Analiza Matematyczna I.1

Transkrypt

1 Aaliza Matematycza I Seria, P Nayar, 0/3 Zadaie Niech a k >, (k =,, b d liczbami rzeczywistymi o tym samym zaku Udowodij,»e prawdziwa jest ierówo± ( + a ( + a ( + a + a + a + + a Czy zaªo»eie,»e liczby a k maj te sam zak i a k > jest potrzebe? Zadaie (a Dla udowodij to»samo± ( = (b Oblicz sum Zadaie 3 (Nierówo± Schwarza Udowodij,»e dla dowolych liczb rzeczywistych a,, a, b,, b prawdziwa jest ierówo± ( a k b k k= Kiedy w tej ierówo±ci mamy rówo±? k= a k ( Zadaie 4 (Nierówo± mi dzy ±redimi Niech a, a,, a b d dodatimi liczbami rzeczywistymi Udowodij ierówo±ci a + + a a + + a k= b k a a a + + a Zadaie 5 Niech (F 0 b dzie ci giem Fiboacciego, F 0 = 0, F =, F + = F + + F, 0 Udowodij to»samo±ci (a F m F + F m+ F = ( F m, m 0, (b F F +r F r = ( r F r, r 0, (c F F + F = ( +,, (d F + F + + F = F F +, (e F + F + + F = F +,, (f F + F F = F,, (g F + = F + F +, 0, (h F m F + F m F = F m+, m,, (i F = F + F,, (j F + F m + F F m = F m+, m, 0 Zadaie 6 Ustalmy liczby dodatie x, x,, x k Niech a = x + x + + x k a Udowodij,»e ci g (a 0 jest log-wypukªy, tz a i a i a i+ b Udowodij,»e je±li ci g (b 0 jest log-wypukªy i b 0 =, to ci g ( b jest ros cy c Udowodij,»e ci g ( a k jest ros cy, czyli p x p + x p + + x p k k q x q + x q + + x q k k dla 0 < p q, p, q N

2 Aaliza Matematycza I Seria, P Nayar, 0/3 Zadaie (Wzór Bieta Niech (F 0 b dzie ci giem Fiboacciego, F 0 = 0, F =, F + = F + + F, 0 Udowodij wzór [( F = 5 + ( 5 ] 5 Zadaie Niech c 0, c,, c k b d liczbami zespoloymi Zaªó»my,»e c 0, c k 0 Rozwa»my rówaie rekurecyje k i=0 c ia +i = 0, 0 ( Niech λ,, λ p b d pierwiastkami wielomiau z kroto±ciami l,, l p, czyli W (z = c k z k + c k z k + + c z + c 0 W (z = c k (z λ l (z λ l (z λ p lp Niech P,, P l b d dowolymi wielomiaami o stopiach l, l, l p Udowodij,»e ci g a = P (λ + P (λ + + P l (λ l speªia rówaie ( Zadaie 3 Zajd¹ kresy zbiorów A = { } { m +m, m 0,, m Z, B = m +m + 4 m, m > 0,, m N }, C = { k [ k ] > 0, N }, k > 0, k N D = { > 0, N } Zadaie 4 Niech T b dzie zbiorem trójk tów o obwodzie a pªaszczy¹ie R Niech R t, r t b d odpowiedio promieiem okr gu opisaego a trójk cie t i promieiem okr gu wpisaego w trójk t t Wyzacz kresy zbiorów A = {pole trójk ta t t T }, B = {r t t T }, C = {r t R t t T } Zadaie 5 Niech >, N Wyzacz kresy zbioru { } A = a i a j a i =, a i 0, i =,, i<j Zadaie 6 Wyzacz kresy zbioru { a A = + a + + a + a } a,, a > 0 a a 3 a a i=

