Zestaw 12- Macierz odwrotna, układy równań liniowych

Transkrypt

1 Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Przykładowe zadania z rozwiązaniami ZałóŜmy, Ŝe macierz jest macierzą kwadratową stopnia n. Mówimy, Ŝe macierz tego samego wymiaru jest macierzą odwrotną do, jeŝeli spełniona jest równość: I. Uwaga: Macierz jest odwracalna, czyli posiada macierz odwrotną, wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyznacznik jest róŝny od zera, czyli jest ona tzw. macierzą nieosobliwą. Zadanie Sprawdź, czy podane macierze są do siebie wzajemnie odwrotne:,, Rozwiązanie: ) Obliczymy iloczyn :, czyli I, a więc podane macierze nie są do siebie wzajemnie odwrotne. OCZYOCZYWIŚCIE NIE musimy JUś OLICZĆ DRUGIEGO Z ILOCZYNÓW PODNYCH W DEFINICJI MCIERZY ODWROTNEJ. ) Podobnie jak powyŝej, obliczymy iloczyn:

2 Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych,, zatem podane macierze są do siebie wzajemnie odwrotne. Uwaga powyŝsza nie podaje sposobu, jak obliczyć macierz odwrotną do danej. Sposób ten (jeden z moŝliwych ) jest opisany poniŝej: by wyznaczyć macierz odwrotną do, wykonujemy następujące czynności: ) Obliczamy wyznacznik macierzy ; jeśli det, to macierz odwrotna nie istnieje, ) Jeśli det, to obliczamy dopełnienia algebraiczne wszystkich wyrazów macierzy ( dopełnieniem algebraicznym wyrazu ij a macierzy nazywamy wyznacznik podmacierzy powstałej z przez wykreślenie i tego wiersza i j tej kolumny, pomnoŝony przez liczbę ( ) j i ) dopełnienie algebraiczne wyrazu ij a będziemy oznaczać przez ij. ) Tworzymy macierz [ ] n j i ij D,,...,, ) Wyznaczamy macierz transponowaną do D ) Macierzą odwrotną do jest macierz T D det Zadanie Sprawdź, czy dana macierz jest odwracalna i, jeśli tak, wyznacz macierz odwrotną: )

3 Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych ) C) Rozwiązanie: ) Najpierw obliczymy wyznacznik macierzy :, zatem jest odwracalna. Obliczymy teraz dopełnienia algebraiczne wszystkich wyrazów tej macierzy: ( ), ( ), ( ), ( ). ZauwaŜmy, Ŝe w tym przypadku dopełnienia algebraiczne wyrazów są wyznacznikami macierzy wymiaru, czyli zawierającej tylko jeden wyraz. Taki wyznacznik jest równy temu wyrazowi. Macierz D ma więc postać : D, zatem T D i otrzymujemy wreszcie macierz. by sprawdzić poprawność wykonanych obliczeń, moŝemy obliczyć odpowiednie iloczyny:

4 Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych,, zatem otrzymaliśmy poprawny wynik. ) ( ) ( ) det Zatem istnieje macierz odwrotna do. OLICZYMY DOPEŁNIENI LGERICZNE WSZYSTKICH WYRZÓW MCIERZY : ( ), ( ) ( ), ( ), ( ) ( ), ( ), ( ) ( ), ( ),

5 Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych ( ) ( ), ( ). Otrzymujemy stąd macierz D, następnie T D, i wreszcie. Wykonamy jeszcze sprawdzenie: I, I ZTEM WYKONLIŚMY POPRWNE OLICZENI. C) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) det

6 Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Zatem macierz powyŝsza jest nieodwracalna. Układ równań liniowych to układ równań postaci: a a... a n n b a a... an n b... ak ak... akn n bk gdzie a, b R dla i,,..., k; j,,..., n. ij i nazywamy macierzą tego układu. a ij Macierz [ ] i k j,,,...,,..., n Jeśli w powyŝszym układzie równań liczba równań jest równa liczbie niewiadomych, czyli n k, i wyznacznik macierzy tego układu jest róŝny od zera, to układ ten nazywamy układem Cramera. Uwaga Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie. Jest nim ciąg liczb gdzie kaŝdą z liczb i moŝna obliczyć korzystając z wzoru:,...,, n, Wi i ( dla i,,..., n ) W W jest wyznacznikiem macierzy tego układu (tzw. wyznacznikiem głównym), zaś jest wyznacznikiem macierzy powstałej przez zastąpienie w macierzy układu i tej kolumny kolumną wyrazów wolnych. W i Opisana powyŝej metoda rozwiązywania układów Cramera, nazywa się metodą wyznaczników. Zadanie Sprawdź, czy podany układ jest układem Cramera. Jeśli tak, rozwiąŝ go metodą wyznaczników.

7 Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych ) ) C) Rozwiązania: ) Obliczymy najpierw wyznacznik główny tego układu, aby sprawdzić, czy jest to układ Cramera: W, zatem jest to układ Cramera i moŝemy zastosować metodę wyznaczników: W, W. Stosując teraz podane powyŝej wzory, otrzymujemy:, Czyli rozwiązaniem układu jest para liczb : ( ), ) Podobnie, jak poprzednio, obliczymy wyznacznik główny układu:

8 Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych ( ) ( ) W Zatem jest to układ Cramera. Mamy: ( ) ( ) W ( ) ( ) ( ) W ( ) ( ) W, Zatem, czyli rozwiązaniem układu jest ciąg trzech liczb: ( ),,. C) Tak, jak w poprzednich przykładach, obliczamy wyznacznik główny: ( ) ( ) ( ) ` W. poniewaŝ wyznacznik główny jest równy, więc powyŝszy układ nie jest układem Cramera.

9 Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie Zbadaj, czy dana macierz posiada macierz odwrotną i, jeśli tak, wyznacz ją: ) ) C) D) E) F) Zadanie Zbadaj, czy macierz jest odwrotna do macierzy : ), ), C), D),

10 Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych Zadanie Oceń, czy następujący układ równań jest układem Cramera i, jeśli tak, rozwiąŝ go metodą wyznaczników. ) ) C) D) E) F) G) H) I)

11 Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych J) K) L) ODPOWIEDZI: ZDNIE ) TK; ) TK; C) NIE D) TK; E) TK; F) TK; ZDNIE ) NIE ) TK C) TK D) NIE

12 Zestaw - Macierz odwrotna, układy równań liniowych ZDNIE ) TK; ROZWIĄZNIEM JEST PR LICZ: (,). ) TK; ROZWIĄZNIEM JEST PR LICZ: (, ). C) TK; ROZWIĄZNIEM JEST TRÓJK LICZ: (,, ) D) NIE JEST TO UKŁD CRMER. E) TK; ROZWIĄZNIEM JEST TRÓJK LICZ: (,,). F) TK; ROZWIĄZNIEM JEST TRÓJK LICZ: (,, ). G) TK; ROZWIĄZNIEM JEST TRÓJK LICZ: (,,). H) TK; ROZWIĄZNIEM JEST TRÓJK LICZ: (,,). I) TK; ROZWIĄZNIEM JEST TRÓJK LICZ: (,, ). J) TK; ROZWIĄZNIEM JEST TRÓJK LICZ: (,, ). K) TK; ROZWIĄZNIEM JEST TRÓJK LICZ: (,,). L) TK; ROZWIĄZNIEM JEST TRÓJK LICZ: (,,).