Nieklasyczne modele kolorowania grafów
|
|
- Julian Skiba
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 65 Nieklasycze modele kolorowaia grafów
2 66 Kolorowaie sprawiedliwe Def. Jeli wierzchołki grafu G moa podzieli a k takich zbiorów iezaleych C,...,C k, e C i C j dla wszystkich i,j,...,k, to mówimy, e G jest sprawiedliwie k-kolorowaly. Najmiejsza liczba k, dla której graf G jest sprawiedliwie k-kolorowaly jest sprawiedliw liczb chromatycz grafu i ozaczamy j symbolem χ (G). Uwaga: Prawdziwe jest oszacowaie χ(g) χ (G), gdy kade sprawiedliwe pokolorowaie jest jedoczeie pokolorowaiem klasyczym. Przykład: Róica χ (G) χ(g) moe by dowolie dua przykładem s grafy S.
3 67 Kolorowaie sprawiedliwe Tw. Dla dowolego grafu G zachodzi χ (G) (G) +. Tw. Prawdziwe jest oszacowaie dole ( G), ( G ( N( v) { v})) χ α + gdzie α(g) jest liczb stabiloci grafu (moc ajlicziejszego zbioru iezaleego w G) atomiast v jest dowolym wierzchołkiem grafu G. Dowód: liczba wierzchołków zaetykietowaa kolorem przydzieloym v ie przekracza α(g (N(v) {v}))+, skoro chcemy otrzyma pokolorowaie sprawiedliwe, to kroto kadego iego koloru ie przekracza α(g (N(v) {v}))+.
4 68 Kolorowaie sprawiedliwe Tw. Wzory a sprawiedliw liczb chromatycz w przypadku podstawowych klas grafów: χ ( Q ) χ ( K, ) + / χ ( ) + W χ ( C ) k + χ ( C ) k ( ) / Tw. χ ( K r r ) ( K r,..., r ). 3,..., s s Wiosek χ ( K r s ),..., wszystkich i,j. r s wtedy i tylko wtedy, gdy r i r j dla
5 69 Kolorowaie sprawiedliwe Tw. Niech G bdzie grafem dwudzielym o wierzchołkach. Jeli G składa si z r składowych i r /k dla pewej liczby aturalej k, to G jest sprawiedliwie k-kolorowaly. Dowód: załómy, e G jest sum grafów dwudzielych (V U,E ),..., (V r U r,e r ), porzdkujemy wierzchołki ustawiajc je w cig V,...,V r,u,...,u r, przy czym w obrbie kadego ze zbiorów wierzchołki s posortowae dowolie, dzielimy te cig a segmety o rozmiarach /k, ( )/k,..., ( k + )/k, kady z tych segmetów jest zbiorem iezaleym, gdy w przeciwym razie istieje segmet S taki, e S obejmuje r podzbiorów (V i,u i ) wraz z dodatkowym wierzchołkiem, co ozacza /k r + + /k > /k sprz, Tw. Jeli G jest sum sprawiedliwie k-kolorowalych grafów, to G jest sprawiedliwie k-kolorowaly.
6 70 Kolorowaie sumacyje Def. Niech c bdzie wierzchołkowym pokolorowaiem grafu G. Sum chromatycz (wierzchołkow) grafu G azywamy liczb gdzie ( G) mi ( G, c), ( G, c) c v V ( G) c( v). Pokolorowaiem optymalym jest kade takie pokolorowaie c, e ( G) ( G, c). Przez c max ozaczamy ajwyszy kolor uyty przez pokolorowaie c, atomiast s(g) jest miimal liczb kolorów uytych przez pokolorowaie optymale. Jak poprzedio, C i ozacza zbiór iezaley zawierajcy wierzchołki o kolorze i (w pokolorowaiu c).
7 7 Kolorowaie sumacyje Tw. Dla dowolego optymalego pokolorowaia c zachodzi C C... Cc. max Dowód: Przypumy, e C i < C j dla i < j. Jeli wierzchołki alece do zbioru C i otrzymaj kolor j oraz wierzchołki alece do C j otrzymaj kolor i, to otrzymae pokolorowaie jest poprawe oraz jego suma jest miejsza o (j i)( C j C i ) > 0 od sumy pokolorowaia wyjciowego. Sprzeczo. Tw. Dla dowolego optymalego pokolorowaia c zachodzi i< j v C j u C i { u, v} E( G). Dowód: Gdyby pewie wierzchołek v ze zbioru C j ie był połczoy z adym wierzchołkiem z pewego zbioru C i dla i < j, to v moe otrzyma kolor i. Sprzeczo.
