Stabilność liniowych układów automatyki

Transkrypt

1 WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA im. Jrłw Dąbrwieg Ćwiczenie rchunwe: Stbilnść liniwych ułdów utmtyi Pdtwy utmtyi mgr inż. Brtz BRZOZOWSKI Wrzw 7

2 Stbilnść liniwych ułdów utmtyi Cel ćwiczeni rchunweg Pdcz ćwiczeni pruzne będą ntępujące zgdnieni: metdy prwdzni i weryficji tbilnści liniwych ułdów utmtyi; ryteri tbilnści: Hurwitz, Ruth rz Nyquit; Celem ćwiczeni jet zdbycie umiejętnści prtycznej relizcji pwyżzych zgdnień. Wymgni wtępne Przed rzpczęciem ćwiczeń tudent zbwiązny jet d zpznni ię z treścią niniejzej intrucji. W zczególnści ittne jet pidnie wiedzy teretycznej z zreu pruzneg pdcz ćwiczeni rchunweg. Pndt tudent zbwiązny jet prześledzić ze zrzumieniem wzytie zmiezczne przyłdy, by wiedzieć w ji pób rzpcząć rzwiązywnie zdń pdcz ćwiczeń. W przypdu pidni wątpliwści p zpznniu ię z treścią intrucji w celu ich wyjśnieni zlec ię nultcje ię z prwdzącym przed terminem ćwiczeń rchunwych. Widmści gólne Stbilnść ułdu terwni jet njwżniejzą jeg cechą chrteryzującą zdlnść ułdu d wynni zdń, dl tórych ztł n zbudwny. Stbilnść jet pjęciem reśljącym w ptcznym znczeniu zdlnść zchwni pewneg tnu. Rzptrując zgdnienie tbilnści, rzwżni mżn rzpcząć d przyłdu zchwni ię uli wbdnej przedtwinej n ry.. ) ułd nietbilny b) ułd tbilny ympttycznie i glblnie c) ułd tbilny nieympttycznie i glblnie d) ułd tbilny nieympttycznie i llnie - nieglblnie Ry.. Ilutrcj rdzjów tnu równwgi Pdtwy utmtyi mgr inż. Brtz BRZOZOWSKI

3 Stbilnść liniwych ułdów utmtyi Jeśli ulę pddmy przeunięciu, mżn uznć, że pzycj równwgi, w jiej znjduje ię ul dpwiedni w czterech tnch: ) nietbilnym, b) tbilnym ympttycznie i glblnie, c) tbilnym nieympttycznie i glblnie, d) tbilnym nieympttycznie i llnie, le nie glblnie. Z przedtwinej nlizy wyni, że tbilnść jet cechą ułdu, plegjącą n pwrcniu d tnu równwgi tłej p zmnięciu złóceni, tóre wytrącił ułd z teg tnu. W zgdnienich dtyczących tbilnści ułdów terwni przyjmiemy gólniejze pdejście. Będziemy bdć tbilnść rzwiązń równń różniczwych piujących ułd i śledzić jeg zchwnie n pdtwie przebiegu trjetrii w przetrzeni tnu (tzn. tiej, w tórej płżenie puntu reślne jet przez wzytie wpółrzędne tej przetrzeni i jednzncznie chrteryzuje tn dynmiczny ułdu), w zczególnści w przetrzeni fzwej. Wyróżnimy dw rdzje tbilnści: tbilnść ułdu w tnie wbdnym, tórą rzwżmy w przypdu, gdy n ułd nie dziłją ygnły zewnętrzne (zrówn terujące, j i złócjące); tbilnść ułdu pddneg dziłnim zewnętrznym. Jeżeli ułd wbdny znjduje ię znjduje ię w tnie równwgi, t dpwidjący temu punt równwgi w przetrzeni fzwej umiezczmy w pczątu jej ułdu wpółrzędnych. Jet t dgdne przy bdniu prceu przejściweg przy t > t n pdtwie trjetrii, ją punt piujący wychdzący z płżeni pczątweg y (t ),, y n (t ) reśli w n wymirwej przetrzeni fzwej, minwicie: jeżeli t trjetri dąży d pczątu ułdu wpółrzędnych (punt równwgi), t ułd jet tbilny ympttycznie punt B n ry.; jeżeli t trjetri ddl ię d pczątu ułdu wpółrzędnych (punt równwgi), t ułd jet nietbilny punt C n ry.; jeżeli t trjetri nie wychdzi pz pewien grniczny bzr tczjący pcząte ułdu wpółrzędnych, t ułd jet tbilny w enie Lpunw punt A n ry.; Ry.. Schemt zmnięteg ułdu regulcji Pdtwy utmtyi mgr inż. Brtz BRZOZOWSKI

