WIELOMIANOWA GENERACJA DANYCH W ANALIZIE FALKOWEJ

Transkrypt

1 Studia Ekoomicze. Zezyty Naukowe Uiwerytetu Ekoomiczego w Katowicach ISSN Nr Moika Hadaś-Dyduch Uiwerytet Ekoomiczy w Katowicach Wydział Ekoomii Katedra Metod Statytyczo-Matematyczych w Ekoomii moika.dyduch@ue.katowice.l WIELOMIANOWA GENERACJA DANYCH W ANALIZIE FALKOWEJ Strezczeie: Celem badaia jet ocea wływu zarooowaej metody geeracji dodatkowych elemetów zeregu a dokładość rogozy. Geerowae dodatkowe elemety zeregu łużą do wyzaczeia wółczyików z których wyzacza ię wółczyiki traformaty falkowej a ierwzym oziomie rozdzielczości falki. Celem ocey wielomiaowej metody rozzerzeia daych wykoao redykcję zeregu rezetującego toę bezrobocia ańtw trefy euro. Otrzymae wyiki zetawioo z bardziej trywialymi metodami geeracji dodatkowych elemetów w traformacie falkowej Słowa kluczowe: falki aaliza falkowa traformata falkowa redykcja. Wrowadzeie Koieczość rozzerzeia zeregu daych wejściowych do wyzaczeia wółczyików falkowych ojawia ię w rzyadku filtrów których długość L jet więkza od. Wyika to z tego że rzy obliczaiu wółczyików rozwiięcia falkowego dla otatich elemetów ygału kończoego filtr teoretyczie owiie wyjść oza ygał. Nie jet to możliwe. Itieją różorode ooby rozwiązaia tego roblemu. Jedym ze oobów jet zeregu. W zależości od zatoowaej metody rozzerzeia zeregów uzykujemy róże błędy redykcji. Celem artykułu jet ocea wływu zarooowaej metody geeracji dodatkowych elemetów zeregu a dokładość końcowej wartości rogozy zeregu.

2 Wielomiaowa geeracja daych w aalizie falkowej Zdefiiowaie falki Falka to fukcja f o atęujących właściwościach [Przelakowki ]: f L (R) czyli eergia f jet kończoa: f ( t) dt < wartość średia f wyoi zero tj. f ( t) dt = waruki te wymuzają co ajmiej kilka ocylacji F( ω) alteratywie do a) i b): d ω <. ω Waruki a) i b) oraz c) ą rówoważe jeśli f zaika zybciej iż 1 t dla t. Wśród odtawowych cech falek możemy wyróżić: ilie wyróżioa jet lokalizacja w czaie tj. fukcja jet lokala ośik (zbiór iezerowych wartości) jet zwarty (czyli domkięty i ograiczoy) i ieuty ośik jet rawie zwarty (widmo czętotliwościowe ma zwarty ośik) kztałt rzyomia gaące obudzeie ośrodka tj. falę z gaącymi amlitudami kolejych ocylacji oddalających ię od zaburzeia cetralego [Przelakowki ].. Rozzerzeie zeregu daych Szereg wejściowy daych zaiujemy jako: L 1 (1).1. Metoda wielomiaowa Główe zeregu daych metodą wielomiaową możemy zaiać atęująco: L + 1 () a krótkie zaiujemy jako koię dwóch ierwzych elemetów zeregu wejściowego tj.: 1 Całkowite zeregu wówcza ma otać: L

3 44 Moika Hadaś-Dyduch Zatem otrzymujemy owy zereg rozzerzoy odowiedio w touku do wejściowego zeregu: L L (3) Aby moża było rzytąić do wyzaczeia wółczyików traformaty falkowej ależy w ierwzej kolejości wyzaczyć brakujące elemety zeregu (3). Przyjmując że: = otrzymujemy rówaie z którego moża wyzaczyć otati elemet główego rozzerzeia zeregu: = Z wielomiau [zob. Nievergelt 1]: ( r) = + ( r [ 1]) + 3( r [ rzy warukach: mamy: Zatem: 1 ( r [ 1])( r [ ])( r [ ( 1) = ( ) = ( ) = + 1 ( 1) = ( ) = 1 ( + 1 ) = = = ( ) = = ( + 1) 1])( r [ ]) + 1]) ( + 1) 1 + k : = ( k) k [ + ] 1 (4) (5) (6) (7) (8) (9) (1) (11) (1) (13) (14)