8 7 Kolorowaie sumacyje Tw. Dla grafu G zachodz oszacowaia: () () ( + ) ( G) ( G) + m Dowód: () wyika z faktu, e kolory maj wartoci ie miejsze i oraz suma jest ajwiksza jeli wszystkie kolory s parami róe. () Z poprzediego twierdzeia wyika, e liczba krawdzi łczcych wierzchołki z C j, j > z wierzchołkami z C... C j wyosi co ajmiej C j (j ). Zatem ( G, c) C + C j ( j ) + C j> + m
9 73 Kolorowaie sumacyje Tw. Prawdziwe s astpujce wzory a sum chromatycz: gdzie C r,s jest komet z r promieiami i warkoczem długoci s., / 3 ) ( (6) ) ( ) ( (5) }, mi{ ) ( (4) parzyste 4,gdy / 3 ieparzyste,gdy ) / 3( ) ( (3) / 3 ) ( () / 3 ) ( (),, r s C K s r s r K W C P s r s r
10 74 Kolorowaie zwarte Def. Podzbiór A liczb aturalych azywamy przedziałem jeli zawiera wszystkie liczby pomidzy mia oraz maxa. Def. Niech G bdzie dowolym grafem. Fukcja odwzorowujca zbiór krawdzi grafu w zbiór liczb aturalych jest pokolorowaiem zwartym jeli ssiedie krawdzie otrzymuj róe kolory oraz dla kadego wierzchołka v, zbiór kolorów przydzieloych krawdziom icydetym do v jest przedziałem. Przykład Zwarte 4 pokolorowaie drzewa
11 75 Kolorowaie zwarte Tw. Grafy dajce si pokolorowa w sposób zwarty s grafami klasy. Dowód: Niech c bdzie zwartym pokolorowaiem grafu G. Defiiujemy fukcj g: E {0,..., } astpujco: g(e) c(e) mod dla kadej krawdzi e. Tak okreloa fukcja g jest pokolorowaiem krawdzi grafu, poiewa zbiór kolorów przydzieloych krawdziom icydetym do wolego wierzchołka v jest przedziałem o mocy ie wikszej i. Przykład: Implikacja odwrota ie jest prawdziwa:
12 76 Iloczy kartezjaski grafów Def. Niech bd dae grafy G (V, E ), G (V, E ). Iloczy kartezjaski G G to graf o zbiorze wierzchołków V V i zbiorze krawdzi E( G G ) {{( v ( v, v ),( u u, u { v )}: ( v, u u } E Przykład: Wyzaczmy graf C 4 P 3. d a c b u v w )}. { v (d,u) (d,v) (d,w), u (a,u) } E (a,v) (a,w) ) (c,u) (c,v) (c,w) (b,u) (b,v) (b,w)
13 77 Kolorowaie zwarte Tw. Załómy, e grafy G (V, E ), G (V, E ) maj zwarte pokolorowaia c oraz c, zuywajce odpowiedio r i r kolorów. Wówczas G G moa pokolorowa zwarcie za pomoc r + r kolorów. Dowód: Dla dowolego wierzchołka v j V i, i, defiiujemy liczby: mic i (v i ) mi{ c({v,u}): {v,u} E i }, maxc i (v i ) max{ c({v,u}): {v,u} E i }. Okrelamy pokolorowaie grafu G G defiiujc kolor dla kadej krawdzi: krawd postaci {(v,u),(w,u)}, gdzie {v,w} E otrzymuje kolor c ({v,w})+mic (u), krawd postaci {(v,u),(v,w)}, gdzie {u,w} E otrzymuje kolor c ({u,w})+maxc (v)+. Krawdzie pierwszego typu otrzymuj parami róe kolory tworzce przedział {mic (v)+mic (u),..., maxc (v)+mic (u)}. Krawdzie drugiego typu otrzymuj parami róe kolory tworzce przedział {mic (u)+maxc (v)+,..., maxc (u)+maxc (v)+}.
14 78 Kolorowaie uporzdkowae Def. Fukcja c: V(G) {0,...,k} jest uporzdkowaym k-pokolorowaiem wierzchołków grafu G, jeli kada cieka łczca wierzchołki u,v takie, e c(u) c(v) zawiera wierzchołek w o kolorze c(w) > c(u). Najmiejsz liczb k, dla której istieje uporzdkowae k-pokolorowaie grafu G azywamy uporzdkowa liczb chromatycz grafu G i ozaczamy symbolem χ r (G). Uporzdkowae kolorowaie krawdzi grafu to kolorowaie wierzchołków grafu krawdziowego.uporzdkoway ideks chromatyczy (ajmiejsze k, dla którego istieje pokolorowaie krawdzi za pomoc k kolorów) ozaczamy ' symbolem ( G). χ r Fakt. Jeli G jest grafem spójym, to w kadym jego uporzdkowaym k- pokolorowaiu kolor k jest uyty jedokrotie.
15 79 Kolorowaie uporzdkowae Przykład: Optymale (uywajce miimal liczb kolorów) pokolorowaia grafu Petersea. ( a ) 5 ( b) Lemat Zbiór kolorów S uytych jedokrotie w uporzdkowaym pokolorowaiu grafu G staowi jego separator lub S V(G). Wiosek Jeli G K, to powyszy zbiór S jest separatorem.
16 80 Kolorowaie uporzdkowae Tw. Jeli G K, to zachodzi wzór χ ( G) mi { S + max{ χ( G ),..., χ( G S Sep( G) )}}, gdzie Sep(G) jest zbiorem wszystkich miimalych separatorów grafu G (przez separator miimaly S rozumiemy taki, e ade właciwy podzbiór S ie jest separatorem w G) oraz G,...,G j s składowymi spójoci grafu G S. Dowód: wiemy, e zbiór jedokrotie uytych kolorów staowi separator S, jeli istieje wierzchołek v w S taki, e S \{v} jest separatorem w G, to usuwamy v z S, powyszy krok powtarzamy, a dla kadego v S mamy, e S \{v} ie jest separatorem, co ozacza, e separator S jest miimaly, uwzgldiajc, e χ r (K ) oraz korzystajc z powyszych faktów moa twierdzeie dowie idukcyjie wzgldem. j
17 8 Kolorowaie uporzdkowae Tw. Zachodz astpujce wzory: χ( K χ( C χ( W χ( P r,..., r gdzie T jest drzewem. Tw. χ r (P P ). s ) ) ) ) χ( T ) log log log ( ) ( ) max{ r +,,..., r log +, +, + 3, s } +, Wiosek Istiej grafy plaare dla których χ r.
18 8 Kolorowaie cieek Def. cieki P, P azywamy kolidujcymi w G, jeli zawieraj wspól krawd. Def. Niech G bdzie grafem prostym, atomiast P pewym zbiorem (multizbiorem) cieek w G. Przyporzdkowaie ciekom w P liczb aturalych,...,k azywamy k-pokolorowaiem zbioru P, o ile dowole dwie kolidujce cieki otrzymuj róe barwy. Def. Jeli G jest grafem oraz P zbiorem cieek w G, to grafem kofliktów jest graf, którego wierzchołki odpowiadaj ciekom w P. Dwa wierzchołki w grafie kofliktów s ssiedie, jeli odpowiadajce im cieki s kolidujce. Uwaga Problem optymalego (uywajcego miimalej liczby kolorów) pokolorowaia zbioru P jest rówoway problemowi optymalego kolorowaia wierzchołków grafu kofliktów.
