STABILNOŚĆ LINIOWYCH UKŁADÓW AUTOMATYKI

Transkrypt

1 STABILNOŚĆ LINIOWYCH UŁADÓW AUTOMATYI. Wprwdzenie d ćwiczeni Prblem stbilnści kżdeg ukłdu utmtyki jest prblemem pdstwwym. Pjwienie się niestbilnści w ukłdch zzwyczj prcujących stbilnie, mże spwdwć duże strty mterilne, nwet mże zgrżć życiu ludzkiemu (np. sterwnie prcesów wielkiej mcy) i grzić uszkdzeniem urządzeń i mszyn. Przez stbilnść ukłdu utmtyki rzumiemy włściwść ukłdu plegjąc n tym, że ukłd wytrącny ze stnu ustlneg przez wymuszenie lub zkłócenie, p ustniu wymuszeni lub zkłóceni, wrc w czsie skńcznym d stnu ustlneg. Wrunki stbilnści ukłdu utmtyki nie mgą zleżeć d rdzju pbudzni ukłdu, t jest ksztłtu funkcji wielkści wejściwej lub zkłóceni, lecz tylk d struktury wewnętrznej ukłdu. Prblem stbilnści njprściej mżn wyjśnić psługując się liniwym równniem różniczkwym, pisującym przebieg wielkści wyjściwej y(t). Liniwy, jednwymirwy ukłd dynmiczny pisny jest z pmcą równni różniczkweg (wzór ). u(t) y(t) Rys. Schemt blkwy ukłdu dynmiczneg czyli: y + y () ( m) ( m ) () y + y b u + b u b u + b u, () ( n) ( n ) n n 0 m m 0 gdzie: y(t) wielkść wyjściw, u(t) wielkść wejściw, i i d y y ( ) dl (0,,...,n), i dt d u u dt j ( j ) j dl (0,,...m), n i m j d y(t) d u(t) bj, (2) j dt dt i i i 0 j 0 n m.

2 2 Rzwiąznie teg równni y(t), zgdnie z zsdą superpzycji, mżn przedstwić z pmcą dwóch skłdwych: - skłdwej swbdnej y s (t), zleżnej tylk d prmetrów ukłdu, - skłdwej wymusznej y w (t), pchdzącej d wejści wymuszjąceg. Dl rzwżnych ukłdów liniwych mżn pdć nstępującą definicję stbilnści: Ukłd jest stbilny, jeżeli dl dwlnych wrunków pczątkwych skłdw swbdn y s (t) dąży d zer, gdy t dąży d nieskńcznści. Dl tk definiwnej stbilnści, przy jej bdniu, wystrczy krzystć z równni różniczkweg jednrdneg dynmiki ukłdu (przy zerwym wymuszeniu): 2. ryterium pierwistkwe n n n y ( t) + n y ( t) y( t) 0 (3) N pdstwie definicji stbilnści mżn kreślić wrunki stbilnści, krzystjąc z równni chrkterystyczneg ukłdu utmtyki (4), wynikjąceg bezpśredni z równni (3): n n n s + n s + + s (4) ryterium t nzywne jest kryterium pierwistkwym, pniewż n pdstwie pierwistków równni chrkterystyczneg mżemy kreślić stbilnść ukłdu. Pierwistki równni chrkterystyczneg skłdją się z wyrżeń typu C e d prmetrów α, β mżemy rzptrzyć nstępujące przypdki (tblic ). i s t i, przy czym s i α i +jβ i. W zleżnści Tblic Pstć skłdwej przejściwej dl różnych pierwistków równni chrkterystyczneg Przypdek sit s i α i +jβ i y ( t) e. ukłd niestbilny (peridycznie) α>0; β0 50 p 00 yp(t) t

