Atom helu w nierelatywistycznym podejściu kwantowym. Przygotował Tomasz Urbańczyk

Transkrypt

1 Atom helu w nierelatywistycznym podejściu kwantowym Przygotował Tomasz Urbańczyk 1

2 Plan seminarium Atom wodoru przypomnienie Separacja równania Schrodingera na część radialną i część kątową Rozwiązania dla części kątowej harmoniki sferyczne, wielomiany Legendre a Rozwiązania dla części radialnej, energia wiązania elektronu, radialna funkcja falowa, wielomiany Laguerre a Atom helu Dlaczego warto zająć się tym zagadnieniem? Metoda wariacyjna Rachunek zaburzeń Singlety, tryplety o antysymetryczności funkcji falowej i jej konsekwencjach Wyniki uzyskane przy użyciu bardziej zaawansowanych metod wariacyjnych. Podsumowanie

3 Rozwiązanie równania Schrodingera dla atomu wodoru. Ogólna postać równania Schrodingera to: h r m + V ( r ) ( r ) = EΨ( r ) Należy szukać symetrii, które ułatwią nam rozwiązanie równania Schrodingera. Potencjał Culomba ma symetrię sferyczną V ( r ) = V ( r) Laplasjan we współrzędnych sferycznych: r Ψ r r 3

4 Rozwiązanie równania Schrodingera dla atomu wodoru. Funkcja falowa ma postać iloczynu Po podstawieniu i pomnożeniu przez Schrodingera przybiera postać: ( r ) = U ( r) Y ( θ,ϕ ) Ψ r r równanie -λ m Po pomnożeniu przez i podzieleniu przez h dostaniemy dwa równania Y ( θ, ϕ ) U ( r) 4 λ

5 Odpowiednie warunki brzegowe określą wartości lambdy. Teraz zajmiemy się częścią kątową równania. 5

6 Część kątowa równania Schrodingera Należy przeprowadzić dalszą separację ( θ ϕ ) = P( θ ) Φ( ϕ ) Y, Aby funkcja była jednoznaczna na odcinku 0- π m musi być liczbą całkowitą (a gdy m= 0 to B=0) stąd (po normalizacji) 6

7 Część kątowa równania Schrodingera Po podstawieniu cos(θ)=x druga część równania da: Rozwiązanie metodami funkcji zespolonych. Najpierw dla m=0. Rozwiązanie ma nie mieć osobliwości w obszarze fizycznym [- 1,1] Jedyny sposób rozwiązania problemu szukać rozwiązania wokół 0 i uciąć szereg. (*) λ = l( l +1) l = 0,1,,3... Warto odnotować że h λ jest wartością własną operatora momentu pędu, która jak widać jest skwantowana 7

8 Wielomiany Legendre a Otrzymane wielomiany mają być unormowane w poniższy sposób: Powyższa norma narzuca warunki na wyrazy a0 lub a1 Tak unormowane wielomiany to wielomiany Legendre a Można je wyliczać wg wzoru lub przy użyciu funkcji tworzącej Wielomiany Legendre a stanowią fizycznie dopuszczalne rozwiązania równania (*) dla m=0 8

9 9

10 Stowarzyszone wielomiany Legendre a, funkcje kuliste Dla dowolnego m rozwiązania równania (*) noszą nazwę stowarzyszonych wielomianów Legendre a Są one unormowane w poniższy sposób Pełne rozwiązanie części kątowej ma postać Powyższe równanie definiuje tzw. funkcje kuliste. 10

11 Atom wodoru - część radialna równania Po zrobieniu dwóch podstawień: (**) Asymptotyka dla dużych r daje - > Zatem Po wstawieniu tej postaci do (**) dostajemy równanie na F (***) Szukamy rozwiązania w postaci szeregu potęgowego 11

12 Atom wodoru - część radialna równania Po rozwiązaniu otrzymamy rekurencję Dla dużych ν rekurencja sprowadza się do Całe F ma asymptotykę ~, co zmusza nas do urwania szeregu dla jakiegośν0 λ=n Ze wzoru dostajemy ostateczny wzór na energię: E n µ e = 4 Z = e h n a0n Z a 0 = h µ e 1

