Spis tre±ci 1. Wprowadzenie O matematyce O kursie Ci gªo± Pochodna Caªka Liczby rzeczywiste 6 2.

Transkrypt

1 Spis tre±ci. Wprowadzeie 3.. O matematyce 3.. O kursie 3.3. Ci gªo± 3.4. Pochoda 5.5. Caªka 6.6. Liczby rzeczywiste 6. Liczby rzeczywiste 8.. Formala deicja 8.. Liczby aturale i zasada idukcji 9.3. Rozkªad a czyiki pierwsze.4. Ie zbiory liczb.5. Kresy 3 3. Ci gi liczbowe (cz ± I) Deicje Zbie»o± Zbie»o± a liczby rzeczywiste 3.4. Szeregi 3 4. Fukcja wykªadicza i logarytm Fukcja wykªadicza Logarytm aturaly Pot gowaie Fukcje trygoometrycze Ci gi liczbowe (cz ± II) Graice iewªa±ciwe Podci gi Graica dola i graica góra Przykªady Fukcje rzeczywiste, fukcje elemetare, fukcje ci gªe Fukcje rzeczywiste Fukcje trygoometrycze Fukcje cyklometrycze Fukcje elemetare Ci gªo± fukcji elemetarych 4 7. Graice fukcji i fukcje ci gªe Graice fukcji Graice iewªa±ciwe fukcji Graice jedostroe fukcji Deicje Cauchy'ego Asymptoty fukcji Fukcje ci gªe Fukcje ieci gªe Uj cie topologicze Wªaso±ci fukcji ci gªych Pochode Deicje 6

2 8.. Obliczaie pochodych Twierdzeia o warto±ci ±rediej Ekstrema i mootoiczo± Reguªa de l'hospitala Wªaso± Darboux fukcji pochodej Pochode wy»szych rz dów i wzór Taylora Druga pochoda Caªka ieozaczoa Deicje Podstawowe techiki obliczaia caªek ieozaczoych Caªkowaie fukcji wymierych Sprowadzaie iektórych caªek do caªek z fukcji wymierych Caªka ozaczoa Deicja i iterpretacje Podstawowe wªaso±ci Wzór Taylora Przykªady zastosowa«caªek ozaczoych 94

3 3. Wprowadzeie.. O matematyce. Matematyka to przede wszystkim dowodzeie twierdze«, czyli sztuka logiczego wyci gaia wiosków. Najlepszym przykªadem jest geometria euklidesowa: kilka stwierdze«przyjmuje si za pewiki s to aksjomaty albo postulaty i a ich podstawie tworzy si teori matematycz, czyli zbiór twierdze«. J zyk matematyki musi by ±cisªy, tak, aby ka»dy mógª bez trudu go zrozumie i sprawdzi poprawo± rozumowaia. J zyk matematyki ie mo»e odwoªywa si do ituicji: pozorie oczywiste stwierdzeia wymagaj cz sto pracochªoego uzasadieia. Przykªadem iech b dzie twierdzeie Jordaa o krzywej : ka»da ci gªa liia zamki ta a pªaszczy¹ie dzieli j a dwie cz ±ci, z których jeda jest ograiczoa (w trze), a druga ieograiczoa (zew trze). Dªugo uzawao,»e fakt te ie wymaga uzasadieia, dopiero Berard Bolzao dostrzegª potrzeb ±cisªego dodwodu, który ast pie zostaª poday przez Camille'a Jordaa. Z drugiej stroy dowody matematycze mog by bardzo atrakcyje (mówi si cz sto: elegackie). Najlepszym przykªadem jest chyba sªyy dowód twierdzeia Pitagorasa, poday przez Bh askar drugiego i opatrzoy wyª czie kometarzem Patrz!. [[rysuek]] Trzeba tu podkre±li,»e ituicja jest iezwykle wa»a w matematyce: pomaga stawia prawidªowe hipotezy i zajdowa wªa±ciwe argumety. Nale»y jedak pami ta, by zawsze sprawdza to, co wydaje si oczywiste... O kursie. Tradycyja (i precyzyjiejsza) azwa kursu to Rachuek ró»iczkowy i caªkowy. Celem zaj jest zapozaie Pa«stwa z poj ciem pochodej i caªki, dwiema operacjami a fukcjach rzeczywistych, czyli fukcjach odwzorowuj cych podzbiór zbioru liczb rzeczywistych (ajcz ±ciej sum przedziaªów) w zbiór liczb rzeczywistych. Operacje te wprowadzoe zostaªy przez Isaaca Newtoa i Gottfrieda Leibiza pod koiec XVII wieku. Podobe idee mo»a odale¹ ju» w staro»yto±ci w pracach Archimedesa. J zyk matematyczy stosoway przez Newtoa i Leibiza byª ieprecyzyjy i przez to ie wszystkie uzyskae przez ich rezultaty byªy prawdziwe. Próby u±ci±leia teorii pochodej i caªki zako«czyªy si sukcesem dopiero w XIX wieku i jest to sukces wielu matematyków, m.i. Augustia-Louisa Cauchy'ego, Karla Weierstrassa i Berharda Riemaa. Wspóªczesy, bardzo sformalizoway j zyk pochodzi ju» z XX wieku, o czym w szczegóªach dowiedz si Pa«stwo a kursie Wst p do logiki i teorii mogo±ci. Cztery ajwa»iejsze poj cia w rachuku ró»iczkowym i caªkowym, a zapewe i w caªej aalizie matematyczej, to ci gªo± (oraz pokrewe poj cie graicy), pochoda, caªka i liczba rzeczywista. Szczegóªowo zosta oe omówioe pó¹iej, w tym miejscu warto jedak zasygalizowa, czym wªa±ciwie oe s..3. Ci gªo±. Jeda wielko± zale»y od drugiej w sposób ci gªy, je±li odpowiedio maªa zmiaa pierwszej zmieia drug tylko iezaczie. Nie jest to precyzyja deicja, ale staowi dobry pukt wyj±cia. Stwierdzeie druga zmiea zale»y od pierwszej ozacza,»e druga zmiea jest fukcj pierwszej zmieej. Aby wyrazi si precyzyjie, potrzebe s ozaczeia: iech t b dzie pierwsz zmie (argumetem), za± f(t) drug zmie (fukcj ). Wygodie mie przed oczami kokrety obraz: iech a przykªad t ozacza czas, w sekudach, za± f(t) odlegªo± przejecha przez samochód, w metrach. Fukcja f jest ci gªa, je±li Dla wielok tów i wielu iych liii dowód ie jest bardzo trudy. Ale liie mog by bardzo ieregulare! Hasªa do dalszej lektury: fraktale, krzywa Osgooda. Autor iiejszych otatek a stwierdzeie to jest oczywiste zawsze odpowiada pytaiem dlaczego.

4 4 odpowiedio maªa zmiaa warto±ci zmieej a przykªad z t a t + h ozacza maª zmia warto±ci fukcji z f(t) a f(t + h). ci±lej: dla dowolie zadaej maksymalej zmiay warto±ci fukcji ε > 0 mo»a dobra maksymal zmia warto±ci zmieej δ > 0 tak, aby zmiaa argumetu o miej i» δ ozaczaªa zmia warto±ci o miej i» ε: z waruku h < δ ma wyika waruek f(t + h) f(t) < ε. Defiicja.. Fukcja f jest ci gªa w pukcie t, je±li dla dowolego ε > 0 istieje δ > 0 o ast puj cej wªaso±ci: z waruku h < δ wyika f(t + h) f(t) < ε. Sªowo o historii: autorem powy»szej epsiloowo-deltowej deicji jest Karl Weierstrass, cho wcze±iej podobe sformuªowaie podaª Berard Bolzao. Cz sto azywaa jest oa deicj Cauchy'ego, mimo»e Augusti-Louis Cauchy stosowaª zamiast iej sformuªowaie oparte a ieprecyzyjym poj ciu wielko±ci iesko«czeie maªych. Aby udowodi,»e daa fukcja jest ci gªa, trzeba dla dowolego ε > 0 wskaza odpowiedi δ > 0 (lub przyajmiej udowodi jej istieie). Dla ±cisªo±ci: δ mo»e zale»e od warto±ci ε, fukcji f oraz argumetu t. Przykªad. Fukcja f(t) = t jest ci gªa w pukcie. Zachodzi bowiem f( + h) f() = + h = ( + h) h =. + h + + h + Niech ε > 0 i iech δ b dzie miejsz z liczb ε i. Przy tym wyborze δ z waruku h < δ wyika [[rysuek]] f( + h) f() = h + h + < δ 0 + = δ ε. Przykªad. Fukcja f(t) = jest ci gªa w ka»dym pukcie swojej dziedziy. Zachodzi t bowiem f(t + h) f(t) = t + h t = (t + h) t (t + h)t = h t + h t. Niech t 0 oraz ε > 0. Wówczas istieje δ > 0 taka,»e δ < t oraz δ < t ε. Przy tym wyborze δ z waruku h < δ wyika t + h t h t h > t t = t (dowód pierwszej ierówo±ci to jedo z wicze«a li±cie zada«r ) i wobec tego [[rysuek]] f(t + h) f(t) = h t + h t < δ δ = t t t < ε. Przykªad. Wielko± t, azywaa podªog lub cz ±ci caªkowit liczby t, jest zdeiowaa jako ajwi ksza liczba caªkowita miejsza lub rówa t (czyli zaokr gleie t w dóª do ajbli»szej liczby caªkowitej). Fukcja f(t) = t jest ieci gªa w pukcie 0. W istocie dla ε = ie istieje taka δ > 0, dla której speªioy byªby waruek ci gªo±ci: je±li h < δ i < h < 0, to h = i w takim razie [[rysuek]] f(0 + h) f(0) = h 0 = 0 = = > = ε. Pukt ozacza tu to samo, co argumet. Wielko±ci iesko«czeie maªe mo»a uj w formale ramy, zajmuje si tym aaliza iestadardowa, lecz zgodie z azw jest to teoria wykraczaj ca poza stadardowy program studiów z matematyki, a przy tym maj ca stosukowo iewiele zastosowa«.

