odległość przekroju od siły P. ξ 8

Transkrypt

1 FUNDAMENTOWANIE II (W.Brząkała) przykłady do ykładu i 3 (praca łasna) C 0 M o y(ξ) ξ Przykład : Roziązać belkę nieskończenie długą na podłożu Winklera obciążoną momentem skupionym M o przekroju ξ o=0. Uaga: to zagadnienie to może mieć zastosoanie do obliczania rozległej płyty dennej połączonej ze zginaną ścianą np. pionoą, która przekazuje moment M o na płytę, albo do łay szeregoej, gdzie słupy przekazują na łaę rónież momenty zginające (na ćiczenia projektoych są to tylko siły pionoe). I Sposób na podstaie roziązania ogólnego dla ξ > 0.. Niech y(ξ) = e ξ [C cosξc sinξ] e ξ [C 3 cosξc 4 sinξ]. Ponieaż y( )=0, ięc C 3 = C 4 = 0.. Z antysymetrii ynika, że y(-ξ) = -y(ξ), ięc szczególności y(-0) = y(0) = -y(0), czyli y(0) = 0. Stąd C = 0, czyli y(ξ) = C e ξ sinξ. 3. Dla ξ 0 zachodzi M(ξ) M o/ (i analogicznie M(ξ=0-) = M o/). Ale dla ξ > 0 jest M(ξ) = -EI y / (L W) = -EI (L W) C [e ξ sinξ] = -EI (L W) C [-e ξ cosξ]. 4. Wynik: po podstaieniu ξ=0 otrzymuje się C = M o (L W) (4EI), czyli C = M o (BC) (L W). II Sposób na podstaie pary sił pionoych i roziązania podstaoego y (x) dla siły jednostkoej P =.. Pionoa siła skupiona V jest przyłożona przekroju x = 0dx/ > 0, a siła przecinie skieroana ( V) przekroju x = 0 dx/ < 0. Przyjąć, V = M o/dx. Ta para sił daje stały moment M o.. Z zasady superpozycji otrzymuje się y(x) = V [y (x-dx/) y (xdx/)] = M o [y (x-dx/) y (xdx/)]/dx M o [-dy /dx] = -M o dy /dξ (L W) = -M o (BC) (L W) [e ξ (cosξsinξ)], gdzie y jest roziązaniem podstaoym dla siły skupionej (jak niżej met.bleicha). 3. Wynik: dla ξ > 0 zachodzi y(ξ) = M o (BC) (L W) e ξ sinξ i funkcja y(ξ) jest nieparzysta. III Sposób różne arianty metody Bleicha. Metoda Bleicha ykorzystuje zazyczaj roziązanie podstaoe dla siły skupionej, tj.: P ξ y(ξ) = e (cosξ sinξ), r(ξ) = B C y(ξ) BCL gdzie ξ > 0 oznacza odległość przekroju od siły P. PL ξ P ξ M(ξ) = e (sinξ cosξ), Q(ξ) = 4e cosξ. Wystarczy znaleźć roziązanie y(ξ) dla ξ > 0, bo ta funkcja jest nieparzysta (antysymetria): y(-ξ) = -y(ξ); ynika stąd szczególności, że y(0)=0. 3. Ponieaż roziązujemy tylko praą połoę belki, ięc na leej połoie belki (ξ < 0) można przykładać całkiem doolne obciążenia, ale muszą one zapenić da arunki: y(0)=y(0)=0 oraz granice praostronną M(0) = M o/. 