scałkować wielomian stopnia 2n-1 [2n współczynników, 2n wag i punktów] Przykład: n=2 dokładnie scałkujemy wielomian stopnia 3 f(x)=a+bx+cx 2 +dx 3

71 f(x)=a+bx+cx 2 +dx 3 kwadratury Gaussa-Legendra a,b,c,d dowolne. Każda z powyższych całek musi zostać policzona dokładnie. wstawiamy po kolei 1 za jeden z a,b,c,d=reszta 0. [kwadratura ma działać również dla f(-x)] x 1 oraz x 2 będą rozłożone symetrycznie względem 0 ( x 1 =-x 2 ) wtedy z (2) w 1 =w 2 =1 (z 1) (4) - zawsze spełnione 2/3=x 22 +x 2 2 z (3) x 2 =±(1/3) 1/2 x 1 =-x 2

72 kwadratura Gaussa dokładna dla wielomianów stopnia 3: w 1 =w 2 =1, x 1 =(1/3) 1/2 x 2 =- (1/3) 1/ x*x*x+x*x+1 x*x-x+1 -x*x*x+x*x-x+1 wystarczy dodać wartości funkcji w dwóch punktach aby uzyskać dokładną całkę dla wszystkich wielomianów stopnia

73 w konsekwencji: jeśli dwa wielomiany stopnia <4 przyjmują te same wartości w punktach Gaussa to ich całki po przedziale 1,1 są również identyczne: np 0.80 x g =(1/3) 1/ x(x-xg)*(x+xg) (x-xg)*(x+xg)

74 Próbkując funkcję w n dowolnych punktach: na pewno uda się skonstruować kwadraturę dokładną dla wielomianu stopnia n-1 Na przedziale 1,1 wybieramy (dowolnie) n punktów i prowadzimy przez nie wielomian interpolacyjny Lagrange a funkcji f(x) Jeśli f(x) wielomian stopnia nie większego niż n-1 f(x)=y(x) (interpolując wielomian dostaniemy ten sam wielomian) na wyborze punktów x i można zyskać dokładność dla n stopni więcej

75 Dalej o wyborze punktów Gaussa: Tw. Jakobiego: kwadratury Gaussa-Legendra kwadratura oparta na wielomianie interpolacyjnym Lagrange a jest dokładna dla wielomianów stopnia 2n-1, jeśli punkty x i wybrane tak, że wielomian stopnia n jest ortogonalny do wszystkich wielomianów stopnia (n-1) zobaczmy, że tak jest:

76 kwadratury Gaussa-Legendra dla dowolnego wielomianu stopnia n i dowolnej liczby r istnieje taki wielomian o stopniu o jeden niższym i taka liczba R, że: P n (x)=(x-r) P n-1 (x)+r przykład: 1+x+x 2 =(x-2) (ax+b)+c=c-2b+(b-2a)x+ax 2 wyliczymy sobie a,b, oraz c f 2n-1 (x)=(x-x 1 ) f 2n-2 (x)+r 0 f 2n-1 (x)=(x-x 1 ) [(x-x 2 ) f 2n-3 (x)+r 1 ]+r 0 =(x-x 1 )(x-x 2 ) f 2n-3 (x)+r 0 +r 1 (x-x 1 ) q 1 (x) f 2n-1 (x)=z n (x)f n-1 (x)+q n-1 (x)

77 f 2n-1 (x)=z n (x)f n-1 (x)+q n-1 (x) całka oparta o przepis interpolacyjny na n punktach będzie dokładna dla każdego wielomianu stopnia n-1 Problem: jak wybrać wielomian stopnia n z(x) tak aby ortogonalny dla każdego wiel. stopnia n-1

78 Problem: jak wybrać z(x) aby ortogonalny dla każdego wiel. stopnia n-1 wybrać zera znaczy wybrać wielomian (co do stałej multiplikatywnej) każdy wielomian można zapisać w postaci sfaktoryzowanej wielomian Legendre a stopnia n -ortogonalny na przedziale [ 1,1] do wszystkich wielomianów stopnia n-1. -zera tego wielomianu wyznaczą optymalne punkty Gaussa

79 Ortogonalizacja Grama-Schmidta Przedział [-1,1]. Mamy zbiór niezaleznych liniowo funkcji h 0 =1, h 1 =x, h 2 =x 2, h 3 =x 3,... które nie są ortogonalne [iloczyn skalarny określony z funkcją wagową w(x)]. Chcemy skonstruować bazę wielomianów ortogonalnych. funkcje bazowe dla tego przedziału, z wagą w(x)=1 są to wielomiany Legendre a. u 0 = 1 u 1 =a+x Jakie a aby (u 0,u 1 )=0?: odp.: a=0 u 1 =x u 2 =x 2 +bx+c (u 2,u 0 )= 2/3+2c=0 (u 2,u 1 )=0 b=0 u 2 =(x 2-1/3) W literaturze wielomiany Legendre a normalizowane tak aby P k (1)=1 : 1,x,3/2 (x 2-1/3) itd.

