Metody numeryczne. Janusz Szwabiński. nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 11/11/ :45 p.
|
|
|
- Rafał Piotrowski
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Metody numeryczne Układy równań liniowych, część I Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p./83
2 Układy równań liniowych, część I. Pojęcia podstawowe Normy Macierze trójkątne Wyznaczniki Układy równań liniowych 2. Metody dokładne rozwiązywania układów równań Analiza zaburzeń Wzory Cramera Układy trójkątne Eliminacja Gaussa Rozkład LU nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.2/83
3 Układy równań liniowych, część I 2. Metody dokładne rozwiązywania układów równań (cd.) Metoda Doolittle a Macierze dominujące diagonalnie Równoważenie układów liniowych Metoda eliminacji Jordana Inne metody dokładne Układy z macierzą trójdiagonalną Wyznaczniki Macierze odwrotne nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.3/83
4 Normy () Definicja Normą w przestrzeni R n nazywamy funkcję. : R n 0, + ) o następujących własnościach:. x 0 dla każdego x R n, 2. αx = α x dla każdego α R i dla każdego x R n, 3. x x 2 x + x 2 dla każdej pary x, x 2 R n (nierówność trójkąta), 4. x = 0 x = 0. nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.4/83
5 Normy (2) Niech x = [x,..., x n ] T R n. Najczęściej stosowane (w obliczeniach numerycznych) normy: x = x x n, x 2 = (x x 2 n) /2, x = max{ x,..., x n }. Jeżeli ciąg wektorów { x (i)} dąży do wektora zerowego w i= jednej z powyższych norm, to zbieżność zachodzi również dla dowolnej innej normy normy są równoważne nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.5/83
6 Normy (3) Definicja Normą macierzy A nazywamy A pq = max x R n x 0 Ax q x p. Jeżeli p = q, piszemy A p. Twierdzenie A = max j=,...,n n i= a ij (maksymalna suma modułów w kolumnie) nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.6/83
7 Normy (4) Twierdzenie 2 A 2 = λ max, gdzie λ max to największa wartość własna macierzy A T A. Twierdzenie 3 A = max i=,...,n n j= a ij (maksymalna suma modułów w wierszu) nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.7/83
8 Normy (5) Definicja Euklidesową normą macierzy (normą Schura, normą Frobeniusza) nazywamy m n A E = a 2 ij. i= j= A E jest zgodna z. 2, tzn. dla każdego x R n Ax 2 A E x 2 stosuje się ją często zamiast A 2 nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.8/83
9 Macierze trójkatne () Macierz trójkątna lewa (dolna): l 0 0 l 2 l 22 0 L = l n l n2 l nn Macierz trójkątna prawa (górna): u u 2 u n 0 u 22 u 2n U = u nn nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.9/83
10 Macierze trójkatne (2) Własności: sumy, iloczyny i odwrotności macierzy trójkątnych tego samego rodzaju są znów macierzami trójkątnymi det L = l l l nn det U = u u u nn nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.0/83
11 Wyznaczniki () Definicja Wyznacznikiem macierzy kwadratowej a a 2 a n a 2 a 22 a 2n A = a n a n2 a nn nazywamy liczbę det A = f ( ) I f a α a 2α2... a nαn, gdzie f oznacza sumowanie po wszystkich permutacjach liczb naturalnych, 2,..., n, a I f oznacza ilość inwersji w permutacji f. nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p./83
12 Wyznaczniki (2) Definicja Minorem M ik wyznacznika det A nazywamy wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A po skreśleniu i tego wiersza i k tej kolumny. Definicja Dopełnieniem algebraicznym A ik elementu a ik macierzy A nazywamy liczbę A ik = ( ) i+k M ik. nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.2/83
13 Wyznaczniki (3) Twierdzenie 4 Rozwinięcie Laplace a wzdłuż i tego wiersza: det A = n j= a ij A ij Twierdzenie 5 Rozwinięcie Laplace a wzdłuż k tej kolumny: det A = n j= a jk A jk wyliczenie wyznacznika macierzy n n wymaga n! mnożeń dla dużych n (rzędu np. 000 czy 00000) rozwinięcia Laplace a są bezużyteczne nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.3/83
14 Układy równań liniowych () a x a n x n = b a 2 x a 2n x n = b 2. a m x a mn x n = b m Macierz układu A = a a 2 a n a 2 a 22 a 2n a m a m2 a mn nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.4/83
15 Układy równań liniowych (2) Macierz rozszerzona układu a a 2 a n b a 2 a 22 a 2n b 2 D = a m a m2 a mn b m Twierdzenie 6 (Capellego) Warunkiem koniecznym i wystarczajacym rozwiazywalności dowolnego układu równań liniowych jest, aby rzad r macierzy A układu był równy rzędowi macierzy rozszerzonej D. nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.5/83
16 Układy równań liniowych (3) Niech n - liczba niewiadomych r - rząd macierzy A i D układ posiada rozwiązanie zależne od (n r) parametrów nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.6/83
17 Metody bezpośrednie (dokładne) Definicja Metodami dokładnymi (bezpośrednimi) rozwiązywania układów równań liniowych nazywamy metody, które przy braku błędów zaokrągleń dają dokładne rozwiązanie po skończonej liczbie przekształceń układu wyjściowego Zalety: duża efektywność dla układów o macierzach pełnych Wady: duże obciążenie pamięci możliwa niestabilność ze względu na błędy zaokrągleń nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.7/83
18 Analiza zaburzeń () Rozwiązanie przybliżone układu Ax = b zastępujemy rozwiązaniem dokładnym układu (A + δa)(x + δx) = b + δb nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.8/83
19 δb 0 i δa = 0 () W tym przypadku mamy A(x + δx) = b + δb Ax + Aδx = b + δb Aδx = δb δx = A δb Stąd dla dowolnych norm wektorów δx oraz δb δx p A qp δb q nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.9/83
20 δb 0 i δa = 0 (2) Jeśli b 0, to δx p A qp δb q x p x p = A qp b q x p δb q b q K pq δb q b q, gdzie K pq to wskaźnik uwarunkowania układu K pq = A qp A pq. nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.20/83
21 δb 0 i δa = 0 (3) Przykład A =, , , 26 0, 44, A = 0 8 0, 44 0, , 26, 2969 Stąd wynika A = 2, 67, A =, , oraz K = A A 3, rozwiązując układ opisany macierzą A w najgorszym wypadku możemy utracić 8 miejsc istotnych dokładności układ bardzo źle uwarunkowany nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.2/83
