Ekstremalna teoria grafów Filip Lurka V Liceum ogólnoksztaªc ce w Krakowie

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Ekstremalna teoria grafów Filip Lurka V Liceum ogólnoksztaªc ce w Krakowie"

Transkrypt

1 Ekstremala teoria grafów Filip Lurka V Liceum ogóloksztaªc ce w Krakowie

2 1 Ekstremala Teoria Grafów 1 Ekstremala Teoria Grafów Filip Lurka 1.1 Teoria Deicja 1.1 Klik azywamy graf peªy; ka»de dwa wierzchoªki s poª czoe kraw dzi. Deicja 1. Klik k-wierzchoªkow azywamy klik posiadaj c k wierzchoªków. Deicja 1.3 Grafem k-wolym azywamy graf iezawieraj cy kliki k-wierzchoªkowej. Deicja 1. Stopiem wierzchoªka grafu azywamy liczb kraw dzi s siaduj cych z wierzchoªkiem. Ozaczay jako degw i, gdzie W i jest wierzchoªkiem. Twierdzeie 1.1 (Twierdzeia Matela) Maksymala liczba kraw dzi w grae o wierzchoªkach, w którym ie ma trójk tów, jest rówa. Dowód Przeprowad¹my dowód idukcyjy. Dla = 1 i =, teza jest oczywista. Zaªó»my,»e > i asz graf G ma pew kraw d¹ AB. Z zaªo»eia idukcyjego, podgraf W utworzoy z pozostaªych wierzchoªków (G bez A i B), ma co ajwy»ej ( ) kraw dzi. Zauwa»my teraz,»e ka»dy wierzchoªek C ale» cy do W, ma kraw d¹ z co ajwy»ej jedym z wierzchoªków A i B (iaczej powstaªby trójk t). Takich wierzchoªków jest i dodatkowo ale»y jeszcze policzy kraw d¹ AB, wi c G ma co ajwy»ej: ( ) ( ) ( ) 1 ( ) 1 = = kraw dzi - co ko«czy dowód. Lemat 1.1 (Lemat Zarakiewicza) Je»eli G jest grafem iezawieraj cym k-wierzchoªkowej kliki, to istieje wierzchoªek G, którego stopie«ie przekracza k k 1. Dowód Zaªó»my przeciwie. Ozaczmy zbiór wierzchoªków poª czoych z V i przez A i oraz we¹my pewie wierzchoªek V 1. Z zaªo»eia: k k A i > k 1 1 k 1 > 0 Zatem istieje V A 1. Nast pie: A 1 A = A 1 A A 1 A (1 k k 1 ) > 0

3 1.1 Teoria 3 Zatem istieje V 3 A 1 A. Kotyuuj c rozumowaie otrzymujemy,»e dla ka»dego i: j i=1 W szczególo±ci, dla j = k 1: k 1 i=1 k A i j(1 k 1 ) (j 1) k A i (k 1)(1 k 1 ) (k ) > 0 Zatem istieje wierzchoªek V k k 1 i=1 A i. Ale widzimy,»e wtedy wierzchoªki V 1,..., V k tworz klik k-wierzchoªkow. Uzyskali±my sprzeczo±, co ko«czy dowód. Twierdzeie 1. (Twierdzeie Turaa) Najwi ksz liczb kraw dzi, jak mo»e posiada -wierzchoªkowy graf iezawieraj cy k- wierzchoªkowej kliki jest: k k 1 r ( ) r gdzie r jest reszt z dzieleia przez k 1. Dowód Przeprowad¹my dowód idukcyjy ze wzgl du a. Dla = 1, teza jest oczywista. Zaªó»my teraz,»e teza jest prawdziwa dla wszystkich grafów o 1 wierzchoªkach iezawieraj cych kliki k-wierzchoªkowej. Z lematu Zarakiewicza, z daego grafu G (iezawieraj cego k-wierzchoªkowej kliki) mo»emy wybra wierzchoªek o stopiu ie wiekszym i» k k 1. Z zaªo»eia idukcyjego, podgraf utworzoy z pozostaªych 1 wierzchoªków ie zawiera kliki k-wierzchoªkowej. Zatem liczba kraw dzi grafu G ie przekracza: k k 1 k k 1 s ( ) s gdzie s 1 (mod k 1). Widzimy,»e: r (mod k 1), r < k 1 oraz 1 s (mod k 1), s < k 1 s 1 (mod k 1). Rozwa»my przypadki. W pierwszym, s < k, czyli s 1 < k 1, wi c s 1 = r, s = r 1. W drugim przypadku, s = k 1 (mod k 1), czyli r = 0. Po podstawieiu s widzimy,»e: k k 1 k k 1 s ( ) s = k k 1 r ( ) r Pozostaªo pokaza,»e da si skostruowa graf o -wierzchoªkach iezawieraj cy k- wierzchoªkowej kliki, który ma tyle kraw dzi. Niech = (k 1)q r. Rozwa»my k 1 grup wierzchoªków, z których r ma po q 1 elemetów, a k 1 r (reszta) ma po q elemetów i poª czmy wierzchoªki, które ie zajduj si w tych samych grupach.

4 1 Ekstremala Teoria Grafów Jedye kraw dzie, które ie zostaªy arysowae, to te w obr bie poszczególych grup. Jest ich dokªadie: r (q1 ) ( (k 1 r) q ). Podstawmy x za k 1. Zatem caªkowita liczba kraw dzi jest rówa: ( ) ( ) ( ) q 1 q (r (x r) ) = rq(q 1) (x r)q(q 1) = = rq xq xq = rq xq r = = (xq r) (xq r) rq xq r = x q xqr xq rq (r r) = (x 1)(q x qr) = (x 1)( r ) x ( ) r = (x 1)(q x ( ) qrx) r = x ( ) r = k k 1 r ( ) r Widzimy,»e skostruoway graf ma maksymal liczb kraw dzi oraz ie posiada kliki k-wierzchoªkowej. Taki graf azywamy grafem Turaa i ozaczamy przez T (, k). Uwaga 1: W wielu ¹ródªach zajdujemy ieco ie sformuªowaie tego twierdzeia, mówi ce o tym,»e maksymal liczb kraw dzi jest k k 1. Zauwa»my,»e odpowiada to przypadkowi, gdy r = 0, czyli k 1 dzieli i rzeczywi±cie k k 1 r ( ) r k k 1. Uwaga : Nale»y jeszcze zauwa»y,»e k k 1 r ( r ) zwykle ie jest liczb caªkowit. Wtedy oczywi±cie bierzemy pod uwag podªog z tego wyra»eia (takie sformuªowaie te» si pojawia w iektórych ¹ródªach). Uwaga 3: Udowodioe wcze±iej Twierdzeie Matela wyika wprost z Twierdzeia Turaa. Twierdzeie 1.3 (Twierdzeie Ramsaya) W grae peªym o R k wierzchoªkach i pokolorowaym k kolorami mo»a zale¹ jedokolorowy trójk t; R k jest dae wzorem rekurecyjym: R 1 = 3, R k = k(r k 1 1) i jest jedocze±ie ajmiejsz liczb o tej zale»o±ci. Dowód Przeprowad¹my dowód idukcyjy. Graf pokoloroway jedym kolorem ma oczywi±cie jedokolorowy trójk t je»eli ma co ajmiej 3 wierzchoªki. Zatem R 1 = 3. Zaªó»my wi c,»e twierdzeie jest prawdziwe dla k 1 i we¹my graf peªy o R k wierzchoªkach pokoloroway k kolorami. Rozwa»my dowoly wierzchoªek tego grafu. Jest o poª czoy z ka»dym z pozostaªych k(r k 1 1) 1 wierzchoªków jedym z k kolorów, wi c z zasady szuadkowej, z pewymi R k 1 wierzchoªkami jest poª czoy tym samym kolorem (iech to b dzie kolor iebieski). Je»eli które± wierzchoªki z tych R k 1 s poª czoe kolorem iebieskim, to mamy iebieski trójk t. W przeciwym wypadku, po±ród R k 1 wierzchoªków ie wystepuje kolor iebieski, wi c s oe poª czoe ze sob tylko k 1 kolorami. Zatem z zaªo»eia idukcyjego istieje po±ród ich jedokolorowy trójk t - co ko«czy dowód. =

