Rozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami bezpośrednimi
|
|
- Tomasz Drozd
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Rozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami bezpośrednimi
2 Plan wykładu:. Definicje macierzy, norm etc.. Metoda eliminacji Gaussa, Jordana. Rozkład LU metodą Gaussa. Układy równań z macierzą symetryczną. Rozkłady: LDL T, LL T. Układy równań z macierzą trójdiagonalną. Iteracyjne poprawianie rozwiązań. Układy liniowe nadokreślone, układ normalny równań, metody ortogonalizacji
3 Pojęcia podstawowe Macierz jest uporządkowanym układem mxn liczb rzeczywistych lub zespolonych A=(a ij ) (i=,..,m; j=,...,n) A m n = a a : : : a n a a : : : a n : : : : : : : : : : : : a m a m : : : a mn Jeśli m=n to A jest kwadratowa stopnia n. Transpozycja - A=(a ij ) to A T =(a ji ) Ślad macierzy A=A nxn (A T ) T = A ( A) T = A T (A + B) T = A T + B T (AB) T = B T A T (Ax) T = x T A T Macierz diagonalna D=( ij d ij ) D = d 0 : : : 0 0 d : : : 0 : : : : : : : : : : : : 0 0 : : : d n Macierz jednostkowa I=( ij ) nx tr(a) = i= a ii tr(a T ) = tr(a)
4 Pojęcia podstawowe Macierz jest uporządkowanym układem mxn liczb rzeczywistych lub zespolonych A=(a ij ) (i=,..,m; j=,...,n) A m n = a a : : : a n a a : : : a n : : : : : : : : : : : : a m a m : : : a mn Jeśli m=n to A jest kwadratowa stopnia n. Transpozycja - A=(a ij ) to A T =(a ji ) Ślad macierzy A=A nxn (A T ) T = A ( A) T = A T (A + B) T = A T + B T (AB) T = B T A T (Ax) T = x T A T Macierz diagonalna D=( ij d ij ) D = d 0 : : : 0 0 d : : : 0 : : : : : : : : : : : : 0 0 : : : d n Macierz jednostkowa I=( ij ) nx tr(a) = i= a ii tr(a T ) = tr(a)
5 Macierz trójkątna lewa (dolna) L = Macierz trójkątna prawa (górna) R = l 0 : : : 0 l l : : : 0 : : : : : : : : : : : : l n l n : : : l nn r r : : : r n 0 r : : : r n : : : : : : : : : : : : 0 0 : : : r nn Sumy, iloczyny i odwrotności macierzy trójkątnych tego samego rodzaju są macierzami trójkątnymi. Wyznacznik macierzy trójkątnej det(l) = l l : : : l nn Jeśli det(a) = 0 to macierz jest nieosobliwa i dla takiej macierzy istnieje macierz odwrotna A - AA = A A = I (AB) = B A Macierz symetryczna A T = A Macierz ortogonalna Q=Q mxn Q T Q = I Q Q = I Q T = Q Macierz idempotentna det(r) = r r : : : r nn det(a) = det(a T ) det(ab) = det(a)det(b) A = A
6 Macierzą hermitowską nazywamy macierz, która po transpozycji i sprzężeniu zespolonemu jej elementów jest równa macierzy pierwotnej A H = A T Elementy diagonalne macierzy hermitowskiej są rzeczywiste (pozostałe mogą być zespolone lub rzeczywiste). Macierzą dodatniookreśloną nazywamy macierz rzeczywistą lub hermitowską o własności: x T Ax > 0; x R n ; x = 0 Macierz dodatnio określona jest zawsze odwracalna. Macierz odwrotna jest również dodatnio określona. Przestrzenią liniową (wektorową) nad ciałem liczb rzeczywistych (zespolonych) nazywamy zbiór obiektów (wektorów) z określonym działaniem dodawania elementów przestrzeni oraz mnożenia ich przez liczbę i oznaczamy R N (C N ). Aksjomaty: łączność, przemienność, element neutralny, element odwrotny,... Uporządkowany zbiór liczb rzeczywistych (zespolonych) tworzy wektor Przestrzeń wektorowa będąca zbiorem takich obiektów ma wymiar n. Dowolny zbiór n wektorów liniowo niezależnych w R N x = (x ; x ; x ; : : : ; x n ) y ; y ; : : : ; y n tworzy bazę przestrzeni. Każdy element przestrzeni można zapisać jako kombinację liniową elementów bazy x = y + y + : : : + n y n Podprzestrzeń linową R w R N tworzy zbiór wszystkich wektorów y ; y ; : : : ; y k ; k n Macierz możemy traktować jako obiekt zbudowany z wektorów ( wektory wierszowe lub kolumnowe). Rzędem macierzy A=A mxn r=rank(a) nazywamy największą liczbę niezależnych liniowo wektorów wierszowych lub kolumnowych. Jeśli r=m=n to macierz jest nieosobliwa.
7 Macierzą hermitowską nazywamy macierz, która po transpozycji i sprzężeniu zespolonemu jej elementów jest równa macierzy pierwotnej A H = A T Elementy diagonalne macierzy hermitowskiej są rzeczywiste (pozostałe mogą być zespolone lub rzeczywiste). Macierzą dodatniookreśloną nazywamy macierz rzeczywistą lub hermitowską o własności: x T Ax > 0; x R n ; x = 0 Macierz dodatnio określona jest zawsze odwracalna. Macierz odwrotna jest również dodatnio określona. Przestrzenią liniową (wektorową) nad ciałem liczb rzeczywistych (zespolonych) nazywamy zbiór obiektów (wektorów) z określonym działaniem dodawania elementów przestrzeni oraz mnożenia ich przez liczbę i oznaczamy R N (C N ). Aksjomaty: łączność, przemienność, element neutralny, element odwrotny,... Uporządkowany zbiór liczb rzeczywistych (zespolonych) tworzy wektor Przestrzeń wektorowa będąca zbiorem takich obiektów ma wymiar n. Dowolny zbiór n wektorów liniowo niezależnych w R N x = (x ; x ; x ; : : : ; x n ) y ; y ; : : : ; y n tworzy bazę przestrzeni. Każdy element przestrzeni można zapisać jako kombinację liniową elementów bazy x = y + y + : : : + n y n Podprzestrzeń linową R w R N tworzy zbiór wszystkich wektorów y ; y ; : : : ; y k ; k n Macierz możemy traktować jako obiekt zbudowany z wektorów ( wektory wierszowe lub kolumnowe). Rzędem macierzy A=A mxn r=rank(a) nazywamy największą liczbę niezależnych liniowo wektorów wierszowych lub kolumnowych. Jeśli r=m=n to macierz jest nieosobliwa.