22 δb = 0 i δa 0 Z równania macierzowego (A + δa)(x + δx) = b wynika a stąd czyli δx = A δa(x + δx), δx A δa x + δx, δx x + δx A δa = K δa A nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.22/83
23 δb 0 i δa 0 () Niech U - jednostka maszynowa A + δa - macierz A po zaokrągleniu Wówczas (a ij + δa ij ) a ij = δa ij U a ij Stąd max i n n j= δa ij U max i n n j= a ij, czyli δa U A nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.23/83
24 δb 0 i δa 0 (2) Analogicznie δb U b Biorąc pod uwagę poprzednie przypadki, otrzymamy δx x 2UK nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.24/83
25 Wzory Cramera Twierdzenie 7 Układ równań liniowych Cramera (tzn.: o nieosobliwej macierzy współczynników) ma dokładnie jedno rozwiazanie postaci x k = det A k det A, k =, 2,..., n, gdzie macierz A k powstaje z macierzy A przez zastapienie k tej kolumny przez wektor b Własności: oszczędność pamięci bardzo duży nakład obliczeń (wyklucza praktyczne zastosowania dla dużych n) nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.25/83
26 Układy trójkatne () Rozważmy układ a x + a 2 x a n x n = b a 22 x a 2n x n = b 2 Rozwiązanie (tzw. podstawianie wstecz) x n = b n a nn, x i = b i gdzie i = n, n 2,..., a nn x n = b n n k=i+ a ikx k a ii,. nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.26/83
27 Układy trójkatne (2) Jeśli macierz układu jest macierzą trójkątną dolną, stosujemy podstawianie w przód: Nakład obliczeń: x = b a x i = b i i k= a ikx k, i = 2,..., n a ii M = 2 n2 + n mnożeń i dzieleń 2 D = 2 n2 2 n dodawań nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.27/83
28 Eliminacja Gaussa () (i) sprowadzenie układu do postaci trójkątnej (eliminacja zmiennych), (ii) rozwiązanie układu trójkątnego Rozważmy układ równań A () x = b () postaci a () x + a () 2 x a () n x n = b () a () 2 x + a () 22 x a () 2n x n = b () 2 a () n x + a () n2 x a () nnx n = b () n Od i tego wiersza (i = 2, 3,..., n) odejmujemy pierwszy pomnożony przez a () i /a(),. nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.28/83
29 Eliminacja Gaussa (2) a (2) x + a (2) 2 x a (2) n x n = b (2) a (2) 22 x a (2) 2n x n = b (2) 2 a (2) n2 x a (2) nnx n = b (2) n wyeliminowaliśmy niewiadomą x z wierszy o indeksach i = 2, 3,..., n Odejmujemy od j tego wiersza układu (j = 3, 4,..., n) wiersz drugi pomnożony przez a (2) j2 /a(2) 22,. nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.29/83
30 Eliminacja Gaussa (3) a (3) x + a (3) 2 x 2 + a (3) 3 x a (3) n x n = b (3) a (3) 22 x 2 + a (3) 23 x a (3) 2n x n = b (3) 2 a (3) n3 x a (3) nnx n = b (3) n wyeliminowaliśmy niewiadomą x 2 z wierszy o indeksach i = 3,..., n. nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.30/83
31 Eliminacja Gaussa (4) Po (n ) eliminacjach a (n) x + a (n) 2 x a (n) n x n = b (n) Nakład obliczeń a (n) 22 x a (n) 2n x n = b (n) 2 a nn (n) x n = b n (n). M = 3 n3 + n 2 3 mnożeń i dzieleń D = 3 n3 + 2 n2 5 6 n dodawań liczba operacji bez porównania mniejsza niż dla wzorów Cramera nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.3/83
32 Częściowy wybór elementu podstawowego () Przykład Rozważmy układ x = 3 2 macierz układu jest nieosobliwa, więc istnieje jednoznaczne rozwiązanie, ale... stosując eliminację Gaussa obliczenia zostaną przerwane przy eliminacji x, ponieważ a = 0 metoda nie jest niezawodna nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.32/83
33 Częściowy wybór elementu podstawowego (2) Definicja Elementem podstawowym nazywamy ten element macierzy A, za pomocą którego dokonujemy eliminacji zmiennej z dalszych równań Metoda Gaussa-Crouta (modyfikacja eliminacji Gaussa): zmień kolejność wierszy (rozwiązanie układu nie zmienia się), aby znaleźć optymalny element podstawowy nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.33/83
34 Częściowy wybór elementu podstawowego (3) Przykład Rozważmy ponownie układ x = 0 Zamieniamy wiersz pierwszy z trzecim, x = nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.34/83
35 Częściowy wybór elementu podstawowego (4) Przykład (ciąg dalszy) Od drugiego wiersza odejmujemy pierwszy pomnożony przez 3/, od trzeciego - pierszy pomnożony przez 0/, x = Od trzeciego wiersza odejmujemy drugi pomnożony przez 2/3, x = nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.35/83
36 Częściowy wybór elementu podstawowego (5) Przykład (ciąg dalszy) Stosując metodę podstawiania wstecz, otrzymujemy ostatecznie x = nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.36/83
37 Częściowy wybór elementu podstawowego (6) Przykład SUBROUTINE ELGS (A,N,INDX) IMPLICIT NONE INTEGER, INTENT (IN) :: N INTEGER :: I,J,K,ITMP INTEGER, INTENT (OUT), DIMENSION (N) :: INDX REAL :: C,PI,PI,PJ REAL, INTENT (INOUT), DIMENSION (N,N) :: A REAL, DIMENSION (N) :: C DO I =, N INDX(I) = I END DO nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.37/83
38 Częściowy wybór elementu podstawowego (7) DO J =, N- PI = 0.0 DO I = J, N PI = ABS(A(INDX(I),J)) IF (PI.GT.PI) THEN PI = PI!wybór elementu podstawowego K = I ENDIF END DO ITMP = INDX(J) INDX(J) = INDX(K)!zmień kolejność wierszy INDX(K) = ITMP DO I = J+, N PJ = A(INDX(I),J)/A(INDX(J),J) A(INDX(I),J) = PJ!zapisz PJ poniżej przekątnej DO K = J+, N A(INDX(I),K) = A(INDX(I),K)-PJ*A(INDX(J),K) END DO END DO END DO END SUBROUTINE ELGS nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.38/83
39 Częściowy wybór elementu podstawowego (8) SUBROUTINE LEGS (A,N,B,X,INDX) IMPLICIT NONE INTEGER, INTENT (IN) :: N INTEGER :: I,J INTEGER, INTENT (OUT), DIMENSION (N) :: INDX REAL, INTENT (INOUT), DIMENSION (N,N) :: A REAL, INTENT (INOUT), DIMENSION (N) :: B REAL, INTENT (OUT), DIMENSION (N) :: X CALL ELGS (A,N,INDX) DO I =, N- DO J = I+, N!zmodyfikuj b B(INDX(J)) = B(INDX(J))-A(INDX(J),I)*B(INDX(I)) END DO END DO nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.39/83