4 Wielomiaowa geeracja daych w aalizie falkowej 45.. Metody alteratywe Przyjmujemy że: L 1 = 1 1 Wśród alteratywych zdecydowaie bardziej aiwych metod rozzerzeia zeregu daych wejściowych do wyzaczeia wółczyików falkowych moża m.i. zarooować atęujące ooby: metoda 1: 1443 L L 1 (15) metoda : 1443 L L 1 1 (16) metoda 3: (17) rozzerze ie zeregdaych metoda 4: L L L rozzerze ie 13 1 krótkie (18) Przykładowo dla zeregu cztero-elemetowego: 3 : = mamy: metoda 1: metoda :

5 46 Moika Hadaś-Dyduch metoda 3: metoda 4: krótkie krótkie 3. Aaliza emirycza Badaie rzerowadzoo dla zeregu czaowego rezetującego bezrobocie ańtw trefy euro. Dae dotyczą lat ((EA11- EA1-6 EA13-7 EA15-8 EA16- EA17-13 EA18-14 EA19) średia rocza tyiąc oób). Dae dotyczące liczby oób bezrobotych w trefie euro wykorzytae do imlemetacji obrao z bazy Eurotat Dae i daych Jak wyżej womiao badaie rzerowadzoo dla daych roczych czyli a zeregu 17-elemetowym. Aaliza rzedtawioa w tym artykule ma a celu wkazaie ajlezego rozzerzeia zeregu a małej róbie która daje ajmiejzy błąd redykcji. Celem urozczeia oiu aalizy dzielimy zereg a krótze zachodzące a iebie zeregi. Przyjmujemy ubiektywie odział a zeregi 4-elemetowe. Wówcza otrzymujemy 15 owych zeregów. Pierwzy zereg 4-elemetowy kłada ię z atęujących wartości: 14 ; 13 53; 1 48; 11 6 (19) Zatem w otaci ogólej dla zeregu (19) możemy zaiać: krótkie Dae krótkie

6 Wielomiaowa geeracja daych w aalizie falkowej 47 Wartości 8 9 ą rówe odowiedio 1 czyli Z waruków (6) i (7) mamy: =. Zatem wartość 4 wyzaczoa z owyżzego wzoru wyoi odowiedio: 4 = 3 4 = = 196 Z rzyrówaia waruków (8) (9) mamy: = Zatem wartość 7 wyzaczoa z owyżzego wzoru wyoi odowiedio: 7 = 1 = = Pozotaje wyzaczyć brakujące wartości tj. 6 i 5. Podtawiając za liczbę oraz za k odowiedio liczbę 5 oraz 6 wyzaczamy z wielomia oiaego rówaiem (4) brakujące wartości 6 i 5 rzyjmując rzy tym: = 3 1 = = = 6 Zatem: oraz 6 = 133. Potęując aalogiczie wyzaczamy rozzerzeia ozotałych zeregów. Natęie wyzaczamy odowiedie wółczyiki falkowe. 3.. Predykcja Aalizę i redykcję zeregów czaowych moża orządzić różymi iekowecjoalymi metodami [Barczak 13; Hadaś-Dyduch 13 15a 15b 16a 16b; Przybylka-Mazur 13; Jaiga-Ćmiel 1]. Moża rówież do aalizy zeregów alikować metody dotychcza toowae w iych dziedziach. metody rooowae rzez A. Bierackiego [9]. Tety o-