4. Tutaj mogą to być np. die siły skupione T, T penych odległościach na leo od ξ=0. Czyli de facto ystępują 4 nieiadome (die artości sił i da punkty ich przyłożenia), a tylko da arunki przekroju ξ=0 i dlatego można sobie doolnie przyjąć np. te die odległości sił. 5. Jeśli arunki ξ=0 są zadane siłach Q i momentach M, to ygodnie przyjąć położenia tych sił bezymiaroych odległościach π/4 i π/, ponieaż roziązaniu podstaoym zachodzi Q(π/)=0 oraz M(π/4)=0, co upraszcza roziązanie. Tutaj tak nie jest, ale zapene iększość Studentó poszłaby tym tropem (przećiczonym na projekcie) i sumie doszłaby do praidłoego yniku. Rónania: T π / 4 T y(0) = e (cos(π / 4) sin(π / 4)) e π / (cos(π / ) sin(π / )) = 0 BCL BCL T L M(0 ) = dają boiem e (π / 4) (sin(π / 4) T cos(π / 4)) L e (π / ) (sin(π / ) M cos(π / )) = o

2 T M = L o W e a zatem dla ξ > 0 T y(ξ) = BCL T BCL π /, (ξ e π / 4) (ξ e T π / ) = T (cos(ξ (cos(ξ e π / 4) π / 4 π / ) = sin(ξ M L sin(ξ o W π / 4)) e π / )) π / 4 i po odkurzeniu tablic trygonometrycznych otrzymuje się y(ξ) = M o (BC) - (L W) - e -ξ sin(ξ). 6. Jeśli arunki ξ=0 są zadane osiadaniach y i momentach M, to ygodnie przyjąć położenia tych sił T, T bezymiaroych odległościach π/4 i 3π/4, ponieaż roziązaniu podstaoym zachodzi M(π/4)=0 oraz y(3π/4)=0, co upraszcza roziązanie. Rzeczyiście, to uproszczenie jest tutaj bardzo znaczne, bo siła T przekroju 3π/4 daje już zeroe osiadanie ξ=0, a może dać doolny moment (i tak ma być!); czyli druga siła jest już niepotrzebna od razu zatem idać, że T = 0 i ystarczy znaleźć T z arunku momentó. A zatem: -T L W e -3π/4 [sin(3π/4)-cos(3π/4)]/4 = M o/, czyli T = - M o e 3π/4 (L W) Roziązaniem zadania dla ξ > 0 jest po prostu y(ξ) = - M o e 3π/4 (L W) - (BCL W) - e -(3π/4ξ) [cos(3π/4ξ)sin(3π/4ξ)] = = M o (BC) - (L W) - e -ξ sin(ξ).. Oczyiście przyjmujemy po leej stronie y(-ξ) = -y(ξ), dla ξ > 0. Pytanie kontrolne: czy poprana byłaby noa metoda Bleicha dla belek skończonych, stosująca 4 fikcyjne obciążenia momentoe M i na bazie poyższego roziązania zamiast 4 sił pionoych T i? Odpoiedź: Tak. Obciążenia na fikcyjnej części belki mogą być całkiem doolne, rónież np. trzy siły skupione oraz jedno obciążenie momentem skupionym itd. Ostateczne roziązanie na całej długości belki skończonej będzie identyczne jak tradycyjnej metodzie Bleicha, bo spełnia ono to samo rónanie różniczkoe E-B i te same arunki brzegoe; tierdzenie o jednoznaczności roziązania rónania różniczkoego mói, że takie roziązanie jest tylko jedno, obojętnie jak się do niego dojdzie.