40 Częściowy wybór elementu podstawowego (9) X(N) = B(INDX(N))/A(INDX(N),N)!oblicz x DO I = N-,, - X(I) = B(INDX(I)) DO J = I+, N X(I) = X(I)-A(INDX(I),J)*X(J) END DO X(I) = X(I)/A(INDX(I),I) END DO END SUBROUTINE LEGS nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.40/83
41 Rozkład LU () Przekształcenie A () x = b () A (2) x = b (2) jest równoważne pomnożeniu obu stron układu A () x = b () przez macierz l L () = l l n , l i = a() i, i = 2, 3,..., n a () nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.4/83
42 Rozkład LU (2) Otrzymujemy dwa równania: L () A () = A (2), L () b () = b (2) Podobnie, L (2) A (2) = A (3), L (2) b (2) = b (3) przy czym L (2) = l l n2 0..., l i2 = a(2) i2, i = 3,..., n a (2) 22 nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.42/83
43 Rozkład LU (3) Ostatecznie, L (n ) L (n 2)... L () A () = A (n) oraz L (n ) L (n 2)... L () b () = b (n) Macierze L (i), i =,..., n, są nieosobliwe, możemy więc zapisać A () = (L () ) (L (2) )... (L (n) ) A (n) nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.43/83
44 Rozkład LU (4) Ponadto, L (L () ) (L (2) )... (L (n) ) = l l 3 l l n l n2 l n3... A (n) jest macierzą trójkątną górną A = L U nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.44/83
45 Rozkład LU (5) Zastosowanie do układów równań liniowych Ly = b Ax = b Ux = y zapamiętując L i U, możemy szybko rozwiązać wiele układów różniących się wektorami b zarządzanie pamięcią maszyny: a a 2 a 3... a n a 2 a 22 a a 2n a 3 a 32 a a 3n u u 2 u 3... u n l 2 u 22 u u 2n l 3 l 32 u u 3n a n a n2 a n3... a nn l n l n2 l n3... u nn nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.45/83
46 Metoda Doolitle a () Przykład Niech = l 2 0 l 3 l 32 u u 2 u 3 0 u 22 u u 33 Stąd 3 = u, 3 = u 2, 0 = u 3, 0 = 3l 2, = 3l 3, 2 = u 22, 2 = 0 + u 23, 0 = l 32, = 0 + ( 2) 2 u33, nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.46/83
47 Metoda Doolitle a (2) Przykład (ciąg dalszy) czyli = nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.47/83
48 Metoda Doolitle a (3) W przypadku ogólnym dla i =, 2,..., n u ij = a ij i k= l ik u kj, j = i, i +,..., n, l ji = a ji i k= l jku ki, j = i +, i + 2,..., n u ii Nakład obliczeń: rozkład LU M = 3 n3 3 n mnożeń, D = 3 n3 2 n2 + 6 n dodawań rozkład LU i rozwiązanie układu równań M = 3 n3 + n 2 3 n i D = 3 n3 + 3 n2 5 6 n nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.48/83
49 Metoda Doolitle a (4) Przykład Rozważmy macierz Wprowadzamy dodatkową kolumnę indeksującą wiersze nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.49/83
50 Metoda Doolitle a (5) Przykład (ciąg dalszy) Element podstawowy wybieramy tak, aby u ii miało jak największą wartość. Dla i = w zależności od tego, czy na pierwszym miejscu ustawimy wiersz pierwszy, drugi czy trzeci, uzyskamy odpowiednio u = 20, u = 30 oraz u = 5. Dlatego zamieniamy miejscami wiersz pierwszy z drugim, nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.50/83
51 Metoda Doolitle a (6) Przykład (ciąg dalszy) Obliczamy: u = 30, u 2 = a 2 = 24, u 3 = a 3 = 8, l 2 = 2, 3 l 3 = 2 Wartości te wpisujemy do macierzy A nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.5/83
52 Metoda Doolitle a (7) Przykład (ciąg dalszy) Dla i = 2 otrzymamy lub u 22 = a 22 a 2 a 2 = u 22 = a 32 a 3 a 2 = = 5 24 = 20 w zależności od tego, czy na drugim miejscu ustawimy wiersz drugi czy trzeci. Zamieniamy wiersze miejscami, nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.52/83
53 Metoda Doolitle a (8) Przykład (ciąg dalszy) Obliczamy u 22 = 20, u 23 = a 23 a 2 a 3 = 2, u 32 = 5 20 Stąd nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.53/83
54 Metoda Doolitle a (9) Przykład (ciąg dalszy) Dla i = 3 obliczamy u 33 = 2. Stąd w miejsce macierzy A otrzymaliśmy rozkład LU macierzy, która składa się z wierszy 2, 3 i macierzy wyjściowej A nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.54/83
55 Błędy zaokragleń () Trzy etapy rozwiązania (i) wyznaczenie rozkładu à = LU metodą Gaussa lub Doolittle a (metody są równoważne numerycznie). à oznacza przy tym macierz wyjściową z odpowiednio poprzestawianymi wierszami, (ii) znalezienie rozwiązania układu Ly = b, (iii) znalezienie rozwiązania układu Ux = y. W etapie pierwszym: LU = à + E, gdzie macierz E to błąd rozkładu nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.55/83
56 Błędy zaokragleń (2) W etapie drugim i trzecim: (L + δl)y = b, (U + δu)x = y Stąd (à + E + LδU + δlu + δlδu)x = b Można pokazać, że zaburzenie ma oszacowanie δa à ɛ δa = E + LδU + δlu + δlδu ( 9 2 n3 + 6 ) 2 n2 8n 6 + O(ɛ) nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.56/83
57 Błędy zaokragleń (3) Stąd wynika gdzie δx x α α α = ɛko ( 9 n3) 2 O ( 9 n3) = ( n n2 8n 6 ) K - wskaźnik uwarunkowania nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.57/83
58 Macierze dominujace diagonalnie () Definicja Macierz kwadratową A nazywamy diagonalnie dominującą, jeżeli a ii n k= k i a ik, i =, 2,..., n. Jeżeli nierówności są ostre, mówimy o macierzy silnie diagonalnie dominującej. Definicja Macierz A jest diagonalnie dominująca kolumnowo, jeżeli A T jest diagonalnie dominująca, tzn. a ii n k= k i a ki, i =, 2,..., n. nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.58/83
59 Macierze dominujace diagonalnie (2) Twierdzenie 8 Jeżeli macierz A jest nieosobliwa i diagonalnie dominujaca kolumnowo, to przy eliminacji metoda Gaussa Crouta nie ma potrzeby przestawiania wierszy. Dowód Pokażemy, że po wyeliminowaniu m niewiadomych, uzyskana macierz jest nadal macierzą diagonalnie dominującą kolumnowo. Macierz A () jest diagonalnie dominująca kolumnowo z założenia. Pierwszym elementem podstawowym jest więc a (). Wszystkie mnożniki l k = a () k /a(), k = 2,..., n, spełniają warunek n l k. k=2 nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.59/83
