x + 1 dla x 2 (d) f(x) = + 2 dla x > 2; (3) Znajd¹ dziedzin oraz funkcj odwrotn (je±li jest to proste) do: 1 log 3 x, (log2 x 2 ) 1 log 2
|
|
- Łucja Wójcik
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 1. Fukcje elemetare (1) Zajd¹ wykres fukcji arcsi(si(x)). (2) Zajd¹ posªuguj c si wykresami fukcje odwrote do podaych i»ej, a ast pie sprawd¹,»e s to rzeczywi±cie odwrote. (a) f(x) = 2x; (b) f(x) = 3x 3; (c) f(x) = x 2 + 4; x + 1 dla x 2 (d) f(x) = x dla x > 2; (3) Zajd¹ dziedzi oraz fukcj odwrot (je±li jest to proste) do: 1 log 3 x, (log2 x 2 ) 1 log 2 4 x 2, 3 log 2 x2. 1 (4) Rozwi» rówaia: 2 log 2(x 1) log 2 x = log 2 0,4, log 2 x log 2 x + 2 = 3 log2 2, 3 x x = 108. log (5) Policz warto±ci wyra»e«: 2 9+log 4 9 log 6 8, log 2 (3 5 ) log 4 (6 5 ), 3 log log 2 3. (6) Niech f(x) = x + 1, g(x) = x 2 + 1, h(x) = log 2 (x 1). Zajd¹ zªo»eia fukcji: f(f(x)), f(g(x)), h(g(f(x))), h(f(g(x))). 2. Zapis matematyczy i elemety logiki matematyczej (1) Sprawd¹, czy s tautologiami zdaia logicze: (a) prawa logicze podae a wykªadzie (ie trzeba wszystkich); (b) [(p q) = r] = [(p = r) (q = r)]; (c) (p = q) [(p q) p]; (d) [(p q) p] = q; (e) (p = q) = [(p r) = q]; (f) (p = q) = [p = (q r)]. (2) Zapisz, u»ywaj c symboliki matematyczej zdaia: (a) Liczby x i y maj wspóly dzielik wi kszy od 2. (b) Je±li x i y ró»i si o 1, to ie maj wspólych dzielików wi kszych od 1. (c) Je±li x ie jest podziele przez 2 to ie jest podziele przez 6. (d) Wykresy fukcji f i g przeciaj si. (e) Wi ksza z liczb x, y jest podziela przez 3. f(x) = 3. Fukcje elemetare. Uzupeªieia. (1) Wylicz zªo»eia fukcji f(g(x)) oraz g(f(x)) i arysuj ich wykresy, je±li x + 1 dla x 2 x, g(x) = dla x > 2 2x dla x 0 x dla x > 0. (2) Zajd¹ wykres fukcji: arctg(ctg(x)), tg(arcctg(x)), arcsi(cos(x)), si(2 arcsi(x)). 4. Operacje a zbiorach (1) Sprowad¹ poi»sze zdaia dotycz ce zbiorów do postaci zda«logiczych i sprawd¹ ich prawdziwo±. (a) (A B) A (A B); (b) (A B) \ C = (A \ C) (B \ C); (c) (A B C) \ (A B) = C; (d) A (A B) = A; (e) A (B \ C) = [(A B) \ C] (A C). (2) Uzasadij,»e prawdziwe s zdaia (a) (A B) (A B = B); (b) (A B) (A \ B = ); (c) (A \ B = B \ A) A = B.
2 5. Niesko«czoe operacje a zbiorach (1) Policz + A i oraz + A i, gdzie i=1 i=1 (a) A i = x : 0 x 1 i + 1 }; (b) A i = x : 10 1 i + 1 < x < 2i2 6i + 1}; (c) A i = x : (i + 1) 2 < x < 2i 2 5i + 5}; 1 (d) A i = x : 1 (i + 1) 2 < x < i + 1 }; (e) A i = x : si x = i 5}; (2) Policz + A i oraz + A i, gdzie A i podae i»ej s podzbiorami pªaszczyzy. i=1 i=1 (a) A i = (x, y) : x 2 + y 2 < i}; (b) A i = (x, y) : x 2 + y 2 > i + 1 }; (c) A i = (x, y) : x y + i}; (d) A i = (x, y) : ix 2 > y}; 6. Zdaia logicze z kwatyfikatorami (1) Dla poi»szych formuª zajd¹ uzasadieie korzystaj ce z to»samo±ci z wykªadu dotycz cych praw logiczych z kwatykatorami oraz z iego sposobu zapisu implikacji, lub wska» przykªad zda«, dla których to»samo± ie jest speªioa (a) ( x : (φ(x) = p)) (( x : φ(x)) = p); (b) ( x : (p = φ(x))) (p = ( x : φ(x))); (c) ( x : (φ(x) = p)) (( x : φ(x)) = p); (d) ( x : (p = φ(x))) (p = ( x : φ(x))); (2) Czy pomi dzy ast puj cymi to»samo±ciami mo»a wpisa implikacj lub rówowa»o±? (a) x : (φ(x) = ψ(x))? ( x : φ(x)) = ( x : ψ(x)) (b) x : (φ(x) = ψ(x))? ( x : φ(x)) = ( x : ψ(x)) 7. Operacje a zbiorach, cd. (1) Narysuj lub opisz zbiory ast puj ce: (a) A = x R (x > 0 x Z) (x < 0 x 2 < 5)}; (b) B = x R (x > 0 = x 2 > x) (x > 2 x < 2)}; (c) C = x R ((x 2) 2 < 4 x 2 < 4) x Z}. (2) Narysuj a pªaszczy¹ie zbiory opisae wzorami: (a) A = (x, y) x < y 2 (x < y = y > 0)}; (b) B = (x, y) x 2 + y 2 > 1 x 2 > y 2 }; (c) C = (x, y) (x > y = x + y = 1) (x + y = 1 = x < y)}. (3) Zapisz u»ywaj c jedyie symboli A, B, C,,, \ zbiory ast puj ce: (a) x : x A x B}; (b) x : x A = x B}; (c) x : x A (x B = x C)}; (d) x : x A \ B x B}. 3 XI 2009 (1) Podaj warto± wyra»eia log 2 12 log 4 12 w mo»liwie ajprostszej postaci. log 3 4 (2) Jaka jest dziedzia fukcji log(1 x )? (3) Niech f(x) = 2 3x. Naszkicuj wykres fukcji odwrotej do f i podaj jej wzór. (4) Uzasadij,»e zdaie (p = q) (q = p) (p q) ie jest tautologi. (5) Narysuj zbiór (x, y) : xy > 0 = x 2 + y 2 < 1}. (6) Czy prawd jest,»e A B C = (A B A C)? (7) Które z liczb aturalych miejszych od 13 speªiaj ast puj cy waruek: N : (x = 2 x = 3) m Z : x m 2?