5 Powy»sze trzy przykªady wiele mówi o tym, jak ale»y przeprowadza dowody matematycze. Poj cie ci gªo±ci rozszerza si w ró»ych kierukach: rozwa»a si fukcje wielu zmieych lub o warto±ciach a pªaszczy¹ie czy w przestrzei (a przykªad we wspomiaym twierdzeiu Jordaa). Jed z podstawowych wªaso±ci fukcji ci gªych jest wªaso± warto±ci po±rediej, azywaa zwykle w Polsce wªaso±ci Darboux. [[rysuek]] Twierdzeie.. Je±li fukcja f jest ci gªa w ka»dym pukcie przedziaªu [a, b] oraz y jest zawarte pomi dzy f(a) i f(b), to rówaie f(t) = y ma rozwi zaie w przedziale [a, b]. Kolejym podstawowym twierdzeiem jest wªaso± osi gaia kresów. [[rysuek]] Twierdzeie.3. Je±li fukcja f jest ci gªa w ka»dym pukcie przedziaªu [a, b], to przyjmuje oa w tym przedziale warto± ajmiejsz oraz warto± ajwi ksz. Podobie jak twierdzeie Jordaa, powy»sze wªaso±ci wydaj si oczywiste; wymagaj jedak dowodu. Te a szcz ±cie jest do± ªatwy, cho wymaga dokªadego zrozumieia, czym s liczby rzeczywiste i wobec tego zostaie poday w cz ±ci dotycz cej ci gªo±ci..4. Pochoda. Je±li fukcja f(t) opisuje poªo»eie w czasie, to ±redia pr dko± w przedziale czasowym [t, t + h] wyra»a si wzorem [[rysuek]] Gdy a przykªad f(t) = t, to g(h) = f(t + h) f(h) h g(h) = (t + h) t = t + h h. rodkowe wyra»eie ie jest okre±loe, gdy h = 0, ale ju» wyra»eie po prawej stroie ma wtedy ses. Naturale jest zatem rozszerzeie deicji g tak, aby g(0) = t. Nie zawsze jest tak prosto: je±li f(t) = t, to wyra»eia g(h) = t+h t h ie sposób upro±ci tak, by miaªo oo ses dla h = 0. Mimo to fukcj g(h) mo»a rozszerzy (zadaj c odpowiedi warto± g(0)) tak, aby uzyska fukcj ci gª. Dowód tego faktu zostaie poday w cz ±ci dotycz cej pochodych. [[rysuek]] Warto± g(0), która czyi z daej fukcji g(h) fukcj ci gª w pukcie 0, azywaa jest graic tej fukcji w 0 i ozaczaa lim h 0g(h). Je±li dla zadaej warto±ci t fukcja (f(t + h) f(t))/h zmieej h ma graic w pukcie 0, to opisuje oa pr dko± chwilow i azywaa jest pochod fukcji f w pukcie t. Defiicja.4. Fukcja f(t) jest ró»iczkowala w pukcie t, je±li istieje graica f f(t + h) f(t) (t) = lim. h 0 h Iterpretacj geometrycz pochodej jest tages k ta achyleia styczej do wykresu fukcji f w pukcie (t, f(t)) stycza jest w odpowiedim sesie graic sieczych. Spotykae ozaczeia pochodej to pochodz ce od Newtoa (i stosowae tutaj) f (t),. 5

6 6 wprowadzoe przez Leibiza df, podobe zapisy d f(t) i f(t), a tak»e zapis operatorowy dt dt Df(t). Obliczaie pochodej fukcji zadaej wzorem azywae jest ró»iczkowaiem i jest zazwyczaj czyo±ci zaskakuj co ªatw..5. Caªka. Zagadieie odwrote: wyzaczaie fukcji, je±li zaa jest jej pochoda, jest zaczie trudiejsze i azywae jest caªkowaiem. Defiicja.5. Je±li fukcja g(t) jest pochod fukcji f(t), tj. g(t) = f (t), to fukcja f(t) azywaa jest fukcj pierwot lub caªk ieozaczo fukcji g(t) i ozaczaa symbolem g(t)dt. O ile ka»d fukcj zada prostym wzorem mo»a ªatwo zró»iczkowa, o tyle caªki iektórych fukcji (a przykªad t 3 + ) ie wyra»aj si prostym wzorem. Warto wspomie,»e (w odró»ieiu od pochodej) caªka ieozaczoa ie jest wyzaczoa jedozaczie: je±li f(t) jest caªk g(t), to dla dowolej staªej C fukcja f(t) + C rówie» jest caªk g(t). Jedym z zaskakuj cych zastosowa«caªki jest obliczaie pola pod wykresem fukcji: pole trapezu krzywoliiowego zawartego pomi dzy przedziaªem [a, b] a osi poziomej i poªo»oym ad tym przedziaªem odcikiem wykresu fukcji g(t) dae jest wzorem f(b) f(a), gdzie f(t) jest caªk ieozaczo z g(t). [[rysuek]] Wielko± t azywa si caªk ozaczo fukcji g(t) a przedziale [a, b]. Defiicja.6. Je±li g(t) jest pochod f(t) a przedziale [a, b], tj. g(t) = f (t) dla t [a, b], to wielko± f(b) f(a) azywaa jest caªk ozaczo fukcji g(t) a przedziale [a, b] i ozaczaa symbolem b a g(t)dt. Aby zrozumie, dlaczego powy»sz wielko± mo»a iterpretowa jako pole trapezu krzywoliiowego, trzeba odpowiedzie a pytaie o to, czym wªa±ciwie jest pole takiej gury. Natural deicj wydaje si graicza warto± pól gur otrzymaych przez przybli»aie prostok tami: b g(t)dt = g(t k ) t k. a lim max{ t k } 0 Nie precyzujemy teraz, jak rozumiemy graic w powy»szym wzorze, powiemy tylko,»e deiuje o caªk Riemaa, a rówo± caªki Riemaa i caªki ozaczoej azywaa jest zasadiczym twierdzeiem rachuku ró»iczkowego i caªkowego. Dawiej sum ozaczao liter S zamiast symbolu (pochodz cego od greckiej litery Σ), za± symbol caªki powstaª w wyiku stopiowego przeksztaªcaia sposobu kre±leia litery S. Caªki ieozaczoe, ozaczoe i Riemaa maj móstwo iych zastosowa«, o których wi cej zostaie powiedziae w cz ±ci dotycz cej caªkowaia..6. Liczby rzeczywiste. W dowodzie wªaso±ci Darboux fukcji ci gªej potrzeba jest ast puj ca wªaso± kresów : je±li iepusty podzbiór A zbioru liczb rzeczywistych jest ograiczoy z góry, to ma kres góry, czyli istieje liczba a o wªaso±ciach: x a dla wszystkich elemetów x zbioru A; je±li liczba b ma aalogicz wªaso±, to a b. To zdaie jest ±cisªym twierdzeiem matematyczym: ie istieje wzór opisuj cy t 3 + dt, cho sk di d wiadomo,»e caªka istieje. k

7 Faktu tego ie da si udowodi, wykorzystuj c tylko prawa dziaªa«i ierówo±ci (wtedy bowiem wªaso± t miaªyby te» liczby wymiere). S dwa rozwi zaia: mo»a przyj to stwierdzeie za aksjomat, albo odpowiedio skostruowa zbiór liczb rzeczywistych przy pomocy bardziej podstawowych poj. Podej±cie aksjomatycze (przedstawioe w kolejym rozdziale) wymaga miej pracy, ale ie gwaratuje istieia zbioru liczb rzeczywistych. Kostrukcja jest bardziej pracochªoa, ale te» bardziej amacala jest tre±ci wiczeia dodatkowego a li±cie zada«r. 7