3 Aaliza Matematycza I Seria 3, P Nayar, 0/3 Zadaie Niech x b dzie liczb rzeczywist Deiujemy ci g liczb x, x, rekurecyjie wzorem x 0 = x, x + = gdy x / Z, 0 x [x ] Je±li dla pewego 0 mamy x Z, to rozwa»amy jedyie sko«czoy ci g x,, x Udowodij,»e x jest liczb wymier wtedy i tylko wtedy, gdy istieje, dla którego x Z Zadaie Niech a 0 b dzie dowol liczb rzeczywist i iech a, a,, a b d liczbami rzeczywistymi dodatimi Niech R = R [a 0,, a ] = a 0 + Deiujemy rekurecyjie ci gi (p k k=0 i (q k k=0 wzorami Udowodij,»e a + + a + a p 0 = a 0 q 0 = p = a 0 a + q = a p k = p k a k + p k q k = q k a k + q k, k =,, a R k [a 0,, a k ] = p k q k, k = 0,,, b p k q k q k p k = ( k, k =,,, c R k+ R k = ( k q k q k+, k = 0,, Wywioskuj,»e je±li liczby p k i q k s caªkowite, to s wzgl die pierwsze Zadaie 3 Niech x b dzie liczb iewymier Deiujemy ci g liczb x 0, x, rekurecyjie wzorem x 0 = x, x + = x [x ], 0 Niech poadto a = [x ] dla 0 i iech R = R [a 0,, a ] = p q (patrz Zadaie Udowodij,»e ( x R =, =,, (q x + + q q oraz x R + < x R, = 0,, Wywioskuj st d,»e R 0 < R < R 4 < x < R 5 < R 3 < R Zadaie 4 Niech x b dzie liczb iewymier i iech liczby R = p q b d zdeiowae tak, jak w Zadaiu 3 Przypu± my,»e liczby p, q Z, q speªiaj ierówo± x p p < x q q Udowodij,»e q > q

4 Aaliza Matematycza I Seria 4, P Nayar, 0/3 Zadaie Niech a, b > 0 Okre±lamy ci gi (a 0 i (b 0 rekurecyjie, a 0 = a, b 0 = b, a + = a+b, b + = a b Udowodij,»e ci gi te s zbie»e do tej samej graicy (azywaej ±redi arytmetyczo-geometrycz liczb a, b Zadaie Niech a R Zbadaj zbie»o± ci gu a 0 = a, a + = a ( a, 0 Zadaie 3 Niech a R Zbadaj zbie»o± ci gu a 0 = a, a + = + a, 0 ( Zadaie 4 Udowodij,»e dla prawdziwa jest ierówo± + i wywioskuj,»e lim = a Zadaie 5 Niech (a 0 b dzie ci giem liczb dodatich Udowodij,»e je±li lim + a = g, to rówie» lim a = g Czy ze zbie»o±ci ci gu ( a wyika zbie»o± ci gu ( a + a? Zadaie 6 Oblicz graice a lim, b lim! k ( k + k, k N, k, c lim k + k ++ k +, k N, k 0, d lim k , l e lim a + a + + a k = max{a, a,, a k }, a,, a k > 0 Zadaie 7 Niech (a 0 b dzie ci giem liczb rzeczywistych o wyrazach iezerowych i iech lim a = + Udowodij,»e lim ( + a a = e Zadaie 8 Deiujemy ci gi (a i (b wzorami a = ( +, b = ( + + Udowodij,»e ci g (a jest ros cy, a ci g (b malej cy Wywioskuj st d,»e ci gi te s zbie»e do tej samej graicy (ozaczaej e Zadaie 9 Ci g liczb (a 0 speªia ierówo± a +m a + a m (takie ci gi azywamy ci gami podaddytywymi Udowodij,»e istieje graica lim a [, 0 Zadaie 0 Niech k N, k Oblicz graic ci gu a = , + + k Zadaie Zbadaj zbie»o± ci gu a = l, 3 Zadaie Niech f : [0, ] [0, ] b dzie fukcj iemalej c i iech a 0 [0, ] Deiujemy ci g (a 0 rekurecyjie, a + = f(a Udowodij,»e ci g (a 0 jest zbie»y Zadaie 3 Niech (a b dzie ograiczoym ci giem liczb rzeczywistych Przypu± my,»e a + a > dla Udowodij,»e ci g (a jest zbie»y Zadaie 4 Oblicz graic ci gu a = ( ( ( ( Zadaie 5 Oblicz graic ci gu a = (+ (+ Zadaie 6 Zbadaj zbie»o± ci gu a = si (π + Zadaie 7 Niech a > 0 Oblicz lim ( a ( Zadaie 8 Niech a, b > 0 Udowodij,»e lim a+ b = ab Zadaie 9 Niech k Oblicz lim (k (+ Zadaie 0 Dla a 0 [0, ] zbadaj zbie»o± ci gu zadaego rekurecyjie a + = 4a ( a, 0