3 8. Obraz i przeciwobraz zbioru. Wªaso±ci fukcji. (1) Sprawd¹, czy poi»sze fukcje s iiekcjami i suriekcjami. Je±li ie s podae dziedzia i przeciwdziedzia, prosz zastaowi si jakie powii±my rozs die przyj. (a) f : N 2 N; (b) f : R x x 3 x R; (c) f : R x x 2 x R; (d) f : Q x x 3 Q; (e) f : R x log(x 2 + 1) R; (f) Fukcja F przyporz dkowuj ca wielomiaowi drugiego stopia jego zbiór pierwiastków. (g) Przyporz dkowaie ka»demu czªowiekowi jego ojca. (2) Sprawd¹, czym s podae obrazy i przeciwobrazy. Fukcje bierzemy z poprzediego zadaia zgodie z umeracj podpuktów. (a) f(0}), f 1 (0}), f 1 (p : p jest liczb pierwsz }); (b) f(0}), f 1 (0}), f((1, 2)), f 1 ((0, 1)); (c) f([0, 1]), f 1 ([0, 1]); (d) f 1 (x : x > 0}); (e) f(r + ), f 1 (R ), f 1 (R + ); (f) F (ax 2 + bx + c : b 2 4ac = 0}), F 1 (0}}), F 1 (x, x + 1} : x R}); (g) Obraz zbioru m»czyz, przeciwobraz zbioru m»czyz. (3) Prosz zastaowi si ad wªaso±ciami z wykªadu, które ie zostaªy uzasadioe. Poadto prosz uzasadi,»e f(f 1 (A)) A i f 1 (f(a)) A i zale¹ przykªady zbiorów i fukcji (p. tych z poprzedich zada«) dla których ie ma rówo±ci. (1) Niech z 1 = 1 + 2i, z 2 = 2 + 2i, z 3 = 3 4i. Policz z 1 z 2, (z z2 2 )/ z 3, z 6 2, z 1. (2) Sprawd¹,»e (3) Rozwi» rówo±ci 9. Liczby zespoloe. z 1 + z 2 = z 1 + z 2, z 1 z 2 = z 1 z 2, z 1 /z 2 = z 1 / z 2, z 1 z 2 = z 1 z 2 z + z = 2Re z, z z = 2iIm z. z 2 = 4i, z 2 6z + 10 = 0, z i = 3z i, z2 + 3z + 3 = i, z 2 + (2i 1)z i = 0, 2z + (3 1) z = 5 + 4i, z 3 = (1 + i) 3, z + i = z + i, z 2 = ( z) 2, z 6 = z 4, z 2 = z, (z + i) 2 = (z + i). (4) Rozwi» ukªady rówa«3z + 4w = i 2z 2w = i 1 z + iw = i iz (1 + i)w = i 1 (5) Policz (1 + i) 12, (i 3) 7, (2+i)10 (1 2i) 8. (6) Rozwi» poi»sze rówo±ci oraz ierówo±ci i zazacz a pªaszczy¹ie zespoloej zbiory liczb speªiaj cych zale»o±ci Im (z(1 i) 2 + 3i) > 1, Re ((z 1 i) 2 ) < 0, Im z 2 z 2, Re z i z + i = 0, z z 2i, arg 1 + i [0, π/2], Im z 5 0, Re (z + w) 2 > Re z 2 dla w = 1, i, 1 + i. z 2
4 1 XII 2009 (1) Niech fukcja F przyporz dkowuje osobie jej dat urodzeia. Czy F jest ró»owarto±ciowa? Czym s zbiory: F (F 1 (1 styczia 2001})), F (F 1 ( })), gdzie za prosz wstawi samego siebie. (2) Niech f : R x x + 1 R. Czy f jest suriekcj? Podaj przykªad zbiorów A i B zawartych w R dla których ie ma rówo±ci f 1 (A B) = f 1 (A) f 1 (B). z (3) Niech z = i + 1. Policz warto± wyra»eia 1 + z 2. (4) Zazacz a pªaszczy¹ie zespoloej wszystkie liczby z, dla których z + 1 = z + i. 10. Zagadieia geometrycze. W poi»szych zadaiach prosz stosowa metody podae a wykªadzie. (1) Niech dae b d pukty a pªaszczy¹ie A = ( 6, 3), B = (0, 5), C = (4, 2). Zajd¹ powierzchi trójk ta, k ty trójk ta (lub ich fukcje trygoometrycze). Zajd¹ rówaia trzech prostych zawieraj cych wysoko±ci trójk ta. (2) Zajd¹ pole sze±ciok ta o wierzchoªkach (1, 3), ( 1, 4), ( 3, 1), ( 1, 2), (0, 5), (4, 2). (3) Porówaj k ty trójk ta w przestrzei o wierzchoªkach ( 2, 2, 0), (3, 2, 2), ( 2, 5, 1). Jakie jest jego pole powierzchi? Zajd¹ rówaia prostych zawieraj cych wysoko±ci trójk ta. (4) Rozwa»my w przestrzei pukty (2, 3, 0), ( 1, 0, 2), (3, 1, 0), ( 3, 1, 1), (1, 1, 4). Czym jest gura o wierzchoªkach w tych puktach? Jaka jest jej obj to± i pole powierzchi? (5) Zajd¹ fukcje trygoometrycze k ta pomi dzy przek tymi rówolegªoboku ABCD, gdzie A = ( 6, 3), B = (0, 5), C = (14, 7). Jaka jest jego powierzchia? 11. Ukªady rówa«. W poi»szych zadaiach prosz prze wiczy wszystkie zae metody (tam, gdzie to mo»liwe) rozwi zywaia ukªadów rówa«. (1) Rozwi» ukªady 7x + 4y = 2, x + 2y = 1, x + 3y + 2z = 1, y + 2z = 3, 3x + 4y z = 11, 5x + 3y = 4, z + 2x = 4, 2x + y 5z = 16, x y z = 1, 2x + 2y z + t = 1, 3x + y + 2z = 2, x y z + 3t = 2, x + 3y + 4z = 0, (2) Wyzacz ile rozwi za«dla jakich p ma ukªad rówa«(3) Dla jakich p rozwi zaia (x, y) ukªadu rówa«3x + 5y 4z t = 0. p 2 x 2y = p, y 2x = 1. 2x + y = p, x 3y = 1, s liczbami tego samego zaku?