8 Normy wektorów i macierzy Normy wprowadza się w celu ilościowego określania własności wektorów i macierzy. Normą wektora nazywamy funkcję, która każdemu elementowi w R N przyporządkowuje liczbę rzeczywistą. Dla dowolnych norma wektora musi spełniać następujące aksjomaty: Dla n-wymiarowego wektora najczęściej stosowane są normy z rodziny L P : - norma pierwsza x; y R n R jjxjj 0; jjxjj = 0 () x = 0 jj xjj = j j jjxjj jjx + yjj jjxjj + jjyjj x = [x ; x ; : : : ; x n ] T jjxjj p = (jx j p + jx j p + : : : jx n j p ) p p = ; kxk = jx j + jx j + : : : + jx n j Dla dowolnego wektora x w przestrzeni R n prawdziwe są poniższe relacje pomiędzy normami: kxk kxk kxk pnkxk nkxk Normy macierzy Własności norm macierzy jjajj 0; jjajj = 0 () A = 0 jj Aj = j j jjajj jja + Bjj jjajj + jjbjj jjabjj jjajj jjbjj jjaxjj jjajj jjxjj(normy zgodne) Normy zgodne norma macierzy indukowana przez normę wektora - norma druga (euklidesowa) p = ; kxk = (x + x + : : : + x n) = - norma maksymalna p = ; kxk = maxfjx j; jx j; : : : ; jx n jg 8
9 Macierz o m wierszach i n kolumnach można traktować jako operator liniowy przekształcający przestrzeń R m w R n. Normę takiej macierzy można określić przy użyciu wektorów: kak pq = sup xr n x=0 kaxk q kxk p - maksymalna suma modułów w wierszu kak = max i=;;:::;n nx ja ij j j= - maksymalny moduł elementu gdzie: p i q oznaczają normy wektorów w przestrzeniach R n i w R m. Mówimy, że norma A pq jest normą indukowaną przez normy. p oraz. q. Dla p=q oznaczając możemy określić następujące normy macierzy - maksymalna suma modułów w kolumnie - norma spektralna kak p = kak pq kak = max j=;;:::;n mx ja ij j i= kak = ( max i=;:::;n i(aa T )) = kak = max i;j ja ij j W przestrzeniach z normą często używa się euklidesowej (Frobeniusa) normy macierzy: kak E = v u t mx i= nx j= a ij która nie jest indukowana żadną normą ale spełnia ona z normą warunek zgodności: kak kak E kxk ; x R n Normy macierzy mają istotne znaczenie w analizie błędów (np. błędów rozwiązania układów równań liniowych). 9
10 Szukamy rozwiązania układu równań liniowych w postaci: a x + a x + : : : + a n x n = b a x + a x + : : : + a n x n = b : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : = : : : a n x + a n x + : : : + a nn x n = b n Powyższy układ równań można zapisać w postaci macierzowej: Ax = b gdzie: - macierz współczynników układu A = a a : : : a n a a : : : a n : : : : : : : : : : : : a n a n : : : a nn - szukany wektor - wektor wyrazów rozwiązań wolnych x = x x. x n b = b b. b n Warunek rozwiązywalności układu niejednorodnego: R(A) podprzestrzeń liniowa rozpięta na wektorach kolumnowych macierzy A Dla R(A) = R n b R(A) warunek rozwiązywalności układu jest spełniony dla każdego b i rozwiązanie ma postać x = A b Jeśli rank(a)=r<n to rozwiązania tworzą rozmaitość (n-r) wymiarową. 0
11 Układ równań z macierzą trójkątną Zakładamy, że elementy leżące na diagonali są niezerowe. Rozwiązanie układu można znaleźć posługując się wzorem rekurencyjnym, zaczynając od elementu x n : W celu wyznaczenia wszystkich składowych wektora rozwiązania x należy wykonać: - M operacji mnożenia i dzielenia a x + a x + : : : + a n x n = b x n = b n a nn - D operacji dodawania i odejmowania a x + : : : + a n x n = b : : : : : : : : : : : : : : : : : : M = n + n a nn x n = b n x i = b i a ii+ x i+ : : : a in x n a ii D = n n
12 Uwarunkowanie zadania - rozwiązania układu równań gdzie (A) = jjajj jja jj Wpływ błędów zaokrągleń na wynik można oszacować analizując zaburzenia danych: A,b a) zaburzamy wektor b: A(x + ±x) = b + ±b ±x = A ±b jj±xjj jja jj jj±bjj b) zaburzamy elementy macierzy A: (A + ±A)(x + ±x) = b A±x + ±A(x + ±x) = 0 ±x = A ±A(x + ±x) jj±xjj jja jj jj±ajj jjx + ±xjj jest wskaźnikiem uwarunkowania macierzy Korzystając z wyniku (a) oraz nierówności jjbjj = jjaxjj jjajj jjxjj dostajemy oszacowanie na błąd względny rozwiązania: jj±xjj jjxjj (A) jj±bjj jjbjj Wniosek - duży wskaźnik uwarunkowania macierzy może powodować duże względne zaburzenia rozwiązania nawet dla małych zaburzeń wektora danych. Zadanie jest wówczas źle uwarunkowane. ostatnią nierówność zapisujemy w postaci jj±xjj jjx + ±xjj (A) jj±ajj jjajj
13 Metoda eliminacji Gaussa rozwiązania układu równań liniowych. Metoda jest dwuetapowa: ) Eliminacja zmiennych. Układ pierwotny: A () x = b () a () x + a () x + : : : + a () n x n = b () a () x + a () x + : : : + a () n x n = b () : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : = : : : a () n x + a () n x + : : : + a () nnx n = b () n Odejmujemy od i-tego wiersza (i=,,...,n) wiersz pierwszy pomnożony przez współczynnik l i = a() i a () Z równań i=,,..,n wyeliminowana została zmienna x. A () x = b () a () x + a () x + : : : + a () n x n = b () a () x + : : : + a () n x n = b () : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : = : : : a () n x + : : : + a () nnx n = b () n Powtarzamy operację, ale odejmujemy od i-tego wiersza (i=,,...,n) wiersz drugi pomnożony przez współczynnik l i = a() i a () Postępując dalej w ten sposób eliminujemy z każdego następnego równania jedną zmienną. Eliminację kończymy po (n-) krokach, gdy uzyskamy trójkątny układ równań w postaci: a (n) x + a (n) x + : : : + a (n) n x n = b (n) a (n) x + : : : + a (n) n x n = b (n) : : : : : : : : : : : : = : : : A (n) x = b (n) a (n) nn x n = b (n) n
14 ) Etap drugi nazywany jest postępowaniem odwrotnym. Rozwiązanie (kolejne składowe wektora x) znajdujemy stosując wzór rekurencyjny dla macierzy trójkątnej. Wyznaczenie rozwiązania metodą Gaussa wymaga wykonania: - M op. mnożenia i dzielenia M = n + n n k r - D op. dodawania i odejmowania D = n + n n Metoda eliminacji w tej postaci jest niestabilna numerycznie problem dzielenia przez 0 lub liczbę bliską zeru. Rozwiązanie: Pełny wybór elementów głównych W k-tym kroku szukamy elementu ja (k) rs j = max k i;j n; jak ij j i przestawiamy wiersze: k i r oraz kolumny: k i s a) częściowy wybór elementów głównych b) pełny wybór elementów głównych Częściowy wybór elementów głównych W k-tym kroku szukamy elementu k k s ja (k) rk j = max k i n jak ikj r i przestawiamy wiersze r oraz k.