8 8. Liczby rzeczywiste.. Formala deicja. Te rozdziaª jest iy i» wszystkie pozostaªe. Wszyscy ituicyjie rozumiej, czym s liczby rzeczywiste, ale dla peªej ±cisªo±ci potrzeba formalych deicji. Dla porz dku: zbiór A jest ograiczoy z góry, je±li istieje x o ast puj cej wªaso±ci: a x dla wszystkich a A. Podobie A jest ograiczoy z doªu, je±li istieje x o wªaso±ci: x a dla wszystkich a A. Defiicja.. Liczby rzeczywiste to zbiór R, w którym wyró»ioo dwa ró»e elemety 0 i, okre±loo dziaªaia + i oraz zadao porz dek w taki sposób,»e speªioe s ast puj ce postulaty: (R) dziaªaie + jest przemiee i ª cze, 0 jest elemetem eutralym (tj. x+0 = x), a ka»da liczba ma liczb przeciw (tj. tak liczb x,»e x + ( x) = 0); (R) dziaªaie jest przemiee i ª cze, jest elemetem eutralym (tj. x = x dla x 0), a ka»da róza od zera liczba ma liczb odwrot (tj. tak liczb x,»e x x = ); (R3) dziaªaie jest rozdziele wzgl dem dziaªaia + (tj. (x+y) z = (x z)+(y z)); (R4) porz dek to relacja zwrota (tj. x x), atysymetrycza (tj. je±li x y oraz y x, to x = y) i przechodia (tj. je±li x y oraz y z, to x z), która dodatkowo speªia waruek liiowo±ci (tj. x y lub y x); (R5) dziaªaia s zgode z porz dkiem (tj. je±li x y, to x + z y + z, za± je±li 0 x i 0 y, to 0 x y); (R6) je±li iepusty podzbiór A zbioru liczb rzeczywistych jest ograiczoy z góry, to ma kres góry, czyli istieje liczba a o wªaso±ciach: x a dla wszystkich elemetów x A; je±li liczba b ma aalogicz wªaso±, to a b. Waruek (R) ozacza,»e zbiór R z dziaªaiem dodawaia + jest grup przemie, za± waruek (R)»e grup przemie jest R \ {0} z dziaªaiem mo»eia. Waruki (R)(R3) ozaczaj,»e zbiór R z dziaªaiami + i jest ciaªem liczbowym. Waruek (R4) ozacza,»e R z relacj jest zbiorem liiowo uporz dkowaym. Wszystkie waruki oprócz (R6) ozaczaj,»e R z dziaªaiami + i oraz relacj jest ciaªem uporz dkowaym. Waruek (R6) osi azw waruku zupeªo±ci Dedekida. Kres góry zbioru A azyway jest te» supremum A i ozaczay sup A. Aalogiczie zdeiowa mo»a kres doly A, azyway imum A i ozaczay if A. Nie trzeba zakªada istieia imum zbiorów ograiczoych z doªu, jest to kosekwecja aksjomatów (R)(R6) (jest to wiczeie a li±cie zada«r ). Oczywi±cie stosoway b dzie zapis x y zamiast x + ( y), xy zamiast x y oraz x/y lub x y zamiast x y. Poadto x < y ozacza x y i x y, x y za± to samo, co y x; podobie x > y to iy zapis y < x. Dzi ki ª czo±ci wolo pisa a przykªad x + y + z; tradycyjie te» x y + z ozacza (x y) + z. Poadto x = x x, x 3 = x x x itd. Wszystko to wydaje si oczywiste, ale jest elemetem formalej deicji stosowaych tu ozacze«. Z aksjomatów (R)(R6) mo»a wywioskowa wszystkie dobrze zae wªaso±ci zbioru liczb rzeczywistych, cho ie zawsze jest to ªatwe. Kilka wicze«a te temat zajduje si a li±cie zada«r, ilustracj jest poi»szy przykªad. Tego typu rozwa»aia ie s gªówym tematem kursu, ale warto cho raz si z imi zmierzy.

9 9 Twierdzeie.. Zachodzi 0 <. Dowód. Dowód jest zadziwiaj co skomplikoway i skªada si z kilku cz ±ci: elemet przeciwy jest wyzaczoy jedozaczie; w istocie, je±li a + x = 0 oraz b + x = 0, to a = a + 0 = a + b + x = b + a + x = b + 0 = b; elemet eutraly dodawaia jest wyzaczoy jedozaczie; w istocie, je±li dla wszystkich x zachodzi x + a = x i x + b = x, to a = a + b = b; 0 x = 0; w istocie, 0 x = (0 + 0) x = 0 x + 0 x, sk d 0 = 0 x; ( ) x = x; w istocie, x + ( ) x = x + ( ) x = ( + ( )) x = 0 x = 0, zatem ( ) x jest elemetem przeciwym do x; ( x) = x; w istocie, x z deicji jest elemetem przeciwym do x; ( ) ( ) = ; w istocie, ( ) ( ) = ( ) = ; je±li x 0, to x 0; w istocie, x 0 ozacza x + ( x) 0 + ( x), czyli 0 x; x x 0; w istocie, je±li x > 0, to x x 0; je±li za± x 0, to x 0, wi c x x = x x = ( ) ( ) x x = ( x) ( x) 0. Pozostaje zauwa»y,»e = 0, za± z deicji 0. W dalszej cz ±ci wªaso±ci liczb rzeczywistych zae ze szkoªy ±rediej b d wykorzystywae bez szczegóªowego dowodu (takiego jak powy»ej), czasem tylko szkic dowodu b dzie poday w formie uwagi. Nale»y jedak pami ta,»e wszystkie te wªaso±ci mo»a wyprowadzi wprost z aksjomatów. Wa»e te» jest ast puj ce twierdzeie. Twierdzeie.3. Zbiór liczb rzeczywistych istieje (tj. mo»a skostruowa zbiór i dziaªaia o po» daych wªaso±ciach przy pomocy metod logiki i teorii mogo±ci). Dowód (kostrukcja zbioru liczb rzeczywistych) jest wiczeiem dodatkowym a li±cie zada«r... Liczby aturale i zasada idukcji. Formala deicja zbioru liczb aturalych jest ieco ieaturala. Mo»liwa jest te» deicja ie odwoªuj ca si do poj cia zbioru liczb rzeczywistych (pochodz ca od Peaa), a tak»e kostrukcja wykorzystuj ca wyª czie zbiór pusty i proste operacje a zbiorach (pochodz ca od vo Neumaa). Defiicja.4. Liczby aturale to podzbiór N zbioru R o ast puj cych wªaso- ±ciach: (a) ale»y do N; (b) je±li N, to + N; (c) dowoly podzbiór A zbioru R o powy»szych dwóch wªaso±ciach zawiera N. Dowód poprawo±ci deicji. Niech B b dzie cz ±ci wspól wszystkich zbiorów A R o wªaso±ciach: A; je±li A, to + A. Wówczas B oraz je±li B, to + B. Poadto B jest podzbiorem ka»dego zbioru A R o tych wªaso±ciach. Zatem B jest zbiorem liczb aturalych. Pozorie oczywistym, ale bardzo wa»ym twierdzeiem jest poi»sza zasada idukcji.

