Zarys metody szacowania trwałości elementów lub zespołów urządzeń z zachowaniem wymaganego poziomu niezawodności

Transkrypt

1 Dr hab. inż. Mariusz ZIEJA Insyu Techniczny Wojsk Loniczych ul. Księcia Bolesława 6, -494 Warszawa 96 Dr inż. Mariusz WAŻNY Wyział Mecharoniki i Lonicwa Wojskowa Akaemia Techniczna ul. Kaliskiego, -98 Warszawa 49 mwazny@wa.eu.pl Dr inż. Sławomir STĘPIEŃ Wyział Mecharoniki i Lonicwa Wojskowa Akaemia Techniczna ul. Kaliskiego, -98 Warszawa 49 ssepien@wa.eu.pl Zarys meoy szacowania rwałości elemenów lub zespołów urzązeń z zachowaniem wymaganego poziomu niezawoności Słowa kluczowe: niezawoność, rwałość, funkcja gęsości san opuszczalny, sarzenie, zużywanie Sreszczenie: Praca zawiera probabilisyczną meoę oceny rwałości elemenów lub zespołów urzązeń pracujących w warunkach oziaływania procesów esrukcyjnych. W wyniku ziałania ychże procesów nasępuje zużywanie powoujące pogorszenie warunków ich współpracy. Przyjmuje się, że elemen pracuje niezawonie, gy zużycie nie przekracza warości opuszczalnych (granicznych). Meoa o srony maemaycznej bazuje na równaniu różnicowym z kórego po przekszałceniu orzymuje się równanie różniczkowe cząskowe ypu Fokkera-Plancka. Z rozwiązania szczególnego ego równania orzymuje się funkcję gęsości prawopoobieńswa zużywania w posaci rozkłau normalnego. W pracy przesawione są wa sposoby wyznaczania rwałości. Pierwszy polega na wykorzysaniu funkcji gęsości zużywania a rugi na wyznaczeniu funkcji gęsości prawopoobieńswa czasu osiągania sanu opuszczalnego i zasosowanie jej o wyznaczenia rwałości elemenu lub zespołu. W pracy przesawiono przykła liczbowy oyczący procesu eksploaacji echniki loniczej.. Wsęp W osępnej lieraurze można znaleźć szereg prac, kóre pokazują problem wpływu śroowiska zewnęrznego, procesów sarzenia i zużywania na funkcjonowanie sysemu echnicznego [4,9,3,6,7,]. Ze wzglęu z na zaawansowanie echniczne i uży sopień inegracji urzązeń wykorzysywanych na pokłazie wojskowych saków powierznych opracowanie opymalnych moeli eksploaacji jes zaaniem skomplikowanym. Niezwykle użyeczne w ym obszarze są meoy oceny niezawoności i rwałości urzązeń loniczych bazujące na zmianie paramerów iagnosycznych [6,7,8,,5,].

2 Niniejsza praca zawiera probabilisyczną meoę oceny rwałości elemenów i zespołów urzązenia pracującego w warunkach oziaływania procesów sarzeniowych (korozyjnych, zużyciowych i innych) w urzązeniach saku powierznego [5,8.9]. San echniczny niekórych urzązeń loniczych można oceniać przy pomocy paramerów iagnosycznych. Ocena a wymaga znajomości granicznych (opuszczalnych) warości la kórych uznaje się, że urzązenie lub zespół jes w sanie zaności o użycia. W proponowanym moelu oceny rwałości przyjmuje się nasępujące założenia: san echniczny urzązenia określa się jenym paramerem iagnosycznym z w posaci ochyłki parameru o warości nominalnej, norm z X X, () gzie: X warość bieżąca parameru iagnosycznego, X norm warość nominalna parameru iagnosycznego; zmiana warości ochyłki parameru iagnosycznego nasępuje w całym okresie eksploaacji (pracy i posoju); paramer z jes niemalejący, ponieważ określony jes przez warość bezwzglęną różnicy warości bieżącej i warości nominalnej; prękość narasania ochyłki parameru iagnosycznego można w przypaku zmian losowych opisać nasępującą zależnością: z c, () gzie: c zmienna losowa charakeryzująca poaność elemenu na zmiany sarzeniowe w zależności o jego cech i warunków pracy, czas kalenarzowy.. Meoa szacowania rwałości elemenu urzązenia z wykorzysaniem funkcji gęsości ochyłki parameru iagnosycznego.. Wyznaczenie funkcji gęsości ochyłki z uwzglęnieniem zależności () Dynamika zmian warości ochyłki z w ujęciu losowym scharakeryzujemy nasępującym równaniem różnicowym PU PU, (3) z, z z U z,, gzie: U, - prawopoobieńswo ego, że w chwili warość parameru iagnosycznego z przyjmuje warość z; P - prawopoobieńswo zarzenia, że wysępuje losowe zużywanie i w przeziale czasu o ługości warość ochyłki wzrośnie o warość z; z - przyros ochyłki. Dla przypaku, gy P= równanie (3) w zapisie funkcyjnym przyjmie posać: u z, uzz,. (4) Równanie (4) ma nasępujący sens: prawopoobieńswo ego, że w chwili + warość ochyłki bęzie równa z jes równe prawopoobieńswu ego, że w chwili warość ochyłki była równa z-z. Oznacza o, że z prawopoobieńswem równym jeności, w przeziale czasu o ługości, ochyłka wzrośnie o warość z.