15 Stosując wybór elementu głównego rozwiązanie otrzymujemy zawsze. W trakcie wyboru elementu głównego należy zmienić także kolejność w x i b. Modyfikacji tej można nie stosować dla: a) macierzy z dominującą przekątną ja ii j nx j=;j=i b) macierzy symetrycznej i jednocześnie dodatniookreślonej Metoda eliminacji Jordana (eliminacji zupełnej) W układzie równań: ja i;j j (i = ; : : : ; n) a () x + a () x + : : : + a () n x n = b () a () x + a () x + : : : + a () n x n = b () : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : = : : : a () n x + a () n x + : : : + a () nnx n = b () n Następnie odejmujemy od i-tego wiersza (i=,,...,n) wiersz pierwszy przemnożony przez i otrzymujemy w i = a () i A () x = b () x + a () x + : : : + a () n x n = b () a () x + : : : + a () n x n = b () : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : = : : : a () n x + : : : + a () nnx n = b () n Podobnie postępujemy z równaniem drugim. Dzielimy je przez A () x = b () w = a () Następnie od i-tego wiersza (i=,,,...,n) odejmujemy wiersz drugi pomnożony przez współczynnik: w i = a () i równanie pierwsze dzielimy obustronnie przez współczynnik: w = a ()
16 Otrzymujemy zmodyfikowany układ równań: A () x = b () x + 0 x + a () x + : : : + a () n x n = b () x + a () x + : : : + a () n x n = b () : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : = : : : a () n x + : : : + a () nnx n = b () n Po przeprowadzeniu (n-) eliminacji zmiennych układ równań ma poniższą postać: x = b (n) x = b (n) : : : = : : : x n = b (n) n czyli gotowe rozwiązanie. Liczba operacji: M = n + n Rozkład LU metodą Gaussa-Crouta(GCW) Metodę Gaussa można użyć do znalezienia takich macierzy L i U, które z macierzą A związane są relacją: A = L U Procedura wyznaczania elementów tych macierzy nosi nazwę rozkładu LU. Sposób postępowania (wykorzystujemy metodę eliminacji Gaussa): ) mnożenie wiersza pierwszego przez czynnik l i = a() i a i odjęcie go od i-tego wiersza (i=...n), zastępujemy mnożeniem przez macierz: L () = 0 : : : : : : 0 l 0 : : : 0 l : : : : : : : : : 0 l n 0 0 : : : co można zapisać macierzowo: n n D = n n L () A () = A () L () b () = b ()
17 Eliminacja zmiennej z równań (i=,,...,n) wygląda podobnie. Mnożymy wiersze zmodyfikowanego układu równań o indeksach i=,,...,n przez czynnik l i = a() i a i odejmujemy od nich wiersz drugi. Operację tą można przeprowadzić mnożąc układ równań obustronnie przez macierz L () : L () = 0 : : : : : : : : : 0 l 0 0 : : : : : : : : : 0 0 l n 0 0 Zapis macierzowy operacji: L () A () = A () L () b () = b () Po wykonaniu (n-) takich operacji dostajemy L (n ) L (n ) : : : L () A () = A (n) L (n ) L (n ) : : : L () b () = b (n) Macierze L (i) są nieosobliwe (można znaleźć dla każdej macierz odwrotną). Przemnażając obie strony powyższych równań przez (L (n-) ) -, (L (n-) ) -..., otrzymamy: A () = b () = ³L () ³L () ³ : : : L (n ) A (n) ³L () ³L () ³ : : : L (n ) b (n) wprowadzamy oznaczenia L = (L () ) (L () ) : : : (L (n ) ) U = A (n) = µl (n ) L (n ) : : : L () A () A = L U Jak znaleźć macierze (L (i) ) -? L () = ³ L () = 0 : : : 0 l : : : 0 : : : : : : 0 l n 0 : : : 0 : : : 0 l : : : 0 : : : : : : 0 l n 0 : : :
18 Sprawdzenie L (i) ³ L (i) = I macierz L jest macierzą dolną z jedynkami na diagonali: L = (L () ) (L () ) : : : (L (n ) ) 0 : : : : : : 0 l 0 : : : 0 L = l l 0 0 : : : : : : : : : 0 l n l n l n : : : Dysponując macierzami L i U można rozwiązać układ równań: Ax = b LUx = b poprzez rozwiązanie układów równań Ly = b Ux = y Rozwiązanie każdego z równań wiąże się z nakładem obliczeń jak dla układu z macierzą trójkątną (~n ). Rozkład LU (eliminacja Gaussa) to nakład rzędu ~0.n. macierz U jest macierzą górną z niezerowymi elementami na diagonali: U = u u u : : : u n 0 u u : : : u n 0 0 u : : : u nn : : : : : : : : : : : : : : : : : : u nn 8
19 Jaki jest wektor reszt rozwiązania? Norma maksymalna wektora reszt może być mała nawet dla źle uwarunkowanych macierzy. Zalety: r = b A~x = (A + ±A)~x A~x = ±A~x jjrjj = jjb A~xjj k "jj±ajj jj~xjj ) Duża wydajność dla dużej liczby równań. Rozkład LU opłaca się stosować w przypadku rozwiązywania wielu układów równań z tą samą macierzą współczynników układu A. Każdy układ równań różni się wtedy tylko wektorem wyrazów wolnych. Rozkład LU wykonuje się w takim przypadku tylko raz (ilość operacji ~n ). Rozwiązanie pojedynczego układu równań można znaleźć przy zastosowaniu algorytmu postępowania odwrotnego (ilość operacji ~n ). ) Oszczędność zajmowanej pamięci. Elementy macierzy L i U mogą zostać zapisane w macierzy A. ) Jeśli macierz A jest symetryczna i dodatniookreślona to nie trzeba dokonywać wyboru elementów podstawowych. 9