4 Stbilnść liniwych ułdów utmtyi Punt równwgi x = nzywć będziemy tbilnym w enie definicji Lpunw, jeżeli dl żdej liczby ddtniej mżn dbrć tą liczbę (zleżą n gół d ), że trjetri rzpczynjąc ię w puncie A, leżącym wewnątrz uli prmieniu, pztnie wewnątrz uli prmieniu dl dwlnej chwili t >. Ntmit w przypdu bdni tbilnści ułdu pddneg dziłnim zewnętrznym, rzptrzny ztnie ułd terwni przedtwiny n ry.. SYNAŁ ZAKŁÓCENIA z(t) UCHYB REULACJI e(t) OBIEKT STEROWANIA SYNAŁ WYJŚCIOWY y(t) REULATOR e(t) UCHYB REULACJI Ry.. Schemt zmnięteg ułdu regulcji SYNAŁ WEJŚCIOWY Zmnięty ułd linwy, przedtwiny n ry., będziemy więc uwżć z tbilny, jeżeli przy żdej ńcznej wrtści złóceni z(t) i wrtści zdnej y (t) rz dwlnych wrunów pczątwych ygnł wyjściwy y(t) dążyć będzie d ńcznej wrtści utlnej dl czu t, dążąceg d nieńcznści. Nieiedy precyzuje ię ddtw, że gdy p zninięciu złóceni ułd pwrc d teg meg tnu równwgi c zjmwny pprzedni, t ułd ti jet tbilny ympttycznie. Przyłdy przebiegów y(t) wytępujących w ułdch tbilnych i nietbilnych pzn n ry.. ) b) u(t) Ry.. Chrterytyi czwe: ) ułdów tbilnych, b) ułdów nietbilnych Jeżeli ułd zmnięty piny jet z pmcą liniweg równni różniczweg: n n m m d y d y d x d x y bm bm b x n n... n m... () m dt dt dt dt n lub dpwidjącej mu trnmitncji pertrwej: Y Z m m bm bm... b n n n n... () Pdtwy utmtyi mgr inż. Brtz BRZOZOWSKI

5 Stbilnść liniwych ułdów utmtyi t czwy przebieg ygnłu wyjściweg y(t) p dwlnym złóceniu wrtści ńcznej piny jet wzrem ntępującej ptci: y t t A A e z n () gdzie: pierwiti równni chrterytyczneg ułdu zmnięteg; z wrtść złóceni. Złócenie z(t) mże być wprwdzne w dwlnym miejcu ułdu, w przypdu zczególnym złóceniem mże być również zmin wrtści ygnłu zdneg y (t). Kniecznym i dttecznym wruniem tbilnści ympttycznej ułdu jet, by pierwiti równni chrterytyczneg ułdu zmnięteg miły ujemne części rzeczywite, tzn. by pierwiti równni chrterytyczneg leżły w lewej półpłzczyźnie płzczyzny zmiennej zeplnej, tzn.: Wówcz: Re () lim y t t A z () gdzie: A wpółczynni wrtści ńcznej. T więc, ułd jet tbilny w pdny enie, łdwe wielści wejściwej zniją d zer przy t, pztje jedynie łdw utln, reśln ttycznymi włnścimi ułdu. W przypdu pierwitów zeplnych: j (6) Odpwiednie wyrzy umy () mją ptć: A e jt t A e c t j in t (7) Wyrzy te dążą d zer przy czie t, jeżeli pełniny jet wrune (). Jeżeli chciż jeden z pierwitów równni chrterytyczneg m część rzeczywitą ddtnią: Re (8) t: t lim y (9) t i ułd jet tbilny. Pdtwy utmtyi mgr inż. Brtz BRZOZOWSKI