3 3 2. ukłd stbilny (peridycznie) α <0; β yp(t) ukłd niestbilny (scylcyjnie) α >0; β t yp(t) ukłd stbilny (scylcyjnie) α<0; β t yp(t) ukłd n grnicy stbilnści α0; β t yp(t) t Wrunkiem kniecznym i wystrczjącym stbilnści ukłdu regulcji jest, by wszystkie pierwistki równni chrkterystyczneg miły części rzeczywiste ujemne (przypdek 2, 4 w tblicy ). Przykłd. Re{s i }α<0 (5) rzystjąc z kryterium pierwistkweg wyznczyć stbilnść ukłdu utmtyki pisneg trnsmitncją (s) ( s) 3 2 3s + 9s Trnsmitncj ukłdu zmknięteg jest równ: + 27s+ 26

4 4 Z (s) (s) + (s) Wstwijąc (s) d równni n z (s) trzymujemy: ( s) z 3 2 3s + 9s Równnie chrkterystyczne ukłdu jest nstępujące: M + 27s ( s) 3s + 9s + 27s z D wyznczeni pierwistków równni chrkterystyczneg skrzystmy z pleceni rts prgrmu MATLAB. W knie pleceń MATLAB- wpisujemy >> rts([ ]) (wpisując współczynniki równni pcząwszy d njwyższeg rzędu) Równnie jest rzędu trzecieg trzymujemy ztem trzy pierwistki s i. s i s i s Zgdnie z wrunkiem (5) sprwdzmy część rzeczywistą pierwistków. Dl kżdeg z nich jest n ujemn ztem ukłd ten jest stbilny. Mżemy tkże skrzystć z prcedury pzmp. N pdstwie teg pleceni MATLAB- trzymmy wykres pierwistków licznik i minwnik trnsmitncji, ztem wykres zer i biegunów. W knie pleceń MATLAB- wpisujemy >> pzmp([],[ ]) Otrzymujemy te sme wyniki

5 5 Rys. 2 Rzkłd biegunów trnsmitncji z (s) W prktyce stswnie kryterium pierwistkweg nie zwsze jest dgdne. W przypdku ukłdów wyższeg rzędu (tym smym wyskich rzędów równni chrkterystyczneg) pjwi się trudnść w bliczeniu jeg pierwistków. Zstły prcwne inne metdy pzwljące bdć stbilnść ukłdu bez rzwiązywni równni chrkterystyczneg. ryteri te dzielimy n nlityczne i częsttliwściwe (nlityczn-grficzne). Njbrdziej znnym kryterium nlitycznym jest kryterium Hurwitz. W wielu przypdkch nie jest znn pstć trnsmitncji ukłdu, ntmist znn jest (np. wyznczn dświdczlnie) chrkterystyk częsttliwściw ukłdu. Njbrdziej znnym kryterium częsttliwściwym jest kryterium Nyquist ( tkże jeg pstć lgrytmiczn Bdeg). 3. ryterium Hurwitz Jest t kryterium lgebriczne, które pdje wrunki jkie pwinny spełnić współczynniki równni chrkterystyczneg, by pierwistki teg równni miły części rzeczywiste ujemne (ptrz kryterium pierwistkwe). Według kryterium Hurwitz muszą być spełnine dw wrunki nzywne wrunkiem kniecznym i wystrczjącym:. wszystkie współczynniki równni chrkterystyczneg istnieją i są ddtnie i >0 (wrunek knieczny) 2. wyzncznik główny n i wszystkie jeg pdwyznczniki i (i,2,...,n-), utwrzne z wyzncznik główneg, są większe d zer (wrunek wystrczjący).

6 6 Wyzncznik główny twrzymy wpisując n głównej przekątnej współczynniki równni chrkterystyczneg, pcząwszy d n- skńczywszy n 0. Nstępnie uzupełnimy klumny współczynnikmi klejnych indeksch (względem współczynnik rzptrywneg n głównej przekątnej). Wpisujemy współczynniki indeksch większych idąc w dół rz indeksch mniejszych idąc w górę, d współczynnik wpisneg n głównej przekątnej. n n n 3 n n 2 0 L 0 0 n 0 0 L L L 0 0 L 0 0 M M L M M 2 0 (6) Stąd pdwyzncznik D, n (7) pdwyzncznik D 2, n n 3 2 nlgicznie twrzymy pzstłe pdwyznczniki. n n 2, (8) Przykłd.2. Dl trnsmitncji pertrwej z (s) z przykłdu. wyznczymy stbilnść ukłdu krzystjąc z kryterium Hurwitz W jkim zkresie mżn zmienić k, by spełnine były wrunki stbilnści ukłdu? Równnie chrkterystyczne m pstć: 3 2 M (s) 3s + 9s + 27s z. Wrunek knieczny jest spełniny (wszystkie współczynniki są większe d zer) 2. Wrunek wystrczjący dl D i >0