19 83 Kolorowaie cieek Def. Jeli G jest grafem, a P zbiorem cieek w G, to χ G (P) jest ajmiejsz liczb atural k, dla której istieje k-pokolorowaie zbioru P. Def. Dla G oraz P defiiujemy obcieie krawdzi e jako liczbcieek zawierajcych e i ozaczamy symbolem L G (e,p). Obcieiem L G (P) zbioru P defiiujemy astpujco: L ( P) max{ L ( e, P)}. Lemat χ G (P) L(P). e E ( G) Przykład: Graf S 4 ({a,b,c,d}, {{a,b},{a,c},{a,d}}) oraz zbiór P { b-a-c, b-a-d, c-a-d } to przykład, gdy powysza ierówo jest ostra. Uwaga: Powysze pojcia moa w aturaly sposób uogóli a przypadek digrafów. G G
20 84 Kolorowaie cieek Def. Zgłoszeiem a grafie G azywamy dowol uporzdkowa par wierzchołków (u,v). W przypadku grafów ieskierowaych zgłoszeia (u,v) oraz (v,u) s tosame. Def. Niech R bdzie zbiorem zgłosze a grafie G. Routig zbioru R polega a wyborze takiego zbioru cieek P R, e kada cieka z P R realizuje jedo zgłoszeie z R, oraz zalezieiu optymalego pokolorowaia tego zbioru cieek. Defiiujemy χ( R) L( R) gdzie mi s liczoe po wszystkich moliwych zbiorach realizujcych R. Problem routigu polega a miimalizacji χ(r). Uwaga χ(r) L(R). mi{ χ( P P R mi{ L( P P R R )} liczba chromatycza, R )} obciazeie,
21 85 Kolorowaie cieek Uwaga Problem routigu dla digrafów defiiujemy aalogiczie. Kolejo wierzchołków w zgłoszeiu jest w tym przypadku istota. Def. Dla digrafu D (V, A) defiiujemy graf prosty G(D) (V, E): {u,v} E ( (u,v) A lub (v,u) A ). Tw. Dla dowolego digrafu D zachodzi L D (R) L G(D) (R) L D (R). Przykład: Lewa ierówo jest osigaa dla gwiazdy S 4 ({a,b,c,d}, {{a,b},{a,c},{a,d}}) digrafu D 4, gdzie A {(a,b), (a,c), (a,d), (b,a), (c,a), (d,a)} oraz zbioru zgłosze R {(b,c), (c,d), (d,b)}. Tw. χ D ( R) χ G ( D) ( R). Tw. Jeli G,R,P to, odpowiedio, graf, zbiór zgłosze oraz zbiór cieek, to χ ( R) G χ ( R) G E( G) L( R), ( L( P) ) l +, gdzie l to maksymala długocieki w P.
22 86 Kolorowaie cieek Tw. Jeli G jest drog, to dla dowolego zbioru cieek P zachodzi rówo χ(p) L(P). Wiosek Istieje wielomiaowy algorytm rozwizujcy problem kolorowaia cieek w przypadku gdy G jest ciek. Tw. Niech G bdzie grafem prostym. Rówo χ(p) L(P) jest spełioa dla dowolego zbioru cieek w G wtedy i tylko wtedy, gdy G jest drog. Tw. Jeli G jest cyklem, to dla dowolego zbioru zgłosze R zachodzi χ(r) L(R). Wiosek Dla zadaego zbioru cieek w cyklu C istieje wielomiaowy -przyblioy algorytm kolorowaia zbioru cieek P.
23 Wybrae zastosowaia 87
24 88 Kolorowaie cieek sieci optycze pojedycze włóko przeosi sygały o róych długociach fal, wic jedo połczeie pomidzy wzłami umoliwia przesłaie wielu strumiei daych, długo fali dla daego pakietu daych jest ustalaa przed trasmisj, pakiety daych oczekujce a trasmisj wysyłaj zgłoszeia i rozwizyway jest problem routigu, kolory cieek długoci fal Uogólieia: stosukowo iewielkim kosztem moa dokoa zmiay długoci fali w wle poredim, wic róe fragmety cieki mog otrzymywa róe kolory, jeli istieje kilka połcze pomidzy par wzłów, to w ograiczoym zakresie pozwalamy a uycie tej samej barwy dla kilku kolidujcych cieek,
25 89 Kolorowaie sumacyje szeregowaie zada daych jest zada J,...,J, kade zadaie wymaga dostpu do podzbioru zasobów M,...,M, czasy wykoywaia zada s jedostkowe, przez koflikt rozumiemy sytuacj, w której dwa zadaia J i,j j wykouj si w tym samym czasie i wymagaj dostpu do wspólego zasobu, tz. M i M j, dymy do zalezieia takiego harmoogramu, aby ie wystpowały koflikty oraz redi czas oczekiwaia zadaia a wykoaie był miimaly, tworzymy graf kofliktów, którego wierzchołki odpowiadaj zadaiom oraz pomidzy wierzchołkami J i,j j istieje krawd, o ile M i M j, zajdujemy optymale sumacyje pokolorowaie c grafu kofliktów; wówczas zadaie J i wykoywae jest w przedziale czasu [c(j i ), c(j i )],
26 90 Kolorowaie uporzdkowae relacyje bazy daych dae jest zapytaie do relacyjej bazy daych, zamierzamy uszeregowa złczeia poszczególych relacji w taki sposób, e w daej turze (przedziale czasowym) moa wykoa dwie operacje złczeia relacji, jeli ada relacja ie uczesticzy w obu złczeiach, miimalizujemy liczb tur potrzebych a złczeie wszystkich relacji ( czas potrzeby a wykoaie zapytaia), w tym celu tworzymy graf G (ag. qurey graph), którego wierzchołki odpowiadaj relacjom oraz krawdzie operacjom złczeia, zajdujemy drzewo spiajce T grafu G, którego uporzdkoway ideks chromatyczy jest miimaly, kolorujemy T w sposób uporzdkoway, wówczas kolor przydzieloy krawdzi ozacza tur, w której aley wykoa odpowiadajce jej złczeie tabel; std, liczba kolorów jest rówa liczbie tur,
Wstp. Warto przepływu to
177 Maksymalny przepływ Załoenia: sie przepływow (np. przepływ cieczy, prdu, danych w sieci itp.) bdziemy modelowa za pomoc grafów skierowanych łuki grafu odpowiadaj kanałom wierzchołki to miejsca połcze
Bardziej szczegółowoSkojarzenia. Najliczniejsze skojarzenia: Dokładne skojarzenia o maksymalnej sumie wag w obcionych pełnych grafach dwudzielnych.