6 Stbilnść liniwych ułdów utmtyi Jeżeli równnie chrterytyczne ułdu m pierwiti wielrtne, t w umie () pjwiją ię wyrzy typu: Ai t m i! m i e t () W tym przypdu wrune tbilnści () pztje również wżny, gdyż funcj rśnie wlniej niż funcj wyłdnicz ztem dl Re( ) <, mmy: i t m lim t Ai t m i! m i t e () Jeżeli równnie chrterytyczne ułdu m pierwiti w półpłzczyźnie rz jednrtne n i liczb urjnych, np. jeden pierwite zerwy lub prę pierwitów urjnych przężnych, t w ułdzie będą wytępwć drgni tłej mplitudzie, reślnej wrunmi pczątwymi. Ułd jet wówcz n grnicy tbilnści, ściśle mówiąc nie jet tbilny ympttycznie. Jeżeli pierwiti zerwe ą wielrtne, t przebieg y(t) ddl ię d pczątweg tnu równwgi, ułd jet czywiście nietbilny. Wrune tbilnści () będziemy więc uwżć z gólny wrune tbilnści liniwych ułdów utmtyi. Ptrzeb ściślejzeg rzróżnini rdzjów tbilnści wytąpi w ułdch nieliniwych, ntmit tutj tbilnść będziemy rzumieć j tbilnść ympttyczną. Przy bdniu tbilnści ułdów, tórych włnści dynmiczne pine ą z pmcą równń różniczwych wyżzych rzędów (lub dpwiednich trnmitncji), ntrfi ię n duże trudnści przy bliczniu pierwitów równni chrterytyczneg, gdyż jet t równnie lgebriczne teg meg tpni, c rząd równni różniczweg. Stuje ię wtedy jedn z ryteriów tbilnści, tzn. twierdzeń pzwljących cenić tbilnść ułdu n pdtwie wrtści wpółczynniów równni chrterytyczneg lub przebiegu chrterytyi częttliwściwej ułdu twrteg, bez bliczni pierwitów równni (). Nleży jedn pmiętć, że wzytie ryteri wywdzą ię wrunu pdtwweg (). O tbilnści ułdu decyduje równnie chrterytyczne, tj. minwni trnmitncji bdneg ułdu. Wyni tąd, że w ułdzie mją znić drgni wbdne pine równniem jednrdnym (prw trn równni różniczweg jet równ zeru), tóre t równnie dpwid minwniwi trnmitncji bdneg ułdu. Dlteg też przy bdniu tbilnści ułdów zjmujemy ię tyl równniem chrterytycznym teg ułdu. Z wielu prcwnych ryteriów tbilnści pznmy trzy pdtwwe, tóre twne ą njczęściej w prtyce inżynieriej, minwicie: ryterium Hurwitz; ryterium Ruth; ryterium Nyquit; Pdtwy utmtyi mgr inż. Brtz BRZOZOWSKI 6