3 3 L C 0 H y(ξ) ξ Przykład : Pal umieszczony ośrodku sprężystym jest modeloany za pomocą belki na podłożu Winklera. Zakładamy, że parametr C = const. Jeżeli pal jest bardzo długi (L > 3 4 L W), to można przyjąć, że belka jest jednostronnie nieskończona, tj. 0 ξ. Należy roziązać tę belkę. Roziązanie Aby roziązać belkę ystarczy znaleźć linię ugięcia y(ξ) e spółrzędnych bezymiaroych ξ = x/l W 0, ponieaż ynikają stąd szystkie poszukiane ielkości statyczne: r(x) = B C y(x) = B C y(ξ).. reakcja [kn/m] ϕ(x) = dy(x)/dx = dy(ξ)/dξ /L W.. kąt obrotu [rad] M(x) = -EI d y(x)/dx = -EI d y(ξ)/dξ / (L W).. moment zginający [knm] Q(x) = -EI d 3 y(x)/dx 3 = -EI d 3 y(ξ)/dξ 3 / (L W) 3.. siła poprzeczna [kn]. Należy przyjąć następujące arunki brzegoe dla ξ = 0 : M(00) = 0, Q(00) = -H. Dla ξ szystkie ielkości statyczne muszą być zeroe. I sposób na podstaie roziązania ogólnego dla nieobciążonej części belki:. Roziązanie musi być postaci y(ξ) = C e -ξ cosξ C e -ξ sinξ C 3 e ξ cosξ C 4 e ξ sinξ.. Ze zględu na arunek dla ξ dla belki półnieskończonej jest C 3 = 0 oraz C 4 = Warunek M(00) = 0 daje: d y(ξ)/dξ = C e -ξ sinξ - C e -ξ cosξ = 0 dla ξ = 0, czyli C = 0 4. Warunek Q(00) = -H daje: d 3 y(ξ)/dξ 3 = C (-) e -ξ sinξ C e -ξ cosξ = H (L W) 3 /EI dla ξ = 0 5. Stąd C = H (L W) 3 /( EI) = H/(B C L W) i roziązanie jest zakończone. 6. W szczególności, poziome przemieszczenie głoicy pala ynosi y(0) = C = H/(B C L W). IIa sposób tradycyjna metoda Bleicha:. Dla belki półnieskończonej potrzebne są die siły fikcyjne: siła T odległości ξ = π/4 na leo od siły H, która nie zmienia M(0), ale koryguje Q(0), siła T odległości ξ = π/ na leo od siły H, która nie zmienia Q(0), ale koryguje M(0).. Łączne działanie siły rzeczyistej H oraz sił fikcyjnych T, T daje da rónania dla przekroju ξ = 0 belki dustronnie nieskończonej: M(0) = -H L W/4 e -0 (sin0-cos0) T L W/4 e -π/4 (sinπ/4-cosπ/4) T L W/4 e -π/ (sinπ/-cosπ/) = 0, ięc T = H e π/ Q(00) = -H/ e -0 cos0 T / e -π/4 cosπ/4 T / e -π/ cosπ/ = -H, ięc T = H e π/4. 3. Stąd: y(ξ) = H/(BCL W) e -ξ (cosξ sinξ) H e π/4 /(BCL W) e -(ξπ/4) [cos(ξπ/4) sin(ξπ/4)] H e π/ /(BCL W) e -(ξπ/) [cos(ξπ/) sin(ξπ/)] =... = H/(B C L W) e -ξ cosξ, jeśli uzględnić, że cos(ξπ/4) sin(ξπ/4) = cosξ oraz cos(ξπ/) sin(ξπ/) = -sinξ cosξ. IIb sposób odmiana metody Bleicha (dla spostrzegaczych). W roziązaniu podstaoym, siła H daje przekroju ξ = 0±0 belki dustronnie nieskończonej skok artości siły poprzecznej Q(0-0) = H/, Q(00) = -H/, czyli jest dokładnie razy za mało punkcie 00. Zamiast siły H należy zatem ziąć tym przekroju siłę P = H, co da Q(00) = -H. Dla gruntó niespoistych zazyczaj lepszym założeniem jest przyjęcie linioego zrostu C z głębokością. Ten zrost sztyności z głębokością ynika ze zrostu naprężeń od ciężaru łasnego ośrodka; szczegóły następnym przykładzie.