206 Skojarzenia Najliczniejsze skojarzenia: grafy proste dwudzielne, dowolne grafy proste. Dokładne skojarzenia o maksymalnej sumie wag w obcionych pełnych grafach dwudzielnych. 207 Definicje Def Zbiór
Bardziej szczegółowo1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy. 2) Problem chiskiego listonosza
165 1) Grafy eulerowskie własnoci algorytmy 2) Problem chiskiego listonosza 166 Grafy eulerowskie Def. Graf (multigraf, niekoniecznie spójny) jest grafem eulerowskim, jeli zawiera cykl zawierajcy wszystkie
Bardziej szczegółowolim a n Cigi liczbowe i ich granice
Cigi liczbowe i ich graice Cigiem ieskoczoym azywamy dowol fukcj rzeczywist okrelo a zbiorze liczb aturalych. Dla wygody zapisu, zamiast a() bdziemy pisa a. Elemet a azywamy -tym wyrazem cigu. Cig (a )
Bardziej szczegółowoO liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Bardziej szczegółowoSzukanie najkrótszych dróg z jednym ródłem
Szukanie najkrótszych dróg z jednym ródłem Algorytm Dijkstry Załoenia: dany jest spójny graf prosty G z wagami na krawdziach waga w(e) dla kadej krawdzi e jest nieujemna dany jest wyróniony wierzchołek
Bardziej szczegółowoRównoliczno zbiorów. Definicja 3.1 Powiemy, e niepuste zbiory A i B s równoliczne jeeli istnieje. Piszemy wówczas A~B. Przyjmujemy dodatkowo, e ~.
16 Rówoliczo zbiorów Defiicja 3.1 Powiemy, e iepuste zbiory A i B s rówolicze jeeli istieje f : A B. Piszemy wówczas A~B. Przyjmujemy dodatkowo, e ~. Twierdzeie 3.1 (podstawowa właso rówoliczoci zbiorów)
Bardziej szczegółowoAnaliza algorytmów to dział informatyki zajmujcy si szukaniem najefektywniejszych, poprawnych algorytmów dla danych problemów komputerowych.
Temat: Poprawo całkowita i czciowa algorytmu. Złooo obliczeiowa algorytmu. Złooo czasowa redia i pesymistycza. Rzd fukcji. I. Literatura 1. A. V. Aho, J.E. Hopcroft, J. D. Ullma - Projektowaie i aaliza
Bardziej szczegółowoKolorowanie wierzchołków
240 Kolorowanie wierzchołków Def. Niech G bdzie grafem prostym. Przez kolorowanie wierzchołków rozumiemy takie etykietowanie elementów V(G) liczbami naturalnymi, e ssiednie wierzchołki otrzymuj róne liczby
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna 1 Notatki do wykªadu Mateusz Kwa±nicki. 7 Sumy i iloczyny uogólnione
Aaliza matematycza Notatki do wykªadu Mateusz Kwa±icki 7 Sumy i iloczyy uogólioe Dla dowolych liczb a k, a k+, a k+,..., a l okre±lamy sum uogólio i iloczy uogólioy: a k + a k+ + a k+ +... + a l, l a k
Bardziej szczegółowoAnaliza algorytmów to dział informatyki zajmujcy si szukaniem najefektywniejszych, poprawnych algorytmów dla danych problemów komputerowych
Temat: Poprawo całkowita i czciowa algorytmu. Złooo obliczeiowa algorytmu. Złooo czasowa redia i pesymistycza. Rzd fukcji. I. Literatura 1. L. Baachowski, K. Diks, W. Rytter Algorytmy i struktury daych.
Bardziej szczegółowoWykªad 2. Szeregi liczbowe.
Wykªad jest prowadzoy w oparciu o podr czik Aaliza matematycza 2. Deicje, twierdzeia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 2. Szeregi liczbowe. Deicje i podstawowe twierdzeia Deicja Szeregiem liczbowym
Bardziej szczegółowoKolorowanie wierzchołków grafu
Kolorowanie wierzchołków grafu Niech G będzie grafem prostym. Przez k-kolorowanie właściwe wierzchołków grafu G rozumiemy takie przyporządkowanie wierzchołkom grafu liczb naturalnych ze zbioru {1,...,
Bardziej szczegółowoCiągi liczbowe wykład 3
Ciągi liczbowe wykład 3 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy, r akad 204/205 Defiicja ciągu liczbowego) Ciagiem liczbowym azywamy fukcję odwzorowuja- ca zbiór liczb aturalych w zbiór liczb rzeczywistych
Bardziej szczegółowoTeoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka
Bardziej szczegółowoFunkcje tworz ce skrypt do zada«
Fukcje tworz ce skrypt do zada«mateusz Rapicki, Piotr Suwara 20 maja 2012 1 Kombiatoryka Deicja 1 (dwumia Newtoa) dla liczb caªkowitych ieujemych, k to liczba k sposobów wybraia k elemetów z -elemetowego
Bardziej szczegółowoTemat: Struktury danych do reprezentacji grafów. Wybrane algorytmy grafowe.
Temat: Struktury danych do reprezentacji grafów. Wybrane algorytmy grafowe. Oznaczenia G = V, E - graf bez wag, gdzie V - zbiór wierzchołków, E- zbiór krawdzi V = n - liczba wierzchołków grafu G E = m
Bardziej szczegółowoStwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).
Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic
Bardziej szczegółowoInternetowe Kółko Matematyczne 2004/2005
Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,
Bardziej szczegółowo1. Granica funkcji w punkcie
Graica ukcji w pukcie Deiicja Sąsiedztwem o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r ( a a Deiicja Sąsiedztwem lewostroym o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r Deiicja Sąsiedztwem
Bardziej szczegółowoKLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY
KLUCZ ODPOWIEDZI I ZASADY PUNKTOWANIA PRÓBNEGO EGZAMINU MATURALNEGO Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Nr zadaia Odpowiedzi Pukty Badae umiejtoci Obszar stadardu 1. B 0 1 plauje i wykouje obliczeia a liczbach
Bardziej szczegółowo2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1
Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.
Bardziej szczegółowoEgzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania
zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia
Bardziej szczegółowoZad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA. W obu podpunktach zakªadamy,»e kolejno± ta«ców jest wa»na.
Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zadanko 1 (12p.) Na imprezie w Noc Kupaªy s 44 dziewczyny. Nosz one 11 ró»nych imion, a dla ka»dego imienia s dokªadnie 4 dziewczyny o tym imieniu przy czym ka»da
Bardziej szczegółowoZbiory. Zadanie 5. Wykaza to»samo±ci (a) A (B \ C) = [(A B) \ C] (A C), (b) A \ [B \ (C \ D)] = (A \ B) [(A C) \ D],
x FAQ ANALIZA R c ZADANIA Zbiory Zadaie 1. Opisa zbiory A B, A B, A \ B, B \ A je±li A = {x R : x 3x < 0, }; B = {x R : x 3x + 4 0} Zadaie. Niech A, B, C, D b d podzbiorami przestrzei X. Udowodi,»e A \
Bardziej szczegółowoPrzykład Zbiór {0, 2} jest podgrup grupy Z 4, bo elementem odwrotnym do liczby 2 jest ta sama liczba ((2 + 2)mod4 = 0).