20 Układy równań z macierzą symetryczną. Rozkład LDL T Oznaczmy rozkład LU jako: Szukamy rozkładu macierzy A w postaci: A = LDU gdzie: L macierz trójkątna dolna z jedynkami na diagonali, D macierz diagonalna z elementami diagonalnymi macierzy ¹U, U macierz trójkątna górna z jedynkami na diagonali Wykorzystujemy symetrię macierzy co prowadzi do rozkładu dla macierzy symetrycznych: A = LDL T Rozwiązanie układu Ax=b: A = LU U T DL T = A T = A ) U = L T Lz = b Dy = z L T x = y Elementy rozkładu wyznaczamy rekurencyjnie a dla i=,,...,n oblicza się na przemian: Nakład obliczeń: Zalety: - nakład obliczeń dwukrotnie mniejszy niż w GCW - dzięki symetrii macierzy wystarczy zapamiętać elementów d = a l ij = a ij P j k= c ikl jk d j c ij = d j l ij ; j = ; ; : : : ; i d i = a ii Xi k= c ik l ik M = n + n n D = n n N = n(n + ) 0
21 Rozkład LL T (Banachiewicza-Cholesky'ego) Jeśli macierz A jest macierzą symetryczną dodatnio określoną wówczas można dokonać następującego rozkładu: Macierz L jest macierzą trójkątną dolną z elementami na diagonali mogącymi się różnić od. Macierz spełnia warunek A = LL T A = ¹ L ¹ L T więc rozkład ten nie jest jednoznaczny. Jeśli jednak liczby na diagonali macierzy L są dodatnie wówczas rozkład jest jednoznaczny, a elementy macierzy wyznaczamy ze wzorów: l ii = v u t aii ¹L = L Xi k= lik ; i = ; ; : : : ; n l ji = a ji P i k= l jkl ik ; j = i + ; i + ; : : : ; n l ii Nakład obliczeń: Przykład n p M = n + n n D = n + n + n A = i = : l = ; l = ; l = i = : l = ; l = i = : l = A = =
22 Inne zastosowania rozkładu LU. Obliczanie wyznacznika Aby obliczyć wyznacznik macierzy A możemy posłużyć się rozkładem det(l) = A = LU det(a + E) = det(lu) Wyznacznik macierzy U jest iloczynem elementów stojących na diagonali tej macierzy (n- operacji mnożenia). Odwracanie macierzy = det(l)det(u) = det(u) Aby znaleźć przy pomocy macierzy L i U macierz odwrotną A - należy rozwiązać n układów równań: LUx (i) = e (i) ; i = ; ; : : : ; n e (i) = [0; 0; : : : ; ; : : : ; 0] T LUX = I! X = A Rozwiązania układów równań x (i) stanowią kolumny macierzy odwrotnej A - (po uwzględnieniu ewentualnych przestawień wierszy wynikających z wyboru elementu podstawowego). Przykład Znaleźć macierz A - jeśli macierz A jest zdefiniowana: 0 A = L = 0 0 U = x () = = = x () = = = = = P n = x () = = = = A =
23 Układy równań z macierzą trójdiagonalną Szukamy rozwiązania układu równań: Zdarza się że macierz układu równań ma postać (np. równania z ilorazami różnicowymi): T = T x = b d c a d c a d c c n a n d n Można wykonać rozkład LU macierzy T, macierze te mają postać: U = u c u c 0 u c Elementy macierzy rozkładu obliczamy rekurencyjnie: u = d l i = a i u i u i = d i l i c i ;... c n u n i = ; ; : : : ; n L = l 0 l l n Rozwiązanie układu Tx=b: Ly = b Ux = y
24 Rozwiązanie: y = b y i = b i x n = y l i y i n u n x i = y i c i x i+ u i ; i = n ; n ; : : : ; gdzie: x jest poprawką, którą można łatwo wyznaczyć rozwiązując układ: A±x = r Należy jednak pamiętać, że wyznaczona poprawka do rozwiązania również jest przybliżeniem. Kolejne poprawione rozwiązanie, które uzyskamy będzie miało postać: ¹x = ~x + ±x + ±(±x) nakład obliczeń: M=n-, D=n- liczba zajętych komórek: P=n- Jeśli macierz jest dominująca kolumnowo to rozkład T=LU jest równoważny rozkładowi z częściowym wyborem elementu podstawowego (niezawodność metody). Iteracyjne poprawianie rozwiązania układu równań Błąd rozwiązania można sprawdzić obliczając wektor reszt: r = b A~x Zazwyczaj współrzędne wektora r są różne od zera. Oznacza to, że nie uzyskaliśmy dokładnego rozwiązania, ale przybliżone. Rozwiązanie to chcemy poprawić: ~x = x ±x Jeżeli wektor reszt r=b-ax jest obliczony dokładnie, poprawka x została wyznaczona metodą Gaussa- Crouta oraz zachodzi warunek: jjrjj "jjajj W (n)jj±xjj + jjaxjj " W (n) = 9 n + n 8n wówczas norma wektora reszt obliczona w kolejnych iteracjach maleje jjb A¹xjj jjb Axjj
25 Algorytm iteracyjnego poprawiania rozwiązania:. Rozwiązujemy układ Ax () =b metodą Gaussa. Obliczamy wektor reszt r () i sprawdzamy rozwiązanie. Sprawdzamy czy poniższy warunek jest prawdziwy jjr i jj > jjax () jj " jeśli nie to przerywamy obliczenia. Jeśli jest spełniony to kontynuujemy.. Obliczamy poprawkę i wyznaczamy ±x () x () = x () + ±x (). Wyznaczamy wektor reszt r () i sprawdzamy rozwiązanie. W razie konieczności powtarzamy kroki,, aż do skutku.