3 Równanie (4) przekszałcamy w równanie różniczkowe cząskowe. W ym celu przyjmujemy nasępujące przybliżenia [,]: u z, u z, u z,, (5) u z, uz, u z z, u z, z z. (6) z z gzie: Wykorzysując (5) i (6) o równanie (4) przyjmuje nasępującą posać: uz, uz, uz, b a, (7) z z b E[c] - śreni przyros warości ochyłki parameru iagnosycznego na jenoskę czasu; a E[ c ] - śreni kwara przyrosu ochyłki parameru iagnosycznego na jenoskę czasu. Szukamy rozwiązania szczególnego równania (7) akiego, kóre przy jes zbieżna o zw. funkcji Diraca, j. u z, la z i u,, ale w en sposób, że całka funkcji u jes równa la wszyskich >. Rozwiązanie równania (7) la wyżej określonego warunku przyjmuje posać [3,,4]: zb A uz, e, (8) A gzie: B b b c, A a a c. Warość w olnych granicach całek oznacza przyjęą, począkową chwilę czasu, o kórej rozparujemy ynamikę zmian warości parameru iagnosycznego - może o być np. momen wprowazenia anego urzązenia o eksploaacji. Funkcję gęsości (8) narasania ochyłki parameru iagnosycznego można wykorzysać o oceny niezawoności elemenu rozparywanego urzązenia... Określenie niezawoności i rwałości elemenu lub zespołu urzązenia Dysponując określoną funkcją gęsości można zapisać zależność na niezawoność i rwałość ze wzglęu na czas narasania ochyłki parameru o warości granicznej. Wzór przyjmuje posać gzie: z z z R u, z, (9) u, - funkcja gęsości określona zależnością (8); z - opuszczalna warość ochyłki parameru iagnosycznego ze wzglęu na bezpieczeńswo; - czas kalenarzowy eksploaacji urzązenia. Na rysunku przesawiono schema przebiegu funkcji gęsości i sposobu określenia niezawoności oraz rwałości. 3

4 u(z,) n opuszczalne ryzyko przekroczenia warości z 3 Rys.. Schema zmian posaci funkcji gęsości z z Zależność (9) z uwzglęnieniem (8), przyjmuje posać: z z b a R e z () a Zakłaając minimalną, wymaganą warość niezawoności R można określić czas, po kórym niezawoność spanie poniżej wymaganego poziomu. Czas można rakować jako rwałość anego elemenu la żąanej, opuszczalnej warości niezawoności. W ym przypaku orzymujemy: z z b a R e z () a 3. Meoa szacowania rwałości z wykorzysaniem funkcji gęsości czasu przekroczenia sanu opuszczalnego (granicznego) 3.. Wyznaczanie rozkłau czasu przekraczania sanu opuszczalnego (granicznego) Prawopoobieńswo przekroczenia warości opuszczalnej (granicznej) przez paramer iagnosyczny z wykorzysaniem funkcji gęsości zmian ochyłki parameru iagnosycznego (8) można przesawić w posaci: zb a Q; z e z, () z a Funkcję gęsości rozkłau czasu pierwszego przejścia poza warość opuszczalną z przyjmuje posać: zb a f Q ; z e z. (3) z a Zaem, zb a f e z z. (4) a Przyjmując określenie (8) orzymujemy: 4

