EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Transkrypt

1 Miejsce a aklejk z kodem szkoy dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MMA-RAP-06 POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 0 miut Istrukcja dla zdajcego Sprawd, czy arkusz egzamiacyjy zawiera 4 stro (zadaia ) Ewetualy brak zgo przewodiczcemu zespou adzorujcego egzami Rozwizaia zada i odpowiedzi zamie w miejscu a to przezaczoym W rozwizaiach zada przedstaw tok rozumowaia prowadzcy do ostateczego wyiku 4 Pisz czytelie Uywaj dugopisu/pióra tylko z czarym tuszem/atrametem Nie uywaj korektora, a bde zapisy przekrel 6 Pamitaj, e zapisy w brudopisie ie podlegaj oceie 7 Obok kadego zadaia podaa jest maksymala liczba puktów, któr moesz uzyska za jego poprawe rozwizaie 8 Moesz korzysta z zestawu wzorów matematyczych, cyrkla i liijki oraz kalkulatora 9 Wypeij t cz karty odpowiedzi, któr koduje zdajcy Nie wpisuj adych zaków w czci przezaczoej dla egzamiatora Na karcie odpowiedzi wpisz swoj dat urodzeia i PESEL Zamaluj pola odpowiadajce cyfrom umeru PESEL Bde zazaczeie otocz kókiem i zazacz waciwe yczymy powodzeia! ARKUSZ II MAJ ROK 006 Za rozwizaie wszystkich zada moa otrzyma czie 0 puktów Wypeia zdajcy przed rozpoczciem pracy PESEL ZDAJCEGO KOD ZDAJCEGO

2 Zadaie ( pkt) Korzystajc z zasady idukcji matematyczej wyka, e dla kadej liczby aturalej prawdziwy jest wzór: (!) 4!!! Sprawdzam, czy wzór jest prawdziwy dla : L! P! L P Zaoeie idukcyje: (!) 4! ( )(!)! Teza: dla (!) 4! ( )(!) ( )( ) ( )! ( )! Dowód: Korzystam z zaoeia idukcyjego i otrzymuj ( )! ( )( ) ( )! L ( )! ( )( ) ( )! Wyczam z pierwszych dwóch skadików wyraeia wspóly czyik ( )! przed awias: L ( )! ( )( ) ( )! 4 4 ( )! Korzystam z rówoci : ( )!( ) ( )! i otrzymuj L ( )!( ) ( )! P wiosek: Z zasady idukcji matematyczej wyika, e wzór jest prawdziwy dla kadej liczby aturalej Wypeia egzamiator! Nr czyoci 4 Maks liczba pkt Uzyskaa liczba pkt

3 Zadaie ( pkt) Day jest cig a, gdzie a 6 ( ) a a) Zbadaj mootoiczo cigu b) Oblicz lim a dla kadej liczby aturalej c) Podaj ajwiksz liczb a i ajmiejsz liczb b takie, e dla kadego speioy jest waruek a a b a) Aby okreli mootoiczo cigu obliczam róic a a a 6 a 6 6 b) 0 dla kadej liczby aturalej, zatem cig jest malejcy lim lim lim ( ) c) Cig jest malejcy, wic ajmiejsz liczb, która speia ierówo a jest pierwszy wyraz tego cigu, czyli speiajc ierówo b, atomiast ajwiksz liczb 0 a a jest graica tego cigu, czyli a b Nr czyoci 4 Wypeia Maks liczba pkt egzamiator! Uzyskaa liczba pkt

4 4 Zadaie 4 (4 pkt) a) Naszkicuj wykres fukcji y si x w przedziale, si x b) Naszkicuj wykres fukcji y w przedziale, si x si x i zapisz, dla których liczb z tego przedziau speioa jest ierówo 0 si x a) y x b) Wyzaczam dziedzi fukcji six 0 dla k x Przeksztacam wzór fukcji: six dla six 0 y six dla six 0 six y : six