5 Aaliza Matematycza I Seria 9, P Nayar, 0/3 Zadaie ierówo± Udowodij,»e dla dowolej liczby rzeczywistej a i liczby aturalej prawdziwa jest si ka k < 3 π k= ( a Zadaie Niech (a b dzie ci giem liczb dodatich Udowodij,»e je±li a + c > 0 dla 0, to szereg = ( a jest zbie»y Zadaie 3 Niech p!e R Zbadaj zbie»o± szeregu = ( +p Zadaie 4 Niech a si(a si( R Zbadaj zbie»o± szeregu a = Zadaie 5 Niech (a b dzie ci giem liczb dodatich mootoiczie zbie»ym do 0 = a si ( + musi by zbie»y? Czy szereg Zadaie 6 Zbadaj zbie»o± szeregu = ( [l ] ( Zadaie 7 Zbadaj zbie»o± szeregu [ ] = Zadaie 8 Szereg = a jest zbie»y Czy wyika st d zbie»o± szeregu = a? Czy wyika st d zbie»o± szeregu = a3? Zadaie 9 Szereg =? ( si a Zadaie 0 Przypu± my,»e szereg = a o wyrazach ró»ych od 0 jest zbie»y Czy wyika st d zbie»o± szeregu a poadto lim b = + Udowodij,»e szereg k= ( a k b b k a szereg = x 0 k= = a jest zbie»y i ci g liczb dodatich (b jest iemalej cy, a k b k 0, b jest zbie»y i k= a k b k 0 Zadaie Niech (a b dzie ci giem liczb rzeczywistych Przypu± my,»e dla pewego x 0 R jest zbie»y Udowodij,»e dla ka»dego x > x 0 zbie»y jest rówie» szereg = Zadaie Zajd¹ iloczy Cauchy'ego szeregu =0 x z samym sob dla x < Zadaie 3 Udowodij,»e iloczy Cauchy'ego szeregów o wyrazach dodatich jest rozbie»y je±li który± z tych szeregów jest rozbie»y Zadaie 4 Niech (a 0 i (b 0 b d ci gami liczb rzeczywistych Zaªó»my,»e szeregi =0 a i =0 b s zbie»e ich sumy s rówe A i B, odpowiedio Niech c = a 0 b + a b + + a b 0 Zaªó»my,»e =0 c jest zbie»y do C Udowodij,»e C = AB Zadaie 5 Podaj przykªad dwóch szeregów zbie»ych, których iloczy Cauchy'ego jest szeregiem rozbie»ym zbie»ym Podaj przykªad dwóch szeregów rozbie»ych, których iloczy Cauchy'ego jest szeregiem a x