7 Stbilnść liniwych ułdów utmtyi Kryteri tbilnści Kryteri tbilnści ą wprwdzne w celu uprzczeni prjetntwi dpwiedzi n pytnie tbilnść twrzneg mdelu mtemtyczneg ułdu. Dzięi ztwniu dpwiednich ryteriów tbilnści mżn n pdtwie trutury i prmetrów mdelu twierdzić, czy ułd jet tbilny, bez niecznści rzwiązywni równń mdelu lub wynywni bdń ymulcyjnych.. Kryterium Hurwitz Algebriczne ryterium tbilnści, prte n bdniu wpółczynniów równni chrterytyczneg, udwdnine ztł przez Hurwitz w 89r. Pzwl n n prwdzenie, czy równnie lgebriczne dwlneg tpni m wyłącznie pierwiti ujemne lub ujemnych częścich rzeczywitych. Kryterium Hurwitz mżn twć tyl wtedy, iedy znny jet pi mtemtyczny bdneg ułdu, minwicie jeg równnie chrterytyczne. Jet n brdz prte i wygdne w ztwniu d ułdów pinych równnimi niżzych tpni. Z pmcą teg ryterium mżn prwdzić tbilnść ułdu wzytich wpółczynnich równni chrterytyczneg, j i wyznczyć zrey (bzry) zmiennści nietórych wpółczynniów zpewnijące tbilnść. Wdą jet br mżliwści wyznczni zpu tbilnści rz utrudnin cen wpływu pzczególnych prmetrów ułdu n tbilnść. Wruniem niecznym, le niewytrczjącym, żeby ułd liniwy tcjnrny ciągły był tbilny ympttycznie, jet by wzytie wpółczynnii równni chrterytyczneg n n n n... () itniły i były więze d zer: i, i,,,..., n () Wruniem niecznym i wytrczjącym jet by wzytie pdwyzncznii główne (minry) wyznczni n (wyznczni Hurwitz) były więze d zer:,,..., n, n n n n n n n n n n Pdtwy utmtyi mgr inż. Brtz BRZOZOWSKI 7 n ()

8 Stbilnść liniwych ułdów utmtyi J wyni z zleżnści (), wyznczni Hurwitz twrzymy umiezczjąc n głównej przeątnej lejne wpółczynnii wielminu n- d. Ntępnie w pzczególnych lumnch wpiujemy pwyżej wyrzu n przeątnej głównej wyznczni wpółczynnii indech lejn zmniejzjących ię jeden, pniżej wyrzu n przeątnej głównej wpółczynnii indech lejn zwięzjących ię jeden. Jeżeli tóryś ze wpółczynniów równni chrterytyczneg jet ujemny lub równy zeru, lb tóryś z pdwyznczniów jet ujemny lub równy zeru, t ułd jet nietbilny. W przypdu, gdy równnie () m, min. pierwiti czyt urjne i w przebiegu czwym y(t) wytępują drgni tłej mplitudzie. Mówimy wówcz, że ułd znjduje ię n grnicy tbilnści(grnic tbilnści nleży d bzru nietbilneg). Kryterium Hurwitz umżliwi twierdzenie tbilnści ympttycznej, j i nieympttycznej. Mżliwść wytąpieni tbilnści nieympttycznej zchdzi wtedy, iedy w równniu chrterytycznym wpółczynni =. P pdzieleniu trn równni przez, trzymujemy równnie tpni n-, w dnieieniu d tóreg tujemy ryterium Hurwitz.. Kryterium Ruth Drugim ryterium nlitycznym, b ryterium Hurwitz, jet ryterium Ruth, tóre prócz dpwiedzi n pytnie tbilnść ympttyczną bdneg mdelu dtrcz infrmcji liczbie pierwitów równni chrterytyczneg, znjdujących ię w prwej półpłzczyźnie zmiennej zeplnej. Kryterium t reśl liczbę pierwitów wielminu chrterytyczneg w prwej półpłzczyźnie zmiennej zeplnej. Wzytie pierwiti równni chrterytyczneg bdneg ułdu będą znjdwć ię w lewej półpłzczyźnie zmiennej zeplnej, jeżeli ztną pełnine ntępujące wruni: wzytie wpółczynnii równni chrterytyczneg i, i=,, n, ą ddtnie. Jet t wrune nieczny; wzytie wpółczynnii lewej rjnej lumny Ruth ą ddtnie. Jeżeli ułd jet nietbilny ympttycznie, t wpółczynnii tej lumny zmieniją zn. Wówcz liczb zmin znu jet równ liczbie pierwitów równni chrterytyczneg znjdujących ię w prwej półpłzczyźnie zmiennej zeplnej. Tblicę Ruth buduje ię według ntępująceg chemtu: n b c d e n n n b c d n n b c n6 n7 b () Pdtwy utmtyi mgr inż. Brtz BRZOZOWSKI 8

