MN 09 wych. Trochę teorii. Wprowadzenie: wszystko jest Ax = b. Uwagi wstępne. Rozwiązywanie układów równań liniowych piłka nożna metod numerycznych
|
|
- Dagmara Szymańska
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Układy równań linio- MN 9 wych Część I Trochę teorii Wprowadzenie: wszystko jest Ax = b slajd Uwagi wstępne Rozwiązywanie układów równań liniowych piłka nożna metod numerycznych Większość zagadnień inżynierskich sprowadza się do przewidywania odpowiedzi projektowanego urządzenia na działanie zewnętrznych czynników b Układ A x Najprostsza sytuacja: mamy n czynników zewnętrznych b i, i = n, tyle samo parametrówx i chcemy wyznaczyć i zakładamy, że relacje pomiędzy nimi są najprostsze a x +a 2 ++a n x n = b a 2 x +a 22 ++a 2n x n = b 2 albo Ax = b a n x +a n2 ++a nn x n = b n slajd 2 Czy Ax = b zawsze da się rozwiązać? W MATLAB/Scilab wszystko jest (niby) proste ) wporowadz A i b; 2) A\b 3) Koniec?! Ścisła matematyka Jeżeli A =, brak jednoznacznego rozwiązania Przykłady: x + = x + = rozwiązań x + = x + = rozwiązań Realne życie Układ 7x + 5 = 22 7x + 5 = 22 w matematyce mamy rozwiązań w MATLABie/Scilabie jedno dokładne rozwiązanie A=[7 5; 7 5]; b=[22; 22]; x=a\b x = [-588; 8] (ML) x = [294; ] (Sci) DLACZEGO!!!??? Przecież A =! Nie w komputerze slajd 3 Sens geometryczny wyznacznika macierzy
2 Układy równań liniowych 2 A A = x+y = 2 y = 2 x x y = y = x x y = 2 y = x+2 x y = y = x+ x y = 2 x y = slajd 4 A Wniosek Układowi równań z A geometrycznie odpowiada kilka prawie równoległych linii Przykład źle uwarunkowanego układu równań x y = 2 εy = 2 ()-(2) x (+ε)y = x y = 2 x = 2 Dlaε = 2 Dla ε = 2 y = y = 2/ε x = 2(+/ε) x = 2 y = Wniosek Rozwiązanie układu równań z A może być bardzo wrażliwe na błędy obliczeniowe Jest to cecha układu, nie komputera! Czy takie układy zdarzają się w praktyce? Zagadnienia odwrotne (znamy skutek, szukamy przyczynę) z reguły prowadzą do układów źle uwarunkowanych Układy ekologiczne, serce slajd 5 Źle uwarunkowane układy obok nas F F [ ][ ] K K u = K K+k u 2 F K k F k K 2 3 [ F ] [ k k k K+k 2 3 ][ ] [ u F = u 2 ] JeżeliK k (npk =,k = ) pierwszy układ ma macierz źle uwarunkowaną Przy obliczeniach z pojedynczą dokładnością (6-7 znaków mantysy) będziemy mieć dodatkowy poważny problem powiązany z zaokrąglaniem Wniosek Przed rozwiązywaniem układu równań zawsze sprawdzamy czy warto to robić slajd 6 Rozwiązywanie URL teoria Odwracanie macierzy AA = I, gdzie I = Warunki Macierz A musi być kwadratowa 2 A Właściwości macierzy jednostkowej I AI = IA = A xi = Ix = x slajd 7 Macierzowy zapisukładu równań a x +a 2 +a 3 x 3 = b Układ równań a 2 x +a 22 +a 23 x 3 = b 2 można zapisać jako a 3 x +a 32 +a 33 x 3 = b 3
3 Układy równań liniowych 3 a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 x = b b 2 a 3 a 32 a 33 x 3 b 3 Pozwiązywanie układu równań liniowych poprzez odwracanie macierzy Ax = B, gdzie A jest macierzą kwadratową ( A ), x i B są wektorami kolumnowymi 2 A Ax = A B 3 Ix = A B 4 x = A B slajd 8 Szczególne rodzaje macierzy Macierz symetryczna A = A T ZALETA Przechowujemy w pamięci tylko połowę macierzy (dolny lub górny trójkąt) Szczególne rodzaje macierzy 2 Macierz trójkątna dolna (L od Low ) l l 2 l 22 L = l n l n2 l nn ZALETA Układ równań Lx = b jest łatwo rozwiązać Norma i uwarunkowanie Macierz pasmowa (rzadka) ZALETA Przechowujemy w pamięci tylko pasmo lub jego połowę (w przypadku macierzy symetrycznej) Macierz trójkątna górna (U od Up ) u u 2 u n u 22 u 2n U = u nn ZALETA Układ równań Ux = b jest łatwo rozwiązać slajd 9 slajd Norma macierzy Wprowadzenie Co to takiego mała wartość A? eps x+eps y = 2eps Układ równań eps x eps y = jest dobrze uwarunkowany, chociaż A = eps ( eps) eps eps = 2eps 2 6 x+ 6 y = 2 Układ równań 6 x+( 6 +)y = jest źle uwarunkowany, chociaż A = 6 ( 6 +) 6 6 = 6 Wniosek O tym czy URL jest dobry czy zły świadczy raczej nie wartość wyznacznika macierzy sama w sobie slajd