10 0 Twierdzeie.5. Niech ϕ() ozacza pewe zdaie dotycz ce liczby N. Je±li ϕ(0) jest prawdziwe, a poadto dla ka»dego N prawdziwa jest implikacja: z ϕ() wyika ϕ( + ), to ϕ() jest prawdziwe dla ka»dego N. Dowód. Niech A b dzie zbiorem tych liczb aturalych, dla których ϕ() jest prawdziwe. Z zaªo»eia 0 A oraz je±li A, to + A. Z deicji zbioru liczb aturalych zachodzi N A. Ale A N, zatem A = N. Przykªad. Dla ka»dej liczby aturalej zachodzi >. W istocie, dla = zachodzi = > =. Je±li za± dla pewego N zachodzi > (zaªo»eie idukcyje), to + = + + > + (ostatia ierówo± wyika z zaªo»eia idukcyjego, za± oczywista ierówo± formalie te» ma dowód idukcyjy: 0 = oraz je±li, to + = ). Dowodzoa ierówo± wyika zatem a mocy zasady idukcji. Cz sto wykorzystywa b dziemy zbiór ieujemych liczb caªkowitych N 0 = N {0}. Te» ma o wªaso± idukcji, jest bowiem ajmiejszym zbiorem, który zawiera 0 i wraz z ka»dym swoim elemetem zawiera elemet +. Ogóliej: idukcj mo»a zaczya od dowolej liczby aturalej, a awet caªkowitej. Twierdzeie.6. Niech ϕ() ozacza pewe zdaie dotycz ce liczby N i iech N b dzie ustalo liczb atural. Je±li ϕ(n) jest prawdziwe, a poadto dla ka»dego aturalego N prawdziwa jest implikacja: z ϕ() wyika ϕ( + ), to ϕ() jest prawdziwe dla ka»dego aturalego N. W iiejszym twierdzeiu mo»a zast pi zbiór N zbiorem N 0. Dowód. Niech ψ(k) ozacza zdaie ϕ(n + k). Wówczas ψ speªia zaªo»eia zasady idukcji, a wi c ψ(k) zachodzi dla ka»dego k N. St d ϕ() zachodzi dla ka»dego aturalego N. W powy»szym dowodzie wykorzystao ast puj c wªaso± liczb aturalych: je±li > m,, m N, to m N. Na margiesie warto zauwa»y,»e formaly dowód tej wªaso±ci jest»mudy (i przyale»y raczej do kursu Wst p do logiki i teorii mogo±ci ; w skrócie: dowodzi si,»e () N wtedy i tylko wtedy, gdy = lub N; () dla ka»dego N z waruków m N, m < wyika m N). Ie bardzo u»ytecze (i dobrze zae) fakty to: dla N; je±li, m N i > m, to m + ; je±li, m N, to + m N i m N (wybrae wªaso±ci s tre±ci iektórych wicze«a li±cie zada«r ). Przykªad. Dla ka»dej liczby aturalej 4 zachodzi. W istocie, dla = 4 zachodzi = 6 =. Je±li za± dla pewego aturalego 4 zachodzi (zaª. id.), to + = ( + ) (pierwsza ierówo± wyika z zaªo»eia idukcyjego, drugiej ierówo±ci mo»a za± dowie± ast puj co: ( + ) = 4 = 0). Wa»ym twierdzeiem rówowa»ym zasadzie idukcji jest ast puj ca zasada miimum. Twierdzeie.7. Ka»dy iepusty podzbiór zbioru liczb aturalych ma elemet ajmiejszy.

11 Dowód. Niech A b dzie podzbiorem N bez elemetu ajmiejszego. Niech B b dzie zbiorem tych b N, dla których b a dla wszystkich a A. Wówczas B (bo wszystkie liczby aturale s wi ksze lub rówe ). Przypu± my,»e b B, ale b + / B, a wi c b + > a dla pewego a A. Skoro b a, to b = a (bo z ierówo±ci b + > a wyika b a), a wi c a jest ajmiejszym elemetem A, wbrew zaªo»eiu. Zatem je±li b B, to b + B. Na mocy deicji N zachodzi B = N. Je±li wi c a A, to a + N = B, sk d a + a, sprzeczo±. Wobec tego A jest zbiorem pustym. Niezwykle wa»ym twierdzeiem o liczbach rzeczywistych jest ast puj cy rezultat, azyway czasem zasad Archimedesa (bowiem w staro»yto±ci Eudoksos wprowadziª ast puj cy postulat: ka»dy odciek jest krótszy od pewej wielokroto±ci dªugo±ci ka»- dego iego odcika). Twierdzeie.8. Nie istieje dodatia liczba rzeczywista miejsza od wszystkich liczb, gdzie N. Podobie ie istieje liczba rzeczywista wi ksza od wszystkich liczb aturalych. cisªy dowód tego twierdzeia jest tre±ci dwóch wicze«a li±cie zada«r Rozkªad a czyiki pierwsze. Jedym z fudametalych poj teorii liczb s liczby pierwsze. Defiicja.9. Liczb p N azywa si liczb pierwsz, je±li p > oraz ka»dy rozkªad a czyiki p = m (gdzie, m N) zawiera czyik, tj. = lub m =. Twierdzeie.0. Ka»da liczba aturala > jest iloczyem sko«czeie wielu liczb pierwszych. Dowód. Gdyby twierdzeie ie byªo prawdziwe, z zasady miimum istiaªaby ajmiejsza liczba aturala k >, która ie jest iloczyem sko«czeie wielu liczb pierwszych. W szczególo±ci k ie jest liczb pierwsz, a wi c ma rozkªad k = m, gdzie, m N oraz > i m >. St d < k oraz m < k, czyli i m s iloczyami sko«czeie wielu liczb pierwszych. Zatem i k = m ma t wªaso±, sprzeczo±. Dowód kolejego twierdzeia, azywaego twierdzeiem o jedozaczo±ci rozkªadu a czyiki pierwsze albo zasadiczym twierdzeiem arytmetyki, staowi tre± wiczeia dodatkowego a li±cie zada«r. Te pozorie oczywisty wyik jest ieoczekiwaym wioskiem z (rozszerzoego) algorytmu Euklidesa zajdowaia ajwi kszego wspólego dzielika. Twierdzeie.. Rozkªad a czyiki pierwsze jest jedozaczy: je±li N i >, to istieje wyzaczoy jedozaczie sko«czoy ci g liczb pierwszych p, p,..., p k taki,»e = p p p k oraz p p... p k..4. Ie zbiory liczb. Poi»sze deicje przytoczoe s gªówie po to, by ustali ozaczeia.

12 Defiicja.. Przedziaªem sko«czoym o ko«cach a i b (gdzie a < b) azywa si ka»dy ze zbiorów (a, b) = {x R : a < x < b}, [a, b) = {x R : a x < b}, [a, b] = {x R : a x b}, (a, b] = {x R : a < x b}. Przedziaªem iesko«czoym o ko«cu a azywa si ka»dy ze zbiorów (a, ) = {x R : a < x}, [a, ) = {x R : a x}, (, a) = {x R : x < a}, (, a] = {x R : x a}. Symbole i ie maj tu»adego matematyczego zaczeia. W szczególo±ci ie s to liczby rzeczywiste! Defiicja.3. Liczby caªkowite to zbiór Z liczb postaci lub, gdzie N 0. Liczby wymiere to zbiór Q liczb postaci /m, gdzie Z, m N. Liczby iewymiere to liczby rzeczywiste, które ie s wymiere. Zbiór N jest zamki ty ze wzgl du a dodawaie, zbiór Z dodawaie i odejmowaie. Zbiór Q jest uporz dkowaym ciaªem liczbowym: speªia wszystkie postulaty R z wyj tkiem ostatiego, o istieiu kresów. Wszystkie te zdaia s twierdzeiami, których dowody pomijamy. Twierdzeie.4. (a) Ka»dy przedziaª o dªugo±ci wi kszej i» zawiera liczb caªkowit. (b) Ka»dy przedziaª zawiera zarówo liczb wymier, jak i liczb iewymier (a wi c liczby te le» g sto w R). Dowód. Dla dowodu cz ±ci (a), przypu± my,»e (a, b) jest przedziaªem dªugo±ci wi kszej i», czyli b a >. Je±li a < 0 < b, to (a, b) zawiera liczb caªkowit 0. Przypu± my,»e 0 a oraz (a, b) ie zawiera liczby caªkowitej. Idukcyjie dowodzimy,»e a jest ograiczeiem z góry zbioru N 0. Oczywi±cie 0 a. Je±li a dla pewego N 0, to + a +, a wi c + < b. Skoro jedak przedziaª (a, b) ie zawiera liczb caªkowitych, zachodzi + a. Na mocy zasady idukcji w istocie a jest ograiczeiem górym zbioru N 0. Z zasady Archimedesa wyika jedak,»e N 0 jest ieograiczoy z góry. Wobec tego przedziaª (a, b) musi zawiera pew liczb caªkowit. W przypadku, gdy b < 0, przedziaª ( b, a) zawiera liczb caªkowit, a wi c rówie» (a, b) zawiera pew liczb caªkowit. Udowodimy teraz cz ± (b). Niech b > a i iech m N b dzie wi ksze i». b a Przedziaª (ma, mb) ma dªugo± wi ksz od, zawiera wi c liczb caªkowit iech b dzie i. Zachodzi wi c ma < < mb, czyli (a, b). m Podobie przedziaª (a, b ) zawiera liczb wymier k. Wobec tego k + l l (a, b). Zatem (a, b) zawiera liczb wymier i liczb iewymier k + (iewymiero± ostatiej wyika z wiczeia a li±cie zada«r ). m l Wiele obiektów w matematyce okre±la si w sposób rekurecyjy, azyway czasem sposobem idukcyjym: deicja odpowiadaj ca kolejej liczbie aturalej zale»y od deicji dla liczby poprzediej. wietym przykªadem jest pot gowaie: z formalego puktu widzeia liczba a dla a R oraz N okre±loa jest wzorami a = a, a + =