7 48 Moika Hadaś-Dyduch rówujące dokładość rogoz wyzaczoych a odtawie różych modeli omówioo w racy A. Przybylkiej-Mazur [15]. W obecej racy do redykcji alikowao dość roty model którego główe zaady oiao oiżej. Autorki model zatooway do badaia kłada ię z kilku zaadiczych etaów. W ierwzej kolejości celem uzykaia dokładiejzych rogoz wyjściowy zereg czaowy dzieli ię a miejze jedotki zeregowe. Podział zeregu a miejze jedotki jet ubiektywy. Jedakże wcześiejze badaia dowodzą że ajlezy jet atęujący odział: y1 y y3 y4 y y3 y4 y5 y3 y4 y5 y owy zereg 1 owy zereg owy zereg 3 4 y5 y6 y7 y 5 y6 y7 y8 6 y7 y8 y9 y7 y8 y9 y1 y 8 y9 y y1 y9 y y1 y y y1 y y13 y1 y y13 y14 y1 y13 y14 y15 y14 y15 y16 y17 y15 y16 y17 y y13 y14 y15 y16 owy zereg 14 owy zereg 15 y y Każdy zereg utworzoy z zeregu główego jet traktoway jako oddziely zereg czaowy. W tym rzyadku dla każdego utworzoego 4-elemetowego zeregu alikujemy jedą z metod rozzerzeia zeregów. Natęie obliczamy odowiedie elemety rozzerzeń a w kolejym etaie wyzaczamy wółczyiki falkowe ierwzego oziomu rozdzielczości a jeżeli w badaiach zachodzi taka otrzeba to drugiego oziomu rozdzielczości itd. Skuieie wółczyików falkowych każdego 4-elemetowego zeregu i odowiadających im wartości rzeczywitych oraz wółczyików odwrotej traformaty falkowej ozwala orzez uczeie ztuczej ieci euroowej wygeerować wółczyiki traformaty falkowej dla otatiego 4-elemtowego zeregu czyli zeregu zawierającego rogozowaą wartość. Porzez alikację algorytmu odwrotej traformaty falkowej otrzymuje ię wartości zukaej rogozy. 4. Wyiki badaia Dae uwzględioe w badaiu ą daymi roczymi zatem redykcja może być wykoywaa tylko i wyłączie z czętotliwością roczą. Z uwagi a liczebość zbioru wejściowego 18 oberwacji redykcję wykoao tylko a jede i dwa okrey do rzodu gdyż wydaje ię ieuzaadioe rogozowaie a tak małej róbie bez zeregów koitegrowaych z zeregiem rogozowaym a dłużzy okre. Predykcja miałaby e rzy uwzględieiu dodatkowych czyi-

8 Wielomiaowa geeracja daych w aalizie falkowej 49 ków wływających a oziom zmieej rogozowaej. Jedakże w badaiu takiego zagadieia ie odjęto gdyż celem było wyłoieie ajlezej metody geeracji dodatkowych elemetów zeregu w eie miimalizacji błędu rogozy. W zależości od zatoowaej metody rozzerzeia zeregów uzykujemy róże błędy redykcji. Jedakże jak okazują dae zawarte w tab. 1 ajwiękzym błędem ą obarczoe rogozy z zatoowaymi metodami m od 1 do 4. Najmiejzym błędem jet obarczoa redykcja z alikacją metody wielomiaowej. Tabela 1. Wyiki badaia Okre Metoda rozzerzeia redykcji I II III IV WIELOMIANOWA 1 rok 11% 95% 5% 9% 44% lata 41% 5% 45% % 45% Podumowaie Aaliza rzedtawioa w tym artykule miała a celu wkazaie ajlezego rozzerzeia zeregu od względem wływu a wyik redykcji z wykorzytaiem aalizy falkowej. Przerowadzoe badaia w oób jedozaczy okazują że ajleze wyiki w eie miimalizacji błędów redykcji uzykuje ię orzez zatoowaie do geeracji dodatkowych daych metody wielomiaowe. W artykule ie dokoao orówaia wyików redykcji z iymi modelami oieważ celem badaia ie jet ocea i wybór ajlezego modelu redykcji ale ocea oraz wybór ajlezej metody geeracji dodatkowych daych w roceie traformaty falkowej. Literatura Barczak S. (13) Zatoowaie teorii zarych ytemów do rzewidywaia rzyzłych ofert kładaych a aukcjach ierwzej cey orzez ryzmat modelu zarego GM(1) Studia Ekoomicze. Zezyty Naukowe Uiwerytetu Ekoomiczego w Katowicach r 146. Bieracki A. (9) Numerical Evaluatio of the Radom Walk Search Algorithm [w:] Ma-Machie Iteractio Sriger Berli Heidelberg Hadaś-Dyduch M. (13) Progozowaie zeregów czaowych w oarciu o wółczyiki traformaty falkowej otymalizowae rzez ztuczą ieć euroową [w:] A.S. Barczak (red.) Metody matematycze ekoometrycze i komuterowe w fiaach i ubezieczeiach 9 Wydawictwo Uiwerytetu Ekoomiczego w Katowicach Katowice