4 Układy równań liniowych 4 Pojęcie normy wektora lub macierzy Normy wektorów (powtórzenie) x p = p x p + p ++ x n p = ( n i= x i p ) p, p =,2,, Najbardziej popularne normy x = x + ++ x n norma pierwsza ( Manhattan ) x 2 = +x2 2 ++x2 n norma druga (Euklidesowa) x = max( x,,, x n ) norma maksimum Przykład Wektor x x 2 x (, 2, -3) (2, -4, 6) slajd 2 Normy macierzy Formalne definicje ( norm dla macierzy kwadratowych n ) n A = max a i,, a in maks spośród sum w kolumnach i= i= n n A 2 = norma Euklidesowa i= j= A max = n max i,j a 2 ij ( a ij ) norma maksimum Wada Większość takich norm różni się od norm wektorowych Normy macierzy indukowane przez normy wektorów (po owocach) A p = sup Ax p x p, x p Skutek: A p x p Ax p Sens fizyczny tak zdefiniowana norma jest miarą maksymalnego wydłużenia wektora wskutek mnożenia go przez macierz A slajd 3 Wskaźnik uwarunkowania łagodne wprowadzenie Najprostsza macierz pojedyncza liczba Dla A = 2 i dowolnego wektora x, Ax = 2x Dla każdej normy Ax p / x p = 2, czyli A = 2 co oznacza po prostu, że wektor stał się dwukrotnie dłuższy Dla A = 2, A = /2 Dla dowolnego wektora x, A x = /2x Analogicznie, jak poprzednio A = /2 co oznacza, że mnożenie dowolnego wektora przez A skraca go połowę Wg definicji AA = I, a I = więc nie dziwnie, że A A = Ale to tylko w tym prostym przypadku slajd 4 Wzmacnianie błędów obliczeniowych przy rozwiązywaniu URL Zamiast dokładnego równania Ax = b () zawsze rozwiązujemy A(x+ x) = b+ b (2) 2 Odejmując stronami (2) i () otrzymujemy A x = b x = A b x A b (3) 3 Z tego, że Ax = b mamy A x b albo A x b (4)
5 Układy równań liniowych 5 4 Po mnożeniu stronami (3) i (4) ostatecznie mamy x x A A b b = cond(a) b b 5 URL z dużym wskaźnikiem uwarunkowania cond(a) są wrażliwe na każde zaburzenie wektora prawej strony układu b slajd 5 Przykład: wyznaczanie A 2 i A 2 Ax A x x A x x Ax Dla x [ p ] = A p [ = sup Ax ] p 5 5 A = A = 5 5 [ [ ] [ [ ] + 5 x = Ax = = A ] ] x = 2 Dla x 5 T = [cos(π/6), sin(π/6)] (Ax) T = [3663,3663], (A x) T = [683,83] 3 Dla x T = [cos(π/3), sin(π/3)] (Ax) T = [3663, 3663], (A x) T = [683, 83] 4 Dla x T = [,] (Ax) T = [, ], (A x) T = [5, 5] Ostatecznie A 2 = 2, A 2 = / 2 cond(a) = slajd 6 Normy dla źle uwarunkowanych macierzy A = A = A = [ ] [ ] 5 [ ] 9 A = A = A = [ ] A = A 2 = 68 A 2 = 68 [ ] 2 A = 5 A = 78 A 2 = 356 [ ] 9 A = A 2 = 95 A 2 = 95 slajd 7 Część II Metody dokładne (bezpośrednie) rozwiązywania URL Uwagi wstępne Podsumowanie i wskazówki praktyczne slajd 8 Nie każdy układ równań da się rozwiązać nawet jeżeli A I to nie jest wina komputera
6 Układy równań liniowych 6 Wskaźnik uwarunkowania macierzy cond(a) pozwala ocenić możliwość uzyskania w miarę dokładnego rozwiązania URL Jest to współczynnik wzmocnienia najmniejszych zmian wektora b (obciążenia) Niestety wyznaczanie wskaźnika uwarunkowania jest bardzo czasochłonne (z powodu wyznaczania A ) i nie jednoznaczne (z powodu dużej ilości różnych norm) Praktycznie zamiast cond(a) wykorzystuje się fakt, że dla źle uwarunkowanej macierzy A jest wielokrotnie mniejszy od wielkości typowego jej elementu slajd 9 Jakimi metodami NIE rozwiązuje się URL x = A b to tylko teoria Najszybsza metoda wyznaczania macierzy odwrotnej wymaga rozwiązania Ax = b i dlanprawych stron 2 Metoda macierzy odwrotnej nie pracuje nawet w najprostszych sytuacjach Dla równania 7x = 2: zwykle dzielenie x = 2/7 = 3 albo x = 7 2 = = Tradycyjna szkolna metoda Cramera (polega na obliczaniu wyznaczników) jest kompletnie nieprzydatna do obliczeń na komputerze Ilość operacji w tym algorytmie rośnie jak (n + )! Szacunkowy czas trwania obliczeń: Rozwiązanie układu z 5 równań na komputerze ze starym procesorem Pentium kilka miesięcy Rozwiązanie układu z 5 równań na komputerze o mocy Gflop lat 4 Wszystkie realnie używane metody polegają na przekształceniu URL do bardziej prostszego układu slajd 2 Najprostsze sytuacje Co można robić z URL? Przekształcenia, które prowadzą do układów ekwiwalentnych Zmiana kolejności równań (wierszy macierzy) Zmienia znak A x+y = 2 x y = x y = x+y = 2 Zmiana kolejności zmiennych (kolumn macierzy) Zmienia znak A x+y = 2 y+x = 2 x y = y+x = Mnożenie równania przez liczbę a Zmienia A naa A x+y = 2 2 2x+2y = 4 x y = x y = Dodawanie/odejmowanie równań stronami Nie zmienia A x+y = 2 x 9y = 2 x y = + x y = slajd 2 Superłatwizna W wyniku przekształceń macierze niektórych URL można sprowadzić do postaci diagonalnej a x b a x = b a 22 = b 2 a 22 = b 2 a nn x n b n a nn x n = b n Rozwiązanie takiego ukłądu jest trywialne x i = b i /a ii,i = n