60 Macierze dominujace diagonalnie (3) Dowód (ciąg dalszy) Po eliminacji pierwszej niewiadomej uzyskamy z kolumn i wierszy o numerach 2,..., n macierz o elementach Stąd wynika, a (2) ki = a () ki l k a () i, k, i = 2,..., n. a (2) ii a() ii l i a () i, a (2) ki a() ki + l k a () i. nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.60/83
61 Macierze dominujace diagonalnie (4) Dowód (ciąg dalszy) Stąd a (2) ii n k=2 k i n a (2) ki a() ii a() i k=2 l k n k=2 k i a () i 0, czyli A (2) jest diagonalnie dominująca kolumnowo. Podobnie postępujemy w przypadku dalszych eliminacji. nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.6/83
62 Równoważenie układów liniowych () Przykład Rozważmy układ 0000 x 0, 000 x 2 = 0000 Układ ten ma rozwiązanie x = x 2 = 0, 9999 (zaokrąglone do czterech cyfr dziesiętnych) Niech a będzie elementem podstawowym. Szukamy rozwiązań układu w trzycyfrowej arytmetyce zmiennopozycyjnej: x = 0.00, x 2 =.00 (b. złe!) nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.62/83
63 Równoważenie układów liniowych (2) Przykład (ciąg dalszy) Pomnóżmy teraz pierwsze równanie przez 0 4, 0, 000 x = 0, 000 x 2 Wybierając a 2 jako element podstawowy, otrzymamy x =.00, x 2 =.00, co w trzycyfrowej arytmetyce jest wynikiem dobrym. nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.63/83
64 Równoważenie układów liniowych (3) Definicja Zrównoważeniem układu będziemy nazywali takie przeskalowanie zmiennych, po którym macierz układu będzie spełniała warunek max j n a ij =, i =,..., n. nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.64/83
65 Metoda eliminacji Jordana () a () x + a () 2 x a () n x n = b () a () 2 x + a () 22 x a () 2n x n = b () 2 a () n x + a () n2 x a () nnx n = b () n Dzielimy pierwsze równanie obustronnie przez a (),a następnie od i tego wiersza (i = 2, 3,..., n) odejmujemy pierwszy pomnożony przez a () i,. nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.65/83
66 Metoda eliminacji Jordana (2) x + a (2) 2 x a (2) n x n = b (2) a (2) 22 x a (2) 2n x n = b (2) 2 a (2) n2 x a (2) nnx n = b (2) n W kolejnym kroku dzielimy drugie równanie obustronnie przez a (2) 22 i odejmujemy od i tego wiersza (i =, 3, 4,..., n) wiersz drugi pomnożony przez a (2) i2,. nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.66/83
67 Metoda eliminacji Jordana (3) x a (3) n x n = b (3) x a (3) 2n x n = b (3) a (3) nnx n = b (3) n Po (n ) eliminacjach otrzymujemy układ x = b (n) x 2 = b (n) x n = b (n) n. nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.67/83
68 Metoda eliminacji Jordana (4) Nakład obliczeń: M = 2 n3 + 2 n2, D = 2 n3 2 około półtora raza więcej niż w eliminacji Gaussa Zalety: oszczędne gospodarowanie pamięcią możliwość prostego określenia rozwiązania obciętego układu równań Wady: duży nakład obliczeń brak odpowiednika rozkładu LU nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.68/83
69 Inne metody dokładne rozkład LDL T, gdzie D to macierz diagonalna stosowany, gdy macierz A jest symetryczna równanie wyjściowe zastępuje się trzema innymi oszczędność pamięci, mała liczba działań rozkład LL T (Cholesky ego, Banachiewicza) dla macierzy symetrycznych, dodatnio określonych mały nakład obliczeń, oszczędność pamięci nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.69/83
70 Układy z macierza trójdiagonalna () T = b c a 2 b 2 c 2 0 a 3 b 3 c 3 0 a 4 b b n c n a n b n nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.70/83
71 Układy z macierza trójdiagonalna (2) Rozkład LU tej macierzy ma postać 0. l 2.. L =...., U =.. 0 l n u c c n 0 u n, przy czym u = b, l i = a i u i, u i = b i l i c i, i = 2, 3,..., n nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.7/83
72 Układy z macierza trójdiagonalna (3) Aby znaleźć rozwiązanie układu Tx = b, rozwiązujemy dwa układy równań według wzorów oraz y = b, Ly = b, Ux = y y i = b i l i y i, i = 2,..., n, x n = y n u n, x i = y i c i x i+ u i, i = n, n 2,..., nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.72/83
73 Układy z macierza trójdiagonalna (4) Własności: metoda jest niezawodna, jeśli macierz T jest diagonalnie dominująca oszacowanie błędu wynosi δx x α α gdzie α = 4ɛK nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.73/83
74 Wyznaczniki Jeżeli zachodzi konieczność obliczenia wyznacznika, dokonaj rozkładu macierzy A = LU (z wyborem częściowym lub bez) zastosuj wzór: det A det LU = det L det U = det U = u... u nn nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.74/83
75 Macierze odwrotne () W celu obliczenia macierzy A wyznaczamy rozkład LU macierzy A rozwiązujemy układy równań LUx (i) = e (i), i =,..., n, gdzie e (i) = (0,..., 0,, 0,..., 0) T jest i tym wersorem bazowym w przestrzeni R n Rozwiązania x (i) są kolumnami macierzy odwrotnej, przy czym należy ustawić je w kolejności wynikającej z przestawień wierszy macierzy. nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.75/83
76 Macierze odwrotne (2) Przykład Chcemy obliczyć A = Szukamy najpierw rozkładu LU macierzy A. Wprowadzamy dodatkową kolumnę indeksującą wiersze, nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.76/83
77 Macierze odwrotne (3) Przykład (ciąg dalszy) Zamieniamy pierwszy wiersz z drugim, następnie obliczamy u = 3, u 2 = 3, u 3 = 0, l 2 = 3, l 3 = 0, i wpisujemy wyniki do macierzy wyjściowej, nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.77/83
78 Macierze odwrotne (4) Przykład (ciąg dalszy) Zamieniamy miejscami wiersz drugi z trzecim, obliczamy u 2 = 2, u 23 = 2, l 32 =, 2 wyniki wpisujemy do macierzy, nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.78/83
79 Macierze odwrotne (5) Przykład (ciąg dalszy) Obliczamy u 33 = 2, aby ostatecznie otrzymać nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.79/83
80 Macierze odwrotne (6) Przykład (ciąg dalszy) W drugim etapie rozwiązujemy równania LUx (i) = e (i), i =, 2, 3, tzn x() = 0 0 itd. Rozwiązania mają postać x () = 6 6 6, x(2) = 4 4 4, x(3) = nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.80/83