Uzuełieia do rozdz. I Zbiór izometrii rzekształcajcych day rostokt ABCD, który ie jest kwadratem a siebie z działaiem składaia rzekształce jest gru abelow. Zbiór rozatrywaych izometrii składa si z elemetów:
Bardziej szczegółowoTemat: Problem minimalnego drzewa Steinera. Definicja problemu. Zastosowania. Algorytm dokładny Hakimi. Algorytmy aproksymacyjne.
Temat: Problem minimalnego drzewa Steinera. Definicja problemu. Zastosowania. Algorytm dokładny Hakimi. Algorytmy aproksymacyjne. 1. Definicja problemu Wejcie: Graf spójny niezorientowany G =
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.
Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe
Bardziej szczegółowo3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe.
3 Arytmetyka. 3.1 Zbiory liczbowe. Bóg stworzył liczby aturale, wszystko ie jest dziełem człowieka. Leopold Kroecker Ozaczeia: zbiór liczb aturalych: N = {1, 2,...} zbiór liczb całkowitych ieujemych: N
Bardziej szczegółowoKolorowanie wierzchołków Kolorowanie krawędzi Kolorowanie regionów i map. Wykład 8. Kolorowanie
Wykład 8. Kolorowanie 1 / 62 Kolorowanie wierzchołków - definicja Zbiory niezależne Niech G będzie grafem bez pętli. Definicja Mówimy, że G jest grafem k kolorowalnym, jeśli każdemu wierzchołkowi możemy
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. Robert Rałowski
Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ 2011 POZIOM ROZSZERZONY WYBRANE: CZĘŚĆ I. Czas pracy: 90 minut. Liczba punktów do uzyskania: 20 WPISUJE ZDAJĄCY
Cetrala Komisja Egzamiacyja Arkusz zawiera iformacje prawie chroioe do mometu rozpoczęcia egzamiu. Układ graficzy CKE 2010 KOD WISUJE ZDAJĄCY ESEL Miejsce a aklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY Z INORMATYKI
Bardziej szczegółowoSPÓJNOŚĆ. ,...v k. }, E={v 1. v k. i v k. ,...,v k-1. }. Wierzchołki v 1. v 2. to końce ścieżki.
SPÓJNOŚĆ Graf jest spójny, gdy dla każdego podziału V na dwa rozłączne podzbiory A i B istnieje krawędź z A do B. Definicja równoważna: Graf jest spójny, gdy każde dwa wierzchołki są połączone ścieżką
Bardziej szczegółowoWykªad 05 (granice c.d., przykªady) Rozpoczniemy od podania kilku przykªadów obliczania granic ci gów. n an = + dla a > 1. (5.1) lim.
Wykªad 05 graice cd, przykªady Rozpocziemy od podaia kilku przykªadów obliczaia graic ci gów Niech a > Ozaczmy a = c > 0 Mamy Poiewa» c = +, wi c tak»e a = + c + c c a = + dla a > 5 Poadto, zauwa»amy,»e
Bardziej szczegółowo5. Zasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Notatki do lekcji, klasa matematycza Mariusz Kawecki, II LO w Chełmie 5. Zasada idukcji matematyczej. Dowody idukcyje. W rozdziale sformułowaliśmy dla liczb aturalych zasadę miimum. Bezpośredią kosekwecją
Bardziej szczegółowoI. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
Bardziej szczegółowoTemat: Problem najkrótszych cieek w grafach waonych, cz. I: Algorytmy typu label - setting.
Temat: Problem najkrótszych cieek w grafach waonych, cz. I: Algorytmy typu label - setting.. Oznaczenia i załoenia Oznaczenia G = - graf skierowany z funkcj wagi s wierzchołek ródłowy t wierzchołek
Bardziej szczegółowooraz spełnia warunki: (*) dla wszystkich wierzchołków
Temat: Problem najtaszego przepływu. Definicja problemu, przykład zastosowania. Algorytm Kleina. Algorytm Busackera Gowena. 1. Definicja problemu najtaszego przepływu Wejcie: Graf zorientowany G =
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ 2012 POZIOM PODSTAWOWY CZĘŚĆ I WYBRANE: Czas pracy: 75 minut. Liczba punktów do uzyskania: 20 WPISUJE ZDAJĄCY
Cetrala Komisja Egzamiacyja Arkusz zawiera iformacje prawie chroioe do mometu rozpoczęcia egzamiu. Układ graficzy CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce a aklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI
Bardziej szczegółowoI. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n
I. Ciągi liczbowe Defiicja 1. Fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych o wartościach rzeczywistych azywamy ciągiem liczbowym. Ciągi będziemy ozaczać symbolem a ), gdzie a ozacza -ty wyraz ciągu a ). Defiicja.
Bardziej szczegółowoCiągi i szeregi liczbowe. Ciągi nieskończone.
Ciągi i szeregi liczbowe W zbiorze liczb X jest określoa pewa fukcja f, jeŝeli kaŝdej liczbie x ze zbioru X jest przporządkowaa dokładie jeda liczba pewego zbioru liczb Y Przporządkowaie to zapisujem w
Bardziej szczegółowoMACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
Bardziej szczegółowoEgzamin maturalny z informatyki Poziom rozszerzony część I
Zadaie 1. Długość apisów biarych (7 pkt) Opisaa poiżej fukcja rekurecyja wyzacza, dla liczby aturalej 0, długość apisu uzyskaego przez sklejeie biarych reprezetacji liczb aturalych od 1 do 1. ukcja krok
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy
12. Dowieść, że istieje ieskończeie wiele par liczb aturalych k < spełiających rówaie ( ) ( ) k. k k +1 Stosując wzór a wartość współczyika dwumiaowego otrzymujemy ( ) ( )!! oraz k k! ( k)! k +1 (k +1)!
Bardziej szczegółowoTw. 1. Je»eli ci g {a n } ma granic a i ci g {b n } ma granic b, to ci g {a n b n } ma granic a b. Tw. 2. b n. Tw. 3. Tw. 4.