7 Układy równań liniowych 7 De facto nie jest to już układ lecz n niezależnych równań w stylu 2x = 4 y = 5 slajd 22 Łatwizna zwykła Każdy URL można sprowadzić do układu z macierzą trójkątną (górną lub dolną) a x b a a 2 a n x b a 2 a 22 = b 2 a 22 a 2n = b 2 a n a n2 a nn x n b n a nn x n b n slajd 23 Rozwiązanie dolnego URL (forward substitution) Uwaga praktyczna Wzory są szczególnie proste przy a ii = a x b a 2 a 22 = b 2 a n a n2 a nn x n b n a 22 = b 2 a 2 x a n2 a nn x n b n a n x x = b /a 2 = b 2 a 2 x a 22 3 x 3 = b 3 a 3 x a 32 a 33 4 x i = b i a ii i a ij x j j= function x = forward_subs(l, b) n = max(size(l)); x = zeros(n,); // wektor x musi być kolumnowy x() = b()/l(,); // x obliczamy " ręcznie " for i = 2:n j = :i ; // Tu j jest zakresem! x(i) = (b(i) L(i, j) x(j))/l(i, i ); end endfunction Rozwiązanie górnego URL (Backward substitution) x n = b n /a nn a a n a n x a n n a n n a nn a a n x = a n n x n x n x n = b b n b n b a n x n b n a n n x n slajd 24
8 Układy równań liniowych 8 2 x n = b n a n n x n a n n 3 x n 2 = b n 2 a n 2n x n a n 2n x n j=i a n 2n 2 4 x i = n b i a ij x j a ii function x = backward_subs(u, b) n = max(size(u)); x = zeros(n,); // wektor x musi być kolumnowy x(n) = b(n)/u(n,n); // x_n obliczamy "ręcznie" for i = n : : j = i+:n; // Tu j jest zakresem! x(i) = (b(i) U(i,j) x(j))/u(i, i ); end endfunction slajd 25 Metoda eliminacji Gaussa 4x 2y+z = (r) 2x+4y 2z = 6 (r2) x 2y+4z = 7 (r3) (r) (r2) 5 3 A co robić w takiej sytuacji? (r) Metoda Gaussa z wyborem maksymalnego elementu x = [, 2,3] A = = 36 slajd 26 Na kroku wybieramy maks element w kolumnie i (przez wymianę kolejności 3 równania z ) ustawiamy odpowiednie równanie pierwszym Na 2 kroku wybieramy maks element w 2 kolumnie (zaczynając od 2 wiersza) i ewentualnie wymieniamy miejscami odpowiednie równania slajd 27 Metody LU dekompozycji Podstawowe kroki Zamieniamy A iloczynem dolnej i górnej macierzy trójkątnych A = LU 2 Nowy układ równań Ax = b LUx = b 3 Wprowadzamy oznaczenie Ux = y, wtedy LUx = b Ly = b 4 Wyznaczamy najpierw y z Ly = b, później x z Ux = y
9 Układy równań liniowych 9 Podstawowa zaleta Przy dekompozycji A LU nie zmieniamy b Pozwala to później wielokrotnie szybko rozwiązywać URL dla różnych b (np wyznaczać naprężenia w nadwoziu samochodu dla różnych wariantów obciążeń) slajd 28 Podstawowe metody LU dekompozycji U U 2 U 3 Metoda Doolittle a L = L 2 U = U 22 U 23 L 3 L 32 U 33 Metoda Crauta L = L L 2 L 22 U = U 2 U 3 U 23 L 3 L 32 L 33 Metoda Choleskiego L = U T Przykład Dlaczego można rozłożyć A na mnożniki na kilka sposobów? Bo 4 = 4 (metoda Doolittle a), 4 = 4 (metoda Crauta),4 = 2 2 (metoda Choleskiego) slajd 29 Metoda Doolittle a L 2 U U 2 U 3 U 22 U 23 = U U 2 U 3 U L 2 U 2 L 2 +U 22 U 3 L 2 +U 23 L 3 L 32 U 33 U L 3 U 2 L 3 +U 22 L 32 U 3 L 3 +U 23 L 32 +U 33 2 Metoda Gaussa, pierwsze kroki: (a) (rown2) - (rown ) L 2 (rown2) (b) (rown3) - (rown ) L 3 (rown3) U U 2 U 3 3 Wynik U 22 U 23 U 22 L 32 U 23 L 32 +U 33 U U 2 U 3 (rown3) - (rown 2) L 32 U 22 U 23 U 33 Podsumowanie slajd 3 Macierz U otrzymujemy z A przez zwykłą eliminację Gaussa 2 Macierz L tworzą mnożniki używane w czasie tej eliminacji 3 Najbardziej oszczędny zapis obydwóch trójkątnych macierzy umieszczenie U U 2 U 3 ich wewnątrz macierzy źródłowej A [L\U] = L 2 U 22 U 23 L 3 L 32 U 33 slajd 3 Przykład 4x 2y+z = (r) 2x+4y 2z = 6 (r2) x 2y+4z = 7 (r3) (r2)/ 5 3 Ostatecznie musimy rozwiązać (r) (r) 4