7 7 Wbec teg ukłd jest stbilny > > > 0 2 Wrtść wyzncznik mżemy bliczyć z pmcą prcedury det. W knie MATLAB- wpisujemy pleceni >> delt3det([9 27 0; 27 0; ]) delt2det([9 27; 27]) rz Otrzymujemy wyniki: delt2..62 delt A ztem ukłd jest stbilny. 4.. ryterium Nyquist ryterium Nyquist pzwl bdć stbilnść zmknięteg ukłdu regulcji n pdstwie chrkterystyki mplitudw-fzwej ukłdu twrteg. Metd pzwl stwierdzić, n etpie prjektu i budwy ukłdu regulcji, czy p zmknięciu bwdu regulcyjneg ukłd będzie stbilny. Wżnym elementem kryterium Nyquist jest prcie się n chrkterystykch częsttliwściwych, które mgą być wyznczne dświdczlnie, niekniecznie n drdze nlitycznej. Mżn kreślić stbilnść ukłdu tkże dl biektów z późnieniem. Eksperymentlne zdejmwnie chrkterystyk mplitudw-fzwych. W celu kreśleni chrkterystyki mplitudw-fzwej zmienimy częsttliwść sygnłu sinusidlneg wejściweg w, w 2 w 3... i kreślmy prmetry (ω j ) rz ϕ (ω ).

8 8 Im {(jω)} k x(t)xsinωt (jω) y(t)x (jω) sin(ωt+ϕ) ω -ϕ(ω) ω0 Re {(jω)} (jω) ω ω ω 2 Rys. 3. Eksperymentlne kreślnie chrkterystyki częsttliwściwej Jeżeli trnsmitncj widmw ukłdu twrteg jest równ (jw), t trnsmitncj ukłdu zmknięteg m pstć: Z ( jω ) ( jω ). (9) + ( jω ) Dl pewnej częsttliwści w r mże zistnieć przypdek, że będzie spełniny wrunek (jw r )-. + ( jω ) 0 (0) Wówczs w równniu (0) minwnik równ się zeru, c prwdzi d sytucji, w której wyjściwy sygnł sinusidlny mże się sm pdtrzymć, wywłując, pprzez sprzężenie zwrtne, n wejściu przebieg tej smej mplitudzie i fzie (rys. 4). Sytucj t dpwid ukłdwi n grnicy stbilnści (rys.5). x(t)0 Y(ω r )sinω r t (jω r ) - -Y(ω r )sinω r t Rys. 4. Interpretcj kryterium Nyquist Im {(jω)} Im {(jω)} Im {(jω)} ωω r ω0 ω0 ω0 (-,j0) Re {(jω)} (-,j0) Re {(jω)} (-,j0) Re {(jω)} ω ω ω ) b) Rys. 5. Interpretcj wykresu chrkterystyki częsttliwściwej (jw) przy zstswniu kryterium Nyquist: ) ukłd n grnicy stbilnści, b) ukłd niestbilny, c) ukłd STABILNY c)