5 (1) Policz graice poi»szych ci gów (3 3 2 l ); 12. Graice ci gów (1 ) 3 ; (1 + ) 3 ; ; log 5 ; 2 ( + 1) log 3 ( + 3) ; ( ); ( ); ( ) 2 2 ; ( ); ( ); log 2 ( 3 ) log 3 ( 2 + 1) ; si(π 2 + 1); ( ); ( ) 2 2 ( + 2) ; ( + 4) 2 ; ( 2 2)(l( + 1) l ) ; 3 (2 ) 2. (2) Wska» przykªady ci gów (a ) N, (b ) N, takich,»e a = b = + oraz a (a) b = + ; a (b) b R; a (c) b ie istieje; (3) Wska» przykªady ci gów (a ) N, (b ) N, takich,»e a = +, b = 0 oraz (a) a b = + ; (b) a b R; (c) a b ie istieje; 19 I 2010 (A) (1) Policz te iloczy macierzy A B lub B A, który jest poprawie zdeioway, a ast pie wyzaczik macierzy A, gdzie A = , B = x + 3y = 5, (2) Rozwi» ukªad rówa«: 4z y = 5, x + 2y z = 3. (3) Jakie pole powierzchi ma trójk t o wierzchoªkach ( 3, 1), (1, 2), ( 1, 2)? Czy którykolwiek z k tów tego trójk ta ie jest ostry? (4) Policz graice ci gów a = (1 2) 3, b = I 2010 (B) (1) Policz te iloczy macierzy A B lub B A, który jest poprawie zdeioway, a ast pie wyzaczik macierzy A, gdzie A = [ ] , B = x + z = 3, (2) Rozwi» ukªad rówa«: 3x y + 2z = 1, 4y z = 17. (3) Jakie pole powierzchi ma trójk t o wierzchoªkach (1, 3), (2, 1), ( 2, 1)? Czy którykolwiek z k tów tego trójk ta ie jest ostry? (4) Policz graice ci gów a = (1 + 2) 2, b =
6 13. Graice fukcji. Asymptoty. (1) Policz dla poi»szych fukcji graice (graice jedostroe) we wszystkich puktach a ko«- cach przedziaªów, a których fukcje s okre±loe (rówie» w ± ). Je±li graice ie istiej, uzasadij to. x 3 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 1 ; si x si 2x ; 1 + x 1 x ; 2x x 2 3x + 2 ; x(x 3) tg 3x x 2 ; x 2 + x x 3 x. (2) Niech f(x) = x3 +x 2 x 2 x. Zajd¹ dokouj c odpowiedich podstawie«takie fukcje g, h 1, h 2,»eby zachodziªy rówo±ci f(x) = g(x), x 1 x 0 f(x) = h 1(x), x + x 0 + (3) Zajd¹ wszystkie asymptoty poi»szych fukcji: x 3 3x 2 x 2, 4 si x arctg x x 2, si x 3 si x 2 f(x) = h 2(x). x x 0 + x(x + arctg x). x 7 9 marca 2010 (A) ( 2 ) 3+2 (1) Zajd¹ graice ci gów a = 2, b = (2) Zajd¹ asymptoty i graice a ko«cach przedziaªów okre±loo±ci fukcji f(x) = x3 2x + 1 x marca 2010 (B) ( 2 ) (1) Zajd¹ graice ci gów a = 2, b = (2) Zajd¹ asymptoty i graice a ko«cach przedziaªów okre±loo±ci fukcji f(x) = x3 2x + 1 x 2. x 14. Pochode. (1) Policz dla podaych fukcji pochode w puktach, gdzie fukcja jest ró»iczkowala. tg(x 2 l x x); x ; x 2 + x x 1 ; 2cos x ; 1 + si 2 x; e x2 cos x; (x + 1) (x 1). (2) Policz pierwsz, drug i trzeci pochod fukcji: x 2 e x ; si x 2 x + 2 ; x 2. (3) Zajd¹ stycze do fukcji z poprzediego zadaia w puktach, odpowiedio: (1, e), ( π, 0), (1, 3). (4) Korzystaj c z reguªy de L'Hospitale'a zajd¹ graice: si 2x x 0 tg 3x ; x 0 ( 1 x si x 1 x 2 x 0 xp log a x (a > 1, p (0, 2)); + x 1 ) ; cos π l(1 x); x 1 2x l x x 1 ; (si x)tg x. x π 2
7 15. Zastosowaie pochodych (1) Czy poi»sze fukcje s ró»iczkowale w caªej dziedziie? x 2 dla x > 1 x l x dla x 0 x dla x 1 0 dla x = 0 (2) Okre±l, korzystaj c z pochodych, a jakich przedziaªach poi»sze fukcje s ros ce, malej ce, wypukªe i wkl sªe. 2x 3 3x 2 + 1; x l x; x 2 x ; e x2 ; x 1. (3) Dla fukcji z poprzediego zadaia zajd¹ ich ekstrema i okre±l ich rodzaj korzystaj c z mo»- liwie wielu metod. (4) Zajd¹ wymiary pudeªka prostopadªo±cieego o pojemo±ci 1dm 3 o podstawie kwadratu, z pokrywk z brzegiem wysoko±ci 1 3 wysoko±ci pudeªka, do którego wyprodukowaia potrzeba ajmiejszej ilo±ci tektury. (5) Dwa samochody zbli»aj si do skrzy»owaia po drogach prostopadªych ze staªymi pr dko±ciami 60km/h i 90km/h. W pewym momecie odlegªo± ka»dego z ich od skrzy»owaia wyosi 500m. W jakiej ajmiejszej odlegªo±ci zajd si te samochody w trakcie jazdy? (6) Zajd¹ k t, pod jakim trzeba wystrzeli obiekt materialy w polu grawitacyjym prostopadªym do pªaskiej powierzchi, aby poleciaª o mo»liwie daleko. Czy odpowied¹ jest taka sama, je±li