15. Macierze. Definicja Macierzy. Definicja Delty Kroneckera. Definicja Macierzy Kwadratowej. Definicja Macierzy Jednostkowej

Transkrypt

1 15. Macierze Definicja Macierzy. Dla danego ciała F i dla danych m, n IN funkcję A : {1,...,m} {1,...,n} F nazywamy macierzą m n ( macierzą o m wierszach i n kolumnach) o wyrazach z F. Wartość A(i, j) macierzy A dla argumentu (i, j) oznaczamy przez zapisujemy jako A= lub, a samą macierzy A = Zbiór wszystkich macierzy o m wierszach i n kolumnach oraz o wyrazach z ciała F oznaczamy przez (F). Dla macierzy A (F) funkcję = nazywamy i-tym wierszem macierzy A, zaś funkcję = nazywamy j-tą kolumną tej macierzy. Definicja Delty Kroneckera Liczbę, gdzie i,j = 1,..., n, daną wzorem: = nazywamy deltą Kroneckera o indeksie (i,j). Definicja Macierzy Kwadratowej Macierz z przestrzeni nazywamy macierzą kwadratową stopnia n. Definicja Macierzy Jednostkowej Macierzą jednostkową (stopnia n) nazywamy macierz = Macierz diagonalna i trójkątna Macierz kwadratową A = [a ij ] o wymiarach n x n nazywamy: a) Macierzą diagonalną, gdy a ij =0 dla i j b) Macierzą górną trójkątną, gdy a ij =0 dla i>j c) Macierzą dolną trójkątną, gdy a ij =0 dla i<j Przyklady: a) 1

2 b) c) Suma (różnica) macierzy Niech A = [a ij ], B = [b ij ] będą macierzami wymiaru m x n. Sumą (rożnicą) macierzy A i B nazywamy macierz C = [c ij ], której elementy określone są wzorem: c ij = a ij ± b ij dla 1 i m oraz 1 j n. Piszemy C = A ± B. Przykład: A =, B = A + B =, A B = Iloczyn macierzy przez liczbę Niech A = [a ij ] będzie macierzą wymiaru m x n oraz niech α R. Iloczynem macierzy A przez liczbę α nazywamy macierz B = [b ij ], której elementy określone są wzorem: b ij = α * a ij dla 1 i m oraz 1 j n. Piszemy B = α * A. Przykład: A =, α = 1/3. α * A = Iloczyn dwóch macierzy Niech A = [a ij ] będzie macierzą o wymiarach m x n, macierz B = [b ij ] wymiaru n x k. Iloczynem macierzy A i B nazywamy macierz C = [c ij ] wymiaru m x k, której elementy określone są wzorem: c ij = a i1 * b 1j + a i2 * b 2j + + a in * b nj dla 1 i m oraz 1 j k. Piszemy C = A * B. 2

3 UWAGA! Macierz A można pomnożyć przez macierz B z prawej strony tylko wtedy, gdy ilość kolumn macierzy A jest równa ilości wierszy macierzy B. Przykład:, B = A * B = Własności działań na macierzach: Niech A, B, C będą dowolnymi macierzami tego samego wymiaru oraz niech α, β R. Wówczas: 1. A + B = B+ A 2. A + 0 = 0 + A = A 3. (A + B) + C = A + (B + C) 4. A + (-A) = 0 5. Α * (A + B) = α * A + α * B 6. (α + β) * A = α * A + β * A 7. 1 * A = A 8. A * (B + C) = A * B + A * C (A ma wymiar m x n, B i C - n x k) 9. (A + B) * C = A * C + B * C (A i B ma wymiar m x n, a C - n x k) 10. A * (B * C) = (A * B) * C (A ma wymiar m x n, B - n x k, C - k x l 11. A * I n = I m * A = A (A ma wymiar m x n) 12. Mnożenie macierz nie jest przemienne Definicja Macierzy Transponowanej Macierzą transponowaną do macierzy A = [ ] nazywamy macierz =[ ] Własności Macierzy Transponowanej Niech A, B będą macierzami wymiary m x n, a C n x k i α R. Wówczas: 1. (A + B) T = A T + B T 2. (α * A) T = α * A T 3. (A * B) T = B T * A T 4. (A T ) T = A 3