6 Aaliza Matematycza I Zadaia domowe, seria, P Nayar, 0/3 Zadaie ( pkt Udowodij,»e dla x > i k Z prawdziwa jest ierówo± Udowodij rówie»,»e dla < x < ( + x k + kx ( + x i N prawdziwe jest oszacowaie x Zadaie ( pkt Udowodij,»e je±li ci gi a, a, a i b, b,, b s iemalej ce lub ieros ce, to ( k= a k ( k= b k a k b k Co mo»a powiedzie, je±li jede z tych ci gów jest ieros cy, a drugi iemalej cy? k= Zadaie 3 ( pkt Udowodij,»e dla 0 < α β prawdziwa jest ierówo± β x β + x β + + x β k α x α + x α + + x α k Zadaie 4 ( pkt Udowodij,»e dla dowolych liczb zespoloych z,, z prawdziwa jest ierówo± z + + z z + + z Zadaie 5 (3 pkt Niech (F k k Z b dzie dwustroym ci giem wyzaczoym przez waruki F 0 = 0, F =, F k+ = F k+ + F k, k Z (a Udowodij to»samo± F m+k = i=0 ( F k i F i i mfm+, i, m, k Z (b Udowodij,»e 5 k F 5 k dla k

7 Aaliza Matematycza I Zadaia domowe, seria, P Nayar, 0/3 Zadaie ( pkt Niech f : [0, ] [0, ] b dzie fukcj ros c Rozstrzygij, czy musi istie x [0, ] o tej wªaso±ci,»e f(x = x Zadaie ( pkt Niech Wyzacz kresy zbioru { a A = + a + + a + a } a,, a > 0 a + a a + a 3 a + a a + a Czy kresy ale» do zbioru A? Zadaie 3 ( pkt Niech 3 W±ród -k tów wpisaych w okr g o promieiu zajd¹ te o ajwi kszym polu powierzchi Zadaie 4 ( pkt Liczby rzeczywiste a, b, c speªiaj rówo± waruek a 3 +b 3 +c 3 = 0 Udowodij ierówo± ( (a b + (b c + (c a ( a 4 + b 4 + c 4 ( a + b + c 3 Zadaie 5 ( pkt Wyzacz kresy zbioru { B = + } m m, m,, m N

8 Aaliza Matematycza I Zadaia domowe, seria 3, P Nayar, 0/3 Zadaie ( pkt Dla jakich liczb α R ci g ({α} jest g sty w odciku [0, ]? Zadaie ( pkt Niech b dzie ieujem liczb caªkowit Rozwa»my fukcj f : R R zada wzorem Wyzacz miimum fukcji f f(x = x + x + + x Zadaie 3 ( pkt Niech k i iech 0 < < < < k b dzie ci giem ieujemych liczb caªkowitych Przypu± my,»e liczba rzeczywista x 0 speªia Udowodij,»e x 5 x 0 + x + x + + x k = 0 Zadaie 4 (3 pkt Niech (a b dzie ci giem liczb rzeczywistych Rozstrzygij, które z ast puj cych wªaso±ci s rówowa»e (W Ci g (a jest ograiczoy (W Dla wszystkich λ > ci g (a λ jest ograiczoy (W3 Dla wszystkich λ > ci g (a λ jest ograiczoy Zadaie 5 ( pkt Niech 0 < x < x < < x i iech λ i 0 speªiaj waruek i= λ i = Udowodij,»e ( ( λ i x i i= i= λ i x i (x + x 4x x

9 Aaliza Matematycza I Zadaia domowe, seria 4, P Nayar, 0/3 Zadaie (piseme, pkt Niech c 0 Zbadaj zbie»o± ci gu (a 0, a 0 = 0, a = c, a = c + c, a = c + c + c, Zadaie ( pkt Niech a, b, c > 0 Zbadaj zbie»o± ci gów (a 0, (b 0 i (c 0 okre±loych rekurecyjie, a 0 = a, b 0 = b, c 0 = c, 3 a + = a + b +, b + = 3 a b c, c + = a + b + c, 0 c 3 Zadaie 3 ( pkt Niech k i iech (a ( 0, (a ( 0, (a (k 0 b d ci gami iezerowych liczb rzeczywistych Udowodij,»e istieje liczba aturala i k i podci g ( l l 0 liczb aturalych o tej wªaso±ci,»e ci gi ( a (i l /a (, ( l l 0 a (i l /a (, ( l l 0 a (i l /a (k l l 0 s zbie»e Zadaie 4 (3 pkt Zbadaj zbie»o± ci gu zadaego rekurecyjie, a = a =, a + = a + + a, Zadaie 5 ( pkt Udowodij (elemetarie, bez wzoru Stirliga! ierówo± 3 < (!! ( +!! <