5 1.1 Teoria 5 Problem 1 Ile kraw dzi mo»e zawiera graf o wierzchoªkach, w którym ie ma kliki 5-wierzchoªkowej? Dowód Z Twierdzeia Turaa, graf iezawieraj cy 5-wierzchoªkowej kliki mo»e mie maksymalie: 3 r ( ) r 3 8 kraw dzi. Problem W pewym pa«stwie jest 1998 miast. Dla ka»dych trzech miast, przyajmiej dwa z ich ie s bezpo±redio poª czoe. Najwi ksza liczba bezpo±redich poª cze«jest rówa 999. Dowód Niech zbiór 1998 miast b dzie grafem, gdzie ka»da kraw d¹ jest bezpo±redim poª czeiem. Z zaªo»eia wyika,»e w tym grae ie ma kliki 3-wierzchoªkowej. Zatem, a mocy twierdzeie Turaa, ajwi ksza mo»liwa liczba bezpo±redich poª cze«(kraw dzi) jest rówa: = 1998 = 999 Problem 3 Zbiór 1,, 3,..., 65 podzieloo a cztery rozª cze zbiory. Istiej takie liczby a, b, c (iekoieczie ró»e) ale» ce do jedego z tych zbiorów,»e a b = c. Dowód Niech ka»dy podzbiór ozacza jede kolor. We¹my 66 puktów, poumerujmy je liczbami od 1 do 66 i pomalujmy kraw d¹ kolorem przyporz dkowaym do zbioru, do którego ale»y ró»ica umerów przy tej kraw dzi. Z twierdzeia Ramseya wyika,»e 3 z tych puktów s poª czoe tym samym kolorem (poiewa» R = 66). Poumerujmy je a, b, c zakªadaj c bez straty ogólo±ci,»e a < b < c oraz iech: x = b a, y = c b, z = c a. Wtedy x, y, z ale» do jedego podzbioru oraz x y = z. Problem Zbiór liczb aturalych podzieloo a 6 parami rozª czych podzbiorów. Istiej takie liczby aturale 1 a < b < c 005,»e liczby a b, a c, b c ale» do tego samego podzbioru.

6 6 1 Ekstremala Teoria Grafów Dowód Rozpatrzmy graf peªy o 005 wierzchoªkach poumerowaych liczbami od 1 do 005. Przypiszmy ka»demu z 6 rozª czych podzbiorów jede kolor i poª czmy wierzchoªki o umerach x i y kolorem podzbioru, do którego ale»y x y. Z twierdzeia Ramseya, istieje trójk t jedokolorowy, poiewa» 005 < R 6 = Zatem istiej liczby a, b, c, dla których a b, a c i b c ale» do tego samego podzbioru. Problem 5 Na okr gu o promieiu 1 le»y ró»ych puktów ( ). Je»eli q jest liczb odcików o ko«cach w tych puktach i dªugo±ci wi kszej i», to 3q. Dowód Skostruujmy graf maj cy wierzchoªki w okre±loych w tre±ci puktach i po- ª czmy kraw dziami pukty, których odleglo± jest wi ksza i». Poka»emy,»e w tym grae ie ma kliki -wierzchoªkowej. Zaªó»my ie wprost,»e jest i azwijmy jej wierzchoªki w kolejo±ci cykliczej: A, B, C, D. Poiewa» promie«okr gu wyosi 1, to odciek o ko«cach a okr gu i dªugo±ci tworzy ze ±rodkiem okregu k t wi kszy i» 90 stopi. Zatem odciki AB, BC, CD, DA razem tworz ze ±rodkiem k t wi kszy i» 360 stopi, co jest iemo»liwe. Zatem graf ie zawiera kliki -wierzchoªkowej, wi c z twierdzeia Turaa mo»e mie co ajwy»ej 3 kraw dzi. Problem 6 W pewym pa«stwie jest 001 miast i ka»de jest poª czoe bezpo±redio z przyajmiej 1600 miastami. Najwi kszym, dla którego musi by mo»liwe zalezieie miast, z których ka»de dwa s bezpo±redio poª czoe, jest = 5. Dowód Niech 001 miast (wierzchoªków) tworzy graf G. Teza jest rówowa»a z tym,»e ale»y zale¹ ajwi ksze takie, dla którego musi by mo»liwe zalezieie kliki -wierzchoªkowej. Z lematu Zarakiewicza wiemy,»e je»eli G ie zawiera takiej kliki, to istieje wierzchoªek, który ma stopie«co ajwy»ej rówy Zatem chcemy zale¹ ajwi ksze, dla którego < 1600, poiewa» wtedy lemat ie b dzie speªioy dla. Widzimy,»e ajwiekszym rozwi zaiem jest = 5. Pozostaªo pokaza,»e dla > 5, graf ie musi zawiera -wierzchoªkowej kliki. W szczególo±ci, wystarczy skostruowa graf o 100 wierzchoªkach i stopiach wierzchoªków rówych co ajmiej 1600 iezawieraj cy 6-wierzchoªkowej kliki. Takim grafem jest graf Turaa - T(001, 6), którego stopie«jest rówy = 1600, i który ie zawiera 6-wierzchoªkowej kliki. Problem 7 Daych jest 1 puktów a okr gu. Istieje przyajmiej 100 par puktów, takich,»e para tworzy z ±rodkiem okr gu k t o warto±ci co ajwy»ej 10 stopi.

7 1.1 Teoria 7 Dowód Rozwa»my dwa grafy, jede (G) utworzoy z par puktów, które tworz ze ±rodkiem okr gu k t ie wi kszy i» 10 stopi, a drugi (W), uzupeªiaj cy G do grafu peªego (utworzoego z daych 1 puktów). W G, poª czmy wierzchoªki je»eli tworz ze ±rodkiem k t ie wi kszy i» 10 stopi, a odpowiedio w W, poª czmy wierzchoªki je»eli tak ie jest. Widzimy,»e w te sposób poªaczyli±my parami wszystkie 1 puktów, czyli otrzymali±my w sumie ( 1 ) = 10 kraw dzi. Zauwa»my,»e W jest grafem, który ie posiada trójk tów (gdyby posiadaª, to w daym trójk cie które± pukty speªiaªyby waruek k towy - co wyika z tego,»e k t przy ±rodku okr gu opisaego a trójk cie jest peªy), wi c z twierdzeia Turaa, W ma maksymalie 1 1 = 110 kraw dzi. Zatem G ma co ajmiej = 100 kraw dzi, co ko«czy dowód. Problem 8 Niech A b dzie podzbiorem zbioru S = {1,,..., } maj cym dokªadie 101 elemetów. Istiej t 1, t,..., t 100 S takie,»e zbiory A j = {x t j x A}, j = 1,,..., 100 s parami rozª cze. Dowód Niech A = a 1 < a <... < a 101. Narysujmy graf maj cy 10 6 wierzchoªków i poª czmy wierzchoªki i oraz j je»eli zbiory (A i) i (A j) s rozª cze. Widzimy,»e»eby wierzchoªek k byª poª czoy z wierzchoªkiem l, to k l ie mo»e by rówe a i a j (a i a j ). Liczb takiej postaci jest , zatem ka»dy wierzchoªek jest stopia co ajmiej Zatem graf ma co ajmiej 106 ( ) (*) kraw dzi. Teza b dzie zachodzi, je»eli w daym grae mo»a zale¹ klik 100-wierzchoªkow. Z twierdzeia Turaa wiemy,»e istieje klika 100-wierzchoªkowa je»eli graf ma wi cej i»: k k 1 r ( ) r = 98 ( ) kraw dzi. Mo»a sprawdzi,»e powy»sza liczba jest miejsza i» (*), zatem teza zachodzi. Problem 9 Na koferecji jest delegatów i ka»dy za co ajwy»ej k j zyków. W ka»dej trójce, co ajmiej dwóch delegatów mówi wspólym j zykiem. Najmiejszym, takim»e dla jakiejkolwiek koguracji speªiaj cej powy»sze kryteria, mo»liwe jest zalezieie j zyka, którym mówi co ajmiej trzech delegatów, jest = k 3. Dowód Najpierw poka»emy,»e teza zachodzi dla = k 3. Skostruujmy graf, w którym wierzchoªkami b d delegaci i poª czmy kraw dzi par delegatów, je»eli ie mówi tym samym j zykiem. Z zaªo»eia, w grupie trzech delegatów, przyajmiej dwóch mówi