9 5 Moika Hadaś-Dyduch Hadaś-Dyduch M. (15a) Progozy itrumetów fiaowych geerowae wółczyikami falkowymi z m Studia Ekoomicze. Zezyty Naukowe Uiwerytetu Ekoomiczego w Katowicach r Hadaś-Dyduch M. (16a) Ecoometric-wavelet Predictio i Satial Aect [w:] M. Paież S. Śmiech (ed.) The 1 th Profeor Alekader Zelia Iteratioal Coferece o Modellig ad Forecatig of Socio-Ecoomic Pheomea. Coferece Proceedig Foudatio of the Cracow Uiverity of Ecoomic Cracow Hadaś-Dyduch M. (15b) Predictio of Wavelet Aalyi [w:] Fiacial maagemet of Firm ad Fiacial Ititutio Proceedig (Part I.) 1th Iteratioal Scietific Coferece VSB-Techical Uiverity of Otrava Faculty of Ecoomic Deartmet of Fiace Otrava Czech Reublic Hadaś-Dyduch M. (16b) Wygładzaie falkowe jako kluczowy itrumet w redykcji krótkookreowej/aligmet Wavelete a Mai Itrumet i the Short-Time Term Predictio Hradec Ecoomic Day. Double-blid eer reviewed roceedig of the iteratioal cietific coferece Hradec Ecoomic Day 16 Uiverity of Hradec Králové Executive deartmet Faculty of Iformatic ad Maagemet Deartmet Jaiga-Ćmiel A. (1) Progoza fluktuacji koiuktury goodarczej Polki i wybraych krajów Uii Euroejkiej w latach 7- [w:] J. Mika (red.) Metody i modele aaliz ilościowych w ekoomii i zarządzaiu cz Nievergelt Y. (1999) Wavelet Made Simle Birkhauer Boto MA. Przelakowki A. () Falkowe metody komreji daych obrazowych rozrawa habilitacyja Oficya Wydawicza Warzawa. 6. Przybylka-Mazur A. (13) Wybrae metody rogozowaia wkaźika iflacji [w:] W. Szkutik (red.) Wybrae aekty modelowaia tatytyczego i aaliz zagadień ryku kaitałowego oraz ryku racy w kocecji zarządzaia ryzykiem Wydawictwo Uiwerytetu Ekoomiczego w Katowicach Katowice. Przybylka-Mazur A. (15) Selected Tet Comarig the Accuracy of Iflatio Rate Forecat Cotructed by Differet Method Statitic i Traitio Vol. 15 No POLYNOMIAL GENERATION DATA WAVELET ANALYSIS Summary: The aim of the tudy i to ae the imact of the rooed method for the geeratio of additioal elemet erie o the accuracy of the forecat. Geerated a umber of additioal elemet are ued to determie the coefficiet of which are determied coefficiet of wavelet traform o the firt level of reolutio wavelet. I order to ae the olyomial method of data exteio made redictio erie reetig the uemloymet rate of the euro area. The reult obtaied with the more trivial method of geeratio of additioal elemet i the wavelet traform. Keyword: wavelet wavelet aalyi wavelet traform redictio.