9 Stbilnść liniwych ułdów utmtyi gdzie: b = n c = n n n n n, b = n b b b, c = c n n n n n d = b b c c, d c = b b c c, d d e = c c d, n, b = n b b b, c = n n 6 n n 7 n n n 7 b b b,, (6) Z żdym wierzem tblicy Ruth mżn jrzyć wielmin pmcniczy, tóry będzie wyrzytywny w przypdu zczególnym, czyli wtedy, iedy wierz wpółczynniów że ię łdć z mych zer. Wtedy wierz łdjący ię z zer ztępuje ię wpółczynnimi pchdnej wielminu pmcniczeg z pprzednieg wierz. Wielmin ten buduje ię, umując dpwiednie ilczyny wpółczynniów z tblicy Ruth ze zmienną w ptędze wynijącej z ntrucji twrzyznej z nią tbeli wielminwej. Drugą ytucją wyjątwą jet ytucj, iedy element w lewej rjnej lumnie tblicy Ruth równ ię zeru. Wtedy bdne równnie chrterytyczne nleży pmnżyć przez czynni (+) i rzpcząć bdnie tbilnści t trzymneg równni z pmcą ryterium Ruth d pczątu. Liczb > jet liczbą rzeczywitą i nie jet pierwitiem równni chrterytyczneg.. Kryterium Nyquit Kryterium Nyquit m duże znczenie prtyczne, pniewż pzwl bdć tbilnść ułdu zmnięteg n pdtwie przebiegu chrterytyi częttliwściwej ułdu twrteg, tórą mżn wyznczyć zrówn nlitycznie, j i dświdczlnie. Rzptrzmy ułd liniwy chemcie blwym przedtwinym n ry.. Trnmitncj ułdu twrteg () jet równ: (8) Przedtwijąc tę trnmitncję w ptci ilrzu wielminów trzymmy: M (9) N przy czym N () = jet równniem chrterytycznym ułdu twrteg. Trnmitncj ułdu zmnięteg z () jet równ: z M N z z () przy czym N z () = + () = jet równniem chrterytycznym ułdu zmnięteg. Pdtwy utmtyi mgr inż. Brtz BRZOZOWSKI 9

10 Stbilnść liniwych ułdów utmtyi Przedtwijąc równnie chrterytyczne ułdu zmnięteg w ptci widmwej N(j) = N() dl = j trzymmy: N j j () gdzie: (j) jet chrterytyą częttliwściwą ułdu twrteg Stbilnść ułdu zmnięteg zleży d jeg równni chrterytyczneg N() =. Z równni () wyni, że mżn ją cenić n pdtwie chrterytyi częttliwściwej ułdu twrteg (j). j X() () Y() () Ry.. Schemt blwy ułdu Kryterium Nyquit mżn frmułwć ntępując: Ułd zmnięty jet tbilny, jeżeli przyrt rgumentu wyrżeni (wetr) + (j) przy zminie pulcji d d jet równy, gdzie jet ilścią pierwitów równni chrterytyczneg ułdu twrteg, części rzeczywitej ddtniej, czyli: j () Przyrt rgumentu wetr nleży rzumieć j brtu teg wetr, przy zminie pulcji w reślnym zreie. Zwróćmy uwgę, jeżeli, t ułd twrty jet nietbilny, pniewż pid pierwiti równni chrterytyczneg części rzeczywitej ddtniej. Stąd wyni, że itnieją ułdy zmnięte tbilne, pmim że ułd twrty jet nietbilny. Spób bliczni przyrtu rgumentu wetr + (j) pzn n ry.6. ω ω ω -,j ω= (jω) ω= ω Δφ Δφ -,j Δφ + (jω) Δφ Ry.6. Spób bliczni przyrtu rgumentu wetr + (j) Pdtwy utmtyi mgr inż. Brtz BRZOZOWSKI