80 W bazie P 0,P 1,..., P n-1 można opisać wszystkie wielomiany stopnia n-1, P n ortogonalny do wszystkich wektorów bazy, więc i do wszystkich wielomianów stopnia n-1 kwadratury Gaussa-Legendra Punkty Gaussa zapewniające maksymalną dokładność (do wielomianu stopnia 2n-1): zera n-tego wielomianu Legendra Dla 2n-1=3 [ punkty Gaussa tam gdzie wcześniej wyliczyliśmy ] l 1 =(x+1/sqrt(3))/(2/sqrt(3)). całka z niego od od 1 do 1 = 1

81 Wagi i punkty Gaussa 1.0 Dokładne do wielomianów stopnia 3 stopnia 5 stopnia

82 MES z liniowymi funkcjami kształtu: przykład zastosowania nr. 2: równanie oscylatora harmonicznego niewiadome: funkcja własna u n (x) oraz wartość własna E n E n =1/2+n rysunek z Wikipedii

83 1 v i (x) węzły x i-1 x i x i+1 x element K i długości δ i =x i -x i-1 element K i+1 długości δ i+1 = x i+1 -x i baza funkcyjna

84 całki się liczy analitycznie [wielomiany stopnia najwyżej 4] Hc=EOc tzw. uogólnione macierzowe równanie własne [ zwykłe równanie własne gdy : O=1] macierze H,O trójprzekątniowa, symetryczna nasz operator=samosprzężony (hermitowski)

85 równomierny rozkład 21 węzłów (elementy równej długości) siatka od 6.2 do E dok E num błąd MRS: przy tej samej liczbie węzłów E num względna przewaga MES rośnie dla stanów o wyższej energii błąd

86 kropy: wartości z MES linie: dokładne funkcje własne 0.40 MES nie jest ściśle dokładna w węzłach jak dla Poissona, ale niezła różnica dokładny=mes dla wektora własnego o najniższej wartości własnej

87 przydałaby się siatka nierównomierna: więcej węzłów tam gdzie wektory własne przyjmują duże wartości, mniej na ogonach n=21 punktów α= α=

88 oscylator harmoniczny: optymalizacja rozkładu elementów E n =n+1/ n=0 n= E α dla wszystkich stanów optymalny jest wykładnik α 1.5 α= α=

89 Metoda różnic skończonych, siatka nierównomierna Iloraz różnicowy drugiej pochodnej dla nierównej siatki: Δl Δp + Wzór trójpunktowy W MES: nie ma problemu bo pochodne i całki liczymy dokładnie! tracimy jeden rząd dokładności w porównaniu z siatką równomierną Problem rozwiązany w metodzie elementów skończonych.

90 k-1 k k+1 δ κ 1 δ κ [różnica z MES: potencjał tylko do diagonali, O=1] Uwaga: metoda produkuje niesymetryczną macierz H: komplikacja, np. dla niesymetrycznych macierzy nie ma gwarancji, że wartości własne będą rzeczywiste, a wektory własne wzajemnie ortogonalne

91 Metoda różnic skończonych, siatka nierównomierna E n =n+1/ n=0 n= α α wartości własne mniejsze niż dokładne. dla n=0, optymalna jest siatka równomierna. Pewna poprawa (wzrost) jest dla wzbudzonych. Ale (!!) wiemy, że wzrost to poprawa tylko dlatego, że rozwiązanie dokładne jest znane. W typowej sytuacji - nie znamy rozwiązania dokładnego. Nie będziemy wiedzieli czy mamy do czynienia z poprawą czy pogorszeniem. α w MES: przeciwnie, metoda ma charakter wariacyjny! Lepsza siatka znaczy mniejsza wartość własna! Parametr dla optymalizacji siatki!