5 dla x,, 0,, y dla x,, 0,, y 4 - -/ - -/ / / x Odp: Rozwizaiem ierówoci si x 0 six jest zbiór:,,0,, Nr czyoci Wypeia Maks liczba pkt egzamiator! Uzyskaa liczba pkt

6 6 Zadaie (4 pkt) Ucziowie dojedajcy do szkoy zaobserwowali, e spóieie autobusu zaley od tego, który z trzech kierowców prowadzi autobus Przeprowadzili badaia statystycze i obliczyli, e w przypadku, gdy autobus prowadzi kierowca A, spóieie zdarza si w % jego kursów, gdy prowadzi kierowca B w 0% jego kursów, a gdy prowadzi kierowca C w 0% jego kursów W cigu -diowego tygodia auki dwa razy prowadzi autobus kierowca A, dwa razy kierowca B i jede raz kierowca C Oblicz prawdopodobiestwo spóieia si szkolego autobusu w losowo wybray dzie auki Wprowadzam astpujce ozaczeia zdarze: A - autobus prowadzi kierowca A, B - autobus prowadzi kierowca B, C - autobus prowadzi kierowca C, S - autobus szkoly spóia si, M - autobus przyjeda puktualie Zdarzeia A, B, C speiaj zaoeia twierdzeia o prawdopodobiestwie cakowitym, wic: P S P S A P A P S B P B P S C P C A B C S M S M S M Obliczam prawdopodobiestwo: P( S) 0 Nr czyoci 4 Wypeia Maks liczba pkt egzamiator! Uzyskaa liczba pkt

7 7 Zadaie 6 ( pkt) Obiekty A i B le po dwóch stroach jeziora W tereie dokoao pomiarów odpowiedich któw i ich wyiki przedstawioo a rysuku Odlego midzy obiektami B i C jest rówa 400 m Oblicz odlego w liii prostej midzy obiektami A i B i podaj wyik, zaokrglajc go do jedego metra CAB 0, poiewa suma któw w trójkcie jest rówa 80 Do wyzaczeia szukaej odlegoci stosuj twierdzeie siusów: AB 400 si0 si 0 Obliczam odlego obiektu A od obiektu B: AB ,8 si 0 0,4 Odp: Odlego obiektów w liii prostej jest rówa 8 metrów Nr czyoci Wypeia Maks liczba pkt egzamiator! Uzyskaa liczba pkt

8 8 Zadaie 7 (6 pkt) Na okrgu o promieiu r opisao trapez róworamiey ABCD o duszej podstawie AB CS i krótszej CD Pukt styczoci S dzieli rami BC tak, e SB a) Wyzacz dugo ramieia tego trapezu b) Oblicz cosius CBD D E C S O A G F B Przyjmuj ozaczeia jak a rysuku a) Wykorzystujc proporcj CS SB wprowadzam ozaczeia: CS x, SB x, std BC x x 7x OSC OEC wic EC CS x DC 4x - z wasoci trapezu róworamieego Korzystajc z wasoci czworokta opisaego a okrgu otrzymuj: AB CD BC 4x, std AB x Z wasoci trapezu róworamieego wyika, e FB x Z twierdzeia Pitagorasa dla FBC otrzymuj: CF FB CB, czyli r x 7x, r x, std x r, wic BC 7 r, DC 4 r

9 9 b) Wyzaczam dugo przektej BD z trójkta prostoktego BDG, w którym GB 7 r : GB GD DB, DB 490 r 490 r 400 r 4r, std BD r Stosujc twierdzeie cosiusów w trójkcie BCD otrzymuj: DC BC DB BC DB cos CBD, r r r r r cos CBD Odp: 6 89 cos CBD 6 Nr czyoci Wypeia Maks liczba pkt egzamiator! Uzyskaa liczba pkt

