PRZEGLĄD STATYSTYCZNY

Transkrypt

1 POLSKA AKADEMIA NAUK KOMITET STATYSTYKI I EKONOMETRII PRZEGLĄD STATYSTYCZNY STATISTICAL REVIEW TOM DOM WYDAWNICZY ELIPSA WARSZAWA 2010

2 WYDAWCA Komie Saysyki i Ekonomerii Polskiej Akademii Nauk RADA REDAKCYJNA Andrzej S. Barczak, Czesław Domański, Krzyszof Jajuga, Wiold Jurek, Michał Kolupa (Przewodniczący), Józef Pociecha, Danua Srahl KOMITET REDAKCYJNY Mirosław Szreder (Redakor Naczelny), Magdalena Osińska (Zasępca Redakora Naczelnego), Marek Walesiak (Zasępca Redakora Naczelnego), Krzyszof Najman (Sekrearz Naukowy) Wydanie publikacji dofinansowane przez Minisra Nauki i Szkolnicwa Wyższego Copyrigh by Komie Saysyki i Ekonomerii PAN Srona www Przeglądu Saysycznego : hp:// Nakład 300 egz. Realizacja wydawnicza: Dom Wydawniczy ELIPSA, ul. Inflancka 15/198, Warszawa el./fax (0-22) , , elipsa@elipsa.pl

3 PrzeglĄd saysyczny R. LVII zeszy Agaa Kliber, Paweł Kliber Zależności pomiędzy kursami walu środkowoeuropejskich w okresie kryzysu 2008 * 1. Wsęp Celem niniejszego badania było zbadanie zależności łączących kursy waluowe krajów środkowoeuropejskich w rakcie kryzysu finansowego. W ym arykule koncenrujemy się na roku 2008, kórego końcówka obfiowała w szczególne wydarzenia na środkowoeuropejskim rynku waluowym (m.in. aaki spekulacyjne na waluy środkowoeuropejskie, upadki banków na świecie, ip.). Bierzemy pod uwagę czery kursy waluowe: PLN/EUR, SKK/EUR (obecnie już nieisniejący), CZK/EUR oraz HUF/EUR. Korona słowacka w analizowanym okresie była w sysemie ERM2, a samo badanie doyczy okresu uż przed przyjęciem przez Słowację euro. Oczekujemy zaem, że jej zachowanie będzie odbiegało od zachowań pozosałych walu w regionie. Z wcześniejszych badań wiemy, że waluy środkowoeuropejskie są ze sobą dość silnie powiązane w okresie spokojnym [16]. Wiemy eż, że na ich dynamikę wpływa w dużym sopniu zachowanie się kursu EUR/USD [8]. W przedsawionym u badaniu pomijamy kszałowanie się kursu EUR/USD, ale badamy, czy kszałowanie się zmienności kursu waluowego kóregokolwiek z wymienionych krajów mogło w isony sposób wpłynąć na dynamikę zmienności jakiejś innej waluy. Na ej podsawie możemy swierdzić, czy kóraś z walu dominowała w badanym okresie w regionie, j. pierwsza zareagowała na niepokój na rynku zachodnioeuropejskim i w en sposób wpłynęła na wzros zmienności pozosałych walu. Chcemy również zweryfikować popularne swierdzenie, że nagłe załamanie się kursu forina w październiku 2008 pociągnęło za sobą kryzys pozosałych walu z regionu (zob. np. [1]). Podsumowując, naszym celem nie było sworzenie ogólnego modelu zachowania się kursów waluowych z uwzględnieniem zmian cen, inflacji, oczekiwań i równowagi ogólnej (zob. np. [20], [23]). Nie koncenrowaliśmy się eż na wzroście powiązań walu mierzonym współczynnikiem korelacji kóry o jes najczęściej uwzględniany przy badaniu przenoszenia kryzysów (zob. [13], [14]). Proponowana przez nas meoda bardziej przypomina badanie deszczy meeoryowych zaproponowane przez Engle, * Badania były finansowane z projeków badawczych MNiSW MNiS hrough he Projec Modelowanie zmienności sóp procenowych w krajach Europy Środkowej (N N ), Dynamika zmienności i zależności warunkowych na polskim rynku finansowym: analiza specyfiki, modelowanie i prognozowanie (N N ) oraz Modelowanie polskiego rynku finansowego z wykorzysaniem procesów Lévy ego (N N ).

4 4 Agaa Kliber, Paweł Kliber Io i Lina w 1990 r. [11], j. sprawdzenie, jak zmienność na jednym rynku reaguje na skoki zmienności na rynku sąsiednim. Jeśli reakcja aka jes isona, o przyjmujemy, że nasąpiło przeniesienie impulsu z jednego rynku na drugi, kóre można nazwać zarażaniem. 2. Dane Badanie doyczy kszałowania się zmienności środkowoeuropejskich kursów waluowych. Wykorzysaliśmy dwa zbiory danych: dane pięciominuowe, doyczące okresu (źródło: sooq.pl) oraz dane dzienne, obejmujące okres od do (źródło: oanda.com). Pierwszy zbiór danych wykorzysany zosał do esymacji skoków w kursach waluowych, podczas gdy drugi do oszacowania modeli GARCH (w związku z ym, że do oszacowania modelu GARCH porzebna jes próba o odpowiedniej długości, szereg danych dziennych musiał obejmować odpowiednio dłuższy okres). W przypadku gdy noowania dla kursów waluowych nie pokrywały się, usuwaliśmy dane nadmiarowe. Nasąpiła w en sposób uraa pewnej informacji, ale jak pokazano w [9], jes o meoda, kóra daje dobre wyniki, jeśli chodzi o zachowanie właściwości procesu (przynajmniej w przypadku danych dziennych). W wyniku esymacji skoków orzymaliśmy zbiór dni, w kórych skoki wysąpiły. Skoki e wprowadzone zosały nasępnie do równania w modelu GARCH jako zmienna binarna, gdzie 1 oznaczało dzień, w kórym skok wysąpił, a 0 dzień bez skoku. 3. Meoda badawcza 3.1. Esymacja skoków Przyjmujemy, że logarymy kursów walu można opisać nasępującym modelem dyfuzji ze skokami: dy = a d + v dw + J dq (1) gdzie W jes sandardowym procesem Wienera, q o process Poissona, a J o niezależne zmienne losowe o jednakowym rozkładzie, reprezenujące wielkości skoków. Jeżeli dryf a i dyfuzja s są deerminisyczne (j. mogą się zmieniać, ale nie są procesami sochasycznymi), o y jes procesem Lévy ego o skończonej akywności 1. Model (1) opisuje syuację, w kórej ceny walu kszałują dwa zjawiska. Pierwszym z nich jes normalny san rynku, w kórym ceny zmieniają się nieznacznie (w sposób ciągły), rzymając się rendu długookresowego (a ) i odchylając się od niego jedynie z powodu szumu informacyjnego (s ). Temu sanowi rynku odpowiada pierwsza, dyfuzyjna część równania (1). Drugim zjawiskiem jes sporadyczne pojawianie się nieprzewidywalnych wcześniej informacji, kóre generują skoki cen czyli gwałowne i nieciągłe zmiany. 1 Parz np. [7].

5 Zależności pomiędzy kursami walu środkowoeuropejskich... 5 To zjawisko w równaniu (1) opisane jes procesem Poissona. W przedsawionych dalej esach deekcji skoków a i s mogą być procesami sochasycznymi. Tesy e można sosować akże w syuacji, gdy wysępuje zw. efek dźwigni, czyli korelacja między W i s, co odpowiada obserwowanemu na rynkach fakowi, że okresy wyższej zmienności cen wiążą się na ogół ze spadkami cen. Efek en opisany zosał po raz pierwszy w roku 1976 przez Blacka. W celu wykrycia skoków skorzysamy z grupy esów oparych na saysyce swap variance (wprowadzonej w [15]). Saysyka a mierzy wielkość zysków (lub sra), jakie orzymałoby się sosując sraegię zabezpieczającą dela-hedging do replikacji opcji, kórej wypłay są równe logarymom z końcowych cen insrumenu podsawowego (w ym przypadku z ceny waluy) 2. Można pokazać, że w przypadku braku skoków e zyski (lub sray) są równe skumulowanej wariancji zrealizowanej. Zaem isnienie skoków sprawdza się badając, jak bardzo swap variance różni się od wariancji zrealizowanej. Saysykę swap variance definiuje się nasępującym wzorem: N SwVh = 2 / e r ^ h, i rh, ih, (7) i = 1 gdzie r h,i jes i-ą sopą zwrou w skali czasowej 3 h zaś N oznacza liczbę obserwacji (sóp zwrou) w ciągu dnia. Jeśli np. h = 10 minu i dysponujemy noowaniami od 9.00 do 16.00, o N = 42 oraz i = 1, 2,, 42. Rozważa się rzy esy wykorzysujące ę saysykę (dalej podajemy odpowiednie saysyki esowe): es różnic: JO d N = ^SwVh - RVhh, (8) X sw es logarymiczny: y c N JOl = ^ln SwVh - ln RVhh, X sw (9) es ilorazowy: JO r y c N RVh = e1 - X SwV sw h o. (10) 2 Isnieją akże inne meody wykrywania skoków w finansowych szeregach czasowych. Sosuje się w ym celu meody falkowe (parz np. [12] lub [24]). Meody e zazwyczaj nie pozwalają jednak na konsrukcję esów saysycznych. Meody saysyczne z kolei wykorzysują różnice między wariancją zrealizowaną a wariancją bi-kwadraową (bi-power varianion) (zob. np. [2] lub [3]), albo na zwroach przeskalowanych do lokalnej zmienności (zob. [15]). Pierwsza z ych meod nie jes jednak odporna na efek dźwigni, zaś esy opare na drugiej meodzie mają małą moc. 3 Może o być 20 min, 10 min, 5 min, id. Czym dokładniejsza skala, ym większa moc esu. Jednak przy zby wysokiej częsoliwości pojawiają się efeky mikroskali (odchylenia od prawdziwych cen spowodowane, np. działalnością animaorów rynku), kóre obciążają saysykę.

6 6 Agaa Kliber, Paweł Kliber We wszyskich równaniach powyżej RV h oznacza zmienność zrealizowaną, j. N / RV h = r 2 h, i, i = 1 naomias [y c ] oznacza wariancję kwadraową ciągłej części procesu. Ponado T n6 3 7 X sw = 9 # vs ds, gdzie n6 = 8Cb 2 l / r. Rozkładem asympoycznym (przy h dążącym 0 do 0) wszyskich rzech saysyk jes sandardowy rozkład normalny. Tes obecności skoków ma obusronny obszar odrzuceń Modelowanie zmienności Po oszacowaniu skoków, wprowadzaliśmy je jako zmienne zero-jedynkowe do równania modelu GARCH [6] dla każdej waluy. Niech y oznacza pozbawiony średniej zwro logarymiczny z insrumenu finansowego w chwili, zaś s jego zmienność w chwili. Model GARCH(p, q) przyjmuje nasępującą posać: gdzie: f + iid( 0, 1), a $ 0, b $ 0. i i y = v f, p 2 2 v = a + a y + b v 0 i = 1 i q / / - i j j = 1 Rozparywaliśmy dwa przypadki: w pierwszym zmienne binarne włączyliśmy do równania średniej, w drugim do równania wariancji warunkowej., 2 - j 3.3. Esymacja wspólnych skoków W celu sprawdzenia orzymanych wyników, przeprowadziliśmy akże oszacowania wspólnych skoków (co-jumps) walu. Esymacje e przeprowadza się osobno dla każdej pary kursów waluowych, przyjmując, że proces cen obu walu składa się z rzech składowych. Pierwszą z nich jes część dyfuzyjna (odpowiadająca zmianom kursu waluy w normalnym sanie rynku). Te składniki kursów pary walu mogą być (i najczęściej są) ze sobą skorelowane. Drugą składową sanowią skoki własne każdej waluy. Są o gwałowne zmiany, charakerysyczne ylko dla ej waluy i niezwiązane ze zmianami kursów innych walu. Trzecią składową są wspólne skoki obu walu, przy czym zakłada się, że dla obu walu wysępują one w ych samych chwilach, ale mogą mieć różne wielkości. Zgodnie z ymi założeniami logarymy kursów pary walu można opisać nasępującym układem sochasycznych równań różniczkowych:

7 Zależności pomiędzy kursami walu środkowoeuropejskich... 7 dy 1 = a1 d + v1 dw 1 + J 11 dq 1 + J 1 dq, dy 2 = a2 d + v dw 2 + J 21 dq 2 + J 1 dq. (11) Procesy Wienera W 1 i W 2 mogą być ze sobą skorelowane. Wszyskie procesy Poissona w równaniach (11), j. q 1, q 2 i q, są niezależne (a więc z prawdopodobieńswem 1 procesy e nie mają wspólnych skoków, zob. np. [7] lub [22]). Proces q wyznacza momen wspólnych skoków dla obu walu, podczas gdy procesy q 1 i q 2 odpowiadają za skoki własne każdej waluy. Miarą zależności między dwoma procesami sochasycznymi, opisanymi sochasycznymi równaniami różniczkowymi, jes ich kowariancja kwadraowa (quadraic covariance) (zob. [22], s. 66), kórą można zdefiniować jako: y 1, y ds y 1 y 2 = # v v + / T T. (12) 0 s s Kowariancja kwadraowa ciągłych części procesów (części dyfuzyjnej, bez uwzględnienia skoków) wynosi s # s y 1, y 2 = # v1v2 ds. (13) 0 W celu esymacji obu ych wielkości można skorzysać ze wzoru polaryzacyjnego dla form dwuliniowych (zob. np. [13], s. 66): s s 6y 1, y 4 1 = ^6y 1 + y - 6y 1 - y h, (14) (gdzie [x] oznacza wariancję kwadraową procesu x). Prawdziwy jes eż analogiczny wzór dla kowariancji kwadraowej ciągłych części procesów áy 1, y 2 ñ W celu oszacowania odpowiednich wielkości (wariancji kwadraowych procesów y 1 + y 2 i y 1 y 2 oraz wariancji kwadraowych ich ciągłych składowych) można wykorzysać esymaory wariancji zrealizowanej i wariancji bi-kwadraowej wprowadzone przez Barndorff- Nielsen i Shephard (zob. [2] oraz [3]). Jako esymaor wariancji kwadraowej przyjmujemy wariancję zrealizowaną: N s RV h = / r 2 h, i (15) zaś w celu esymacji wariancji kwadraowej ciągłej części procesu (áyñ ) wykorzysamy nasępującą własność asympoyczną wariancji bi-kwadraowej: N i = 1 2 BPVh = / rh, i - 1 rh, i " r y. (16) i = 2 N " 3 Korzysając z równania (14), jego odpowiednika dla procesów ciągłych, oraz z (15) i (16) orzymujemy nasępujące oszacowanie kowariancji skoków:

8 8 Agaa Kliber, Paweł Kliber / y 1, y 2 y 1, y r 1 r 2 2 r 1 r = %_ h, i + h, ii - _ h, i - h, ii / - r / % r h, i + r h, i r h, i r h, i r h, i - r h, i r h, i r h, i - 1 /. (17) 4. Wyniki 4.1. Wyniki esymacji skoków Przeprowadziliśmy wszyskie rzy esy na podsawie danych za okres od 18 sierpnia do 14 lisopada Dla każdego dnia wyznaczyliśmy opisane wcześniej saysyki JO d, JO r i JO l, posługując się śróddziennymi, dziesięciominuowymi sopami zwrou. Wszyskie rzy esy dały zbliżone wyniki. W rzeczywisości dwa osanie esy (logarymiczny i ilorazowy) dały idenyczne wyniki wskazały isnienie skoków w ych samych dniach. Takie same wyniki orzymaliśmy sosując pierwszy es (es różnic) dla kursów korony czeskiej i słowackiej. W przypadku kursu węgierskiego forina es en wskazywał jeden skok więcej niż pozosałe dwa esy, naomias w przypadku kursu złoego polskiego es en prowadził do wykrycia rzech skoków więcej. Do dalszych badań wzięliśmy zaem wyniki z esów oparych na saysykach JO r i JO l (es logarymiczny i ilorazowy). Wyniki e przedsawiamy w abeli 1 (symbol * oznacza, że w danym dniu wykryo skoki). Należy zwrócić uwagę na wykryy skok dla forina węgierskiego z dnia 9 października był o dzień nagłego osłabienia się ej waluy. Zdarzenie o częso było przedsawiane jako jedno z głównych źródeł kryzysu walu Europy Środkowej. Dni, w kórych wykryo skoki w kursach waluowych Ta b e l a 1 Daa CZK HUF PLN SKK Daa CZK HUF PLN SKK Daa CZK HUF PLN SKK Daa CZK HUF PLN SKK * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

9 Zależności pomiędzy kursami walu środkowoeuropejskich... 9 c d. a b e l i 1 Daa CZK HUF PLN SKK Daa CZK HUF PLN SKK Daa CZK HUF PLN SKK Daa CZK HUF PLN SKK * * * * * * * * * * * * * Opis: symbol * oznacza, że w danym dniu wykryo skoki. Źródło: opracowanie własne. Waro również zwrócić uwagę na skoki wykrye dla korony słowackiej. Jes ich dużo mniej niż w przypadku pozosałych walu. Jes o najprawdopodobniej związane z fakem, iż korona słowacka była w badanym okresie w sysemie ERM2, a zaem jej kurs był konrolowany. Uzyskane przez nas wyniki powierdzają zaem odrębny charaker ej waluy Modele zmienności ze skokami wprowadzonymi do równania średniej W abeli 2 przedsawione zosały wyniki esymacji modeli GARCH ze skokami wprowadzonymi do równania średniej. W pierwszym wierszu każdej komórki przedsawiamy yp modelu GARCH, podając eż rozkład resz. W osanim wierszu umieściliśmy warości kryeriów informacyjnych: pierwsze z nich o kryerium Schwarza, zaś drugie Akaikego. Kryerium Schwarza zawsze preferuje model z mniejszą liczbą paramerów, dlaego spodziewaliśmy się, że w każdym przypadku preferować ono będzie model ze skokami EUR/SKK w równaniu średniej warunkowej (skoków ych było najmniej). Jednakże przypuszczenie o nie okazało się słuszne w przypadku modelu dla EUR/SKK, gdzie oba kryeria wskazały na model ze skokami EUR/HUF w równaniu średniej warunkowej jako najlepiej opisujący zachowanie się EUR/SKK. W przypadku większości walu udało się dopasować do danych model ARMA- GARCH. Wyjąek sanowił model dla korony słowackiej ze skokami korony czeskiej, gdzie udało się dopasować jedynie model IGARCH [10]. Ponado w przypadku korony czeskiej jej zmienność najlepiej opisywały modele GARCH(0,1), czyli po prosu ARCH (wyjąek sanowił model ze skokami forina). W większości przypadków udało się dopasować do danych modele z rozkładem Sudena, aczkolwiek w niekórych przypadkach musieliśmy użyć rozkładu normalnego lub GED [21]. Ponado okazało się, że w przypadku forina węgierskiego, korony czeskiej oraz złoego o właśnie model ze skokami złoego najlepiej opisywał zmienności ych walu.

10 10 Agaa Kliber, Paweł Kliber Zesawienie modeli GARCH ze skokami uwzględnionymi w równaniu dla średniej warunkowej Ta b e l a 2 Zmienna objaśniana EUR/CZK EUR/HUF EUR/PLN EUR/SKK EUR/CZK ARMA(0,0)- GARCH(0,1) Suden(4.8) 1.855/1.67 ARMA(0,0)- GARCH(1,1) Suden(4) 1.919/1.67 ARMA(0,0)-GARCH(0,1) Suden(4.5) 1.89/1.645 ARMA(0,0)-GARCH(0,1) Suden(4.6) 1.78/1.69 EUR/HUF ARMA(1,1)- GARCH(1,1) Gauss 2.234/2.05 ARMA(0,0)- GARCH(1,1) Suden(3.3) 2.214/1.97 ARMA(1,1)-GARCH(1,1) Suden(3) 2.209/1.95 ARMA(0,0)-GARCH(1,1) Suden(3.9) 2.06/1.97 EUR/PLN ARMA(1,0)- GARCH(1,1) Gauss 1.629/1.46 ARMA(1,1)- GARCH(1,1) Suden(3) 1.673/1.41 ARMA(1,1)-GARCH(1,1) Suden(3.8) 1.56/1.3 ARMA(1,1)-GARCH(1,1) Gauss 1.52/1.43 EUR/SKK ARMA(0,0)- IGARCH(1,1) Suden(4) 0.219/0.03 ARMA(0,0)- GARCH(1,1) GED(0.72) 0.214/0.03 ARMA(1,0)-GARCH(1,1) Gauss 0.406/0.16 ARMA(1,1)-GARCH(1,1) Gauss 0.25/0.14 Opis: W boczku abeli znajduje się zmienna objaśniana, w główce podano zmienne objaśniające. W każdej komórce podano oszacowany model ARMA-GARCH z odpowiednim rozkładem i liczbą sopni swobody (poza rozkładem normalnym). W osanim wierszu każdej komórki znajdują się kryeria informacyjne: Schwarza i Akaiego. Źródło: opracowanie własne Modele zmienności ze skokami wprowadzonymi do równania wariancji W drugim eapie badania oszacowaliśmy modele GARCH ze zmiennymi objaśniającymi w równaniu wariancji warunkowej. Tabela 3 przedsawia wyniki esymacji. Tak jak w poprzednim przypadku, kryerium Schwarza preferowało modele, w kórych do równania wariancji warunkowej wprowadzono skoki EUR/SKK. Jeśli weźmiemy jednak pod uwagę kryerium Akaikego, o w przypadku kursu korony czeskiej preferowanym modelem był en, w kórym zmiennymi wprowadzanymi do równania wariancji warunkowej były skoki własne. Model ze skokami EUR/CZK był akże preferowany w przypadku zmienności korony słowackiej. Naomias oba kryeria informacyjne wskazały jako najlepszy model ze skokami EUR/SKK objaśniającymi zmienność węgierskiego forina. Jednakże analiza oszacowanego modelu wykazała, że skoki e były zmiennymi nieisonymi, dlaego eż uznaliśmy, iż zmienność forina najlepiej będzie objaśniał model z własnymi skokami. Podobna syuacja zaszła w przypadku modelu dla złoego oba kryeria faworyzowały model z nieisonymi zmiennymi objaśniającymi.

11 Zależności pomiędzy kursami walu środkowoeuropejskich Tak jak w poprzednim badaniu, w przypadku korony słowackiej nie udało się dopasować w każdym przypadku modelu GARCH i do zmienności ej waluy dopasowane zosały modele IGARCH (wyjąek sanowił model ze skokami forina, gdzie oszacowany zosał model ARCH z rozkładem GED). Również w przypadku modeli zmienności korony czeskiej ze skokami korony słowackiej oraz ze skokami własnymi dopasowane zosały modele ARCH. Ta b e l a 3 Zesawienie modeli GARCH ze skokami uwzględnionymi w równaniu dla wariancji warunkowej Zmienna objaśniana EUR/CZK EUR/HUF EUR/PLN EUR/SKK EUR/CZK ARMA(0,0)- GARCH(0,1) Suden(6.2) 1.88/1.69 ARMA(1,0)- GARCH(1,1) Suden(6.3) 1.95/1.71 ARMA(1,0)-GARCH(1,1) Suden(6.2) 1.99/1.71 ARMA(1,1)-GARCH(0,1) Suden(4.5) 1.82/1.71 EUR/HUF ARMA(1,1)- GARCH(1,1) Gauss 2.21/2.03 ARMA(1,1)- GARCH(1,1) GED(1.23) 2.25/1.99 ARMA(1,0)-GARCH(1,1) GED(1.23) 2.26/2.02 ARMA(1,0)-GARCH(1,1) Suden(4.1) 2.07/1.98 EUR/PLN ARMA(1,0)- GARCH(1,1) Gauss 1.59/1.41 ARMA(1,1)- GARCH(1,1) Suden(6.8) 1.69/1.43 ARMA(1,0)-GARCH(1,1) Gauss 1.66/1.43 ARMA(1,1)-GARCH(1,1) Suden(4.8) 1.50/1.40 EUR/SKK ARMA(0,0)- IGARCH(1,1) Suden(4.3) 0.19/0.01 ARMA(1,0)- GARCH(0,1) GED(0.89) 0.45/0.21 ARMA(1,0)-IGARCH(1,1) Suden(4.2) 0.26/0.02 ARMA(1,0)-IGARCH(1,1) Gauss 0.19/0.13 Opis: W boczku abeli znajduje się zmienna objaśniana, w główce podano zmienne objaśniające. W każdej komórce podano oszacowany model ARMA-GARCH z odpowiednim rozkładem i liczbą sopni swobody (poza rozkładem normalnym). W osanim wierszu każdej komórki znajdują się kryeria informacyjne: Schwarza i Akeikego. Źródło: opracowanie własne. Podsumowując, modelami preferowanymi przez kryeria informacyjne były e, w kórych skoki zosały wprowadzone do równania średniej warunkowej. W przypadku średniego poziomu złoego, forina oraz korony czeskiej najlepszymi modelami okazały się e, w kórych zmiennymi objaśniającymi były skoki złoego, zaś w przypadku korony słowackiej skoki forina. Co ciekawe, skok forina z dnia okazał się mieć mniejszy wpływ na zmienność walu z regionu niż skoki złoego, kóre po nim nasąpiły.

12 12 Agaa Kliber, Paweł Kliber 4.4. Wyniki esymacji wspólnych skoków W przeprowadzonych badaniach wyznaczyliśmy oszacowania wspólnych skoków dla wszyskich par walu, j. dla par CZK-HUF, CZK-PLN, CZK-SKK, HUF-PLN, HUF SKK oraz PLN-SKK. Tuaj prezenujemy jedynie najciekawsze z orzymanych wyników. Na rysunkach 1-3 przedsawiamy udział wariancji wspólnych skoków w całkowiej wariancji kwadraowej (wariancji zrealizowanej) danej waluy. Rysunek 1 przedsawia udział wspólnych skoków pary walu HUF-PLN w całkowiej wariancji zrealizowanej PLN. Jak ławo zauważyć, udział en jes wysoki (zazwyczaj mieści się w przedziale od kilku procen do 30%). Dla ej właśnie pary walu powiązania skoków były najsilniejsze. Rzuca się w oczy jeszcze jedna ważna obserwacja gwałowny wzros do 60% w dniu Był o dzień gwałownego spadku kursu węgierskiego forina. Podobny wzros widać eż na rysunku 2, obrazującym wspólne skoki CZK i HUF. Na jego podsawie możemy przypuszczać, że spadek kursu forina z był spowodowany wspólnymi skokami kursów węgierskiego forina i korony czeskiej. Rysunek 3 obrazuje związki między skokami CZK i PLN. Na podsawie zobrazowanych na nim wyników możemy sądzić, że w badanym okresie wysąpił pewien wzros powiązań skoków obu ych walu. 70,00% 60,00% 50,00% 40,00% 30,00% 20,00% 10,00% 0,00% Rysunek 1. Wspólne skoki HUF i PLN (udział w zmienności kursu PLN) Źródło: opracowanie własne.

13 Zależności pomiędzy kursami walu środkowoeuropejskich ,00% 45,00% 40,00% 35,00% 30,00% 25,00% 20,00% 15,00% 10,00% 5,00% 0,00% Rysunek 2. Wspólne skoki CZK i HUF (udział w zmienności kursu HUF) Źródło: opracowanie własne. 18,00% 16,00% 14,00% 12,00% 10,00% 8,00% 6,00% 4,00% 2,00% 0,00% Rysunek 3. Wspólne skoki CZK i PLN (udział w zmienności kursu PLN) Źródło: opracowanie własne.

