Wyznaczenie momentu bezwładności przy użyciu wahadła torsyjnego

Transkrypt

1 Wyznaczenie momentu bezwładności przy użyciu wahadła torsyjnego

2 Wahadło torsyjne ównanie ruchu obrotowego krążka d α I dt M M Dα I moment bezwładności krążka M moment siły D moment kierujący r drut d α D + α dt I ównanie oscyatora harmonicznego α α A sin( ωt + ϕ Częstość kołowa Okres drgań ω π D I I D T Informacja o momencie bezwładności Informacja o własnościach sprężystych drutu

3 Wahadło torsyjne Nowy moment bezwładności z tw. Steinera: I I + [ m( r + mr π I D T ] r w Dwa wace o masie m Moment bezwładności waca wzgędem osi I w /mr I D T π Wyznaczając doświadczanie T oraz T znajdziemy D oraz nieznany moment bezwładności I Podczas drgań wahadła zachodzi odkształcenie drutu poegające na ścinaniu

4 Odkształcenia sprężyste Sprężystość (eastyczność własność powodująca, że odkształcone ciało dąży do stanu początkowego. Da ideanie sprężystych ciał naprężenia w nich wywoływane są jednoznacznymi funkcjami odkształceń. Przy niewiekich odkształceniach własności ciał stałych można opisywać traktując je jak ciała ideanie sprężyste, wtedy, jak to wykrył. Hooke da prostych odkształceń, odkształcenie jest proporcjonane do naprężenia (sprawdźmy czy ono działa. a potem zajmijmy się przypadkiem odkształcenia postaci bez zmiany objętości jakim jest tzw. ścinanie

5 Ścinanie ozważmy kostkę prostopadłościenną przykejonej do podłoża * γ σ t γ Każdy eement górnej powierzchni kostki poddany jest naprężeniu stycznemu σ t S siła działająca stycznie do górnej powierzchni kostki S powierzchnia górnej ścianki kostki Odkształcenie kostki poega przesunięciu górnej ścianki w kierunku naprężenia, bez zmiany kształtu tej ścianki. Ścianka przednia i tyna przyjmują kształt równoegłoboków, ścianki boczne pochyają się o kąt γ W tym wypadku prawo Hooke a ma postać: γ σ t G G moduł sztywności * Aby naprężenia powstające na brzegach nie miały znaczenia wysokość kostki powinna być znacznie mniejsza od pozostałych wymiarów

6 Skręcanie (ścinanie pręta - z dr r γ ϕ Pręt dzieimy na rurki o promieniu r i grubości dr Górny koniec rurki jest zamocowany. Do donego końca przykładamy parę sił o tej samej wartości i przeciwnych zwrotach tworzą one moment skręcający pręt, który równoważą naprężenia ścinające powstałe w pręcie. rϕ z Każdy eement rurki uega ścinaniu o kąt γ Ponieważ γ γ σ t G rϕ G moduł sztywności ϕ - kąt skręcenia końca rurki długość rurki Zatem naprężenie ścinające: rϕ σ t G

7 Moment sił sprężystości równoważący moment sił zewnętrznych: dm dm dm dm dm r σ S t r σ πr dr t r rϕ G πr dr πg 3 ϕ r dr Skręcanie pręta siła styczna S powierzchnia przekroju rurki Sumując przyczynki od rurek o różnych promieniach dostajemy całkowity moment sił sprężystości równoważący moment sił zewnętrznych 4 3 D J πg 4 G π M ϕ r dr ϕ Dϕ σ t S G π σ γg t z definicji naprężenia ścinającego G rϕ G D moment kierujący J geometryczny moment bezwładności J S r ds

8 Badając drgania torsyjne wahadła fizycznego możemy wyznaczyć moduł sztywności G materiału, z którego wykonany jest drut Materiał Moduł sztywności GPa Współczynnik Poissona guma miedź sta 8.9 wofram 3.7 szkło

9 Skręcanie wałów napędzających maszyny Moc przekazywana przez wał napędowy: PMω Zamiast wałów stosuje się czasem rury ( ( J J G G dr r G M r r π ϕ ϕ π ϕ π Jaki powinien być promień zewnętrzny rury o promieniu wewnętrznym, aby dawała ona taki sam moment skręcający jak pręt o promieniu ( π π,9 4 S S Warto używać pustych wałków! ω ω ω ω ω ω M dt d I dt d I I dt d E dt d P k ( ( dt d I M ω