10 Aaliza Matematycza I Zadaia domowe, seria 5, P Nayar, 0/3 Zadaie (piseme, pkt Niech a, b > 0 Oblicz graice (a lim a b (b lim (l a b (c lim a b (d lim e (l a b (e lim e a b (f lim b (l a l Uwaga: Odpowied¹ mo»e zale»e od wyboru parametrów a, b Zadaie ( pkt Niech k N, k 0 Deiujemy ci g rekurecyjie x 0 > 0, x + = x + x k Zbadaj istieie graicy lim x k+ Zadaie 3 ( pkt Niech (a 0 b dzie ci giem liczb rzeczywistych speªiaj cym lim (a + a = 0, lim (a a = 0 Czy z tego wyika,»e lim a = 0? Zadaie 4 ( pkt Oblicz graic lim ( k + k + + k k+ k +, k N Zadaie 5 ( pkt Niech (a, (b b d ci gami liczb rzeczywistych dodatich Przypu± my,»e lim a = A i lim b = B Oblicz graic ci gu c = a b + a b + + a b

11 Aaliza Matematycza I Zadaia domowe, seria 6, P Nayar, 0/3 Zadaie ( pkt Niech a 0, a > 0 Zbadaj zbie»o± ci gu zadaego rekurecyjie, a + = a + a, Zadaie ( pkt Niech 3 i iech 0 a a a Udowodij ierówo± a a + a a a a 3 a a a a a 3 a a a a Zadaie 3 ( pkt Ci g (x zdeioway jest poprzez rówo±ci x = 3, x = 3 3, x 3 = 3 33, x 3 = 3 333, Czy ci g (x jest zbie»y? Zadaie 4 ( pkt Oblicz graic lim e k=0 k k! Zadaie 5 ( pkt Rozwa»my ci g a 0 =, a + = si(a, 0 Czy istieje liczba α > 0, dla której graica lim α a jest dodatia i sko«czoa? Zadaie 6 (piseme, 0 pkt Udowodij,»e dla ka»dej liczby aturalej prawdziwa jest ierówo± ( e + < e + < e + Oblicz rówie» graic lim (( + e Mog by przydate ast puj ce oszacowaia logarytmu, k= ( k+ xk + k l( + x k= k+ xk ( Udowodimy je a wiczeiach metodami rachuku ró»iczkowego k, x 0

12 Aaliza Matematycza I Zadaia domowe, seria 7, P Nayar, 0/3 Zadaie ( pkt Rozwa»my ci gi liczb ieujemych (a i (b (a Czy ze zbie»o±ci szeregów = a i = b wyika zbie»o± szeregu = max{a, b }? (b Czy z rozbie»o±ci szeregów = a i = b wyika rozbie»o± szeregu = mi{a, b }? Zadaie ( pkt a Czy dla ka»dej bijekcji f : N N szereg = b Czy dla ka»dej bijekcji f : N N szereg = f( +f( jest zbie»y? jest rozbie»y? Zadaie 3 ( pkt Niech (a b dzie ci giem o wyrazach dodatich Czy ze zbie»o±ci szeregu = a 4 wyika zbie»o± szeregu = a? Zadaie 4 (piseme, pkt Niech α > 0 Zbadaj zbie»o± szeregów (a = ( l α, (b = ( α, (c (d = ( + α, (e = ( 4 ( α, (f =! = (+(+(+, 3 α + α3 Zadaie 5 ( pkt Czy istieje ci g (a liczb dodatich o tej wªaso±ci,»e = a jest rozbie»y, ale dla dowolego ci gu (b liczb dodatich, zbie»ego mootoiczie do 0, szereg = a b jest zbie»y Zadaie 6 ( pkt Czy istieje ci g (x liczb rzeczywistych dodatich o tej wªaso±ci,»e dla wszystkich 0 < α < β mamy { k : x k > β} lim { k : x k > α} = 0?