14 14 Agaa Kliber, Paweł Kliber 6. Wnioski Przeprowadziliśmy dwa rodzaje esów w celu zbadania zależności między kursami walu wybranych krajów Europy Środkowej. Na podsawie noowań dziesięciominuowych wyznaczyliśmy dni wysępowania skoków (gwałownych zmian) w kursach każdej z walu, a nasępnie wyróżniliśmy e dni w modelu GARCH, szacowanym na podsawie danych dziennych, posługując się zmiennymi zero-jedynkowymi. Jak się okazało, model uwzględniający skoki w równaniu średniej warunkowej daje lepsze dopasowanie (mierzone kryeriami informacyjnymi) niż model ze skokami uwzględnionymi w równaniu wariancji warunkowej. Można sąd wyciągnąć wniosek, że gwałowane zmiany w kursie jednej waluy prowadzą raczej do zmian w poziomie kursów innych walu niż do zmian zmienności kursów innych walu. Na podsawie modeli GARCH można swierdzić, że zmiany w kursie złoego w sosunku do euro silnie wpływają na kursy pozosałych walu. Jednak dopiero analizy wspólnych skoków ujawniają, że na poziom kursów walu najbardziej wpływają nie yle same zmiany w kursie PLN/EUR, co wspólne skoki kursów złoego i forina. Możemy zaem zaryzykować swierdzenie, że źródłem zarażania były gwałowne zmiany zachodzące jednocześnie na rynku polskim i węgierskim. Powody wysępowania ych skoków nie są jasne. Można się domyślać, że w grę wchodzą u aaki spekulacyjne lub wycofanie się z ych rynków dużego inwesora. Uniwersye Ekonomiczny w Poznaniu Lieraura [1] Baj L., Forin złoy dwa braanki. Niesey dla Polaków, Gazea Wyborcza, ar. z dn [2] Barndorff-Nielsen O.E., Shephard N., [2004], Power and bipower variaion wih sochasic volailiy and jumps, Journal of Financial Economerics, 2, s [3] Barndorff-Nielsen O.E., Shephard N., [2006], Economerics of esing for jumps in financial economics using bipower variaion, Journal of Financial Economerics, 4, s [4] Black F., [1976], Sudies of Sock Price Volailiy Changes, Proceedings of he 1976 Meeing of he American Saisical Associaion, s [5] Black F., Scholes M., [1973], The Pricing of Opions and Corporae Liabiliies, Journal of Poliical Economy, 81, s [6] Bollerslev T., [1986], Generalized Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy, Journal of Economerics, 31, s [7] Con R., Tankov P., [2004], Financial Modelling wih Jump Processes, Chapmann & Hall. [8] Doman M., [2009], Inerdependencies in he European Currency Marke, Małoka M. [ed.] Quaniive Mehods in Economics, Wydawnicwo Uniwersyeu Ekonomicznego w Poznaniu. [9] Doman M., [2009], Modelling Volailiy and Condiional Correlaions: Do Holidays Maer?, prezenacja na konferencji Macromodels Inernaiona Conference, Bochnia. [10] Engle R.F., Bollerslev T., [1986], Modeling he Persisence of of Condiional Variances, Economeric Reviews, 5, s [11] Engle R.F., Io T., Lin W., [1990], Meeor Showers or Hea Waves? Heeroskedasic Inra- Daily Volailiy in he Foreign Exchange Marke, Economerica, 58, s [12] Fan J., Wan Y., [2007], Muli-Scale Jump and Volailiy Analysis for High-Frequency Financial Daa, Journal of American Saisical Assoiaion, 102, s

15 Zależności pomiędzy kursami walu środkowoeuropejskich [13] Forbes K., Rigobon R., [2002], No Conagion, Only Inerpendence: Measuring Sock Marke Co-Movemens, The Journal of Finance, 57, s [14] Huang B.N., Yang C.W., [2003], An Analysis of Exchange Rae Linkage Effec: an Applicaion of he Mulivariae Correlaion Analysis, Journal of Asian Economics, 14, s [15] Jiang G.J., Oomen R.C.A., [2008], Tesing for Jumps When Asse Prices are Observed wih Noise A Swap Variance Approach, Journal of Economerics, Vol. 144, s [16] Kliber A., [2010], Sopy procenowe i kursy waluowe. Zależność i powiązania w gospodarkach środkowoeuropejskich, Wolers Kluwer Polska OFICYNA. [17] Lee S.S., Mykland P.A., [2006], Jumps in Real-ime Financial Markes: A New Nonparameric Tes and Jump Dynamics, Technical Repor No. 566, Deparmen of Saisics, Universiy of Chicago. [18] Mandelbro B.B., Hudson R.L., [2005], Frakale und Finanzen, Piper. [19] Meron R., [1976], Opion pricing when underlying sock reurns are disconinuous, Journal of Financial Economics, 3, s [20] Mussa M., [1982], A Model of Exchange Rae Dynamics, Journal of Poliical Economy, 90, s [21] Nelson D.B., [1991], Condiional Heeroskedasiciy in Asse Reurns: A New Approach, Economerica, 59, s [22] Proer P.E., [2005], Sochasic Inegraion and Differenial Equaions, Springer. [23] Taylor M.P., [1995], The Economics of Exchange Raes, Journal of Economic Lieraure, 33, s [24] Wang Y., [1995], Jump and Sharp Cusp Deecion via Waveles, Biomerica, 822, s Praca wpłynęła do redakcji w syczniu 2010 r. Zależności pomiędzy kursami walu Środkowoeuropejskich w okresie kryzysu 2008 S r e s z c z e n i e W arykule zajmujemy się analizą powiązań walu Europy Środkowej w okresie kryzysu z końca roku Saramy się odpowiedzieć na pyanie o mechanizmy przenoszenia ego kryzysu. W ym celu wyznaczamy skoki gwałowne zmiany kursów dla czerech walu regionu: polskiego złoego, węgierskiego forina, czeskiej korony i korony słowackiej. Orzymane momeny skoków wykorzysujemy przy opisie zmienności kursów modelami GARCH. Nasępnie esymujemy wspólne skoki dla par walu i sprawdzamy, jaka część zmienności kursów jes przez nie spowodowana. Orzymane wyniki sugerują, że gwałowne zmiany kursu jednej waluy miały wpływ na poziom kursów innych walu (ale już nie zawsze na ich zmienność) oraz, że największy wpływ miały u wspólne skoki polskiego złoego i węgierskiego forina. Słowa kluczowe: kryzysy waluowe, modele dyfuzji ze skokami, zmienność kursów walu, modele GARCH, wariacja zrealizowana The inerdependences among exchange raes of Cenral European currencies in he ligh of crisis in 2008 S u m m a r y In he paper we ry o analyze he inerrelaions beween currencies in Cenral Europe during he financial crisis in In order o find ou he ransiion mechanism of he crisis we esimae he jumps (i.e. sudden changes) in exchange raes of four currencies of he region: Polish Zloy, Hungarian Forin, Czech Crown and Slovakian Crown. We use he obained momens of jumps as dummy variables in GARCH models for exchange raes. Then we also esimae co-jumps for pairs of analyzed currencies o check how

16 16 Agaa Kliber, Paweł Kliber much of he volailiy is due o he common jumps. The resuls sugges ha sudden jumps in any currency causes he changes in levels of oher currencies (alhough no in volailiy of oher currencies) and ha he common jumps in Polish zloy and Hungarian forin had he greaes influence. Key words: currency crises, jump-diffusion models, volailiy of exchange raes, GARCH models, realized variaion

17 PrzeglĄd saysyczny R. LVII zeszy Paweł Baranowski, Małgorzaa Mazurek, Maciej Nowakowski, Marek Raczko Czy dezagregacja indeksu cen poprawia prognozy polskiej inflacji? 1 1. Wprowadzenie Celem opracowania jes weryfikacja meod prognozowania inflacji w Polsce. W oparciu o prognozy bezwarunkowe zbadana zosanie możliwość poprawy ich rafności dzięki wykorzysaniu 12 subindeksów cen dóbr i usług konsumpcyjnych (CPI). Sawiamy hipoezę, iż agregacja prognoz subindeksów cen (komponenów CPI) polepsza rafność prognoz inflacji. Nieliczne, jak doąd, próby weryfikacji powyższej hipoezy nie przynoszą jednoznacznego rozsrzygnięcia ego problemu. Próby weryfikacji ej hipoezy dla Polski nie są nam znane. Prognozy dla poszczególnych komponenów wyznaczymy za pomocą modeli auoregresji (AR), średniej ruchomej (MA), wekorowej auoregresji (VAR) oraz auoregresji progowej (TAR). Na podsawie prognoz ou-of-sample sięgających 1, 2 i 3 kwarały naprzód porównamy prognozy inflacji wyznaczone na podsawie komponenów z bezpośrednimi prognozami agregau. Srukura opracowania jes nasępująca. W sekcji pierwszej przedsawiamy koncepcję łączenia i agregacji prognoz oraz moywację dla podjęcia badań. W drugiej części prezenujemy dane saysyczne. W kolejnej części opisano zasosowaną meodologię wyznaczania i oceny prognoz. Nasępnie przedsawiono rezulay badania oraz wnioski. 2. Moywacja oraz doychczasowe badania Koncepcja łączenia prognoz, polegająca na wyznaczaniu średniej z różnych prognoz ego samego szeregu jes znana w ekonomerii już od końca la 60. XX wieku [4]. W lieraurze ([17], [28]) wymienia się nasępujące zaley prognoz łączonych: proces generowania danych zmiennej prognozowanej może być złożony, przez co pojedyncze meody wyjaśniają jedynie jego niewielką część. Formułowanie prognoz w oparciu o różne modele jes zaem jednym ze sposobów rozszerzenia specyfikacji modelu (zarówno jeśli chodzi o zakres zmiennych objaśniających, jak i specyfikację dynamiczną), 1 Wsępna wersja opracowania zosała zaprezenowana w kwieniu 2009 r. na seminarium Insyuu Ekonomicznego NBP. Dziękujemy uczesnikom ego seminarium za cenne uwagi.

18 18 Paweł Baranowski, Małgorzaa Mazurek, Maciej Nowakowski, Marek Raczko częso wysępuje zamienność pomiędzy sopniem objaśnienia (wewnąrz próby) a odpornością modelu na zmiany srukuralne. W obliczu rudności z idenyfikacją akiej zmiany na eapie formułowania prognoz, średnia prognoza z różnych meod może sanowić kompromis między dopasowaniem a odpornością, wykorzysanie różnych informacji w poszczególnych prognozach zazwyczaj sprawia, że średnia z prognoz ma niższą wariancję, średnia ważona z poszczególnych prognoz może również pełnić rolę koreky wyrazu wolnego, dzięki czemu prognoza łączona będzie nieobciążona. Celowość wyznaczania ego ypu prognoz była przedmioem wielu badań, akże dla gospodarki polskiej (por. np. [14], [15]). Nieco innym podejściem do łączenia prognoz jes agregacja prognoz sformułowanych względem zmiennych o niższym sopniu agregacji. Najczęściej agregacja a przebiega w wymiarze przesrzennym lub sekorowym. Ze względu na cel badania skoncenrujemy się na agregacji sekorowej 2. Analizy cen jednoskowych oraz badania ankieowe przedsiębiorsw wskazują, że mechanizmy kszałowania cen są bardzo zróżnicowane w obrębie poszczególnych sekorów ([11], [19]). Podobnych wniosków dosarczają szacunki paramerów nowokeynesisowskiej krzywej Phillipsa dla 20 sekorów przemysłu [21]. Teoria ekonomii również dosarcza uzasadnienia dla zróżnicowania procesów generujących dynamikę cen w różnych sekorach gospodarki. Przede wszyskim różny może być mechanizm powsawania ceny danego dobra. Teoria aukcji w dość dobiny sposób pokazuje jak w zależności od zasosowanego mechanizmu aukcyjnego może zależeć cena dobra (np. cena wyznaczona poprzez aukcję angielską a cena wyznaczona poprzez aukcję Vickereya). Kolejnym czynnikiem z kaegorii mechanizmu kszałowania się cen może być zagadnienie asymerii informacji [1]. W bardziej klasycznych podejściach sposób usalania ceny przez rynek zależy od sopnia zmonopolizowania rynku, zaczynając od doskonałej konkurencji (ceny równe koszom krańcowym), poprzez konkurencję monopolisyczną czy oligopole, a kończąc na pełnym monopolu (cena maksymalizująca zysk). Mechanizm powsawania ceny jes szczególnie blisko związany z dynamiką cen, na przykład inaczej przebiegnie dososowanie cenowe w różnych przypadkach monopolu. Co więcej szczególną rolę odgrywają u szywności nominalne, akie jak koszy menu [5] czy eż brak możliwości ciągłego dososowania cen (saggered prices zob. [7]). Z pewnością różne sekory gospodarki charakeryzują się różnym sopniem zmonopolizowania rynku, a akże różnymi szywnościami. Z punku widzenia modeli przedsawionych w niniejszym arykule, isona wydaje się kwesia, czy inflacja jes pchana koszami (cos-push) czy ciągnięa popyem (demand pulled). W przypadku sekorów, w kórych przeważa pierwszy czynnik, pomocne przy modelowaniu może być uwzględnienie dynamiki wynagrodzeń w danym sekorze, naomias w przypadku zmiany ceny indukowanej poprzez zmianę popyu przydane może okazać się zasosowanie ogólnej dynamiki płac w gospodarce. Poszczególne sekory gospodarki mogą charakeryzować się akże różnym sopniem globalizacji, a mianowicie zależnością ceny danego dobra od cen globalnych. Z pewnością akim sekorem może być sekor ransporowy, gdzie ceny benzyny są 2 Przykładem przesrzennej agregacji prognoz inflacji jes np. praca [24].

19 Czy dezagregacja indeksu cen poprawia prognozy polskiej inflacji? 19 indeksowane do cen baryłki ropy na globalnych rynkach. W ym przypadku isnieje również problem separowalności rynku zbyu. Nawe jeśli dobro jes międzynarodowe, a rynek jes separowalny o producen może zdecydować się na zw. pricing-o-marke, co również nie pozosanie bez wpływu na dynamikę ceny danego sekora. Na koniec, jednym z najważniejszych czynników, kóry należy uwzględnić przy modelowaniu inflacji jes kwesia sezonowości, kóra może być szczególnie ważna w przypadku żywności lub urysyki. Ponado w każdym przypadku wzorzec sezonowości może być różny. Należy zauważyć, iż w przypadku modeli AR, MA, VAR i TAR użyych w niniejszym opracowaniu nie wprowadzamy bezpośrednio w użycie żadnej z eorii ekonomicznych uzasadniających zróżnicowanie sekorowe cen. Jednakże można domniemywać, iż w przypadku znacząco różniących się procesów opisujących zachowanie się poszczególnych subindeksów, zagregowany indeks powinien być reprezenowany przez bardzo skomplikowany proces. W akim przypadku szacowany model dla agregau może nadmiernie upraszczać prawdziwy mechanizm, a przez o generować znaczące błędy prognozy. Na podsawie powyższych rozważań można posawić hipoezę, że wyznaczenie osobnych prognoz dla poszczególnych komponenów (subindeksów cen), a nasępnie ich agregacja, mogłyby poprawić jakość prognoz zagregowanego indeksu. Dodajmy, że w badaniu nie modelujemy zależności pomiędzy subindeksami. Od srony eoreycznej isnienie akich zależności jes bardzo prawdopodobne (chociażby wpływ subindeksu ranspor na inne subindeksy), jednak ze względu na sosunkowo krókie szeregi czasowe pełne uwzględnienie ych zależności nie wydaje się obecnie możliwe. W pracy [23] wskazuje się, na przykładzie szerokiej klasy modeli, iż od srony eoreycznej celowość zasosowania danych zdezagregowanych w celu wyznaczania prognoz agregau nie jes jednoznaczna. Ze względu na nieprecyzyjne oszacowanie paramerów przewaga modeli oparych o dane zagregowane może być widoczna zwłaszcza w krókich próbach, a akże w syuacji gdy proces generujący dane jes zbliżony dla wszyskich komponenów agregau. Najczęściej meodologię ę sosowano jedynie w odniesieniu do jednego lub dwóch komponenów o największej zmienności (np. cen paliw lub żywności) oraz inflacji bazowej z wyłączeniem ych komponenów. Tego ypu podejście jes popularne w modelach sosowanych przez banki cenralne (np. w Polsce model NECMOD, zob. [6]), zaś w wersji uwzględniającej dodakowo ceny konrolowane [27]. Szersze ujęcia sekorowej agregacji prognoz zasosowano w kilku najnowszych badaniach. W pracy [18] porównano prognozy inflacji HICP dla srefy euro wyznaczone w oparciu o 5 subindeksów cen (energii, usług, żywności przeworzonej i nieprzeworzonej oraz dóbr nieżywnościowych). Auorka zasosowała dane miesięczne. Prognozy wyznaczono w oparciu o modele AR oraz VAR z różnymi zesawami zmiennych. Wbrew przypuszczeniom, zasosowanie prognozy z komponenów nie poprawiło rafności prognoz HICP. Zbliżone badania przeprowadzono dla Holandii oraz srefy euro [26]. Podobnie jak w poprzednio omówionym badaniu, auorzy zasosowali dane miesięczne w podziale na 5 głównych subindeksów. Orzymane rezulay wskazywały, iż prognoza z komponenów

20 20 Paweł Baranowski, Małgorzaa Mazurek, Maciej Nowakowski, Marek Raczko jes isonie lepsza od prognozy wyznaczonej na podsawie danych zagregowanych (dla Holandii jedynie dla prognoz o horyzoncie nie dłuższym niż 7 miesięcy). W pracy [2] podjęo o zagadnienie dla inflacji w USA. Zasosowano dane miesięczne zdezagregowane na 3 komponeny (dobra rwałego użyku, pozosałe dobra i usługi). W odróżnieniu od cyowanych powyżej prac, zamias modeli AR lub VAR zasosowali model koreky błędem (ECM) z opóźnieniami sięgającymi co najmniej horyzonowi prognozy, dzięki czemu możliwe było wyznaczenie prognoz bezwarunkowych. Badanie o wskazuje, iż agregacja prognoz komponenów pozwala poprawić jakość prognoz dynamiki cen. 3. Dane Jak już wspomniano, posawioną hipoezę weryfikujemy dla kwaralnej inflacji wyrażonej za pomocą indeksu cen dóbr i usług konsumpcyjnych (CPI) w Polsce. W ym celu wykorzysamy dane kwaralne, począwszy od I kwarału 1999 r. do IV kwarału 2008 r. (40 obserwacji). W miarę dosępności porównywalnych szeregów (j. dla 3 subindeksów oraz indeksu zagregowanego) wykorzysamy próbę dłuższą, rozpoczynającą się od I kwarału 1998 r. Wykorzysane meody prognozowania są adekwane dla szeregów sacjonarnych. Przeprowadzone esy wskazują, że kwaralna sopa inflacji oraz inne zmienne użye do badania są sacjonarne (zob. załącznik 1). Na sacjonarność sopy inflacji wskazują akże rezulay wielu najnowszych badań (np. [3], [9], [25]). Co więcej, argumenu na rzecz sacjonarności inflacji dosarczają akże rozważania eoreyczne. W krajach sosujących sraegię bezpośredniego celu inflacyjnego prowadzących skueczną poliykę pieniężną, odchylenia inflacji od celu nie będą rwałe a co za ym idzie inflacja będzie sacjonarna 3. Pozosałymi zmiennymi zasosowanymi do badania były: empo wzrosu wynagrodzeń (przecięnych oraz w podziale na 8 sekorów) oraz luka PKB wyznaczona jako odchylenie logarymu produku krajowego bruo od liniowego rendu deerminisycznego. Szczegółowe zesawienie subindeksów cen oraz odpowiadających im wynagrodzeń w poszczególnych sekorach zaprezenowano w załącznikach. 4. Meodologia Prognozy dla poszczególnych komponenów wyznaczono za pomocą modeli auoregresji (AR), modeli średniej ruchomej (MA), wekorowej auoregresji (VAR) oraz auoregresji progowej (TAR). 3 Wnioski e powierdzają badania [13]. Z kolei w pracy [16] swierdza się zmiany sopnia zinegrowania inflacji, akże na począku la 80. inflacja w Wielkiej Bryanii oraz USA sała się sacjonarna. Z ego względu sądzimy, że zmiana próby może w znacznym sopniu łumaczyć różnice wniosków co do sacjonarności inflacji w sosunku do wcześniejszych badań dla Polski (np. [20]).

21 Czy dezagregacja indeksu cen poprawia prognozy polskiej inflacji? 21 W modelach ych, ze względu na poencjalnie isoną nieobjaśnioną sezonowość badanych szeregów dopuszczono możliwość wysępowania deerminisycznej sezonowości (wyrażonej za pomocą zmiennych zero-jedynkowych). Użye modele, odpowiednio AR i MA miały zaem nasępującą posać: S AR( s): r = a + / a r + c 6 z z + f (1) ( i), 0 j = 1 j ( i), - j l Q k 1 MA( q): r( i), = a + c 1 6 z z l+ f + / = bkf - k, (2) gdzie: p (i), łańcuchowy indeks cen dla i-ej grupy dóbr i usług, z 1, z 2, z 3 zmienne zero-jedynkowe, przyjmujące warość jednoskową odpowiednio w 1, 2 i 3 kwarale każdego roku, a 0, a 1,, c 1 paramery srukuralne (c 1 wekor wierszowy paramerów srukuralnych związanych ze zmiennymi zero-jedynkowymi). Modele VAR miały nasępującą posać: S VAR( s): y = c + / A y + C 6 z z + (3) ( i), 0 j = 1 j ( i), - j l f gdzie: y (i), = [p (i), w (i), xgap ] wekor zmiennych endogenicznych (w kórego skład wchodzą odpowiednio: łańcuchowy indeks cen dla i-ej grupy dóbr i usług, empo wzrosu wynagrodzeń w sekorze odpowiadającym i-ej grupie dóbr i usług oraz luka PKB) 4, c 0, C 1, A j macierze paramerów srukuralnych, e wekor składników losowych. Modele TAR miały nasępującą posać 5 : / S TAR( s): r( i), = a0 + j = 1 ajr( ), - + a c r( ), C 1 6 z1 z2 f 1 dla r( i), - 1 $ TR c = * 0 dla r < TR i j TR i ( i), - 1 (4) gdzie: a TR paramer srukuralny, TR wielkość zw. progu (paramer srukuralny podlegający szacowaniu). Na podsawie modeli od (1) do (4) wyznaczono prognozy o horyzoncie h = 1, 2 lub 3 kwarały, dla okresu weryfikacji (ou-of-sample) obejmującego okres od III kwarału 4 Indeks cen oraz empo wzrosu wynagrodzeń obliczano w sosunku do poprzedniego kwarału (/ 1). 5 Poszerzenie zbioru modeli prognosycznych o modele progowe zaproponowała K. Herel. Do oszacowania wielkości progu zasosowaliśmy algorym zaproponowany przez Chena (zob. [12]). Ze względu na króką próbę zmniejszono zakres dopuszczalnych warości progu (j. 25 do 75 percenyl, zamias 15 do 85).

22 22 Paweł Baranowski, Małgorzaa Mazurek, Maciej Nowakowski, Marek Raczko 2006 r. do IV kwarału 2008 r. (10 kwarałów). Próba w oparciu, o kórą esymowano paramery sopniowo rosła (recursive sample, expanding window) 6. W esymowanych modelach AR, MA, VAR i TAR w każdej podpróbie dokonywano wyboru 7 : rzędu opóźnień (w modelach AR od zera 8 do pięciu, MA od jednego do pięciu, VAR od jednego do rzech, TAR od jednego do dwóch) na podsawie kryerium Schwarza 9, uwzględnienia lub nieuwzględnienia w modelu sezonowości (zmiennych zero- jedynkowych). Kierując się sopniem objaśnienia w próbie, w modelach VAR dla każdego indeksu dokonano również wyboru miernika wynagrodzeń, zgodnie z wcześniejszymi rozważaniami (specyficzne dla danego sekora, przecięne albo w sekorze przedsiębiorsw). Prognozy poszczególnych 12 subindeksów (komponenów) zagregowano do indeksu CPI używając wag sosowanych przez GUS (różnych dla poszczególnych la): r / (5) 12 = i 1 w ( i), r = ( i), gdzie: r, r ( i), prognozy odpowiednio: inflacji CPI oraz i-go subindeksu CPI, w (i), wagi GUS przypisane poszczególnym subindeksom. Tak orzymane prognozy porównano z analogicznymi prognozami wyznaczonymi za pomocą modelu na podsawie danych zagregowanych (sopa inflacji CPI, empo wzrosu wynagrodzeń przecięnych oraz luka PKB). 5. Rezulay Począkowo analizie poddano błędy prognoz poszczególnych subindeksów. Dla prognoz 10 subindeksów za pomocą modeli AR błędy e kszałowały się na poziomie nieprzekraczającym 1,5 pk procenowego (zob. załącznik 2). W przypadku modeli VAR oraz MA, rezula aki orzymano dla 9 subindeksów (zob. załączniki 3 i 4). Największe błędy prognoz odnoowano dla komponenów: ranspor, łączność oraz rekreacja i kulura. Dlaego eż podjęo próby poprawy prognoz ych subindeksów. Ze względu na znaczny udział podaków pośrednich w cenie paliw, będących najisoniejszym komponenem indeksu cen usług ransporowych, dołączono do modelu VAR zmienną egzogeniczną względną zmianę sawek akcyzy na benzynę bezołowiową. Próbowano akże uwzględnić dynamikę cen ropy nafowej (wyrażoną w złoych), wprowadzoną z opóźnieniem równym horyzonowi prognozy (ze względu 6 W celu zbadania wrażliwości wyników, równolegle przedsawiamy błędy w okresie weryfikacji od II kwarału 2005 do IV kwarału 2008 (15 kwarałów). 7 Szczegółowe rezulay w ym zakresie przedsawia załącznik. 8 Przez model AR(0) rozumiemy model, w kórym wysępuje jedynie sała. 9 H. Lükepohl ([22], s ) wskazuje, że w krókich próbach zasosowanie kryerium Schwarza przynosi relaywnie najniższe błędy prognoz.

23 Czy dezagregacja indeksu cen poprawia prognozy polskiej inflacji? 23 na porzebę wyznaczenia prognoz bezwarunkowych). Zabiegi e nie poprawiły błędów prognoz w okresie weryfikacji. W przypadku prognoz subindeksu łączność w oparciu o modele VAR dobre rezulay przyniosło skrócenie okresu esymacji (jak sądzimy ze względu na znaczny udział cen konrolowanych we wcześniejszym okresie). Tak wyznaczone prognozy komponenów zagregowano. W efekcie orzymano prognozy inflacji CPI, kóre zosały porównane z prognozami sformułowanymi na podsawie danych zagregowanych. Porównań dokonano dla inflacji wyrażonej w ujęciu rocznym (w sosunku do analogicznego kwarału roku poprzedniego). W ym celu wszyskie prognozy ożsamościowo przekszałcono do indeksu / 4 (o podsawie analogiczny okres roku poprzedniego), przyjmując warości z kwarałów będących w próbie jako dane. Przykładowo, ak rozumiana prognoza o horyzoncie 2 kwarałów zosała wyznaczona nasępująco: roczna kwar kwar kwar kwar r = _ 1 + r i_ 1 + r i_ 1 + r i_ 1 + r i - 1. (6) Rysunki 1-4 przedsawiają porównanie prognoz inflacji na 2 kwarały naprzód sformułowanych na podsawie komponenów i danych zagregowanych inf AR AR_komp q2 2005q4 2006q2 2006q4 2007q2 2007q4 2008q2 2008q4 Rysunek 1. Prognozy za pomocą modeli AR (h = 2 kwarały) 10 Źródło: opracowanie własne. 10 Końcówka komp. oznacza prognozę wyznaczoną na podsawie subindeksów (komponenów).

24 24 Paweł Baranowski, Małgorzaa Mazurek, Maciej Nowakowski, Marek Raczko inf MA MA_komp q2 2005q4 2006q2 2006q4 2007q2 2007q4 2008q2 2008q4 Rysunek 2. Prognozy za pomocą modeli MA (h = 2 kwarały) Źródło: opracowanie własne inf VAR VAR_komp q2 2005q4 2006q2 2006q4 2007q2 2007q4 2008q2 2008q4 Rysunek 3. Prognozy za pomocą modeli VAR (h = 2 kwarały) Źródło: opracowanie własne.

25 Czy dezagregacja indeksu cen poprawia prognozy polskiej inflacji? inf TAR TAR komp q2 2005q4 2006q2 2006q4 2007q2 2007q4 2008q2 2008q4 Rysunek 4. Prognozy za pomocą modeli TAR (h = 2 kwarały) Źródło: opracowanie własne. Dla ych prognoz, jak również prognoz z modeli oparych o dane zagregowane, wyznaczono błędy RMSFE (pierwiasek średniokwadraowego błędu prognoz). Wyniki w ym zakresie przedsawia abela 1. Porównanie błędów RMSFE poszczególnych prognoz (p. proc.) Ta b e l a 1 II.05 IV.08 (15 obs.) III.06 IV.08 (10 obs.) h = 1 h = 2 h = 3 h = 1 h = 2 h = 3 AR 0,48 1,23 1,71 0,44 0,79 0,96 AR komp. 0,48 0,90 1,21 0,45 0,73 0,96 MA 0,64 1,08 1,45 0,63 0,79 1,02 MA komp. 0,60 1,04 1,41 0,41 0,54 0,72 VAR 0,68 0,97 1,09 0,69 1,03 1,24 VAR komp. 0,59 0,84 0,92 0,59 0,91 1,03 TAR 0,58 1,10 1,87 0,51 0,78 0,86 TAR komp. 0,70 0,94 1,37 0,71 0,79 1,13 Źródło: opracowanie własne.

26 26 Paweł Baranowski, Małgorzaa Mazurek, Maciej Nowakowski, Marek Raczko Dodakowo, zasosowano es Diebolda-Mariano (zob. [10]), kórym esowano czy różnice błędów średniokwadraowych są isone saysycznie, j. nasępujący zesaw hipoez: H 0 : E (MSE A MSE B ) = 0 (7) H 1 : E (MSE A MSE B ) ¹ 0 (8) gdzie: MSE A, MSE B błędy średniokwadraowe, odpowiednio: prognoz A i B, E operaor warości oczekiwanej. Wyniki przedsawiamy w abeli 2. Porównanie prognoz za pomocą esu Diebolda-Mariano (pogrubioną czcionką przedsawiono warości saysyk esowych, zaś kursywą empiryczny poziom isoności) Ta b e l a 2 II.05 IV.08 (15 obs.) III.06 IV.08 (10 obs.) h = 1 h = 2 h = 3 h = 1 h = 2 h = 3 AR vs. AR komp. MA vs. MA komp. VAR vs. VAR komp. TAR vs. TAR komp. 0,254 1,245 1,294 0,217 0,477 0,019 (p = 0,799) (p = 0,213) (p = 0,196) (p = 0,828) (p = 0,634) (p = 0,985) 0,369 0,415 0,323 3,061 2,838 2,953 (p = 0,712) (p = 0,679) (p = 0,747) (p = 0,002) (p = 0,005) (p = 0,003) 3,482 2,717 1,571 2,224 1,708 1,613 (p = 0,001) (p = 0,007) (p = 0,115) (p = 0,026) (p = 0,088) (p = 0,107) 0,931 0,977 0,932 0,893 0,122 1,882 (p = 0,352) (p = 0,329) (p = 0,352) (p = 0,372) (p = 0,903) (p = 0,061) Uwaga: w nawiasach podano empiryczny poziom isoności. Źródło: opracowanie własne. Rezulay przedsawione w abeli 1 oraz 2 pozwalają wyciągnąć nasępujące wnioski 11 : w przypadku modeli wekorowej auoregresji (VAR) prognozowanie komponenów jes zasadne i pozwala poprawić skueczność prognoz CPI (choć w przypadku prognoz na 3 kwarały naprzód rezulay są na granicy saysycznej isoności ), w przypadku modeli auoregresyjnych (AR) i progowo-auoregresyjnych (TAR) prognozowanie komponenów nie pozwala na poprawę skueczności prognoz, 11 Ze względu na króką próbę sosujemy 10% poziom isoności.

27 Czy dezagregacja indeksu cen poprawia prognozy polskiej inflacji? 27 w modelach średniej ruchomej (MA) nie orzymano jednoznacznych wniosków w zakresie celowości prognozowania komponenów (wyniki są wrażliwe na zmianę próby), wydaje się, że w miarę zwiększania horyzonu prognoz, modele VAR prognozują lepiej w porównaniu z modelami AR, MA i TAR 12. Ineresujące byłoby porównanie orzymanych prognoz z łączoną prognozą analiyków (reprezenujących banki oraz organizacje prognosyczne 13 ). Jedną z organizacji, kóre akie dane publikuje jes Consensus Economics ( skąd zaczerpnięo do naszego badania. Dosępne szeregi doyczą jedynie prognoz formułowanych na koniec roku. Po wydłużeniu okresu weryfikacji prognoz wyznaczanych w niniejszym opracowaniu orzymano zaledwie pięć wspólnych obserwacji 14, przez co możliwości porównania prognoz są bardzo ograniczone. Mimo ych zasrzeżeń akie porównanie prezenujemy w abeli 3. Błędy RMSFE wybranych prognoz a błędy łączonej prognozy analiyków banków i organizacji prognosycznych (p. proc.) h = 1 h = 2 h = 3 AR komp. 0,61 0,49 1,49 VAR komp. 0,58 0,63 1,56 Łączona prognoza analiyków 0,88 0,89 1,30 Źródło: opracowanie własne. Ta b e l a 3 Jak wynika z abeli 3, wielkości błędów prognoz są porównywalne. Pamięając o urudnionym wnioskowaniu, możemy swierdzić, iż rafność wyznaczonych przez nas prognoz jes porównywalna z łączoną prognozą analiyków 15. Dodakowo wyznaczono prognozy w oparciu o model na podsawie danych zagregowanych z alernaywnym zesawem zmiennych, odpowiadającym eorii nowej ekonomii keynesisowskiej, j. sopa inflacji CPI, krókookresowa sopa procenowa (WIBOR 1M) i luka PKB. Niesey, nie poprawiło o rafności prognoz. 12 Jednakże różnice między ymi prognozami (w sensie esu Diebolda-Mariano) nie zawsze są isone saysycznie. 13 Taka prognoza bywa określana mianem konsensusowej, zwłaszcza wśród prakyków gospodarczych. W środowisku naukowców opinie na ema sosowanie akiej nazwy są jednak podzielone. 14 Tj. IV kwarał odpowiednio la: 2004, 2005, 2006, 2007 i Ponado wydaje się, że przewaga prognoz analiyków dla horyzonu 3 kwarałów wynika głównie z szoku cenowowego wynikającego z akcesji do Unii Europejskiej.