13 a a. Na mocy zasady idukcji deiuje to pot g dla dowolego aturalego wykªadika: zbiór tych N dla których a jest poprawie okre±loe zawiera oraz wraz z ka»d liczb zawiera +, zatem jest caªym zbiorem liczb aturalych. Warto przy okazji podkre±li,»e deicja pot gowaia z rzeczywistym wykªadikiem wykorzystuj ca wyª czie postulaty liczb rzeczywistych (w szczególo±ci za± postulat o istieiu kresów) jest do± skomplikowaa. Podamy ±cisª deicj pó¹iej, gdy wprowadzimy poj cie fukcji wykªadiczej exp i logarytmiczej l. Je±li jedak wykªadik jest caªkowity, deicja jest caªkiem prosta: dla a R, a 0 oraz N okre±lamy a 0 =, a = (a ) (deicja ta jest poprawa, bowiem a 0, oraz zgoda z ozaczeiem a dla = ). Zae ze szkoªy wªaso±ci: a x a y = a x+y, (a x ) y = a xy, a x b x = (ab) x mo»a dla x, y Z udowodi metod idukcji..5. Kresy. Przypomijmy: zbiór A jest ograiczoy z góry, je±li istieje liczba a R o wªaso±ci x a dla wszystkich x A. Tak liczb a azywa si ograiczeiem z góry zbioru A. Elemet a A jest elemetem ajwi kszym zbioru A, je±li jest ograiczeiem z góry zbioru A, a wi c x a dla ka»dego x A. W tej sytuacji a jest jedocze±ie kresem górym zbioru A, czyli ajmiejszym ograiczeiem z góry zbioru A. Oczywi±cie zbiory ieograiczoe ie maj elemetu ajwi kszego. Nie wszystkie zbiory ograiczoe z góry taki elemet posiadaj (przykªadem jest zbiór liczb ujemych); a mocy waruku zupeªo±ci Dedekida wszystkie iepuste zbiory ograiczoe z góry maj jedak kres góry. Zbiór ograicze«górych daego zbioru, o ile ie jest zbiorem pustym, jest zawsze przedziaªem jedostroie iesko«czoym: je±li a jest ograiczeiem z góry zbioru A, to ka»da liczba wi ksza od a te» ma t wªaso±. Waruek zupeªo±ci Dedekida orzeka,»e zbiór ograicze«górych jest zawsze przedziaªem domki tym, czyli maj cym elemet ajmiejszy. Aalogiczie mówi si o zbiorach ograiczoych z doªu, ograiczeiach z doªu, elemetach ajmiejszych i kresach dolych. Elemety ajwi ksze i ajmiejsze zbioru A, o ile istiej, ozaczamy symbolami mi A oraz max A. Kresy za± ozaczamy przez if A (kres doly, czyli imum zbioru A) oraz sup A (kres góry, czyli supremum zbioru A). Deicj kresu mo»a zapisa a wiele sposobów. Liczba a = sup A jest kresem górym lub supremum zbioru A, je±li: (a) x a dla wszystkich x A; (b) je±li b ma wªaso± : x b dla wszystkich x A, to a b. Drug wªaso± rówowa»ie mo»a zapisa w postaci (b ) je±li b < a, to b < x dla pewego x A, lub jeszcze iaczej (b 3 ) je±li ε > 0, to a ε < x dla pewego x A, Rówowa»ie oba waruki mo»a zapisa w bardziej geometryczej postaci [[rysuek]]: (a 4 ) A (, a]; (b 4 ) zbiór A (a ε, a] jest iepusty dla dowolego ε > 0. W ostatim waruku wystarczy rozwa»a dowolie maªe liczby ε > 0, tj. mo»a zast pi te waruek jeszcze iym: (b 5 ) zbiór A (a ε, a] jest iepusty dla dowolego ε (0, ε 0 ), gdzie E jest dowol ustalo liczb dodati. W istocie, je±li A (a ε, a] jest iepusty dla pewego ε > 0, to jest iepusty dla wszystkich wi kszych warto±ci ε. Dodajmy a 3

14 4 koiec,»e iektóre ostre lub sªabe ierówo±ci mo»a zast pi ierówo±ciami iego typu: zamiast waruku (b) mo»emy apisa dowoly z poi»szych: (b 6 ) je±li b ma wªaso± : x < b dla wszystkich x A, to a b; (b 7 ) je±li b < a, to b x dla pewego x A; (b 8 ) je±li ε > 0, to a ε x dla pewego x A; (b 9 ) zbiór A [a ε, a] jest iepusty dla dowolego ε > 0; (b 0 ) zbiór A [a ε, a] jest iepusty dla dowolego ε (0, ε 0 ), gdzie ε 0 jest dowolie ustalo liczb dodati. Tego typu kosmetycze zmiay deicji stosowa b dziemy iezwykle cz sto przy omawiaiu graic i ie b dziemy ich szczegóªowo kometowa, dlatego dobrze teraz samodzielie staraie przeaalizowa rówowa»o± wymieioych wy»ej waruków. Aalogiczie wprowadza si poj cie kresu dolego: a = if A jest kresem dolym lub imum zbioru A, je±li (a) x a dla wszystkich x A; (b) je±li b ma wªaso± : x b dla wszystkich x A, to a b. Zów, mo»liwe s ró»orakie wariaty. Przykªad. Zbiór { : N} zawiera elemet ajmiejszy 0 (bo = 0 dla = oraz = 0 dla ), ie zawiera za± elemetu ajwi kszego. Jego kres góry to (bo oraz dla dowolego ε > 0 istieje N takie,»e > ε (rówowa»ie: > ; istieie takiego wyika z zasady Archimedesa). ε Przykªad. Niech A = {x + : x (0, )}. Zbiór A jest ieograiczoy z góry, bo x x + > x, zatem»ada liczba x > 0 ie jest ograiczeiem A z góry. Poiewa» x + = x x + ( x /x), zbiór A jest ograiczoy z doªu przez. Rówo± w ostatiej ierówo±ci zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy x = /x, czyli x =, czyli x =. Wobec tego A zawiera elemet ajmiejszy. Przykªad. Niech A = {x + : x Q (0, )}. Jak poprzedio, A jest ieograiczoy z x góry i ograiczoy z doªu przez. Liczba ta ie ale»y do A, bowiem x = ie jest liczb wymier (jest to wiczeie a li±cie zada«r ). Zachodzi jedak if A = : dla ε > 0 rozwi zaiem ierówo±ci x + < + ε jest pewie przedziaª zawarty w x (0, ) (szczegóªy s ªatwym wiczeiem), który zawiera pew liczb wymier. Wobec tego + ε ie jest ograiczeiem z doªu zbioru A. [[rysuek]] Przykªad. Zbiór R jest ieograiczoy z góry i z doªu, ie ma wi c elemetu ajmiejszego ai ajwi kszego, ie ma te» kresów. Zbiór pusty te» ie ma elemetu ajmiejszego ai ajwi kszego oraz kresów, atomiast jest ograiczoy z doªu i z góry przez dowol liczb rzeczywist (bowiem zdaie rozpoczyaj ce si od sªów dla ka»dego elemetu zbioru pustego jest zawsze prawdziwe). Przykªad. Kresem dolym zbioru A = { : N + } jest 0, a kresem górym jest. Dowód jest do± skomplikoway. Oczywi±cie 0 jest ograiczeiem z doªu zbioru A. Niech x ozacza kres doly A i przypu± my,»e x > 0. Niech k =. Wówczas k < +, czyli kx < + x. W x x x szczególo±ci +x > x. Niech a A speªia waruek x a < +x. Wtedy ka < +x. k k Liczba a jest postaci, zatem ka = k k. Niech y = k k oraz z = k k. Wówczas y [, + x) oraz z [0, ), zatem

15 0 < y z < + x. Poiewa» y z = k k jest liczb caªkowit, zachodzi y z = i w zwi zku z tym z [0, x). Ale z A, wi c z x sprzeczo±! Zaªo»eie,»e x > 0, musi by zastem faªszywe. Aalogiczie (cho ieco trudiej) dowodzi si rówo±ci sup A =. 5