4 Przykład macierzy transponowanej Niech A=. Wówczas A T =. Główna Przekątna Jeżeli macierz jest kwadratowa to ciąg elementów o równych wskaźnikach wiersza i kolumny począwszy od jeden do jej stopnia nazywa się główną przekątną. Definicja Wyznacznika Macierzy Kwadratowej Wyznacznikiem macierzy kwadratowej A = [ ] (F) nazywamy liczb det A = gdy n = 1 det A = det gdy n > 1, gdzie jest macierzą powstałą z A przez skreślenie pierwszego wiersza i j-tej kolumny. Przykład. 1. n = 1 det [ ] = 2. n = 2 det = - 3. n = 3 det = Działania na wierszach i kolumnach 1. Wyznacznik macierzy trójkątnej jest iloczynem wyrazów na głównej przekątnej. 2. det A T = det A 3. Jeżeli macierz B powstaje z A przez: a) zamianę dwóch sąsiednich wierszy (kolumn) to det B = - det A 4

5 b) zamianę dwóch wierszy (kolumn) miejscami to det B = - det A c) pomnożenie wiersza (kolumny) przez α 0 to det B = α * det A d) dodanie do wiersza kombinacji liniowych innych wierszy (kolumn), to det B = det A 4. Jeżeli macierz A zawiera wiersz zerowy lub dwa identyczne wiersze (kolumny) to det A = 0 5. det A -1 = 1/det A Twierdzenie Laplace'a Niech A = [ ] (F), zaś dla i, j = 1,..., n symbol oznacza macierz (n-1) (n-1) powstałą przez skreślenie i-tego wiersza oraz j-tej kolumny. Wówczas dla dowolnego i = 1,...,n zachodzi równość det A = det Przykład. Obliczmy wyznacznik macierzy A korzystając z twierdzenia Laplace'a A = I. Dodajemy czwartą kolumnę do pierwszej oraz trzeciej, zaś odejmiemy ją od drugiej: det A = = Korzystamy z rozwinięcia Laplace'a det A = = 1 = = II. Odejmiemy pierwszą kolumnę od ostatniej, następnie trzecią dodajmy do drugiej: det A= = = 5

6 Korzystamy z rozwinięcia Laplace'a det A = ( 4) = 4 III. Redukujemy współczynniki w ostatnim wierszu, odejmując pierwszy wiersz od drugiego: det A = 4 = 4 Korzystamy z rozwinięcia Laplace'a det A = 4 8 = 4 ( 1) = 64 Reguła Sarrusa Metoda obliczania wyznacznika stopnia 3 I. Dopisujemy dwa pierwsze wiersze pod wyznacznik II. Obliczamy sumę iloczynów wzdłuż "czerwonych strzałek" i odejmuje od niej sumę iloczynów wzdłuż "niebieskich strzałek" 6

7 Ogólny wzór ma postać: ( + + ) - ( - - ) Przykład. ( + + ) - (5 - - ) = ( ) = = 36 Macierz odwrotna Macierz kwadratową A = [a ij ] wymiaru n x n nazywamy macierzą nieosobliwą (lub odwracalną), jeżeli istnieje macierz A -1 taka, że A * A -1 =A -1 * A = I Warunek wystarczający istnienia macierzy odwrotnej Jeżeli macierz kwadratowa A = [a ij ] jest macierzą nieosobliwą tzn, deta 0, to istnieje do niej dokładnie jedna macierz odwrotna A -1, która jest równa macierzy dołączonej, pomnożonej przez odwrotność wyznacznika, to znaczy: A -1 = 1/detA * D T. Metoda eliminacji Gaussa Wyznaczyć macierz odwrotną do macierzy A =. Najpierw liczymy wyznacznik: det A = = = -3 0 Zatem A -1 istnieje. Teraz obliczamy dopełnienia algebraiczne wszystkich wyrazów macierzy A: d 11 = (-1) = 7 d 12 = (-1) = -5 d 13 = (-1) = 6 7

8 d 21 = (-1) = -6 d 22 = (-1) = 3 d 23 = (-1) = -3 d 31 = (-1) = 1 d 32 = (-1) = 1 d 33 = (-1) = -3 Tworzymy macierz dopełnień: D =, D T = Podstawiamy do wzoru: A -1 = 1/detA * D T A -1 = Obliczmy teraz macierz odwrotną innym sposobem: ½ * R 1 => R 1 R 3 R 1 => R 3 i R 2 3R 1 => R 2 (-2/3) * R 2 => R 2 i 2/3 * R 3 => R 3 R 3 R 2 => R 3 8

9 R 3 * 2/3 => R 3 i R 1 7/2 * R 2 => R 1 R 1 1/3 * R 3 => R 1 i R 2 1/3 * R 3 => R 2 9