26 Rozwiązywanie układów liniowych nadokreślonych minimalizacja formy kwadratowej Jak rozwiązać poniższy problem? a : : : a n a : : : a n : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : a m : : : a mn dla warunku m > n x : : : : : : x n Brak dokładnego rozwiązania w większości przypadków. Można poszukiwać conajwyżej najlepszego przybliżenia rozwiązania w sensie średniokwadratowym. Dla r = b Ax rozwiązaniem średniokwadratowym problemu nadokreślonego (least square problem) jest taki wektor x, który minimalizuje normę: jjrjj = (r T r) = = b b : : : : : : : : : : : : b m Szukamy minimum funkcjonału F: (r T r) = = min! r T r = F = min F = (b Ax) T (b Ax) = (b T x T A T )(b Ax) = b T b b T Ax x T A T b + x T A T Ax Minimum znajdziemy jeśli = bt A A T b + A T Ax + x T A T A = 0 Dwa pierwsze wyrazy są identyczne, (podobnie i ) więc otrzymujemy warunek: A T Ax A T b = 0 A T Ax = A T b (A T A) = x = (A T A) A T b
27 Jeśli macierz A jest macierzą o rozmiarach mxn i elementach rzeczywistych, b jest wektorem m-elementowym, a x wektorem n elementowym spełniającym równanie A T (b Ax) = 0 wówczas dla dowolnego n-elementowego wektora y spełniona jest nierówność jjb Axjj jjb Ayjj Dla dowolnego wektora otrzymujemy warunek skąd wynika że wektor r jest ortogonalny do wszystkich wektorów z przestrzeni R(A) rozpiętej na wektorach kolumnowych macierzy A. Dlaczego? - bo macierz A jest prostokątna i nie generuje bazy zupełnej. Ponadto nadokreślony układ równań można przekształcić do postaci układu normalnego Macierz A T A jest symetryczna, dlatego układ normalny można rozwiązać metodą Cholesky'ego. Jeśli kolumny macierzy A są niezależne liniowo to macierz jest nieosobliwa. x = 0! Ax = 0 (Az) T (b Ax) = 0 (A T A)x = A T b x T (A T A)x = (Ax) T Ax = jjaxjj > 0! det(a T A) > 0
28 Gdy kolumny A są niezależne liniowo, wówczas rozwiązanie układu jest jednoznaczne gdzie macierz A I : x = A I b A I = (A T A) A T jest pseudoodwrotnością macierzy A. r = (I P A )b P A = AA I = A(A T A) A T P A jest operatorem rzutu ortogonalnego na przestrzeń rozpiętą na kolumnach macierzy A. Uwaga: jeśli kolumny A są zależne liniowo (bardzo często) to wówczas istnieje wiele rozwiązań (średniokwadratowych ) dających ten sam wektor reszt. Przykład wpływ uwarunkowania macierzy na rozwiązanie układu normalnego A = " " " ; b = ; j"j Przekształcamy do układu normalnego A T A = A T b = Dla precyzji obliczeń rzędu i macierz A T A staje się osobliwa układ nie posiada rozwiązania. Metody wykorzystujące rozkład QR Dla macierzy A o rozmiarach mxn, w której kolumny są niezależne liniowo istnieje jednoznaczny rozkład w postaci Q jest macierzą o rozmiarach mxn taką że: D jest macierzą diagonalną + " + " + " " ¼ 0 A = QR Q T Q = D D = diag(d ; d ; : : : ; d n ) d k > 0; k = ; : : : ; n 8
29 R jest macierzą trójkątną górną z elementami r kk = ; k = ; : : : ; n Warunek minimalizacji normy wektora reszt w sensie średniokwadratowym przyjmuje postać Ax = b ) A T Ax = A T b R T Q T QRx = R T Q T b R T DRx = R T Q T b DRx = Q T b Rx = D Q T b = y Jak wyznaczyć macierze Q i R? Zmodyfikowana metoda Grama-Schmidta Wyznaczamy ciąg macierzy A = A () ; A () ; : : : ; A (n+) = Q ³ A (k) = q ; : : : ; q k ; a (k) k ; : : : ; a(k) n q ;i a (k) ;i q i = : : : : : : : : : a(k) i = : : : q m;i a (k) m;i Założenia ) k- pierwszych kolumn w A (k) to także k- pierwszych kolumn w Q ) kolumny są ortogonalne do kolumn Proces ortogonalizacji polega na rekurencyjnej ortogonalizacji kolumn o indeksie od k do n w k-tej iteracji względem kolumny q k (usuwamy z nich przyczynki od q k ) w ten sposób wyznaczamy k-tą kolumnę R (elementy r kj ) oraz kolumnę k+ macierzy Q (elementy a j (k+) ). Klasyczna met. GS: a (k) k ; : : : ; a(k) n q ; : : : ; q k q k = a (k) k ; d k = q T k q k ; r kk = a (k+) j = a (k) j r kj a (k) k r kj = qt k a(k) j d k j = k + ; : : : ; n 9
30 klasyczna met. GS różni się kolejnością obliczeń: Jednocześnie przekształcamy wektor b tj.: b = b () ; b () ; : : : ; b (n+) b (k+) = b (k) y k q k ; d Po n+ krokach b (n+) jest to część wektora k pierwotnego ortogonalna do R(A) i stanowi wektor reszt. Po przeprowadzeniu procesu ortogonalizacji do końca (jeśli kolumny macierzy A są liniowo niezależne) dostajemy Q = (q ; : : : ; q n ) R = (r kj ) y = (y ; y ; : : : ; y n ) T A = QR b = Qy + r Rx = y q k = a k k X i= r ik q i r ik = qt i a k ; i = ; ; : : : ; k d i y k = qt k b(k) Wyznaczenie R i y wymaga wykonania mn(n+) operacji a rozwiązanie układu n(n+)/. Metoda Grama-Schmidta dla macierzy o liniowo zależnych kolumnach A = QR! AR = Q! Q = AS S=R - jest macierzą trójkątną górną. Stąd wynika q k = s k a + s k a + : : : + s kk a k Może się okazać że a, a,...,a k- są niezależne liniowo, ale a k jest już ich kombinacją (oraz wektorów q, q,...). Wtedy a (k) k = 0 (w macierzy Q) i powinniśmy przerwać proces ortogonalizacji. Jeśli jednak to istnieje wektor rank(a) > k a (k) j = 0; k j n Można więc przestawić kolumny j i k oraz prowadzić proces ortogonalizacji do momentu gdy pozostałe wektory a j (k) nie będą liniowo zależne. Szukamy wektora o największej normie: jja k sjj = max k j n jja(k) j jj a następnie za kolumnę k podstawiamy kolumnę s. 0
31 Dla rank(a)=r A <n rozkład QR ma postać Q = (q ; q ; : : : ; q ra ) A = Q(R; S) b = Qy + r Przykład zakładamy " ; " ¼ 0 gdzie: R rxr -macierz trójkątna górna (r kk =) S- macierz o rozmiarach r A x(n-r A ) Rozwiązania szukamy rozwiązując układ (R; S)x = y x = (x ; x ) T x = R y R Sx gdzie: x - ma r składowych, x jest dowolnym wektorem o n-r składowych (np. x =0). Q = R = x = 0 0 " " "= 0 " "= 0 0 "= 0 = 0 0 = = = ; r = " ; y = ; x dok = = = =( + " ) =( + " ) =( + " ) 0
Zaawansowane metody numeryczne
Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych. Krzysztof Patan
Układy równań liniowych Krzysztof Patan Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zadań redukuje się do problemu rozwiązania układu równań liniowych, często o bardzo dużych
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych
Bardziej szczegółowoUKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można
Bardziej szczegółowoWykład 5. Metoda eliminacji Gaussa
1 Wykład 5 Metoda eliminacji Gaussa Rozwiązywanie układów równań liniowych Układ równań liniowych może mieć dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania. Metody dokładne
Bardziej szczegółowo5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Wykład 4
Metody numeryczne Wykład 4 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Metody skończone rozwiązywania
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna Kurs INP002009W. Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych. Karol Tarnowski A-1 p.