wystrzeliwujemy obiekt z pewej wysoko±ci ad powierzchi? Jaka jest odpowied¹, je±li powierzchia jest achyloa pod pewym k tem? 13 kwietia 2010 (A) (1) Zajd¹ stycze do wykresu fukcji f(x) = si 2x w dowolych dwóch miejscach zerowych f. (2) Policz pochode fukcji f 1 (x) = xe x2 +1 (x + 1)4, f 2 (x) = cos x, f 3(x) = si(cos(4x 2)). (3) Zajd¹, korzystaj c z reguªy de L'Hospitale'a, graice x 0 x tg 5x 1 cos 2 x, x + x2 si 1 x. 13 kwietia 2010 (B) (1) Zajd¹ stycze do wykresu fukcji f(x) = cos 3x w dowolych dwóch miejscach zerowych f. (2) Policz pochode fukcji f 1 (x) = xe x3 1 (x 1)4, f 2 (x) = si x, f 3(x) = cos(si(2x + 4)). (3) Zajd¹, korzystaj c z reguªy de L'Hospitale'a, graice x 0 x si 5x 1 cos 2 x, x + x si 1 x Badaie fukcji. Fukcje wielu zmieych. (1) Zajd¹ ajwi ksz i ajmiejsz warto± fukcji: (a) si x cos x a przedziale [0, 2π]; (b) 2x2 1 a (0, + ); x 4 (c) x 2 5x 6 a przedziale [0, 7]. (2) Badaj przebieg zmieo±ci i aszkicuj wykres astepuj cych fukcji x x 2 1 ; x3 3x 2 + 2; x l x; (3) Zajd¹ ekstrema lokale fukcji 2 zmieych: l x x. f(x, y) = 2x 2 + y 2 + 2x(y + 1); g(x, y) = si(x + y) y 2 ; h(x, y) = xy(x + 1)(y + 1). (4) Zajd¹ wymiary prostopadªo±cieego pudeªka otwartego od góry, o powierzchi 1, które ma ajwi ksz mo»liw obj to±.
8 (1) Policz poi»sze caªki. 5x 3 + 6x 2 + 7x x dx; 17. Caªki. I. 3 x 3 5x 3 x dx; 3 5 5x 5x si 2 1 x 2 + 3x + 4 2x dx; dx; 5x + 3 2x 2 x 1 dx; (2) Policz poi»sze caªki korzystaj c ze wzoru a caªkowaie przez cz ±ci. x 2 si 2x dx; x 3 l x dx; x si x cos x dx; e 3x cos 2x dx. e 2x 4 dx; e x + 2 dx; x 4 x 3 + 2x 2 x 2 dx. (3) Zajd¹ pola powierzchi gur ograiczoych fukcjami x i x 3 x. (4) Zajd¹ pole powierzchi gury ograiczoej krzywymi y = 2 x 2, y = x 3 2x, y = x, która zawiera pukt (0, 1). 18. Zadaia do oddaia Zbadaj przebieg zmieo±ci poi»szych fukcji i aszkicuj a tej podstawie ich wykresy: p(x) = x 2 e x, q(x) = x2 2x + 1, r(x) = x 2 x x 3 x. Je±li druga pochoda wyjdzie bardzo skomplikowaa, mo»a pomi jej badaie.
3. Operacje na zbiorach (1) Sprowadź poniższe zdania dotyczące zbiorów do postaci zdań logicznych i sprawdź ich prawdziwość.
1. Zapis matematyczny i elementy logiki matematycznej (1) Zapisz, używając symboliki matematycznej zdania: (a) Liczby x i y mają wspólny dzielnik większy od 2. (b) Jeśli x i y różnią się o 1, to nie mają
Bardziej szczegółowo1. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: 2. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie:
ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na pªaszczy¹nie: +j +j 3 Re z = Im z = 5 z ( j) = z j z +
Bardziej szczegółowoZbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
Bardziej szczegółowo1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAT1317
Analiza Matematyczna MAT37 Wydziaª Informatyki i Zarz dzania Listy zada«nr -0 cz ±ciowo na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykªady i zadania, GiS, Wrocªaw 008 M.Gewert,
Bardziej szczegółowoZbiory. Zadanie 5. Wykaza to»samo±ci (a) A (B \ C) = [(A B) \ C] (A C), (b) A \ [B \ (C \ D)] = (A \ B) [(A C) \ D],
x FAQ ANALIZA R c ZADANIA Zbiory Zadaie 1. Opisa zbiory A B, A B, A \ B, B \ A je±li A = {x R : x 3x < 0, }; B = {x R : x 3x + 4 0} Zadaie. Niech A, B, C, D b d podzbiorami przestrzei X. Udowodi,»e A \
Bardziej szczegółowoInformatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!
Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,
Bardziej szczegółowoFunkcje tworz ce skrypt do zada«
Fukcje tworz ce skrypt do zada«mateusz Rapicki, Piotr Suwara 20 maja 2012 1 Kombiatoryka Deicja 1 (dwumia Newtoa) dla liczb caªkowitych ieujemych, k to liczba k sposobów wybraia k elemetów z -elemetowego
Bardziej szczegółowox 2 5x + 6, (i) lim 9 + 2x 5 lim x + 3 ( ) 9 Zadanie 1.4. Czy funkcjom, (c) h(x) =, (b) g(x) = x x, (c) h(x) = x + x.