4 . Teraz ystarczy skorygoać M(0) do zera nie naruszając już spełnionego arunku na siłę Q. Można to osiągnąć za pomocą jednej siły fikcyjnej T umieszczonej odległości ξ = π/ na leo od siły P. Z arunku na M(0) otrzymuje się T = H e π/. 3. Stąd: y(ξ) = H/(BCL W) e -ξ (cosξ sinξ) H e π/ /(BCL W) e -(ξπ/) (cos(ξπ/) sin(ξπ/)) = = H/(B C L W) e -ξ cosξ, ponieaż sin(ξπ/) = cosξ, cos(ξπ/) = -sinξ. IIc sposób tradycyjna metoda Bleicha, ale jeszcze dużo prościej:. Właściie IIa i IIb rozpatryanie siły H lub H przekroju ξ = 0 jest niepotrzebną komplikacją, bo można ją osiągnąć od razu za pomocą co najyżej dóch sił fikcyjnych, jak moment M o/ Przykładzie, czyli: M(0) = -T L W/4 e -π/4 (sinπ/4-cosπ/4) T L W/4 e -π/ (sinπ/-cosπ/) = 0, ięc T = 0 Q(00) = -T / e -π/4 cosπ/4 T / e -π/ cosπ/ = -T / e -π/4 cosπ/4 0 = -H, ięc T = H e π/4.. Zadanie można zatem roziązać za pomocą jednej jedynej siły fikcyjnej a nie 3 sił (jak IIa) lub sił (jak IIb); tę metodę należy rekomendoać jako najprostszą. Stąd po prostu: y(ξ) = H e π/4 /(BCL W) e -(ξπ/4) [cos(ξπ/4) sin(ξπ/4)] = H/(B C L W) e - ξ cosξ, jeśli uzględnić, że cos(ξπ/4) sin(ξπ/4) = cosξ. Ciekay niosek, tylko pozornie zaskakujący: die siły fikcyjne T i są inne niż IIa oraz IIb (choć tych samych odległościach), a roziązanie jest całkiem to samo na całej półprostej ξ 0; nic dzinego, bo z tierdzenia o jednoznaczności roziązania rónania różniczkoego zyczajnego ynika, że jeśli funkcja: ) spełnia to rónanie (a spełniają je roziązania dla doolnej siły skupionej, bo metodzie Bleicha są to tz. roziązania podstaoe, ich suma też spełnia, bo rónanie jest linioe), ) oraz spełnia arunki na brzegu, to takie roziązanie jest tylko jedno na całym nieobciążonym. 4

5 5 EI,B,L H C(x) x y Przykład 3: roziązać belkę o skończonej długości na podłożu Winklera, dla którego parametr C jest rosnącą funkcją zmiennej x > 0, np. C(x) = m x, albo C(x) = C o m x n x, itp. Uaga: tego typu zagadnienia po obróceniu o 90 o jak na rysunku obok - mogą mieć zastosoanie do obliczania pionoego pala obciążonego siła poziomą H przypadku, gdy sztyność podłoża rośnie z głębokością x > 0, co ma zazyczaj miejsce gruntach niespoistych. Stosuje się metodę znacznie bardziej uniersalną niż Przykładzie rozijanie roziązania szereg potęgoy. Głóne etapy roziązania są następujące.. Każdą ciągłą funkcję na skończonym odcinku można doolnie dokładnie przybliżać ielomianami (tierdzenie Weierstrassa). Niech tą funkcją będzie oś odkształcona y(x)= Σ a i x i. Przez jej różniczkoanie otrzymuje się pozostałe ielkości, głónie M(x), Q(x).... Na odcinku nieobciążonym oś belki spełnia jednorodne (q 0 = 0) rónanie różniczkoe E-B, tj. EI d 4 y(x)/dx 4 = BC y(x), gdzie B = const, EI = const. 3. Jeśli y(x) jest ielomianem i C(x) też jest ielomianem, to należy zróżniczkoać czterokrotnie ielomian y(x) = Σ a i x i yraz po yrazie, pomnożyć y(x) przez ielomian C(x) i końcu porónać szystkie spółczynniki przy tych samych potęgach x i z leej oraz z praej strony rónania E-B. 4. Przykład: C(x) = m x, gdzie m = const > 0: Niech L Z = [EI/(mB)] /5 oraz ξ = x / L Z. Wtedy y(ξ) = Σ α i ξ i =α o α ξ α ξ α 3 ξ 3..., gdzie α i = a i (L Z) i. W p.5 zastosujemy metodę z p.3 do przekształconego rónania E-B, które dla spółrzędnej bezymiaroej ξ ma postać d 4 y(ξ)/dξ 4 = ξ y(ξ). 5. Od razu idać, że α 4 = 0 (dlaczego?). Po przekształceniach otrzymuje się dalej ziązki rekurencyjne α i4 = α i i! / (i4)! dla i =,,3, Wszystkie spółczynniki rozinięcia funkcji y(ξ) są ięc znane, z yjątkiem α o, α, α, α 3. Te cztery brakujące spółczynniki określa się znając 4 arunki brzegoe na końcach belki, po da na każdym końcu. Uaga: trochę podobnie postępuje się dla belek na półprzestrzeni sprężystej (Gorbuno-Posado), ale na półprzestrzeni sprężystej komplikacje są znacznie iększe. XIX ieku roziązano podobny sposób bardzo iele nietryialnych zagadnień fizyki matematycznej (tj. rónania różniczkoe o zmiennych spółczynnikach); obecnie metoda ta jest nadal atrakcyjna i skuteczna dzięki spomaganiu obliczeniami symbolicznymi (Mathematica i in.)