13 Atom wodoru wielomiany Laguerre a Interesujące nas rozwiązania równania (***) można wyrazić p przy pomocy stowarzyszonych wielomianów Laguerre a L q e ρs(1 s) U ( s) ρ, = = 1 s q= 0 ( ρ) q Jawna postać wielomianów Laguerre a to: L p q ( ρ) = ( ρ) L (ρ) L = Radialne funkcje falowe atomu mają postać: L q q! s q m 1) m= 0 ( q m)!( p + m)! m! p q d dq ( p + q)! ( ρ m p p q (ρ) U nl ( r) = 3 1/ Z ( n l 1 )! 1/ ρ l l+ 1 e ρ Ln+ l 0 n[ ( n + l)!] na ( ) ρ 13

14 14

15 Atom wodoru - część radialna równania Stała a0 wodoru to średni promień orbity stanu podstawowego atomu 9 a = 5,9 [ cm] 0 10 Energia stanu podstawowego ma wartość A funkcja falowa stanu podstawowego ma postać E1 = 13,6[ ev ] 1 1 Z 0, m 0 = exp 4π a0 n Ψ = l= = 3 / Zr a 0 15

16 16

17 Atom helu -dlaczego warto się tym zająć. Trzeba sprawdzić czy mechanika kwantowa działa (tzn czy przewidywania teoretyków zgadzają się z doświadczeniem) dla systemów złożonych (hel jest najprostszym takim systemem) Może w zagadnieniu atomu helu występują jakieś nowe (w stosunku do atomu wodoru) efekty fizyczne?? Struktura poziomów energetycznych etom helu zainspirowała Pauliego do sformułowania słynnego zakazu Na wstępie warto odnotować, że zmierzona doświadczalnie energia stanu podstawowego wynosi Helu E g = 78,975[ ev ] 17

18 Atom helu-metoda wariacyjna Dowolną funkcję można rozwinąć w bazie funkcji własnych hamiltonianu Warunek unormowania funkcji ma postać Policzmy Zatem znalezienie energii st. podst. sprowadza się do znalezienia minimum wyrażenia ze względu na unormowaną funkcję próbną ψ 18

19 Atom helu-metoda wariacyjna W praktyce funkcja próbna zależy od pewnej ilości parametrów. Zmieniając te parametry szukamy minimum energii. Otrzymany wynik jest górną granicą energii st. podstaw. Jest on bliski wynikowi rzeczywistemu gdy kształt funkcji próbnej jest zbliżony do kształtu prawdziwej funkcji falowej. Przy wyborze funkcji próbnej należy zatem wykorzystać dostępne informacje o układzie fizycznym a nawet (własną ) intuicję fizyczną. Odpychanie między elektronami ma znak +, zmniejsza więc ono efektywną (ujemną) energię przyciągania przez jądro. Dlatego jako funkcję próbną można użyć iloczynu funkcji atomów wodoropodobnych dla których ładunek jądra jest parametrem (ekranowanie) 3 Φ α ( r, r ) ( r r ) r r 1 α α 1 + = 1 exp π a0 a0 19

20 Atom helu-metoda wariacyjna Wybrana funkcja próbna jest unormowana. Szukany funkcjonał to element macierzowy Hamiltonian dla atomu wodoru ma postać β=e W stanie podstawowym moment pędu wynosi zero zatem w elemencie macierzowym pozostaną tylko części radialne. Po obliczeniu członów różniczkowych dostaniemy 0

21 Atom helu-metoda wariacyjna Pierwszy z elementów macierzowych da nam Drugi element po mniej trywialnych rachunkach da Ostateczni mamy więc E e a ( α ) = α Zα + α α min = Z 16 E0 77,5[ ev ] Eksperymentalnie zmierzona energia stanu podstawowego helu wynosi E dosw 0( ) = 78,975[ ev ] Jeśli wybierzemy lepszą funkcję próbną wynik będzie lepszy 1

22 Zagadnienie atomu helu rachunek zaburzeń W zerowym rzędzie rachunku zaburzeń funkcja falowa separuje się na iloczyn dwóch funkcji falowych atomu wodoropodobnego (Z=). H0 jest sumą dwóch hamiltonianów atomów wodoropodobnych. Energia takiego atomu wodoropodobnego wynosi E n Z 54,4 = 13,6 [ ev ] = [ ev ] n n Zatem w zerowym rzędzie rachunku zab. energia stanu (0) podstawowego atomu helu wynosi E 0 = 108.8[ ev ] zaś energia pierwszego stanu wzbudzonego (0) E1 = 68[ ev ]