9 9 Według kryterium Nyquist w przypdku, gdy ukłd twrty jest stbilny, będzie stbilny p zmknięciu (rys.5.c), jeżeli chrkterystyk mplitudw-fzw ukłdu twrteg nie bejmuje punktu (-, j0). W przypdku występwni biegun zerweg w trnsmitncji (s), (dtyczy t ukłdów zwierjących człn cłkujący) chrkterystyk mplitudw-fzw (jw) m inny ksztłt niż chrkterystyki przedstwine n rys. 5. W tym przypdku, dl częsttliwści w 0 0, * chrkterystyk ( jω ) ( jω ) rzpczyn się n ujemnej półsi Im{ (jw)} jω w nieskńcznści (rys. 6). Nie m t jednk wpływu n cenę stbilnści ukłdu, gdyż tkże w tym przypdku kryterium Nyquist sprwdz się d niebejmwni punktu (-, j0) przez chrkterystykę częsttliwściwą (jw). Im {(jω)} ω (-,j0) Re {(jω)} ω0 Rys. 6. Przykłd chrkterystyki (jw) z biegunem zerwym Przykłd.3. Dl ukłdu z przykłdu. wyznczyć stbilnść krzystjąc z kryterium Nyguist. W krku pierwszym sprwdzmy czy ukłd twrty jest stbilny. rzystmy z kryterium Hurwitz > > Ukłd twrty jest stbilny. Wyznczmy chrkterystykę częsttliwściwą (jw). rzystmy z pleceni MATLAB-: << nyquist([],[ ]) > 0

10 0 Rys. 7. Chrkterystyk Nyquist (jw) Ukłd będzie stbilny p zmknięcie jeżeli chrkterystyk mplitudw-fzw ukłdu twrteg nie będzie bejmwł punktu (-;j0). N pdstwie rys. 7 widzimy, że ukłd p zmknięciu będzie stbilny. (Uwg d rysunku. Plecenie MATLAB- nyquist wyzncz chrkterystykę (jw) z przedziłu częsttliwści ( ; + ) ). Wżną zletą kryterium Nyquist jest łtwść kreśleni zpsu stbilnści ukłdu bdneg. W pbliżu grnicy stbilnści stny nieustlne są scylcyjne tłumieniu crz mniejszym, im bliżej grnicy stbilnści znjduje się ukłd. Dlteg isttnym jest, by ukłd mił kreślny zps stbilnści. Zps stbilnści kreśl się z pmcą: - zpsu mdułu, - zpsu fzy. Zps mdułu kreśl krtnść jką musiłby wzrsnąć wzmcnienie przy niezmieninym rgumencie ukłdu twrteg, by ukłd zmknięty znlzł się n grnicy stbilnści. Zps fzy kreśl wrtść zminy rgumentu trnsmitncji widmwej ukłdu twrteg przy niezmiennym wzmcnieniu, któr dprwdziłby ukłd zmknięty d grnicy stbilnści. Pmcne w kreśleniu zpsu stbilnści są nlityczne wrunki stbilnści kryterium Nyquist, wynikjące z równni (0): lub ( jω ) < ϕ π ()

11 Im{ Re{ ( jω )} 0. (b) ( jω )} > 4.2. ryterium lgrytmiczne Nyquist Wrunki stbilnści wynikją bezpśredni z wrunku i mżn je przedstwić nstępując: 20lg ( jω) < 0 (2) ϕ π. P wyznczeniu chrkterystyk lgrytmicznych sprwdzmy dw wrunki częsttliwściwe: - częsttliwść, przy której chrkterystyk fzy przecin wrtść π (czyli 80 ) i wtedy mduł pwinien być ujemny, - częsttliwść, przy której chrkterystyk mdułu przecin 0 db i wtedy kąt przesunięci fzweg pwinien być większy niż π ( 80 ). Chrkterystyk Nyquist przedstwin w pstci lgrytmicznej nzywn jest chrkterystyką Bdeg. Aby wyznczyć chrkterystykę lgrytmiczn mplitudy i fzy psłużymy się pleceniem bde. W knie MATLAB- wpisujemy << bde([],[ ]) Rys. 8. Chrkterystyk Bdeg