5 f uz, z. (5) z Ponao pochona po czasie funkcji (8) przyjmuje nasępującą posać z b a uz, uz,. (6) a Zależność (6) posawiono o (4) z b a f uz, z z a. (7) Szukamy eraz funkcji pierwonej la funkcji pocałkowej w zależności (7). Przewiujemy, że funkcja posaci: w z, uz, z,, jes funkcją pierwoną la funkcji pocałkowej zależności (7), gzie z, jes poszukiwaną, nieznaną funkcją. Czyli z b a uz, z, uz,, z a Po przekszałceniach uzyskujemy nasępujące równanie: z, zb z b a z,. (8) z a a Równanie jenorone: z, zb z,. z a Rozwiązanie równania jenoronego: z bz a z Ce,, o gzie: C - sała owolna Przewiywane rozwiązanie szczególne równania niejenoronego ma posać: zb z, s Sprawzono, że powyższe rozwiązanie spełnia równanie (8). Rozwiązanie ogólne równania niejenoronego: z bz zb z, a Ce, Czyli poszukiwana funkcja pierwona całki (7) ma posać: z bz zb a wz, uz, Ce, Zaem obliczając całkę (7) w poanych granicach orzymujemy f z bz z bz a a uz, Ce Cuz, e uz, C e a b a z u zb z zb z, uz, z z z b zb z. 5

6 z b f uz,. (9) Zależność (9) określa funkcję gęsości czasu pierwszego przejścia sanu opuszczalnego (granicznego) przez ochyłkę parameru iagnosycznego. Należy sprawzić, czy funkcja (9) jes funkcją gęsości czasu osiągnięcia sanu opuszczalnego (granicznego). Funkcja a ma posać: zb z b a f e. () a Funkcja () powinna spełniać warunek f. () Dla wykazania słuszności () przesawia się nasępujące uzasanienia z b z b a e. () a W celu obliczenia całki wysępującej we wzorze () sosujemy nasępujące posawienie: z b a w w. (3) a z b Przekszałcenie granic całkowania w H z b b a. (4) wlim lim a a Po posawieniu o wyjściowej całki orzymujemy: z b w w z b a e e w e w. (5) a Powyższa całka jes całką z rozkłau normalnego N(,) w granicach o o i jes równa jeności. Na ej posawie można swierzić, że: z b w z b a e e w. (6) a 3.. Ocena rwałości wybranych elemenów konsrukcji saku powierznego z wykorzysaniem rozkłau czasu osiągania sanu opuszczalnego Wzór na niezawoność elemenu konsrukcyjnego saku powierznego przyjmuje posać: gzie funkcja gęsości R 6 f, (7) f określona jes wzorem (9). Naomias, zawoność elemenu konsrukcyjnego saku powierznego można wyznaczyć z zależności z b z b a Q e. (8) a Całkę wysępującą w zależności (7) oraz (8) należy przekszałcić o ogoniejszej posaci:

7 z b w w e e a a z b w w z b a z b b z a w z b a a w Po zamianie granic całowania orzymujemy b z b a e e a zb lub w z Niezawoność anego elemenu przyjmie posać: w R e w, (3) zb zb a w R e a a w (9) w. (3) Całka wysępująca we wzorze (3) jes warością ysrybuany rozkłau normalnego N(,) la argumenu wysępującego w górnej granicy całkowania. Ponownie zakłaając wymaganą, minimalną warość niezawoności R możemy wyznaczyć rwałość. zb a w R e w. (3) Skorzysanie w obliczeniach ze wzoru () lub (3) wymaga oszacowania warości współczynników a oraz b. Oszacowania ego okonuje się na posawie anych uzyskanych z procesu eksploaacji saku powierznego. 4. Przykła liczbowy W celu określenia rwałości rozparywanego elemenu należy wyznaczyć (oszacować) warości sałych a oraz b. W ym celu przyjmujemy, że z obserwacji baanego urzązenia w procesie eksploaacji posiaamy ane o narasaniu warości ochyłki parameru iagnosycznego w posaci z,, z,, z,,..., z n, n. (33) Najlepszą meoą o wyznaczania warości b i a la posiaanych anych jes meoa wykorzysująca funkcję wiarogoności. Jej posać w ogólnym przypaku możemy przesawić jako zależność: L n k g k, z k,,,...,, (34) m gzie: g k, z k,,,..., m funkcja gęsości prawopoobieńswa całkowiego zmiennej z;,,..., m paramery funkcji gęsości; z pomierzone warości zużycia parameru z opowienio k w chwilach czasu,...,, k. 7