92 Lu=f eliptyczne rozwiązanie poszukiwane w bazie funkcyjnej funkcja próbna (trial) równanie eliptyczne a różniczkowe równanie własne w metodzie elementów skończonych Hu=Eu własne 1D: np. L=-d 2 /dx 2 np. H=-d 2 /dx 2 +x 2 (wstawić rozwiązanie próbne, wyrzutować na wektory bazy) (układ równań algebraicznych) Lc=f Hc=EOc (uogólniony macierzowy problem własny)

93 wariacyjny charakter metody dla równania eliptycznego i własnego MES (i Galerkin w ogóle) równoważna metodzie Reyleigha-Ritza, gdy ta stosowalna Lu=f Hu=Eu wartościom c i, które spełniają równania algebraiczne odpowiada minimum funkcjonału:

94 dokładne rozwiązania równania oscylatora są nie tylko ciągłe, ale również ciągłe z pochodną baza Lagrange a: gwarantuje tylko ciągłość funkcji na granicy elementów ciągłość pochodnej nie jest gwarantowana jeśli zainwestujemy w funkcje kształtu tak aby zapewnić ciągłość z pochodną -niższe wartości własne wyjść powinny kiedy ciągłość pochodnej ważna 1) dla równania Poissona: nieciągłe pole elektryczne (pochodna potencjału) gdy rozkład gęstości ładunku o formie delty Diraca 2) równanie przewodnictwa cieplnego: strumień ciepła proporcjonalny do gradientu temperatury = gdy ten nieciągły na granicy elementów stan nie może być ustalony

95 zapewniały ciągłość funkcji: 2 nie znikające f na element, jedna na węzeł MES: baza funkcji ciągłych z pochodnymi na granicy elementów z węzłem k wiążemy dwie funkcje: k-1 k k+1 δ k δ k+1 f g f przenosi ciągłą wartość funkcji przez granice elementów: f: 1 w węźle k, 0 w sąsiednich f zero we wszystkich węzłach g przenosi ciągłą pochodną przez dwa elementy: g : 1 w węźle k, 0 w sąsiednich g zero we wszystkich węzłach parametry węzłowe: 4 na element wartości i pochodne na obydwu końcach przedziału 4 funkcje kształtu na element po 2 funkcje na węzeł

96 współczynniki rozwinięcia (niewiadome) : wartości funkcji i pochodnej w węzłach Metoda ES da nam ekstra oszacowanie pochodnych rozwiązania parametry węzłowe: tutaj u i u

97 konstruujemy funkcję f k : stopnia musi trzeciego wielomian f k-1 k k+1 δ k δ k+1 współczynniki a k, b k,c k, d k : f(x k )=1, f(x k-1 )=0, f (x k )=0, f (x k-1 )=0 podobnie

98 przykładowy przebieg funkcji f niosącej ciągłość rozwiązania przez granicę elementów f f

99 konstruujemy funkcję g k : g k-1 k k+1 δ k δ k+1 g(x k-1 )=g(x k )=g (x k-1 )=0 g (x k )=1

100 przykładowy przebieg funkcji g niosącej ciągłość pochodnej rozwiązania przez granicę elementów g g

101 funkcje f k g k są ortogonalne jeśli węzły równoodległe symetria, ale (f k,g k+1 ) już nie 0 w teorii interpolacji: wielomiany 3-go rzędu interpolujące wartości i pochodne - sklejki Hermite a

102 sklejka Hermita dla równania własnego: struktura macierzy Hc=EOc (f,hf) (g,hf) α ι (f,hg) (g,hg) β ι macierze 2n na 2n każda z ćwiartek trójprzekątniowa

103 równoodległe węzły zaznaczone kropami rewelacyjny wynik 13 węzłów/26 równań liniowe 23 węzły / (23 równania)

104 optymalizacja elementów (więcej węzłów na środku ) n=0 wynik dla funkcji liniowych α α= α= wynik dla sklejek Hermite a -funkcje kształtu są tak elastyczne, że optymalizacja elementów staje się zbędna α

105 funkcje kształtu Hermite a w przestrzeni referencyjnej zastosowanie dla problemów eliptycznych 1D u 1 =u(x 1 ) u ξ 2 =u(x 2 ) -1 1 Pochodne funkcji (po x nie po ξ) = nowe elementy węzłowe = oprócz ciągłości przez granicę elementu dostaniemy oszacowanie pochodnych na granicy

106 Szukamy funkcji kształtu dla rozwiązań ciągłych z pochodną (funkcji kształtu Hermite a) 4 równania: 2 wartości, 2 pochodne x(ξ )=(x m-1 +x m )/2+(x m -x m-1 )/2 ξ

107 Funkcje kształtu Hermita 1.0 na rysunku funkcje związane z pochodnymi / Jakobian ξ każda z funkcji kształtu Hermite a: odpowiedzialna za wartość lub pochodną, żadna nie przeszkadza pozostałym (pełen podział kompetencji)