Analiza numeryczna Kurs INP002009W Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.wroc.pl A-1 p.223 Plan wykładu Podstawowe pojęcia Własności macierzy Działania
Bardziej szczegółowoMatematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładów Błędy obliczeń Błędy można podzielić na: modelu, metody, wejściowe (początkowe), obcięcia, zaokrągleń..
Bardziej szczegółowoWartości i wektory własne
Dość często przy rozwiązywaniu problemów naukowych czy technicznych pojawia się konieczność rozwiązania dość specyficznego układu równań: Zależnego od n nieznanych zmiennych i pewnego parametru. Rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowoMet Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra
Bardziej szczegółowoWykład 6. Metoda eliminacji Gaussa: Eliminacja z wyborem częściowym Eliminacja z wyborem pełnym
1 Wykład 6 Metoda eliminacji Gaussa: Eliminacja z wyborem częściowym Eliminacja z wyborem pełnym ELIMINACJA GAUSSA Z WYBOREM CZĘŚCIOWYM ELEMENTÓW PODSTAWOWYCH 2 Przy pomocy klasycznego algorytmu eliminacji
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie układów równań liniowych
Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy
Bardziej szczegółowo1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Bardziej szczegółowo04 Układy równań i rozkłady macierzy - Ćwiczenia. Przykład 1 A =
04 Układy równań i rozkłady macierzy - Ćwiczenia 1. Wstęp Środowisko Matlab można z powodzeniem wykorzystać do rozwiązywania układów równań z wykorzystaniem rozkładów macierzy m.in. Rozkładu Choleskiego,
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany
Bardziej szczegółowoObliczenia naukowe Wykład nr 8
Obliczenia naukowe Wykład nr 8 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza numeryczna,
Bardziej szczegółowo, A T = A + B = [a ij + b ij ].
1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba a ij, to mówimy, że jest określona macierz prostokątna A = a ij typu m
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych
Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Piotr Modliński Wydział Geodezji i Kartografii PW 13 stycznia 2012 P. Modliński, GiK PW Rozw.
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
. Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21
Bardziej szczegółowo15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej
15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych i metody ich rozwiązywania
Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Bardziej szczegółowodr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Macierze
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek
Bardziej szczegółowo13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Bardziej szczegółowoA A A A A A A A A n n
DODTEK NR GEBR MCIERZY W dodatku tym podamy najważniejsze definicje rachunku macierzowego i omówimy niektóre funkcje i transformacje macierzy najbardziej przydatne w zastosowaniach numerycznych a w szczególności
Bardziej szczegółowoRACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska
RACHUNEK MACIERZOWY METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy
Bardziej szczegółowoDefinicja macierzy Typy i właściwości macierzy Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy RACHUNEK MACIERZOWY
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy funkcję
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50
Metody numeryczne Układy równań liniowych, część II Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50 Układy równań liniowych, część II 1. Iteracyjne poprawianie
Bardziej szczegółowo; B = Wykonaj poniższe obliczenia: Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję wyniki. Mam nadzieję, że umiesz mnożyć macierze...
Tekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania. Zadanie. Dane są macierze: A D 0 ; E 0 0 0 ; B 0 5 ; C Wykonaj poniższe obliczenia: 0 4 5 Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele
Bardziej szczegółowo1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami iteracyjnymi
Rozwiązywanie algebraicznych układów równań liniowych metodami iteracyjnymi Plan wykładu: 1. Przykłady macierzy rzadkich i formaty ich zapisu 2. Metody: Jacobiego, Gaussa-Seidla, nadrelaksacji 3. Zbieżność
Bardziej szczegółowoO MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Faktoryzacja QR i SVD. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Faktoryzacja QR i SVD P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Transformacja Householdera Niech u R N, u 0. Tworzymy macierz W sposób oczywisty P T = P. Obliczmy
Bardziej szczegółowoa 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j =
11 Algebra macierzy Definicja 11.1 Dla danego ciała F i dla danych m, n N funkcję A : {1,..., m} {1,..., n} F nazywamy macierzą m n (macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Bardziej szczegółowoKrótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników
Radosław Marczuk Krótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników 12 listopada 2005 1. Macierze Macierzą nazywamy układ liczb(rzeczywistych, bądź zespolonych), funkcji, innych macierzy w postaci: A a 11
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Równania macierzowe. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Równania macierzowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Co można zrobić z układem równań... tak, aby jego rozwiazania się nie zmieniły? Rozważam
Bardziej szczegółowoZadania egzaminacyjne
Rozdział 13 Zadania egzaminacyjne Egzamin z algebry liniowej AiR termin I 03022011 Zadanie 1 Wyznacz sumę rozwiązań równania: (8z + 1 i 2 2 7 iz 4 = 0 Zadanie 2 Niech u 0 = (1, 2, 1 Rozważmy odwzorowanie
Bardziej szczegółowoLista. Algebra z Geometrią Analityczną. Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami:
Lista Algebra z Geometrią Analityczną Zadanie 1 Przypomnij definicję grupy, które z podanych struktur są grupami: (N, ), (Z, +) (Z, ), (R, ), (Q \ {}, ) czym jest element neutralny i przeciwny w grupie?,
Bardziej szczegółowoPODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
Bardziej szczegółowoDB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
Bardziej szczegółowoMetody dekompozycji macierzy stosowane w automatyce
Metody dekompozycji macierzy stosowane w automatyce Grzegorz Mzyk Politechnika Wrocławska, WydziałElektroniki 23 lutego 2015 Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 Rozkład LU 3 Rozkład spektralny 4 Rozkład Cholesky
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Janusz Szwabiński. nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 11/11/ :45 p.