28 28 Paweł Baranowski, Małgorzaa Mazurek, Maciej Nowakowski, Marek Raczko 6. Podsumowanie W opracowaniu porównano zagregowane prognozy 12 subindeksów CPI z bezpośrednią prognozą agregau. Prognozy e wyznaczono w oparciu o dane kwaralne dla Polski. Orzymane wyniki nie pozwalają jednoznacznie rozsrzygnąć, czy zasosowanie danych zdezagregowanych jes celowe. Okazuje się bowiem, że dla modeli AR i TAR dezagregacja nie pozwala zmniejszyć błędów prognoz, dla modeli MA nie orzymano jednoznacznych wskazań esów, zaś dla VAR zmniejsza błędy prognoz. Sądzimy, że ze względu na wysokie błędy prognoz niekórych subindeksów, możliwa byłaby dalsza poprawa rafności prognoz pod warunkiem zasosowania alernaywnych meod prognozowania (np. prognoz eksperckich czy uwzględnienia zmiany cen konrolowanych). W dalszych badaniach spróbujemy dokonać różnicowania luki produkcyjnej dla poszczególnych sekorów. Uniwersye Łódzki lieraura [1] Akerlof G.A., [1970], The Marke for Lemons : Qualiy Uncerainy and he Marke Mechanism, Quarerly Journal of Economics, Vol. 84, No. 3. [2] Aron J., Muelbauer J., [2008], New mehods for forecasing inflaion and is sub-componens: applicaion o he USA, Deparmen of Economics Discussion Paper, No. 406, Universiy of Oxford, hp://www. economics.ox.ac.uk [3] Basher S., Weserlund J., [2008], Is here really a uni roo in he inflaion rae? More evidence from panel daa models, Applied Economics Leers, Vol. 15. [4] Baes J., Granger C.W.J., [1969], On comparing macroeconomic forecas using forecas encompassing es, Operaional Research Quarerly, Vol. 20. [5] Blanchard O.J., Kiyoaki N., [1987], Monopolisic Compeiion and he Effecs of Aggregae Demand, American Economic Review, Vol. 77, No. 4. [6] Budnik K., Gresza M., Hulej M., Kolasa M., Murawski K., Ro M., Rybaczyk B., Tarnicka M., [2008], NECMOD: Presenaion of he new forecasing model, NBP, [7] Calvo G., [1983], Saggered Prices in a Uiliy Maximizing Framework, Journal of Moneary Economics, Vol. 12, No. 3. [8] Cheung Y.-W., Lai K.S., [1995], Lag Order and Criical Values of he Augmened Dickey-Fuller Tes, Journal of Business and Economic Saisics, Vol. 13, No. 3. [9] Chien-Chang L., Chun-Ping Ch., [2007], Trend Saionary of Inflaion Raes: Evidence from LM Uni Roo Tesing wih a Long Span of Hisorical daa, Applied Economics, Vol. 39. [10] Diebold F.X., Mariano R.S., [1995], Comparing Predicive Accuracy, Journal of Business and Economic Saisics, Vol. 13, No. 3. [11] Dhyne E., Alvarez L., Le Bihan H., Veronese G., Dias D., Hoffmann J., Jonker N., Lünnemann P., Rumler F., Vilmunen J., [2006], Price Changes in he Euro Area and he Unied Saes: Some Facs from Individual Consumer Price Daa, Journal of Economic Perspecives, Vol. 20, No. 2. [12] Enders W., [2004], Applied Economeric Time Series, John Wiley and Sons. [13] Gregoriou A., Kononikas A., [2006], Inflaion argeing and he saionariy of inflaion: new resuls from an ESTAR uni roo es, Bullein of Economic Research, Vol. 58, No. 4. [14] Grajek M., [2002], Prognozy łączone, Przegląd Saysyczny,. 49, nr 1. [15] Gresza M., Maciejewski W., [2005], Kombinowanie prognoz gospodarki Polski, Gospodarka Narodowa, nr 5-6.

29 Czy dezagregacja indeksu cen poprawia prognozy polskiej inflacji? 29 [16] Halunga A.G., Osborn D.R., Sensier M., [2009], Changes in order of inegraion of US and UK inflaion, Economic Leers, Vol. 102, No. 1. [17] Hendry D.F., Clemens M.P., [2004], Pooling of forecass, Economerics Journal, Vol. 7. [18] Hubrich K., [2005], Forecasing euro area inflaion: Does aggregaing forecass by HICP componen improve forecas accuracy?, Inernaional Journal of Forecasing, Vol. 21, No. 1. [19] Jankiewicz Z., Kołodziejczyk D., [2008], Mechanizmy kszałowania cen w przedsiębiorswach polskich na le zachowań firm ze srefy euro, Bank i Kredy, luy. [20] Kokocińska M., Srzała K., [2007], Zinegrowany sysem oceny akywności przedsiębiorsw i prognozowania kaegorii makroekonomicznych, Wydawnicwo Akademii Ekonomicznej w Poznaniu, Poznań. [21] Leih C., Malley J., [2007], A Secoral Analysis of Price-Seing Behavior in U.S. Manufacuring Indusries, Review of Economics and Saisics, Vol. 89, No. 2. [22] Lükepohl H., [2005], New Inroducion o Muliple Time Series Analysis, Springer, Berlin ec. [23] Lükepohl H., (2009), Forecasing Aggregaed Time Series Variables: A Survey, EUI Working Paper, No. 17. [24] Marcellino M., Sock J.H., Wason M.W., [2003], Macroeconomic forecasing in he Euro area: Counry specific versus area-wide informaion, European Economic Review, Vol. 47, No. 1. [25] Narayan P.K., Narayan S., [2008], Is here a uni roo in he inflaion rae? New evidence from panel daa models wih muliple srucural break, Applied Economics, Vol. 40. [26] Reijer A., Vlaar P., [2006], Forecasing inflaion: An ar as well as science, De Economis, Vol [27] Szaudynger J.J., [2002], Prognozowanie cen, [w:] Milo W. (red.), Prognozowanie cen, Wydawnicwo UŁ, Łódź. [28] Timmermann A., [2006], Forecas combinaion, [w:] Ellio G., Gragner C.W.J., Timmermann A. (red.), Handbook in Economic Forecasing, Elseiver. Praca wpłynęła do redakcji w październiku 2009 r. Czy dezagregacja indeksu cen poprawia prognozy polskiej inflacji? S r e s z c z e n i e W doychczasowych badaniach rozważa się celowość wykorzysania na cele prognosyczne danych o niższym sopniu agregacji (np. dla inflacji Hubrich, 2005; Reijer and Vlaar, 2006). W arykule badamy czy prognozowanie 12 subindeksów cen dóbr i usług konsumpcyjnych (komponenów inflacji), a nasępnie ich agregacja poprawia rafność prognozy inflacji. Prognozy inflacji oraz jej poszczególnych komponenów wyznaczymy przy pomocy modeli auoregresji (AR), średniej ruchomej (MA), wekorowej auoregresji (VAR) oraz auoregresji progowej (TAR). Orzymane wyniki nie pozwalają jednoznacznie rozsrzygnąć posawionego problemu. Okazuje się, że dla modeli AR i TAR dezagregacja nie pozwala zmniejszyć błędów prognoz, dla modeli MA nie orzymano jednoznacznych wskazań esów, zaś dla VAR zmniejsza błędy prognoz. Słowa kluczowe: prognozowanie, inflacja, subindeksy cen, agregacja Forecasing inflaion componens does i help o predic Polish inflaion? S u m m a r y This paper examines wheher forecasing CPI componens improves CPI forecas. We exploi quarerly daa for Poland, disaggregaed ino 12 componens. We follow mehodology used in previous sudies for Euro Area (Hubrich, 2005; Reijer and Vlaar, 2006). AR, MA, TAR and unresriced VAR models are esimaed using recursive sample and aggregaed

30 30 Paweł Baranowski, Małgorzaa Mazurek, Maciej Nowakowski, Marek Raczko ino CPI. Using ou-of-sample forecass, hese models are evaluaed and compared o he benchmark -- equivalens for aggregae CPI. The evidence is mixed. VAR componen-forecas ouperform benchmark. Conrary o VAR, for AR and TAR models we do no find subsanial gain from using disaggregaed daa. Resuls for MA models are no robus. Moreover, i seems ha resuls for AR- and VAR-based forecass are comparable o consensus forecas. Key words: forecasing, inflaion, inflaion componens, secoral aggregaion, Poland

31 Czy dezagregacja indeksu cen poprawia prognozy polskiej inflacji? 31 ZAŁĄCZNIKI Załącznik 1. Tesy sacjonarności Sopa inflacji CPI / 1 Luka produkcyjna Wynagrodzenia przecięne empo / 1 Wynagrodzenia w sekorze przeds. empo / 1 ADF 5,02 4,66 1,67 8,05 Skł. deeminis., Opóźnień (k 1) Sezonowość, 0 Sezonowość, 0 Sezonowość, 5 Sezonowość, 0 Uwaga: Długość opóźnień esu zosała usalona na podsawie kryerium Schwarza. Ze względu na sosunkowo króką próbę warości kryyczne usalono w oparciu o wzór podany w pracy [8]. Dla przyjęego 10% poziomu isoności wynosiły one 2,605 (brak dodakowych opóźnień) i 2,535 (5 dodakowych opóźnień). Źródło: opracowanie własne. Załącznik 2. Modele AR (h = 2, dane kwaralne, okres weryfikacji 2006 III do 2008 IV) Indeks cen RMSFE Opóźnienia Sezonowość Próba od Żywność i napoje bezalk. 1,16 p.p. 0 Tak I.1998 Alkohole i wyroby yoniowe 1,37 p.p. 1 Tak I.1998 Odzież i obuwie 0,52 p.p. 2-4 Tak I.1998 Użykowanie mieszkań i nośniki energii 1,06 p.p. 1-2 Tak I.1999 Wyposażenie mieszkań 0,20 p.p. 1 Tak I.1999 Zdrowie 0,42 p.p. 5 Nie I.1998 Transpor 3,40 p.p. 0-1 Tak I.1999 Łączność 1,00 p.p. 5 Nie I.1999 Rekreacja i kulura 1,69 p.p. 1-3 Tak I.1999 Edukacja 0,56 p.p. 4-5 Nie I.1999 Resauracje i hoele 0,44 p.p. 1 Nie I.1999 Pozosałe 0,27 p.p. 3-4 Nie I.1999 Źródło: opracowanie własne.

32 32 Paweł Baranowski, Małgorzaa Mazurek, Maciej Nowakowski, Marek Raczko Załącznik 3. Modele MA (h = 2, dane kwaralne, okres weryfikacji 2006 III do 2008 IV) Indeks cen RMSFE Opóźnienia Sezonowość Próba od Żywność i napoje bezalk. 1,50 p.p. 1-5 Tak I.1998 Alkohole i wyroby yoniowe 1,17 p.p. 1-3 Tak I.1998 Odzież i obuwie 0,65 p.p. 4-5 Tak I.1998 Użykowanie mieszkań i nośniki energii 1,01 p.p. 1-4 Tak I.1999 Wyposażenie mieszkań 0,22 p.p. 3-5 Tak I.1999 Zdrowie 0,87 p.p. 1-3 Nie I.1998 Transpor 3,96 p.p. 1-2 Nie I.1999 Łączność 1,77 p.p. 3-5 Tak I.1999 Rekreacja i kulura 1,97 p.p. 1-5 Tak I.1999 Edukacja 0,90 p.p. 1-5 Tak I.1999 Resauracje i hoele 0,28 p.p. 2-5 Tak I.1999 Pozosałe 0,55 p.p. 2-5 Nie I.1999 Uwaga: Dla subindeksu zdrowie ograniczono rząd opóźnień do maks. 3 (problemy ze zbieżnością). Źródło: opracowanie własne. Załącznik 4. Modele VAR (h = 2, dane kwaralne, okres weryfikacji 2006 III do 2008 IV) Indeks cen Płace RMSFE Opóźnienia Sezonowość Próba od Żywność i napoje bezalk. Sekor przedsięb. 1,14 p.p. 1 Tak I.1998 Alkohole i wyroby yoniowe Sekor przedsięb. 1,01 p.p. 1 Tak I.1998 Odzież i obuwie Przecięne 0,40 p.p. Nie I.1998 Użykowanie mieszkań i nośniki energii Sekor przedsięb. 1,01 p.p. 1-3 Tak I.1999 Wyposażenie mieszkań Sekor przedsięb. 0,30 p.p. 1-3 Tak I.1999 Zdrowie Przecięne 0,62 p.p. 1 Tak I.1998 Transpor Przecięne 3,22 p.p. 3 Nie I.1999 Łączność Przeds. łączność 1,76 p.p. 1-2 Nie I.2002 Rekreacja i kulura Sekor przedsięb. 1,61 p.p. 1-3 Nie I.1999

33 Czy dezagregacja indeksu cen poprawia prognozy polskiej inflacji? 33 cd. załącznika 4 Indeks cen Płace RMSFE Opóźnienia Sezonowość Próba od Edukacja Przecięne 0,93 p.p. 3 Tak I.1999 Resauracje i hoele Przeds. zakwaerowanie i gasronomia 0,40 p.p. 1 Nie I.1999 Pozosałe Przecięne 0,81 p.p. 3 Nie I.1999 Źródło: opracowanie własne. Załącznik 5. Modele TAR (h = 2, dane kwaralne, okres weryfikacji 2006 III do 2008 IV) Indeks cen RMSFE Opóźnienia Sezonowość Próba od Żywność i napoje bezalk. 1,65 p.p. 2 Tak I.1998 Alkohole i wyroby yoniowe 1,69 p.p. 2 Tak I.1998 Odzież i obuwie 0,96 p.p. 2 Tak I.1998 Użykowanie mieszkań i nośniki energii 1,43 p.p 1-2 Tak I.1999 Wyposażenie mieszkań 0,32 p.p. 2 Nie I.1999 Zdrowie 1,01 p.p. 2 Tak I.1998 Transpor 2,29 p.p. 2 Nie I.1999 Łączność 1,98 p.p. 2 Nie I.1999 Rekreacja i kulura 3,61 p.p. 2 Nie I.1999 Edukacja 0,96 p.p. 1-2 Tak I.1999 Resauracje i hoele 0,49 p.p. 2 Nie I.1999 Pozosałe 0,87 p.p. 1-2 Nie I.1999 Źródło: opracowanie własne.

34 PrzeglĄd saysyczny R. LVII zeszy JERZY CZESŁAW OSSOWSKI ZATRUDNIENIE A WZROST GOSPODARCZY W TEORII I W RZECZYWISTOŚCI GOSPODARKI POLSKIEJ 1 1. MAKROEKONOMICZNE PODSTAWY ZAPOTRZEBOWANIA NA PRACĘ Zaporzebowanie na czynniki produkcji (pracę, kapiał rzeczowy, echnologię oraz produky pośrednie) jes pochodną zaporzebowania na dobra zaspokajające porzeby społeczne. Z kolei poencjalne możliwości zaspokajania porzeb, mierzone wielkością wyworzonego produku, są zależne od wielkości i jakości dysponowanych czynników produkcji. Z ych eż względów za punk wyjścia w prowadzonych rozważaniach uznajmy agregaową, długookresową, podażową funkcję produkcji, opisującą zależności między wielkością produku krajowego (Y) a nakładami kapiału rzeczowego (K) i pracy (L) w kolejnych okresach. Uznajmy ponado, że przecięny czas pracy w gospodarce (h) nie ulega zmianie. W rezulacie funkcję produkcji, uwzględniającą efeky posępu echnicznego, zapiszmy nasępująco: Y = Y L, K, A( ), h = cons., = 1, 2, 3, : D f ( + ) ( + ) ( + ) (1) Powszechnie uznaje się, iż funkcja produkcji (1) wyznacza maksymalne ilości produku w warunkach założonego poziomu wyróżnionych czynników, przy usalonym poziomie czasu pracy (h). Na jej podsawie definiujemy produkywności krańcowe pracy (MPL) i kapiału (MPK). W warunkach prawa malejących przychodów oraz posępu echnicznego uznajemy, iż funkcja produkywności pracy, przy założeniu sałości kapiału, spełnia nasępujące warunki: MPL = TY / TL = MPL^L, h > 0, ^K = cons. h (2.1) TMPL / T L < 0, (2.2) T MPL = MPL - MPL - > 0. (2.3) 1 1 Arykuł jes zmienioną i poprawioną wersją referau [10]. W arykule pominięo problemaykę doyczącą mikroekonomicznych podsaw zaporzebowania na pracę oraz w części empirycznej przeprowadzono modyfikację szacowanych modeli, opisujących zaporzebowania na pracę.

35 Zarudnienie a wzros gospodarczy w eorii i rzeczywisości gospodarki polskiej 35 Z kolei zakładając sałość nakładów pracy, definiujemy w nasępujący sposób właściwości funkcji produkywności krańcowej kapiału: MPK = TY / TK = MPK^K, h > 0, ^L = consh (3.1) TMPK / T K < 0, (3.2) T MPK = MPK - MPK - > 0. (3.3) 1 Zauważmy, że sany kapiału rzeczowego na koniec kolejnych okresów są funkcją srumienia nakładów inwesycyjnych bruo (I) w danym okresie oraz wielkości amoryzacji (D deprecjacji) kapiału rzeczowego, co zapisujemy nasępująco: K = K I - D = K I - dk - 1 = I + ( 1 - d) K - 1, (4.1) gdzie: d = D /K 1 jes sopą deprecjacji (amoryzacji) wskazującą na udział warości wycofywanego mająku produkcyjnego w warości mająku produkcyjnego w okresie. Tym samym wyrażenie (1 d) wskazuje jaka część począkowego poziomu mająku K 1 przechodzi do nasępnego okresu wraz z nowymi zakupami mająku (bruo) I (parz [5] s. 37). Na podsawie (4.1) w nasępujący sposób zdefiniujemy srumień inwesycji neo (DK) w okresie : Zauważmy, że: TK = K - K - 1 = I - dk - 1. (4.2) K = cons. & TK = 0 & I = dk -. (4.3) 1 Z powyższego wynika, że w warunkach sałości kapiału rzeczowego (K = K 1 ) wielkość deprecjacji mająku (D) w okresie jes równoważona przez wielkość inwesycji bruo (I) w ym samym okresie. Oznacza o, że w warunkach sałości kapiału nasępuje odnowienie mająku produkcyjnego. Jednocześnie zauważmy, że całkowia sopa odnowienia mająku produkcyjnego jes równa sopie inwesycji bruo (a = I /K 1 ) i zależy od sopy inwesycji neo (r k = DK /K 1 ) oraz od sopy amoryzacji (d), co wynika z nasępującego przekszałcenia wyrażenia (4.2): rk = TK / K - 1 = I / K d = a - d & a = rk + d. (4.4) Na podobnej zasadzie rozważyć możemy zagadnienie doyczące odnawiania się zasobów pracy. San zarudnienia na koniec kolejnych okresów jes funkcją srumienia osób nowo zarudnionych (NL) w danym okresie oraz srumienia osób odchodzących z pracy chwilowo lub na sałe (R), co zapiszemy nasępująco: L = L NL - R. (5.1)

36 36 Jerzy Ossowski Na podsawie (5.1) definiujemy w nasępujący sposób srumień przyrosu zarudnienia (DL) w okresie : Zauważmy, że: T L = L - L - 1 = NL - R. (5.2) L = cons. & TL = 0 & NL = R. (5.3) Na podsawie powyższego powiemy, że sałość zarudnienia oznacza, iż liczba osób nowo zarudnionych (NL) w okresie jes równoważona przez liczbę osób odchodzących z pracy (R) w ym samym okresie. Oznacza o, że w warunkach sałości zarudnienia nasępuje odnowienie czynnika pracy. Wyrazem odnowienia się kapiału i pracy jes posęp echniczny charakeryzujący się wzrosem produkcji w warunkach sałości czynników sałości w rozumieniu opisanym przez (4.3) i (5.3). Uzasadnia o przyjęcie założenia o dodanim wpływie zmiennej na wielkość produku (Y) w funkcji (1). Zagadnienie o w ujęciu graficznym przedsawiono na rysunku 1. Y Y 1 Y 0, 1 DY 1, 1 A 1, 1 Y 0 DY 0, 1 A 0, 1 A 0 Y (L, K 1, = 1) Y (L, K 0, = 1) Y (L, K 0, = 0) gdzie: DY 0, 1 przyros produku z yułu odnowienia kapiału i pracy (czysy efek posępu echnicznego), DY 1, 1 przyros produku z yułu eksensywnego przyrosu kapiału, DY 1 = DY 0, 1 + DY 1, 1 łączny efek wzrosu produku L A L Rysunek 1. Efeky produkcyjne wzrosu nakładów kapiałowych i posępu echnicznego Źródło: opracowanie własne. Czynniki podażowe wyznaczają jedynie poencjalne możliwości produkcji. O sopniu wykorzysania czynników podażowych decyduje popy globalny (AD), wyznaczony przez czynniki popyowe. Oznacza o, że przy danych nakładach kapiałowych (K czynnik długookresowy) i założonych efekach posępu echnicznego o oczekiwanym zaporzebowaniu na pracę (L E ) decydować będzie poziom produku (Y) zrównoważony z popyem globalnym (AD). Zauważmy, że popy globalny jes wyznaczony przez konsumpcję globalną (C), inwesycje globalne (I), ekspor neo (NX) oraz wydaki rządowe (G).

37 Zarudnienie a wzros gospodarczy w eorii i rzeczywisości gospodarki polskiej 37 Uwzględniając czynniki kszałujące części składowe popyu globalnego, funkcję popyu globalnego zapisać możemy nasępująco 2 : AD = Ca Y, T, r k + Ia Y, r k + NX_ er i + G = AD^Y, T, r, er, G, fh, (6) ( + ) (-) (-) ( + ) (-) ( + ) gdzie: T sopa podakowa, r realna sopa procenowa, er kurs walu w sysemie europejskim. Zakładając sałość sóp podakowych, sóp procenowych, kursu walu, wydaków rządowych oraz innych ewenualnych czynników popyowych, możemy uznać, że popy globalny jes funkcją produku krajowego, co zapiszemy nasępująco: AD = AD (Y). (7) Jeśli obecnie założymy sałość kapiału i echnologii, o z warunku równowagi globalnej wynika, że: AD( Y) = ( L) & L = L^Y h, K, A, h = cons. (8) Y E E Na podsawie (8) powiemy, że w warunkach sałości kapiału i echnologii, graniczne zaporzebowanie na pracę (L E ), przy kórym nasępuje zrównanie popyu globalnego (AD) z produkem (Y) zależy od poziomu produku zrównoważonego (Y E ). Z kolei sopa granicznego przyrosu zaporzebowania na pracę zależy od sopy granicznego przyrosu produku, co zapiszemy nasępująco: L - L L E E Y - Y = g Y E E, (9) gdzie paramer g jes mnożnikiem zrównoważonego zaporzebowania na pracę. Syuację powyższą w sposób poglądowy przedsawiono na rysunku 2. Zauważmy, że w kolejnych okresach, wraz ze zmianą czasu nasępuje zmiana kapiału oraz echnologii z jednej srony a z drugiej srony zmiana popyu globalnego. W ej syuacji zmieniać się będzie poziom produku zrównoważonego z popyem globalnym a w rezulacie ego zmieni się wielkość zaporzebowania na pracę w warunkach równowagi globalnej. W sposób poglądowy syuację powyższą przedsawiono na rysunku 3. 2 Funkcja popyu globalnego (6) ma charaker zapisu uogólniającego liniowe funkcje popyu, najczęściej formułowane w lieraurze makroekonomicznej (por.: [1] [2], [4], [7], [8]). Zasosowany sysem oznaczeń przyjęo z pozycji [4]. Jednocześnie formułując funkcję popyu globalnego, uwzględniono posula D. Romera, kórego zdaniem isnieją poważne dowody na o, że realna sopa procenowa oddziałuje na konsumpcję, i niemal przyłaczające dowody, że dochód oddziałuje na inwesycje (parz [11] s. 226).

38 38 Jerzy Ossowski Y Y E Y 2 Y (L), AD K, A = cons. AD E Y 1 Y 0 AD 0 DL E = L E L 0 DY E = Y E Y 0 45 L L Y 0 L 1 L 2 L E Y 0 1 Y 2 Y E AD = Y AD [C (Y, r), I (Y, r), G, NX (er)] Legenda: Y: Produk krajowy bruo (PKB) AD: Popy globalny L: Poziom zarudnienia K: Kapiał rzeczowy A: Technologia Y E : Produk w sanie równowagi L E : Zarudnienie w sanie równowagi Rysunek 2. Sany nierównowagi i równowagi globalnej w warunkach sałości kapiału (K) i echnologii (A) Y Źródło: opracowanie własne. Y Y 1B Y 1A Y (L, K 1, 1 ) Y (L, K 0, 0 ) AD AD = Y AD 1B (Y) AD 1A (Y) AD 0 (Y) Y 0 45 L 1A L Y 0 Y L 0 L 1B Rysunek 3. Sany równowagi globalnej w warunkach wzrosu nakładów kapiałowych (K) i echnologicznych [A ()] oraz wzrosach popyu globalnego [AD (Y)] w dwu warianach A i B Y 1A Y 1B Źródło: opracowanie własne. Z analizy rysunku 3 wynika, że na skuek inwesycji kapiałowych i posępu echnicznego przy usalonym poziomie zarudnienia nasępuje wzros poencjalnych możliwości produkcyjnych. W ych warunkach graniczne zaporzebowanie na pracę będzie rosło, malało lub pozosanie na ym samym poziomie w zależności od poziomu popyu globalnego. W wariancie A popy globalny wzrasa w sopniu powodującym spadek granicznego zaporzebowania na pracę, a więc popy wzrasa w sopniu niewysarczającym, aby urzymać zarudnienie graniczne na poziomie L 0. Z kolei w wariancie B przyros popyu globalnego jes na yle wysoki, aby mógł spowodować dodani przyros granicznego zaporzebowania na pracę. Z powyższych rozważań wynika, że produk rzeczywisy, dososowując się do popyu globalnego, w warunkach danej echnologii wyznacza graniczny poziom zaporzebo-

39 Zarudnienie a wzros gospodarczy w eorii i rzeczywisości gospodarki polskiej 39 wania na pracę. Aby wyznaczyć graniczny poziom zaporzebowania na pracę należy agregaową funkcję produkcji (15) przekszałcić do nasępującej posaci: L E = L Y, K,, h = cons. b l ( + ) (-) (-) (10) W świele powyższego powinniśmy uznać, że urzymanie produkcji na sałym poziomie prowadzi do spadku zaporzebowania na pracę z dwu zasadniczych powodów. Po pierwsze, z yułu nieuposaciowionego posępu echnicznego, jako że w warunkach sałości kapiału nasępuje jego odnowienie i do procesu produkcji rafiają środki nowej generacji echnicznej. Po drugie, dążności podmioów gospodarczych do podnoszenia produkywności czynników, co sprzyja procesom inwesycyjnym, służącym lepszemu wyposażeniu pracy w kapiał. Tylko bowiem w ych warunkach jes możliwy długookresowy wzros wydajności pracy i związany z ym nieinflacyjny wzros płac. Z kolei nieinflacyjny wzros płac, ym samym wzros dochodów realnych ludności, prowadzi do wzrosu popyu globalnego, niewykraczającego poza poziom produku poencjalnego. Z analizy rysunków 2 i 3 wynika, iż isnieje sosunkowo ścisły związek między sopą wzrosu produku krajowego (RY) a sopą wzrosu zaporzebowania na pracę (RL). Sopy e dla danych: rocznych (i = 1), półrocznych (i = 2), kwaralnych (i = 4) oraz miesięcznych (i = 12) definiujemy nasępująco: Y Y i TY RY = - - Y $ 100% = Y $ 100%, (11) - i - i L L i TL RL = - - L $ 100% = L $ 100%. - i - i (12) Umówmy się, że graniczną sopą wzrosu produku krajowego jes aka sopa wzrosu RY E _ i, przy kórej sopa wzrosu nakładów pracy będzie równa zero _ RL E = 0i. W świele powyższego powiemy, że: A. jeśli sopa wzrosu produku krajowego bruo RY A _ i będzie mniejsza od granicznej sopy wzrosu RY E _ i o sopa wzrosu zarudnienia będzie ujemna _ RL A < 0i, B. jeśli sopa wzrosu produku krajowego bruo RY B _ i będzie większa od granicznej sopy wzrosu RY E _ i o sopa wzrosu zarudnienia będzie dodania _ RL A > 0i. Doychczasowe rozważania prowadziliśmy zakładając niezmienność przecięnego czasu pracy (h). Zauważmy, że większość przedsiębiorsw w krókim okresie ekonomicznym dososowuje poziom swojej produkcji do poziomu zgłaszanego popyu poprzez wydłużanie lub skracanie czasu pracy osób zarudnionych. M. Burda i Ch. Wyplosz, w konekście omawiania prawa Okuna, piszą, że gdy popy okresowo zmniejsza się, firmy skracają czas pracy swych pracowników, nie przyjmują nowych pracowników, w najgorszym wypadku kierują ich na okresowe bezrobocie (parz [2] s. 33). Czy w akim razie, jeżeli popy zwiększa się okresowo, firmy będą w sposób naychmiasowy zwiększać zarudnienie? Odpowiadając na o pyanie możemy uznać, że w pierwszej kolejności przedsiębiorswa będą wydłużać czas pracy (h) ponad usawowy czas pracy (h u ). Co prawda, w akiej syuacji wydajność pracy osób zarudnionych wzrośnie,

40 40 Jerzy Ossowski ale wzros en będzie nieproporcjonalnie mniejszy w relacji do płacy z yułu pracy w nadgodzinach. Tak więc dopiero urwalony wzros popyu będzie zachęcał przedsiębiorswa do zwiększania zarudnienia i ewenualnie, w nasępnej kolejności, do zwiększenia nakładów inwesycyjnych, powiększających mająek produkcyjny przedsiębiorsw 3. Uwzględniając powyższe uwagi funkcję (10) granicznego zaporzebowania na pracę zapiszemy obecnie nasępująco: L E = L Y, K, h, A( ). : D ( + ) (-) (-) (-) (13) W zarysowanej syuacji problemowej zadać możemy nasępujące pyania: P.1. Jak wielki powinien być wzros gospodarczy, aby sopa wzrosu zarudnienia była dodania? P.2. Jakie założenia upraszczające należy przyjąć, aby udzielić odpowiedzi na sformułowane powyżej pyanie? 2. DYNAMIKA PRODUKTU I ZATRUDNIENIA PRZYPADEK FUNKCJI PRODUKCJI COBB-DOUGLASA Uznajmy, iż proces produkcji zdefiniowany przez (1), opisuje nasępujący model produkcji ypu Cobb-Douglasa, w kórym uwzględnia się, zgodnie z koncepcją J. Tinbergena, sałe efeky posępu echnicznego: 1 - a a n $ p Y = A $ L $ K $ e $ e, a, ^1 - ah, n > 0 (14) gdzie x jes składnikiem zakłócającym o nasępujących paramerach: Ep = 0, Ep2 = v2 p = cons. Epp - s = 0, ^! sh ^ = 1, 2, 3, f, nh. (15) Zauważmy, że w przypadku modelu (14) graniczne krańcowe produkywności pracy i kapiału są odpowiednio równe: TY Y MPL = lim L = ^1 - ah L, K = cons. TL " 0T ^ h (16.1) MPK TY Y = lim K = a K, L cons.. K 0T ^ = h (16.2) T " Przyjęcie założenia (15) i jednoczesne uznanie, że efeky posępu echnicznego wyrażają się sałym empem wzrosu (m) wymaga uznania, że w warunkach sałości kapiału, odnawianie mająku produkcyjnego odbywa się według sałej sopy. Oznacza o, że sopa deprecjacji (d ), z dokładnością do składnika losowego, waha się wokół jej średniej geomerycznej (d), co zapiszemy nasępująco: 3 R. Barro w konekście czasu pracy mówi o sopie wykorzysania kapiału, przez kórą rozumie część łącznego czasu, w ciągu kórego obiek kapiałowy jes użykowany [1] s. 251.