23 Stan podstawowy atomu helu I rząd rachunku zaburzeń Dla stanu podstawowego mamy poprawkę Przyjmując że r1 a 0 dostajemy poprawkę do energii e (bo = 13,6[ ev ]) a 0 E = Ψ H Ψ = e 1 1 Stąd (1) E0 = 81,6[ ev ] Tak naprawdę to myśmy omawiany element macierzowy już wyliczyli dokładniej przy okazji rachunków metodą wariacyjną: 5 e E 1 = = + 34[ ev ] 4 a 0 Dokładność metody wariacyjnej z niezbyt wyrafinowaną funkcją próbną jest porównywalna z 1 rzędem rach. zaburzeń 1 r 1 (1) E0 = 74,8[ ev ] + 7,[ ev 3 ]

24 Stan wzbudzony I rząd rachunku zaburzeń W przypadku stanu wzbudzonego mamy do czynienia ze zdegenerowanym rachunkiem zaburzeń. Diagonalizujemy macierz zaburzenia: H ' H ' 11 1 H ' H ' 1 Ψ = u () = u (1) u () = u nlm ( 1) un' l' m' * * = uab H ' uab = H ' = uba H ' uba = J Otrzymujemy równanie wiekowe: J E K J K E = 0 H ' 11 H ' 1 Oto funkcje falowe odpowiadające obu przesunięciom: 1 E = J + K U S = ( uab + uba ) * * = uab H ' uba = H ' 1 = uba H ' uab = K a b E = J ± a u b K 1 E = J K U A = ( uab uba ) 4

25 Stan wzbudzony atomu helu Singlety, tryplety... Zgodnie z zasadą Pauliego całkowita funkcja falowa (tzn iloczyn części przestrzennej i spinowej) musi być nieparzysta Parzystej części przestrzennej ( E=J+K) odpowiada nieparzysta część spinowa. Istnieje jedna dwuelektronowa, nieparzysta funkcja spinowa (stąd singlet) Nieparzystej części przestrzennej ( E=J- K) odpowiada parzysta część spinowa. Istnieją aż trzy dwuelektronowe parzyste funkcje spinowe (stąd tryplet) Całka wymienna (K) jest zawsze dodatnia stąd wynika że singlety leżą zawsze nad trypletami. 5

26 Singlety, tryplety... J +K K U S U A Nieistnienie trypletowego stanu 1s było przesłanką dla Pauliego 1s U S U A χ A - singlet χ S - tryplet parahel stany singletowe ortohel stany trypletowe 6

27 Na zakończenie trochę wyników. Piękno metody wariacyjnej 7

28 Atomic units (au) form a system of units convenient for atomic physics, electromagnetism, and quantum electrodynamics, especially when the focus is on the properties of electrons. There are two different kinds of atomic units, which one might name Hartree atomic units and Rydberg atomic units, which differ in the choice of the unit of mass and charge. This article deals with Hartree atomic units. In au, the numerical values of the following six physical constants are all unity by definition: A hartree (symbol Eh) is the atomic unit of energy and is named after physicist Douglas Hartree. 1Eh = (75) J = (3) ev 8

29 Kinoshita uwzględnił liczne poprawki w tym przesunięcie Lamba (jego funkcja miała 39 parametrów). Jego wynik był zgodny z danymi eksperymentalnymi. In 1957, Kinoshita presented a seven digit number obtained with a 39-parameter function, which, along with higher-order corrections including the Lamb shift calculations, confirmed a very good agreement with the best experimental value. Tytuł pracy Vladimir a Korobov a brzmi Nonrelativistic ionization energy for the helium ground state 9

30 Zagadnienie atom wodoru rozwiązanie przez separację zmiennych Atom helu - metoda wariacyjna (wyniki zawsze przeszacowane) - rachunek zaburzeń Podsumowanie. - dla stanu wzbudzonego zdegenerowany rachunek zab. - podział na singlety i tryplety konsekwencja zakazu Pauliego - wyniki metody wariacyjnej (dla prymitywnej funkcji próbnej) są porównywalne z wynikami pierwszego rzędu rachunku zaburzeń. 30

31 Leonard Shiff Bibliografia. Mechanika Kwantowa G.K. Woodgate Struktura atomu Hiroyuki Nakashima and Hiroshi Nakatsujia Solving the Schrödinger equation for helium atom and its isoelectronic ions with the free iterative complement interaction (ICI) method THE JOURNAL OF CHEMICAL PHYSICS 17, Wykłady z mechaniki kwantowej prof. M. Praszałowicza Wykłady ze wstępu do fizyki atomowej prof. W. Gawlika 31