Metody numeryczne Układy równań liniowych, część I Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p./83 Układy równań liniowych, część I. Pojęcia
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Bardziej szczegółowo= i Ponieważ pierwiastkami stopnia 3 z 1 są (jak łatwo wyliczyć) liczby 1, 1+i 3
ZESTAW I 1. Rozwiązać równanie. Pierwiastki zaznaczyć w płaszczyźnie zespolonej. z 3 8(1 + i) 3 0, Sposób 1. Korzystamy ze wzoru a 3 b 3 (a b)(a 2 + ab + b 2 ), co daje: (z 2 2i)(z 2 + 2(1 + i)z + (1 +
Bardziej szczegółowo10. Metody obliczeniowe najmniejszych kwadratów
10. Metody obliczeniowe najmniejszych kwadratów 1. Dowód twierdzenia o faktoryzacji macierzy Twierdzenie 1 Każdadodatniookreślon aisymetryczn amacierzm można przedstawíc wpostaci M = PP T gdzie P jest
Bardziej szczegółowoIII TUTORIAL Z METOD OBLICZENIOWYCH
III TUTORIAL Z METOD OBLICZENIOWYCH ALGORYTMY ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH Opracowanie: Agata Smokowska Marcin Zmuda Trzebiatowski Koło Naukowe Mechaniki Budowli KOMBO Spis treści: 1. Wstęp do
Bardziej szczegółowoAnaliza numeryczna Lista nr 3 (ćwiczenia) x x 2 n x.
Analiza numeryczna Lista nr 3 (ćwiczenia) Sprawdzić że macierz ma wartości własne2+ 222 2 2 Niechx R n Udowodnić że 2 0 0 x x 2 n x 3 NiechA R n n będzie macierzą symetryczną Wiadomo że wówczas istnieje
Bardziej szczegółowoMetody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych (5.3) Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech. x i. i =1
Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech 1 X =[x x Y y =[y1 x n], oznaczają wektory przestrzeni R n, a yn] niech oznacza liczbę rzeczywistą. Wyrażenie x i p 5.3.1.a X p = p n i =1 nosi nazwę p-tej normy
Bardziej szczegółowoWykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoMetoda eliminacji Gaussa. Autorzy: Michał Góra
Metoda eliminacji Gaussa Autorzy: Michał Góra 9 Metoda eliminacji Gaussa Autor: Michał Góra Przedstawiony poniżej sposób rozwiązywania układów równań liniowych jest pewnym uproszczeniem algorytmu zwanego
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Faktoryzacja LU. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Faktoryzacja LU P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2014 Co można zrobić z układem równań... tak, aby jego rozwiazania się nie zmieniły? Rozważam
Bardziej szczegółowoD1. Algebra macierzy. D1.1. Definicje
D1. Algebra macierzy W niniejszym dodatku podamy podstawowe operacje macierzowe oraz niektóre techniki algebry macierzowej nie dbając szczególnie o formalizm matematyczny. Zakres jest wystarczający dla
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
Wykłady z matematyki inżynierskiej JJ, 08 DEFINICJA Układ m równań liniowych z n niewiadomymi to: ( ) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 +
Bardziej szczegółowomacierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same
1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,
Bardziej szczegółowo1. PODSTAWY TEORETYCZNE
1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1 1. 1. PODSTAWY TEORETYCZNE 1.1. Wprowadzenie W pierwszym wykładzie przypomnimy podstawowe działania na macierzach. Niektóre z nich zostały opisane bardziej szczegółowo w innych
Bardziej szczegółowoNUMERYCZNE METODY ROZWIĄZYWANIA ROWNAŃ LINIOWYCH. PRZYGOTOWAŁA: ANNA BANAŚ KoMBo, WILiŚ
NUMERYCZNE METODY ROZWIĄZYWANIA ROWNAŃ LINIOWYCH PRZYGOTOWAŁA: ANNA BANAŚ KoMBo, WILiŚ PODZIAŁ DOKŁADNE ELIMINACYJNE DEKOMPOZYCYJNE ELIMINACJI GAUSSA JORDANA GAUSSA-DOOLITTLE a GAUSSA-CROUTA CHOLESKY EGO
Bardziej szczegółowo1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
Bardziej szczegółowoWEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej
WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY Ac λ c (*) ( A λi) c nietrywialne rozwiązanie gdy det A λi problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej A - macierzowa
Bardziej szczegółowoWektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne II. Układy równań liniowych
Metody numeryczne II. Układy równań liniowych Oleksandr Sokolov Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej UMK (2016/17) http://fizyka.umk.pl/~osokolov/mnii/ Układ równań liniowych Układem równań
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowo2. Układy równań liniowych
2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)
Bardziej szczegółowo3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Bardziej szczegółowoWłasności wyznacznika
Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. 1. Macierze.
Algebra liniowa 1 Macierze Niech m oraz n będą liczbami naturalnymi Przestrzeń M(m n F) = F n F n będącą iloczynem kartezjańskim m egzemplarzy przestrzeni F n z naturalnie określonymi działaniami nazywamy
Bardziej szczegółowoAproksymacja. funkcji: ,a 2. ,...,a m. - są funkcjami bazowymi m+1 wymiarowej podprzestrzeni liniowej X m+1
Założenie: f(x) funkcja którą aproksymujemy X jest przestrzenią liniową Aproksymacja liniowa funkcji f(x) polega na wyznaczeniu współczynników a 0,a 1,a 2,...,a m funkcji: Gdzie: - są funkcjami bazowymi
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych
Algebra liniowa Macierze i układy równań liniowych Własności wyznaczników det I = 1, det(ab) = det A det B, det(a T ) = det A. Macierz nieosobliwa Niech A będzie macierzą kwadratową wymiaru n n. Mówimy,
Bardziej szczegółowoAlgebra liniowa z geometrią
Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........