41 Zarudnienie a wzros gospodarczy w eorii i rzeczywisości gospodarki polskiej 41 d = d $ e p1, _ Ep = 0, Ep = v = cons. i. (17.1) p Sympomem spełnienia powyższego założenia jes usabilizowany, w kolejnych okresach (), poziom sopnia zużycia mająku produkcyjnego rozumiany jako sosunek warości zużycia do warości bruo środków rwałych. Ponado należy uznać, że sopa wykorzysania pracy i kapiału, mierzona ich czasem pracy (h), jes sała z dokładnością do składnika losowego, co zapiszemy nasępująco: h = h $ e p2, _ Ep = 0, Ep = v = cons. i. (17.2) p Celem określenia zaporzebowania na pracę, model (14) przekszałćmy do nasępującej posaci 4 : L A 1/ 1 1/ 1 / 1 = - ^ - a h $ Y ^ - a h - $ K a ^ - a h $ e -6 n / ^1 - a h@ $ $ e p / ^1 - a h. (18) Powyższy model wskazywałby na naychmiasowe dososowywanie się zarudnienia do realizowanego poziomu produku przy danych nakładach kapiałowych. Uznając, co jes zgodnie z (13), że realizowany poziom produkcji przy danych nakładach kapiałowych, wyznacza oczekiwany poziom zarudnienia, powyższy model zapiszemy w nasępującej posaci: L A 1/ 1 1/ 1 / 1 = - ^ - a h $ Y ^ - a h - $ K a ^ - a h $ e -6 n / ^1 - a h@ $ $ e p / ^1 - a h. (19) E Inwesorzy, kierując się opymalnym zyskiem, będą dążyć do zrównania realnego krańcowego przychodu neo z kapiału (MPK d) z realną sopą procenową (r ) (parz [1] s. 256). Warunek en wykorzysując (3.1) zapiszemy nasępująco: MPK^K, h - d = r, ^L = cons., TMPK / TK < 0h. (20.1) Zauważmy, że cenralna realna sopa procenowa wyznacza pośrednio kosz alernaywny dla decyzji inwesycyjnych w realnej sferze gospodarki. W przypadku modelu Cobb-Douglasa, wykorzysując (16.2), warunek (20.1) przybierze nasępującą posać: Y r K + D + 1 a K - d = r & a = Y, ^D + 1 = d $ Kh. (20.2) Powiemy, że w sanie długookresowej równowagi inwesorzy usalą aki poziom kapiału, przy kórym paramer a wyznacza udział ich wynagrodzeń (r K ) powiększony o oczekiwaną w nasępnym okresie deprecjację (D +1 ) w produkcie (Y ). Z kolei zrównując produk krańcowy pracy (MPL) zdefiniowany w (2.1) z płacą realną (w) wyznacza się opymalny poziom zarudnienia w długookresowym sanie równowagi: 4 Odpowiada o częściowo rozwiązaniu proponowanemu przez L.R. Kleina (parz [5] s. 33).

42 42 Jerzy Ossowski MPL^L, h = w, ^K = cons., TMPL / TL < 0h. (21.1) Tym samym, wykorzysując (16.1) zdefiniowane dla modelu Cobb-Douglasa (14), powyższy warunek zapiszemy nasępująco: Y wl ^1 - ah L = w & 1 - a = Y. (21.2) Powiemy, że w sanie długookresowej równowagi, przedsiębiorcy usalą aki poziom zarudnienia, przy kórym udział wynagrodzeń za pracę (w L ) w produkcie (Y ) będzie równy paramerowi (1 a). Poziomy opymalnego kapiału i zarudnienia, wynikające z powyżej zapisanych warunków, jak zauważa L.R. Klein, nie zachodzą dla każdego okresu próby, lecz w równowadze długookresowej (parz [5] s. 34). Z ych eż między innymi względów model zaporzebowania na pracę zapisaliśmy w posaci (19), zakładając sopniowe dososowywanie się poziomu zarudnienia do sanu równowagi długookresowej. Jeśli uznamy, że produkcja opisywana jes przez model Cobb-Douglasa (14), wówczas z (20.2) wynika, że zakładając sałości nakładów pracy (L = cons.) spełniony musi być nasępujący warunek: a $ A K a - 1 e n $ = r + d; A = A $ L 1 - a _ = cons. i. (23) 0 Przekszałcając powyższy warunek, określić można graniczne zaporzebowania na kapiał rzeczowy: K * 1/ ^1 - ah = A 0 a c r - d m 1/ ^1 - ah 0 e 6 n/ ^1 - ah@ $ = K * r, d,. b l (24) (-) (-) ( + ) Obecnie analizując wyrażenie (24) swierdzamy, że pożądany zasób kapiału _ K * i jes ujemnie uzależniony od realnej sopy procenowej oraz od sopy amoryzacji (parz [1] s ). Ponado na skuek posępu echnicznego, wynikającego z wymiany czynników produkcji, pożądany poziom kapiału wzrasa z okresu na okres. Jeśli obecnie założymy, że realna sopa procenowa oraz sopa amoryzacji wykazują w czasie jedynie wahania losowe wokół pewnych usalonych poziomów 5, wówczas mamy podsawę, by uznać, że empo wzrosu kapiału (inwesycji neo) będzie sałe, z dokładnością do składnika losowego, co zapiszemy nasępująco: K = K $ e h $ $ e v (24) 0 5 Realna sopa procenowa (r ) jes w przybliżeniu równa różnicy pomiędzy nominalną sopą procenową (i ) a sopą inflacji (p ). Najczęsszą reakcją banków cenralnych na oczekiwany wzros sopy inflacji jes podnoszenie nominalnej sopy procenowej. W akiej syuacji, w przypadku neuralnej posawy rządu, można oczekiwać wahań o charakerze losowym realnej sopy procenowej wokół jej średniego poziomu (przypis auora).

43 Zarudnienie a wzros gospodarczy w eorii i rzeczywisości gospodarki polskiej 43 gdzie: Ev = 0, Ev 2 = vv 2 = cons., Evv - s = 0, ^! sh. (25) Obecnie wprowadzając (24) do (19) orzymujemy: L A / / / = - ^ - a h Y ^ - a h - K a ^ - a h e -6 ah / ^ - a h@ $ e -6 n / ^ - a h@ $ e ^ p - a $ vh/ ^ - a h. (26) E Po uporządkowaniu zmiennych i przyjęciu upraszczających oznaczeń w sosunku do paramerów, powyższą posać zapiszemy nasępująco: L = B $ e - b1 $ b $ Y 2 $ e f, b, b > 0. (27) E 1 2 Zauważmy, że urzymując założenia sformułowane w (16.1) oraz (16.2) możemy uznać, że zmienna losowa: f = ^p - a $ v h/ ^1 - ah (28) charakeryzuje się warością oczekiwaną równą zero, sałą wariancją i brakiem auokorelacji. Zakładając adapacyjny charaker dososowań zarudnienia do oczekiwanego poziomu zaporzebowania na pracę formułujemy nasępującą funkcję dososowań (por.: [5] s , [6] s ): E 1 - c L = L $ _ L / L i, 0 < c < 1. (29) Na podsawie powyższego powiemy, że jeżeli oczekiwany poziom zaporzebowania na pracę z danego okresu zrówna się z nakładami pracy z okresu ubiegłego, wówczas poziom zarudnienia nie ulegnie zmianie. Obecnie wprowadzając (29) do (27) orzymujemy nasępującą posać modelu dynamicznego: gdzie: L B 1 L e 1 1 = - c $ c $ - b 1 ^ - c h $ $ Y b 2 ^ - c h $ e f ^1 - c h. (30) - 1 Po przyjęciu upraszczających oznaczeń, model (30) zapiszemy w nasępujący sposób: b L = B e b L a Y e u 0 $ 1 $ $ 2-1 $ $, (31) B = B 1 - c a = c, 0 < a < 1 b1 =-b1 ^1 - ch < 0 b2 = b2 ^1 - ch > 0 u = f ^1 - ch. 0

44 44 Jerzy Ossowski W przypadku posługiwania się danymi kwaralnymi model zaporzebowania na pracę powinien zawierać funkcję (v j ) umożliwiającą wyznaczenie efeków sezonowych (kwaralnych), określających względne odchylenia się poziomu zarudnienia od poziomu wyznaczonego przez czynniki kszałujące poziom zarudnienia. W ych warunkach model (31) przyjmie nasępującą posać: L = B $ e b1 $ $ L a $ Y 2 $ e ^ jh $ e. (32) 0-1 b f v u Zauważmy, że urzymanie doychczasowych założeń doyczących składników losowych v, e i x pozwala uznać, że zmienna losowa u = e (1 g) charakeryzuje się nasępującymi paramerami: 2 2 Eu = 0, Eu = v = cons., E^u $ u h = 0 (33) u - s Logarymując obusronnie (32) orzymujemy: lnl = b0 + b1 + a lnl b2 lny + f^vjh + u. (34) Uznając, że jes numerem kolejnego kwarału, model (34) zakładając opóźnienie roczne (czyli czerookresowe) zapiszemy nasępująco: lnl = b -b ^ - h + a lnl + b lny + f^v h + u. (35) , j - 4 Celem orzymania modelu opisującego związki pomiędzy rocznymi sopami wzrosu produku krajowego a nakładów pracy dokonajmy odjęcia sronami od równania (34) równanie (35). W wyniku ego działania osaecznie orzymujemy: gdzie: RL = bl + a $ RL b2 $ RY + ~ (36) a) roczna sopa wzrosu nakładów pracy: RL = ^ln L - ln L h $ 100%, 6 ^L - L h/ $ 100% (37.1) b) roczna sopa wzrosu produku krajowego: RY = ^ln Y - ln Y h $ 100%, 6 ^Y - Y h/ $ 100% (37.2) c) roczny efek posępu echniczno-organizacyjnego (efek oszczędności pracy: b = e 4 $ b ^ 1-1h $ 100%, 4b $ 100% < 0 (37.3) d) właściwości składnika sezonowego: L f^v h - f^v h = 0 & exp f^v h: exp f^v h = 1 ^ j = 1, 2, 3, 4h (37.4) j - 4, j j - 4, j 1

45 Zarudnienie a wzros gospodarczy w eorii i rzeczywisości gospodarki polskiej 45 e) składnik losowy w modelu rocznej dynamiki nakładów pracy: ~ = ^u - u - 4 h $ 100%. (37.5) Urzymując wcześniej przyjęe założenia powiemy, że: E~ = 0, E~ 2 = v 2 = cons., E^~ $ ~ h = 0. (38) ~ - s Jeśli obecnie założymy, iż sopa wzrosu produku krajowego z okresu usali się na poziomie RY * i w kolejnych okresach nie zmieni warości, wówczas w dosaecznie długim okresie sopy wzrosu z danego i poprzedzającego go okresu zrównają się, osiągając san równowagi RY E. W sanie granicznym model (36) przyjmie nasępującą posać: E * * RL = bl + a $ RL E b2 $ RY + ~, ^bl < 0h. (39) Na podsawie (39) wyznaczyć możemy funkcję granicznej sopy wzrosu zarudnienia według nasępującej formuły: RL * * * b + b2 $ RY + ~ b b2 ~ 1 a 1 a 1 a RY * = 1 a B RY * * - = $ + - = bl + 2 $ + X, ^B < 0h. E L L L (40) Powyższy model wykorzysać można do przeprowadzenia symulacji wielkości sopy wzrosu zarudnienia w zależności od wysokości urwalonej rocznej sopy wzrosu produku krajowego. Ponado z (40) wynika, że długookresowy efek oddziaływania sopy produku krajowego na graniczny poziom sopy wzrosu zarudnienia wynosi odpowiednio: TRL TRY b = 1 - a = B2. (41) E 2 * Na podsawie (41) powiemy, że jeżeli PKB wzrośnie o 1 punk procenowy i urzyma się na nowym, usalonym poziomie, wówczas sopa wzrosu zarudnienia osaecznie (w granicy) wzrośnie o B 2 punku procenowego. Ponado model (40) możemy wykorzysać do udzielenia odpowiedzi na pyanie problemowe P.1. doyczące granicznej RY *lim sopy wzrosu PKB _ i, przy kórej sopa wzrosu zarudnienia RL E _ i będzie dodania. Jeżeli pominiemy zakłócenie losowe, o z (40) wynika, że: RL E bl b2 B b 0: 0 a a RY * lim RY * lim L L = = $ & = - B = - - b > 0, ^bl < 0, b2 > 0h. (42) 2 2 Obecnie powiemy, że aby sopa wzrosu zarudnienia była dodania, o urwalony poziom sopy wzrosu PKB powinien spełniać nasępujący warunek: -B b RY *lim L - > B / b 2 2 L. (43)

46 46 Jerzy Ossowski W lieraurze przedmiou obok modelu zapisanego w (36) spoykamy się z uproszczoną jego wersją w nasępującej posaci 6 : RL = bl + b2 $ RY + ~. (44) Porównując obie wersje modelu swierdzamy, że: w przypadku modelu (36) zakładamy powolne dososowywanie się sopy wzrosu zarudnienia do sopy wzrosu produku krajowego, gdyż jego podsawę wyznacza model oczekiwanego poziomu zarudnienia do popyu globalnego (19), w przypadku modelu (44) zakładamy naychmiasowe dososowywanie się sopy wzrosu zarudnienia do sopy wzrosu produku krajowego, gdyż jego podsawę wyznacza model naychmiasowego dososowania się zarudnienia do popyu globalnego (18). Z kolei odpowiadając na pyanie problemowe P.2, doyczące założeń upraszczających kwiących u podsaw modelu (36) swierdzamy, że poprawne wnioskowanie na jego podsawie uwarunkowane jes spełnieniem założeń w myśl, kórych: kapiał rzeczowy (inwesycje neo) wzrasa według sałej sopy z dokładnością do czynnika losowego, sopa odnawiania mająku produkcyjnego waha się losowo wokół jej średniego poziomu, czas pracy osób zarudnionych w gospodarce narodowej podlega jedynie wahaniom losowym, nie wykazując wyraźnych endencji zmian, udział wynagrodzeń z yułu pracy w produkcie jes długookresowo sały, udział wynagrodzeń bruo inwesorów (wynagrodzenia z yułu udosępnienia kapiału plus amoryzacja) w produkcie jes długookresowo sały. 3. WYNIKI OSZACOWAŃ MAKROEKONOMICZNEGO MODELU ZAPOTRZEBOWANIA NA PRACĘ Do oszacowania paramerów srukuralnych dynamicznego, przyczynowo-skukowego modelu zaporzebowania na pracę, wykorzysano dane kwaralne doyczące gospodarki polskiej, obejmujące okres od I kwarału 1995 r. do IV kwarału 2008 roku 7. Na ich podsawie obliczono wskaźniki dynamiki według zasad sformułowanych w (11) i (12) a ym samym zgodnie z (37.1) i (37.2). Orzymany w en sposób szereg saysyczny sóp wzrosu obejmował 48 obserwacji z la Przeprowadzona analiza danych saysycznych, zadecydowała o wsępnym podzieleniu analizowanego okresu na dwa podokresy. Podokres pierwszy (IA) obejmował laa , naomias podokres drugi (IIA) laa Wyodrębniając wsępnie wyróżnione podokresy kierowano się nasępującymi przesłankami: 6 Swoje badania doyczące Polski i krajów OECD A.B. Czyżewski [3] prowadził o model ypu (44) oraz o zmodyfikowaną jego formę. Z kolei W. Seyfried [12] wykorzysał oba ypy modeli, zn. (36) i (44), do analizy rozparywanego związku w dziesięciu największych sanach USA. Ponado, nawiązując do prawa Okuna, zmodyfikował on model dynamiczny przez uzależnienie empa wzrosu zarudnienia od wzrosu luki produkcyjnej. 7 Dane saysyczne wykorzysane w niniejszym arykule zamieszczono w posaci dodaku do referau [10].

47 Zarudnienie a wzros gospodarczy w eorii i rzeczywisości gospodarki polskiej 47 z danych rocznych [14] wynika, że w podokresie pierwszym (IA) średnioroczna dynamika wzrosu warości bruo środków rwałych wynosiła około 3,2%. Naomias w podokresie drugim (IIA) dynamika a była od niej niższa i wynosiła około 2,5%. W ych warunkach, nie wyróżniając podokresów, założenia doyczące dynamiki kapiału rwałego, sformułowane w (24) i (25) i kwiące u podsaw modelu (36), nie byłyby spełnione, w podokresie pierwszym (IA), jak wynika z danych rocznych [14], obserwowano wyraźną endencję spadku sopnia zużycia środków rwałych z poziomu wynoszącego około 49,7% w 1996 r. do poziomu wynoszącego około 46,7%. W podokresie drugim (IIA) sopień en częściowo się usabilizował, wahając się od około 45,5% do 46,7%. W konekście wyżej omawianej dynamiki środków rwałych, wskazywałoby o na wyższą efekywność posępu echniczno-organizacyjnego w podokresie pierwszym, z badań BAEL [14] wynika, że przecięna ygodniowa liczba godzin pracy w roku, wynosząca w pierwszym podokresie (IA) około 40,9 godzin, zmniejszyła się do około 39,9 godzin w drugim podokresie (IIA). Nieuwzględnienie ego faku prowadziłoby do niespełnienia założenia (17). Modele dla wsępnie wyróżnionych podokresów szacowano sosując meodę najmniejszych kwadraów (MNK). Wyniki oszacowań modelu (36) dla obu podokresów przedsawiono poniżej. W nawiasach pod ocenami paramerów srukuralnych zamieszczono warości saysyk -Sudena. Jednocześnie obok współczynnika deerminacji (R 2 ), odchylenia sandardowego resz (Se) i warości empirycznej saysyki DW zamieszczono, z uwagi na dynamiczny charaker modelu, warość empiryczną saysyki h Durbina wraz z podaniem w nawiasie kwadraowym warości [Prob.] zw. prawdopodobieńswa kryycznego. Warość a wyznacza minimalny poziom isoności, przy kórym może zosać odrzucona hipoeza zerowa zakładająca brak auokorelacji składników losowych. I. Dynamiczny model rocznej sopy zarudnienia dla okresu: 1 kw kw. 2001: RL = - 1, , 6729RL + 0, 3287RY IA - 1 ^-2, 293h ^4, 748h ^2, 273h R 2 = 0,8361, Se = 1,0592, DW = 1,9894, h = 0,03455 [Prob. 0,972] (45.1) II. Dynamiczny model rocznej sopy zarudnienia dla okresu: I kw kw. 2008: RL = - 0, , 698RL + 0, 3062RY IIA - 1 ^-2, 644h ^9, 05h ^3, 579h R 2 = 0,902, Se = 0,6676, DW = 2,2577, h = 0,7469 [Prob. 0,455] (45.2) Wyniki oszacowań modeli dla obu podokresów uznać można wsępnie za zadowalające. Zauważmy, że w obu przypadkach należy wykluczyć wysąpienie auokorelacji składników zakłócających modeli. Jednakże pogłębiona analiza wskazała, że model (45.1) wykazywał w miarę poprawne właściwości prognosyczne do drugiego

48 48 Jerzy Ossowski kwarału 2004 r. W rezulacie biorąc pod uwagę błędy prognoz eks pos, zdecydowano o zmianie podokresów badawczych. Za częściowo saysfakcjonujące uznano nasępujące oszacowania: I. Dynamiczny model rocznej sopy zarudnienia dla okresu: 1 kw kw. 2004: RL B = - 1, , 632RL + 0, 318RY I - 1 ^-2, 765h ^5, 434h ^2, 871h R 2 = 0,8291, Se = 0,957, DW = 1,9495, h = 0,1948 [Prob. 0,846] (46.1) II. Dynamiczny model rocznej sopy zarudnienia dla okresu: 3 kw kw. 2008: RL B = - 0, , 6255RL + 0, 3062RY II - 1 ^-1, 634h ^5, 075h ^3, 242h R 2 = 0,7638, Se = 0,661, DW = 2,1894, h = 0,4713 [Prob. 0,637] (46.2) Porównując modele (46.1) i (46.2) swierdzamy, że oceny paramerów przy zmiennej opóźnionej (RL) oraz przy sopie wzrosu produku (RY) nieznacznie różnią się między sobą. Naomias zasadnicza różnica wysępuje między wyrazami wolnymi, co w analizowanym przypadku ma isone znaczenie inerpreacyjne. Swierdzone powyżej faky wyznaczają dobrą podsawę do przekonsruowania obu modeli w jeden model ze zmienną zero-jedynkową (x 0 ). W nowej wersji modelu zmienna a przyjmuje warość zero dla okresu od 1 kwarału 1996 r. do 2 kwarału 2004 r. oraz warość 1 dla okresu od 3 kwarału 2004 r. do 4 kwarału 2008 r. Oszacowana posać ak skonsruowanego modelu przedsawia się nasępująco: c RL = - 1, , 645x + 0, 627RL + 0, 325RY 0-1 ^-3, 895h ^52, 16h ^7, 459h ^4, 135h R 2 = 0,8741, Se = 0,841, DW = 1,9879, h = 0,0538 [Prob. 0,957] (47) Model (47) uznać można za saysfakcjonujący zarówno w sensie saysycznym, jak i w sensie ekonomicznym. Oceny paramerów srukuralnych modelu dla osaecznie wyodrębnionych podokresów powierdzają koncepcję eoreyczną doyczącą związków przyczynowo-skukowych opisujących zaporzebowanie na pracę. Rozparywany model wskazuje na: dynamiczny charaker związków między produkem krajowym a zarudnieniem, dodani charaker związków między produkem krajowym a zarudnieniem, wpływ posępu echniczno-organizacyjnego na obniżanie się zaporzebowania na pracę w warunkach sałości produku krajowego, co przejawia się ujemną warością oceny wyrazu wolnego, obniżenie się, w drugim podokresie w porównaniu z podokresem pierwszym sopnia zaporzebowania na pracę w warunkach usalonej sopy wzrosu PKB, czego przejawem jes ocena przy zmiennej zero-jedynkowej.

49 Zarudnienie a wzros gospodarczy w eorii i rzeczywisości gospodarki polskiej DYNAMIKA PRODUKTU KRAJOWEGO I POSTĘP TECHNICZNY A DYNAMIKA ZATRUDNIENIA Na podsawie modelu (47) określić możemy efeky krókookresowego oddziaływania dynamiki produku krajowego na dynamikę zarudnienia. Powiemy, że wzros rocznej sopy wzrosu PKB (RY) w okresie o 1 punk procenowy wywoływał w ym samym okresie przecięny wzros sopy wzrosu zarudnienia (RL) o około 0,325 punku procenowego. Jednocześnie z yułu zmian echnologicznych, roczna sopa zarudnienia malała średniorocznie o około 1,477 punku procenowego w przypadku podokresu I oraz o około 0,832 punku procenowego w przypadku podokresu II, jako że: 1, ,645 = 0,832. Wykorzysując model (47), zgodnie z (40), uwzględniając jednocześnie zmienną zero-jedynkową, definiujemy model granicznej dynamiki wzrosu zarudnienia. Model en przyjmie posać: c E RL - 1, , 645x = 1-0, , 325 +, RY * , 96 1, 729x 0, 871 RY * - $ = $. (48) Na podsawie powyższego powiemy, że wzros rocznej sopy wzrosu produku krajowego (RY) w danym kwarale o 1 punk procenowy, przy jednoczesnym urzymaniu się ego wzrosu na nowym poziomie, prowadził do granicznego (osaecznego) wzrosu rocznej sopy wzrosu zarudnienia (RL) o około 0,871 punku procenowego. Z (48) wynika, że oceny parameru B L przyjmują nasępujące warości: dla podokresu od 1 kwarału 1996 r. do 2 kwarału 2004 r.: B I L =-3, 96. dla podokresu od 3 kwarału 2004 r. do 4 kwarału 2008 r.: B II L =- 3, , 729 =-2, 231. Oznacza o, że w hipoeycznych warunkach zerowego wzrosu PKB, roczna sopa wzrosu zarudnienia na skuek posępu echnicznego obniżała się osaecznie o około 3,96 punku procenowego (przypadek I podokresu) oraz o około 2,231 punku procenowego (przypadek II podokresu). Wykorzysując (48), zgodnie z (43), dokonujemy ocen granicznych sóp wzrosu PKB dla obu wyróżnionych podokresów: RY RY *limi *limii B L I 3, 96 = -,, B = 0 871, B L II 2, 231 = -,,. B = 0 871, (49.1) (49.2) Na podsawie powyższego powiemy, że aby zarudnienie wzrasało, o roczna sopa wzrosu produku krajowego (RY) powinna była: urwalić się na poziomie przekraczającym 4,55% w podokresie od 1 kwarału 1996 r. do 2 kwarału 2004 r., urwalić się na poziomie przekraczającym 2,56% w podokresie od 3 kwarału 2004 r. do 4 kwarału 2008 r.

50 50 Jerzy Ossowski Czym należy wyłumaczyć obniżenie się w drugim podokresie, w porównaniu z podokresem pierwszym, granicznych sóp wzrosu produku krajowego? Po pierwsze, jes o wynik większej dynamiki wzrosu środków rwałych w pierwszym podokresie w porównaniu z podokresem drugim. Po drugie, w pierwszym podokresie wysępowała większa dynamika odnawiania się środków rwałych aniżeli w okresie drugim. Wyrazem ego był w miarę usabilizowany w okresie drugim niższy poziom sopnia zużycia środków rwałych. Przy okazji waro zauważyć, że w pierwszym podokresie gospodarka musiała nadrabiać olbrzymie zaległości echnologiczne. W drugim z podokresów poziom odniesienia dla zmian echnologicznych wzrósł i efeky ych zmian, wyrażające się m.in. oszczędnością pracy, przesały mieć charaker nadmiernie dynamiczny. Po rzecie, w okresie pierwszym przecięny czas pracy był średnio wyższy aniżeli w podokresie drugim. Po czware, nie należy wykluczyć wpływu wsąpienia Polski do Unii Europejskiej, co jak należy sądzić wiązało się ze zmianami popyu globalnego, a ponado korzyściami zarudniania pracowników polskich (niższe płace w Polsce w relacji do płac w krajach Unii). Powyższa syuacja wskazuje, że pod względem empa wzrosu PKB, przy kórym nasępuje wzros zarudnienia, zbliżyliśmy się do usabilizowanych gospodarek krajów wysoko rozwinięych. Jak podaje A.B. Czyżewski [3] ego rodzaju empo w krajach EU-15 wynosiło około 2,75%. Z kolei w przypadku między innymi Danii empo o oceniono na poziomie 1,21%, Niemiec 2,50%, Francji 2,49% lub Szwecji 2,09%. Nieco wyższe empo było w Irlandii i Finlandii, a najwyższe w Hiszpanii. Naomias w USA empo o było dużo niższe, gdyż nie przekraczało 1%. Tym między innymi należy łumaczyć, że w krajach wysoko rozwinięych, przy sosunkowo niskim empie wzrosu PKB, obserwowaliśmy usabilizowany poziom sopy bezrobocia. Z kolei w Polsce, aby sopa bezrobocia nie wzrasała o w laach 90. ubiegłego wieku, roczna sopa produku krajowego musiała urzymywać się w dłuższym okresie na poziomie wynoszącym około 5%. Poliechnika Gdańska LITERATURA [1] Barro R.J., [1997], Makroekonomia, PWE, Warszawa. [2] Burda M., Wyplosz Ch., [1995], Makroekonomia, Podręcznik europejski, PWE, Warszawa. [3] Czyżewski A.B., [2002], Wzros gospodarczy a popy na pracę, Refera na XXII Konferencję Naukową NBP, Reformy srukuralne a poliyka pieniężna, Faleny. [4] Dornbusch R., Fischer S., Sarz R., Akins F.J., Sparks G.R., [2005], Macroeconomics, Sevenh Canadian Ediion, McGraw-Hill Ryerson Limied, Torono. [5] Klein L.R., [1982], Wykłady z ekonomerii, PWE, Warszawa. [6] Maddala G.S., [2001], Inroducion o Economerics, John Wiley & Sons LTD, New York. [7] Hall R.E., Taylor J.B., [1995], Makroekonomia, Teoria, funkcjonowanie i poliyka, Wydawnicwo Naukowe PWN, Warszawa. [8] Ossowski J.Cz., [2004], Wybrane zagadnienia z makroekonomii, Pojęcia, problemy, przykłady i zadania, WSFiR, Sopo. [9] Ossowski J.Cz., [2006], Zarudnienie i bezrobocie a dynamika wzrosu gospodarczego, Prace Naukowe Kaedry Ekonomii i Zarządzania Przedsiębiorswem, om V, Poliechnika Gdańska, Wydział Zarządzania i Ekonomii, Gdańsk, s