8 8 1 Ekstremala Teoria Grafów wspólym j zykiem, zatem asz graf ie zawiera kliki 3-wierzchoªkowej. Z lematu Zarakiewicza, istieje pewie wierzchoªek A, którego stopie«ie przekracza. Wyika z tego,»e ie jest poª czoy z przyajmiej k 1 wierzchoªkami. Zatem delegat A, mo»e si dogada w pewym j zyku z ka»dym z pewej grupy k 1 delegatów. Ale poiewa» A za co ajwy»ej k j zyków, to porozumiewa si z przyajmiej dwoma delegatami z tej grupy tym samym j zykiem. Zale¹li±my wi c grup 3 delegatów mówi cych tym samym j zykiem. Pozostaªo wykaza,»e mo»a tak rozdzieli j zyki pomi dzy k delegatów,»eby teza ie zachodziªa (poiewa» wtedy b dziemy wiedzie,»e k 3 jest ajmiejsz liczba speªiaj c waruki zadaia). Podzielmy ich a grupy po k 1 delegatów ka»da i przydzielmy ka»dej parze w obr bie grupy, iy j zyk, w którym si komuikuje. Widzimy,»e ka»dy delegat mówi k-j zykami oraz dla ka»dej grupy trzech delegatów, dwóch zajdzie si w tej samej grupie, wi c mówi wspólym j zykiem. Wida,»e w tej sytuacji teza ie zachodzi, poiewa» ka»dym j zykiem mówi co ajwy»ej dwóch delegatów. Problem 10 Day jest graf G posiadaj cy 1 kraw dzi i wierzchoªków ( 3). G zawiera dwa trójk ty dziel ce wspóly bok. Dowód Przeprowad¹my dowód idukcyjy. Dla = 3, asz graf (G) ma 6 wierzchoªków i 10 kraw dzi. Z twierdzeia Turaa, je»eli graf 6-wierzchoªkowy ie zawiera trójk ta, to ma co ajwy»ej 36 = 9 kraw dzi. Zatem graf G zawiera trójk t. Mo»emy wybra wierzchoªki A i B tego trójk ta o stopiu tej samej parzysto±ci. Je»eli graf utworzoy z pozostaªych wierzchoªków zawiera co ajmiej 5 kraw dzi, to teza zachodzi. Zaªó»my, wi c,»e zawiera co ajwy»ej kraw dzie. Wtedy, co ajmiej 6 kraw dzi ma ko«ce w A i B. Poiewa» pomi dzy A i B ju» jest kraw d¹, to z A lub B wychodzi co ajmiej 5 kraw dzi, ale poiewa» stopie A i B s tej samej parzysto±ci, to wychodzi z A lub B co ajmiej 6 kraw dzi. Ale poiewa» ª cz oe A i B z pozostaªymi wierzchoªkami, to z zasady szuadkowej, co ajmiej z tych wierzchoªków, s poª czoe zarówo z A, jak i z B - co dowodzi tezy dla = 3. Zaªó»my,»e teza zachodzi dla i stosuj c aalogicze rozumowaie poka»my,»e zachodzi te» dla 1 (graf W). Poiewa» W ma ( 1) wierzchoªków i ( 1) 1 kraw dzi, to z twierdzeia Turaa zawiera trójk t. Poowie, wybieramy z trójk ta wierzchoªki o stopiach tej samej parzysto±ci. Je»eli pozostaªe wierzchoªków (*) zawiera co ajmiej 1 kraw dzi, to a mocy zaªo»eia idukcyjego, teza zachodzi. W przeciwym wypadku, co ajmiej kraw dzi ma ko«ce w A lub B, ale poiewa» jest kraw d¹ pomi dzy A i B oraz ich stopie s tej samej parzysto±ci, to przyajmiej kraw dzi wychodzi z A lub B do (*). Tak jak dla = 3, istiej dwa wierzchoªki z (*), z których ka»dy jest poª czoy z A i B - co ko«czy dowód.

9 1.1 Teoria 9 Problem 11 Graf o wierzchoªkach i k kraw dziach zawiera co ajmiej k 3 (k ) trójk tów. Dowód Poumerujmy wierzchoªki grafu od 1 do, ozaczmy je v i i iech wierzchoªek v i ma stopie«d i. We¹my v i oraz v j : v i jest poª czoy z (d i 1) spo±ród pozostaªych ( ) wierzchoªków, a v j - z (d j 1). Poiewa» iych wierzchoªków i» v i oraz v j jest tylko ( ), to liczba wierzchoªków poª czoych zarówo z v i, jak i z v j jest rówa przyajmiej: (d i 1) (d j 1) ( ) = (d i d j ) Tyle jest te» przyajmiej trójk tów o kraw dzi v i v j. Zatem caªkowita liczba trójk tów jest rówa 1 3 v i v j E (d i d j ), gdzie E to jest zbiór kraw dzi. Ale v i v j E (d i d j ) = i=1 (d i), poiewa» ka»dy wierzchoªek i pojawia si w dokªadie d i wyrazach. Zatem caªkowita liczba trójk tów jest rówa: 1 3 Z ierówo±ci Cauchy'ego Schwarza: i=1 (d i ) 1 3 k i=1 (d i ) ( i=1 d i) Sk d w oczywisty sposób uzyskujemy tez. = (k) = k Problem 1 Niech A 1, A,..., A 101 b d ró»ymi podzbiorami zbioru 1,,...,,»e suma którychkolwiek 50 podzbiorów ma wi cej i» elemetów. Po±ród ich s takie trzy,»e dowole dwa z tych trzech maj elemet wspóly. Dowód Rozwa»my graf G, którego wierzchoªkami s dae podzbiory i poª czmy dwa podzbiory je»eli maj wspóle elemety. Zaªó»my,»e G ie zawiera kliki 3-wierzchoªkowej (w przeciwym wypadku teza jest oczywista). Udowodijmy,»e istieje grupa przyajmiej 51 wierzchoªków, z których ka»dy ma stopie«co ajwy»ej 50. Zaªó»my ie wprost,»e tak ie jest, czyli istieje grupa 51 wierzchoªków, ka»dy o stopiu rówym co ajmiej 51 (*). Wybierzmy wierzchoªek A ale» cy do tej grupy. A jest poª czoe z co ajmiej 51 wierzchoªkami, wi c z (*) wiemy,»e A musi by poª czoe z pewym wierzchoªkiem B, którego stopie«te» jest co ajmiej 51. Poiewa» A i B s poª czoe z co ajmiej 51 wierzchoªkami, a wierzchoªków iych i» A i B jest 99, to musi istie wierzchoªek C, który jest poª czoy zarówo z A, jak i z B. Uzyskali±my sprzeczo±, poiewa» w G ie ma trójk ta. Zatem mo»emy zale¹ wierzchoªki A i1,..., A i51, z których ka»dy ma stopie«co ajwy»ej 50. Wyika z tego,»e podzbiór A i1 jest rozª czy z co ajmiej