8 Znalezienie oszacowań,,..., nieznanych paramerów,,..., meoą m m największej wiarogoności sprowaza się o rozwiązania równań posaci: lnl, (35) gzie: j=,,,m; m - liczba paramerów charakeryzujących proces zużycia anego obieku echnicznego. W ym przypaku oszacowanie b i j a nieznanych paramerów b i a meoą największej wiarogoności sprowaza się o rozwiązania ukłau równań: lnl b. (9) lnl a Rozwiązując ukła równań (9) znajujemy b i a. n k z b n, (36) n z z b k k k k a. (37) n k k Elemenem, kóry zosał wybrany o przykłau liczbowego jes baeria lonicza -SAM-8. Na rysunku przesawiono zmianę w czasie uśrenionej pojemności akumulaorów la ysponowanych anych. 8,5 8 pojemność [Ah] 7,5 7 6,5 6 5,5 [miesiące] Rys.. Przebieg zmian uśrenionej pojemności baerii -SAM-8 8

9 Za paramer iagnosyczny z przyjęo, zgonie z zależnością () warość bezwzglęną z różnicy pojemność i jej warości nominalnej. Zmiana w czasie parameru z zosała przesawiona na rysunku 3.,5 z [Ah],5,5 [miesiące] Rys. 3. Zmiana w czasie parameru z la baerii -SAM-8 Posiaając zaem ane opisujące warości parameru iagnosycznego w posaci z,, z,, z,,..., z, n n, w oparciu o wzory (36) i (37) wyznaczono warości współczynników funkcji gęsości: b,9, a,5. (38) Paramer z określono posiłkując się okumenacją echniczną wykorzysywaną o realizacji prac obsługowych, w kórej zamieszczono informację o warości opuszczalnej pojemności akumulaorów. Dysponując zaem warościami paramerów b, a, z posawiono je o równań () lub (3) wyznaczając zależność czasu o prawopoobieńswa R - rysunek 4. W obu przypakach (zależność () lub (3)) uzyskano en sam przebieg. 9

10 4 [miesiące] R [-],,4,6,8 Rys. 4. Zależność prognozowanej rwałości o niezawoności R Zakłaając minimalną warość niezawoności R =,99 wyznaczono czas, o kórego z założonym prawopoobieńswem ochyłka parameru iagnosycznego nie przekroczy sanu granicznego: T=63 [miesiące] (39) Orzymaną warość (39) można wykorzysać w obsłuze echnicznej w zależności o przyjęej sraegii obsługi. W oparciu o powyższą meoykę można wyznaczyć kolejne okresy w kórych należy przeprowazić konrolę parameru iagnosycznego urzązenia [5,]. 5. Uwagi końcowe W niniejszym opracowaniu przesawiono zarys meoy szacowania rwałości elemenów lub zespołów gy prękość narasania zmian miała charaker losowy. Jenak sposób ej zmiany był opisany nasępującą, prosą zależnością z c, gzie c była zmienną losową określającą możliwość wzrosu ochyłki parameru. Isnieje możliwość uogólnienia ej meoy gy prękość narasania ochyłki bęzie opisywana nasępującymi zależnościami: z cz, (4) z c. (4) W pierwszym przypaku prękość narasania zmian bęzie miała charaker losowy zbliżony o wykłaniczego. W rugim przypaku charaker narasania zmian bęzie zbliżony o inensywności uszkozeń w rozkłazie Weibulla.