Tw.. Je»eli ci g {a } ma graic a i ci g {b } ma graic b, to ci g {a + b } ma graic a+b. Tw.. Je»eli ci g {a } ma graic a i ci g {b } ma graic b, to ci g {a b } ma graic a-b. Tw.. Je»eli ci g {a } ma graic
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I.1
Aaliza Matematycza I Seria, P Nayar, 0/ Zadaie Niech a k >, (k =,, ) b d liczbami rzeczywistymi o tym samym zaku Udowodij,»e prawdziwa jest ierówo± ( + a )( + a ) ( + a ) + a + a + + a Czy zaªo»eie,»e
Bardziej szczegółowoFAQ ANALIZA R c ZADANIA
FAQ ANALIZA R c ZADANIA Caªki wersja wst pa uwaga a bª dy!!! Fukcje pierwote Zadaie. Rozgrzewka. Obliczy caªki ieozaczoe, tz zale¹ fukcje pierwote. W awiasach wymieioe s arz dzia jakie mog by potrzebe
Bardziej szczegółowoInstrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy transportowe cd, Problem komiwojażera
Istrukcja do ćwiczeń laboratoryjych z przedmiotu: Badaia operacyje Temat ćwiczeia: Problemy trasportowe cd Problem komiwojażera Zachodiopomorski Uiwersytet Techologiczy Wydział Iżyierii Mechaiczej i Mechatroiki
Bardziej szczegółowodna szeregu. ; m., k N ; ó. ; u. x 2n 1 ; e. n n! jest, że
KILKA ZADAŃ O SZEREGACH Zbadać zbieżość i zbieżość bezwzgle da = a, jeśli a = a!! ; a + + ; c + ; ć! ; d +/ + 3 ; e! e 3 3+ ; f ; + g 000+ ; h ; + i! ; j k ; l 5 + l + 7 0 +3 6 0 + ; +3 ; ; m 3 + 3 ; +a
Bardziej szczegółowoParametryzacja rozwiązań układu równań
Parametryzacja rozwiązań układu rówań Przykład: ozwiąż układy rówań: / 2 2 6 2 5 2 6 2 5 //( / / 2 2 9 2 2 4 4 2 ) / 4 2 2 5 2 4 2 2 Korzystając z postaci schodkowej (środkowa macierz) i stosując podstawiaie
Bardziej szczegółowoa 1, a 2, a 3,..., a n,...
III. Ciągi liczbowe. 1. Defiicja ciągu liczbowego. Defiicja 1.1. Ciągiem liczbowym azywamy fukcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb aturalych N w zbiór liczb rzeczywistych R i ozaczamy przez { }. Używamy
Bardziej szczegółowoE ' E G nazywamy krawędziowym zbiorem
Niech G będzie grafem spójnym. Wierzchołek x nazywamy rozcinającym, jeśli G\{x} jest niespójny. Niech G będzie grafem spójnym. V ' V G nazywamy zbiorem rozcinającym jeśli G\V' jest niespójny Niech G będzie
Bardziej szczegółowoMatematyka ETId I.Gorgol Twierdzenia o granicach ciagów. Twierdzenia o granicach ciagów
Twierdzeia o graicach ciagów Matematyka ETId I.Gorgol Zbieżość ciagu a jego ograiczoość TWIERDZENIE Jeżeli ci ag liczbowy a ) jest zbieży do graicy skończoej, to jest ograiczoy. Zbieżość ciagu a jego ograiczoość
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD Szeregi potęgowe Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C jeżeli jest -krotie różiczkowala i jej -ta pochoda jest fukcją ciągłą. Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C, jeżeli jest
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna I.1
Aaliza Matematycza I Seria, P Nayar, 0/3 Zadaie Niech a k >, (k =,, b d liczbami rzeczywistymi o tym samym zaku Udowodij,»e prawdziwa jest ierówo± ( + a ( + a ( + a + a + a + + a Czy zaªo»eie,»e liczby
Bardziej szczegółowoMetoda najszybszego spadku
Metody Gradietowe W tym rozdziale bdziemy rozwaa metody poszuiwaia dla fucji z przestrzei R o wartociach rzeczywistych Metody te wyorzystuj radiet fucji ja rówie wartoci fucji Przypomijmy, czym jest zbiór
Bardziej szczegółowoRAP pa¹dziernika S n = S 0 + i=1. p r q l = p r q l r. N n(a,b)
RAP 4 5 pa¹dzierika 008 Wykªad : PSL metoda zliczaia ±cie»ek Wykªadowca: Adrzej Ruci«ski Pisarz:Bartosz Naskr cki i Marek Kaluba Wst p B dziemy dalej studiowa zachowaia osobika, którego gr zajmowali±my
Bardziej szczegółowozadań z pierwszej klasówki, 10 listopada 2016 r. zestaw A 2a n 9 = 3(a n 2) 2a n 9 = 3 (a n ) jest i ograniczony. Jest wiec a n 12 2a n 9 = g 12
Rozwiazaia zadań z pierwszej klasówki, 0 listopada 06 r zestaw A Ciag a ) jest zaday rekuryjie: a a, a + a a 9, a R, a
Bardziej szczegółowoProblem decyzyjny naley do klasy NP. (Polynomial), jeeli moe by rozwizany w czasie conajwyej wielomianowym przez algorytm A dla DTM.
WYKŁAD : Teoria NP-zupełnoci. Problem decyzyjny naley do klasy P (Polynomial), jeeli moe by rozwizany w czasie conajwyej wielomianowym przez algorytm A dla DTM. (przynaleno ta jest zachowana równie dla
Bardziej szczegółowoZasada indukcji matematycznej. Dowody indukcyjne.