81 Macierze odwrotne (7) Przykład (ciąg dalszy) W wektorze przestawień (23) T numer zajmuje trzecią pozycję, więc w macierzy odwrotnej jako pierwszą kolumnę ustawiamy x (3), numer 2 zajmuje pierwszą pozycję, więc jako drugą kolumnę bierzemy x () i na końcu x (2). Stąd A = nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.8/83
82 Macierze odwrotne (8) Przykład (ciąg dalszy) Sprawdźmy, czy rzeczywiście powyższa macierz jest macierzą odwrotną macierzy A, = = 6 6 = = = = = 0 + = = = nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.82/83
83 Macierze odwrotne (9) Oszacowanie błędu: δa A α α, α = ɛko ( ) 9 2 n3 nm_slides-7.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński //2002 2:45 p.83/83
Układy równań liniowych. Krzysztof Patan
Układy równań liniowych Krzysztof Patan Motywacje Zagadnienie kluczowe dla przetwarzania numerycznego Wiele innych zadań redukuje się do problemu rozwiązania układu równań liniowych, często o bardzo dużych
Zaawansowane metody numeryczne
Wykład 10 Rozkład LU i rozwiązywanie układów równań liniowych Niech będzie dany układ równań liniowych postaci Ax = b Załóżmy, że istnieją macierze L (trójkątna dolna) i U (trójkątna górna), takie że macierz
UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Postać układu równań liniowych Układ liniowych równań algebraicznych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych
5. Rozwiązywanie układów równań liniowych Wprowadzenie (5.1) Układ n równań z n niewiadomymi: a 11 +a 12 x 2 +...+a 1n x n =a 10, a 21 +a 22 x 2 +...+a 2n x n =a 20,..., a n1 +a n2 x 2 +...+a nn x n =a
UKŁADY ALGEBRAICZNYCH RÓWNAŃ LINIOWYCH
Transport, studia I stopnia rok akademicki 2011/2012 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Adam Wosatko Uwagi wstępne Układ liniowych równań algebraicznych można
Rozwiązywanie układów równań liniowych
Rozwiązywanie układów równań liniowych Marcin Orchel 1 Wstęp Jeśli znamy macierz odwrotną A 1, to możęmy znaleźć rozwiązanie układu Ax = b w wyniku mnożenia x = A 1 b (1) 1.1 Metoda eliminacji Gaussa Pierwszy
15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej
15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
Metody numeryczne Wykład 4
Metody numeryczne Wykład 4 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Metody skończone rozwiązywania
Macierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Analiza numeryczna Kurs INP002009W. Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych. Karol Tarnowski A-1 p.
Analiza numeryczna Kurs INP002009W Wykłady 6 i 7 Rozwiązywanie układów równań liniowych Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.wroc.pl A-1 p.223 Plan wykładu Podstawowe pojęcia Własności macierzy Działania
Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania
Układy równań liniowych i metody ich rozwiązywania Łukasz Wojciechowski marca 00 Dany jest układ m równań o n niewiadomych postaci: a x + a x + + a n x n = b a x + a x + + a n x n = b. a m x + a m x +
Metody numeryczne. Janusz Szwabiński. Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50
Metody numeryczne Układy równań liniowych, część II Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/50 Układy równań liniowych, część II 1. Iteracyjne poprawianie
Wykład 5. Metoda eliminacji Gaussa
1 Wykład 5 Metoda eliminacji Gaussa Rozwiązywanie układów równań liniowych Układ równań liniowych może mieć dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania. Metody dokładne
1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
RACHUNEK MACIERZOWY. METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6. Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska
RACHUNEK MACIERZOWY METODY OBLICZENIOWE Budownictwo, studia I stopnia, semestr 6 Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy
Definicja macierzy Typy i właściwości macierzy Działania na macierzach Wyznacznik macierzy Macierz odwrotna Normy macierzy RACHUNEK MACIERZOWY
Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek Czym jest macierz? Definicja Macierzą A nazywamy funkcję
Rozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
Wykład 6. Metoda eliminacji Gaussa: Eliminacja z wyborem częściowym Eliminacja z wyborem pełnym
1 Wykład 6 Metoda eliminacji Gaussa: Eliminacja z wyborem częściowym Eliminacja z wyborem pełnym ELIMINACJA GAUSSA Z WYBOREM CZĘŚCIOWYM ELEMENTÓW PODSTAWOWYCH 2 Przy pomocy klasycznego algorytmu eliminacji
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
, A T = A + B = [a ij + b ij ].
![, A T = A + B = [a ij + b ij ].](/thumbs/98/137554993.jpg ", A T = A + B = [a ij + b ij ].")
1 Macierze Jeżeli każdej uporządkowanej parze liczb naturalnych (i, j), 1 i m, 1 j n jest przyporządkowana dokładnie jedna liczba a ij, to mówimy, że jest określona macierz prostokątna A = a ij typu m
a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn x 1 x 2... x m ...
Wykład 15 Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem i niech α 1, α 2,, α n, β K. Równanie: α 1 x 1 + α 2 x 2 + + α n x n = β z niewiadomymi x 1, x 2,, x n nazywamy równaniem liniowym. Układ: a 21 x
Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych
Rozwiązywanie układów równań liniowych metody dokładne Materiały pomocnicze do ćwiczeń z metod numerycznych Piotr Modliński Wydział Geodezji i Kartografii PW 13 stycznia 2012 P. Modliński, GiK PW Rozw.
Obliczenia naukowe Wykład nr 8
Obliczenia naukowe Wykład nr 8 Paweł Zieliński Katedra Informatyki, Wydział Podstawowych Problemów Techniki, Politechnika Wrocławska Literatura Literatura podstawowa [] D. Kincaid, W. Cheney, Analiza numeryczna,
Matematyka stosowana i metody numeryczne
Ewa Pabisek Adam Wosatko Piotr Pluciński Matematyka stosowana i metody numeryczne Konspekt z wykładów Błędy obliczeń Błędy można podzielić na: modelu, metody, wejściowe (początkowe), obcięcia, zaokrągleń..
det[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...