Zadaie.. Obliczyć graice x 2 + 2x 3 (a) x x x2 + x2 + 25 5 (d) x 0. Graica i ciągłość fukcji x 2 5x + 6 (b) x x 2 x 6 4x (e) x 0si 2x (g) x 0 cos x x 2 (h) x 8 Zadaie.2. Obliczyć graice (a) (d) (g) x (x3
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I.1
Aaliza Matematycza I Seria, P Nayar, 0/3 Zadaie Niech a k >, (k =,, b d liczbami rzeczywistymi o tym samym zaku Udowodij,»e prawdziwa jest ierówo± ( + a ( + a ( + a + a + a + + a Czy zaªo»eie,»e liczby
Bardziej szczegółowoWBiA Architektura i Urbanistyka. 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: Które z iloczynów: A 2 B, AB 2, BA 2, B 2 3, B = 1 2 0
WBiA Architektura i Urbanistyka Matematyka wiczenia 1. Wykonaj dziaªania na macierzach: 1) 2A + C 2) A C T ) B A 4) B C T 5) A 2 B T 1 0 2 dla A = 1 2 1 1 0 B = ( 1 2 1 0 1 ) C = 1 2 1 0 2 1 0 1 2. Które
Bardziej szczegółowoFAQ ANALIZA R c ZADANIA
FAQ ANALIZA R c ZADANIA Caªki wersja wst pa uwaga a bª dy!!! Fukcje pierwote Zadaie. Rozgrzewka. Obliczy caªki ieozaczoe, tz zale¹ fukcje pierwote. W awiasach wymieioe s arz dzia jakie mog by potrzebe
Bardziej szczegółowoSzereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:
Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego
Bardziej szczegółowoWykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I.1
Aaliza Matematycza I Seria, P Nayar, 0/ Zadaie Niech a k >, (k =,, ) b d liczbami rzeczywistymi o tym samym zaku Udowodij,»e prawdziwa jest ierówo± ( + a )( + a ) ( + a ) + a + a + + a Czy zaªo»eie,»e
Bardziej szczegółowoFunkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne - powtórzenie Tożsamości trygonometry czne
Fukcje trygoometrycze Fukcje trygoometry cze - powtórzeie Tożsamości trygoometry cze 3 podstawowe tożsamości trygoometrycze metoda uzasadiaia tożsamości trygoometryczych Fukcje trygoometry cze sumy i różicy
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji jednej zmiennej
Pochodna funkcji jednej zmiennej Denicja. (pochodnej funkcji w punkcie) Je±li funkcja f : D R, D R okre±lona jest w pewnym otoczeniu punktu D i istnieje sko«czona granica ilorazu ró»niczkowego: f f( +
Bardziej szczegółowoAM II /2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium
AM II.1 2018/2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium Normy w R n, iloczyn skalarny sprawd¹ czy dana funkcja jest norm sprawd¹, czy dany zbiór jest kul w jakiej± normie i oblicz norm wybranego
Bardziej szczegółowoZadania domowe z Analizy Matematycznej III - czȩść 2 (funkcje wielu zmiennych)
Zadaia domowe z AM III dla grup E7 (semestr zimow 07/08) Czȩść Zadaia domowe z Aaliz Matematczej III - czȩść (fukcje wielu zmiech) Zadaie. Obliczć graice lub wkazać że ie istiej a: (a) () (00) (b) + ()
Bardziej szczegółowoWykªad 2. Szeregi liczbowe.
Wykªad jest prowadzoy w oparciu o podr czik Aaliza matematycza 2. Deicje, twierdzeia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 2. Szeregi liczbowe. Deicje i podstawowe twierdzeia Deicja Szeregiem liczbowym
Bardziej szczegółowob) 2n 4n 7 + 3n 1 c) n 3 n 2 n 20 2 k oblicz t sum, a nast pnie zamie«na 3. Zbadaj, czy speªniony jest warunek konieczny zbie»no±ci: cos n=2
Szeregi. (powtórka z Matematyki) Wyzacz graic ci gu: 3 3 + ( 4 + ) 4 7 + 3 3. Przeksztaª szeregi: d) e) 4 podstaw = l rozbij a wyrazy parzyste i ieparzyste a ast pie podstaw = k i = k + 5 = podstaw co±
Bardziej szczegółowoZadania z PM II A. Strojnowski str. 1. Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria 2
Zadania z PM II 010-011 A. Strojnowski str. 1 Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria Zadanie 1 Niech A = {1,, 3, 4} za± T A A b dzie relacj okre±lon wzorem: (a, b) T, gdy n N a n = b. a) Ile
Bardziej szczegółowoKlasa II technikum Egzamin poprawkowy z matematyki sierpień 2013
/7 I. FUNKCJA KWADRATOWA. Fukcja kwadratowa w postaci kaoiczej i ogólej. Napisz wzór fukcji kwadratowej wiedząc, że wierzchołkiem paraboli będącej jej wykresem jest początek układu współrzędych oraz, że
Bardziej szczegółowoIII seria zadań domowych - Analiza I
III seria zadań domowych - Aaliza I Różiczkowalość fukcji Zadaie Dla jakich wartości parametrów abc R fukcje a + gdy π si + b gdy > π a + b gdy 0 gdy > c a + b gdy c są różiczkowale. a + b gdy a 0 / arcsi
Bardziej szczegółowoszereg jest szeregiem o wyrazach nieujemnych. Ponadto dla α (0; π ) zachodzi nierówno± sinα < α,
.. si Poiewa» si < 1; 1 >, wi c zbadajmy szereg zªo»oy z warto±ci bezwzgl dych wyrazów szeregu daego w zadaiu: () si = si, ale si < 0; 1 > Zatem si 1 () Po prawej stroie powy»szej ierówo±ci mamy szereg
Bardziej szczegółowosin x 1+cos 2x. 3. Znajd¹ okres podstawowy funkcji: 6) f(x) = cos(4πx + 2), 8) f(x) = cos 2 x, 9) f(x) = tg πx 4) f 1 ([1, 9]), 5) f ([ 1, 1]),
WBiA In»ynieria rodowiska Matematyka wiczenia. Wyja±nij poj cia: funkcja dziedzina dziedzina naturalna przeciwdziedzina zbiór warto±ci iniekcja suriekcja bijekcja funkcja nie)rosn ca nie)malej ca wkl sªa
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU WIMiR Semestr zimowy 2017/18
dr Aa Barbaszewska-Wiśiowska ZAGADNIENIA Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU WIMiR Semestr zimowy 17/18 1 Elemety logiki matematyczej Zdaia i formy zdaiowe fuktory zdaiotwórcze Tautologie Wartości logicze
Bardziej szczegółowoPodstawy logiki i teorii zbiorów wiczenia
Spis tre±ci 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2 3 Algebra zbiorów 3 4 Ró»nica symetryczna 4 5 Kwantykatory 5 6 Relacje 7 7 Relacje porz dku i równowa»no±ci 8 8 Funkcje
Bardziej szczegółowo1. Pochodna funkcji. Twierdzenie Rolle'a i twierdzenie Lagrange'a.