12 Zps stbilnści (mdułu i fzy) Zps stbilnści mżemy wyznczyć krzystjąc z pleceni mrgin. W knie MATLAB- wpisujemy << mrgin([],[ ]) Rys. 9. Zps stbilnści: Pprwnść trzymnych wyników mżemy sprwdzić nlitycznie. Z chrkterystyki przedstwinej n rys. 9 wynik, że dl pulscji w3 rd/s kąt przesunięci fzweg jest równy -80 stpni. Wstwimy d wyrżeni n (jw) wrtść w3. ( j3) 3 ( j3) + 9 ( j3) j j(8 8) 55 Uzyskujemy tylk część rzeczywistą ujemną c dpwid przesunięciu fzwemu 80 stpni. Mduł trnsmitncji widmwej jest równy Zgdnie z wrunkiem (2) wyznczmy ( j3) 55 20lg ( j3) 34,8 < 0 Zps mdułu wynsi 34,8 db. Zpsu fzy nie musimy wyznczć pniewż mduł z trnsmitncji widmwej nie siągnie wrtści (0 db) dl żdnej częsttliwści.

13 3 5. Przebieg ćwiczeni lbrtryjneg I. W prgrmie MATLAB-Simulink utwrzyć mdel ukłdu regulcji jk n rysunku. Rys. 0 Schemt blkwy ukłdu regulcji Wykrzystć blki Simulink: Trnsfer Fcn, PID Cntrller, Sum, Step rz Scpe. Struktur ukłdu regulcji: - biekt pisny trnsmitncją drugieg rzędu - regultr PI. Dl pdnych, przez prwdząceg, prmetrów biektu przeprwdzić bdni symulcyjne ukłdu regulcji dl różnych nstw prmetrów regultr PI. Dbrć prmetry regultr, by uzyskć przebiegi peridyczne i scylcyjne. Dbrć prmetry regultr p rz i tk by uzyskć przebiegi dl ukłdu: stbilneg, n grnicy stbilnści, niestbilneg. II. dknć ceny stbilnści ukłdu regulcji stsując różne kryteri stbilnści. Skrzystć z pleceń \MATLAB- mówinych we wprwdzeniu d ćwiczeni. III. W sprwzdniu nleży zmieścić: Wykresy chrkterystycznych przebiegów regulcji uzysknych w SIMULIN-u; Obliczeni wyknne w MATLABie (rts, det, zps mdułu i zps fzy). Chrkterystyki częsttliwściwe Nyquist i Bdeg dl wybrnych prmetrów ukłdu. Obliczeni wyknne n pdstwie wzrów, dtyczące kryteriów Hurwitz, Nyquist, lgrytmiczneg Nyquist (Bdeg). Anlizę prównwczą trzymnych wyników.

14 4 Złącznik d ćwiczeni - mplik MATLABA % stbilnsc lbrtrium 20 % biekt drugieg rzedu % kb(s)/(s^2+bs+c) % regultr PI % kr(s)(kp+ki/s)(kp*s+ki)/s % ukld twrty % k0(s)kb(s)*kr(s) clc; cler ll; % Przykldwe prmetry biektu k; 20.35; 2.4; 0; numk; den[2 0]; kbtf([num],[den]); % Prmetry regultr kp; ki; num2[kp ki]; den2[ 0]; krtf(num2,den2); kseries(kb,kr); kzfeedbck(k,); [numkz, denkz]tfdt(kz,'v'); % kryterium pierwistkwe p_rchrts(denkz) nlength(denkz); wyz_2[denkz(2) denkz(4);denkz() denkz(3)]; wyz_3[denkz(2) denkz(4) 0;denkz() denkz(3) 0;0 denkz(2) denkz(4)]; % kryterium Hurwitz k_hur2det(wyz_2) k_hur3det(wyz_3) subplt(2,2,); % kryterium Nyquist nyquist(k); subplt(2,2,2); % kryterium Bde bde(k); grid; subplt(2,2,3); % zps mdulu i fzy mrgin(k); subplt(2,2,4); % bieguny i zer pzmp(kz); figure; % przebiegi czswe % dpwiedz n wymuszenie sinusidlne i wymuszenie stle t0:0.0:20; ystep(kz,t); w; U0; uu*sin(w*t); [ysim x]lsim(kz,u,t); subplt(2,,); plt(t,ysim,t,u); grid; subplt(2,,2); plt(t,y); grid;