6 6 Uagi nt. obliczania rusztó i płyt na podłożu linioo odkształcalnym A. Model Winklera 3 Kilka przypadkó można roziązać analitycznie (cienka płyta kołoa obciążona pionoo środku, skończona lub nieskończona), Najczęściej stosuje się proste metody numeryczne, np. metodę różnic skończonych. Wydaje się, że sporo ponad ¾ szystkich płyt fundamentoych zaprojektoano i projektuje się oparciu o model Winklera (!); niektóre komercyjne programy komputeroe dużo piszą o półprzestrzeni sprężystej, ale jak się temu dokładnie przyjrzeć, to stosują jednak prosty model Winklera ze spółczynnikiem podłoża k z [kn/m 3 ]. B. Model półprzestrzeni sprężystej W zasadzie tylko jeden przypadek można roziązać analitycznie: sztyną płytę kołoą, Dla arsty i półprzestrzeni sprężystej najczęściej stosuje się MES lub MEB. C. Metody (bardzo) uproszczone tylko jako piersze przybliżenie!. Dla bardzo sztynych fundamentó rozkład reakcji podłoża Winklera jest linioy; należy jednak dokładnie przeanalizoać, czy model Winklera jest danej sytuacji odpoiedni! q = qśr reakcja półprzestrzeni sprężystej pod łaą ykazuje koncentracje okolicach kraędzi fundamentu; q = qśr (±0,5),5,0,0,5,0 0,50 0,50,0,0 0,50 0,50,0,5,0,0,5 orientacyjnie, do stępnego ymiaroania można bezpiecznie przyjmoać redystrybucję średnich oddziałyań podłoża na poziomie ±5% na ydzielonych 4 ćiartkach szerokości łay. reakcja półprzestrzeni sprężystej pod kadratoą stopą ykazuje koncentracje okolicach naroży fundamentu; orientacyjnie, do stępnego ymiaroania można bezpiecznie przyjmoać redystrybucję średnich oddziałyań podłoża na poziomie ±50% na z 6 ydzielonych segmentó obliczenioych stopy Dla regularnych siatek słupó o podobnych obciążeniach x y Rozdziela się kierunki x oraz y. W tym celu płytę rzutuje się na da kierunki a następnie roziązuje się die niezależne belki o sztynościach: EI = ELh 3 /... daje reakcję podłoża r B(x) [kn/m] EI = EBh 3 /... daje reakcję podłoża r L(y) [kn/m]. Obciążenia P ij są sumoane zdłuż odpoiednich osi: kierunku podłużnym P Bi = Σ P ij (sumoać po j) kierunku poprzecznym P Lj = Σ P ij (sumoać po i). 3 jest obszerna literatura na ten temat BI-0 (BB t.ix, Dembicki, Noacki, Kączkoski, Selvadurai i in.) 4 redystrybucję reakcji podłoża można oszacoać stosując metodę podaną na ykładzie: dzieli się podstaę fundamentu na odrębne segmenty i różnicuje ich obciążenia (rónomierne na każdym segmencie) celu yrónania średnich osiadań segmentó (bo fundament jest sztyny i szystkie segmenty muszą osiadać tyle samo); redystrybucja oddziałyań ynika ięc z płyu sąsiadó złaszcza najbliższych segmentó.

7 Do ymiaroania przyjmuje się reakcję podłoża kpa rb ( x) rl ( x) r( x, y ) = P i j ij Dla ydłużonych płyt prostokątnych i regularnej siatki słupó metoda ta daje stosunkoo dobre yniki. 7 Ćiczenie: procedura rozdzielania kierunkó zastosoana na górnej poierzchni prostokątnego fundamentu (gdzie siły są znane i łato je porónać) daje tutaj małe błędy: 00x650/350 = , 0x650/350 = , 300x650/350 = , 00x70/350 = , 0x70/350 = , 300x70/350 =