51 Zarudnienie a wzros gospodarczy w eorii i rzeczywisości gospodarki polskiej 51 [10] Ossowski J.Cz., [2009], Mikro i makroekonomiczne podsawy zaporzebowania na pracę w eorii i rzeczywisości gospodarki polskiej, XIV Ogólnopolska Konferencja Naukowa n Mikroekonomeria w eorii i prakyce, Kaedra Ekonomerii i Saysyki Uniwersyeu Szczecińskiego, Świnoujście-Kopenhaga, hp:// [11] Romer D., [2000], Makroekonomia dla zaawansowanych, Wydawnicwo Naukowe PWN, Warszawa. [12] Seyfried W., [2005], Examing he Relaionship beween Employmen and Economic Growh in Ten Larges Saes, Souhwesern Economic Review, Vol. 32, No. 1, p [13] Poland Quarerly Saisics, GUS, Warszawa, laa: [14] Roczniki saysyczne GUS, Warszawa, laa: Praca wpłynęła do redakcji w lisopadzie 2009 r. ZATRUDNIENIE A WZROST GOSPODARCZY W TEORII I W RZECZYWISTOŚCI GOSPODARKI POLSKIEJ S r e s z c z e n i e W części eoreycznej arykułu w pierwszej kolejności przedsawiono makroekonomiczne podsawy zaporzebowania na pracę w warunkach posępu echnicznego oraz zmian kapiału rzeczowego. W nasępnej kolejności sformułowano założenia dla dynamicznego modelu opisującego zależności pomiędzy sopami wzrosu produku krajowego i zarudnienia. W części empirycznej arykułu rozważano wybrane wersje oszacowanego modelu opisujące gospodarkę Polski. Do oszacowania paramerów srukuralnych modelu wykorzysano dane kwaralne obejmujące okres od 1 kwarału 1996 r. do 4 kwarału 2008 r. W procesie specyfikacji, esymacji i weryfikacji modelu brano pod uwagę założenia, kóre były formułowane dla rozważanego związku przyczynowo-skukowego. W rezulacie zasosowanej procedury specyfikacyjnej wyodrębniono dwa podokresy, dla kórych króko i długookresowe efeky wpływu posępu echnicznego na sopę wzrosu zarudnienia wykazywały różnicę. Ponado oszacowano graniczne sopy wzrosu PKB, przy kórej sopa wzrosu zarudnienia sawała się dodania. Swierdzono, że graniczna sopa wzrosu PKB dla podokresu od 1 kwarału 1996 r. do 2 kwarału 2004 r. wynosiła 4,55%. Dla podokresu od 3 kwarału 2004 r. do 4 kwarału 2008 r. graniczna sopa wzrosu PKB była mniejsza i wynosiła 2,56%. Wielkość a jes zbliżona do poziomu charakeryzującego większość zachodnioeuropejskich krajów. Słowa kluczowe: zarudnienie, wzros gospodarczy, popy na pracę, dynamika PKB, dynamika zarudnienia, posęp echniczny, funkcja produkcji EMPLOYMENT AND ECONOMIC GROWTH IN THEORY AND IN REALITY OF he POLISH ECONOMY S u m m a r y In he beginning of he heoreical par of he paper he macroeconomic conceps of he demand for labour in condiion of echnical progress and in process of changing he capial was presened. Then some assumpions for dynamic model describing he relaionship beween he raes of employmen growh and he raes of GDP growh were formulaed. In he empirical par of he paper same seleced esimaed versions of he considered model for Polish economy were presened. In he process of esimaion he quarerly saisical daa from 1996 q. 1 o 2008 q. 4 were applied. During he specificaion, esimaion and verificaion processes were aking ino accoun assumpions which were formulaed for considering cause-effec relaionship. As a resul of his specificaion procedure wo periods of ime were separaed. For hem he shor and long run effecs of influence he echnical progress ino he employmen rae of growh were no similar. Moreover, he limied GDP raes of growh for which he employmen rae of

52 52 Jerzy Ossowski growh was posiive had been esimaed. Limied rae for he period from 1996 q. 1 o 2004 q.2 was equal o 4.55%. For he period from 2004 q.3 o 2008 q.4 his limied GDP rae of growh was smaller, equal o 2.56%. The las resul is similar o he level of his ype of parameer which characerized majoriy of Wes European counries. Key words: employmen, economic growh, labor demand, GDP dynamic, employmen dynamic, echnical progress, funcion of producion

53 PrzeglĄd saysyczny R. LVII zeszy Ewa Drabik Asympoycznie efekywna sraegia odrzucania gier obarczonych zby dużym ryzykiem 1. Wsęp W niekórych grach bilans ryzyka, sra i zagrożeń przewyższa wszelkiego rodzaju korzyści, kóre gracz może czerpać z gry. W akiej syuacji gracz powinien raczej zrezygnować z uczesnicwa w rozgrywkach, oczywiście jeśli nie jes hazardzisą. Hazardzisa jes o bowiem specyficzny rodzaj gracza, kóry na ogół nie zachowuje się racjonalnie i raczej nie ma awersji do ryzyka. Inaczej sprawa wygląda w przypadku racjonalnie zachowujących się uczesników rynku, kórzy w wielu różnych syuacjach ekonomicznych uożsamiani są z graczami. Przykładem może być uczesnicwo w grach o charakerze społecznym, a z ymi bardzo częso mamy do czynienia współdziałając z grupą jednosek mających wspólne cele, np. w zakładzie pracy. W ym przypadku gra się może oczyć o zasoby, o srukurę formalną i miejsca poszczególnych graczy w owej srukurze. Jeżeli nie uczesniczy się w grze, świadomie lub nie, o można wypaść z ej srukury. Podobnie jak w przypadku wielu innych srukur rynkowych, kórych isnienie uzależnione jes głównie od zachowań uczesników ychże srukur. Zwyczajowo przyjmuje się, że racjonalnie działający gracz ma awersję do ryzyka. Awersja do ryzyka jes koncepcją znaną od dawna, na przykład z ekonomii, eorii gier, finansów i psychologii i doyczy ona zachowań konsumenów, graczy oraz inwesorów działających w warunkach niepewności. Sopień awersji do ryzyka można wyrazić liczbowo. Najbardziej znane miary awersji do ryzyka zosały wprowadzone przez Johna W. Praa (1964) oraz Kenneha Arrowa (1965). Awersja do ryzyka jes jedną z ważniejszych charakerysyk zjawisk ekonomicznych, kóre były dyskuowane w osanich laach. Bardzo ważny jes problem uczesnicwa w przedsięwzięciach, inwesycjach lub grach, w ym rynkowych, kóre charakeryzują się dużym ryzykiem. Z punku widzenia gracza (np. uczesnika rynku) niezwykle isone jes usalenie maksymalnej sray oraz minimalnego zysku, przy kórych waro uczesniczyć w grze. Problemami ymi w osanich laach zajmowało się wieku auorów [9], [10], [13]. Problem awersji do ryzyka zosał poruszony, a nasępnie rozwinięy przy okazji omawiania eorii perspekywy (prospec heory) przez Daniela Kahnemana i Amosa Tversky ego (1979). Teoria a swierdza, m.in., że gospodarka o nie ylko prawidłowości, ale również ludzie, kórzy nie zawsze zachowują się racjonalnie. Pokazali oni również, że uczesnicy rynku inaczej odbierają sraę, a inaczej aki sam co do warości

54 54 Ewa Drabik bezwzględnej zysk. Innymi słowy, poczucie sray bywa bardziej bolesne niż radość z akiego samego co do warości bezwzględnej zysku. W 1991 r. Kahneman i Tversky usalili i przebadali empirycznie, że najbardziej pożądanym sosunkiem sray do zysku jes 1:2 (loss aversion o gain aracion) [13]. Wielu auorów, akich jak Rabin, Thaler (2001), Segal, Spivak (1990), Epsein (1992) prowadziło rozważania doyczące uczesnicwa w grach o zróżnicowanych sawkach, a akże rozważało sosunek do ryzyka uczesników akich gier w różnych koneksach, przy różnych funkcjach użyeczności. W 2000 r. Mahew Rabin sformułował jedno z ważniejszych wierdzeń odnoszące się do graczy z awersją do ryzyka, kórzy maksymalizują swoją funkcję użyeczności, zw. calibraion heorem [10]. W uproszczeniu mówi ono, że przy usalonym poziomie zamożności możliwe jes usalenie zysku i sray, przy kórych gracz powinien zrezygnować z gry. Ponado grę należy odrzucić również wówczas, gdy zysk jes mniejszy od założonego (wyliczonego), zaś sraa większa od założonej. Problem odrzucania zw. złych gier był również przedmioem rozważań Ignacio Palacios Huery oraz Robera Serrano [9]. Zaprezenowali oni pewne cechy bezpiecznych gier. Sformułowali przy ym bardzo isone wierdzenie pozwalające usalić graniczną warość zysku i sray, przy kórych gra może być uznana za bezpieczną zosanie ono sformułowane w dalszej części pracy. Rober Aumann oraz wspomniany Serrano (2007) w oparciu o miary awersji do ryzyka Arrowa Praa zdefiniowali zw. Indeksy riskiness, kórych własności scharakeryzowali, m.in., przy użyciu aksjomaów. Rozważania prowadzone były wyłącznie w odniesieniu do gier jednoeapowych. Celem niniejszej pracy jes zaprezenowanie sraegii wyznaczającej graniczne zyski i sray w grach rozgrywanych wielokronie, a konkrenie wieloeapowych. W ym celu zosała zaadopowana asympoycznie efekywna sraegia, kóra po raz pierwszy zosała wykorzysana do rozwiązania problemu jednorękiego bandyy (one armed bandi problem) przez T.L. Lai i Herbera Robbinsa [5]. Praca zosała zorganizowana w nasępujący sposób. W punkcie drugim przedsawiono elemeny eorii związanej ze zróżnicowanym sosunkiem do ryzyka uczesników rynku, a akże zaprezenowano wierdzenie Palacios Huery oraz Serrano z 2006 roku doyczące wyznaczania granicznych warości zysku i sray, przy kórych należy zrezygnować z uczesnicwa w grze rozgrywanej ylko jeden raz. W punkcie rzecim przedsawiono sraegię doyczącą obliczania granicznych warości zysku i sray, przy kórych należy odrzucić grę wieloeapową w konkrenej z faz. 2. Podsawowe informacje związane ze zróżnicowanym sosunkiem do ryzyka uczesników rynku 2.1. Elemeny eorii oczekiwanej użyeczności Wiele ważnych zagadnień związanych z podejmowaniem decyzji w warunkach niepewności zawiera elemen ryzyka. Przez wiele la obowiązywało w ekonomii założenie, że uczesnicy rynku mają awersję do ryzyka, a decyzje przez nich podejmowane są racjonalne. Awersja do ryzyka jes założeniem znanym nie ylko z ekonomii, ale

55 Asympoycznie efekywna sraegia odrzucania gier również eorii gier, finansów, psychologii. Mówiąc o awersji do ryzyka waro wspomnieć o eorii oczekiwanej użyeczności oraz innych pojęciach związanych z ym zagadnieniem. Oczekiwaną użyeczność w sensie von Neumana Morgenserna można zapisać w posaci V = / p^xhu^xh (1) gdzie: u: X R jes elemenarną funkcją użyeczności w sensie Bernoulliego, p prawdopodobieńswem zajścia określonego zdarzenia, X jes zbiorem zdarzeń. x Prosym przykładem, kórym można posłużyć się podczas omawiania kolejnych pojęć jes loeria (simple loery). Prawdopodobieńswo p i reprezenuje w ym przypadku prawdopodobieńswo zajścia zdarzenia i, zaś n-ka L = (p 1,, p n ), p i ³ 0 określa loerię przy czym i = 1,, n oraz / p = 1. Loerię można również zilusrować w posaci geomerycznej jako punk n wymiarowego simpleksu i i n T = " p d 60, 1@ : p + f + p = 1,. Niech F z (x) = P {z x} będzie dysrybuaną odpowiadającą zmiennej losowej z. Gracz dokonuje wyboru zgodnie z nasępującą wskazówką F z jes bardziej preferowana niż F y, j. F z ( F y wedy, i ylko wedy, gdy V (F z ) ³ V (F y ), gdzie V^F h = # u^xhdf ^xh lub równoważnie V^F h = p^xhu^xh; z z (analogicznie określa się V (F y )). W dalszym ciągu zakłada się, że zmienna losowa z przyjmuje dwie warości z 1 lub z 2. Niech p oznacza prawdopodobieńswo zajścia zdarzenia z 1, zaś (1 p) prawdopodobieńswo zajścia zdarzenia z 2. Przez u w dalszym ciągu oznaczana będzie elemenarna funkcja użyeczności, kórej oczekiwaną warość można określić nasępująco E^uh = pu^z h + ^1 - phu^z h. 1 n 1 2 Dochód z loerii zwany również ekwiwalenem pewności (cerainy equivalen) oznacza się jako C (z); V (C (z)) = E (u). Z kolei Õ (z) = E (z) C (z) jes premią za ryzyko. Premia a określa dochód, kóry może uzyskać gracz podejmujący ryzyko. Przyjmuje się, że gracz wykazuje: awersję do ryzyka (risk aversion) jeżeli C (z) < E (z) dla każdego z Î M, jes neuralny wobec ryzyka (risk neural) jeżeli C (z) = E (z) dla każdego z Î M, nie ma awersji do ryzyka (kocha ryzyko risk loving) C (z) > E (z) dla każdego z Î M, gdzie M jes zbiorem zmiennych losowych odpowiadających badanemu zjawisku. z / x

56 56 Ewa Drabik Słuszne jes nasępujące wierdzenie. Twierdzenie 1. Niech u : R R będzie monoonicznie rosnącą elemenarną funkcją użyeczności (Bernoulliego) reprezenującą relację preferencji ³ h na zbiorze M, kóra jes funkcją monoonicznie rosnącą. Wówczas (i) u jes wklęsła wedy, i ylko wedy, gdy relacja preferencji ³ h związana jes z awersję do ryzyka, (ii) u jes wypukła wedy, i ylko wedy, gdy relacja preferencji ³ h związana jes z brakiem awersji do ryzyka, (iii) u jes liniowa wedy, i ylko wedy, gdy relacja preferencji ³ h związana jes z neuralnym sosunkiem do ryzyka. Wiadomo również, że wraz ze zmianą zamożności w gracz, kórego użyeczność wynosi u wykazuje malejącą bezwzględną awersję do ryzyka (decreasing absolue risk aversion DARA) i ma o miejsce wówczas, gdy Õ (w, u) > Õ (w + a, u) dla każdego a > 0, rosnącą absoluną awersję do ryzyka (increasing absolue risk aversion IARA): Õ (w, u) < Õ (w + a, u) dla każdego a > 0, sałą absoluną awersję do ryzyka (consan absolue risk aversion CARA): Õ (w, u) < Õ (w + a, u) dla każdego a > 0, gdzie Õ (.) jes opisaną wcześniej awersją do ryzyka. Najbardziej znane miary awersji do ryzyka zosały wprowadzone w laach 60. przez Arrowa i Praa Miary awersji do ryzyka Niech w oznacza zamożność (np. bogacwo, dochód, sopę zwrou). Definicja 1. Współczynnik Arrowa Praa bezwzględnej awersji do ryzyka (absolue risk aversion ARA) względem bogacwa w określa się nasępująco u" ^wh ra ^w, uh =- u' ^wh (2) gdzie u jes podwójnie różniczkowalną elemenarną funkcją użyeczności. Współczynnik względnej awersji do ryzyka (relaive risk aversion RRA) określa się w nasępujący sposób r ^w, uh = w $ r ^w, uh. (3) r A

57 Asympoycznie efekywna sraegia odrzucania gier Bezwzględna awersja do ryzyka jes miarą reakcji gracza na niepewność związaną z bezwzględnymi zmianami zamożności. Względna awersja do ryzyka wyraża sosunek gracza względem niepewności 1 związanej ze względnymi (procenowymi) zmianami poziomu jego zamożności. Gracz z malejącą awersją do ryzyka wraz ze wzrosem zamożności będzie przeznaczał coraz większą kwoę na ryzykowną grę. Gracze mogą mieć również zróżnicowany sopień awersji do ryzyka. Niech u 1 (.), u 2 (.) będą dwiema elemenarnymi funkcjami użyeczności. Słuszne jes nasępujące wierdzenie, kóre swierdza, m.in., że warunki (i)-(iv) są równoważne [7]. Twierdzenie 2. Gracz, kórego użyeczność wynosi u 1 (.) ma większą awersję do ryzyka niż gracz, kórego użyeczność wynosi u 2 (.) jeśli spełniony jes jeden z nasępujących warunków. (i) ra ^w, u1h > ra ^w, u2h dla każdego poziomu zamożności w, (ii) isnieje aka wklęsła funkcja Y (.), że u 2 (w) = Y (u 1 (w)) dla każdego w (u 1 (.) jes bardziej wklęsła niż u 2 (.)), (iii) C^Z, u2h # C^Z, u1h dla pewnej zmiennej losowej z Î M. (iv) Õ (w, u 2 ) ³ Õ (w, u 1 ) dla pewnego w, gdzie C (.) jes ekwiwalenem pewności, Õ (.) premią za ryzyko. Gracz wykazuje bezwzględną awersję do ryzyka jeśli r A (w, u) jes malejącą funkcją dla określonej posaci u (.). Dobór u (.) jes zaem bardzo ważnym problemem meryorycznym omawianej eorii. W abeli 1 zosały zaprezenowane przykładowe funkcje użyeczności i ich klasyfikacja pod względem zmian bezwzględnej i względnej awersji do ryzyka. Przykładowe funkcje użyeczności i ich klasyfikacja pod względem zmian bezwzględnej i względnej awersji do ryzyka Ta b e l a 1 Funkcja użyeczności Bezwzględna awersja do ryzyka Względna awersja do ryzyka u (w) = ln w malejąca sała -c u^wh = ^w + Ch c > 0, c d ^0, 1h malejąca rosnąca u w = - e -c ^ h w c > 0 sała rosnąca 1 u w e 2w 2 ^ h = malejąca malejąca Źródło: za pracą [8]. 1 Niekórzy auorzy zalecają, aby pojęcie niepewności wyraźnie odróżnić od pojęcia ryzyka. Kahneman i Tversky w sworzonej przez siebie eorii perspekywy swierdzili, że isonym elemenem zachowań uczesników rynku jes asymeria związana ze sposobem podejmowania ych decyzji, w wyniku kórych można spodziewać się sra oraz ych, kóre mogą przynieść zyski. Ponado gracze są skłonni wybrać ryzyko, bez względu na okoliczności, jeśli uważają swoje posępowanie za właściwe. W związku z ym auorzy wierdzą, że gracze mają raczej awersję do sra niż do ryzyka.

58 58 Ewa Drabik Należy podkreślić, że zaprezenowane w abeli 1 funkcje użyeczności charakeryzują inwesora wykazującego awersję do ryzyka. Inni auorzy, np. Rabin [10] zaprezenowali inne funkcje użyeczności, akie jak na przykład a akże u w = w 1 - c ^ h 1 - c c $ 0, 1 w u^wh = 1 - b 2 l dla w z ^19, 20h u^wh = 1 - b 2 l + ; b 2 l - b 2 l E ^w - 19h dla w d 619, 20@. Problem doboru u (.) jes szeroko dyskuowany, gdyż przyjmuje się, że nie każdy gracz z aką samą siłą unika ryzyka. Podczas rozważań doyczących różnych zagadnień sosowane są inne funkcje użyeczności, zn. o różnych posaciach analiycznych i różnych własnościach wynikających ze znaków pierwszej i drugiej pochodnej [9], [10], [13]. Generalnie jednak swierdzono, że podsawowe charakerysyki ejże funkcji, przy założeniu, że gracze maksymalizują swoją oczekiwaną użyeczność, są słabo wrażliwe na rodzaj indywidualnej skłonności do ryzyka reprezenowanej przy pomocy bezwzględnej i względnej awersji do ryzyka. Oprócz wymienionych miar Arrowa Praa isnieją inne meody pomiaru awersji do ryzyka. W 1981 r. Ross wprowadził pojęcie silnej miary awersji do ryzyka (sronger risk aversion measuremen). Idea konsrukcji wspomnianej miary jes nasępująca. Niech u i v będą elemenarnymi funkcjami użyeczności. Przyjmuje się, że u odpowiada silniejszej awersji do ryzyka niż v jeśli isnieje l > 0 akie, że dla każdych dwóch poziomów zamożności w i w 1 zachodzi u" ^wh v" ^wh $ m $ u' ^w v' ^w 1 1 h. h (3) Jeżeli w = w 1 o mamy do czynienia z miarami Arrowa Praa. Tak więc silna awersja do ryzyka (SRAM) implikuje awersję do ryzyka w sensie Arrowa Praa. Odwrona implikacja nie zachodzi. Ross sformułował również poniższe wierdzenie. Twierdzenie 3. Niech u i v będą podwójnie różniczkowalnymi elemenarnymi funkcjami użyeczności. Nasępujące warunki są równoważne. u" ^wh u' ^w1h (i) $ m $ v" ^wh v' ^w dla każdych dwóch poziomów zamożności w i w h 1. 1 (i) isnieje l > 0 oraz aka malejąca, wklęsła funkcja G : R R (G' < 0 oraz G" < 0), że v^wh = mu^wh + G^wh dla każdego poziomu zamożności w Î R. (i) Õ (w, u) ³ Õ (w, v) dla każdego poziomu zamożności w Î R.

59 Asympoycznie efekywna sraegia odrzucania gier Bezpieczne gry We wsępie zosało wspomniane, że w rakcie rozważań doyczących zachowań graczy, inwesorów, konsumenów czy eż innych uczesników rynku, w sposób nauralny nasunął się problem ich uczesnicwa w zby ryzykownych przedsięwzięciach. Gracze nie są skłonni do uczesnicwa w grach przynoszących zby małe zyski lub zby duże sray. W 1991 r. Kahneman i Tversky swierdzili, że zamias o awersji do ryzyka należy raczej mówić o awersji do sra (loss aversion) [13]. W 2006 r. Palocious Huera oraz Serrano zaproponowali i udowodnili wierdzenie pozwalające za pomocą obliczeń usalić graniczną warość sray do zysku, przy kórych grę można uznać za bezpieczną i w niej uczesniczyć [9]. Niech U oznacza zysk, m sraę. Gracz odrzuca grę jeśli przegrana jes większa od µ, zaś wygrana mniejsza od U. Twierdzenie 4. Niech u będzie rosnącą elemenarną funkcją użyeczności odpowiadającą awersji do ryzyka. Niech I będzie przedziałem określonym na zbiorze liczb rzeczywisych. Dla każdego poziomu zamożności w Î I u^w + U h + 2 u^w - nh < u^wh (4) oraz isnieje akie a* > 0, że współczynnik bezwzględnej awersji do ryzyka r A (w, u) jes większy niż a* dla każdego w Î I. Największe akie a* jes rozwiązaniem równania f a = e a n + e -au ^ h - 2 = 0. (5) Nie sposób przecenić warości meryorycznej wierdzenia 3. Należy jednak zaznaczyć, że doyczy ono wyłącznie gier rozgrywanych ylko jeden raz. W kolejnym rozdziale zosanie zaproponowana meoda, kóra pozwoli wyznaczyć graniczne warości U i m w grach wieloeapowych (rozgrywanych wielokronie). 3. Asympoycznie efekywna reguła alokacji Załóżmy, że gracze uczesniczący w określonej grze mają awersję do ryzyka. Z punku widzenia eorii perspekywy sworzonej przez Kahnemana i Tversky ego, oparej na najnowszych osiągnięciach psychologii poznawczej wiadomo, że gracze o wiele boleśniej odczuwają sraę niż czerpią zadowolenie z akiego samego co do warości bezwzględnej zysku. W związku z ym ważnym problemem saje się usalenie warości granicznych zysków i sra, kóre saysfakcjonowałyby uczesników gier rozgrywanych wielokronie. W celu rozwiązania ego problemu celowa wydaje się konsrukcja akiej sraegii uczesnicwa w grze, kóra nie przynosi zby dużych sra i nie daje zby małych zysków. W ym celu zosanie zaadopowana asympoycznie efekywna sraegia sworzona w laach 80. XX wieku przez Lai i Robbinsa, kóra zosała wykorzysana do rozwiązania jedno- i wielorękich bandyów [5]. W niniejszej pracy zosanie wykorzysana do gier rozgrywanych wielokronie.

60 60 Ewa Drabik Lieraura doycząca problemów jedno- i wielorękich bandyów jes obszerna (zobacz np. bibliografię w pracy [5]). Nazwa jednoręki bandya pochodzi od nazwy auomau do gry (slo machine), wyposażonego najczęściej w rzy bębny do gry ozdobione kolorowymi obrazkami oraz dźwignię lub przycisk. Po wrzuceniu pewnej kwoy i uruchomieniu dźwigni lub naciśnięciu przycisku umieszczone na bębnach symbole usawiają się w różnych układach, co daje określoną wygraną. Problemem ym zaineresowali się akże naukowcy, kórzy wykorzysali znane meody saysyczne do opisu różnych warianów ej gry (w uproszczeniu rzecz ujmując), po czym rozważania swoje przenieśli na grun eorii serowania, biologii a akże ekonomii. Zaadopowany przez badaczy problem decyzyjny generalnie polega na ym, że na podsawie obserwacji wyników gry, gracz podejmuje decyzję, czy w konkrenej fazie będzie grał czy eż nie, zaś jego celem jes maksymalizacja całkowiej (lub średniej) wygranej. W dalszym ciągu zakłada się, że w i (i = 1, 2 ) oznacza odpowiednią sraę lub zysk w fazie i dowolnej gry rozgrywanej wielokronie (niekoniecznie jednorękiego bandyy). Niech (w, q i ) będzie funkcją gęsości dla w odpowiadającą pewnej mierze probabilisycznej v, gdzie funkcja (.,.) jes znana, zaś q i są nieznanymi paramerami należącymi do przesrzeni nieznanych paramerów Q. Zakłada się również, że spełniony jes warunek 3 # w f^w, ihdv^w h < 3 dla każdego q Î Q. -3 W rakcie gry sekwencyjnie zbierane są informacje doyczące przeszłych zysków i sra w 1, w 2 Innymi słowy, zbierane są dane hisoryczne, na podsawie kórych podejmowane są decyzje doyczące uczesnicwa w kolejnej fazie gry. Regułę gry j można rakować jako ciąg zmiennych losowych j 1, j 2,, przy czym j = 0, kiedy gracz rezygnuje z gry, j = 1, kiedy gracz decyduje się na konynuację gry, W każdej z faz obliczane są saysyki m, U odpowiadające średnim zyskom i sraom. Własności ych saysyk zosały zaprezenowane w pracy [5]. Niech S n = w w n. Celem gracza jes osiągniecie największej z możliwych oczekiwanej warości sumy wygranych S n przy n. Niech + 3 n^ih # w f^w; ihdv^wh (6) -3 będzie oczekiwaną wypłaą w grze. Oczekiwaną sumę wypła S n w grze do fazy n można zapisać nasępująco ES = Eaw I I k = n^iht ^ j h n 1 n j = 0 i = 1 i "{ i = j, i / / / (7) j = 0 n

61 Asympoycznie efekywna sraegia odrzucania gier gdzie T ^ j h = / I ^ j = 0, 1h jes liczbą momenów, podczas kórych gracz prowadził n n i = 1 "{ i = j, grę do fazy n (jeśli j = 1) lub eż liczbą momenów, podczas kórych gracz zrezygnował z gry do fazy n (jeśli j = 0), I {.} jes indykaorem zdarzenia. Zdarzenie {j n = j} należy do s- ciała J n 1 generowanego przez poprzednie warości j 1, w 2,, j n 1, w n 1. Problem maksymalizacji ES n jes równoważny minimalizacji nasępującego koszu gry gdzie R ^ ih = nn* - ES = / n* _ - n_ i iiet ^ j h (8) n n j j: n_ iji < n * n * = max $ n^i h, n^i h. = n^i * h dla i* d " i, i, Pomocniczo wprowadza się zw. liczbę Kulbacka Leiblera I (q, l), kórą określa się za pomocą formuły I^i, mh = 3 f^w; ih # log $ f w; i dv w f^w; m ^ h ^ h (9) h -3 przy czym 0 < I (q, l) <, jeżeli m (l) > m (q). Lai Robbins pokazali, że kosz wyrażony za pomocą formuły (8) można przedsawić jako ([5], Twierdzenie 1, sr. 7) * * Rn ^ ih. / _ n - n_ ijii/ I_ ij, i i log n przy n " 3. (10) * 4 j: n_ iji < n * Auorzy pracy [3] pokazali również, że R n (q) przy n zbiega do asympoy (jes zbieżny asympoycznie). Skonsruowali również regułę gry j minimalizującą R n (q), kórą nasępnie nazwali asympoycznie efekywną regułą alokacji (asympoically efficien allocaion rule). Zosanie ona zaprezenowana poniżej w odniesieniu do zysków i sra w dowolnej grze. Wcześniej jednak omówione zosaną własności, kóre powinny spełniać saysyki pomocnicze m n, U n., kóre wykorzysywane są przy konsrukcji sraegii j. Podany będzie akże przykład, kóry zilusruje jaką posać przyjmują e saysyki oraz liczba Kulbacka Leiblera dla konkrenego rozkładu (.;.), np. normalnego. Niech w 1, w 2, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie o funkcji gęsości (w; q) z odpowiadającą miarą probabilisyczną v, gdzie q Î Q oznacza nieznany paramer. Górną granicę przedziału ufności dla nieznanej średniej m (q) można zdefiniować za pomocą funkcji g n :R R (n = 1, 2, ; = 1,, n), kóra o funkcja dla każdego q Î Q spełnia nasępujące warunki. n

62 62 Ewa Drabik -1 (W1) P " r # g ^w, f, w h dla wszyskich # n, = 1 - o^n h dla każdego r < m (q), i n 1 gdzie o (n 1 ) jes pewną małą warością zależną od 1/n przy n. (W2) lim flim sup Pi $ gn ^w1, f, wh $ n ^ m h - f./ log np # 1/ I^ i, m h jeżeli m (l) > m (q). f " 0 n " 3 = 1 n / (W3) g n jes funkcją niemalejącą gdy n ³ dla każdego = 1, 2, Dodakowo definiuje się esymaor punkowy h (w 1,, w ) dla średniej m (q), h : R R. Spełnia on warunki (W4) h g n dla każdego q Î Q. (W5) P max h w, f, w - n i > f = o n -1 % ^ h ^ h / ^ h dla każdego e > 0. i 1 Można zauważyć, że warunek W5 jes spełniony dla średniej, j. dla h ^w1, f, wh = ^w1 + f + wh /, gdy Ei w i 2 < 3 ^i = 1, f, h. Przykład. Przyjmijmy, że w i (i = 1, 2, ) będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym i znanej wariancji s 2 > 0 oraz nieznanej warości oczekiwanej Ew i = q, m (q) = q, q = (, ), v jes miarą Lesbegu e. Funkcja gęsości jes posaci w f w; 2 2-1/ 2 ^ i = rv exp - - i h ^ h ^ h ) 3. 2v2 Z prosych obliczeń wynika, że liczba Kulbacka Leiblera przyjmuje posać ^i m I i, m = - h ^ h. 2v 2 Po podsawieniu I (q, l) do wzoru (10) i dokonaniu odpowiednich przekszałceń orzymujemy równość lim n - n " ES = n *. A zaem średnia wypłaa na jednoskę czasu może być równa oczekiwanej wypłacie w dowolnej z faz gry. Esymaor punkowy h (w 1,, w ) odpowiada średniej h ^w, f, w h = ^w + f + w h/ = wr. 1 1 n 2