SKRYPT A Jarosªaw Wróblewski. Pochoda fukcji. Twierdzeie Rolle'a i twierdzeie Lagrage'a. Kolokwium r : do zad. 473 Kolokwium r : do zad. 53 Kolokwium r 3: do zad. 538 Kolokwium r 4: do zad. 579 445. Niech
Bardziej szczegółowolim a n Cigi liczbowe i ich granice
Cigi liczbowe i ich graice Cigiem ieskoczoym azywamy dowol fukcj rzeczywist okrelo a zbiorze liczb aturalych. Dla wygody zapisu, zamiast a() bdziemy pisa a. Elemet a azywamy -tym wyrazem cigu. Cig (a )
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań
Aaliza Matematycza I dla Iżyierii Biomedyczej Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, 205/6 Logika, zbiory i otacja matematycza Zadaie Niech p, q, r będą zmieymi zdaiowymi. Pokaż, że:. = ( (p p)), 2. = (p
Bardziej szczegółowoRachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych I. Malinowska, Z. Šagodowski Politechnika Lubelska 8 czerwca 2015 Caªka iterowana podwójna Denicja Je»eli funkcja f jest ci gªa na prostok cie P = {(x, y) : a x
Bardziej szczegółowoZadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ. Marek Majewski Aktualizacja: 31 pa¹dziernika 2006
Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ Marek Majewski Aktualizacja: 1 pa¹dziernika 006 Spis tre±ci 1 Macierze dziaªania na macierzach. Wyznaczniki 1 Macierz odwrotna. Rz d macierzy
Bardziej szczegółowoRepetytorium z Matematyki Elementarnej Wersja Olimpijska
Repetytorium z Matematyi Elemetarej Wersja Olimpijsa Podae tutaj zadaia rozwiązywae były w jedej z grup ćwiczeiowych Są w więszości ieco trudiejsze od pozostałych zadań przygotowaych w ramach przedmiotu
Bardziej szczegółowoWektory w przestrzeni
Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem
Bardziej szczegółowoĆWICZENIA NR 1 Z MATEMATYKI (Finanse i Rachunkowość, studia zaoczne, I rok) Zad. 1. Wyznaczyć dziedziny funkcji: 1 = 1, b) ( x) , c) h ( x) x x
ĆWICZENIA NR Z MATEMATYKI (Fiase i Rachukowość studia zaocze I rok) Zad Wyzaczyć dziedziy fukcji: a) f ( ) b) ( ) + + 6 f c) f ( ) + + d) f ( ) + e) ( ) f l f) f ( ) l( + ) + l( ) g) f ( ) l( si ) h) f
Bardziej szczegółowoKLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY
KLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Nr zadaia Odpowiedzi Pukty Badae umiejtoci Obszar stadardu 1. B 0 1 plauje i wykouje obliczeia a liczbach
Bardziej szczegółowoWykªad 05 (granice c.d., przykªady) Rozpoczniemy od podania kilku przykªadów obliczania granic ci gów. n an = + dla a > 1. (5.1) lim.
Wykªad 05 graice cd, przykªady Rozpocziemy od podaia kilku przykªadów obliczaia graic ci gów Niech a > Ozaczmy a = c > 0 Mamy Poiewa» c = +, wi c tak»e a = + c + c c a = + dla a > 5 Poadto, zauwa»amy,»e
Bardziej szczegółowor = x x2 2 + x2 3.
Przestrze«aniczna Def. 1. Przestrzeni aniczn zwi zan z przestrzeni liniow V nazywamy dowolny niepusty zbiór P z dziaªaniem ω : P P V (które dowolnej parze elementów zbioru P przyporz dkowuje wektor z przestrzeni
Bardziej szczegółowoInformacje pomocnicze
Funkcje wymierne. Równania i nierówno±ci wymierne Denicja. (uªamki proste) Wyra»enia postaci Informacje pomocnicze A gdzie A d e R n N (dx e) n nazywamy uªamkami prostymi pierwszego rodzaju. Wyra»enia
Bardziej szczegółowoKurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP
Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej
Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej Denicja 1. Niech X = R n b dzie przestrzeni unormowan oraz d(x, y) = x y.