10 Układy równań liniowych y y 2 y 3 = 6 7 oraz x x 3 = Rozwiązanie y = [; 5;9] x = [; 2;3] slajd 32 y y 2 y 3 Część III Metody iteracyjne (przybliżone) Uwagi wstępne slajd 33 Definicja Metody iteracyjne polegają na zamianie układu równań Ax = b przez x = Bx + c i przeprowadzeniu obliczeń wg schematu x i+ = Bx i + c, i =,2, dopóki nie zostanie spełnione kryterium x i+ x i ε Zalety i wady Wada Praktycznie nigdy nie dostaniemy dokładnego rozwiązania Wada Zbieżność jest tylko jeżeli B < Wada Ilość iteracji zależy od udanego wyboru x Zaleta Przechowujemy w pamięci tylko niezerowe elementy B Zaleta Ilość operacji na każdym kroku n 2 a dla metod dokładnych n 3 Czyli dla równań to się nie opłaca, ale dla 6 slajd 34 Metoda zwykłej iteracji (metoda Banacha, Jakobi) a x +a 2 +a 3 x 3 = b a x = b a 2 a 3 x 3 a 2 x +a 22 +a 23 x 3 = b 2 a 22 = b 2 a 2 x a 23 x 3 a 3 x +a 32 +a 33 x 3 = b 3 a 33 x 3 = b 3 a 3 x a 32 x = b a 2 a 3 x 3 a a a = b 2 a 2 x a 23 x 3 a 22 a 22 a 22 x 3 = b 3 a 3 x a 32 a 33 a 33 a 33 b /a b 2 /a 22 b 3 /a 33 B = a 2 a 3 a a 2 a a 22 a 3 a 32 a 33 a 33 c i = b i = a ii slajd 35 Metoda zwykłej iteracji, przykład graficzny x y x,y 2x+y = 4 x+2y = 2 x x,y y xi+ = 2 y i /2 y i+ = +x i /2,y 2 x 3,y 3 x,y x,y slajd 36
11 Układy równań liniowych clear ; Listing : Metoda zwykłej iteracji dla układu równań liniowych function [x, step] = zwykla_iteracja(a, b, x, tol ) max_num_steps = ; n = max(size(a)); b = b/diag(a); for i=:n A(i,:) = A(i,:)/A(i, i ); A(i, i) = ; end for step = :max_num_steps x = x; x = A x + b; dx = sqrt((x x) (x x)); if dx < tol then return; end // Mamy zbieżność, koniec end; // Brak zbieznosci po maks ilości króków x = NaN ones(n,); endfunction A = [4 2 ; 2 4 2; 2 4]; b = [; 6; 7]; x = [; ; ]; tol = ; [x, step] = zwykla_iteracja(a, b, x, tol ); disp("po " + string(step) + " krokach wynik"); disp(x ); Przykład 4x 2y+z = 4x = x+2y z+ 2x+4y 2z = 6 4y = 2x+y+2z 6 x 2y+4z = 7 4z = x+2y+z+7 x 5 25 i+ y i+ = 5 5 x i y i z i z i 425 x y z y 2 z 2 = = 5 5 = nr iteracji 2 25 dokładne rozw x y z Program realizujący metodę zwykłej iteracji listing?? slajd 37
12 Układy równań liniowych 2 clear ; Listing 2: Metoda Gaussa-Seidela dla układu równań liniowych function [x, step] = Gauss_Seidel(A, b, x, tol ) max_num_steps = ; // maksymalna ilość iteracji n = max(size(a)); b = b/diag(a); for i = :n A(i,:) = A(i,:)/A(i, i ); A(i, i) = ; end for step = :max_num_steps x = x; for i = :n x(i) = A(i,:) x + b(i); end; dx = sqrt((x x) (x x)); if dx < tol then return; end // Mamy zbieżność, koniec end; // Brak zbieznosci po maks ilości króków x = NaN ones(n,); endfunction A = [4 2 ; 2 4 2; 2 4]; b = [; 6; 7]; x = [; ; ]; tol = ; [x, step] = Gauss_Seidel(A, b, x, tol ); disp("po " + string(step) + " krokach wynik"); disp(x ); Metoda Gaussa-Seidela (Libmana ) Udoskonalona metoda zwykłej iteracji x i+ = 5y i 25z i +275 y i+ = 5x i+ +5z i 4 z i+ = 25x i+ +5y i x = = 5x +5z = y y = 5x +5z 4 z = 25x +5y +425 z = 25x +5y = = y = = z = 25x +5y +425 z = 25x +5y = = = ( 2625)+425 Znacznie szybsza zbieżność nr iteracji 2 5 dokładne rozw x y z Program realizujący metodę Gaussa-Seidela listing?? slajd 38
13 Układy równań liniowych 3 Metoda Gaussa-Siedela graficznie x y,y,y 2 x,y xi+ = 2 y i /2 y i+ = +x i+ /2 x,y x,y slajd 39 Metoda relaksacji (SOR successive over relaxation) x ω = y,y,y 2 x,y xi+ = x i +(+ω)(x gs i+ x i) y i+ = y i +(+ω)(y gs i+ y i) x,y x,y slajd 4 Praktyczna realizacja metody SOR [?] Wyznaczanie parametru relaksacji w praktyce Najpierw robimy k = 5 kroków metodą Gaussa-Seidela Zapamiętujemy wartość k = x k x k 2 Robimy jeszczep kroków metodą Gaussa-Seidela Zapamiętujemy wartość k+p 3 Obliczamy optymalna wartość parametru relaksacji i przełączamy się na SOR 2 ω + p k+p / k Program realizujący metodę SOR listing?? slajd 4 Rewolucyjne zmiany w metodach iteracyjnych nastąpili w połowie lat 9 XX wieku Niejaki Pravin Vaidya wymyślił bardzo udaną metodę na przyspieszenie zbieżności obliczeń iteracyjnych Zamiast opublikować tę pracę, sprzedał ją firmie ANSYS za mln USD Polecam zrobić to same ze swoimi pracami mgr Literatura [] Kiusalaas, J, Numerical Methods in Engineering with MATLAB, Cambridge University Press, 2 Wykład został opracowany w LATEXe za pomocą klasy BEAMER, graficznego pakietu PGF/TikZ i pakietu do tworzenia wykresów PGFPLOTS Obliczenia wewnątrz dokumentu zostały przeprowadzone za pomocą EQC