![det[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...](/thumbs/93/111637753.jpg "det[a 1,..., A i,..., A j,..., A n ] + det[a 1,..., ka j,..., A j,..., A n ] Dowód Udowodniliśmy, że: det[a 1,..., A i + ka j,..., A j,...")
Wykład 14 Wyznacznik macierzy cd Twierdzenie 1 Niech A będzie macierzą kwadratową i niech A i, A j będą dwiema różnymi jej kolumnami, wtedy dla dowolnego k K: det[a 1,, A i,, A j,, A n ] det[a 1,, A i
Równania liniowe. Rozdział Przekształcenia liniowe. Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem
Rozdział 6 Równania liniowe 6 Przekształcenia liniowe Niech X oraz Y będą dwiema niepustymi przestrzeniami wektorowymi nad ciałem F Definicja 6 Funkcję f : X Y spełniającą warunki: a) dla dowolnych x,
Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Uwarunkowanie Eliminacja Gaussa P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Uwarunkowanie zadania numerycznego Niech ϕ : R n R m będzie pewna funkcja odpowiednio wiele
Treść wykładu. Układy równań i ich macierze. Rząd macierzy. Twierdzenie Kroneckera-Capellego.
. Metoda eliminacji. Treść wykładu i ich macierze... . Metoda eliminacji. Ogólna postać układu Układ m równań liniowych o n niewiadomych x 1, x 2,..., x n : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21
1 Macierz odwrotna metoda operacji elementarnych
W tej części skupimy się na macierzach kwadratowych. Zakładać będziemy, że A M(n, n) dla pewnego n N. Definicja 1. Niech A M(n, n). Wtedy macierzą odwrotną macierzy A (ozn. A 1 ) nazywamy taką macierz
dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia 2014 Przestrzeń R k R k = R R... R k razy Elementy R k wektory;
Wykłady 8 i 9 Pojęcia przestrzeni wektorowej i macierzy Układy równań liniowych Elementy algebry macierzy dodawanie, odejmowanie, mnożenie macierzy; macierz odwrotna dr Mariusz Grządziel 15,29 kwietnia
2. Układy równań liniowych
2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 /
13 Układy równań liniowych
13 Układy równań liniowych Definicja 13.1 Niech m, n N. Układem równań liniowych nad ciałem F m równaniach i n niewiadomych x 1, x 2,..., x n nazywamy koniunkcję równań postaci a 11 x 1 + a 12 x 2 +...
Zaawansowane metody numeryczne
Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany
Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Równania macierzowe. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Równania macierzowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Co można zrobić z układem równań... tak, aby jego rozwiazania się nie zmieniły? Rozważam
Analiza numeryczna Lista nr 3 (ćwiczenia) x x 2 n x.
Analiza numeryczna Lista nr 3 (ćwiczenia) Sprawdzić że macierz ma wartości własne2+ 222 2 2 Niechx R n Udowodnić że 2 0 0 x x 2 n x 3 NiechA R n n będzie macierzą symetryczną Wiadomo że wówczas istnieje
1 Zbiory i działania na zbiorach.
Matematyka notatki do wykładu 1 Zbiory i działania na zbiorach Pojęcie zbioru jest to pojęcie pierwotne (nie definiuje się tego pojęcia) Pojęciami pierwotnymi są: element zbioru i przynależność elementu
A A A A A A A A A n n
DODTEK NR GEBR MCIERZY W dodatku tym podamy najważniejsze definicje rachunku macierzowego i omówimy niektóre funkcje i transformacje macierzy najbardziej przydatne w zastosowaniach numerycznych a w szczególności
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek
Wykład 14. Elementy algebry macierzy
Wykład 14 Elementy algebry macierzy dr Mariusz Grządziel 26 stycznia 2009 Układ równań z dwoma niewiadomymi Rozważmy układ równań z dwoma niewiadomymi: a 11 x + a 12 y = h 1 a 21 x + a 22 y = h 2 a 11,
Metody dekompozycji macierzy stosowane w automatyce
Metody dekompozycji macierzy stosowane w automatyce Grzegorz Mzyk Politechnika Wrocławska, WydziałElektroniki 23 lutego 2015 Plan wykładu 1 Wprowadzenie 2 Rozkład LU 3 Rozkład spektralny 4 Rozkład Cholesky
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
Wykłady z matematyki inżynierskiej JJ, 08 DEFINICJA Układ m równań liniowych z n niewiadomymi to: ( ) a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 +
Met Me ody numer yczne Wykład ykład Dr inż. Mic hał ha Łanc Łan zon Instyt Ins ut Elektr Elektr echn iki echn i Elektrot Elektr echn olo echn
Metody numeryczne Wykład 3 Dr inż. Michał Łanczont Instytut Elektrotechniki i Elektrotechnologii E419, tel. 4293, m.lanczont@pollub.pl, http://m.lanczont.pollub.pl Zakres wykładu Pojęcia podstawowe Algebra
Układy równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Wyznaczniki. Mirosław Sobolewski. Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW. 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013
Wyznaczniki Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 6. Wykład z algebry liniowej Warszawa, listopad 2013 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, listopad 2013 1 / 13 Terminologia
Własności wyznacznika
Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy
Macierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof Żyjewski MiBM; S-I 0.inż. 0 października 04 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Definicja. Iloczynem macierzy A = [a ij m n, i macierzy B = [b ij n p nazywamy macierz
Układy równań liniowych
Układy równań liniowych Niech K będzie ciałem. Niech n, m N. Równanie liniowe nad ciałem K z niewiadomymi (lub zmiennymi) x 1, x 2,..., x n K definiujemy jako formę zdaniową zmiennej (x 1,..., x n ) K
Metody numeryczne II. Układy równań liniowych
Metody numeryczne II. Układy równań liniowych Oleksandr Sokolov Wydział Fizyki, Astronomii i Informatyki Stosowanej UMK (2016/17) http://fizyka.umk.pl/~osokolov/mnii/ Układ równań liniowych Układem równań
10. Metody obliczeniowe najmniejszych kwadratów
10. Metody obliczeniowe najmniejszych kwadratów 1. Dowód twierdzenia o faktoryzacji macierzy Twierdzenie 1 Każdadodatniookreślon aisymetryczn amacierzm można przedstawíc wpostaci M = PP T gdzie P jest
Wyznaczniki 3.1 Wyznaczniki stopni 2 i 3
3 Wyznaczniki 31 Wyznaczniki stopni 2 i 3 Wyznacznik macierzy 2 2 Dana jest macierz [ ] a b A Mat c d 2 2 (R) Wyznacznikiem macierzy A nazywamy liczbę mamy a A c b ad bc d Wyznacznik macierzy A oznaczamy
Metoda eliminacji Gaussa. Autorzy: Michał Góra
Metoda eliminacji Gaussa Autorzy: Michał Góra 9 Metoda eliminacji Gaussa Autor: Michał Góra Przedstawiony poniżej sposób rozwiązywania układów równań liniowych jest pewnym uproszczeniem algorytmu zwanego
Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Faktoryzacja LU. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa Faktoryzacja LU P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2014 Co można zrobić z układem równań... tak, aby jego rozwiazania się nie zmieniły? Rozważam
NUMERYCZNE METODY ROZWIĄZYWANIA ROWNAŃ LINIOWYCH. PRZYGOTOWAŁA: ANNA BANAŚ KoMBo, WILiŚ
NUMERYCZNE METODY ROZWIĄZYWANIA ROWNAŃ LINIOWYCH PRZYGOTOWAŁA: ANNA BANAŚ KoMBo, WILiŚ PODZIAŁ DOKŁADNE ELIMINACYJNE DEKOMPOZYCYJNE ELIMINACJI GAUSSA JORDANA GAUSSA-DOOLITTLE a GAUSSA-CROUTA CHOLESKY EGO
Wstęp do metod numerycznych Faktoryzacja QR i SVD. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Faktoryzacja QR i SVD P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2012 Transformacja Householdera Niech u R N, u 0. Tworzymy macierz W sposób oczywisty P T = P. Obliczmy
Macierz o wymiarach m n. a 21. a 22. A =
Macierze 1 Macierz o wymiarach m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn Mat m n (R) zbiór macierzy m n o współczynnikach rzeczywistych Analogicznie określamy Mat m n (Z), Mat m n (Q) itp 2
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ) 1. Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ
MATEMATYKA I SEMESTR ALK (PwZ). Sumy i sumy podwójne : Σ i ΣΣ.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony)
Wartości i wektory własne
Dość często przy rozwiązywaniu problemów naukowych czy technicznych pojawia się konieczność rozwiązania dość specyficznego układu równań: Zależnego od n nieznanych zmiennych i pewnego parametru. Rozwiązaniem
Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa i faktoryzacja LU. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Eliminacja Gaussa i faktoryzacja LU P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2018 Co można zrobić z układem równań... tak, aby jego rozwiazania się nie zmieniły? Rozważam
; B = Wykonaj poniższe obliczenia: Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję wyniki. Mam nadzieję, że umiesz mnożyć macierze...
Tekst na niebiesko jest komentarzem lub treścią zadania. Zadanie. Dane są macierze: A D 0 ; E 0 0 0 ; B 0 5 ; C Wykonaj poniższe obliczenia: 0 4 5 Mnożenia, transpozycje etc wykonuję programem i przepisuję
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018
DB Algebra liniowa semestr zimowy 2018 SPIS TREŚCI Teoria oraz większość zadań w niniejszym skrypcie zostały opracowane na podstawie książek: 1 G Banaszak, W Gajda, Elementy algebry liniowej cz I, Wydawnictwo
Krótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników
Radosław Marczuk Krótkie wprowadzenie do macierzy i wyznaczników 12 listopada 2005 1. Macierze Macierzą nazywamy układ liczb(rzeczywistych, bądź zespolonych), funkcji, innych macierzy w postaci: A a 11
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia
III TUTORIAL Z METOD OBLICZENIOWYCH
III TUTORIAL Z METOD OBLICZENIOWYCH ALGORYTMY ROZWIĄZYWANIA UKŁADÓW RÓWNAŃ LINIOWYCH Opracowanie: Agata Smokowska Marcin Zmuda Trzebiatowski Koło Naukowe Mechaniki Budowli KOMBO Spis treści: 1. Wstęp do
3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
MACIERZE I WYZNACZNIKI
Wykłady z matematyki inżynierskiej IMiF UTP 07 MACIERZ DEFINICJA. Macierza o m wierszach i n kolumnach nazywamy przyporza dkowanie każdej uporza dkowanej parze liczb naturalnych (i, j), gdzie 1 i m, 1
04 Układy równań i rozkłady macierzy - Ćwiczenia. Przykład 1 A =
04 Układy równań i rozkłady macierzy - Ćwiczenia 1. Wstęp Środowisko Matlab można z powodzeniem wykorzystać do rozwiązywania układów równań z wykorzystaniem rozkładów macierzy m.in. Rozkładu Choleskiego,
Zaawansowane metody numeryczne
Wykład 1 Zadanie Definicja 1.1. (zadanie) Zadaniem nazywamy zagadnienie znalezienia rozwiązania x spełniającego równanie F (x, d) = 0, gdzie d jest zbiorem danych (od których zależy rozwiązanie x), a F
"Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub
"Bieda przeczy matematyce; gdy się ją podzieli na więcej ludzi, nie staje się mniejsza." Gabriel Laub Def. Macierzą odwrotną do macierzy A M(n) i deta nazywamy macierz A - M(n) taką, że A A - A - A Tw.
ALGEBRA LINIOWA. Wykład 2. Analityka gospodarcza, sem. 1. Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska
ALGEBRA LINIOWA Wykład 2 Analityka gospodarcza, sem 1 Wydział Zarządzania i Ekonomii Politechnika Gdańska dr inż Natalia Jarzębkowska, CNMiKnO semzimowy 2018/2019 2/17 Macierze Niech M = {1, 2,, m} i N
Wstęp do metod numerycznych Równania macierzowe Faktoryzacja LU i Cholesky ego. P. F. Góra
Wstęp do metod numerycznych Równania macierzowe Faktoryzacja LU i Cholesky ego P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2017 Uwagi o eliminacji Gaussa Przypuśćmy, że mamy rozwiazać kilka układów
Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych
Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami Załóżmy, że macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, że macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną
macierze jednostkowe (identyczności) macierze diagonalne, które na przekątnej mają same
1 Macierz definicja i zapis Macierzą wymiaru m na n nazywamy tabelę a 11 a 1n A = a m1 a mn złożoną z liczb (rzeczywistych lub zespolonych) o m wierszach i n kolumnach (zamiennie będziemy też czasem mówili,
Baza w jądrze i baza obrazu ( )
Przykład Baza w jądrze i baza obrazu (839) Znajdź bazy jądra i obrazu odwzorowania α : R 4 R 3, gdzie α(x, y, z, t) = (x + 2z + t, 2x + y 3z 5t, x y + z + 4t) () zór ten oznacza, że α jest odwzorowaniem
5 Wyznaczniki. 5.1 Definicja i podstawowe własności. MIMUW 5. Wyznaczniki 25
MIMUW 5 Wyznaczniki 25 5 Wyznaczniki Wyznacznik macierzy kwadratowych jest funkcją det : K m n K, (m = 1, 2, ) przypisującą każdej macierzy kwadratowej skalar, liniowo ze względu na każdy wiersz osobno
= Zapiszemy poniższy układ w postaci macierzy. 8+$+ 2&=4 " 5 3$ 7&=0 5$+7&=4
17. Układ równań 17.1 Co nazywamy układem równań liniowych? Jak zapisać układ w postaci macierzowej (pokazać również na przykładzie) Co to jest rozwiązanie układu? Jaki układ nazywamy jednorodnym, sprzecznym,
PODSTAWY AUTOMATYKI. MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
WYDZIAŁ ELEKTROTECHNIKI I AUTOMATYKI Katedra Inżynierii Systemów Sterowania PODSTAWY AUTOMATYKI MATLAB - komputerowe środowisko obliczeń naukowoinżynierskich - podstawowe operacje na liczbach i macierzach.
Wektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń
Wykład 4. Informatyka Stosowana. Magdalena Alama-Bućko. 25 marca Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca / 25
Wykład 4 Informatyka Stosowana Magdalena Alama-Bućko 25 marca 2019 Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca 2019 1 / 25 Macierze Magdalena Alama-Bućko Wykład 4 25 marca 2019 2 / 25 Macierza wymiaru m n
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH - Metody dokładne Układy równań liniowych Rozpatruje się układ n równań liniowych zawierających n niewiadomych: a11x1 a12x2... a1nxn b1 a21x1 a22x2... a2nxn b2... an 1x1 an2x2...
Wektory i wartości własne
Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń W V nazywamy niezmienniczą
Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 3.
Ekoenergetyka Matematyka Wykład 3 MACIERZE Macierzą wymiaru n m, gdzie nm, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z n wierszy i m kolumn: a a2 a j am a2 a22 a2 j a2m [ a ] nm A ai ai 2 a aim - i-ty wiersz
a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn a 1j a 2j R i = , C j =
11 Algebra macierzy Definicja 11.1 Dla danego ciała F i dla danych m, n N funkcję A : {1,..., m} {1,..., n} F nazywamy macierzą m n (macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j)
WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY. = λ c (*) problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej
WEKTORY I WARTOŚCI WŁASNE MACIERZY Ac λ c (*) ( A λi) c nietrywialne rozwiązanie gdy det A λi problem przybliżonego rozwiązania zagadnienia własnego dla operatorów w mechanice kwantowej A - macierzowa
Treści programowe. Matematyka. Efekty kształcenia. Literatura. Terminy wykładów i ćwiczeń. Warunki zaliczenia. tnij.org/ktrabka
Treści programowe Matematyka Katarzyna Trąbka-Więcław Elementy algebry liniowej. Macierze i wyznaczniki. Ciągi liczbowe, granica ciągu i granica funkcji, rachunek granic, wyrażenia nieoznaczone, ciągłość
Układy równań liniowych
Układy równań liniowych Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 1. wykład z algebry liniowej Warszawa, październik 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, wrzesień 2015 1 / 1
D1. Algebra macierzy. D1.1. Definicje
D1. Algebra macierzy W niniejszym dodatku podamy podstawowe operacje macierzowe oraz niektóre techniki algebry macierzowej nie dbając szczególnie o formalizm matematyczny. Zakres jest wystarczający dla
Zadania z algebry liniowej - sem. I Przestrzenie liniowe, bazy, rząd macierzy
Zadania z algebry liniowej - sem I Przestrzenie liniowe bazy rząd macierzy Definicja 1 Niech (K + ) będzie ciałem (zwanym ciałem skalarów a jego elementy nazywać będziemy skalarami) Przestrzenią liniową
Metody numeryczne I Równania nieliniowe
Metody numeryczne I Równania nieliniowe Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl Metody numeryczne I (C) 2004 Janusz Szwabiński p.1/66 Równania nieliniowe 1. Równania nieliniowe z pojedynczym pierwiastkiem
Układy równań liniowych
Układy równań liniowych ozważmy układ n równań liniowych o współczynnikach a ij z n niewiadomymi i : a + a +... + an n d a a an d a + a +... + a n n d a a a n d an + an +... + ann n d n an an a nn n d
3. Wykład Układy równań liniowych.
31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +
3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Metody numeryczne. Zagadnienia własne. Janusz Szwabiński.
Metody numeryczne Zagadnienia własne Janusz Szwabiński szwabin@ift.uni.wroc.pl nm_slides-11.tex Metody numeryczne Janusz Szwabiński 17/12/2002 21:53 p.1/66 Zagadnienia własne 1. Pojęcia podstawowe 2. Zaburzenia
Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze
Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 3 Metody algebry liniowej I Wektory i macierze Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej Spis treści Spis treści 1 Wektory
SIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników. Macierz odwrotna
Wyk lad 5 W lasności wyznaczników Macierz odwrotna 1 Operacje elementarne na macierzach Bardzo ważne znaczenie w algebrze liniowej odgrywaja tzw operacje elementarne na wierszach lub kolumnach macierzy
Lista nr 1 - Liczby zespolone
Lista nr - Liczby zespolone Zadanie. Obliczyć: a) ( 3 i) 3 ( 6 i ) 8 c) (+ 3i) 8 (i ) 6 + 3 i + e) f*) g) ( 3 i ) 77 ( ( 3 i + ) 3i 3i h) ( + 3i) 5 ( i) 0 i) i ( 3 i ) 4 ) +... + ( 3 i ) 0 Zadanie. Przedstawić
Metody iteracyjne rozwiązywania układów równań liniowych (5.3) Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech. x i. i =1
Normy wektorów i macierzy (5.3.1) Niech 1 X =[x x Y y =[y1 x n], oznaczają wektory przestrzeni R n, a yn] niech oznacza liczbę rzeczywistą. Wyrażenie x i p 5.3.1.a X p = p n i =1 nosi nazwę p-tej normy
Algebra liniowa. Macierze i układy równań liniowych
Algebra liniowa Macierze i układy równań liniowych Własności wyznaczników det I = 1, det(ab) = det A det B, det(a T ) = det A. Macierz nieosobliwa Niech A będzie macierzą kwadratową wymiaru n n. Mówimy,
Metoda eliminacji Gaussa
Metoda eliminacji Gaussa Rysunek 3. Rysunek 4. Rozpoczynamy od pierwszego wiersza macierzy opisującej nasz układ równań (patrz Rys.3). Zakładając, że element a 11 jest niezerowy (jeśli jest, to niezbędny
φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +
Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.