Bardziej szczegółowoFunkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze
Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a
Bardziej szczegółowoI kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11
Zadania do samodzielnego rozwiązania zestaw 11 1 Podać definicję pochodnej funkcji w punkcie, a następnie korzystając z tej definicji obliczyć ( ) π (a) f, jeśli f(x) = cos x, (e) f (0), jeśli f(x) = 4
Bardziej szczegółowoI Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x
I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji Niech f jest okre±lona w Q(x 0, δ) i x Q(x 0, δ). Oznaczenia: x = x x 0 y = y y 0 = f(x 0 + x) f(x 0 ) y x = f(x 0 + x) f(x 0 ) iloraz ró»nicowy x y x = tgβ,
Bardziej szczegółowoElementy geometrii w przestrzeni R 3
Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi
Bardziej szczegółowoInformacje pomocnicze:
dr Krzysztof yjewski Informatyka; S-I 0.in». 7 grudnia 06 Rachunek caªkowy funkcji jednej zmiennej. Caªka nieoznaczona. przydatne wzory: Informacje pomocnicze: Lp. Wzór Uwagi. dx = x c. adx = ax c 3. x
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 Notatki do wykªadu Mateusz Kwa±nicki. 7 Sumy i iloczyny uogólnione
Aaliza matematycza Notatki do wykªadu Mateusz Kwa±icki 7 Sumy i iloczyy uogólioe Dla dowolych liczb a k, a k+, a k+,..., a l okre±lamy sum uogólio i iloczy uogólioy: a k + a k+ + a k+ +... + a l, l a k
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowo1 Wersja testu A 21 czerwca 2017 r. 1. Wskazać taką liczbę wymierną w, aby podana liczba była wymierna. w = w 2, w = 2.
1 Wersja testu A 1 czerwca 017 r. 1. Wskazać taką liczbę wymierą w, aby podaa liczba była wymiera. 10 1 ) 10 +w, w = 1 5 1 ) 10 +w, w = ) 10 10 3 +w 3, w = 1 ) 5 10 3 +w 3, w = 4. Zapisać wartość podaej
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego
Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,
Bardziej szczegółowo1 Poj cia pomocnicze. Przykªad 1. A A d
Poj cia pomocnicze Otoczeniem punktu x nazywamy dowolny zbiór otwarty zawieraj cy punkt x. Najcz ±ciej rozwa»amy otoczenia kuliste, tj. kule o danym promieniu ε i ±rodku x. S siedztwem punktu x nazywamy
Bardziej szczegółowoZagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna
Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZ CIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-P1_1P-092 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 2009 Czas pracy 120 minut Instrukcja
Bardziej szczegółowoMATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI
MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI LUTY 01 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera strony (zadania 1 ).. Arkusz zawiera 4 zadania zamknięte i 9
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
pobrano z www.sqlmedia.pl ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZ CIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-P1_1P-092 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 2009 Czas
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x, y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) Pochodn cz stkow pierwszego rz du funkcji dwóch zmiennych wzgl
Bardziej szczegółowoZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ.
ZADANIA PRZYGOTOWUJĄCE DO SPRAWDZIANÓW W KLASIE DRUGIEJ I Fukcja kwadratowa ) PODAJ POSTAĆ KANONICZNĄ I ILOCZYNOWĄ (O ILE ISTNIEJE) FUNKCJI: a) f ( ) + b) f ( ) 6+ 9 c) f ( ) ) Narysuj wykresy fukcji f
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16 stron (zadania
Bardziej szczegółowoMateriaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
Bardziej szczegółowoRepetytorium z matematyki ćwiczenia
Spis treści 1 Liczby rzeczywiste 1 2 Geometria analityczna. Prosta w układzie kartezjańskim Oxy 4 3 Krzywe drugiego stopnia na płaszczyźnie kartezjańskiej 6 4 Dziedzina i wartości funkcji 8 5 Funkcja liniowa
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne
Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne Šukasz Dawidowski Nocne powtórki maturalne 28 kwietnia 2014 r. Troch teorii Funkcj f : R R dan wzorem: f (x) = ax 2 + bx + c gdzie a 0 nazywamy funkcj
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowodna szeregu. ; m., k N ; ó. ; u. x 2n 1 ; e. n n! jest, że
KILKA ZADAŃ O SZEREGACH Zbadać zbieżość i zbieżość bezwzgle da = a, jeśli a = a!! ; a + + ; c + ; ć! ; d +/ + 3 ; e! e 3 3+ ; f ; + g 000+ ; h ; + i! ; j k ; l 5 + l + 7 0 +3 6 0 + ; +3 ; ; m 3 + 3 ; +a
Bardziej szczegółowoIndeksowane rodziny zbiorów
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 7 Indeksowane rodziny zbiorów Niech X b dzie przestrzeni zbiorem, którego podzbiorami b d wszystkie rozpatrywane zbiory, R rodzin wszystkich podzbiorów X za± T
Bardziej szczegółowoZadania zamknięte. A) 3 pierwiastki B) 1 pierwiastek C) 4 pierwiastki D) 2 pierwiastki. C) a 4 = 2 3
Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Równanie x2 3x+2 = 0 ma: x 2 4 A) 3 pierwiastki B) 1 pierwiastek C) 4 pierwiastki D) 2 pierwiastki ZADANIE 2 (1 PKT) Liczba b jest 3 razy większa od liczby a. Wtedy
Bardziej szczegółowoArkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne
Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 1. 9 8 2. 0, (1) 3. 8 9 4. 0, (8) 3 4 4 4 1 jest liczba Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 3 4 4 4
Bardziej szczegółowoZadanie 3. Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono fragment wykresu funkcji. Wskaż ten rysunek.
FUNKCJA KWADRATOWA. Zadaia zamkięte. Zadaie. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem fukcji f ( x) ( x ) ma współrzęde: A. ( ; ) B. ( ; ) C. ( ; ) D. ( ; ) Zadaie. Zbiorem rozwiązań ierówości: (x )(x
Bardziej szczegółowoFunkcje elementarne. Matematyka 1
Funkcje elementarne Matematyka 1 Katarzyna Trąbka-Więcław Funkcjami elementarnymi nazywamy: funkcje wymierne (w tym: wielomiany), wykładnicze, trygonometryczne, odwrotne do wymienionych (w tym: funkcje
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),
ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j
Bardziej szczegółowoInternetowe Kółko Matematyczne 2004/2005
Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,
Bardziej szczegółowoFunkcje tworz ce - du»y skrypt
Fukcje tworz ce - du»y skrypt Mateusz Rapicki, Piotr Suwara 9 sierpia 202 Kombiatoryka ( ) Deicja (dwumia Newtoa). k dla liczb caªkowitych ieujemych, k to liczba sposobów wybraia k elemetów z -elemetowego
Bardziej szczegółowoCzas pracy 170 minut
ORGANIZATOR WSPÓŁORGANIZATOR PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MARZEC ROK 013 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron.. W zadaniach od
Bardziej szczegółowoArkusz maturalny treningowy nr 7. W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź.