Bardziej szczegółowoWykład III Układy równań liniowych i dekompozycje macierzy
Wykład III Układy równań liniowych i dekompozycje macierzy Metody eliminacji i podstawienia wstecz Metoda dekompozycji LU i jej zastosowania Metody dla macierzy specjalnych i rzadkich Metody iteracyjne
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy
Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową
Bardziej szczegółowoWstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa i faktoryzacja LU. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa i faktoryzacja LU P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2018 Co można zrobić z układem równań... tak, aby jego rozwiazania się nie zmieniły? Rozważam
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE. wykład. konsultacje: wtorek 10:00-11:30 środa 10:00-11:30. dr inż. Grażyna Kałuża pokój
METODY NUMERYCZNE wykład dr inż. Grażyna Kałuża pokój 103 konsultacje: wtorek 10:00-11:30 środa 10:00-11:30 www.kwmimkm.polsl.pl Program przedmiotu wykład: 15 godzin w semestrze laboratorium: 30 godzin
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne Układy równań liniowych Rozpatruje się układ n równań liniowych zawierających n niewiadomych: a11x1 a12x2... a1nxn b1 a21x1 a22x2... a2nxn b2... an 1x1 an2x2...
Bardziej szczegółowoRozwiazywanie układów równań liniowych. Ax = b
Rozwiazywanie układów równań liniowych Ax = b 1 PLAN REFERATU: Warunki istnienia rozwiazań układu Metoda najmniejszych kwadratów Metoda najmniejszych kwadratów - algorytm rekurencyjny Rozwiazanie układu
Bardziej szczegółowoAlgebra WYKŁAD 3 ALGEBRA 1
Algebra WYKŁAD 3 ALGEBRA 1 Liczby zespolone Postać wykładnicza liczby zespolonej Niech e oznacza stałą Eulera Definicja Równość e i cos isin nazywamy wzorem Eulera. ALGEBRA 2 Liczby zespolone Każdą liczbę
Bardziej szczegółowoWykład 7 Macierze i wyznaczniki
Wykład 7 Macierze i wyznaczniki Andrzej Sładek sladek@ux2mathusedupl Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski w Katowicach Andrzej Sładek (Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski Wykład w Katowicach) 7
Bardziej szczegółowoMACIERZE I WYZNACZNIKI
Wykłady z matematyki inżynierskiej IMiF UTP 07 MACIERZ DEFINICJA. Macierza o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporza dkowanie każdej uporza dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie 1 i m, 1
Bardziej szczegółowo= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4 " 5 3$ 7&=0 5$+7&=4
17. Układ równań 17.1 Co nazywamy układem równań liniowych? Jak zapisać układ w postaci macierzowej (pokazać również na przykładzie) Co to jest rozwiązanie układu? Jaki układ nazywamy jednorodnym, sprzecznym,
Bardziej szczegółowoφ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych
Układy równań liniowych ozważmy układ n równań liniowych o współczynnikach a ij z n niewiadomymi i : a + a +... + an n d a a an d a + a +... + a n n d a a a n d an + an +... + ann n d n an an a nn n d
Bardziej szczegółowodet[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...
Wykład 14 Wyznacznik macierzy cd Twierdzenie 1 Niech A będzie macierzą kwadratową i niech A i, A j będą dwiema różnymi jej kolumnami, wtedy dla dowolnego k K: det[a 1,, A i,, A j,, A n ] det[a 1,, A i
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA. Wykład 2. Analityka gospodarcza, sem. 1. Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska
ALGEBRA LINIOWA Wykład 2 Analityka gospodarcza, sem 1 Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska dr inż Natalia Jarzębkowska, CNMiKnO semzimowy 2018/2019 2/17 Macierze Niech M = {1, 2,, m} i N
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie wektorowe
Rozdział 4 Przestrzenie wektorowe Rozważania dotyczące przestrzeni wektorowych rozpoczniemy od kilku prostych przykładów. Przykład 4.1. W przestrzeni R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} wprowadzamy dwa działania:
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 1 Zadanie Definicja 1.1. (zadanie) Zadaniem nazywamy zagadnienie znalezienia rozwiązania x spełniającego równanie F (x, d) = 0, gdzie d jest zbiorem danych (od których zależy rozwiązanie x), a F
Bardziej szczegółowo1 Elementy logiki i teorii mnogości
1 Elementy logiki i teorii mnogości 11 Elementy logiki Notatki do wykładu Definicja Zdaniem logicznym nazywamy zdanie oznajmujące, któremu przysługuje jedna z dwu logicznych ocen prawda (1) albo fałsz
Bardziej szczegółowoBaza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
Bardziej szczegółowo2 1 3 c c1. e 1, e 2,..., e n A= e 1 e 2...e n [ ] M. Przybycień Matematyczne Metody Fizyki I
Liniowa niezależno ność wektorów Przykład: Sprawdzić czy następujące wektory z przestrzeni 3 tworzą bazę: e e e3 3 Sprawdzamy czy te wektory są liniowo niezależne: 3 c + c + c3 0 c 0 c iei 0 c + c + 3c3
Bardziej szczegółowo"Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub
"Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub Def. Macierzą odwrotną do macierzy A M(n) i deta nazywamy macierz A - M(n) taką, że A A - A - A Tw.
Bardziej szczegółowoEkoenergetyka Matematyka 1. Wykład 3.
Ekoenergetyka Matematyka Wykład 3 MACIERZE Macierzą wymiaru n m, gdzie nm, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z n wierszy i m kolumn: a a2 a j am a2 a22 a2 j a2m [ a ] nm A ai ai 2 a aim - i-ty wiersz
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone i
Zadania podstawowe Liczby zespolone Zadanie Podać część rzeczywistą i urojoną następujących liczb zespolonych: z = ( + 7i)( + i) + ( 5 i)( + 7i), z = + i, z = + i i, z 4 = i + i + i i Zadanie Dla jakich
Bardziej szczegółowoZestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami Załóżmy, że macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, że macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne i statystyka dla in»ynierów
Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Ukªady równa«liniowych PWSZ Gªogów, 2009 Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zada«redukuje si do problemu rozwi zania ukªadu
Bardziej szczegółowo