10 10 1 Ekstremala Teoria Grafów pi dziesi cioma podzbiorami. Poiewa» iloczy tych 50 podzbiorów ma wi cej i» elemetów, wioskujemy,»e A i1 < = 51. W podoby sposób: A i j < 51 dla ka»dego j 1,,..., 51. Zatem: A i1 A i... A i50 A i1... A i50 < = Co jest sprzecze z zaªo»eiami zadaia. Problem 13 Niech G b dzie grafem iezawieraj cym trójk tów (1), takim,»e»ade jego wierzchoªek ie jest przystaj cy do wszystkich pozostaªych wierzchoªków () oraz je»eli A i B ie s poª czoe kraw dzi, to istieje taki wierzchoªek C,»e AC i BC s kraw dziami (3). Wszystkie wierzchoªki maj te sam stopie«. Dowód Rozpatrzmy pukt A tego grafu o stopiu m i s siadach B 1,..., B m. Z (1), dla i j, B i i B j ie s poª czoe i z (3), pukt C A ie mo»e by poª czoy z B i oraz B j jedocze±ie. Zatem s siadów B i postaci C ij (ró»ych od A i ró»ych od pozostaªych B j ) jest dokªadie degb i 1. Jedyymi puktami, które mog by poª czoe z C ij (ie licz c B i ) s ie C hk, poiewa» z (3) wyika,»e ka»dy wierzchoªek grafu jest poª czoy z A ±cie»k dªugo±ci 1 lub (Iymi sªowy, jedyymi puktami tego grafu s : A, s siedzi A, czyli B i, oraz s siedzi puktów B i - ozaczae jako C z odpowiedim ideksem). Ale z (), C ij ie mo»e by poª czoe z C ik oraz ie mo»e by poª czoe z ró»ymi C kh i C kh z (3), zatem jest poªaczoe z co ajwy»ej jedym puktem postaci C kh dla ka»dego k i (*). Dodatkowo, zauwa»my,»e z (3) wyika,»e musi istie pukt X poª czoy z B k i C ij (k i) oraz jedyymi puktami poª czoymi z B k s A i C kh. Zatem C ij musi by poª czoe z przyajmiej jedym puktem C kh dla ka»dego k i (**). Z (*) oraz (**) wioskujemy,»e stopie«c ij jest rówy m. Ale gdyby±my wystartowali z puktu B i zamiast A i powtórzyli aalogicze rozumowaie, to uzyskaliby±my,»e stopie«b i jest taki sam jak stopie«c hk, gdzie C hk jest jedym z s siadów C i1. Zatem wszystkie pukty maj te sam stopie«. Problem 1 Graf o wierzchoªkach i k kraw dziach ie zawiera trójk tów. Mo»a wybra taki wierzchoªek,»e podgraf utworzoy z pozostaªych wierzchoªków ma co ajmiej k(1 k ) kraw dzi. Dowód Dla daego puktu P, podzielmy kraw dzie grafu a trzy kategorie: (1) odciki PQ, gdzie Q jest s siadem P; () odciki QQ' (Q jest s siadem P, wi c Q' im ie mo»e by, poiewa» w tym grae ie ma trójk tów); (3) odciki Q'Q, gdzie Q' i Q ie s sasiadami P. Widzimy,»e dla daego P, liczba kraw dzi w kategoriach (1)

11 1.1 Teoria 11 i () jest rówa degq, gdzie ozacza,»e sumujemy tylko po s siadach P. Zatem liczba kraw dzi w kategorii (3) jest rówa: k degq. Chcemy wi c pokaza,»e degq k. Sumuj c kraw dzie w kategoriach (3) dla wszystkich P, otrzymujemy: P degq (*), co jest rówe deg Q (suma po wszystkich puktach Q), poiewa» ka»dy degq liczyli±my w sumie (*) dokªadie degq razy. Z ierówo±ci Cauchy'ego-Schwarza: Ale degq = k, wi c: ( degq) ( 1 )( deg Q) = deg Q P degq = deg Q ( degq) = k Ale poiewa» suma wyrazów jest rówa co ajmiej k, to przyajmiej jede wyraz jest wiekszy lub rówy k. Zatem mo»a zale¹ takie P, dla którego degq k - co chcieli±my pokaza. Bibliograa 1. Problems from the book, Titu Adrescu, Gabriel Dospiescu. Olimpiady matematycze z caªego ±wiata

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA. W obu podpunktach zakªadamy,»e kolejno± ta«ców jest wa»na.

Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA. W obu podpunktach zakªadamy,»e kolejno± ta«ców jest wa»na. Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zadanko 1 (12p.) Na imprezie w Noc Kupaªy s 44 dziewczyny. Nosz one 11 ró»nych imion, a dla ka»dego imienia s dokªadnie 4 dziewczyny o tym imieniu przy czym ka»da

Bardziej szczegółowo

Wykªad 05 (granice c.d., przykªady) Rozpoczniemy od podania kilku przykªadów obliczania granic ci gów. n an = + dla a > 1. (5.1) lim.

Wykªad 05 (granice c.d., przykªady) Rozpoczniemy od podania kilku przykªadów obliczania granic ci gów. n an = + dla a > 1. (5.1) lim. Wykªad 05 graice cd, przykªady Rozpocziemy od podaia kilku przykªadów obliczaia graic ci gów Niech a > Ozaczmy a = c > 0 Mamy Poiewa» c = +, wi c tak»e a = + c + c c a = + dla a > 5 Poadto, zauwa»amy,»e

Bardziej szczegółowo

Zbiory. Zadanie 5. Wykaza to»samo±ci (a) A (B \ C) = [(A B) \ C] (A C), (b) A \ [B \ (C \ D)] = (A \ B) [(A C) \ D],

Zbiory. Zadanie 5. Wykaza to»samo±ci (a) A (B \ C) = [(A B) \ C] (A C), (b) A \ [B \ (C \ D)] = (A \ B) [(A C) \ D], x FAQ ANALIZA R c ZADANIA Zbiory Zadaie 1. Opisa zbiory A B, A B, A \ B, B \ A je±li A = {x R : x 3x < 0, }; B = {x R : x 3x + 4 0} Zadaie. Niech A, B, C, D b d podzbiorami przestrzei X. Udowodi,»e A \

Bardziej szczegółowo

wi c warunek konieczny zbie»no±ci szeregu jest speªniony. 12 = 9 12 = 3 4 k(k+1) k=1 ( k+1 k(k+1) n+1 = 1 1 n+1 = 1 0 = 1 36 = =

wi c warunek konieczny zbie»no±ci szeregu jest speªniony. 12 = 9 12 = 3 4 k(k+1) k=1 ( k+1 k(k+1) n+1 = 1 1 n+1 = 1 0 = 1 36 = = 32 (+) Jest to szereg o wyrazach dodatich Poadto wyraz ogóly tego szeregu jest zbie»y do 0, wi c waruek koieczy zbie»o±ci szeregu jest speªioy s (+) 2 s 2 s + 2 (2+) 2 + 2 3 2 + 6 3 6 + 6 4 6 2 3 s 3 s

Bardziej szczegółowo

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi

O liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą

Bardziej szczegółowo

Funkcje tworz ce skrypt do zada«

Funkcje tworz ce skrypt do zada« Fukcje tworz ce skrypt do zada«mateusz Rapicki, Piotr Suwara 20 maja 2012 1 Kombiatoryka Deicja 1 (dwumia Newtoa) dla liczb caªkowitych ieujemych, k to liczba k sposobów wybraia k elemetów z -elemetowego

Bardziej szczegółowo

Wykªad 2. Szeregi liczbowe.

Wykªad 2. Szeregi liczbowe. Wykªad jest prowadzoy w oparciu o podr czik Aaliza matematycza 2. Deicje, twierdzeia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 2. Szeregi liczbowe. Deicje i podstawowe twierdzeia Deicja Szeregiem liczbowym

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126

Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126 Teoria grafów i jej zastosowania. 1 / 126 Mosty królewieckie W Królewcu, na rzece Pregole znajduj si dwie wyspy poª czone ze sob, a tak»e z brzegami za pomoc siedmiu mostów, tak jak pokazuje rysunek 2

Bardziej szczegółowo

Tw. 1. Je»eli ci g {a n } ma granic a i ci g {b n } ma granic b, to ci g {a n b n } ma granic a b. Tw. 2. b n. Tw. 3. Tw. 4.