14 Układy równań liniowych 4 clear ; Listing 3: Metoda SOR dla układu równań liniowych function [x, dx]=gaussseidel(a, b, x, n, num_steps) // Funkcja robi num_steps kroków metodą Gaussa Seidela for step = :num_steps x = x; for i = :n x(i) = A(i,:) x + b(i); end; end; dx = sqrt((x x) (x x)); endfunction function [x, step, omega] = SOR(A, b, x, tol) max_num_steps = ; // maksymalna ilość iteracji num_ini_iter = 5; // Ilość początkowych iteracji G S num_add_iter = 2; // Ilość dadatkowych iteracji do // obliczenia parametru relaksacji n = max(size(a)); b = b/diag(a); for i = :n A(i,:) = A(i,:)/A(i, i ); A(i, i) = ; end // Wstępne iteracji metodą Gaussa Seidela [x, dx] = GaussSeidel(A, b, x, n, num_ini_iter); if dx < tol then return; end // Już mamy zbieżność, koniec // Dodatkowe iteracji metodą Gaussa Seidela [x, dx] = GaussSeidel(A, b, x, n, num_add_iter); if dx < tol then return; end // Już mamy zbieżność, koniec // Wyznaczamy wartość parametru relaksacji omega = 2/( + sqrt( (dx/dx)^(/num_add_iter))); // Metoda SOR for step = num_ini_iter + num_add_iter + : max_num_steps x = x; for i = :n x(i) = omega (A(i,:) x + b(i)) + ( omega) x(i); end; dx = sqrt((x x) (x x)); if dx < tol then return; end // Mamy zbieżność, koniec end; // Brak zbieznosci po maks ilości króków x = NaN ones(n,); endfunction // Test A = [4 2 ; 2 4 2; 2 4]; b = [; 6; 7]; x = [; ; ]; tol = ; [x, step, omega] = SOR(A, b, x, tol); disp("optymalna wartość parametru relaksacji",omega); disp("po " + string(step) + " krokach wynik"); disp(x );
Większość zagadnień inżynierskich sprowadza się do przewidywania odpowiedzi projektowanego urządzenia na działanie zewnętrznych czynników.
MN 09 Układy równań liniowych Część I Trochę teorii Wprowadzenie: wszystko jest Ax = b Uwagi wstępne Rozwiązywanie układów równań liniowych piłka nożna metod numerycznych Większość zagadnień inżynierskich
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie układów równań liniowych
Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych. Krzysztof Patan
Układy równań liniowych Krzysztof Patan Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zadań redukuje się do problemu rozwiązania układu równań liniowych, często o bardzo dużych
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych
Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Piotr Modliński Wydział Geodezji i Kartografii PW 13 stycznia 2012 P. Modliński, GiK PW Rozw.
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna Kurs INP002009W. Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych. Karol Tarnowski A-1 p.
Analiza numeryczna Kurs INP002009W Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.wroc.pl A-1 p.223 Plan wykładu Podstawowe pojęcia Własności macierzy Działania
Bardziej szczegółowoWykład 5. Metoda eliminacji Gaussa
1 Wykład 5 Metoda eliminacji Gaussa Rozwiązywanie układów równań liniowych Układ równań liniowych może mieć dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania. Metody dokładne
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie układów równań liniowych metody przybliżone Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych
Rozwiązywanie układów równań liniowych metody przybliżone Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Piotr Modliński Wydział Geodezji i Kartografii PW 14 stycznia 2012 P. Modliński, GiK PW Rozw.
Bardziej szczegółowoObliczenia naukowe Wykład nr 8
Obliczenia naukowe Wykład nr 8 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza numeryczna,
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne Układy równań liniowych Rozpatruje się układ n równań liniowych zawierających n niewiadomych: a11x1 a12x2... a1nxn b1 a21x1 a22x2... a2nxn b2... an 1x1 an2x2...
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładów Błędy obliczeń Błędy można podzielić na: modelu, metody, wejściowe (początkowe), obcięcia, zaokrągleń..