63 Asympoycznie efekywna sraegia odrzucania gier Z kolei górną granicę przedziału ufności dla średniej można wyrazić za pomocą formuły g w,, w w 2 a 1/ 2 ^ f h = r + v^ h dla n $ n 1 n gdzie s jes odchyleniem sandardowym, a n (n = 1, 2, ; = 1,..., n) jes dodanią sałą aką, że dla każdego, a n jes niemalejąca dla n ³ oraz isnieje e 0 akie, że spełniona jes nierówność a log n - log n # f ^ h / n 1 2 1/ 2 dla każdego n. Analiza doycząca innych rozkładów funkcji (.,.) zosała zaprezenowana w pracy [3]. W dalszym ciągu niech w 1,, w Tn (j) oznacza sukcesywne obserwacje zysków i sra do fazy n. Należy zauważyć, że w przypadku rozważań prowadzonych w niniejszej pracy, T n (0) + T n (1) = n, przy czym T n (0) oznacza liczbę chwil do fazy n, podczas kórych gracz zgodnie ze sraegią nie uczesniczył w grze, zaś T n (1) oznacza liczbę chwil do fazy n, podczas kórych gracz prowadził grę. Wspomniane wcześniej saysyki pomocnicze o n n ^ j h = ht w,, w n ^ j h ^ 1 f Tn ^ j hh Un ^ j h = ht j ^w1, f + wt j h. n ^ h Sraegia gry j jes nasępująca. 1) Przez dwie pierwsze fazy gry gracz prowadzi grę i zbiera informacje o wygranych lub sraach w 1, w 2. 2) W fazie (n + 1) (n ³ 2) gracz podejmuje decyzję doyczącą dalszej gry: j n+1 = 1 decyduje się na grę, j n+1 = 0 rezygnuje z gry. a) jeżeli m n U n o j n+1 = 1, b) jeżeli m n > U n o j n+1 = 0. Sraegia j jes asympoycznie efekywna, co oznacza, że kosz akiej gry przy n zbiega do asympoy. Jes o szczególnie ważne, gdy udział w grze jes obowiązkowy, a można jedynie zrezygnować z uczesnicwa w pojedynczych fazach gry. Auorka niniejszej pracy zasosowała powyższą, aczkolwiek nieco inaczej sformułowaną sraegię do gry na giełdzie k ³ 1 akcjami spółek (akcje odpowiadały k ramionom). Przeprowadzone symulacje kompuerowe dla giełd: NYSE (New York Sock Exchange) oraz Giełdy Papierów Warościowych w Warszawie pokazały, że w dłuższym okresie czasu, po przeesowaniu akcji dużej liczby spółek oraz uwzględnieniu koszów ransakcji należałoby raczej zrezygnować z dywersyfikacji porfela (przy dużym n) i zdecydować się na grę akcjami niewielkiej liczby spółek, przynoszących w dłuższym horyzoncie czasowym najwyższe dochody. Szczegółowe badania pokazały, że czasami najlepiej, aby była o jedna spółka [3]. Sraegia zaprezenowana w niniejszej pracy w zamyśle odnosi się do innych niż jednoręki bandya, czy eż giełda gier powarzanych wielokronie. Przeprowadzenie n ^ h

64 64 Ewa Drabik symulacji wymaga jednak sporych nakładów. Należałoby bowiem uwzględnić w celach porównawczych opisane po części w rozdziale drugim najnowsze osiągnięcia psychologii poznawczej oraz badania przeprowadzone przez Palacios Huerę i Serrano [9]. Poliechnika Warszawska Lieraura [1] Aumann R.J., Serrano R., [2007], An Economic Index of Riskiness, 3 h Spain Ialy Neherlands Meeing on Game Theory (SING 3), Amserdam July 4-6, p. 37. [2] Drabik E., [2009], Asympoically Efficien Adapive Allocaion Rule as a Mehod of Rejecing Low and Excessively High Risk, 5 h Spain Ialy Neherlands Meeing on Game Theory (SING 5), Amserdam July 1-3, p. 25. [3] Drabik E., [2000], Zasosowania eorii gier do inwesowania w papiery warościowe, sr. 251, Wydawnicwo Uniwersyeu w Białymsoku, Białysok. [4] Epsein L.G., [1992], Behavior Under Risk: Recen Developmens, [in:] Theory and Applicaions in Advances in Economic Theory, Vol. II, edied by J.L. Laffon, Cambridge Universiy Press, s [5] Lai T.L., Robbins H., [1985], Asympoically Efficien Adapive Allocaion Rules, Advanced in Applied Mahemaics 6, s [6] Kimball. M.S., [1991], Sandard risk aversion, NBER Technical Working Paper, No. 99. [7] Mass-Colell A., Whinson M.D., Green J.R., [1995], Microeconomic heory, Oxford Universiy Press, New York. [8] Michalska E., Gołąbowska B., [1998], Użyeczność a Ryzyko w Problemie Wyboru Porfela Akcji, [w:] Modelowanie preferencji a ryzyko 98, red. T. Trzaskalik, s , Wydawnicwo Akademii Ekonomicznej w Kaowicach, Kaowice. [9] Palacios Huera I., Serrano R., [2006], Rejecing Small Gambles Under Expeced Uiliy, Economics Leers 91, s [10] Rabin M., [2000], Risk Aversion and Expeced Uiliy: a Calibraion Theorem, Economerica 68, s [11] Rabin M., Thaler R.H., [2001], Anomalies Risk Aversion, Journal of Economic Properies 15(1), s [12] Segal U., Spivak A., [1990], Firs Order versus Second Order Risk Aversion, Journal of Economic Theory 51, s [13] Tversky A., Kahneman R., [1991], Loss Aversion in Riskless Choice a Reference -Dependen Model, Quarerly Journal of Economics 106, s Praca wpłynęła do redakcji we wrześniu 2009 r. Asympoycznie efekywna sraegia odrzucania gier obarczonych zby dużym ryzykiem S r e s z c z e n i e Wiele decyzji ekonomicznych podejmowanych w warunkach niepewności zawiera w sobie elemen ryzyka, a uczesnicy rynku mogą mieć zróżnicowany do niego sosunek, przy czym przez wiele la obowiązywało założenie, że mają oni awersję do ryzyka. Awersja do ryzyka jes koncepcją znaną nie ylko z ekonomii, ale również eorii gier, finansów i psychologii, a doyczy ona zachowań konsumenów, graczy, inwesorów działających w warunkach niepewności. Również awersja do sra jes koncepcją szeroko dys-

65 Asympoycznie efekywna sraegia odrzucania gier kuowaną w osanich laach. Zauważono bowiem, że uczesnicy rynku o wiele inensywniej odczuwają sraę niż czerpią radość z akiego samego co do warości bezwzględnej zysku. Wielu auorów analizowało problem opłacalności uczesnicwa w grach z określoną warością zysku lub sray. Kahneman i Tversky (1991) usalili nawe, że waro brać udział w grach, w kórych sosunek ewenualnego zysku do ewenualnej sray ma się ak jak 2:1. Inni auorzy prezenowali cechy zw. bezpiecznych gier. Celem pracy jes zaprezenowanie asymoycznie efekywnej sraegii sosowanej w grach wieloeapowych, kóra umożliwia inerakywne wyznaczanie granicznych warości sray i zysku przy jakich waro konynuować grę. Słowa kluczowe: asympoycznie efekywna sraegia, awersja do ryzyka, awersja do sra, gry wieloeapowe Asympoically efficien adapive sraegy of rejecing games wih oo high risk S u m m a r y Many imporan economic decisions involve an elemen of risk. Risk aversion is a concep in economic, game heory, finance and psychology relaed o he behavior of consumers, players and invesors under uncerainy. Loss aversion is an imporan componen of a phenomenon ha has been discussed a lo in recen years. Loss aversion is a endency o feel he pain of a loss more acuely han pleasure of he equal sized gain. Many scieniss have analyzed he problem of profiabiliy in he game. Some auhors presened cerain feaures, by which safe games played once should be characerized. Kahneman and Tversky (1991) showed ha loss aversion o gain aracion raio should amoun o 1:2. The aim of his paper is o show an asympoically effecive sraegy which enables he risk aversive player o esablish boundary variables loss and gain a each sage of he repeaed game. Key words: asympoically efficien sraegy, risk aversion, loss aversion, repeaed game

66 PrzeglĄd saysyczny R. LVII zeszy rober kapłon Kryeria wyboru liczby skupień w binarnym modelu klas ukryych analiza symulacyjna 1. Zarys problemu Analiza klas ukryych (LCA) pozwala na zidenyfikowanie wzajemnie wyłączających się klas (skupień), kóre wyjaśniają rozkład przypadków pojawiających się w wielowymiarowej abeli konyngencji [23], [15], [16]. Jeśli X i = (X i1, X i2,, X ij ) T będzie wekorem losowym, naomias x * = x *, x *,, x * T _ i jego realizacją, wedy w binarnym i i1 i2 f ij modelu LCA, x * ij przyjmuje warość 0 lub 1 dla obserwacji i oraz zmiennej j. Z podziałem na skupienia związana jes zmienna ukrya Y i, kórej obecność sprawia, że zbiór zmiennych binarnych jes już niezależny, a ona wyjaśnia isoę ewenualnych związków (por. [16]). Przy akich założeniach rozkład warunkowy ma posać: Pr X x * Y s Pr X x * ij Y s 1 Pr X x * a = = k = a = = k 9 - a = Y = skc i i i J % j = 1 ij ij i x * 1 - x * ij ij ij i naomias rozkład brzegowy, przy uwzględnieniu prawdopodobieńswa przynależności do klasy s (s = 1,, S), można zapisać: Pr X x * Pr Y s Pr X x * _ = i = ^ = h a = Y = sk. i i S / s = 1 i i i i Dla ak sformułowanego modelu, na eapie esymacji paramerów, należy przyjąć liczbę klas. Zazwyczaj nie wiadomo, ile ma ich być. Z ego eż względu szacuje się paramery dla kilku modeli i spośród nich dokonuje wyboru. Pojawia się uaj pokusa wykorzysania esu oparego na ilorazie wiarygodności. Niesey, wobec niespełnienia warunków regularności, co w konsekwencji prowadzi do nieznajomości rozkładu saysyki esowej, akie podejście jes niewłaściwe (por. [24]). Można próbować aproksymować en rozkład wykorzysując podejście boosrapowe [25], lecz czasochłonność obliczeń sprawia, że poszukuje się innych rozwiązań. Kryeria informacyjne są najczęściej wykorzysywane w modelach oparych na mieszankach rozkładów. Pozwalają one wybrać en model spośród rozważanych, dla kórego warość danego kryerium jes najmniejsza. Trudność pojawia się w momencie, gdy różne kryeria wskazują na różną liczbę klas. Z ego eż względu prowadzi się badania symulacyjne mające rozsrzygnąć, kóre kryeria są najbardziej wiarygodne.,

67 Kryeria wyboru liczby skupień w binarnym modelu klas ukryych Takie badania są porzebne, gdyż po pierwsze podsawa koncepcyjna wielu kryeriów jes różna. Przykładowo, punkem wyjścia może być informacja Kulbacka Leiblera lub czynnik bayesowski. Po drugie w prakyce wykorzysuje się aproksymacje ych kryeriów, co dodakowo może być obarczone błędem. Po rzecie wreszcie poprawność kryeriów we wskazaniu właściwego modelu może się zmieniać w zależności od wykorzysywanej klasy modeli. Przykładowo, w wielomianowym modelu logiowym oparym na mieszkankach rozkładów kryerium informacyjne Akaike jes bardziej wiarygodne od kryerium bayesowskiego BIC [3], naomias dla mieszkanek rozkładów normalnych jes odwronie [24]. Mając na względzie fak, że badania symulacyjne nad wyborem liczby klas skupiają się głównie na mieszankach rozkładów normalnych, niniejsze opracowanie jes próbą rozszerzenia ych badań o analizę klas ukryych. Dlaego w punkcie drugim przedsawiono ypologię kryeriów informacyjnych oraz ich koncepcję. Zwrócono również uwagę na ich własności. W punkcie rzecim opisano eksperymen oraz czynniki, kóre mogą mieć decydujący wpływ na warości rozważanych kryeriów. Osani punk odnosi się do wniosków płynących z eksperymenu oraz rekomendacji doyczących wyboru kryeriów, kóre najrafniej wskazują właściwą liczbę klas ukryych. 2. Kryeria wyboru skupień Kryeria ze szkoły Akaike Pierwsza grupa kryeriów wywodzi się z zw. szkoły Akaike. Ich podsawą jes informacja Kulbacka Leiblera, kóra mówi o przecięnym sopniu rozbieżności między prawdziwą gęsością g (x) a gęsością (x H) będącą jej aproksymacją ([22], [12]): I_ g^ xh, f_ x Hii = E 8log g^ xh - log f_ x HiB. G Sosując zasadę minimalizacji ej informacji, z grupy konkurencyjnych modeli wybiera się en, dla kórego obliczona informacja K-L przyjmuje najmniejszą warość. Ponieważ warość oczekiwana z log g (x) nie zależy od żadnego modelu, więc przy porównaniach nie bierze jej się pod uwagę. Pominięcie wspomnianej warości oczekiwanej nie rozwiązuje problemu, bo i ak informacja K-L nie jes bezpośrednio obserwowana, gdyż zależy od prawdziwego rozkładu oraz nieznanych paramerów. Z ego eż względu nieznaną, prawdziwą dysrybuanę G (x) zasępuje się jej dysrybuaną empiryczną orzymując nasępujące oszacowanie (por. [9], [20]). 1 EG log f x H = log f x H dg x = N log f xi H 8 _ ib # _ i ^ h / a k. Należy zauważyć, że en sam zbiór danych zosał wykorzysany do oszacowania wekora nieznanych paramerów oraz wyznaczenia dysrybuany empirycznej, co skukuje obciążeniem esymaora. Okazuje się jednak, że w wielu wypadkach wyznaczenie dokładnej warości ego obciążenia jes prakycznie niemożliwe i sąd pojawiają się N i = 1

68 68 Rober Kapłon różne jego aproksymacje prowadzące do różnych kryeriów. Kryerium informacyjne, w kórym wykorzysuje się asympoyczne obciążenie b ma posać (por. [19], [20]): N / IC =- N> N log fa xi H k - N b H =- 2 log L _ H xi + 2 b. i = 1 Takeuchi (1976) zaproponował, aby za obciążenie przyjąć b = r (J 1 I) gdzie 22 log L H x 2 log L H x 2 log L H x J =- E _ i T, I = E _ i _ i > H > H T, 2H2H 2H 2H a odpowiednie pochodne cząskowe obliczane są w punkcie mody funkcji wiarygodności. Choć obliczenie warości oczekiwanych może być kłopoliwe, o jednak dla dużej próby co wynika z mocnego prawa wielkich liczb można je zasąpić średnią z próby. Biorąc o pod uwagę kryerium informacyjne Takeuchi można zapisać (por. [27]): TIC =- 2L_ H xi + 2 r^ J -1 Ih. (1) Ważną cechą ego kryerium jes o, że przy jego wyprowadzeniu nie zakłada się przynależności nieznanego rozkładu g (x) do rodziny rozważanych modeli { (x H); H Î P}. Dlaego może ono również posłużyć do rozsrzygnięcia, czy właściwie zdefiniowano model, bo jak wiadomo, gdy g (x) Î { (x H); H Î P} wedy dwie macierze informacji są sobie równe (J = I) i ym samym obciążenie równe jes liczbie paramerów r : b = r (J 1 I) = r (por. [21]). Właśnie akie założenie odnośnie nieznanej gęsości przyjął Akaike [2] orzymując nasępujące kryerium: AIC =- 2L_ H xi + 2r. (2) W przeciwieńswie do TIC jes o jedno z najczęściej wykorzysywanych kryeriów porównawczych. Pojawiają się jednak zarzuy, że ma ono endencję do wskazywania na modele nazby rozbudowane nawe wedy, gdy próba jes duża. Jes o wynik braku zależności kary (2r) od liczebności próby. To powoduje również, że esymaor en nie jes zgodny. Choć nie należy ego przeceniać gdyż przy porównaniach bazujemy na skończonych próbach, a zgodność jes asympoyczną własnością [9] o w lieraurze proponuje się pewną modyfikację AIC. Bozdogan [7] wprowadza zgodne kryerium informacyjne Akaike (CAIC consisen AIC): CAIC =- 2L_ H xi + r^log N + 1h. (3) Pewną modyfikacją kryerium AIC jes zasąpienie wysępującej w karze dwójki rójką. Koncepcja a jes konsekwencją propozycji aproksymacji saysyki oparej na ilorazie wiarygodności ([7], [30]). Choć jes ona kwesionowana, o jednak symulacje pokazują, że daje dość dobre wyniki przy wyborze właściwego modelu ([11]). Z ego eż względu waro ją włączyć do eksperymenu:

69 Kryeria wyboru liczby skupień w binarnym modelu klas ukryych AIC3 =- 2L_ H xi + 3r. (4) Rozważane do ej pory kryeria są do siebie podobne w ym sensie, że nakładają ym większą karę na logarym funkcji wiarygodności, im większa jes liczba esymowanych paramerów. Można więc powiedzieć: za zwiększoną złożoność modelu płaci się większą karą. O złożoności można również mówić w konekście rudności związanych z esymacją odwronej macierzy Fishera. Propozycję akiego kryerium przedsawił Bozdogan ([8], [10]): r J -1 ICOMP =- 2L H ^ h _ xi + r log : r D - log J -1. (5) Owa rudność pojawi się wedy, gdy wysąpią silne zależności miedzy esymowanymi paramerami modelu będące konsekwencją ego, że jes ich zby wiele. Wedy wyznacznik odwronej macierzy Fishera będzie bliski zeru, co w konsekwencji nałoży bardzo dużą karę na logarym funkcji wiarygodności. Waro nadmienić, że kara będzie również wzrasać, wraz ze wzrosem błędów szacunku paramerów odpowiada za o drugi składnik prawej srony wzoru (5). Kryerium bayesowskie W podejściu bayesowskim wybiera się en model, kóry jes najbardziej prawdopodobny, biorąc pod uwagę rozkład a poseriori. Porównując dwa modele m 0 i m 1 mając dane rozkłady warunkowe (x m 0 ) i (x m 1 ) oraz rozkłady a priori f (m 0 ) i f (m 1 ) = 1 f (m 0 ) wygodnie jes wyznaczyć iloraz szans a poseriori: f_ m f_ m 0 1 xi f_ x m0i z^m0h = = BF # iloraz szans. x f_ x m z^m ^ h i i h 1 1 Pierwszy składnik prawej srony wzoru nazywa się czynnikiem bayesowskim (BF), drugi naomias o iloraz szans a priori. Gdy nie ma żadnych preferencji co do wyboru modelu, wedy f (m 0 ) = f (m 1 ) i czynnik bayesowski równy jes ilorazowi a poseriori (por. [18]). Kluczową kwesią w obliczeniu czynnika bayesowskiego jes znalezienie rozkładu a poseriori każdego modelu: # f_ x m i = f _ x H, m ip_ H m idh, w kórym paramery reprezenowane są przez wekor H 0 ; naomias p (H 0 m 0 ) jes rozkładem a priori odzwierciedlającym opinię lub wiedzę badacza o paramerach modelu, zanim próba zosanie pobrana. Z rozkładem ym wiążą się dwa problemy. Pierwszy doyczy przyjęcia jego posaci. Szczególnie uciążliwe jes o wedy, gdy nie ma żadnych informacji. Drugi problem polega na rudności w obliczeniu całki. W ej syuacji, jako remedium, proponuje się wykorzysać przybliżenie rozkładu a poseriori.

70 70 Rober Kapłon Takim przybliżeniem jes aproksymacja Laplace a w punkcie mody. Jednak rudności w znalezieniu warości modalnej powodują, że zosaje ona zasąpiona esymaorami największej wiarygodności. W konsekwencji przybliżenie rozkładu a poseriori ma posać [25]: 1 r log f_ x m0 i. L_ H xi + log p^ H h - 2 log H^ H h + 2 log ^2 r h. Pewną aproksymacją powyższego przybliżenia jes zw. kryerium Szwarza, kóre częściej pojawia się jako bayesowskie kryerium informacyjne (BIC): BIC =- 2L_ H xi + r log N. (6) Kryerium o zakłada pewien szczególny rozkład a priori paramerów rozkład, kóry zawiera yle samo informacji co pojedyncza obserwacja. Prowadzi o do płaskiego rozkładu (spread ou), co niekórzy uznają o za wadę [28]. Z drugiej jednak srony, jeśli brak jes informacji (wiedzy) o rozkładach a priori, o przyjęcie akiego rozkładu wydaje się być rozsądnym rozwiązaniem (por. [25]). Kryeria klasyfikacyjne Uzupełnieniem powyższych kryeriów są kryeria klasyfikacyjne. Ich podsawą jes enropia, kórej esymaor ma posać: EN^x h =-/ / x ic log x ic. i Jeśli podział na skupienia jes jednoznaczny i oszacowane prawdopodobieńswo a poseriori przynależności do danej klasy dąży do 1, wedy enropia będzie zbliżała się do 0. Im warość enropii mniejsza, ym większa rudność w wydzieleniu skupień. Należy odnoować, że sama enropia nie może być podsawą porównań modeli o różnej liczbie klas, gdyż zawsze przyjmie warość większą dla ego z modeli, kóry ma ich więcej. Dlaego Celeux i Soromenho [13] proponują normalizację (NEC): c NEC = EN^x h, s 2, f, S. log L _ H xi - log L _ H xi = s 1 (7) Jako punk odniesienia przyjęo różnicę między logarymami funkcji wiarygodności dla modelu z s i jedną klasą. Jeśli w porównaniach bierze udział model z jedną klasą, o wedy kryerium (7) nie można wykorzysać. Biernacki i in. [4] proponują, aby w ym wypadku przyjąć nasępującą zasadę: jeśli NEC dla każdego modelu (s > 1) jes większe od 1, wedy model z jedną klasą należy wybrać. Kolejnym kryerium, kóre zosanie wykorzysane o CLC (classificaion likelihood informaion). Enropia pełni uaj rolę kary nałożonej na logarym wiarygodności ([24]): CLC =- 2 log L_ H xi + 2EN^x h. (8)

71 Kryeria wyboru liczby skupień w binarnym modelu klas ukryych Kryerium CLC daje dobre wyniki, jeśli wielkości klas są akie same. Ma jednak endencję do przeszacowywania prawdziwej liczby klas, jeśli nie nałoży się ograniczenia odnośnie ich wielkości ([5], [6]). Modele nazby rozbudowane, a więc posiadające dużą liczbę paramerów, nie są za o karane, ak jak w przypadku kryerium BIC. Dlaego proponuje się kryerium ICL BIC, kóre łączy kryerium bayesowskie i klasyfikacyjne ([24]): ICL BIC =- 2 log L_ H xi + 2EN^x h + r log N. 3. Opis eksperymenu W eksperymencie wyróżniono pięć czynników, kóre mogą mieć isony wpływ na warości rozważanych kryeriów informacyjnych: wielkość próby (mała, średnia), liczba zmiennych (mała, średnia), podobieńswo klas (małe, średnie, duże), liczba klas (2, 3) oraz ich wielkość (równa, różna). Specyfika analizy klas ukryych powoduje, że poszczególne składowe są zależne. W największym sopniu o liczba klas deerminuje warości, jakie przyjmują pozosałe składowe. Wielkość próby dla modelu z dwoma klasami rozumiana jako mała o 500 obserwacji, duża naomias o Inaczej jes w wypadku rzech klas, gdyż próby wynoszą odpowiednio 1000 i 2000 obserwacji. Ta różnica spowodowana jes przyjęą sraegią eksperymenu, zgodnie z kórą szacowane są paramery modelu wzorcowego (2 lub 3 klasy) oraz modeli z jedną klasą więcej i jedna klasą mniej w odniesieniu do ego modelu. Przy zby małej liczebności próby (500 obserwacji) oraz średniej liczbie zmiennych (8) pojawiłoby się wiele zerowych liczebności w abeli konyngencji, co by urudniło oszacowanie paramerów modelu z czerema klasami (ab. 1). Podobnie jes z liczbą zmiennych. Dla modelu z czerema klasami liczba sopni swobody byłaby relaywnie niska przy pięciu zmiennych. Dlaego dla modelu wzorcowego z rzema klasami za małą liczbę zmiennych przyjęo sześć, naomias w wypadku modelu z dwoma klasami usalono liczbę zmiennych na poziomie pięciu. Średnia liczba zmiennych jes aka sama i wynosi osiem (ab. 1). Ważną składową eksperymenu jes podobieńswo między klasami. Jeśli prawdopodobieńswa warunkowe w dwóch klasach są akie same, wedy jedna z klas jes zbędna. Ogólnie, im różnica w prawdopodobieńswach warunkowych q dla odpowiednich zmiennych powiększa się, ym podobieńswo miedzy klasami się zmniejsza. Jako miarę podobieńswa przyjęo uśrednioną sumę odległości euklidesowej między klasami c i s. Dla usalonej liczby zmiennych J miara podobieńswa ma posać: / 1 PK j = i, Z s, c : s > c s, c 1,, S. # Z # J s - i c = " ^ h / = f, Z Jeśli średnia warość podobieńswa między klasami wynosi 0.1, wedy podobieńswo rakowane jes jako duże. Przy warościach 0.15 i 0.2 podobieńswo jes odpowiednio średnie i małe (ab. 1).

72 72 Rober Kapłon Ta b e l a 1 Składowe eksperymenu 2 klasy 3 klasy Próba (500, 1000) Próba (1000, 2000) Liczba zmiennych (5, 8) Liczba zmiennych (6, 8) Podobieńswo (0.1, 0.15, 0.2) Podobieńswo (0.1, 0.15, 0.2) Wielkość klas (0.5, 0.5), (0.8, 0.2) Wielkość klas (0.35, 0.35, 0.3), (0.7, 0.15, 0.15), (0.45, 0.4, 0.15) Źródło: opracowanie własne. Osanim, wyszczególnionym czynnikiem jes wielkość klas. Jeśli jes ona różna, o przy rzech klasach przyjęo dwie możliwości jedna klasa większa i dwie klasy mniejsze (0.7, 0.15, 0.15) lub dwie klasy większe i jedna mniejsza (0.45, 0.4, 0.15). W wypadku modelu z dwoma klasami wielkości są nasępujące: 0.8 i 0.2. Dla ak usalonych składowych eksperymenu, na podsawie każdego z 60 modeli wzorcowych (24 i 36 dla dwóch i rzech klas odpowiednio), wygenerowano prawdopodobieńswa warunkowe z rozkładu jednosajnego na przedziale (0,1). Procedurę powórzono 50 razy. Aby przybliżyć en eap eksperymenu, dla przykładu, niech jego składowe będą nasępujące (por. ab. 1): liczebność próby 500 obserwacji, liczba zmiennych 5, podobieńswo między klasami 0.1, liczba klas 2 oraz wielkość każdej klasy 0.5. Model jaki powsanie po wygenerowaniu prawdopodobieńsw warunkowych na podsawie powyższych informacji zosanie nazwany modelem wzorcowym znana jes jego liczba klas ukryych. Nasępny krok polega na oszacowaniu 2 J (w przykładzie 2 5 ) liczebności w abeli konyngencji przy znanych prawdopodobieńswach warunkowych, prawdopodobieńswach przynależności do klas oraz liczebności próby. Osaecznie ak orzymane liczebności sają się podsawą esymacji paramerów modelu wzorcowego (w przykładzie 2 klasy) oraz modeli o jedną klasę więcej i jedną klasę mniej w sosunku do ego modelu algorymem EM (por. [14]). Dla każdego z 9000 modeli obliczono kryeria informacyjne, kórych warości porównano (dla odpowiednich modeli) między klasami. Wybór doyczący liczby klas dokonywany był w oparciu o najmniejszą warość kryerium informacyjnego. Obliczenia przeprowadzono wykorzysując środowisko do obliczeń saysycznych R [26]. W ym miejscu należy podkreślić, że wybór modelu wzorcowego o 2 i 3 klasach podykowany był względami prakycznych zasosowań LCA. Wynika z nich, że dość częso nie porzeba większej liczby klas do opisania związków w abeli konyngencji (por. modele w [23]). Oczywiście, nie zmienia o faku, że możliwe jes rozszerzenie (zaproponowanie) eksperymenu o modele wzorcowe posiadające więcej niż 3 klasy. Podobna uwaga doyczy przebiegów symulacyjnych, kóre można zwiększyć i orzymać większą dokładność. Jednak dodakowe badania auora pokazały (nie przedsawiono ich uaj), że zwiększenie liczby przebiegów do 100, nie wpłynęło w isony sposób na

73 Kryeria wyboru liczby skupień w binarnym modelu klas ukryych orzymane wyniki i późniejsze wnioski. Z ego względu redukcja do 50 przebiegów wydaje się być uzasadniona, gdyż znacznie skraca czas eksperymenu. 4. Wyniki eksperymenu W ujęciu sumarycznym, najgorzej sprawdziły się kryeria klasyfikacyjne. Gdy model wzorcowy posiadał 2 klasy, wedy CLC i ICL BIC wskazały na 27% poprawnych modeli, a kryerium NEC o 1% więcej (rys. 1). Gdy należało wskazać na model z 3 klasami, owe kryeria wypadły jeszcze gorzej, gdyż odseek poprawnych wskazań spadł odpowiednio do 7%, 4% i 19% (rys. 2). 3 klasy 2 klasy 1 klasa Aic Aic3 Bic CAic CLC ICL.Bic ICOMP NEC Tic 8% 13% 24% 27% 5% 18% 70% 70% 74% 90% 87% 93% 77% 76% 73% 27% 28% 27% 5% 0% 20% 40% 60% 80% 100% Rysunek 1. Ujęcie procenowe wyboru modelu dla każdego kryerium model wzorcowy ma 2 klasy Źródło: opracowanie własne. Zdecydowanie najlepiej wypadły kryeria informacyjne ze szkoły Akaike a. Wśród nich kryerium najczęściej wykorzysywane przy porównaniach modeli AIC, poprawnie wskazało na 90% i 52% modeli (rys. 1 i 2). W konfronacji z bayesowskim kryerium BIC (równie częso sosowanym), kóre odnoowało 76% i 18% skueczności, o raczej kryerium Akaike powinno być brane pod uwagę przy wyborze modeli. Okazało się również, że bardziej ogólne kryerium TIC wypadło gorzej niż AIC. Oznacza o, że macierze informacji o kórych wspominano w punkcie 2 nie są równe. Najwięcej zaufania wzbudza kryerium ICOMP, gdyż niezależnie od liczby klas modelu wzorcowego ma największą skueczność osiągając odpowiednio 93% i 60% (por. rys. 1 i 2). Sprawdza się uaj koncepcja, że im większa złożoność modelu, mierzona rudnością esymacji odwronej macierzy Fishera, ym większą karę należy nałożyć. W konsekwencji wykluczone zosają modele, w kórych paramery wykazują silną zależność, a błędy ich szacunku są duże.