16 6 3. Ci gi liczbowe (cz ± I) 3.. Deicje. Ci g liczbowy to po prostu iesko«czoa lista liczb. Ci g taki mo»a zada wzorem (p. a = ( + ) ); mo»a okre±li go rekurecyjie, (p. b =, b + = b /+/b lub c = c =, c + = c + +c ); mo»a te» zdeiowa wyrazy ci gu opisowo (p. d to liczba -elemetowych podzbiorów zbioru -elemetowego). Formalie ci g liczbowy deiujemy ast puj co. Defiicja 3.. Ci g (formalie: iesko«czoy ci g liczbowy ) to fukcja a z N w R. Warto±ci fukcji a azywae s wyrazami ci gu i ozaczae a = a(), za± argumety ideksami. Zamiast a (ozaczeie fukcji, czyli caªego ci gu) dla przejrzysto±ci pisze si (a : N) lub w skrócie (a ). Defiicja 3.. Ci g (a ) jest ograiczoy z góry, je±li istieje x o wªaso±ci: a x dla wszystkich N; ograiczoy z doªu, je±li istieje x o wªaso±ci: a x dla wszystkich N; ograiczoy, je±li je±li jest ograiczoy z doªu i z góry; ros cy (lub iemalej cy), je±li a a + dla wszystkich N; malej cy (lub ieros cy), je±li a a + dla wszystkich N; ±ci±le ros cy, je±li a < a + dla wszystkich N; ±ci±le malej cy, je±li a > a + dla wszystkich N; mootoiczy, je±li jest ros cy lub malej cy, za± ±ci±le mootoiczy, je±li jest ±ci±le ros cy lub ±ci±le malej cy. Defiicja 3.3. Ci g (a ) ma da wªaso± od pewego miejsca lub dla dostateczie du»ych, je±li wªaso± ta jest speªioa przy dodatkowym zaªo»eiu,»e wszystkie ideksy s rówe co ajmiej daej liczbie k N. Na przykªad ci g jest ros cy od pewego miejsca, je±li istieje k N takie,»e a a + dla wszystkich aturalych k. Przykªad. Ci g o wyrazach jest ograiczoy (przez 0 i : 0 ( > ). + ) i ±ci±le malej cy Przykªad. Ci g o wyrazach a = ( + )/( 3) jest ograiczoy z doªu przez : a =, za± a > 0 > dla. Ci g te ie jest ograiczoy z góry: dla zachodzi a /() =, wi c gdyby (a ) byª ograiczoy z góry, to ograiczoy z góry byªby zbiór { : N, }, który zawiera zbiór liczb aturalych. Ci g (a ) ie jest ai ros cy, ai malej cy: a < a > a 3, ale jest ±ci±le ros cy od pewego miejsca. Aby to wykaza, zapiszmy wpierw a = + 3 = ( ). 4 3 Jest to sposób zapisywaia fukcji bez adawaia jej azwy, p. ( : N) lub (x : x R). Ie cz sto stosowae ozaczeie to N, R x x.

17 St d otrzymujemy a + a = ( ( + ) 3 3 ) 3 = ( ) 6 4 ( )( 3) = ( ) 3. ( )( 3) Je±li 3, to ( )( 3) 5 3 = 5 > 3, a wi c a + a > 0. Iymi sªowy, (a ) jest ±ci±le ros cy od trzeciej pozycji. Przykªad. Ci g o wyrazach ( ) jest ograiczoy (przez i ), lecz ie jest mootoiczy (awet od pewego miejsca). Zauwa»my,»e ka»dy ci g ros cy jest ograiczoy z doªu, za± ka»dy ci g malej cy ograiczoy z góry, a odpowiedim ograiczeiem jest wówczas pierwszy wyraz ci gu. Aby to wykaza, wystarczy zauwa»y,»e je±li (a ) jest ci giem ros cym, to a a. Formaly dowód tego faktu jest idukcyjy: oczywi±cie a a, za± z waruku a a wyika a + a (bowiem a + a ). Aalogiczie gdy ci g (a ) jest malej cy, to a a. Wiele podobych wªaso±ci jest tre±ci wicze«a li±cie zada«r 4. Cho w deicji ci gi s umerowae liczbami aturalymi, cz sto umerowaie b dziemy rozpoczyali od zera lub od iej liczby aturalej. Na przykªad ci giem b dziemy azywali fukcj da wzorem a = 3, cho jest oa okre±loa jedyie dla 0 (oraz = ). 3.. Zbie»o±. Motywacja: ci g jest zbie»y, je±li koleje wyrazy s coraz lepszymi, dowolie dokªadymi przybli»eiami pewej liczby, azywaej graic. Defiicja 3.4. Ci g (a ) jest zbie»y do x (iaczej: ma graic x lub d»y do x), je±li dla ka»dego ε > 0 istieje N takie,»e dla > N zachodzi a x < ε. Fakt te zapisuje si w postaci lim a = x. Ci g, który ie ma graicy, azyway jest rozbie»ym. Liczba N mo»e zale»e od ε (i oczywi±cie od samego ci gu (a )), ale ie mo»e zale»e od. Mo»a to iterpretowa w postaci gry: przeciwik zadaje am ε > 0, a my mamy poda odpowiedi ideks N. Powy»sz deicj mo»a modykowa (i uzyska rówowa» deicj ) a kilka sposobów: zamiast dowolego ε > 0 mo»a rozwa»a a przykªad tylko ε = dla k N, k albo ε = dla k N, albo ε (0, ε k 0 ) dla dowolie ustaloego ε 0 > 0; waruek > N mo»a zast pi warukiem N; waruek a x < ε mo»a zast pi warukiem a x ε; mo»a wymaga, by N byªo liczb atural. Dowód jest wiczeiem wst pym a li±cie zada«r 5. Waruek a x < ε ozacza tyle, co x ε < a < x + ε, czyli a (x ε, x + ε). Deicj zbie»o±ci mo»a wysªowi 7

18 8 ast puj co: ci g (a ) jest zbie»y do x wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolego ε > 0 waruek a x < ε jest speªioy od pewego miejsca. Oczywi±cie je±li dwa ci gi s rówe od pewego miejsca, to zbie»o± jedego z ich ozacza zbie»o± drugiego do tej samej graicy. Podobie pomii cie lub dopisaie sko«czeie wielu wyrazów ci gu ie wpªywa a zbie»o± i graic, a pomii cie dowolie wielu wyrazów ci gu zbie»ego prowadzi do ci gu zbie»ego do tej samej graicy. Dowody kilku tego typu faktów s wiczeiami wst pymi a li±cie zada«r 5. Przykªad. Ci gi o wyrazach, oraz ( ) / s zbie»e do zera (speªiaj deicj odpowiedio z N = ε, N = ε oraz N = ε ). Przykªad. Ci g staªy jest zbie»y do swej (staªej) warto±ci (speªioa deicja z N = 0). Przykªad. Ci g o wyrazach ( ) ie jest zbie»y, bowiem dla dowolego x deicja zbie»o±ci ie jest speªioa: dla ε = ie istieje N takie,»e a x < ε dla > N, gdy» ozaczaªoby to x < ε (istieje parzysty > N) oraz x < ε (istieje ieparzysty > N), sk d = ( x) + ( + x) < x + x < ε =, sprzeczo±. Przykªad. Ci g o wyrazach a = + jest zbie»y do zera: zatem a 0 < ε je±li > ε. a = + = ( + ), + + Przykªad. Ci g o wyrazach a = ( + ) jest zbie»y do : a = ( + ) = (( + ) ) + + = + / +, zatem a < oraz a > /(( + ) + ) = = > ; wystarczy wi c wzi + 4+ N =. (Šatwiejszy dowód tego faktu wyika z twierdzeia o pierwiastkowaiu graic, ε które jest tre±ci wiczeia a li±cie zada«r 5). Udowodimy kilka prostych wªaso±ci graicy ci gu. W wielu twierdzeiach wymagamy, by pewe waruki speªioe byªy od pewego miejsca. Poiewa» jedak graica ie zale»y od pocz tkowych wyrazów ci gu, w dowodach b dziemy zakªadali,»e rozwa»ae waruki speªioe s dla wszystkich. Twierdzeie 3.5. Graica ci gu wyzaczoa jest jedozaczie. Dowód. Je±li x < y i obie te liczby s graicami ci gu (a ), to dla ε = (y x) zachodzi a (x ε, x + ε) dla > N oraz a (y ε, y + ε) dla > N. Dla wi kszego od obu liczb N i N zachodzi a (x ε, x + ε) (y ε, y + ε) =, sprzeczo±. Powy»szy dowód jest bardzo typowy: je±li ci gi (a ) i (b ) s zbie»e do graic x oraz y, to dla ka»dego ε > 0 istieje N takie,»e dla > N speªioe s jedocze±ie waruki a x < ε oraz b y < ε: przy ozaczeiach z dowodu wystarczy bowiem okre±li N = max{n, N }. Twierdzeie 3.6. Je±li ci gi (a ) i (b ) s zbie»e oraz a b (od pewego miejsca), to lim a lim b.