11 Reasumując, można swierzić, że przesawiona meoa wyaje się być poprawna i słuszna oraz pozwala na przeprowazenie analizy sanu echnicznego urzązenia ze wzglęu na charaker zmian warości paramerów iagnosycznych. Przesawiony przykła obliczeniowy pozwolił na przeprowazenie weryfikacji opracowanego moelu oraz uwypuklił aplikacyjne walory opracowanej meoy. Meoa a może być przyana w alszych pracach na usprawnieniem zarówno procesu eksploaacyjnego jak i sposobu wykorzysania saków powierznych z użyciem jego sysemów pokłaowych, pozwalając na określenie czasu przebywania urzązenia w sanie zaności. Ponao z uwagi na swój uniwersalny charaker przesawiona meoa, może z powozeniem być zasosowana o określania rwałości reszkowej owolnego obieku echnicznego, kórego san echniczny określany jes na posawie analizy warości paramerów iagnosycznych. Przesawiona meoa w niniejszym arykule może być alej oskonalona i rozszerzona na inne przypaki narasania losowych zmian ypu wykłaniczego. Wyaje się, że może być wykorzysana o oceny niezawoności elemenów mechanicznych, w przypaku rozparywania propagacji pęknięć zmęczeniowych w elemenach poanych losowemu obciążeniu i zasosowaniu wzoru Parisa o określenia prękości pękania. LITERATURA. DeLurgio SA. Forecasing principles an applicaions. Universiy of Missouri-Kansas Ciy: Irwin/McGraw-Hill, Franck TD. Nonlinear Fokker-Planck Equaions. Funamenals an Applicaions. Berlin Heilenberg: Springer-Verlag, Grasman J, Herwaaren OA. Asympoic Mehos for he Fokker-Planck Equaion an he Exi Problem in Applicaions. Berlin Heilenberg: Springer-Verlag, Iziaszek Z, Grzesik N. Objec characerisics eerioraion effec on ask realizabiliy ouline meho of esimaion an prognosis. Eksploaacja i Niezawonosc Mainenance an Reliabiliy 4; 6 (3): Kinnison H, Siiqui T. Aviaion Mainenance Managemen. The McGraw-Hill Companies, Inc Knopik L, Migawa K. Muli-sae moel of mainenance policy. Eksploaacja i Niezawonosc Mainenance an Reliabiliy 8; (): Knopik L, Migawa K, Wzięczny A. Profi opimizaion in mainenance sysem, Polish Marime Research, 6, (89): Kołowrocki K, Soszyńska Buny J. Reliabiliy an Safey of Complex Technical Sysems an Processes. Springer. 9. McPherson JW. Reliabiliy physics an engineering. New York: Springer,.. Narayan V. Effecive Mainenance Managemen. New York: Inusrial Press Inc.,.

12 . Pham H. Hanbook of Engineering Saisics. Lonon: Springer-Verlag 6.. Rasuo B., Duknic G. Opimizaion of he aircraf general overhaul process. Aircraf engineering an aerospace echnology 3; 85 (5): Resel F. The Markov reliabiliy an safey moel of he railway ransporaion sysem. Safey an reliabiliy: mehoology an applicaions: proceeings of he European Safey an Reliabiliy Conference, ESREL 4, 4-8 Sepember, 5, Wrocław, Polan. CRC Press/Balkema: Risken H. The Fokker-Planck Equaion. Mehos of Soluion an Applicaions. Berlin Heilenberg: Springer Verlag, Tan CM, Singh P. Time evoluion egraaion physics in high power whie LEDs uner high emperaure-humiiy coniions. IEEE Transacions on Device an Maerials Reliabiliy 4; 4(): Ułanowicz L. Moelling of a process, which causes ahesive seizing (acking) in precise pairs of hyraulic conrol evices. Eksploaacja i Niezawonosc Mainenance an Reliabiliy 6; 8 (4): Valis D, Koucky M, Zak L. On approaches for non-irec eerminaion of sysem eerioraion. Eksploaacja i Niezawonosc Mainenance an Reliabiliy ; : Wang P, Tang Y, Baeb SJ, He Y. Bayesian analysis of wo-phase egraaion aa base on change-poin Wiener process. Reliabiliy Engineering & Sysem Safey 8; 7: Wang YS, Zhang CH, Zhang SF, Chen X, Tan YY. Opimal esign of consan sress accelerae egraaion es plan wih muliple sresses an muliple egraaion measures. Proceeings of he Insiuion of Mechanical Engineers, Par O: Journal of Risk an Reliabiliy 5; 9(): Woch M. Reliabiliy analysis of he PZL-3 Orlik TC-II aircraf srucural componen uner real operaing coniions. Eksploaacja i Niezawonosc Mainenance an Reliabiliy 7; 9 (): Zurek J, Tomaszek H. Zieja M. Analysis of srucural componen's lifeime isribuion consiere from he aspec of he wearing wih he characerisic funcion applie. Safey, reliabiliy an risk analysis: Beyon he horizon. Amseram: Balkema 4,