11 Stbilnść liniwych ułdów utmtyi j j j j j () Wzór () wyni ze twierdzeni, że przyrt rgumentu wetr + (j) rzuminy jet j ąt brtu teg wetr przy zminie d d, tórą t zminę mżemy rzbić n lejne etpy ( = d = ; = d =, itd.) Rzptrzmy becnie przypde njczęściej wytępujący =, tzn. że ułd twrty jet tbilny. Z pdneg pwyżej ryterium wyni, że ułd twrty jet tbilny. Z pdneg pwyżej ryterium wyni, że ułd zmnięte też jet tbilny, jeżeli: j () Przyłd przebiegu chrteryty mplitudw fzwych (j) ułdu twrtych tbilnych, tóre p zmnięciu będą: ) tbilne, b) nietbilne (ry.7). ) b) -,j + (jω) ω= ω= -,j ω= ω= (jω) Δφ[+ (jω)]= <ω< + (jω) (jω) Δφ[+ (jω)]=-π <ω< + (jω) -,j (jω) ω= ω= + (jω) -,j (jω) ω= ω= ω ω -,j ω= ω= -,j ω= ω= + (jω) + (jω) Ry.7. Przyłd przebiegu chrteryty mplitudw fzwych (j) ułdu twrtych tbilnych, tóre p zmnięciu będą: ) tbilne, b) nietbilne Pdtwy utmtyi mgr inż. Brtz BRZOZOWSKI

12 Stbilnść liniwych ułdów utmtyi dy w ułdzie twrtym wytępuje jeden lub więcej elementów cłujących, chrteryty (j) zczyn ię w nieńcznści (dl = ). Nleży wtedy chrterytyę te uzupełnić częścią ręgu prmieniu równym nieńcznści R = przez tyle ćwirte, ile wytępuje elementów cłujących. N ry.7 trzeci przypde dpwid ułdwi twrtemu, w tórym wytępuje jeden element cłujący, dlteg ztł uzupełniny częścią ręgu nrywną linią przerywną. Rzptrzmy ułd twrty tbilny, w tórym wytępują dw elementy cłujące, wtedy przebieg chrterytyi (j) jet zgdny z ry.8. Chrterytyę tę nleży uzupełnić półręgiem prmieniu R =. + (jω) -,j (jω) ω= R= Ry.8. Chrteryty (j) ułdu twrteg z dwm elementmi cłującymi Z ryunu teg wyni, że ti ułd p zmnięciu będzie zwze nietbilny (ułd nietbilny truturlnie), pniewż punt (-,j) leży p prwej trnie chrterytyi (j). Kryterium t jet prte w prtycznym ztwniu, gdy znmy chrterytyę mplitudw fzwą (j) rz wiemy, że ułd twrty jet tbilny, trzymmy nlizując tbilnść elementów (pdzepłów) wchdzących w łd ułdu twrteg. Jeżeli twierdzimy, że wzytie elementy łdwe ą tbilne, t ułd twrty też jet tbilny. W celu udwdnieni pwyżzeg twierdzeni przyjmiemy, że ułd twrty łd ię z dwóch elementów trnmitncji () i () ry.. M M gdzie: ; N N Pdtwy utmtyi mgr inż. Brtz BRZOZOWSKI M M M () N N N Stąd N ()=N ()N () zncz wielmin chrterytyczny ułdu twrteg równy ilczynwi wielminów chrterytycznych elementów łdwych. Ztem pierwitmi równni chrterytyczneg ułdu twrteg ą pierwiti równń chrterytycznych elementów łdwych. Pwyżze rzumwnie mżn rzzerzyć n dwlną ilść elementów łdwych.

13 Stbilnść liniwych ułdów utmtyi Pdtwy utmtyi mgr inż. Brtz BRZOZOWSKI Przyłdy zdń rchunwych. Przyłd. Zbdć tbilnść ułdu twrteg i zmnięteg chemcie blwym (ry.9), gdzie () zncz trnmitncję regultr PD. W tym celu nleży rzytć z ryterium Hurwitz ; X() Y() () () Ry.9. Chrteryty (j) ułdu twrteg z dwm elementmi cłującymi I. Trnmitncj ułdu twrteg () jet równ: tąd równnie chrterytyczne ułdu twrteg () m ptć: N ) wrune nieczny jet pełniny, pniewż >, >, >, >, >. Wyznczni Hurwitz ułdu twrteg m ptć: ) wrune wytrczjący wymg prwdzeni znu pdwyznczniów i : 6 8 Ułd twrty jet nietbilny, pniewż <.