10 Sprężyna Przy rozciąganiu sprężyny drut, z którego jest ona wykonana uega skręceniu o kąt α (nie jest to jednak tak proste jakby się wydawało trudno zauważyć skręcenie drutu, gdy rozciągamy sprężynę jak to się dzieje - patrz dodatek. ϕ h s Skręcenie to wywoła pojawienie się momentu siły: M πr M G ϕ s s promień sprężyny Moment sił sprężystości równoważy moment siły zewnętrznej przyłożonej dokładnie wzdłuż osi sprężyny 4 r promień drutu długość drutu Łącząc powyższe wzory i biorąc pod uwagę, że długość drutu sprężyna wynosi πn s (gdzie N iczba zwojów sprężyny dostajemy ostatecznie: 4 Gr 4 N 3 s h z k h k 4 Gr 3 4 N s

11 n ozciąganie drutu Wydłużenie wzgędne: ε Prawo Hooke a (da niewiekich odkształceń: ε σ σ E n S Przewężenie wzgędne: σ- naprężenie normane E moduł Younga n SE t d Da odkształceń sprężystych: ε µε t ub µ - współczynnik Poissona d ε d ε t µ ε

12 Moduł Younga Materiał Moduł Younga (E GPa Materiał Moduł Younga (E GPa guma,-, Poietyen (LDPE, Poipropyen (PP,5-, Osłonka wirusa -3 Poi(tereftaan etyenu (PET,-,5 Poistyren (PS 3,-3,5 Nyon -4 Drewno dębowe (wzdłuż włókien Szkło (SiO, NaCO3, CaCO3 Mosiądz (Cu, Zn i Brąz (Cu, Sn Tytan (Ti 5- Kompozyt z włókna węgowego 5 Żeazo kute i sta 9- Wofram (W 4-4 Węgik krzemu (SiC 45 Beton wysokiej wytrzymałości (ściskany 3 Węgik tytanu (TiC Miedź -5 Magnez (Mg 45 Cynk 84 Stop ginu (auminium (A Szkło (SiO, NaCO3, CaCO Ołów 6 Cyna 47 Nanorurka [] > Diament (C 5-

13 Współczynnik Poissona Materiał µ Guma,46-,49 Ołów,45 Auminium,34 Sta,9 Szkło,-,3 Kwarc, Wofram,7

14 Zmiana objętości pręta przy rozciąganiu z x y + r + r r Zmiana objętości przy rozciąganiu: ( π π ( π( µ σ σ µ σ E V E E V r r r r r r V Doświadczenie pokazuje, że V/V µ /

15 Wzgędna zmiana objętości: p ε ε µ t V p p Odkształcenie objętości p p p δ K V V κ κp p ciśnienie κ- współczynnik ściśiwości K moduł ściśiwości Doświadczenie myśowe: - każda z krawędzi uega skróceniu o czynnik (-p/e - jednocześnie w wyniku działania ciśnienia w kierunku poprzecznym poissonowskiemu wydłużeniu w stosunku (+µp/e(+µp/e Długość krawędzi po deformacji: 3 6 (-p/e(+µp/e 3 p µ p p µ p 3( µ + V ( 3 ( + 6 V p E E E E E V 3( µ V E p κ 3( µ E ub K E 3( µ

16 Związek pomiędzy modułem Younga i modułem sztywności. ozważmy ścinanie płytki (w poziomie i w pionie, płyta się nie obraca a a γ a D a a γ π + γ a γ d grubość płytki Wypadkowa siła wzdłuż przekątnej, do powierzchni przekroju płytki wzdłuż przekątnej Naprężenie styczne: σ t ad Naprężenie normane: γ σ n σ t ad ad π γ bo w efekcie ścinania w pionie i poziomie kąt ścięcia est dwa razy większy σ n σ t

17 Naprężenia normane rozciąga przekątną Zmiana kąta pomiędzy bokami γ σ t G G moduł sztywności D a Zmiana długości przekątnej: - rozciąganie podłużne -ściskanie poissonowskie γ tg γ a a / a a γ σ t G D σ n σ n + µ D + µ D σ nd E E E a σ t a G + µ a σ ta E σ t + µ σ t G E a + µ E σ t G a E ( + µ Czyi: ograniczenie na G mniejsze niż E (od /3 do / E µ > wsp. Poissona

18 Zginanie beki Popatrzmy jak odkształca się gumka myszka, napisy na papierze h - przed odkształceniem przekroje p, q były równoegłe (odegłe od punktu zamocowania o x, x+ x - po ugięciu przekroje tworzą kąt ϕ - warstwa V znajdująca się w odegłości y od warstwy W (neutranej wydłuża się o ϕy - eement beki o długości x i grubości y i szerokości b jest odkształcany pod wpływem siły n σ A ( A poe przekroju poprzecznego warstwy V H. Szydłowski Pracownia izyczna (PWN