13 Aaliza Matematycza I Zadaia domowe, seria 7, P Nayar, 0/3 Zadaie (, 0 pkt, piseme Oblicz sum szeregów (a = q, q <, (b = (, (c (d = si ( ( π si 3π (e =, (!! =, 4 (f = arctg ( Zadaie (+ pkt Udowodij,»e szereg = si jest rozbie»y Czy ci g ((si jest g sty w (0,? Zadaie 3 ( pkt Udowodij,»e liczba = 0! ie jest liczb algebraicz Zadaie 4 (, pkt Udowodij,»e dla a/(π / Z prawdziwe s wzory si ( ( a cos (+a cos(ka = si ( si ( ( a si (+a, si(ka = a si ( a k= W szczególo±ci si(ka si (, a k= k= cos(ka si ( a k= Zadaie 5 ( pkt Oblicz sum szeregu =0 ( ( + 3 ( Zadaie 6 (, pkt Zbadaj zbie»o± szeregów (a ( ( = 4, (b = ( (l (+ +

14 Aaliza Matematycza I Zadaia domowe, seria 9, P Nayar, 0/3 Zadaie (, pkt Dla x < udowodij rówo± = x (+ x = x x = Zadaie ( pkt Niech (a 0 b dzie malej cym ci giem zbie»ym do 0 Niech S = i= ( i a i Udowodij,»e szeregi =0 S, =0 a S i =0 a s jedocze±ie zbie»e lub jedocze±ie rozbie»e Zadaie 3 ( pkt Niech (a 0 b dzie ci giem liczb dodatich Udowodij,»e ast puj ce waruki s rówowa»e, (W lim if a > 0 (W Dla ka»dego ieros cego ci gu (b 0 je±li b k a k dla iesko«czeie wielu k 0, to =0 b = Zadaie 4 ( pkt Zbadaj zbie»o± szeregu = ( [ ] Zadaie 5 (, pkt Zbadaj zbie»o± iloczyu Cauchy'ego szeregów = ( α, = ( β, α, β > 0

15 Aaliza Matematycza I Zadaia domowe, seria 0, P Nayar, 0/3 Zadaie ( pkt Przypu± my,»e ci gi (a (,, (a (k s zbie»e odpowiedio do a (,, a (k Oblicz graic lim ( k i +i ++i k = a ( i a (k i k Zadaie ( pkt Niech (a b dzie ci giem liczb rzeczywistych dodatich Przypu± my,»e szereg = a jest zbie»y Udowodij,»e zbie»y jest rówie» szereg = a Zadaie 3 ( pkt Dla udowodij ierówo±ci 4( + < i= ( i i + < 4 Zadaie 4 (piseme, pkt Wyzacz zbiór warto±ci fukcji f, g, h : C C zadaych wzorami f(z = si z, g(z = cos z, h(z = tgz Zadaie 5 ( pkt Niech α, β speªiaj waruek α + β = Rozwa»my zbiory A = {[α], }, B = {[β], } Udowodij,»e zbiory A i B s rozª cze i A B = N wspólego z Zadaiem 4 (Seria 9? Czy to zadaie ma co±

16 Aaliza Matematycza I Zadaia domowe, seria, P Nayar, 0/3 Zadaie (3 pkt Niech (a b dzie ci giem liczb rzeczywistych Udowodij ierówo± Czy staªa ( a + + a = p p p jest optymala? p ( p p a p p = Zadaie ( pkt Niech (a b dzie ci giem liczb dodatich i iech k Udowodij ierówo± lim sup ( x + x + + x +k x (k + k+ k k Zadaie 3 (3 pkt Przypu± my,»e szereg liczb zespoloych = z jest zbie»y Deiujemy zbiór A C, A = {z C f : N a N, z = z f( } Udowodij,»e A = C lub istiej liczby a, b C takie,»e A = {a + tb t R} = Zadaie 4 ( pkt Niech P, Q : R R b d wielomiaami i Q( 0 dla N Przypu± my,»e deg(p < deg(q Udowodij,»e szereg jest zbie»y = ( P ( Q( Zadaie 5 ( pkt Niech λ (0, Przypu± my,»e fukcja f : C C speªia ierówo± f(u f(v λ u v Udowodij,»e dla dowolego a C rówaie z = f(z + a posiada jedozacze rozwi zaie Uwaga Jedo zadaie ale»y wybra i odda jako piseme