14 Stbilnść liniwych ułdów utmtyi Pdtwy utmtyi mgr inż. Brtz BRZOZOWSKI II. Trnmitncj ułdu zmnięteg z () jet równ: X Y tąd równnie chrterytyczne ułdu zmnięteg N() m ptć: N ) Wrune nieczny pełniny. Wyznczni Hurwitz m ptć: ) Wrune wytrczjący wymg prwdzeni znu pdwyznczniów i : 9 6 Ułd zmnięty jet tbilny. Mmy tu d czynieni z przypdiem, iedy nietbilny ułd twrty p zmnięciu tje ię ułdem tbilnym.. Przyłd Oreślić tbilnść z wyrzytniem ryterium Nyquit ułdu zmnięteg chemcie blwym przedtwinym n ry., gdzie w trze głównym wytępuje element cłujący rzeczywity trnmitncji: T v X() Y() T v Ry.. Schemt blwy ułdu

15 Stbilnść liniwych ułdów utmtyi W nlizwnym przyłdzie trnmitncj ułdu twrteg jet równ trnmitncji (). Chrteryty mplitudw fzw ułdu twrteg (j) przedtwin jet n ry.. Ułd twrty jet tbilny dl T >, gdyż element cłujący rzeczywity jet tbilny (nieympttycznie). Pid bwiem pierwiti równni chrterytyczneg =, = -/T. Pniewż w ułdzie twrtym wytępuje element cłujący, chrterytyę uzupełnimy częścią ręgu R = (lini przerywn n ry.). Z ryunu teg wyni również, że ułd zmnięty będzie zwze tbilny, niezleżnie d wrtści v i dl T >, pniewż punt (-,j) leży zwze p lewej trnie chrterytyi częttliwściwej ułdu twrteg (j). T -, j ω= + (jω) R ω= (jω) Ry.. Chrteryty mplitudw fzw ułdu twrteg trnmitncji T v. Przyłd Zbdć tbilnść ytemu pineg przez wielmin chrterytyczny M() = W tym celu nleży wyrzytć ryterium Ruth. W tym celu budujemy tblice Ruth zgdnie z zleżnścią (). Wówcz trzymmy: Pniewż w pierwzej lumnie wytępuje pdwójn zmin znu, wielmin M() m dw pierwiti w prwej półpłzczyźnie zeplnej. Pdtwy utmtyi mgr inż. Brtz BRZOZOWSKI

16 Stbilnść liniwych ułdów utmtyi. Przyłd Zbdć tbilnść ytemu pineg przez wielmin chrterytyczny M() = W tym celu nleży wyrzytć ryterium Ruth. W tym celu budujemy tblice Ruth zgdnie z zleżnścią (). Wówcz trzymmy: Pniewż trzeci element pierwzej lumny jet zerem, tblic nie mże być uzupełnin. P pmnżeniu wielminu M() przez (+) trzymuje ię wielmin M ()=(+)M()= , dl tóreg tblic Ruth m ptć: Pniewż w pierwzej lumnie wytępuje pdwójn zmin znu, wielmin M () (czyli również wielmin M()) m dw pierwiti w prwej półpłzczyźnie zmiennej zeplnej Litertur. Zbigniew WAŁACH Cybernety techniczn. Część I Epltcj przętu, Wydził Wydwniczy WAT, Wrzw 98. Jnuz KOWAL Pdtwy utmtyi. T, Uczelnine Wydwnictw Nuw- Dydtyczne AH, Krów, Sygntur: 678. Tdeuz Kczre Teri terwni. Tm I Ułdy liniwe ciągłe i dyretne. Pńtwwe Wydwnictw Nuwe, Wrzw Driuz Hrl Pdtwy utmtyi. Ćwiczeni rchunwe. Część I, Wydwnictw Plitechnii Pznńiej, Pznń.. Włdyłw Pełczewi Teri terwni. Ciągłe tcjnrne ułdy liniwe Wydwnictw Nuw Techniczne, Wrzw 98, Sygntur: II 6. Pdtwy utmtyi mgr inż. Brtz BRZOZOWSKI 6