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Wykład 4
Metody numeryczne Wykład 4 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Metody skończone rozwiązywania
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. wykład. konsultacje: wtorek 10:00-11:30 środa 10:00-11:30. dr inż. Grażyna Kałuża pokój
METODY NUMERYCZNE wykład dr inż. Grażyna Kałuża pokój 103 konsultacje: wtorek 10:00-11:30 środa 10:00-11:30 www.kwmimkm.polsl.pl Program przedmiotu wykład: 15 godzin w semestrze laboratorium: 30 godzin
Bardziej szczegółowoWykład III Układy równań liniowych i dekompozycje macierzy
Wykład III Układy równań liniowych i dekompozycje macierzy Metody eliminacji i podstawienia wstecz Metoda dekompozycji LU i jej zastosowania Metody dla macierzy specjalnych i rzadkich Metody iteracyjne
Bardziej szczegółowoWykład 6. Metoda eliminacji Gaussa: Eliminacja z wyborem częściowym Eliminacja z wyborem pełnym
1 Wykład 6 Metoda eliminacji Gaussa: Eliminacja z wyborem częściowym Eliminacja z wyborem pełnym ELIMINACJA GAUSSA Z WYBOREM CZĘŚCIOWYM ELEMENTÓW PODSTAWOWYCH 2 Przy pomocy klasycznego algorytmu eliminacji
Bardziej szczegółowo1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany
Bardziej szczegółowo3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Bardziej szczegółowoMetody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych (5.3) Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech. x i. i =1
Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech 1 X =[x x Y y =[y1 x n], oznaczają wektory przestrzeni R n, a yn] niech oznacza liczbę rzeczywistą. Wyrażenie x i p 5.3.1.a X p = p n i =1 nosi nazwę p-tej normy
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowoIII TUTORIAL Z METOD OBLICZENIOWYCH
III TUTORIAL Z METOD OBLICZENIOWYCH ALGORYTMY ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH Opracowanie: Agata Smokowska Marcin Zmuda Trzebiatowski Koło Naukowe Mechaniki Budowli KOMBO Spis treści: 1. Wstęp do
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH -Metody dokładne
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH -Metody dokładne Układy równań liniowych Rozpatruje się układ n równań liniowych zawierających n niewiadomych: a + a +... + ann b a + a +... + ann b... an + an+... + annn bn który
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych i metody ich rozwiązywania
Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +
Bardziej szczegółowoNumeryczna algebra liniowa. Krzysztof Banaś Obliczenia Wysokiej Wydajności 1
Numeryczna algebra liniowa Krzysztof Banaś Obliczenia Wysokiej Wydajności 1 Numeryczna algebra liniowa Numeryczna algebra liniowa obejmuje szereg algorytmów dotyczących wektorów i macierzy, takich jak
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne II. Układy równań liniowych
Metody numeryczne II. Układy równań liniowych Oleksandr Sokolov Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej UMK (2016/17) http://fizyka.umk.pl/~osokolov/mnii/ Układ równań liniowych Układem równań
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Równania macierzowe. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Równania macierzowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Co można zrobić z układem równań... tak, aby jego rozwiazania się nie zmieniły? Rozważam
Bardziej szczegółowoEgzamin z Metod Numerycznych ZSI, Egzamin, Gr. A
Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, 06.2007. Egzamin, Gr. A Imię i nazwisko: Nr indeksu: Section 1. Test wyboru, max 33 pkt Zaznacz prawidziwe odpowiedzi literą T, a fałszywe N. Każda prawidłowa odpowiedź
Bardziej szczegółowoROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
Transport, studia I stopnia Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać ogólna równania nieliniowego Często występującym, ważnym problemem obliczeniowym
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Faktoryzacja QR i SVD. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Faktoryzacja QR i SVD P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Transformacja Householdera Niech u R N, u 0. Tworzymy macierz W sposób oczywisty P T = P. Obliczmy
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
Wykłady z matematyki inżynierskiej JJ, 08 DEFINICJA Układ m równań liniowych z n niewiadomymi to: ( ) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 +
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładu 6 Rozwiązywanie równań nieliniowych Rozwiązaniem lub pierwiastkiem równania f(x) = 0 lub g(x) = h(x)
Bardziej szczegółowoWykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Bardziej szczegółowoW wielu obliczeniach w matematyce bądź fizyce wykonanie niektórych kroków zależy od spełnienia warunku.
W wielu obliczeniach w matematyce bądź fizyce wykonanie niektórych kroków zależy od spełnienia warunku. Nie wolno dzielić przez zero i należy sprawdzić, czy dzielna nie jest równa zeru. W dziedzinie liczb
Bardziej szczegółowoLiczby zmiennoprzecinkowe i błędy
i błędy Elementy metod numerycznych i błędy Kontakt pokój B3-10 tel.: 829 53 62 http://golinski.faculty.wmi.amu.edu.pl/ golinski@amu.edu.pl i błędy Plan wykładu 1 i błędy Plan wykładu 1 2 i błędy Plan
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50
Metody numeryczne Układy równań liniowych, część II Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50 Układy równań liniowych, część II 1. Iteracyjne poprawianie
Bardziej szczegółowoEgzamin z Metod Numerycznych ZSI, Grupa: A
Egzamin z Metod Numerycznych ZSI, 06.2005. Grupa: A Nazwisko: Imię: Numer indeksu: Ćwiczenia z: Data: Część 1. Test wyboru, max 36 pkt Zaznacz prawidziwe odpowiedzi literą T, a fałszywe N. Każda prawidłowa
Bardziej szczegółowo, A T = A + B = [a ij + b ij ].
1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba a ij, to mówimy, że jest określona macierz prostokątna A = a ij typu m
Bardziej szczegółowoMetoda eliminacji Gaussa. Autorzy: Michał Góra
Metoda eliminacji Gaussa Autorzy: Michał Góra 9 Metoda eliminacji Gaussa Autor: Michał Góra Przedstawiony poniżej sposób rozwiązywania układów równań liniowych jest pewnym uproszczeniem algorytmu zwanego
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna Lista nr 3 (ćwiczenia) x x 2 n x.