74 74 Rober Kapłon 4 klasy 3 klasy 2 klasy Aic 44% 52% Aic3 Bic CAic CLC ICL.Bic ICOMP 36% 59% 82% 86% 90% 94% 60% 40% 18% 14% 7% 4% 4% NEC Tic 60% 66% 19% 15% 34% 6% 0% 20% 40% 60% 80% 100% Rysunek 2. Ujęcie procenowe wyboru modelu dla każdego kryerium model wzorcowy ma 3 klasy Źródło: opracowanie własne. Analiza abeli 2 i 3 pokazuje, że pewne charakerysyki modeli przyczyniają się do mniejszej poprawności wskazań modelu wzorcowego. Dla modelu z 2 klasami czynnik, jakim jes wielkość klasy, okazał się nieisonie wpływać na przecięną poprawność wskazań w wypadku wszyskich kryeriów 1. Z kolei podobna analiza liczby zmiennych pokazała, że gorsze rezulay, i o isone saysycznie, osiągnięo dla 5 zmiennych. Zauważono również, że przy ak samo licznej próbie (1000), lepsze rezulay pojawiły się, gdy ych zmiennych było 8. Jednak ylko w wypadku wszyskich kryeriów klasyfikacyjnych oraz kryerium TIC różnica a okazała się saysycznie isona. To może zasanawiać, gdyż wydawałoby się, że jeśli liczba obserwacji przypadających na jedną zmienną rośnie, wedy poprawność wskazań nie powinna maleć. Posanowiono więc zweryfikować hipoezę, o korelacji między liczbą obserwacji przypadających na jedną zmienną a liczbą poprawnych wskazań. Ponieważ sworzona w ym celu zmienna jes porządkowa (ma 4 poziomy), więc wykorzysano współczynnik korelacji r Spearmana. Isone korelacje na poziomie isoności 0.05 odnoowano dla kryeriów: AIC 0.49, AIC3 0.51, ICOMP Okazuje się, że wraz ze wzrosem obserwacji przypadających na jedną zmienną wzrasa również liczba poprawnych wskazań przynajmniej dla niekórych kryeriów. Podobieńswo między klasami wydaje się ważnym elemenem decydującym o skueczności. Obliczony współczynnik korelacji r Spearmana powierdził o przypuszczenie: wzros podobieńswa między klasami obniża rafność wyboru modelu z 2 klasami (wzorcowego). Choć odnoowane warości nie dla wszyskich kryeriów okazały się isone saysycznie: AIC (0.55), AIC (0.097), BIC (0.001), CAIC (0.001), CLC 0.562, (0,004), ICLBIC (0,006), ICOMP (0.078), NEC (0.004), TIC (0.091), gdzie w nawiasach podano p-value. 1 W ym celu przeprowadzono es -Sudena. Tuaj, jak i w kolejnych esach za poziom isoności przyjęo warość 0.1.

75 Kryeria wyboru liczby skupień w binarnym modelu klas ukryych Ta b e l a 2 Wyniki eksperymenu dla modelu wzorcowego z 2 klasami Klasa AIC AIC3 BIC CAIC CLC ICL_BIC ICOMP NEC TIC Eks. Próba Zm. Podobne

76 76 Rober Kapłon c d. a b e l i 2 Klasa AIC AIC3 BIC CAIC CLC ICL_BIC ICOMP NEC TIC Eks. Próba Zm. Podobne Źródło: opracowanie własne.

77 Kryeria wyboru liczby skupień w binarnym modelu klas ukryych Dla modelu wzorcowego z 3 klasami zmienna doycząca wielkości klas okazała się nieisonie wpływać na przecięną rafność wyników 2. Z kolei podobieńswo między klasami jes silnie skorelowane z liczbą poprawnych wskazań (p-value): AIC (0.000), AIC (0.000), BIC (0.000), CAIC (0.000), CLC (0.028), ICLBIC (0.003), ICOMP (0.000), NEC (0.439), TIC (0.000). W największym sopniu a zależność widoczna jes dla kryeriów ze szkoły Akaike, ze szczególnym wskazaniem na ICOMP. Kryeria klasyfikacyjne wykazują słabą lub nawe nieisoną zależność w odwronym kierunku: im większe podobieńswo między klasami, ym większa liczba poprawnych wskazań. Taki wniosek z oczywisych względów jes błędny i poddaje w wąpliwość użyeczność ej grupy kryeriów. Osanią z rozważanych składowych eksperymenu zdefiniowano jako liczbę obserwacji przypadających na zmienną. Takie ujęcie, podobnie jak w modelu wzorcowym z 2 klasami, pozwoliło na obliczenie współczynnika korelacji między ą zmienną a liczbą poprawnych wskazań (p-value): AIC (0.151), AIC (0.217), BIC (0.099), CAIC (0.067), CLC (0.009), ICLBIC (0.049), ICOMP (0.184), NEC (0.01), TIC (0.792). Tylko dla niekórych kryeriów korelacje okazały się isone saysycznie. Wśród nich są kryeria (BIC, CAIC), dla kórych wzros obserwacji w przeliczeniu na jedną zmienną skukuje nieznacznym wzrosem poprawnych wskazań jednak warości współczynników korelacji są raczej niskie. Z kolei dla wszyskich kryeriów klasyfikacyjnych korelacje okazały się isone, przy czym kierunek zależności budzi wąpliwości. Współczynniki korelacji, choć użyeczne, opisują siłę związku liniowego. Z ego względu, waro opisać zależność (dowolną) między rozważanymi czynnikami eksperymenu a szansą na wybór modelu wzorcowego z 3 klasami 3. W ym celu wykorzysano koncepcję uogólnionych modeli liniowych, zgodnie z kórą przyjęo, że zmienna zależna ma rozkład dwumianowy, a funkcja wiążąca ma posać kanoniczną (logiowa). Dla ak zdefiniowanego modelu znany jes w lieraurze przedmiou problem nadmiernego rozproszenia (overdispersion), kóry objawia się ym, że w rzeczywisości wariancja jes znacznie większa niż wynika ona z modelu. W wypadku zgromadzonych danych aka syuacja miała miejsce, więc jako remedium wykorzysano esymację oparą na quasi wiarygodności [1]. Do esymacji parameru skali użyo skorygowanej, o liczbę sopni swobody, warości saysyki c 2 Pearsona. Obliczenia przeprowadzono dla każdego kryerium (esymacja punkowa i przedziałowa 95% przedział ufności) i zesawiono je w abeli 4. Dla uławienia inerpreacji warości oszacowanych paramerów poddano ransformacji za pomocą funkcji ekspoencjalnej. Ponieważ kryeria klasyfikacyjne odznaczają się bardzo małą skuecznością, dlaego pominięo je przy omówieniu wyników, kóre zesawiono w abeli 4. 2 Wykorzysano analizę wariancji. Ponieważ dla niekórych kryeriów nie można było urzymać założenia o równości wariancji, dlaego dodakowo użyo zw. mocnego esu Welsha. 3 Z pogłębionej analizy dla modelu wzorcowego z 2 klasami zrezygnowano, gdyż zmiany w liczbie poprawnych wskazań są relaywnie niewielkie, co z kolei objawiało się wysępowaniem osobliwej macierzy hessianu.

78 78 Rober Kapłon Ta b e l a 3 Wyniki eksperymenu dla modelu wzorcowego z 3 klasami Klasa AIC AIC3 BIC CAIC CLC ICL_BIC ICOMP NEC TIC Eks. Próba Zm. Podobne

79 Kryeria wyboru liczby skupień w binarnym modelu klas ukryych c d. a b e l i 3 Klasa AIC AIC3 BIC CAIC CLC ICL_BIC ICOMP NEC TIC Eks. Próba Zm. Podobne Źródło: opracowanie własne.

80 80 Rober Kapłon Ta b e l a 4 Wyniki esymacji punkowej i przedziałowej szans wskazania modelu wzorcowego z 3 klasami AIC AIC3 BIC CAIC ICOMP TIC Exp(b) L P Exp(b) L P Exp(b) L P Exp(b) L P Exp(b) L P Exp(b) L P Sała Próba/zmienne A B C D Wielkość klas E F G Podobieńswo Paramer skali Próba/zmienne: liczba obserwacji przypadających na zmienną (A-250, B , C-125, D-83.33); Wielkość klas: E-(0.70, 0.15, 0.15), F-(0.45, 0.40, 0.15), G-(0.35, 0.35, 0.30); Podobieńswo: podobieńswo między klasami. Źródło: opracowanie własne.

81 Kryeria wyboru liczby skupień w binarnym modelu klas ukryych Największy wzros szans wskazania prawidłowego modelu odnoowano dla zmiennej podobieńswo. Przykładowo, dla kryerium AIC3 są one ponad 68 razy większe dla podobieńswa na poziomie 0.20 niż Przy porównaniu podobieńswa 0.15 i 0.10 en iloraz szans jes zdecydowanie mniejszy i wynosi Ze względu na dość wysoką warość parameru skali co sugeruje duży rozrzu wyników przedział ufności jes szeroki. A więc mamy 95% zaufanie co do ego, że najmniejsze warości, jakie może en iloraz przyjąć, wynoszą odpowiednio i W wypadku podobieńswa na poziomie 0.15 warość a jes bliska 1 i ym samym zbliża się do poziomu, kóry pozwala rakować oszacowany paramer jako nieisony saysycznie. Dla kryerium ICOMP szanse wskazania modelu wzorcowego są 33 razy większe dla podobieńswa 0.20 i prawie 6 razy większe dla podobieńswa 0.15 w porównaniu z podobieńswem Waro odnoować, że ze względu na prawie 3-kronie niższą warość parameru skali dolna granica przedziału ufności dla podobieńswa 0.20 wynosi i jes zbliżona do warości dla kryerium AIC3. W wypadku pozosałych kryeriów oszacowane ilorazy szans są saysycznie isone dla podobieńswa 0.20, a ylko dla kryerium AIC isoność odnoowano dla podobieńswa Powierdzają się wnioski z przeprowadzonej analizy wariancji, a doyczącej wielkości klas i jej wpływu na poprawność wskazań, z jednym wyjąkiem. Oóż dla kryerium ICOMP szanse wskazania modelu wzorcowego maleją ponad rzykronie jeśli klasy będą różniły się pod względem wielkości. Innymi słowy, szanse wskazania modelu wzorcowego są ponad rzykronie większe dla zbliżonych co do wielkości klas (poziom G) w porównaniu z modelami o klasach różnych wielkości (poziom E i F). Wcześniejsza analiza składowej eksperymenu wyrażającej liczbę obserwacji przypadających na jedną zmienną pokazała, że wysępuje nieduża, ale saysycznie isona korelacja między ą zmienną a liczbą poprawnych wskazań dla kryeriów BIC i CAIC. Okazuje się jednak, że jeśli rozważa się szansę na wskazanie modelu wzorcowego, wedy jes ona dodakowo isona dla kryeriów AIC, AIC3, ICOMP szanse wyboru modelu wzorcowego są odpowiednio o ponad 3, 6 i 4 razy większe dla dużej liczby obserwacji (poziom A) niż dla małej (poziom D). W wypadku pozosałych poziomów zmiennej (B i C) szanse e w porównaniu z poziomem D nieisonie różnią się od Podsumowanie Badania symulacyjne przeprowadzone przez Celeux i Soromenho [13], a doyczące kryerium klasyfikacyjnego NEC, były bardzo obiecujące. We wnioskach swierdzono, że o kryerium nie ma endencji do przeszacowywania liczby klas jak AIC, jak i również nie jes ak bardzo konserwaywne jak BIC. Co więcej, poprawność wskazań modelu oparego na mieszaninie rozkładów normalnych była zbliżona do kryerium ICOMP. Niesey, wyniki eksperymenu przedsawione w niniejszym opracowaniu pokazują, że NEC jak i pozosałe kryeria klasyfikacyjne (CLC, ICLBIC) odznaczają się bardzo niską skuecznością we wskazaniu właściwego modelu oparego na analizie klas ukryych (LCA). Można by przypuszczać, że o specyfika modelu LCA jes przyczyną ych rozbieżności. Jednak pogłębione symulacje przeprowadzone przez Biernacki i Govaer [6] dla modelu oparego na mieszaninie wielowymiarowych rozkładów normalnych skłaniają

82 82 Rober Kapłon do ego samego wniosku. Wydaje się więc, że przez wzgląd na niską skueczność, nie powinno się rekomendować kryeriów klasyfikacyjnych jako kryeriów wyboru. Przemawia za ym jeszcze jeden argumen, a mianowicie zachowanie się ych kryeriów w odniesieniu do składowych eksperymenu. Eksperymen dla modelu wzorcowego z 3 klasami pokazał, że zależność między liczbą poprawnych wskazań a podobieńswem między klasami i liczbą obserwacji przypadających na jedną zmienną ma charaker odwrony niż w wypadku pozosałych kryeriów. Kryeria AIC oraz BIC są najczęściej wykorzysywane i porównywane ze sobą. Z ego względu waro zaznaczyć, że większą skueczność, niezależnie od liczby klas modelu wzorcowego, ma kryerium Akaike. Jes ono również bardziej wiarygodne od kryerium ogólniejszego TIC. Najlepsze jednak wyniki odnoowano dla kryerium ICOMP. Z ego względu właśnie o kryerium powinno być rekomendowane przy wyborze liczby klas modelu LCA. Wary podsumowania jes wpływ składowych eksperymenu na wyniki, szczególnie dla modelu wzorcowego z 3 klasami. Okazało się, że wzros podobieńswa między klasami obniża skueczność kryeriów. Podobnie dzieje się w syuacji, gdy liczba obserwacji przypadających na zmienną spada. Z kolei wielkość klas nie miała isonego wpływu, z wyjąkiem kryerium ICOMP. Dla niego szanse na wskazanie modelu wzorcowego wzrasają, jeśli wielkości klas będą zbliżone. Poliechnika Wrocławska, Insyu Organizacji i Zarządzania LITERATURA [1] Agresi A., [2002], Caegorical Daa Analysis, Wiley-Inerscience Publicaion. [2] Akaike H., [1973], Informaion heory and an exension of he maximum likelihood principle, [w:] Perov B.N., Csaki F. (eds.), Second inernaional symposium on informaion heory (pp.), Budapes: Academiai Kiado, s [3] Andrews L., Currim I.S., [2003], A Comparison of segmen reenion crieria for finie mixure logi models, Journal of Markeing Research, 40(2), s [4] Biernacki C., Celeux G., Govaer G., [1999], An Improvemen of he NEC Crierion for Assessing he Number of Clusers in a Mixure Model, Paern Recogniion Leers, 20 (3), s [5] Biernacki C., Celeux G., Govaer G., [2000], Assessing a Mixure Model for Clusering wih he Inegraed Compleed Likelihood, IEEE Transacions on Paern Analysis and Machine Inelligence, 22 (7), [6] Biernacki C., Govaer G., [1999], Choosing Models in Model-based Clusering and Discriminan Analysis, Journal of Saisical Compuaion and Simulaion, 64, [7] Bozdogan H., [1987], Model selecion and Akaike s informaion crierion (AIC): The general heory and is analyical exensions, Psychomerika, 52, s [8] Bozdogan H., [1988], ICOMP: A new model-selecion crierion, [w:] Bock H., (eds.), Classificaion and relaed mehods of daa analysis, s , Amserdam, Elsevier Science (Norh-Holland). [9] Bozdogan H., [2000], Akaike s Informaion Crierion and Recen Developmens in Informaion Complexiy, Journal of Mahemaical Psychology, 44, s [10] Bozdogan H., [1990], On he informaion-based measure of covariance complexiy and is applicaion o he evaluaion of mulivariae linear models, Communicaions in saisics heory and mehods, 19, s [11] Bozdogan H., [1993], Choosing he number of componen clusers in he mixure-model using a new informaional complexiy crierion of he inverse-fisher informaion marix. [w:] Opiz O., Lausen B., Klar R. (eds.), Informaion and Classificaion. Springer, Heidelberg, s

83 Kryeria wyboru liczby skupień w binarnym modelu klas ukryych [12] Burnham K.P, Anderson D., [2002], Model Selecion and Muli-Model Inference, Springer. [13] Celeux G., Soromenho G., [1996], An Enropy Crierion for Assessing he Number of Clusers in a Mixure Model, Classificaion Journal, 13, s [14] Dempser A.P., Laird N.M., Rubin D.B., [1977], Maximum likelihood from incomplee daa via he EM algorihm, Journal of he Royal Saisical Sociey, Ser. B, No. 1(39), s [15] Goodman L.A., [1974], Exploraory Laen Srucure Analysis Using Boh Idenifiable And Unidenifiable Models, Biomerika 61, s [16] Heinen T., [1996], Laen Class And Discree Laen Trai Models: Similariies And Differences, Thousand Oaks, California: Sage. [17] Kapłon R., [2002], Analiza danych dyskrenych za pomocą meody LCA, Taksonomia 9, Prace Naukowe AE we Wrocławiu. [18] Kass R.E., Rafery A.E., [1995], Bayes facors, Journal of he American Saisical Associaion, 90, s [19] Konishi S., Kiagawa G., [1996], Generalized informaion crieria in model selecion, Biomerika, 83, s [20] Konisi S., Kiagawa G., [2003], Asympoic heory for informaion crieria In model selecion-funcional approach, Journal of Saisical Planning and Inference, 114, s [21] Konisi S., Kiagawa G., [2008], Informaion Crieria and Saisical Modeling, Springer. [22] Kullback S., [1997], Informaion Theory and Saisics, Dover Publicaions. [23] McCucheon A.L., [1987], Laen Class Analysis, Sage Universiy Papers Series on Quaniaive Applicaions in he Social Sciences, Thousand Oaks, CA: Sage. [24] McLachlan G.J., Peel. D., [2000], Finie Mixure Models, New York, Wiley. [25] McLachlan G.J., [1987], On boosrapping he likelihood raio es saisic for he number of componens in a normal mixure, Journal of he Royal Saisical Sociey Series C (Applied Saisics), 36, s [26] R Developmen Core Team, [2009], R: A language and environmen for saisical compuing. R Foundaion for Saisical Compuing, Vienna, Ausria. ISBN , URL hp:// [27] Rafery A.E., [1999], Bayes facors and BIC Commen on A criique of he Bayesian informaion crierion for model selecion, Sociological Mehods and Research, 27, s [28] Takeuchi K., [1976], Disribuion of informaion saisics and a crierion of model fiing, Mahemaical Sciences, 153, s , (In Japanese). [29] Weakliem D.L., [1999], A Criique of he Bayesian Informaion Crierion for Model Selecion, Sociological Mehods and Research, 27, s [30] Wolfe J.H., [1971], A Mone Carlo sudy of he sampling disribuion of he likelihood raio for mixures of mulinomial disribuions, Technical Bullein STB 72-2, US Naval Personnel and Training Research Laboraory, San Diego. Praca wpłynęła do redakcji w lisopadzie 2009 r. Kryeria wyboru liczby skupień w binarnym modelu klas ukryych analiza symulacyjna Wykorzysanie analizy klas ukryych (LCA) wymaga przyjęcia a priori liczby klas. W celu rozsrzygnięcia, ile ma ich być, można wykorzysać kryeria informacyjne. Procedura selekcji sprowadza się do: szacowania kilku modeli o różnej liczbie klas, obliczenia warości kryerium informacyjnego oraz wyboru modelu, dla kórego odnoowano najmniejszą warość ego kryerium. Ponieważ isnieje wiele kryeriów informacyjnych, więc należy zadecydować, kóre powinno rozsrzygać. Niesey, nie można jednoznacznie wskazać na konkrene kryerium, gdyż w zależności od klasy modelu, zmienia się ich wiarygodność. Taki wniosek wynika z badań symulacyjnych. Biorąc pod uwagę fak, że najczęściej badania akie doyczyły mieszanek rozkładów normalnych, dlaego celem niniejszego opracowania jes rozszerzenie ych badań o analizę klas ukryych. Słowa kluczowe: analiza klas ukryych, liczba skupień, kryeria informacyjne, analiza symulacyjna

84 84 Rober Kapłon Crieria for choosing he number of clusers of he binary laen class model simulaion analysis When using laen class analysis he number of clusers need o be known in advance. In order o decide on his, one can use informaion crieria. In such a case selecion procedure is as follows: esimaing a few models wih differen number of classes, compuing informaion crieria and choosing a model for which a crierion akes he smalles value. Because here are many informaion crieria one need o deermine which of hem ough o be decisive. Unforunaely, by virue of he differences among hese crieria, heir reliabiliy aler depending on model class. Simulaions confirm i as well. Taking ino accoun he fac ha simulaions mainly concern finie mixures of normal densiy funcions, herefore in his paper we broaden research o laen class analysis. Key words: laen class analysis, he number of clusers, informaion crieria, simulaions

85 PrzeglĄd saysyczny R. LVII zeszy PROFESOR ROMAN KULCZYCKI ( ) 22 sycznia br. zmarł Roman Kulczycki, wieloleni profesor Szkoły Głównej Planowania i Saysyki w Warszawie (obecnie Szkoły Głównej Handlowej). Całe życie zawodowe i naukowe Profesora związane było z Kaedrą (obecnie Insyuem) Saysyki i Demografii ej uczelni. Roman Kulczycki urodził się 15 marca 1923 r. w Grudziądzu w rodzinie ineligenckiej. W 1928 r. rodzice Jego (maka Maria z Czajkowskich, ojciec Józef) przenieśli się do Warszawy. Było o związane głównie z zaineresowaniami zawodowymi ojca, kóry podjął pracę lekarza weerynarii w klinice chirurgicznej. Później przeszedł do pracy na Uniwersyecie Warszawskim, a po wojnie po powrocie z emigracji zosał wybinym profesorem Wydziału Weerynarii SGGW. Młodemu Romanowi udało się przed wybuchem wojny skończyć w 1939 r. gimnazjum ogólnokszałcące im. M. Reja w Warszawie (zw. wówczas mała maura ). Działania wojenne i brak ojca, kóry znalazł się na emigracji sprawiły, że musiał zająć się pracą zarobkową. W okresie okupacji pracował jako furman w firmie ransporowej. Brał udział w powsaniu warszawskim. Jako członek AK był żołnierzem kompanii szurmowej baalionu Kiliński (pseudonim Hus ). Uczesniczył m.in. w zdobyciu PAST-y. Po upadku powsania znalazł się w niemieckim obozie jenieckim, skąd powrócił w lipcu 1945 r. Nie mając możliwości funkcjonowania w zniszczonej Warszawie, podjął epizodyczną pracę w Spółdzielni Rolniczo-Handlowej w Opocznie. Jednakże już w 1946 r. znalazł się z powroem w Warszawie i rozpoczął pracę w sekcji maemaycznej ZUS-u. Pracował u również króko, gdyż myślał o podjęciu sudiów i w roku akademickim 1946/1947 odbył zw. kurs wsępny na SGH. Po jego pozyywnym zaliczeniu w 1947 r. rozpoczął sudia na ejże uczelni, kóre ukończył w 1950 r. już w ramach upańswowionej i przeorganizowanej Szkoły Głównej Planowania i Saysyki. Ukończył ówczesny Wydział Planowania Handlu, specjalizując się w zakresie saysyki gospodarczej. Tyuł zawodowy magisra nauk ekonomicznych uzyskał we wrześniu 1952 r. za pracę p. Temayka saysyki płac roboników przemysłu pańswowego. W czasie sudiów R. Kulczycki spokał się z wieloma wybinymi posaciami amego okresu. Pracę magiserską napisał na seminarium ówczesnego dokora K. Romaniuka, późniejszego rekora SGPiS i wieloleniego kierownika Kaedry Saysyki i Demografii. Nawiązana wówczas między nimi współpraca rwała przez kilka dziesięcioleci. W arkana eorii saysyki a akże demografii wprowadzał R. Kulczyckiego prof. Sefan Szulc,

86 86 Polscy saysycy i maemaycy wiedzę ekonomiczną pobierał od wybinych profesorów A. Wakara i E. Lipińskiego. Rekorem uczelni był wówczas prof. Oskar Lange, kóry miał duży wkład m.in. w rozwój saysyki i ekonomerii. W sudenckim indeksie R. Kulczyckiego figurują również nazwiska akich profesorów, jak: S. Berezowski (geografia), K. Boczar i L. Koźmiński (ekonomika handlu), S. Skrzywan (księgowość), A. Grodek (hisoria), czy eż J. Loh (geografia). Jeszcze w końcowej fazie sudiów w marcu 1950 r. R. Kulczycki rozpoczął pracę asysena w Kaedrze Saysyki i Demografii SGPiS, w kórej funkcjonował bez żadnych przerw aż do przejścia na emeryurę w 1993 r. Aby uzyskać pełne uprawnienia i przygoowanie do pracy na uczelni odbył dodakowe obowiązujące wówczas sudia (zw. aspiranura) w laach Pracę dydakyczną i naukową na uczelni R. Kulczycki łączył z prakyką saysyczną w Głównym Urzędzie Saysycznym, gdzie podjął pracę uż po ukończeniu sudiów 1 września 1950 r. Przez kilka miesięcy pracował w Deparamencie Zarudnienia i Płac, po czym 6 grudnia egoż roku ówczesny wiceprezes GUS dr K. Romaniuk powierzył mu obowiązki naczelnika Wydziału Programów i Meodologii w Biurze Koordynacji Badań Saysycznych. Eaowy związek z GUS zosał przerwany na dwa laa ze względu na wspomniane wyżej sudia aspiranckie. Po ich zakończeniu wznowił pracę w GUS, ym razem na pół eau w Deparamencie Saysyki Przemysłu, najpierw w Wydziale Analiz ( ) a nasępnie Bilansów Gospodarki Narodowej. Zajmował się ym razem meodologią badań dynamiki produkcji przemysłowej, a w szczególności konsrukcją indeksów fizycznych rozmiarów produkcji w wielolenich szeregach czasowych. (z uwzględnieniem porównań z okresem międzywojennym). 31 sycznia 1959 r. R. Kulczycki przesał pracować na eacie w Głównym Urzędzie Saysycznym i przeszedł na pół eau do Insyuu Handlu Wewnęrznego, gdzie przez 3 laa ( ) był kierownikiem pracowni saysycznej. Zmiana a związana była z podjęciem prac badawczych nad przemianami w spożyciu dóbr i usług. Nigdy jednak R. Kulczycki nie zerwał konaków w Głównym Urzędem Saysycznym. Był członkiem Sekcji Saysyki Gospodarczej oraz Sekcji Ekonomerycznej Saysycznej Rady Naukowej GUS. Bywał wielokronie konsulanem zwłaszcza w problemayce indeksów ekonomicznych. Z ramienia uczelni koordynował również współpracę między SGPiS i GUS. Ścisły konak z prakyką Głównego Urzędu Saysycznego przyniósł efeky w posaci pracy dokorskiej p. Zróżnicowanie wydajności pracy w zależności od wielkości przedsiębiorsw w przemyśle wielkim i średnim w roku Praca a napisana pod kierunkiem naukowym prof. K. Romaniuka obroniona zosała w 1961 r. Recenzenami pracy byli profesorowie W. Sadowski (SGPiS), J. Kordaszewski (Uniwersye Warszawski) i M.J. Ziomek z Kaowic. Z kolei owocem współpracy z Insyuem Handlu Wewnęrznego była praca habiliacyjna p. Saysyczne meody badania przemian w srukurze spożycia przedłożona Radzie Wydziału w syczniu 1967 r. Kolokwium habiliacyjne odbyło się dokładnie dwa laa później i przyjęe zosało jednogłośnie, co nie częso się zdarza. Bardzo pozyywne recenzje opracowali profesorowie K. Romaniuk, W. Sadowski i E. Vielrose. Podkreślono w szczególności prakyczną użyeczność zaprezenowanych w pracy rozwiązań meodologicznych. Jeszcze przed odbyym kolokwium, bo w 1968 r. R. Kulczycki zosał

87 Sylweka naukowa Profesora Romana Kulczyckiego 87 zarudniony na eacie docena. Jego praca naukowo-badawcza zosała uwieńczona w 1978 r. powołaniem na profesora nadzwyczajnego. Prakycznie niemal przez cały okres pracy na uczelni R. Kulczycki pełnił różnorodne funkcje związane z jej funkcjonowaniem, począwszy np. od opiekuna Domów Sudenckich na Jelonkach. Nie sposób ich wszyskich wymienić w krókim opracowaniu. Najważniejszy był jednak Jego wieloleni udział w pracy władz Wydziału Finansów i Saysyki oraz we władzach uczelni. W dwa laa po habiliacji w 1971 r. zosał po raz pierwszy prodziekanem Wydziału pod koniec kadencji, zasępując na ym sanowisku doc. R. Chelińskiego, kóry zrezygnował z funkcji ze względu na nowe obowiązki pozauczelniane. Nasępnie pełnił obowiązki prodziekana przez rzy kolejne pełne kadencje aż do 1981 r. Zajmował się głównie procesem dydakycznym, mając dobry konak ze sudenami, ciesząc się ich dużym uznaniem. Po rzyleniej przerwie w kadencji zosał wybrany w 1984 r. przez Radę Wydziału na dziekana i powołany na o sanowisko przez ówczesnego rekora prof. Z. Bosiakowskiego. Dobra ocena Jego pracy dziekańskiej sprawiła, że w rzy laa później na kadencję zosał powołany na sanowisko prorekora uczelni. Podobnie jak przez wiele la w dziekanacie ak i u zajmował się koordynacją procesu dydakycznego, ym razem w ramach całej uczelni. Na dorobek naukowy Profesora, oprócz wymienionych wyżej prac dokorskiej i habiliacyjnej, składa się ponad 50 monografii, podręczników i arykułów. Do najważniejszych zaliczyć można nasępujące pozycje: Saysyczne meody badania wydajności pracy w przemyśle, PWG, Warszawa 1957, Teoria i prakyka badania saysycznego, Seria Saysyka w prakyce, PWE, Warszawa 1971, Saysyka spożycia, SGPiS, Warszawa 1973, Saysyka społeczno-gospodarcza, Współauor, Polgos, Warszawa, 1954, Saysyka, WAP, Warszawa 1968, Saysyka, Współauor, SGPiS, Warszawa 1970, Saysyczne meody badania przemian w srukurze spożycia, SGPiS, Warszawa 1969, Rachunek indeksowy, PWE, Warszawa 1983, Analiza popyu na mięso oraz wybrane arykuły spożywcze w Polsce w laach , Roczniki IHW, zeszy 5/1960, Podsawowe problemy analizy zróżnicowania wydajności pracy w handlu, Wiadomości Saysyczne nr 4/1961, Operowanie zmiennymi decyzyjnymi w analizie powiązań międzygałęziowych, Wiadomości Saysyczne nr 2/1967, Schema przemian srukuralnych spożycia, Przegląd Saysyczny nr 3/1967, O czasopiśmie Przegląd Saysyczny, Ekonomisa nr 4/1955. Będąc wiernym swej macierzysej uczelni SGPiS (SGH) Profesor R. Kulczycki wspierał częsokroć proces dydakyczny w zakresie saysyki w wielu innych ośrodkach akademickich, pracując na części eau lub umowę o dzieło. Chyba najdłużej, bo przez około 15 la, począwszy od 1976 r., nauczał saysyki w filii Uniwersyeu Warszawskiego w Białymsoku. Przez kilka la kierował nawe pracą amejszej Kaedry Saysyki.