108 Funkcje kształtu Hermite a: interpolacja jednomianów, przedział [ 1:1]: J m =1 dokładna funkcja v(ξ)=ξ u 10 = -1, u 20 =1, u 11 =1, u 21 =1 u=3/2 ξ 1/2 ξ 3 + 1/2ξ+1/2ξ 3 = ξ wartości pochodne dokładna funkcja v(ξ)=ξ 2 u 10 = 1, u 20 =1, u 11 =-2, u 21 =2 u=1+ ( 1 ξ 2 )=ξ 2 dokładna funkcja v(ξ)=ξ 3 u 10 = -1, u 20 =1, u 11 =3, u 21 =3 u=ξ 3 dokładna funkcja v(ξ)=ξ 4 u 10 = 1, u 20 =1, u 11 =-4, u 21 =4 u=-1+2ξ 2

109 kubiczna sklejka Hermita a wielomian 4-tego rzędu x 4 wartość funkcji i pochodnej OK, ale sukces interpolacji umiarkowany -0.5 (-1+2x 2 )

110 Trzeba zawęzić przedział x (-1+2x 2 )

111 zawęzić przedział x 4 od [ 1,1] do [0,1] aby nie przejmować się czynnikiem skali J m : trzymamy [-1,1] a przekształcamy funkcję [(x+1)/2] 4 dokładna funkcja v(ξ)=[(ξ+1)/2] 4 u 10 = 0, u 20 =1, u 11 =0, u 21 =2 u=1/4ξ+1/4ξ 3 +1/2ξ itd

112 funkcje kształtu Hermita: zastosowanie ξ u(x=-1)=0 u(x=1)=0 Przedział (-1,1) Podzielony na 8 elementów (9 węzłów, 18 parametrów węzłowych) -1 1 x(ξ )=(x m-1 +x m )/2+(x m -x m-1 )/2 ξ J m =h m / macierz sztywności dla pojedynczego elementu

113 u(lewy) u (lewy) u(prawy) u (prawy) składanie macierzy sztywności dla f.k. Hermita x=-1 dwa elementy x=+1 wspólne parametry węzłowe: wartość pochodna wspólne również elementy pozadiagonalne dla tego węzła

114 Prawa strona/jeden element

115 Warunki brzegowe: u(x=-1)=0 u(x=1)=0 u(-1) u (-1) u(0) u (0) u(1) u (1)

116 Warunki brzegowe: u(x=-1)=0 u(x=1)=0 u(-1) u (-1) u(0) u (0) u(1) u (1) tu damy jedynki na diagonali Su=F tu damy zera

117 Wyniki dla problemu modelowego dwa elementy / 3 węzły / 6 parametrów węzłowych dokładne FEM z FKH pochodne uzyskane z rozwiązania układu równań w węzłach: , 0.387, zamiast dokładnej -1/π, 1/π, -1/π , 0.318,

118 Wyniki dla problemu modelowego 3 elementy / 4 węzły / 8 parametrów węzłowych dokładne FKH+ 2E FKH+ 3E

119 Baza kubiczna Lagrange a i baza Hermita porównanie dokładności Przy tej samej złożoności: w porównaniu z bazą Lagrange a w bazie Hermita błąd mniejszy (i ciągły, bo rozwiązanie przybliżone ciągłe)

120 funkcje kształtu Hermita a warunki brzegowe Neumanna u(x=-1)=0 u (x=1)=-1/π Przykład dla dwóch elementów co tutaj? mamy ustawić tak, żeby odpowiedzialna za pochodną na końcu przedziału pochodne pozostałych funkcji znikają w 1

121 warunek Neumanna dla funkcji kształtu Hilberta / π

122 Wynik warunek Neumanna dla funkcji kształtu Hermite a 0.80 umiarkowany sukces pochodna jak trzeba ale wartość całkiem nie taka co jest nie tak?

123 macierz sztywności pojedynczego elementu warunek Neumana dla funkcji kształtu Hilberta Przypomnijmy sobie skąd się wzięła w metodzie Galerkina v(x) jest funkcją bazową. dla warunków Dirichleta u(1)=u(-1)=0 usuwaliśmy z bazy funkcje, które nie znikały na prawym brzegu. v(x)=0 Teraz mamy parę funkcji dla których wyraz nie znika. Jaką?

124 Teraz mamy parę funkcji, dla których wyraz nie znika. Jaką? ξ

125 Teraz mamy parę funkcji, dla których wyraz nie znika. Jaką? ξ no i co?

126 warunek Neumana dla funkcji kształtu Hermita to trzeba dodać to już mamy 1 S 56 =S

127 Wynik: prawy warunek brzegowy Neumanna: 2 elementy 0.20 Znacznie lepiej prawie dobrze, pochodna idealnie, wartość nie 0.10 (poprzednio przy warunkach Dirichleta wartość była super pochodna taka sobie) elementy gdy więcej?

128 Wynik: prawy warunek brzegowy Neumanna 0.20 Wyniki : 4 elementy