Analiza numeryczna Lista nr 3 (ćwiczenia) Sprawdzić że macierz ma wartości własne2+ 222 2 2 Niechx R n Udowodnić że 2 0 0 x x 2 n x 3 NiechA R n n będzie macierzą symetryczną Wiadomo że wówczas istnieje
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)
Bardziej szczegółowo2. Układy równań liniowych
2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /
Bardziej szczegółowoNumeryczna algebra liniowa
Numeryczna algebra liniowa Numeryczna algebra liniowa obejmuje szereg algorytmów dotyczących wektorów i macierzy, takich jak podstawowe operacje na wektorach i macierzach, a także rozwiązywanie układów
Bardziej szczegółowo1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu
1 Metody rozwiązywania równań nieliniowych. Postawienie problemu Dla danej funkcji ciągłej f znaleźć wartości x, dla których f(x) = 0. (1) 2 Przedział izolacji pierwiastka Będziemy zakładać, że równanie
Bardziej szczegółowoMet Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra
Bardziej szczegółowoNajprostszy element. F+R = 0, u A = 0. u A = 0. Mamy problem - równania zawierają siły, a warunek umocowania - przemieszczenia
MES skończony Najprostszy element Część I Najprostszy na świecie przykład rozwiązania zagadnienia za pomocą MES Dwie sprężyny Siły zewnętrzne i wewnętrzne działające na element A B R F F+R, u A R f f F
Bardziej szczegółowoF + R = 0, u A = 0. u A = 0. f 0 f 1 f 2. Relację pomiędzy siłami zewnętrznymi i wewnętrznymi
MES Część I Najprostszy na świecie przykład rozwiązania zagadnienia za pomocą MES Dwie sprężyny Siły zewnętrzne i wewnętrzne działające na element A B R F F + R, u A R f f F R + f, f + f, f + F, u A Równania
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Faktoryzacja LU. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Faktoryzacja LU P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2014 Co można zrobić z układem równań... tak, aby jego rozwiazania się nie zmieniły? Rozważam
Bardziej szczegółowoMetody i analiza danych
2015/2016 Metody i analiza danych Macierze Laboratorium komputerowe 2 Anna Kiełbus Zakres tematyczny 1. Funkcje wspomagające konstruowanie macierzy 2. Dostęp do elementów macierzy. 3. Działania na macierzach
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami iteracyjnymi
Rozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami iteracyjnymi Plan wykładu: 1. Przykłady macierzy rzadkich i formaty ich zapisu 2. Metody: Jacobiego, Gaussa-Seidla, nadrelaksacji 3. Zbieżność
Bardziej szczegółowo; B = Wykonaj poniższe obliczenia: Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję wyniki. Mam nadzieję, że umiesz mnożyć macierze...
Tekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania. Zadanie. Dane są macierze: A D 0 ; E 0 0 0 ; B 0 5 ; C Wykonaj poniższe obliczenia: 0 4 5 Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję
Bardziej szczegółowoZastosowania wyznaczników
Zastosowania wyznaczników Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 7.wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2012 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2012 1 / 17
Bardziej szczegółowo04 Układy równań i rozkłady macierzy - Ćwiczenia. Przykład 1 A =
04 Układy równań i rozkłady macierzy - Ćwiczenia 1. Wstęp Środowisko Matlab można z powodzeniem wykorzystać do rozwiązywania układów równań z wykorzystaniem rozkładów macierzy m.in. Rozkładu Choleskiego,
Bardziej szczegółowoProjekt 6: Równanie Poissona - rozwiązanie metodą algebraiczną.
Projekt 6: Równanie Poissona - rozwiązanie metodą algebraiczną. Tomasz Chwiej 9 sierpnia 18 1 Wstęp 1.1 Dyskretyzacja n y V V 1 V 3 1 j= i= 1 V 4 n x Rysunek 1: Geometria układu i schemat siatki obliczeniowej
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
II Metoda Gaussa-Jordana Na wykładzie zajmujemy się układami równań liniowych, pojawi się też po raz pierwszy macierz Formalną (i porządną) teorią macierzy zajmiemy się na kolejnych wykładach Na razie
Bardziej szczegółowoECTS (Część 2. Metody numeryczne) Nazwa w języku angielskim: Algorithms and data structures.
Algorytmy i struktury danych. Metody numeryczne ECTS (Część 2. Metody numeryczne) Nazwa w języku angielskim: Algorithms and data structures. dzienne magisterskie Numerical methods. (Part 2. Numerical methods)
Bardziej szczegółowo1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.
1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.
Bardziej szczegółowoO MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Macierze
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek
Bardziej szczegółowo1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych
Bardziej szczegółowoWartości i wektory własne
Dość często przy rozwiązywaniu problemów naukowych czy technicznych pojawia się konieczność rozwiązania dość specyficznego układu równań: Zależnego od n nieznanych zmiennych i pewnego parametru. Rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Bardziej szczegółowoProgramowanie Współbieżne. Algorytmy
Programowanie Współbieżne Algorytmy Sortowanie przez scalanie (mergesort) Algorytm :. JEŚLI jesteś rootem TO: pobierz/wczytaj tablice do posortowania JEŚLI_NIE to pobierz tablicę do posortowania od rodzica
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
. Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21
Bardziej szczegółowoElementy projektowania inzynierskiego Przypomnienie systemu Mathcad
Elementy projektowania inzynierskiego Definicja zmiennych skalarnych a : [S] - SPACE a [T] - TAB - CTRL b - SHIFT h h. : / Wyświetlenie wartości zmiennych a a = b h. h. = Przykładowe wyrażenia
Bardziej szczegółowoObliczenia Naukowe. Wykład 12: Zagadnienia na egzamin. Bartek Wilczyński
Obliczenia Naukowe Wykład 12: Zagadnienia na egzamin Bartek Wilczyński 6.6.2016 Tematy do powtórki Arytmetyka komputerów Jak wygląda reprezentacja liczb w arytmetyce komputerowej w zapisie cecha+mantysa
Bardziej szczegółowoModelowanie rynków finansowych z wykorzystaniem pakietu R
Modelowanie rynków finansowych z wykorzystaniem pakietu R Metody numeryczne i symulacje stochastyczne Mateusz Topolewski woland@mat.umk.pl Wydział Matematyki i Informatyki UMK Plan działania 1 Całkowanie
Bardziej szczegółowoKADD Minimalizacja funkcji
Minimalizacja funkcji Poszukiwanie minimum funkcji Foma kwadratowa Metody przybliżania minimum minimalizacja Minimalizacja w n wymiarach Metody poszukiwania minimum Otaczanie minimum Podział obszaru zawierającego
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Macierze
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek
Bardziej szczegółowoMetody Obliczeniowe w Nauce i Technice
12. Iteracyjne rozwiązywanie Ax=B Marian Bubak Department of Computer Science AGH University of Science and Technology Krakow, Poland bubak@agh.edu.pl dice.cyfronet.pl Contributors Anna Marciniec Radosław
Bardziej szczegółowo3. Wykład Układy równań liniowych.