19 Dowód. Niech x = lim a, y = lim b. Gdyby x > y, to dla ε = (x y) istiaªoby N takie,»e dla > N zachodziªoby a (x ε, x + ε) i b (y ε, y + ε), wbrew a b. Wiosek 3.7. Je±li ci g (a ) jest zbie»y oraz a b (od pewego miejsca), to lim a b; je±li za± a b (od pewego miejsca), to lim a b. 9 Twierdzeie 3.8. Ci g zbie»y jest ograiczoy. Dowód. Niech x = lim a. Istieje N takie,»e gdy N, to a (x, x + ) (ε = ). Ci g (a ) jest wi c ograiczoy z góry przez ajwi ksz z liczb a, a,..., a N, x +, a z doªu przez ajmiejsz z liczb a, a,..., a N, x. Przykªad. Ci g o wyrazach ie jest zbie»y (bo jest ieograiczoy: je±li > a, to > a). Poi»sze twierdzeie to tzw. twierdzeie o trzech ci gach. Twierdzeie 3.9. Je±li ci gi (a ) i (c ) s zbie»e do tej samej graicy oraz a b c (od pewego miejsca), to i ci g (b ) jest zbie»y, do tej samej graicy. Dowód. Niech x = lim a = lim c. Dla dostateczie du»ych zachodzi a, c (x ε, x + ε), a wi c i b (x ε, x + ε). Przykªad. Ci g o wyrazach + jest zbie»y do zera, bo 0 < + <. Przykªad. Ci g o wyrazach ( ) / jest zbie»y do zera, bo ( ) /. Poi»sze fudametale twierdzeie osi azw twierdzeia o arytmetyce graic lub twierdzeia o ci gªo±ci operacji arytmetyczych. Twierdzeie 3.0. Je±li lim a = x oraz lim b = y, to lim (a + b ) = x + y, lim (a a b ) = x y, lim (a b ) = xy, a je±li y 0, to rówie» lim b = x. y Dowód. Je±li a x < ε i b y < ε, to (a +b ) (x+y) < ε i (a b ) (x y) < ε. St d wyikaj pierwsze dwie wªaso±ci. ε Niech ε > 0 i iech δ b dzie ajmiejsz z liczb, oraz ε. Je±li a (+ x ) (+ y ) x < δ oraz b y < δ, to a b xy = a (b y) + (a x)y a (b y) + (a x)y = a b y + a x y a δ + δ y. Poadto a = (a x) + x a x + x < δ + x + x, a wi c a b xy < ( + x )δ + δ y < ε + ε = ε.

20 0 To dowodzi trzeciej wªaso±ci. Aalogiczie je±li δ jest ajmiejsz z liczb, ε y i, za± a 4(+ x ) x < δ i b y < δ, to sk d b = y (y b ) y y b y δ y, b y = y b y b Dalej jak w dowodzie trzeciej wªaso±ci: δ y b δ y. a b x y a b y + a x y ( + x ) δ y + δ y < ε + ε = ε. y, ε y Uwaga: dopuszcza si sytuacj, w której b = 0 dla pewych. Wtedy ci g ( a b ) jest okre±loy tylko od pewego miejsca, a w powy»szym dowodzie ale»y przyj,»e ale»y do dziedziy ci gu ( a b ) (czyli b 0). Ogóliej: mówi si o graicach ci gów okre±loych tylko od pewego miejsca, p. lim = 0, cho siódmy wyraz ci gu jest ieokre±loy. 7 Przykªad. Zachodzi lim + (+) +/ = lim = +0 =. (+/) (+0) Je±li (a ) i (b ) s ci gami zbie»ymi odpowiedio do x i y oraz x > 0, to ci g o wyrazach (a ) b d»y do x y. Udowodimy to twierdzeie po wprowadzeiu fukcji wykªadiczej i logarytmiczej. Na razie ie b dziemy go wykorzystywa, za to rozwa»ymy dwa przypadki szczególe. Pierwszy to twierdzeie o pierwiastkowaiu graic, które jest tre±ci trzech wicze«a li±cie zada«r 5. Drugi wyik zawarty jest w kolejym przykªadzie, który wykorzystuje ierówo± Beroulliego. Twierdzeie 3.. Je±li x > oraz N 0, to ( + x) + x. Dowód. Teza jest oczywi±cie prawdziwa dla = 0. Przypu± my,»e ( + x) + x dla pewego N 0 i x >. Wówczas ( + x) + = ( + x)( + x) ( + x)( + x) = + ( + )x + x + ( + )x. Teza wyika wi c z zasady idukcji. Zauwa»my,»e z dowodu ªatwo wyika,»e ierówo± Beroulliego jest ostra, je±li i x 0. Przykªad. Ci g o wyrazach jest zbie»y do, bo < + a mocy ierówo±ci Beroulliego, a ci gi o wyrazach oraz + d» do. Ogóliej, je±li a >, to a + a, zatem lim a =. Przykªad. Ci g o wyrazach 7 jest zbie»y do, bo < 7 < dla 4, zatem / 7 dla 4, a ci gi o wyrazach / oraz d» do. Przykªad. Po raz drugi, w prostszy sposób obliczamy graic ( ( ) + ) lim = lim (( + ) ) + + = lim + / + = = Wykorzystali±my tu twierdzeie o pierwiastkowaiu graic.

21 3.3. Zbie»o± a liczby rzeczywiste. Postulat o istieiu kresów, odró»iaj cy liczby rzeczywiste od liczb wymierych (i iych ciaª uporz dkowaych), ma fudametale zaczeie dla poj cia zbie»o±ci. Twierdzeie 3.. Ci g mootoiczy i ograiczoy jest zbie»y. Dowód. Je±li (a ) jest ros cy, to kres góry x zbioru {a : N} jest jego graic : a x dla wszystkich N, za± dla dowolego ε > 0 istieje N N takie,»e a N > x ε i wobec tego a > x ε dla N. Przykªad. Ci g a = jest ros cy (jase) i ograiczoy jest to wiczeie a li±cie zada«r 3, a iy dowód to a ( ) = + ( ) + ( ) ( ) 3 = +. Ci g (a ) jest zatem zbie»y. (Graic jest π, dowód zostaie przedstawioy a drugim 6 semestrze). Przykªad. Ci g (a ) day wzorami a =, a + = + a (gdzie N) jest ros cy (idukcja: a = + = a i poadto je±li a a +, to a + = + a + a+ = a + ; uogólieie jest wiczeiem a li±cie zada«r 5) i ograiczoy (idukcja: a i poadto je±li a, to a + + = ). Wobec tego ci g (a ) jest zbie»y. Skoro a + = + a, graica x ci gu (a ) speªia rówaie x = + x, sk d ªatwo x = lub x =. Skoro a > 0, musi zachodzi lim a =. Nieformalie: =. Poi»sza deicja jest jed z fudametalych idei w aalizie i topologii. Defiicja 3.3. Ci g (a ) jest ci giem podstawowym (iaczej: Cauchy'ego lub fudametalym), je±li dla ka»dego ε > 0 istieje N takie,»e dla, m > N zachodzi a a m < ε. Ka»dy ci g zbie»y jest podstawowy: je±li lim a = x, to dla dostateczie du»ych, m zachodzi a x < ε oraz a m x < ε, zatem a a m a x + x a m < ε + ε = ε. Okazuje si,»e prawdziwe jest rówie» przeciwe wyikaie. Twierdzeie 3.4. Ci gi podstawowe s zbie»e. Dowód. Niech (a ) b dzie ci giem podstawowym i iech B b dzie zbiorem tych liczb b R, dla których ierówo± a b speªioa jest od pewego miejsca. Ci g (a ) jest ograiczoy dowód jest iemal taki sam, jak dla ci gów zbie»ych. Wobec tego B jest zbiorem iepustym (zawiera wszystkie ograiczeia z góry) i ró»ym od R (ie zawiera»adych ograicze«z doªu). Okre±lmy x = if B i ustalmy ε > 0. Z deicji x wiemy,»e B zawiera elemet b miejszy od x + ε, a wi c istieje N takie,»e ierówo± a b < x + ε zachodzi dla > N.

22 Niech N b dzie takie,»e a a m < ε je±li, m > N. Skoro x ε / B, istieje iesko«czeie wiele ideksów m takich,»e a m > x ε; w szczególo±ci istieje taki ideks m, który jest wi kszy od N. Dla wszystkich > N zachodzi wi c a > a m ε > (x ε) ε = x ε. Ostateczie otrzymujemy x ε < a < x + ε dla wszystkich > max{n, N }. Skoro ε > 0 jest dowoly, ozacza to,»e (a ) jest zbie»y do x. W powy»szym dowodzie wykorzystali±my deicj kresu do udowodieia zbie»o±ci. Poj cie graicy ci gu jest jedak bardziej ituicyje od poj cia kresu wygodie jest zwªaszcza wyzacza kresy zbiorów przy pomocy ci gów. Twierdzeie 3.5. Niech A b dzie iepustym i ograiczoym z góry podzbiorem R. Liczba a jest kresem górym A wtedy i tylko wtedy, gdy a jest ograiczeiem górym zbioru A oraz graic pewego ci gu elemetów zbioru A. Aalogicze twierdzeie zachodzi dla kresów dolych. Dowód. Przypu± my,»e a jest ograiczeiem z góry zbioru A oraz a = lim a dla pewego ci gu (a ) o wyrazach zawartych w A. Je±li b < a, to od pewego miejsca zachodzi a > b (z deicji zbie»o±ci dla ε = a b), a wi c b ie jest ograiczeiem z góry zbioru A. Wobec tego a = sup A. Z drugiej stroy je±li a = sup A, to dla ka»dego N istieje elemet a A (a, a]. Z twierdzeia o trzech ci gach wyika,»e lim a = a. Do kolejego przykªadu potrzeby b dzie ast puj cy prosty rezultat. Twierdzeie 3.6. Ka»da liczba rzeczywista jest graic pewego ci gu liczb wymierych. Dowód. Je±li x R, to przedziaª (x, x + ) zawiera pew liczb wymier a. Z twierdzeia o trzech ci gach wyika,»e ci g (a ) jest zbie»y do x. Przykªad. Wyka»emy poowie,»e kresem dolym zbioru {x + : x Q, x > 0} jest x. Liczba ta jest ograiczeiem dolym rozwa»aego zbioru, bowiem (x + ) = x (x ) 0. Poadto istieje ci g dodatich liczb wymierych (a x ) zbie»y do, a wi c istieje ci g (a + a ) elemetów rozwa»aego zbioru zbie»y do + =. Wygodie czasem wprowadzi ast puj c deicj. Defiicja 3.7. Domki ciem zbioru A azywamy zbiór wszystkich mo»liwych graic ci gów, których wyrazy s elemetami A. Domki cie zbioru A ozaczae jest symbolem A lub Cl A. Je±li A jest ograiczoy z góry, to ka»dy elemet zbioru A ie przekracza sup A. Wobec tego wszystkie graice ci gów o wyrazach ze zbioru A s ograiczoe z góry przez sup A. Iymi sªowy, sup A jest ograiczeiem z góry zbioru A. Z drugiej stroy a mocy poprzediego twierdzeia sup A jest elemetem A. Ozacza to,»e kres góry zbioru jest ajwi kszym elemetem jego domki cia. Przy okazji wprowad¹my pokrewe poj cie pochodej zbioru.