Zasada idukcji matematyczej Dowody idukcyje Z zasadą idukcji matematyczej i dowodami idukcyjymi sytuacja jest ajczęściej taka, że podaje się w szkole treść zasady idukcji matematyczej, a astępie omawia,
Bardziej szczegółowoKolorowanie wierzchołków
Kolorowanie wierzchołków Mając dany graf, pokolorować jego wierzchołki w taki sposób, aby każde dwa wierzchołki sąsiednie miały inny kolor. Każda krawędź łączy wierzchołki różnych kolorów. Takie pokolorowanie
Bardziej szczegółowoSzereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:
Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna Wykład 13: Teoria Grafów Gniewomir Sarbicki Literatura R.J. Wilson Wprowadzenie do teorii grafów Definicja: Grafem (skończonym, nieskierowanym) G nazywamy parę zbiorów (V (G), E(G)),
Bardziej szczegółowoWYŻSZA SZKOŁA INFORMATYKI STOSOWANEJ I ZARZĄDZANIA
DRZEWA i LASY Drzewem nazywamy graf spójny nie zawierający cykli elementarnych. Lasem nazywamy graf nie zawierający cykli elementarnych. Przykłady drzew i lasów takie krawędzie są wykluczone drzewo las
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Informatyki
Matematyczne Podstawy Informatyki dr inż. Andrzej Grosser Instytut Informatyki Teoretycznej i Stosowanej Politechnika Częstochowska Rok akademicki 2013/2014 Twierdzenie 2.1 Niech G będzie grafem prostym
Bardziej szczegółowoPrace domowe z matematyki Semestr zimowy 2010/2011. Zoa Zieli«ska-Kolasi«ska
Prace domowe z matematyki Semestr zimowy 2010/2011 Zoa Zieli«ska-Kolasi«ska 5 pa¹dzierika 2010 Rozdziaª 0 Uwagi Prace domowe ie s obowi zkowe aczkolwiek zach cam gor co do ich robieia i oddawaia mi a kartkach.
Bardziej szczegółowoKongruencje Wykład 4. Kongruencje kwadratowe symbole Legendre a i Jac
Kogruecje kwadratowe symbole Legedre a i Jacobiego Kogruecje Wykład 4 Defiicja 1 Kogruecję w ostaci x a (mod m), gdzie a m, azywamy kogruecją kwadratową; jej bardziej ogóla ostać ax + bx + c może zostać
Bardziej szczegółowoWzór Taylora. Matematyka Studium doktoranckie KAE SGH Semestr letni 2008/2009 R. Łochowski
Wzór Taylora Szeregi potęgowe Matematyka Studium doktorackie KAE SGH Semestr leti 8/9 R. Łochowski Graica fukcji w pukcie Niech f: R D R, R oraz istieje ciąg puktów D, Fukcja f ma w pukcie graicę dowolego
Bardziej szczegółowoWykład 7. Przestrzenie metryczne zwarte. x jest ciągiem Cauchy ego i posiada podciąg zbieżny. Na mocy
Wyład 7 Przestrzeie metrycze zwarte Defiicja 8 (przestrzei zwartej i zbioru zwartego Przestrzeń metryczą ( ρ X azywamy zwartą jeśli ażdy ciąg elemetów tej przestrzei posiada podciąg zbieży (do putu tej
Bardziej szczegółowoZnajdowanie skojarzeń na maszynie równoległej
11 grudnia 2008 Spis treści 1 Skojarzenia w różnych klasach grafów Drzewa Grafy gęste Grafy regularne dwudzielne Claw-free graphs 2 Drzewa Skojarzenia w drzewach Fakt Wybierajac krawędź do skojarzenia
Bardziej szczegółowoSKRYPT Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ DLA UCZNIÓW XIV LO
Wrocław, 2 lutego 205 SKRYPT Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ DLA UCZNIÓW XIV LO MARCIN PREISNER [ PREISNER@MATH.UNI.WROC.PL ] SPIS TREŚCI Wstęp 2 Ozaczeia 2. INDUKCJA MATEMATYCZNA 2.. Wprowadzeie 2.2. Lista zadań
Bardziej szczegółowoGraf. Definicja marca / 1
Graf 25 marca 2018 Graf Definicja 1 Graf ogólny to para G = (V, E), gdzie V jest zbiorem wierzchołków (węzłów, punktów grafu), E jest rodziną krawędzi, które mogą być wielokrotne, dokładniej jednoelementowych
Bardziej szczegółowoPodstawowe własności grafów. Wykład 3. Własności grafów
Wykład 3. Własności grafów 1 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2). 2 / 87 Suma grafów Niech będą dane grafy proste G 1 = (V 1, E 1) oraz G 2 = (V 2, E 2).
Bardziej szczegółowoI kolokwium z Analizy Matematycznej
I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4
Bardziej szczegółowoMiary rozproszenia. Miary położenia. Wariancja. Średnia. Dla danych indywidualnych: Dla danych indywidualnych: s 2 = 1 n. (x i x) 2. x i.
Miary położeia Średia Dla daych idywidualych: x = 1 x = 1 x i i ẋ i gdzie ẋ i środek i tego przedziału i - liczość i-tego przedziału Domiata moda Liczba ajczęściej występująca jeśli taka istieje - dla
Bardziej szczegółowo3. Funkcje elementarne
3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących
Bardziej szczegółowo10. Kolorowanie wierzchołków grafu
p. 10. Kolorowanie wierzchołków grafu 10.1 Definicje i twierdzenia Przez k-kolorowanie wierzchołków grafu G rozumiemy przyporzadkowanie każdemu wierzchołkowi grafu G jednego z k kolorów 1, 2,...,k. p.
Bardziej szczegółowoLX Olimpiada Matematyczna
LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1
Bardziej szczegółowoMiary położenia. Miary rozproszenia. Średnia. Wariancja. Dla danych indywidualnych: Dla danych indywidualnych: s 2 = 1 n. (x i x) 2. x i.
Miary położeia Średia Dla daych idywidualych: x = 1 x = 1 x i i ẋ i gdzie ẋ i środek i tego przedziału i - liczość i-tego przedziału Domiata moda Liczba ajczęściej występująca jeśli taka istieje - dla
Bardziej szczegółowo.! $ Stos jest list z trzema operacjami: dodawanie elementów na wierzch stosu, zdejmowanie elementu z wierzchu stosu, sprawdzanie czy stos jest pusty.
!"! " #$%& '()#$$ &%$! #$ %$ &%$& &$&! %&'" )$$! *$$&%$! +,- +-.! $ Celem wiczenia jest zapoznanie studenta ze strukturami: lista, stos, drzewo oraz ich implementacja w jzyku ANSI C. Zrozumienie działania
Bardziej szczegółowoCAŁKA NIEOZNACZONA. F (x) = f(x) dx.
CAŁKA NIEOZNACZONA Mówimy, że fukcja F () jest fukcją pierwotą dla fukcji f() w pewym ustaloym przedziale - gdy w kadym pukcie zachodzi F () = f(). Fukcję pierwotą często azywamy całką ieozaczoą i zapisujemy
Bardziej szczegółowoa n 7 a jest ciągiem arytmetycznym.