31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 1 Zadanie Definicja 1.1. (zadanie) Zadaniem nazywamy zagadnienie znalezienia rozwiązania x spełniającego równanie F (x, d) = 0, gdzie d jest zbiorem danych (od których zależy rozwiązanie x), a F
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j =
11 Algebra macierzy Definicja 11.1 Dla danego ciała F i dla danych m, n N funkcję A : {1,..., m} {1,..., n} F nazywamy macierzą m n (macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowoObliczenia naukowe Wykład nr 2
Obliczenia naukowe Wykład nr 2 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [1] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza
Bardziej szczegółowoRACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska
RACHUNEK MACIERZOWY METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa i faktoryzacja LU. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa i faktoryzacja LU P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2018 Co można zrobić z układem równań... tak, aby jego rozwiazania się nie zmieniły? Rozważam
Bardziej szczegółowoZad. 3: Układ równań liniowych
1 Cel ćwiczenia Zad. 3: Układ równań liniowych Wykształcenie umiejętności modelowania kluczowych dla danego problemu pojęć. Definiowanie właściwego interfejsu klasy. Zwrócenie uwagi na dobór odpowiednich
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami iteracyjnymi. Plan wykładu:
Rozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami iteracynymi Plan wykładu: 1. Przykłady macierzy rzadkich i formaty ich zapisu 2. Metody: Jacobiego, Gaussa-Seidla, nadrelaksaci 3. Zbieżność
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Równania macierzowe Faktoryzacja LU i Cholesky ego. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Równania macierzowe Faktoryzacja LU i Cholesky ego P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2017 Uwagi o eliminacji Gaussa Przypuśćmy, że mamy rozwiazać kilka układów
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Janusz Szwabiński. nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 11/11/ :45 p.
Metody numeryczne Układy równań liniowych, część I Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p./83 Układy równań liniowych, część I. Pojęcia
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoWEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej
WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY Ac λ c (*) ( A λi) c nietrywialne rozwiązanie gdy det A λi problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej A - macierzowa
Bardziej szczegółowoRównania nieliniowe, nieliniowe układy równań, optymalizacja
4 maj 2009 Nieliniowe równania i układy rówań Slajd 1 Równania nieliniowe, nieliniowe układy równań, optymalizacja 4 maj 2009 Nieliniowe równania i układy rówań Slajd 2 Plan zajęć Rozwiązywanie równań
Bardziej szczegółowodet[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...
Wykład 14 Wyznacznik macierzy cd Twierdzenie 1 Niech A będzie macierzą kwadratową i niech A i, A j będą dwiema różnymi jej kolumnami, wtedy dla dowolnego k K: det[a 1,, A i,, A j,, A n ] det[a 1,, A i
Bardziej szczegółowo13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoWykład 7 Macierze i wyznaczniki
Wykład 7 Macierze i wyznaczniki Andrzej Sładek sladek@ux2mathusedupl Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski w Katowicach Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 3. MatLab: Algebra liniowa. Rozwiązywanie układów liniowych
Ćwiczenie 3. MatLab: Algebra liniowa. Rozwiązywanie układów liniowych Wszystko proszę zapisywać komendą diary do pliku o nazwie: imie_ nazwisko 1. Definiowanie macierzy i odwoływanie się do elementów:
Bardziej szczegółowoNUMERYCZNE METODY ROZWIĄZYWANIA ROWNAŃ LINIOWYCH. PRZYGOTOWAŁA: ANNA BANAŚ KoMBo, WILiŚ
NUMERYCZNE METODY ROZWIĄZYWANIA ROWNAŃ LINIOWYCH PRZYGOTOWAŁA: ANNA BANAŚ KoMBo, WILiŚ PODZIAŁ DOKŁADNE ELIMINACYJNE DEKOMPOZYCYJNE ELIMINACJI GAUSSA JORDANA GAUSSA-DOOLITTLE a GAUSSA-CROUTA CHOLESKY EGO
Bardziej szczegółowo1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM 3 ALGORYTMY OBLICZENIOWE W ELEKTRONICE I TELEKOMUNIKACJI. Wprowadzenie do środowiska Matlab
LABORATORIUM 3 ALGORYTMY OBLICZENIOWE W ELEKTRONICE I TELEKOMUNIKACJI Wprowadzenie do środowiska Matlab 1. Podstawowe informacje Przedstawione poniżej informacje maja wprowadzić i zapoznać ze środowiskiem
Bardziej szczegółowoObliczenia równoległe w zagadnieniach inżynierskich. Wykład 6
Wykład 6 p. 1/?? Obliczenia równoległe w zagadnieniach inżynierskich Wykład 6 Dr inż. Tomasz Olas olas@icis.pcz.pl Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Plan wykładu
Bardziej szczegółowoRównania nieliniowe, nieliniowe układy równań, optymalizacja
Nieliniowe równania i układy rówań Slajd 1 Równania nieliniowe, nieliniowe układy równań, optymalizacja Nieliniowe równania i układy rówań Slajd 2 Plan zajęć Rozwiązywanie równań nieliniowych -metoda bisekcji
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Obliczenia równoległe w zagadnieniach inżynierskich. Wykład 6 p. Rozwiazywanie układów równań. metody bezpośrednie,
Plan wykładu Obliczenia równoległe w zagadnieniach inżynierskich Wykład 6 Dr inż. Tomasz Olas olas@icis.pcz.pl Układy równań liniowych i metody ich rozwiazywania Metoda sprzężonych gradientów Macierze
Bardziej szczegółowo