23 3 Defiicja 3.8. Ci g azywamy ró»owarto±ciowym, je±li jego wyrazy s parami ró»e. Pochod zbioru A azywamy zbiór wszystkich mo»liwych graic ró»owarto±ciowych ci gów, których wyrazy s elemetami A. Pochoda zbioru A ozaczaa jest symbolem A. Elemety zbioru A azywamy puktami skupieia zbioru A. Elemety zbioru A \ A azywamy puktami izolowaymi zbioru A. Oczywi±cie A A. Mo»a udowodi,»e ka»dy elemet A jest albo puktem skupieia A, albo puktem izolowaym A. Dowodzi si poadto,»e x A jest puktem izolowaym zbioru A wtedy i tylko wtedy, gdy dla pewego ε > 0 zachodzi A (x ε, x + ε) = {x} Szeregi. Cz sto zae s ie koleje wyrazy ci gu, a jego przyrosty. Defiicja 3.9. Szereg a o wyrazach a to ci g sum cz ±ciowych (s ) o wyrazach s = a j = a + a a. j= Szereg jest zbie»y, je±li ci g (s ) jest zbie»y. sum szeregu i ozaczaa a. = Graica ci gu (s ) azywaa jest Formalie sumy sko«czoe zdeiowae s idukcyjie ( + ) a j = a, a j = a j + a +. j= Proste wªaso±ci sum sko«czoych b d wykorzystywae bez (zwykle idukcyjego) formalego dowodu. Czasem wyrazy szeregów zaczyamy umerowa od zera; wówczas dla N 0 sumy cz ±ciowe okre±loe s wzorem s = a j = a + a a. j=0 Defiicja 3.0. Szereg a jest bezwzgl die zbie»y, je±li szereg a jest zbie»y. Szereg, który jest zbie»y, lecz ie bezwzgl die zbie»y, azyway jest warukowo zbie»ym. j= j= Twierdzeie 3.. Szeregi bezwzgl die zbie»e s zbie»e. Dowód. Niech s = a + a a i t = a + a a. Je±li > m, to s s m = a m+ + a m a m a m+ + a m a m = t t m, sk d s s m t t m dla wszystkich, m N. Je±li ci g (t ) jest zbie»y, to jest te» ci giem podstawowym. Na mocy udowodioej ierówo±ci ci g (s ) jest wi c podstawowy, zatem jest zbie»y. Wiosek 3.. Je±li a + a jest zbie»y, to (a ) jest zbie»y.

24 4 Dowód. Na mocy twierdzeia zbie»y jest szereg (a + a ), a jego sumy cz ±ciowe to s = a + a. Ozacza to,»e ci g o wyrazach a = s + a te» jest zbie»y. Przykªad. W jedym z przykªadów wykazao,»e szereg jest wi c bezwzgl die (a wi c i zwyczajie) zbie»y. jest zbie»y. Szereg Przykªad. Szereg geometryczy q jest zbie»y wtedy i tylko wtedy, gdy q <. Zachodzi wówczas q = (jest to wiczeie a li±cie zada«r 5). = q q Z twierdzeia o ci gu mootoiczym i ograiczoym wyika,»e szereg a jest zbie»y wtedy i tylko wtedy, gdy ci g jego sum cz ±ciowych jest ograiczoy (z góry). Fakt te wykorzystao w kolejych dwóch przykªadach. Wyika z iego te» kryterium porówawcze, sformuªowae po jeszcze jedym przykªadzie. Przykªad. Szereg ( + ) jest rozbie»y, bowiem ci g sum cz ±ciowych ma wyrazy s = + i jest ieograiczoy. Z drugiej stroy lim ( + ) = lim = lim Przykªad. Szereg harmoiczy ieograiczoy. W istocie, ( + ) + + ( + / + ) = = 0. ( ) jest rozbie»y, bowiem ci g sum cz ±ciowych jest s k = k = + + ( + ) + ( ) ( ) k + k + k + + ( + ) + ( ) ( ) k k k = = + k. Przykªad. Szereg aharmoiczy ( ) jest warukowo zbie»y: ie jest o bezwzgl die zbie»y, lecz jego sumy cz ±ciowe speªiaj ierówo±ci: s s = < 0, s + s = + < 0, s + + s = > 0, + + a wi c (s ) jest malej cy, (s ) jest ros cy i oba te ci gi s ograiczoe przez s = z góry oraz s = z doªu. S to wi c ci gi zbie»e. Poadto lim (s s ) = lim = 0, zatem (s ) i (s ) s zbie»e do tej samej graicy. St d ªatwo wywioskowa (wprost z deicji zbie»o±ci) zbie»o± (s ) (do tej samej graicy). Twierdzeie 3.3. Je±li a b dla wszystkich N (lub od pewego miejsca) oraz szereg b jest zbie»y, to szereg a jest (awet bezwzgl die) zbie»y.

25 5 4. Fukcja wykªadicza i logarytm Niiejszy rozdziaª po±wi coy jest ajwa»iejszej fukcji w rachuku ró»iczkowym i caªkowym. Du»a cz ± przedstawioego tu materiaªu jest do± skomplikowaa i powia by traktowaa jako zapowied¹ dalszej cz ±ci wykªadu. 4.. Fukcja wykªadicza. Poi»sza deicja jest ieco ieaturala, ale bardzo ±cisªa i iezwykle u»ytecza. Defiicja 4.. Fukcja wykªadicza (iaczej: ekspoecjala) daa jest wzorem: ) x exp(x) = lim ( + + x!! + x3 3! x x =!!. Do dowodu poprawo±ci deicji potrzeby b dzie ast puj cy pomociczy wyik. Lemat 4.. Je±li x R, to ci g ( x ) jest ograiczoy.! Dowód. Ci g ( x : N) jest malej cy od pewego miejsca (od = x ), jest wi c! ograiczoy z góry. Dowód poprawo±ci deicji. Niech x R oraz a = t. Niech poadto M b dzie ograiczeiem z góry ci gu o wyrazach x = x. Wtedy a!!! = x M(! ), zatem szereg a jest zbie»y a mocy kryterium porówawczego. W dalszej cz ±ci potrzeby b dzie wzór dwumiaowy Newtoa. Dla, k N 0 takich,»e k, wspóªczyik dwumiaowy lub symbol Newtoa okre±loy jest wzorem ( )! ( )... ( k + ) = =. k k!( k)! k! Twierdzeie 4.3. Zachodzi ( ) (x + y) = x k y k k k=0 ( ) = x + 0 ( ) x y + =0 ( ) ( ) x y xy + ( ) y. Dowód. Dla = oczywi±cie wzór zachodzi (dla = 0 rówie»). Przypu± my,»e zachodzi o dla pewego N (i wszystkich t, s R). Wtedy (x + y) + = (x + y) (x + y) = (( ) 0 x + ( ) x y + ( ) x y ( ) xy + ( ) ) y (x + y) = (( ) 0 x + + ( ) x y + ( ) x y ( ) x y + ( ) ) xy + (( ) 0 x y + ( ) x y + ( ) x y ( ) xy + ( ) ) y + = ( ) 0 x + + (( ( ) + )) 0 x y + (( ( ) + )) x y + (( ( 3) + )) x y (( ) ( + )) x y + (( ) ( + )) xy + ( ) y +.