ZADANIA MATURALNE - CIĄGI LICZBOWE - POZIOM PODSTAWOWY Opracowała mgr Dauta Brzezińska Zad.1. ( pkt) Ciąg a określoy jest wzorem 5.Wyzacz liczbę ujemych wyrazów tego ciągu. Zad.. ( 6 pkt) a Day jest ciąg
Bardziej szczegółowoO trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności
Edward Stachowski O trzech elemetarych ierówościach i ich zastosowaiach przy dowodzeiu iych ierówości Przy dowodzeiu ierówości stosujemy elemetare przejścia rówoważe, przeprowadzamy rozumowaie typu: jeżeli
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowo7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi,
7 Liczby zespoloe Liczby zespoloe to liczby postaci z a + bi, gdzie a, b R. Liczbę i azywamy jedostką urojoą, spełia oa waruek i 2 1. Zbiór liczb zespoloych ozaczamy przez C: C {a + bi; a, b R}. Liczba
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n 4n n 1
30. Obliczyć wartość graicy ( 0 ( ( ( 4 +1 + 1 4 +3 + 4 +9 + 3 4 +7 +...+ 1 4 +3 + 1 ( ( 4 +3. Rozwiązaie: Ozaczmy sumę występującą pod zakiem graicy przez b. Zamierzamy skorzystać z twierdzeia o trzech
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe
Zadaia z aalizy matematyczej - sem. I Szeregi liczbowe Defiicja szereg ciąg sum częściowyc. Szeregiem azywamy parę uporządkowaą a ) S ) ) ciągów gdzie: ciąg a ) ciąg S ) jest day jest ciągiem sum częściowych
Bardziej szczegółowoTechnika Próżniowa. Przyszłość zależy od dobrego wyboru produktu. Wydanie Specjalne.
Technika Próżniowa Przyszłość zależy od dobrego wyboru produktu Wydanie Specjalne www.piab.com P6040 Dane techniczne Przepływ podciśnienia Opatentowana technologia COAX. Dostępna z trójstopniowym wkładem
Bardziej szczegółowo15. CAŁKA NIEOZNACZONA cz. I
5. CAŁKA NIEOZNACZONA cz. I Fukcj pirwot fukcji f w pwym przdzial (właciwym lub iwłaciwym) azywamy tak fukcj F, którj pochoda rówa si fukcji f w tym przdzial. Zbiór wszystkich fukcji pirwotych fukcji f
Bardziej szczegółowoIlustracja S1 S2. S3 ściana zewnętrzna
Grafy płaskie G=(V,E) nazywamy grafem płaskim, gdy V jest skończonym podzbiorem punktów płaszczyzny euklidesowej, a E to zbiór krzywych Jordana (łamanych) o końcach w V i takich, że: 1) rożne krzywe mają
Bardziej szczegółowo( ) WŁASNOŚCI MACIERZY
.Kowalski własości macierzy WŁSNOŚC MCERZY Własości iloczyu i traspozycji a) możeie macierzy jest łącze, tz. (C) ()C, dlatego zapis C jest jedozaczy, b) możeie macierzy jest rozdziele względem dodawaia,
Bardziej szczegółowoPojcie grafu. { {v 1, v 2 }, {v 2, v 3 }, {v 3, v 4 }, {v 4, v 1 },{v 2, v 4 } } )
1 Pojcie grafu Def. Graf prosty G=(V,E) jest uporzdkowan par dwóch elementów: zbioru wierzchołków V oraz zbioru krawdzi E V V. Krawd pomidzy wierzchołkami u oraz v oznaczamy {u,v}. Graf prosty nie zawiera
Bardziej szczegółowo2. Nieskończone ciągi liczbowe
Ciągiem liczbowym azywamy fukcję 2. Nieskończoe ciągi liczbowe a: N R. Wartości tej fukcji ozaczamy przez a) = a i azywamy wyrazami ciągu. Często ciąg ozaczamy przez {a } = lub po prostu przez {a }. Prostymi
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
Miejsce a aklejk z kodem szkoy dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MMA-RAP-06 POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 0 miut Istrukcja dla zdajcego Sprawd, czy arkusz egzamiacyjy zawiera 4 stro (zadaia ) Ewetualy
Bardziej szczegółowoZad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA
Zad. 1 Zad. 2 Zad. 3 Zad. 4 Zad. 5 SUMA Zad. 1 (12p.)Niech n 3k > 0. Zbadać jaka jest najmniejsza możliwa liczba krawędzi w grafie, który ma dokładnie n wierzchołków oraz dokładnie k składowych, z których
Bardziej szczegółowoTemat: Algorytmy aproksymacyjne (przyblione) cz. I. Majc do rozwizania trudny obliczeniowo problem, moemy wybra jedno z dwóch nastpujcych podej:
Temat: Algorytmy aproksymacyjne (przyblione) cz. I. 1. Algorytmy aproksymacyjne Majc do rozwizania trudny obliczeniowo problem, moemy wybra jedno z dwóch nastpujcych podej: Zastosowa technik algorytmów
Bardziej szczegółowoTemat: Technika zachłanna. Przykłady zastosowania. Własno wyboru zachłannego i optymalnej podstruktury.
Temat: Technika zachłanna. Przykłady zastosowania. Własno wyboru zachłannego i optymalnej podstruktury. Algorytm zachłanny ( ang. greedy algorithm) wykonuje zawsze działanie, które wydaje si w danej chwili
Bardziej szczegółowo1.3. Największa liczba naturalna (bez znaku) zapisana w dwóch bajtach to a) b) 210 c) d) 32767
Egzami maturaly z iformatyki Zadaie. (0 pkt) Każdy z puktów tego zadaia zawiera stwierdzeie lub pytaie. Zazacz (otaczając odpowiedią literę kółkiem) właściwą kotyuację zdaia lub poprawą odpowiedź. W każdym
Bardziej szczegółowoSKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny podzbiór krawędzi parami niezależnych.
SKOJARZENIA i ZBIORY WEWN. STABILNE WIERZCH. Rozważamy graf G = (V, E) Dwie krawędzie e, e E nazywamy niezależnymi, jeśli nie są incydentne ze wspólnym wierzchołkiem. Skojarzeniem w grafie G nazywamy dowolny
Bardziej szczegółowo