88 88 Polscy saysycy i maemaycy Ponado w laach Profesor wykładał saysykę w Wyższej Szkole Nauk Społecznych w Warszawie, funkcjonującej przy KC PZPR. Później w laach był kierownikiem Zakładu Saysyki i Ekonomerii w Wojskowej Akademii Poliycznej (na Wydziale Ekonomiczno-Wojskowym). Okazjonalnie prowadził również wykłady w innych ośrodkach, jak np. na sudium dokoranckim Akademii Medycznej, na różnorodnych kursach organizowanych przez GUS, Spółdzielczość Pracy, Sowarzyszenie Głównych Księgowych. Za swą działalność Profesor Roman Kulczycki orzymał wiele nagród i odznaczeń. W 1970 r. przyznano Profesorowi Srebrny, a rzy laa później Złoy Krzyż Zasługi. W 1979 r. Profesor orzymał Krzyż Kawalerski Orderu Odrodzenia Polski, a w 1982 r. Warszawski Krzyż Powsańczy. Ponado uhonorowany zosał wieloma wyróżnieniami uczelnianymi, resorowymi i regionalnymi. W ej krókiej charakerysyce działalności Profesora Romana Kulczyckiego należy podkreślić, że był On w środowisku akademickim posacią bardzo nieypową. Jego niezwykle przyjazny sosunek do współpracowników, opymisyczna posawa wobec życia i rozwiązywanych nierzadko rudnych problemów, częso goszczący pogodny uśmiech na warzy wpływały bardzo pozyywnie na kszałowanie sosunków międzyludzkich. W naszej pamięci pozosanie na zawsze jako Człowiek niezwykle pogodny, bezpośredni w codziennych konakach i chęny do wszelkiej pomocy. Franciszek Sokowski PS. W laach Profesor R. Kulczycki był sekrearzem naukowym Przeglądu Saysycznego.

89 PrzeglĄd saysyczny R. LVII zeszy STANISŁAW MARCIN ULAM ( ) W roku 2009 minęła sena rocznica urodzin i dwudziesa piąa rocznica śmierci wybinego polskiego maemayka Sanisława Marcina Ulama. Posaram się przybliżyć sylwekę ego niezwykłego Uczonego. Sanisław Marcin Ulam urodził się 13 kwienia 1909 r. we Lwowie i am zdobył wykszałcenie. Jego ojciec, Józef Ulam, był adwokaem, a maka Anna z domu Auerbach, była córką przemysłowca. Była o zamożna, spolonizowana rodzina żydowska przybyła z Wenecji rzy pokolenia wcześniej. Po wybuchu I wojny świaowej rodzina Ulamów przeniosła się do Wiednia. W czasie wojny, ojciec Ulama był oficerem szabowym armii ausriackiej i w związku z ym jego rodzina częso podróżowała. Przez jakiś czas mieszkali w Osrawie, gdzie Sanisław chodził do szkoły. Poem miał już wyłącznie nauczycieli prywanych podróżowali zby wiele, by mógł regularnie uczęszczać do szkoły. W 1918 r. Ulamowie powrócili do Lwowa. W 1919 r. w wieku dziesięciu la, Sanisław zdał egzaminy wsępne do VII Gimnazjum Kościuszki we Lwowie. Była o szkoła średnia, w kórej nauka rwała osiem la. W 1927 zdał egzaminy mauralne i jesienią ego roku rozpoczął sudia na Wydziale Ogólnym Poliechniki Lwowskiej, gdzie sudiował w grupie maemaycznej. Na wykładach z eorii mnogości, zeknął się z młodym, niedawno przybyłem z Warszawy profesorem Kazimierzem Kuraowskim, uczniem Sierpińskiego, Mazurkiewicza i Janiszewskiego. Od począku Ulam uczesniczył w prowadzonych przez Kuraowskiego dyskusjach akywniej niż jego koledzy. Kuraowski szybko zaczął uważać go za jednego z lepszych sudenów, i częso rozmawiał z nim po wykładach. W en sposób, dzięki zachęcie ze srony Kuraowskiego, rozpoczęła się jego kariera maemayka. Pomiędzy wykładami siedział na ogół w pokoju kóregoś z wykładowców maemayki. W jednym z ych pokoi spokał po raz pierwszy Sanisława Mazura, młodego asysena na uniwersyecie, kóry przyszedł am, aby pracować z Orliczem, Nikliborcem i Kaczmarzem, kórzy byli parę la od niego sarsi. Dzięki rozmowom z Mazurem, Ulam zaczął poznawać zagadnienia analizy funkcjonalnej, rozwijane przez Banacha. Na począku drugiego semesru pierwszego roku sudiów Kuraowski powiedział Ulamowi o pewnym zagadnieniu z eorii mnogości, doyczącym przekszałceń zbiorów. Ulamowi udało się rozwiązać en problem i praca Ulama ukazała się w 1929 roku w Fundamena Mahemaicae, wiodącym polskim czasopiśmie maemaycznym, kórego redakorem był Kuraowski. Przed końcem pierwszego roku sudiów Ulam napisał swoją drugą pracę, kórą zamieścił również w Fundamena Mahemaicae.

90 90 Polscy saysycy i maemaycy W bardzo długiej pracy, kóra ukazała się rok później, Alfred Tarski orzymał en sam rezula. Gdy Kuraowski zwrócił mu uwagę, że wynika on z wierdzenia Ulama, Tarski wspomniał o ym w przypisie. O zdarzeniu ym Ulam (1996, s. 61) napisał ak: Z mojego młodzieńczego punku widzenia było o małym zwycięswem uznaniem mojej maemaycznej obecności. W roku 1932 zosał poproszony o wygłoszenie referau na międzynarodowym kongresie maemaycznym w Zurychu. Po zakończeniu kongresu wybrał się wraz z Kuraowskim i Knasrem na króki wypad do Monreux, a nasępnie wrócił do Polski, aby zdać zaległe egzaminy i napisać pracę magiserską. Ulam (1996, s. 76) wspomina: Miałem wręcz paologiczną awersję do egzaminów. Przez ponad dwa laa nie przysępowałem do egzaminów, kórych zdanie było konieczne do przejścia na wyższy rok sudiów. Moi profesorowie byli olerancyjni wiedząc, że piszę prace naukowe. Na koniec musiałem je zdać wszyskie naraz. Osanim rokiem akademickim czerolenich regularnych sudiów Ulama był rok 1930/1931, ale osanie czery egzaminy kursowe zdał dopiero w lisopadzie i grudniu 1932 roku. Aby uzyskać dyplom, należało oprócz złożenia wymaganych egzaminów kursowych, przedłożyć pracę dyplomową oraz przejść przez egzamin pisemny i usny. Do podania Ulama skierowanym do Komisji Egzaminów Dyplomowych na Wydziale Ogólnym Poliechniki Lwowskiej dołączona była lisa 12 jego prac, z kórych 9 już się wówczas ukazało drukiem. Praca dyplomowa Ulama nosiła yuł Z eorii produków kombinaorycznych. Jej opiekun, prof. Kazimierz Kuraowski ak ją ocenił: Praca sanowi sudium nad mało doychczas zbadanym, a odgrywającym coraz ważniejszą w maemayce rolę, działaniem produkowania. Auor analizuje o pojęcie na le zagadnień eorii mnogości, eorii grup, opologii, geomerii przesrzeni merycznych, kombinaoryki, eorii miary w związku z rachunkiem prawdopodobieńswa. Ze względu na o, że auor wykazał całkowie opanowanie emau, należyą znajomość odnośnej lieraury, że ponado praca zawiera szereg własnych rezulaów, że wreszcie auor sawia w ej pracy wiele ineresujących problemaów uznaję niniejszą pracę dyplomową za celującą (w oryginale słowo celującą zosało podkreślone). Na ema swej pracy magiserskiej Ulam (1996, s. 76) wspomina: (...) napisałem pracę magiserską na ema, kóry sam wymyśliłem. Pracowałem nad nim kilka ygodni, a poem spisałem wszysko w ciągu jednej nocy, od około dziesiąej wieczorem do czwarej nad ranem, na długich arkuszach papieru kancelaryjnego mojego ojca. Wciąż jeszcze mam en rękopis. Osaeczny egzamin dyplomowy usny złożył Ulam 15 grudnia 1932 r. z wynikiem celującym przed Komisją w składzie Włodzimierz Sożek (przewodniczący), Anoni Łomnicki i Kazimierz Kuraowski (członkowie). Na ej podsawie Rada Wydziału Ogólnego PL nadała mu akademicki sopień magisra. W roku 1933 Ulam obronił rozprawę dokorską p. O eorii miary w ogólnej eorii mnogości opublikowaną przez Ossolineum we Lwowie w ym samym roku. Auor połączył w niej kilka wcześniejszych swoich prac, wierdzeń i uogólnień z eorii miary. Najważniejsze wyniki ej rozprawy zosały opublikowane przez Ulama już w roku 1930 w Fundamena Mahemaicae. Był o pierwszy dokora nadany przez nowy Wydział Ogólny, uworzony w 1927 r. na Poliechnice Lwowskiej jedyny wydział, na kórym przyznawano yuły magiserskie i dokorskie; na pozosałych nadawano yuły inżynierskie.

91 Sylweka naukowa Profesora Sanisława Marcina Ulama 91 Okoliczności powsania rozprawy dokorskiej Ulama ak wspomina Kazimierz Kuraowski (1981, s. 95): Wracając jeszcze do sylweki naukowej Ulama, waro może wspomnieć o jego pracy dokorskiej, była ona bowiem ypowym efekem amosfery panującej we lwowskim środowisku maemaycznym. Jak sobie przypominam, gdzieś w roku 1928/29 w czasie jednej z moich licznych rozmów z Banachem w Kawiarni Szkockiej zaineresowaliśmy się ak zwanym problemem miary posawionym przez Hausdorffa wiele la wcześniej i wówczas jeszcze nie rozwiązanym. W czasie kilkugodzinnej rozmowy próbowaliśmy różnych sposobów zaaakowania ego zagadnienia. Bezskuecznie. Około północy wróciłem do domu. Nie mogłem jednak zasnąć, póki nie znalazłem rozwiązania (ku mej wielkiej radości). Nazajurz rano spoykam Banacha. Wiesz, Sefek, rozwiązałem problem Hausdorffa. A ja eż mówi Banach. Co więcej, okazuje się, że meoda rozumowania Banacha i moja była niemal idenyczna: była w isocie konynuacją naszej rozmowy w kawiarni. Rzecz prosa: posanowiliśmy opublikować nasz wynik w posaci wspólnej pracy (w Fundamenach ). W pracy ej posawiliśmy pewien problem nie rozwiązany (i nie próbowaliśmy zreszą go rozwiązać). Poinformowałem o ym Ulama. Po jakimś czasie Ulam przyszedł do mnie z goowym rozwiązaniem. Było o dla mnie, oczywiście, dużą saysfakcją, a że wynik en uważałem za bardzo cenny, zachęciłem Ulama, ażeby z ego zrobił swą pracę dokorską. Jak się okazało, eza dokorska Ulama wzbudziła duże zaineresowanie w świecie naukowym i do dziś zachowała swą akualność, a ja zdobyłem sobie pierwszego mojego dokora. W ych samych wspomnieniach, na s. 93, Kuraowski napisał: Sanisław Ulam o najwybiniejszy z moich uczniów. Mógłbym powiedzieć o nim jak Seinhaus o Banachu: Ulam o moje wielkie odkrycie naukowe. Maemayka przesłoniła całe życie Ulama. Sanisław Mazur, Kazimierz Kuraowski i Sefan Banach wprowadzili go w ajniki maemaycznego myślenia i procesu odkrywczego. Ulam wspomina długie godziny spędzane z nimi w lwowskiej Kawiarni Szkockiej nad karką z wypisanym jednym symbolem lub funkcją. Wparywali się w nią, wymieniali myśli i sugesie. Była o dla nich kryszałowa kula, uławiająca koncenrację na jakimś problemie. Te spokania w Szkockiej były inicjaywą Banacha. Ulam był najmłodszym z ich uczesników. Już w czasach sudenckich, wraz z jego przyjacielem Józefem Schreierem, dosąpili zaszczyu przebywania w niej wśród maemaycznych geniuszy. Profesor Andrzej Alexiewicz wierdził, że zaproszenie do Kawiarni Szkockiej było rakowane jak pasowanie na rycerza. Banach uważał niekóre podejścia Ulama do problemów i dowodów maemaycznych za dziwne, ale przyznawał, że prowadziły one do poprawnych wyników. Był o ogromny komplemen dla Ulama uważał on (i słusznie) Banacha za prawdziwego samorodnego geniusza, kóry miał podświadomą zdolność odkrywania ukryych ścieżek. Hugo Seinhaus (1961, s. 257) ak wspomina amosferę Kawiarni Szkockiej: Banach z Mazurem i Ulamem o był najważniejszy solik w Kawiarni Szkockiej we Lwowie. A była nawe aka sesja, kóra rwała 17 godzin jej rezulaem był dowód pewnego ważnego wierdzenia z przesrzeni Banacha ale nik go nie zapisał i nik już dziś nie zdoła go odworzyć. Prawdopodobnie bla solika pokryy śladami chemicznego ołówka zosał po owej sesji, jak zwykle, zmyy przez sprząaczkę kawiarni. Toeż wielką zasługą pani Łucji Banachowej kóra spoczywa dziś na wrocławskim cmenarzu było zakupienie grubego zeszyu o wardych okładkach i powierzenie go płaniczemu Kawiarni Szkockiej am zapisywano zagadnienia,

92 92 Polscy saysycy i maemaycy na pierwszych sronicach kolejnych kar, ak żeby ewenualne odpowiedzi mogły być kiedyś wpisane na wolnych sronicach obok eksu pyań. Oryginalna książka szkocka była do dyspozycji każdego maemayka, kóry jej zażądał w kawiarni; niekóre problemay ogłaszano am z obienicą nagrody za rozwiązanie nagrody wahały się od małej czarnej do żywej gęsi. Zeszy kupiony przez panią Łucję, żonę Sefana Banacha, sał się szybko znany jako Księga Szkocka i przez cały okres swego kilkuleniego isnienia odgrywał dużą rolę w życiu lwowskich maemayków. Pierwszy problem do Księgi wpisał Sefan Banach pod daą 17 lipca 1935 roku, a osani Hugo Seinhaus pod daą 31 maja 1941 roku. Łącznie wpisano 198 problemów. Rekordzisą pod względem liczby wpisanych problemów był Sanisław Ulam, kóry samodzielnie wpisał 40 i ponado 22 wspólnie m.in. ze Sefanem Banachem (5), Józefem Schreierem (6) i Sanisławem Mazurem (7). Po wojnie i po śmierci męża, pani Łucja Banach przywiozła Księgę do Wrocławia, a am prof. Hugo Seinhaus przepisał ją ręcznie (dokładnie słowo po słowie) i w 1956 roku wysłał ę kopię do Los Alamos, do Sanisława Ulama. Ten Księgę przełumaczył na angielski, po czym skopiował w 300 egzemplarzach (na własny kosz) i e kopie rozesłał do przyjaciół oraz rozmaiych uniwersyeów w różnych krajach. Księga sała się słynną i wielu maemayków prosiło Ulama o dalsze kopie. Próśb ych było w ciągu kolejnych la ak wiele, że w Los Alamos zdecydowano o nasępnym wydaniu (z uwzględnieniem rozmaiych poprawek) już nie na kosz Ulama, co doszło do skuku w 1977 r. W maju 1979 w Norh Texas Sae Universiy miała miejsce Scoish Book Conference (wśród uczesników byli m.in. Ulam, Kac, Zygmund), po czym z uakualnionymi informacjami na ema rozwiązań problemów, i zagadnień pokrewnych z ymi problemami związanych, Księga (uzupełniona kilkoma referaami z konferencji, w szczególności wspomnieniami) zosała w 1981 r. opublikowana przez wydawnicwo Birkhauser (pod redakcją R. Daniela Mauldina). Współcześnie oryginał Księgi Szkockiej znajduje się w posiadaniu rodziny Banacha, a kopia oryginału w Biblioece Insyuu Maemaycznego PAN w Warszawie. W roku 1934, nie mając większych szans na podjęcie pracy dydakycznej, podróżował (na kosz ojca) do Wiednia, Zurychu, Paryża i Cambridge, aby słuchać i wygłaszać wykłady maemayczne. Ulam wspominał, iż podróże e były próbą zrobienia w świecie wrażenia jego maemaycznymi wynikami. Nie bez powodu. Syuacja w Europie zmieniła się dramaycznie po dojściu Hilera do władzy i prorokowała jak nagorzej, w szczególności dla Żydów. W Polsce, przez łagodną analogię pojawił się agresywny anysemiyzm. Sryj Ulama, Michał Ulam, namawiał go na karierę za granicą. Pod koniec 1934 r. Ulam nawiązał korespondencję z Johnem von Neumannem, bardzo młodym profesorem w Insiue for Advanced Sudies w Princeon. Napisał do niego o kilku problemach z eorii miary. W odpowiedzi zaprosił Ulama na kilka miesięcy do Princeon. Na jesieni 1935 r. Ulam poznał von Neumanna osobiście w Warszawie. Von Neumann, wracając z konferencji opologicznej w Moskwie, na kilka dni zarzymał się w Warszawie i wygłosił wykład w oddziale warszawskim Polskiego Towarzyswa Maemaycznego. W grudniu 1935 r., z francuskiego poru Le Havr, na angielskim saku Aquiania, Ulam wypłynął w swój pierwszy rejs do Nowego Jorku. W Princeon Ulam poznał m.in. Bochnera, Birkhoffa i Weyla. Jednakże największym auoryeem i wzorem dla większości uczonych był Alber Einsein. Ulam (1996, s. 101) ak wspo-

93 Sylweka naukowa Profesora Sanisława Marcina Ulama 93 mina nasępujące zdarzenie: Mniej więcej dwa miesiące po moim przybyciu do Sanów jeden z moich kuzynów, bankier, Andrzej Ulam, przyjechał w ineresach do Nowego Jorku, więc zaprosiłem go, by odwiedził mnie w Princeon. Tak się złożyło, że miałem właśnie wygłosić wykład na jednym z seminariów i moje nazwisko pojawiło się na ej samej sronie biuleynu insyuu, co ogłoszenie o sałym, coygodniowym seminarium Einseina. Zrobiło o na moim kuzynie ogromne wrażenie; wspomniał o ym w liście do rodziny i ak moi krewni oraz przyjaciele w Polsce zaczęli uważać mnie za wybinego uczonego. Zdjęcie paszporowe, 1935 Wobec pogarszającej się syuacji w Europie, wzrasającego zagrożenia Polski i wobec swojej żydowskości, Ulam szukał sposobów pozosania w Sanach Zjednoczonych. Dzięki poparciu George a Davida Birkhoffa, Ulam uzyskał nominację na sanowisko junior fellow na Harvardzie, na rzy laa od jesieni 1936 roku. Warunki były niezwykle arakcyjne: półora ysiąca dolarów rocznie plus mieszkanie i wyżywienie oraz pewne sumy na podróże. W ych czasach wydawało się o królewską oferą. Rozpoczął współpracę z Johnem Oxoby, kóra w roku 1941 zaowocowała ich publikacją w mechanice saysycznej; Ulam uważał ją poem za jedną z najważniejszych w swojej karierze maemayka. Wykładał w Harvard Universiy oraz w Brown Universiy w Providence, Rhode Island. Między rokiem 1936 a 1939, każde rzy lenie miesiące spędzał w Polsce z rodziną. W 1937 roku, wraz z Banachem gościł von Neumanna we Lwowie. W nasępnym roku Ulam rewizyował von Neumanna w Budapeszcie. W 1938 roku zmarła na raka maka Ulama, a on sam uzyskał w konsulacie amerykańskim w Warszawie imigracyjną wizę amerykańską. W kilka miesięcy później byłoby o już prawie niemożliwe. W sierpniu 1939 roku, ojciec Józef i sryj Szymon, odprowadzili Ulama i jego 17 leniego braa Adama, na nabrzeże pasażerskie w Gdyni. Bracia Ulamowie odpłynęli Baorym do Ameryki. Adam, młodszy od Sanisława o 13 la, kóremu en pomagał

94 94 Polscy saysycy i maemaycy przez wiele la sudiów w Brown Universiy, sał się później znanym hisorykiem, auorem jednej z pierwszych na Zachodzie książek o Salinie, dyrekorem Cener for Russian Sudies w Harvard Universiy. Nie zobaczyli już swojej rodziny nigdy. Cała rodzina Ulama, włączając siosrę Sefanię (poza dwoma kuzynami), zginęła w czasie wojny. W 1939 roku rzyleni konrak Ulama w Sociey of Fellows wygasał i nie można go było przedłużyć, ponieważ Ulam przekroczył górną granicę wieku. Dzięki Birkhoffowi, ówczesnemu guru maemayki amerykańskiej, orzymał pozwolenie na roczne pozosanie na Harvardzie w charakerze wykładowcy na Wydziale Maemayki, a nasępnie w roku 1940 orzymał posadę wykładowcy w Uniwersyecie Sanu Wisconsin w Madison. Tuaj zaprzyjaźnił się z Corneliusem Evereem. Napisał z nim wiele wspólnych prac z eorii grup i algebr rzuowych. Sanisław i Francoise W roku 1941 Ulam orzymał obywaelswo amerykańskie i próbował zaciągnąć się na ochonika do Sił Powierznych, ale odrzucono jego wniosek z powodu wady wzroku. W roku 1942 ożenił się w Madison z francuską sudenką Francoise Aron, kórą wcześniej poznał w Cambridge, MA. W 1944 r. urodziła się ich jedyna córka Claire. Mała Claire, odpowiadając na pyanie koleżanki, dlaczego jej ojciec nie gra z nią w piłkę, powiedziała: Mój ao ylko myśli, myśli, myśli! Nic ylko myśli. Myślenie było głównym zajęciem Ulama. Późną wiosną 1943 roku napisał lis do von Neumanna z pyaniem o możliwość pracy na rzecz armii. Na świecie szalała wojna. Ulam chciał wnieść swój udział w wysiłek wojenny. Wczesną jesienią 1943 nadeszła odpowiedź z propozycją spokania się na Union Saion w Chicago podczas podróży von Neumanna z Princeon na zachód. Wczesną jesienią 1943 r. doszło do spokania Ulama z von Neumannem (w owarzyswie obsawy) na Union Saion w Chicago. Von Neumann poinformował go o isnieniu ajnego, ważnego projeku wojennego. Wkróce po ej rozmowie, Ulam orzymał oficjalne zaproszenie z Los Alamos, leżącego około sześćdziesięciu kilomerów na północny wschód od Sana Fe w Nowym Meksyku, do

95 Sylweka naukowa Profesora Sanisława Marcina Ulama 95 przyłączenia się do nieokreślonego projeku wojennego, podpisane przez słynnego fizyka Hansa Behego (niedługo później współwórcy wzoru Behego-Feynmana, podsawowego dla obliczeń wydajności reakcji rozszczepienia). Sanisław Ulam z ciężarną żoną znalazł się w ajnym laboraorium w Los Alamos. Tam zosał przydzielony do grupy Edwarda Tellera, pracującej nad projekem superbomby. Była o pierwsza próba skonsruowania bomby wodorowej (ermojądrowej). Oprócz małego zespołu Tellera wszyscy naukowcy w Los Alamos pracowali nad projekem bomby aomowej, wykorzysującej energię uwolnioną przy rozszczepieniu jąder uranu lub pluonu. Nad projekem ym pracowało wielu wybinych uczonych: John von Neumann, Enrico Fermie, Hans Behe, Niels Bohr, Richard Feynman, Edward Teller, Rober Oppenheimer, Oo Frisch, Vicor Weisskopf, Emilio Segre. Inelekualny poencjał grupy ak wielu ciekawych ludzi był wyjąkowy. W całej hisorii nauki nie znajdziemy niczego, co przypominałoby choćby w wielkim przybliżeniu akie skupisko. Ulam zeknął się u po raz pierwszy z prakycznymi problemami fizyki, kóre łączyły się wpros z danymi eksperymenalnymi. Pewnego razu zażarował do fizyka Oo Frischa: ( ) jesem czysym maemaykiem, kóry upadł ak nisko, iż jego prace zawierają prawdziwe liczby z dokładnością do kilku dziesięnych miejsc. Pierwsze zadanie jakie Teller wyznaczył Ulamowi po jego przyjeździe, polegało na zbadaniu wymiany energii pomiędzy swobodnymi elekronami i promieniowaniem w skrajnie gorącym gazie, kóry jak się spodziewano powinien worzyć się podczas wybuchów bomb ermojądrowych. Jak na ironię, właśnie en pierwszy problem, jaki polecono rozwiązać Ulamowi w 1943 r., sał się później głównym emaem jego prac prowadzonych wspólnie z Corneliusem Evereem, kóre udowodniły, że realizacja projeku superbomby sporządzonego przez Tellera jes niemożliwa. Wkład Ulama w prace nad skonsruowaniem bomby aomowej polegał na przeprowadzeniu saysycznych badań rozgałęziania i powielania neuronów. Efekem ego procesu jes podrzymywanie reakcji łańcuchowej i uwalnianie energii z uranu lub pluonu. Dokładniej, w roku 1944 Sanisław Ulam i David Hawkins ineresowali się czyso modelowym problemem drzewa genealogicznego neuronu, kóry może wyprodukować zero (zosaje pochłonięy i kończy żywo), jeden (czyli po prosu isnieje nadal) lub dwa, rzy, czery neurony (o znaczy pojawiają się nowe), przy czym każde z ych zdarzeń zachodzi z określonym prawdopodobieńswem. Zadanie polega na prześledzeniu ewolucji układu i łańcucha możliwych zdarzeń przez wiele kolejnych pokoleń. Ulam i Hawkins szybko odkryli sposób, kóry pomógł badać maemaycznie akie rozgałęzione łańcuchy. Funkcje charakerysyczne wymyślone przez Laplace a i pożyeczne przy badaniu rozkładów sum zmiennych losowych niezależnych, okazały się idealnym narzędziem do badania procesów muliplikaywnych, później nazwanych gałązkowymi. Teoria akich procesów zosała opisana przez Ulama i Hawkinsa w roku 1944 w raporcie Laboraorium. Dokonali ego wcześniej niż Andrzej Kołmogorow i inni Rosjanie. Z począkiem roku 1944, w długiej dyskusji Ulama z von Neumannem wypłynęła konieczność dokładniejszego, niż przybliżonym sposobem proponowanym przez von Neumanna, obliczenia hydrodynamicznego przebiegu implozji, niezbędnej do zapłonu bomby jądrowej. Trzeba było zasosować brualną siłę, czyli masowe obliczenia numeryczne. Było o jednak niemożliwe przy użyciu isniejących mechanicznych urządzeń

96 96 Polscy saysycy i maemaycy obliczeniowych. Niezbędność ych właśnie dokładnych obliczeń zapocząkowała rozwój elekronicznych, wówczas jeszcze lampowych, kompuerów. Powsały z połączenia osiągnięć naukowych i echnologicznych, w analogii z operacjami mózgu. W roku 1952 pojawił się w Los Alamos MANIAC, drugi egzemplarz po Princeon, pierwszego zmienno-programowalnego kompuera. Ideę programowania wymyślił John von Neumann, wychodząc z logiki maemaycznej. 16 lipca 1945 r. dokonano pierwszej próbnej eksplozji bomby aomowej. Poem przyszła Hiroszima i zwycięswo nad Japonią. Wojna się skończyła, a świa odradzał się z popiołów. Wielu ludzi opuściło Los Alamos, czy o wracając na swoje uniwersyey, czy o obejmując nowe posady akademickie. Ulam na kawałku swego grunu w pobliżu Sana Fe, 1947 rok Jesienią 1945 r. Ulamowie przenieśli się do Los Angeles, gdzie Ulam zosał profesorem na Universiy of Souhern California. W syczniu 1946 przeszedł bardzo ciężką chorobę zapalenia mózgu. Przeżył dzięki owarciu czaszki i spryskaniu mózgu penicyliną. Były o pierwsze dni penicyliny, kórą sosowano bez ograniczeń. Pierwszą po chorobie publikacją napisaną przez Ulama był arykuł poświęcony pamięci Sefana Banacha, kóry zmarł 31 sierpnia 1945 r. we Lwowie na raka płuc, mając zaledwie 53 laa. Arykuł en ukazał się w Biuleynie Amerykańskiego Towarzyswa Maemaycznego w numerze 52 (1946), W połowie 1946 r. Ulam powrócił do Los Alamos Naional Laboraory. Króko po powrocie Ulam wygłosił na seminarium dwa wykłady, kóre zawierały dobre, udane pomysły. Dalszy rozwój ych koncepcji doprowadził do wielu sukcesów. Jedna z nich doyczyła meody, nazwanej później Mone Carlo, a druga pewnych nowych meod obliczeń w hydrodynamice. Oba wykłady sanowiły fundamen bardzo konkrenych zasosowań rachunku prawdopodobieńswa i mechaniki ośrodków ciągłych. W ym miejscu przyoczę wypowiedź Ulama (1996, s. 225) na ema meody Mone Carlo: Pomysł en, nazwany później meodą Mone Carlo, wpadł mi do głowy, kiedy podczas choroby sawiałem pasjanse. Zauważyłem, że znacznie prakyczniejszym sposobem oceniania prawdopodobieńswa ułożenia pasjansa jes wykładanie kar, czyli ekspery-

97 Sylweka naukowa Profesora Sanisława Marcina Ulama 97 menowanie z ym procesem i po prosu zapisywanie procenu wygranych, niż próba obliczenia wszyskich możliwości kombinaorycznych, kórych liczba rośnie wykładniczo i jes ak wielka, że pominąwszy najprossze przypadki, jej oszacowanie jes niemożliwe. Jes o zaskakujące z inelekualnego punku widzenia, i choć może nie całkiem upokarzające, o jednak zmusza do skromności i pokazuje granice radycyjnego, racjonalnego rozumowania. Jeśli problem jes wysarczająco złożony, próbowanie jes lepszym sposobem niż badanie wszyskich łańcuchów możliwości. ( ) Meoda Mone Carlo przybrała konkrene kszały i uzyskała odpowiednie podsawy eoreyczne po ym, jak w jednej z naszych rozmów w 1946 r. opowiedziałem Johnny emu o możliwości sosowania schemaów ego ypu w probabilisyce. Była o wyjąkowa długa dyskusja, prowadzona w rządowym samochodzie podczas jazdy z Los Alamos do Lamy. ( ) Po ej rozmowie wspólnie opracowaliśmy maemayczną sronę ej meody. Wydaje mi się, że nazwa Mone Carlo bardzo przyczyniła się do jej popularyzacji. Meoda zosała ak nazwana z powodu roli przypadku: generowania liczb losowych, kóre decydują o przebiegu gry. Spokanie z prezydenem Kennedym, Los Alamos 1962 Najbardziej jednak godnym uwagi dokonaniem Ulama w Los Alamos był jego wkład w powojenne prace nad bombą wodorową. Wpierw, wspólnie z Everem wykazał, że koncepcja Tellera konsrukcji bomby wodorowej jes niemożliwa do zrealizowania, a nasępnie w luym 1951 r. zaproponował nową meodę polegającą na wykorzysaniu rozchodzenia się mechanicznej fali uderzeniowej, spowodowanej eksplozją aomową, do wywołania silnego sprężenia paliwa ermojądrowego, co miało w osaeczności doprowadzić do gwałownego wybuchu. Kiedy Ulam powiedział Tellerowi o swoim pomyśle zasosowania bomby aomowej do sprężania deueru uż przed zapłonem, Teller naychmias pojął jego warość. Zasugerował jednak, że zamias wykorzysywać do ego celu mechaniczną falę uderzeniową jak o proponował Ulam można by osiągnąć implozję w lepszy sposób: za pomocą promieniowania, przez ak zwaną implozję radiacyjną. Nowy projek bomby wodorowej, znanej pod nazwą urządzenie Tellera Ulama,