10 Zadaie 8 (7 pkt) Wród wszystkich graiastosupów prawidowych trójktych o objtoci rówej m istieje taki, którego pole powierzchi cakowitej jest ajmiejsze Wyzacz dugoci krawdzi tego graiastosupa Wprowadzam astpujce ozaczeia: a dugo krawdzi podstawy, h wysoko graiastosupa Dla tak wprowadzoych ozacze wzory a objto i pole powierzchi cakowitej graiastosupa s astpujce: V a h, 4 a P ah Z rówaia a 8 h wyzaczam iewiadom h: h 4 a Po podstawieiu h do wzoru a pole powierzchi cakowitej graiastosupa otrzymuj fukcj: a 8 a 6 6 P( a) a a a a Obliczam pochod fukcji: 8 ( ) a P a a a, 0,, 0, Dla a pochoda fukcji przyjmuje warto 0 a a P( a) 0 dla a 0, i P( a) 0 dla a,, wic w pukcie a fukcja P osiga miimum i jedoczeie warto ajmiejsz, bo fukcja P w przedziale 0, jest malejca i w przedziale Dla a wysoko h Odp: Wymiary graiastosupa o objtoci cakowitej jest ajmiejsze s astpujce: a m,, jest rosca m, dla którego pole powierzchi h m Nr czyoci Wypeia Maks liczba pkt egzamiator! Uzyskaa liczba pkt

11 Zadaie 9 (7 pkt) Nieskoczoy cig geometryczy a jest zdefiioway wzorem rekurecyjym: a, a a log ( k ), dla kadej liczby aturalej Wszystkie wyrazy tego cigu s róe od zera Wyzacz wszystkie wartoci parametru k, dla których istieje suma wszystkich wyrazów ieskoczoego cigu a Wyraeie: log k jest okreloe, gdy k 0 k Z defiicji cigu geometryczego wyika, e iloraz q log k q 0 log k 0 czyli k Aby istiaa suma wszystkich wyrazów daego cigu geometryczego, iloraz cigu musi speia waruek q k Rozwizuj ierówo: log log k, k i k log log k i log log k i k k i k 4 log k log Rozwizaiem ierówoci s liczby rzeczywiste alece do przedziau,4 Odp: Suma wszystkich wyrazów daego cigu o wszystkich wyrazach róych,,4 od zera istieje dla k Nr czyoci Wypeia Maks liczba pkt egzamiator! Uzyskaa liczba pkt

12 Zadaie 0 (4 pkt) x x Dae s fukcje ( ) x f x x i g( x) 9 Oblicz, dla których argumetów x wartoci fukcji f s wiksze od wartoci fukcji g Waruki zadaia s rówowae ierówoci: x x 4x 6x4 Rozwizuj ierówo: x 9 x x x x x x x x x 4 x 6 x 4 Korzystajc z mootoiczoci fukcji wykadiczej otrzymuj ierówo rówowa: x x 4x 6x 4 x x , x 6 x, 4 6 Odp: Rozwizaiem ierówoci jest przedzia: 4, Nr czyoci Wypeia Maks liczba pkt egzamiator! Uzyskaa liczba pkt

13 Zadaie ( pkt) W trakcie badaia przebiegu zmieoci fukcji ustaloo, e fukcja f ma astpujce wasoci: jej dziedzi jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, f jest fukcj ieparzyst, f jest fukcj cig oraz: f ( x) 0 dla x 8,, f ( x) 0 dla x,, f ( x) 0 dla x,0, f ( ) f ( ) 0, f ( 8) 0, f ( ), f ( ) 0, f ( ) W prostoktym ukadzie wspórzdych a paszczyie aszkicuj wykres fukcji f w przedziale 8,8, wykorzystujc podae powyej iformacje o jej wasociach y x Nr czyoci Wypeia Maks liczba pkt egzamiator! Uzyskaa liczba pkt

14 4 BRUDNOPIS