Tw. 1. Je»eli ci g {a n } ma granic a i ci g {b n } ma granic b, to ci g {a n b n } ma granic a b. Tw. 2. b n. Tw. 3. Tw. 4. Tw.. Je»eli ci g {a } ma graic a i ci g {b } ma graic b, to ci g {a + b } ma graic a+b. Tw.. Je»eli ci g {a } ma graic a i ci g {b } ma graic b, to ci g {a b } ma graic a-b. Tw.. Je»eli ci g {a } ma graic

Bardziej szczegółowo

GEOMETRIA I UŠAMKI PIOTR NIADY

GEOMETRIA I UŠAMKI PIOTR NIADY GEOMETRIA I UŠAMKI PIOTR NIADY Alicja raz czy dwa zajrzaªa do ksi»ki czytaej przez siostr, ale ie byªo tam ai ilustracji, ai kowersacji. A jaki mo»e by po»ytek z ksi»kipomy±laªa Alicjaw której ie ma ai

Bardziej szczegółowo

szereg jest szeregiem o wyrazach nieujemnych. Ponadto dla α (0; π ) zachodzi nierówno± sinα < α,

szereg jest szeregiem o wyrazach nieujemnych. Ponadto dla α (0; π ) zachodzi nierówno± sinα < α, .. si Poiewa» si < 1; 1 >, wi c zbadajmy szereg zªo»oy z warto±ci bezwzgl dych wyrazów szeregu daego w zadaiu: () si = si, ale si < 0; 1 > Zatem si 1 () Po prawej stroie powy»szej ierówo±ci mamy szereg

Bardziej szczegółowo

Funkcje tworz ce - du»y skrypt

Funkcje tworz ce - du»y skrypt Fukcje tworz ce - du»y skrypt Mateusz Rapicki, Piotr Suwara 9 sierpia 202 Kombiatoryka ( ) Deicja (dwumia Newtoa). k dla liczb caªkowitych ieujemych, k to liczba sposobów wybraia k elemetów z -elemetowego

Bardziej szczegółowo

Metodydowodzenia twierdzeń

Metodydowodzenia twierdzeń 1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych

Bardziej szczegółowo

Konkurs Uczniowskich Prac z Matematyki. Urok zbioru µ. Michaª Mi±kiewicz. Opiekun pracy: dr Jerzy Bednarczuk

Konkurs Uczniowskich Prac z Matematyki. Urok zbioru µ. Michaª Mi±kiewicz. Opiekun pracy: dr Jerzy Bednarczuk Kokurs Ucziowskich Prac z Matematyki Urok zbioru µ Michaª Mi±kiewicz Opieku pracy: dr Jerzy Bedarczuk Warszawa 010 Streszczeie Tematem mojej pracy s pukty takie,»e suma kwadratów odlegªo±ci puktów z wcze±iej

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna I.1

Analiza Matematyczna I.1 Aaliza Matematycza I Seria, P Nayar, 0/ Zadaie Niech a k >, (k =,, ) b d liczbami rzeczywistymi o tym samym zaku Udowodij,»e prawdziwa jest ierówo± ( + a )( + a ) ( + a ) + a + a + + a Czy zaªo»eie,»e

Bardziej szczegółowo

Równoliczno zbiorów. Definicja 3.1 Powiemy, e niepuste zbiory A i B s równoliczne jeeli istnieje. Piszemy wówczas A~B. Przyjmujemy dodatkowo, e ~.

Równoliczno zbiorów. Definicja 3.1 Powiemy, e niepuste zbiory A i B s równoliczne jeeli istnieje. Piszemy wówczas A~B. Przyjmujemy dodatkowo, e ~. 16 Rówoliczo zbiorów Defiicja 3.1 Powiemy, e iepuste zbiory A i B s rówolicze jeeli istieje f : A B. Piszemy wówczas A~B. Przyjmujemy dodatkowo, e ~. Twierdzeie 3.1 (podstawowa właso rówoliczoci zbiorów)

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna I.1

Analiza Matematyczna I.1 Aaliza Matematycza I Seria, P Nayar, 0/3 Zadaie Niech a k >, (k =,, b d liczbami rzeczywistymi o tym samym zaku Udowodij,»e prawdziwa jest ierówo± ( + a ( + a ( + a + a + a + + a Czy zaªo»eie,»e liczby

Bardziej szczegółowo

Metody dowodzenia twierdze«

Metody dowodzenia twierdze« Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 1 Notatki do wykªadu Mateusz Kwa±nicki. 7 Sumy i iloczyny uogólnione

Analiza matematyczna 1 Notatki do wykªadu Mateusz Kwa±nicki. 7 Sumy i iloczyny uogólnione Aaliza matematycza Notatki do wykªadu Mateusz Kwa±icki 7 Sumy i iloczyy uogólioe Dla dowolych liczb a k, a k+, a k+,..., a l okre±lamy sum uogólio i iloczy uogólioy: a k + a k+ + a k+ +... + a l, l a k

Bardziej szczegółowo

XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne

XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne 1 XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne Kategoria: klasa VIII szkoªy podstawowej i III gimnazjum Olsztyn, 16 maja 2019r. Zad. 1. Udowodnij,»e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z speªniaj cych

Bardziej szczegółowo

1 a + b 1 = 1 a + 1 b 1. (a + b 1)(a + b ab) = ab, (a + b)(a + b ab 1) = 0, (a + b)[a(1 b) + (b 1)] = 0,

1 a + b 1 = 1 a + 1 b 1. (a + b 1)(a + b ab) = ab, (a + b)(a + b ab 1) = 0, (a + b)[a(1 b) + (b 1)] = 0, XIII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne. Olsztyn 2015 Rozwi zania zada«dla szkóª ponadgimnazjalnych ZADANIE 1 Zakªadamy,»e a, b 0, 1 i a + b 1. Wykaza,»e z równo±ci wynika,»e a = -b 1 a + b 1 = 1

Bardziej szczegółowo

Drzewa Gomory-Hu Wprowadzenie. Drzewa Gomory-Hu. Jakub Š cki. 14 pa¹dziernika 2009

Drzewa Gomory-Hu Wprowadzenie. Drzewa Gomory-Hu. Jakub Š cki. 14 pa¹dziernika 2009 Wprowadzenie Drzewa Gomory-Hu Jakub Š cki 14 pa¹dziernika 2009 Wprowadzenie 1 Wprowadzenie Podstawowe poj cia i fakty 2 Istnienie drzew Gomory-Hu 3 Algorytm budowy drzew 4 Problemy otwarte Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Nieklasyczne modele kolorowania grafów

Nieklasyczne modele kolorowania grafów 65 Nieklasycze modele kolorowaia grafów 66 Kolorowaie sprawiedliwe Def. Jeli wierzchołki grafu G moa podzieli a k takich zbiorów iezaleych C,...,C k, e C i C j dla wszystkich i,j,...,k, to mówimy, e G

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów i sieci 1 / 58

Teoria grafów i sieci 1 / 58 Teoria grafów i sieci 1 / 58 Literatura 1 B.Korte, J.Vygen, Combinatorial optimization 2 D.Jungnickel, Graphs, Networks and Algorithms 3 M.Sysªo, N.Deo Metody optymalizacji dyskretnej z przykªadami w Turbo

Bardziej szczegółowo

Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.

Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X. Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór

Bardziej szczegółowo

Algorytmy grafowe 2. Andrzej Jastrz bski. Akademia ETI. Politechnika Gda«ska Algorytmy grafowe 2

Algorytmy grafowe 2. Andrzej Jastrz bski. Akademia ETI. Politechnika Gda«ska Algorytmy grafowe 2 Algorytmy grafowe 2 Andrzej Jastrz bski Akademia ETI Minimalne drzewo spinaj ce Drzewem nazywamy spójny graf nie posiadaj cy cyklu. Liczba wierzchoªków drzewa jest o jeden wi ksza od liczby jego kraw dzi.

Bardziej szczegółowo

c Marcin Sydow Spójno± Grafy i Zastosowania Grafy Eulerowskie 2: Drogi i Cykle Grafy Hamiltonowskie Podsumowanie

c Marcin Sydow Spójno± Grafy i Zastosowania Grafy Eulerowskie 2: Drogi i Cykle Grafy Hamiltonowskie Podsumowanie 2: Drogi i Cykle Spis Zagadnie«drogi i cykle spójno± w tym sªaba i silna k-spójno± (wierzchoªkowa i kraw dziowa) dekompozycja grafu na bloki odlegªo±ci w grae i poj cia pochodne grafy Eulera i Hamiltona

Bardziej szczegółowo

Marek Be±ka, Statystyka matematyczna, wykªad Wykªadnicze rodziny rozkªadów prawdopodobie«stwa

Marek Be±ka, Statystyka matematyczna, wykªad Wykªadnicze rodziny rozkªadów prawdopodobie«stwa Mare Be±a, Statystya matematycza, wyªad 3 38 3 Statystyi zupeªe 3. Wyªadicze rodziy rozªadów prawdopodobie«stwa Zacziemy od deicji Deicja 3. Rodzi rozªadów {µ θ } θ Θ azywamy wyªadicz rodzi rozªadów -

Bardziej szczegółowo

Przekroje Dedekinda 1

Przekroje Dedekinda 1 Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

RAP pa¹dziernika S n = S 0 + i=1. p r q l = p r q l r. N n(a,b)

RAP pa¹dziernika S n = S 0 + i=1. p r q l = p r q l r. N n(a,b) RAP 4 5 pa¹dzierika 008 Wykªad : PSL metoda zliczaia ±cie»ek Wykªadowca: Adrzej Ruci«ski Pisarz:Bartosz Naskr cki i Marek Kaluba Wst p B dziemy dalej studiowa zachowaia osobika, którego gr zajmowali±my

Bardziej szczegółowo

Mosty królewieckie, chi«ski listonosz i... kojarzenie maª»e«stw

Mosty królewieckie, chi«ski listonosz i... kojarzenie maª»e«stw Mosty królewieckie, chi«ski listonosz i... kojarzenie maª»e«stw 3 kwietnia 2014 roku 1 / 106 Mosty królewieckie W Królewcu, na rzece Pregole znajduj si dwie wyspy poª czone ze sob, a tak»e z brzegami za

Bardziej szczegółowo

O pewnym zadaniu olimpijskim

O pewnym zadaniu olimpijskim O pewnym zadaniu olimpijskim Michaª Seweryn, V LO w Krakowie opiekun pracy: dr Jacek Dymel Problem pocz tkowy Na drugim etapie LXII Olimpiady Matematycznej pojawiª si nast puj cy problem: Dla ka»dej liczby

Bardziej szczegółowo

c Marcin Sydow Wst p Grafy i Zastosowania Wierzchoªki 8: Kolorowanie Grafów Mapy Kraw dzie Zliczanie Podsumowanie

c Marcin Sydow Wst p Grafy i Zastosowania Wierzchoªki 8: Kolorowanie Grafów Mapy Kraw dzie Zliczanie Podsumowanie 8: Kolorowanie Grafów Spis zagadnie«kolorowanie wierzchoªków Kolorowanie map Kolorowanie kraw dzi Wielomian chromatyczny Zastosowania Problem kolorowania grafów ma wiele odmian (np. kolorowanie wierzchoªków,

Bardziej szczegółowo

> 1), wi c na mocy kryterium porównawczego szereg sin(n n)

> 1), wi c na mocy kryterium porównawczego szereg sin(n n) .65. si() W szeregu tym wyst puj wyrazy dodatie i ujeme, ale ie a przemia. Zbadajmy wi c szereg: si() zªo»oy z warto±ci bezwzgl dych wyrazów szeregu daego w zadaiu. Poiewa» si(), wi c si() = Po prawej

Bardziej szczegółowo

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.

A = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy. Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna dla informatyków

Matematyka dyskretna dla informatyków Matematya dysreta dla iformatyów Cz ± I: Elemety ombiatoryi Jerzy Jaworsi Zbigiew Pala Jerzy Szyma«si Uiwersytet im Adama Miciewicza Poza«2007 3 Schematy wyboru i tożsamości ombiatorycze 31 Wariacje z

Bardziej szczegółowo

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic). Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic

Bardziej szczegółowo

c Marcin Sydow Przepªywy Grafy i Zastosowania Podsumowanie 12: Przepªywy w sieciach

c Marcin Sydow Przepªywy Grafy i Zastosowania Podsumowanie 12: Przepªywy w sieciach 12: w sieciach Spis zagadnie«sieci przepªywowe przepªywy w sieciach ±cie»ka powi kszaj ca tw. Forda-Fulkersona Znajdowanie maksymalnego przepªywu Zastosowania przepªywów Sieci przepªywowe Sie przepªywowa

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy

Bardziej szczegółowo

Notatki z AiSD. Nr 2. 4 marca 2010 Algorytmy Zachªanne.

Notatki z AiSD. Nr 2. 4 marca 2010 Algorytmy Zachªanne. Notatki z AiSD. Nr 2. 4 marca 2010 Algorytmy Zachªanne. IIUWr. II rok informatyki. Przygotowaª: Krzysztof Lory± 1 Schemat ogólny. Typowe zadanie rozwi zywane metod zachªann ma charakter optymalizacyjny.

Bardziej szczegółowo

Grafy. Andrzej Jastrz bski. Akademia ET I. Politechnika Gda«ska

Grafy. Andrzej Jastrz bski. Akademia ET I. Politechnika Gda«ska Andrzej Jastrz bski Akademia ET I Graf Grafem nazywamy par G = (V, E), gdzie V to zbiór wierzchoªków, E zbiór kraw dzi taki,»e E {{u, v} : u, v V u v}. Wierzchoªki v, u V s s siaduj ce je±li s poª czone

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne

Arkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 1. 9 8 2. 0, (1) 3. 8 9 4. 0, (8) 3 4 4 4 1 jest liczba Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 3 4 4 4

Bardziej szczegółowo

c Marcin Sydow Planarno± Grafy i Zastosowania Tw. Eulera 7: Planarno± Inne powierzchnie Dualno± Podsumowanie

c Marcin Sydow Planarno± Grafy i Zastosowania Tw. Eulera 7: Planarno± Inne powierzchnie Dualno± Podsumowanie 7: Spis zagadnie«twierdzenie Kuratowskiego Wªasno±ci planarno±ci Twierdzenie Eulera Grafy na innych powierzchniach Poj cie dualno±ci geometrycznej i abstrakcyjnej Graf Planarny Graf planarny to taki graf,

Bardziej szczegółowo

Podstawowepojęciateorii grafów

Podstawowepojęciateorii grafów 7 Podstawowepojęciateorii grafów Wiele sytuacji z»ycia codziennego mo»e by w wygodny sposób opisanych gracznie za pomoc rysunków skªadaj cych si ze zbioru punktów i linii ª cz cych pewne pary tych punktów.

Bardziej szczegółowo

Wykªad 1. Wprowadzenie do teorii grafów

Wykªad 1. Wprowadzenie do teorii grafów Wykªad 1. Wprowadzenie do teorii grafów 1 / 112 Literatura 1 W. Lipski; Kombinatoryka dla programistów. 2 T. Cormen, Ch. E. Leiserson, R. L. Rivest; Wprowadzenie do algorytmów. 3 K. A. Ross, Ch. R. B.