Czas pracy: 170 minut Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz maturalny treningowy nr 7 W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0-1) Wyrażenie (-8x 3
Bardziej szczegółowoWykresy i własności funkcji
Wykresy i własności funkcji Zad : (profil matematyczno-fizyczny) a) Wykres funkcji f(x) = x 6x + bx + c przechodzi przez punkt P = (, ), a współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu tej funkcji w punkcie
Bardziej szczegółowoEgzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 25. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied.
Egzamin maturalny z matematyki ZADANIA ZAMKNI TE W zadaniach od 1. do 5. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied. Zadanie 1. (1 pkt) Cen nart obni ono o 0%, a po miesi cu now cen obni ono
Bardziej szczegółowoZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedn poprawn odpowied.
2 Przyk adowy arkusz egzaminacyjny z matematyki ZADANIA ZAMKNI TE W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedn poprawn odpowied. Zadanie 1. (1 pkt) Pole powierzchni ca kowitej sze
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone
Zadaia z algebry liiowej - sem. I Liczby zespoloe Defiicja 1. Parę uporządkowaą liczb rzeczywistych x, y azywamy liczbą zespoloą i ozaczamy z = x, y. Zbiór wszystkich liczb zespoloych ozaczamy przez C
Bardziej szczegółowoTemat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1
Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a
Bardziej szczegółowoBlok III: Funkcje elementarne. e) y = 1 3 x. f) y = x. g) y = 2x. h) y = 3x. c) y = 3x + 2. d) y = x 3. c) y = x. d) y = x.
Blok III: Funkcje elementarne III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x y = x y = x y = x III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x + y = 4 x III. Znajdź miejsca zerowe funkcji: a) y = 6 x y = x e) y = x f) y
Bardziej szczegółowo1 Funkcja wykładnicza i logarytm
1 Funkcja wykładnicza i logarytm 1. Rozwiązać równania; (a) x + 3 = 3 ; (b) x 2 + 9 = 5 ; (c) 3 x 1 = 3x 2 2. Rozwiązać nierówności : (a) 2x 1 > 2 ; (b) 3x 4 2x + 3 > x + 2 ; (c) 3 x > 1. 3. Znając wykres
Bardziej szczegółowo< > Sprawdzić prawdziwość poniższych zdań logicznych (odpowiedź uzasadnić) oraz podać ich zaprzeczenia:
Zadania na zajęcia z przedmiotu Repetytorium z matematyki elementarnej, GiK, 06/7 Zdania logiczne Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory Ocenić wartość logiczną zdania (odpowiedź uzasadnić): < Nieprawda, że
Bardziej szczegółowo1. Granica funkcji w punkcie
Graica ukcji w pukcie Deiicja Sąsiedztwem o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r ( a a Deiicja Sąsiedztwem lewostroym o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r Deiicja Sąsiedztwem
Bardziej szczegółowo1 Logika (3h) 1.1 Funkcje logiczne. 1.2 Kwantyfikatory. 1. Udowodnij prawa logiczne: 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 3.
Logika (3h). Udowodnij prawa logiczne:. (p q) ( p q). (p q) ( p q) 3. (p q) ( q p) 4. (p q) ( p q) 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 7. (p q) r (p r) (q r) 8. (p q) (q r) (p r). Sprawdź, czy wyrażenia:.
Bardziej szczegółowoFUNKCJE. 1. Podstawowe definicje
FUNKCJE. Podstawowe definicje DEFINICJA. Funkcja f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y (inaczej f : X Y ) nazywamy takie przyporządkowanie, które każdemu elementowi x X przyporządkowuje dokładnie jeden element
Bardziej szczegółowo14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe.
Matematyka 4/ 4.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. I. Przypomnij sobie:. Wiadomości z poprzedniej lekcji... Że przy rozwiązywaniu zadań tekstowych wykorzystujących
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum
MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu
Bardziej szczegółowoTeoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka
Bardziej szczegółowoMatematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski
Matematyka 1 Šukasz Dawidowski Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski Pochodna funkcji Niech a, b R, a < b. Niech f : (a, b) R b dzie funkcj oraz x, x 0 (a, b) b d ró»nymi punktami przedziaªu (a, b). Wyra»enie
Bardziej szczegółowoElementy logiki. Zdania proste i złożone
Elementy logiki Zdania proste i złożone. Jaka jest wartość logiczna następujących zdań: (a) jest dzielnikiem 7 lub suma kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 80. (b) Jeśli sin 0 =, to 5 < 5. (c) Równanie
Bardziej szczegółowo2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. (a) f(x) = ln 3 x ln x, (b) f(x) = e2x x 2 2.
2. ZASTOSOWANIA POCHODNYCH. Koniecznie trzeba znać: twierdzenia o ekstremach (z wykorzystaniem pierwszej i drugiej pochodnej), Twierdzenie Lagrange a, Twierdzenie Taylora (z resztą w postaci Peano, Lagrange
Bardziej szczegółowoMatematyczne podstawy kognitywistyki
Matematycze podstawy kogitywistyki Jerzy Pogoowski Zakªad Logiki i Kogitywistyki UAM pogo@amu.edu.pl Struktury ró»iczkowe Jerzy Pogoowski (MEG) Matematycze podstawy kogitywistyki Struktury ró»iczkowe 1
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Bardziej szczegółowo1 Granice funkcji wielu zmiennych.
AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica
Bardziej szczegółowoRachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej
Lista Nr 5 Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej 5.0. Obliczanie pochodnej funkcji Pochodne funkcji podstawowych. f() = α f () = α α. f() = log a f () = ln a '. f() = ln f () = 3. f() = a f () =
Bardziej szczegółowo1. Równania i nierówności liniowe
Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x
Bardziej szczegółowo