17 Aaliza Matematycza I Zadaia domowe, seria, P Nayar, 0/3 Zadaie ( pkt Dla jakich c > 0 ci g jest zbie»y do graicy sko«czoej? c, c c, c cc, c ccc, Zadaie ( pkt Niech > Zajd¹ ajmiejsz liczb c o ast puj cej wªaso±ci: dla dowolych liczb rzeczywistych a, a,, a istiej i, j takie,»e i j, a i a j oraz 0 < a i a j + a i a j c Zadaie 3 (3 pkt Powiemy,»e bijekcja f : N N jest dobra, je±li posiada ast puj ce wªaso±ci, (a Dla dowolego ci gu liczb rzeczywistych (a, je±li szereg = a jest zbie»y, to zbie»y jest rówie» szereg = a f( (b Istieje ci g liczb rzeczywistych (b taki,»e szereg = b jest rozbie»y, ale szereg = b f( jest zbie»y Czy istieje dobra bijekcja? Zadaie 4 ( pkt Dla x (0, π udowodij to»samo± si x = 4 Udowodij to»samo± = 4 k=0 ( si (k+π + si x + si π+x Dla x (0, π/ udowodij ierówo±ci si x x si x Wywioskuj ierówo± > 8 π k=0 > (k+ Udowodij rówo±ci k=0 (k+ = π 8, k=0 k = π 6 Zadaie 5 ( pkt Niech O b dzie puktem wew trzym trójk ta ABC i iech P, Q, R b d rzutami puktu O a proste AB, BC i CA Udowodij ierówo± OA + OB + OC ( OP + OQ + OR Uwaga Jedo zadaie ale»y wybra i odda jako piseme

18 Aaliza Matematycza I Zadaia domowe, seria 3, P Nayar, 0/3 Zadaie (, 3 pkt (a Udowodij,»e istieje fukcja f : R R taka,»e dla ka»dego p R mamy lim x p f(x = 0, ale zbiór {x R f(x > 0} jest g sty w R (b Niech f : R R Przypu± my,»e dla ka»dego p R mamy lim x p f(x = 0 Udowodij,»e istieje liczba iewymiera a, dla której f(a = 0 Zadaie (, 3 pkt (a Udowodij,»e zbiór puktów ieci gªo±ci fukcji mootoiczej jest zbiorem przeliczalym (b Niech A R b dzie zbiorem przeliczalym Udowodij,»e istieje iemalej ca fukcja f : R R taka,»e zbiór puktów ieci gªo±ci f jest rówy A Zadaie 3 (, pkt Niech C > 0 Dla jakich α > 0 z waruku wyika,»e f jest fukcj staª? f(x f(y C x y α Zadaie 4 (, pkt Czy istieje fukcja f : R R taka,»e dla ka»dego p R jest lim x p f(x = +? Zadaie 5 (, 3 pkt Niech f : R R b dzie fukcj speªiaj c rówo± f(x+y = f(x + f(y dla wszystkich x, y R (a Przypu± my,»e dla pewego przedziaªu I R i pewej liczby rzeczywistej M mamy f(x M dla x I Wyka»,»e istieje liczba rzeczywista a taka,»e f(x = ax dla x R (b Udowodij,»e istiej rozwi zaia powy»szego rówaia fukcyjego, które ie s fukcjami liiowymi Zaªó»my,»e f jest takim rozwi zaiem Udowodij,»e f ma wykres b d cy g stym podzbiorem pªaszczyzy R Uwaga Jedo zadaie ale»y wybra i odda jako piseme