Bardziej szczegółowo

Grafy i Zastosowania. 11: Twierdzenia Minimaksowe. c Marcin Sydow. Wst p: Tw. Halla. Dualno± Zbiory niezale»ne. Skojarzenia c.d.

Grafy i Zastosowania. 11: Twierdzenia Minimaksowe. c Marcin Sydow. Wst p: Tw. Halla. Dualno± Zbiory niezale»ne. Skojarzenia c.d. 11: Twierdzenia Minimaksowe Spis zagadnie«wst p: Kojarzenie Maª»e«stw i i twierdzenia minimaksowe i pokrycia (Tw. Gallai) w grafach (tw. Berge'a) w grafach dwudzielnych (tw. Königa, ) Pokrycia macierzy

Bardziej szczegółowo

A.1. Asymptotyka bez notacji asymptotycznej. Przykªad A.1. Zbada zachowanie asymptotyczne liczb Fibonacciego. Pokaza,»e. F n = round ( 1 5 Φ n )

A.1. Asymptotyka bez notacji asymptotycznej. Przykªad A.1. Zbada zachowanie asymptotyczne liczb Fibonacciego. Pokaza,»e. F n = round ( 1 5 Φ n ) A Notacjaasymptotycza Badaj c du»e obiekty kombiatorycze cz sto ie jest koiecze pozaie dokªadej warto±ci okre±loej wielko±ci (szczególie gdy wzór dokªady jest skomplikoway), a jedyie jej warto± przybli»o,

Bardziej szczegółowo

3 Metody zliczania obiektów

3 Metody zliczania obiektów 3 Metody zliczaia obiektów Metoda bijektywa 3.1 Metoda bijektywa zliczaia obiektów kombiatoryczych polega a wskazaiu bijekcji pomi dzy badaym obiektem, a obiektem, którego ilo± elemetów jest am ju» zaa.

Bardziej szczegółowo

Kolorowanie punktów na pªaszczy¹nie, czyli kilka sªów o geometrii kombinatorycznej.

Kolorowanie punktów na pªaszczy¹nie, czyli kilka sªów o geometrii kombinatorycznej. Kolorowanie punktów na pªaszczy¹nie, czyli kilka sªów o geometrii kombinatorycznej. Paulina Michta V Liceum Ogólnoksztaªc ce im. Augusta Witkowskiego w Krakowie Opiekun: dr Jacek Dymel 2 1 Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

201. a 1 a 2 a 3...a n a 2 1 +a 2 2 +a a 2 n n a 4 1 +a 4 2 +a a 4 n n. a1 + a 2 + a a n 204.

201. a 1 a 2 a 3...a n a 2 1 +a 2 2 +a a 2 n n a 4 1 +a 4 2 +a a 4 n n. a1 + a 2 + a a n 204. Liczby rzeczywiste dodatie a 1, a 2, a 3,...a spełiają waruek a 1 +a 2 +a 3 +...+a =. Wpisać w kratkę zak lub i udowodić podaą ierówość bez korzystaia z gotowych twierdzeń (moża korzystać z wcześiejszych

Bardziej szczegółowo

Wykład 11. a, b G a b = b a,

Wykład 11. a, b G a b = b a, Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada

Bardziej szczegółowo

X WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne)

X WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne) X WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne) Zadanie 1 Obecnie u»ywane tablice rejestracyjne wydawane s od 1 maja 2000r. Numery rejestracyjne aut s tworzone ze zbioru

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1

JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1 J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)

Bardziej szczegółowo

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i = Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka

Bardziej szczegółowo

Biedronka. Wej±cie. Wyj±cie. Przykªady. VI OIG Zawody dru»ynowe, Finaª. 19 V 2012 Dost pna pami : 64 MB.

Biedronka. Wej±cie. Wyj±cie. Przykªady. VI OIG Zawody dru»ynowe, Finaª. 19 V 2012 Dost pna pami : 64 MB. Biedronka Pªot ma D cm dªugo±ci i zbudowany jest z desek zako«czonych trójk tami równoramiennymi, poª czonych ze sob w jedn caªo±. Dªugo± ramienia ka»dego z trójk tów stanowi P % dªugo±ci podstawy. Po

Bardziej szczegółowo

Wykªad 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona

Wykªad 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona Wykªad 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona 1 / 92 Grafy Eulera Droga i cykl Eulera Niech G b dzie grafem spójnym. Denicja Je»eli w grae G istnieje zamkni ta droga prosta zawieraj ca wszystkie kraw dzie

Bardziej szczegółowo

Wojewódzki Konkurs Matematyczny

Wojewódzki Konkurs Matematyczny sumaryczna liczba punktów (wypeªnia sprawdzaj cy) Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów 13 luty 2014 Czas 90 minut 1. Otrzymujesz do rozwi zania 10 zada«zamkni tych oraz 5 zada«otwartych.

Bardziej szczegółowo

Stereometria (geometria przestrzenna)

Stereometria (geometria przestrzenna) Stereometria (geometria przestrzenna) Wzajemne poªo»enie prostych w przestrzeni Stereometria jest dziaªem geometrii, którego przedmiotem bada«s bryªy przestrzenne oraz ich wªa±ciwo±ci. Na pocz tek omówimy

Bardziej szczegółowo

Wojewódzki Konkurs Matematyczny

Wojewódzki Konkurs Matematyczny Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów ETAP SZKOLNY 16 listopada 2012 Czas 90 minut Instrukcja dla Ucznia 1. Otrzymujesz do rozwi zania 10 zada«zamkni tych oraz 5 zada«otwartych. 2. Obok

Bardziej szczegółowo

Zadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone

Zadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone Zadaia z algebry liiowej - sem. I Liczby zespoloe Defiicja 1. Parę uporządkowaą liczb rzeczywistych x, y azywamy liczbą zespoloą i ozaczamy z = x, y. Zbiór wszystkich liczb zespoloych ozaczamy przez C

Bardziej szczegółowo

lim a n Cigi liczbowe i ich granice

lim a n Cigi liczbowe i ich granice Cigi liczbowe i ich graice Cigiem ieskoczoym azywamy dowol fukcj rzeczywist okrelo a zbiorze liczb aturalych. Dla wygody zapisu, zamiast a() bdziemy pisa a. Elemet a azywamy -tym wyrazem cigu. Cig (a )

Bardziej szczegółowo

Geometria. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne

Geometria. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne Geometria Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Dane s równania postych, w których zawarte s boki trójk ta ABC : 3x 4y + 36 = 0 x y = 0 4x + 3y + 23 = 0 1. Obliczy wspóªrz dne wierzchoªków

Bardziej szczegółowo

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb

Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

12: Znajdowanie najkrótszych ±cie»ek w grafach

12: Znajdowanie najkrótszych ±cie»ek w grafach 12: Znajdowanie najkrótszych ±cie»ek w grafach Spis zagadnie«problem najkrótszych ±cie»ek z jednym ¹ródªem Rozwi zanie sznurkowe kraw dzi Wariant 1: Wariant 2: nieujemne kraw dzie (Dijkstra) Wariant 3:

Bardziej szczegółowo

Grafy i Zastosowania. 9: Digrafy (grafy skierowane) c Marcin Sydow. Digrafy. Porz dki cz ±ciowe * Euler i Hamilton. Turnieje

Grafy i Zastosowania. 9: Digrafy (grafy skierowane) c Marcin Sydow. Digrafy. Porz dki cz ±ciowe * Euler i Hamilton. Turnieje 9: (grafy skierowane) Spis zagadnie«cz ±ciowe Przykªady: gªosowanie wi kszo±ciowe, Digraf (graf skierowany) Digraf to równowa»ny termin z terminem graf skierowany (od ang. directed graph). W grafach skierowanych

Bardziej szczegółowo

I. Podzielność liczb całkowitych

I. Podzielność liczb całkowitych I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc

Bardziej szczegółowo

Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki

Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki Wst p teoretyczny do wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki 1 Zadania na wiczenia nr 3 - Elementy kombinatoryki Zad. 1. Ile istnieje ró»nych liczb czterocyfrowych zakªadaj c,»e cyfry nie powtarzaj si a