19 n σ A Eε A Powierzchnia eementu V : Ab y y Wydłużenie wzgędne (rysunek: ε ϕ x Stąd: ϕy n E b y x Moment tej siły wzgędem warstwy W ϕ M y n E by y x Sumując przyczynki od wszystkich warstw mamy: ϕ h / M E ϕ by dy E J x h / x gdzie geometryczny moment bezwładności (eement powierzchni zamiast masy J h / by dy h / A y da

20 Da beki o przekroju prostokątnym (zginanej prostopade do h J bh 3 y h Moment sił sprężystości wytworzony w eemencie beki o długości x : ϕ M E J x Bekę odkształca moment siły zewnętrznej b ϕ M ( x M x EJ ϕ ( x x EJ Ponieważ pomiędzy stycznymi do beki w punktach p, q wynosi ϕ, to przyczynek S do ugięcia beki S wyniesie: S ϕ( x S ( x x EJ

21 Sumując ugięcia od wszystkich przyczynków x dostajemy: 3 S ( x dx EJ 3 EJ Da beki o przekroju prostokątnym: 3 4 S 3 bh E Ugięcie zaeży od kształtu przekroju! J t J p J r π π ( ( DH dh d/ Im większy moment Geometryczny, tym trudniej zginać! Materiał powinien być więc jak najdaej od osi zginania. Puste w środku wytrzymasze? Mosty, konstrukcje i kości D h H

22 Podparcie (nieważkiej beki z / dwóch końców / Beka zamocowana z jednej strony S Beka podparta z dwóch stron ( / 3 bh EJ S ( / / 6 S 3 bh EJ Czyi znacznie mniej się ugina! Spróbujcie sami znaeźć ugięcie beki zamocowanej z dwóch stron

23 J x E M ϕ Moment siły jeszcze raz x ϕ x ϕ Promień krzywizny ( ( x EJ x M Z matematyki wiadomo, że krzywizna z y 3 / + x z x z x z Da małych ugięć: Stąd można uzyskać informacje kształcie beki

24 równanie na kształt beki ( x z EJ x M ( x EJ x z da x, x z z 3 3 ( EJ z Strzałka ugjęcia beki zamocowanej na jednym z końców Wyboczenie beki (warto sprawdzić ( x z EJ x M D Cx x EJ x z C x EJ x z ( 6 ( ( 3 6 EJ D EJ C warunki brzegowe

25

26 Mikroskop AM mikroskop optyczny z kamerą AM ~5cm podstawa MutiMode AM +Nanoscope IIIa Digita Instruments (obecnie Veeco

27 Budowa mikroskopu AM: ruchoma próbka Mikroskop optyczny z kamerą eguacja położenia dźwigni w płaszczyźnie Skaner Uchwyt dźwigni Głowica Mocowanie skanera Wyświetacz Przewody Baza Podstawka

28 Dźwignia tapping mode Długość 5 µm Szerokość 3 µm Grubość 3 µm Wysokość µm Stała sprężystości N/m Częstość rezonansowa ~3 khz Promień krzywizny nm Kąt rozwarcia stożka 3

29 Tryb kontaktowy ( contact mode

30 Tryb kontaktowy ( contact mode

31 (TappingMode TM AM

32 EM Eectric orce Microscopy (Kevin Probe Microscopy ( x ( x + x ( x x... + ω ω x k Siła eektryczna (gradient zmiana częstości rezonansowej Pęta sprzężenia zwrotnego: utrzymanie rezonansu Przyciąganie Spadek częstości Odpychanie Wzrost częstości Doświadczenie w skai makro z ciężarkiem na brzeszczocie i magnesami

33 Dioda Schottky ego Au/GaN (złącze meta-półprzewodnik topografia granica półprzezroczystej warstwy Au potencjał

34 GaN GaN LT Buffer sapphire.µm potecjał (KPM topografia (AM

35 MM Magnetic orce Microscopy ( x ( x + x ( x x... + ω ω x k Siła magnetyczna (gradient zmiana częstości rezonansowej Pęta sprzężenia zwrotnego: utrzymanie rezonansu Przyciąganie Wzrost częstości Odpychanie Spadek częstości

36 Mikroskop sił magnetycznych (MM

37 Nanorurki węgowe L. orroro et a. Eectronic and mechanica properties of carbon nanotubes,

38 Moduł Younga da nanorurki? L. orroro et a. Eectronic and mechanica properties of carbon nanotubes (Wikipedia A. Voodin et a.,phys. ev. Lett. 84, 334 ( Paaci et a., Phys. ev. Lett. 94, 755 (5

39