Bardziej szczegółowo

ELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±

ELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno± ELEMENTARNA TEORIA LICZB IZABELA AGATA MALINOWSKA N = {1, 2,...} 1. Podzielno± Denicja 1.1. Niepusty podzbiór A zbioru liczb naturalnych jest ograniczony, je»eli istnieje taka liczba naturalna n 0,»e m

Bardziej szczegółowo

Zadania z PM II A. Strojnowski str. 1. Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria 2

Zadania z PM II A. Strojnowski str. 1. Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria 2 Zadania z PM II 010-011 A. Strojnowski str. 1 Zadania przygotowawcze z Podstaw Matematyki seria Zadanie 1 Niech A = {1,, 3, 4} za± T A A b dzie relacj okre±lon wzorem: (a, b) T, gdy n N a n = b. a) Ile

Bardziej szczegółowo

5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Notatki do lekcji, klasa matematycza Mariusz Kawecki, II LO w Chełmie 5. Zasada idukcji matematyczej. Dowody idukcyje. W rozdziale sformułowaliśmy dla liczb aturalych zasadę miimum. Bezpośredią kosekwecją

Bardziej szczegółowo

Zadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II.

Zadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II. Zadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II. Poni»sze zadania s wyborem zada«z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki jakie przeprowadziªem w ci gu ostatnich lat. Marek Zawadowski Zadanie 1 Napisz

Bardziej szczegółowo

Hotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego

Hotel Hilberta. Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci. Marcin Kysiak. Festiwal Nauki, 20.09.2011. Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Zdumiewaj cy ±wiat niesko«czono±ci Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Festiwal Nauki, 20.09.2011 Nasze do±wiadczenia hotelowe Fakt oczywisty Hotel nie przyjmie nowych go±ci, je»eli wszystkie

Bardziej szczegółowo

Teoria grafów i sieci 1 / 188

Teoria grafów i sieci 1 / 188 Teoria grafów i sieci / Drzewa z wagami Drzewem z wagami nazywamy drzewo z korzeniem, w którym do ka»dego li±cia przyporz dkowana jest liczba nieujemna, nazywana wag tego li±cia. / Drzewa z wagami Drzewem

Bardziej szczegółowo

3. Funkcje elementarne

3. Funkcje elementarne 3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących

Bardziej szczegółowo

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem 9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3

Bardziej szczegółowo

Podstawy matematyki nansowej

Podstawy matematyki nansowej Podstawy matematyki asowej Omówimy tutaj odstawowe oj cia matematyki asowej. Jest to dobre miejsce, gdy» zagadieia te wi» si z ci gami, w szczególo±ci z ci giem arytmetyczym i geometryczym. Omówimy zagadieie

Bardziej szczegółowo

MACIERZE STOCHASTYCZNE

MACIERZE STOCHASTYCZNE MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:

Bardziej szczegółowo

TEORIA GRAFÓW. Graf skierowany dla ka»dej kraw dzi (oznaczanej tutaj jako ªuk) para wierzchoªków incydentnych jest par uporz dkowan {u, v}.

TEORIA GRAFÓW. Graf skierowany dla ka»dej kraw dzi (oznaczanej tutaj jako ªuk) para wierzchoªków incydentnych jest par uporz dkowan {u, v}. Podstawowe denicje: TEORIA GRAFÓW Graf (nieskierowany) G = (V, E) struktura skªadaj ca si ze: zbioru wierzchoªków V = {,,..., v n } oraz zbioru kraw dzi E = {e 1, e 2,..., e m }. Z ka»d kraw dzi e skojarzona

Bardziej szczegółowo

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy

Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy Klucz odpowiedzi do zadań zamkiętych oraz schematy oceiaia zadań otwartych Matematyka CZERWIEC 0 Schemat oceiaia Klucz puktowaia zadań zamkiętych Nr zad Odp 5 6 8 9 0 5 6 8 9 0 5 6 B C C B C C A A B B

Bardziej szczegółowo

Wektory w przestrzeni

Wektory w przestrzeni Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14

WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14 WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 203/4 Spis tre±ci Kodowanie i dekodowanie 4. Kodowanie a szyfrowanie..................... 4.2 Podstawowe poj cia........................

Bardziej szczegółowo

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.

Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne. Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,

Bardziej szczegółowo

Grafy. 3. G = (V, E ) jest podgrafem G = (V, G), je±li V V i E E. 4. G = (V, G) jest sum grafów G = (V, E ), G = (V, E ), je±li V = V V, E = E E.

Grafy. 3. G = (V, E ) jest podgrafem G = (V, G), je±li V V i E E. 4. G = (V, G) jest sum grafów G = (V, E ), G = (V, E ), je±li V = V V, E = E E. Grafy 1. Denicja. Graf jest par G = (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchoªków, a E zbiorem kraw dzi. Kraw dzie s nieuporz dkowanymi parami wierzchoªków lub parami uporz dkowanymi (mówimy wtedy o grafach

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17 Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo

Bardziej szczegółowo

Grafy i Zastosowania. 1: Wprowadzenie i poj cia podstawowe. c Marcin Sydow. Wprowadzenie. Podstawowe poj cia. Operacje na grafach.

Grafy i Zastosowania. 1: Wprowadzenie i poj cia podstawowe. c Marcin Sydow. Wprowadzenie. Podstawowe poj cia. Operacje na grafach. 1: i podstawowe Spis Zagadnie«zastosowania grafów denicja grafu (i skierowanego), prostego, multigrafu s siedztwo i incydencja izomorzm grafów stopnie wierzchoªków (w tym wej±ciowy i wyj±ciowy), lemat

Bardziej szczegółowo

Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005

Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005 Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 1 Notatki do wykªadu Mateusz Kwa±nicki

Analiza matematyczna 1 Notatki do wykªadu Mateusz Kwa±nicki Aaliza matematycza 1 Notatki do wykªadu Mateusz Kwa±icki 1 Idukcja matematycza Przykªad 1. Pewego popoªudia Kubu± Puchatek kupiª pust beczk, która mie±ci 20 sªoików miodu, i wlaª do iej wszystkie swoje

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna I.1

Analiza Matematyczna I.1 Aalza Matematycza I. Sera, Potr Nayar Zadae. Nech a k >, k =,..., b d lczbam rzeczywstym o tym samym zaku. Udowodj,»e prawdzwa jest erówo± + a + a... + a + a + a +... + a. Czy zaªo»ee,»e lczby a k maj

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne

Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne Šukasz Dawidowski Nocne powtórki maturalne 28 kwietnia 2014 r. Troch teorii Funkcj f : R R dan wzorem: f (x) = ax 2 + bx + c gdzie a 0 nazywamy funkcj

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. Robert Rałowski

Analiza matematyczna. Robert Rałowski Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................

Bardziej szczegółowo

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15 ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11

RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11 RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD Szeregi potęgowe Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C jeżeli jest -krotie różiczkowala i jej -ta pochoda jest fukcją ciągłą. Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C, jeżeli jest

Bardziej szczegółowo

Minimalne drzewa rozpinaj ce

Minimalne drzewa rozpinaj ce y i y i drzewa Spis zagadnie«y i drzewa i lasy cykle fundamentalne i rozci cia fundamentalne wªasno±ci cykli i rozci minimalne drzewa algorytm algorytm Drzewo y i spójnego, nieskierowanego grafu prostego

Bardziej szczegółowo

Algorytmy i Struktury Danych

Algorytmy i Struktury Danych Lista zada«. Nr 4. 9 kwietnia 2016 IIUWr. II rok informatyki. Algorytmy i Struktury Danych 1. (0pkt) Rozwi» wszystkie zadania dodatkowe. 2. (1pkt) Uªó» algorytm znajduj cy najta«sz drog przej±cia przez

Bardziej szczegółowo