XII.1.2. Rozwiązania urojone.

Transkrypt

1 XII... Rzwiązni urjne. Mtemtc twierdzą, że Krl Friedrich Guss ( , strnm, fizk i mtemtk niemiecki) twierdził z żci sweg, że kżde równnie stpni n zwsze m dkłdnie n rzwiązń. Ani mniej, ni więcej. Uprzejmie dnsim : pwższeg Krl Friedrich Guss nie twierdził! Ale tk pświdczją (n piśmie!) mtemtc, le już p śmierci K.F.Guss, i upierją się, że kżde równnie musi mieć dpwiednią ilść rzwiązń. Pniewż, jk widm, nie wszstkie równni mją t.zw. rzwiązni, t mtemtc przedstwiją, że jeżeli dne równnie nie m rzwiązń w dziedzinie t.zw. liczb rzeczwistch, t m tkie rzwiązni w dziedzinie liczb urjnch! Pwższe rzptrzm n przkłdzie równni stpni drugieg, n które mtemtc njczęściej pwłują się. Równnie stpni drugieg z dwiem niewidmmi m pstć: A B C D E F 0 Mżn wkzć, że pwższe równnie przedstwi sbą:. zbiór pust (równnie nie jest spełnine przez żdną prę liczb rz );. punkt; 3. dwie prste (pkrwjące się różnie);. krąg ( D E F 0); 5. elipsę pwstjącą z kręgu przez pwinwctw prstkątne względem si lub si : (A C F 0 dl AC > 0, A F < 0 rz A C); 6. hiperblę (A C F 0 dl A C < 0 rz F 0); 7. prblę (C D E F 0 lub A D E F 0). W prstkątnm ukłdzie współrzędnch (ukłd krtezjński) prbl pisn równniem: przedstwin jest n rs. M.. b c (M.6.) I. Dl > 0, czli dl (), rmin prbli skierwne są w kierunku ddtnim si. Dl < 0, czli dl (), rmin prbli skierwne są w kierunku ujemnm si. II. Oś smetrii s prbli kreśln jest przez prstą równniu (prstpdł d si ): b (M.7.) Dl rz b jednkweg znku, ś smetrii s znjduje się p ujemnej strnie si. Dl rz b różnch znków, ś smetrii s znjduje się p ddtniej strnie si. Dl b 0 ś smetrii s prbli pkrw się z sią.

2 Fig. M.. Prbl równniu: b c III Współcznnik c kreśl punkt przecięci prbli z sią. IV. Wierzchłek V (verte) prbli kreśln jest przez współrzędne: gdzie: b c b V ; (M.8.) zwne jest wróżnikiem równni kwdrtweg (M.6.). b c (M.9.) W gólnści, wkres równni (M.6.) przecin się lub nie przecin się z sią w prstkątnm ukłdzie współrzędnch (ukłd krtezjński). W celu sprwdzeni teg, równnie (M.6.) piszem w pstci: b c 0 czli nrzucm wrunek: 0, czli szukm tkich wrtści, dl którch 0. (M.0.) ) jeżeli > 0, t mówi się, że równnie (M.0.), psid dw rzwiązni (pierwistki) rz, które kreślją dw punkt przecięci się prbli (M.0.) z sią : b b Pwższe zncz, że rz pwinn bć przeciwnch znków. (M..) b) jeżeli 0, t tkże 0, i prbl psid punkt stcznści z sią (wierzchłek prbli). W tkim przpdku, dne równnie prbli psid tlk jeden pierwistek (M.7.). Punkt stcznści trktwn jest tu jk pdwójn punkt przecięci:. Stąd też kreślenie: pdwójne rzwiąznie. c) Jeżeli < 0, t rz są teg smeg znku, i prbl nie przecin się z sią, tkże nie m punktu stcznści z sią (Fig. M..). W tkim przpdku mówi się, że równnie (M.0.) nie m rzwiązń, pniewż nie m i nie mże bć liczb kreśljącch płżenie punktów przecięci rmin prbli z sią. W przpdku brku t.zw. rzwiązń (prbl nie przecin się z sią ), mm:

3 b b Pwższe zleżnści wrt, nwet nleż prównć z zleżnścimi (M..). Rzwiązni (dsłwnie!) urjne (M..) Brk rzwiązń według zleżnści (M..), c wskzwne jest ujemną wrtścią pd pierwistkiem, bł inspircją d znlezieni jednk rzwiązń, rzekm n zgdnść z twierdzeniem Guss, że kżde równnie stpni n musi mieć dkłdnie n rzwiązń. Ani mniej, ni więcej. Krzst się tutj z smblu i jki wprwdził L. Euler. Stsując pwższe, dl wrunku < 0 przedstwi się, że jeżeli równnie (M.0.) nie psid rzwiązń w dziedzinie liczb rzeczwistch w pstci rzwiązń (M..), t psid rzwiązni w dziedzinie t.zw. liczb urjnch, czli pierwistków zesplnch pstci: b i b i i i (M.3.) (ptrz np.: I. N,. Brnsztejn i K. A. Siemiendijew Mtemtk. Prdnik encklpedczn, tłum. z rs., PWN 968, str. 70). Pwższe jest rbitrlnm dpisniem (sic!) liczb i przed pierwistkiem w zleżnścich (M..). Pwduje t zminę znku pd pierwistkiem. Tm smm, rzwiązni (M.3.) nie są ni liczbmi urjnmi, ni też liczbmi zesplnmi! Dkłdnie wbrew zpewnienim mtemtków. Dwód pwższeg: Według definicji liczb i, pdnej (sbiście!) przez L. Euler, mm: b i b i b b (M..) i są t rzwiązni w dziedzinie liczb cłkiem rzeczwistch (!) według zleżnści (M..). Ale, brdz dkłdnie według pwższej metd mtemtcznej, mżem ( nwet musim!) wstwić smbl i przed pierwistkmi rzwiązń cłkiem rzeczwistch, czli w zleżnścich (M..), i mm: b i b i b i b i b b (M.5.) I są t brdz dkłdnie rzwiązni pstci (M.)!

4 Czli brk rzwiązń! Dlej wkżem, że zleżnści (M.3.), (M..) rz (M.5.) dnszą się d zmieninch równń prbli według zleżnści (M.0.). Trnslcj prbli Pwtórzm: pisnie równni (M.6.) w pstci (M.0.) zncz, że szukm punktów, czli liczb rz im przpisnch n si, nie gdzieklwiek indziej. M t n celu sprwdzenie, i bez wknwni wkresu, cz dn prbl: przecin się z sią ( dw rzwiązni (M..); m jeden punkt wspóln z sią (jedn pdwójne rzwiąznie (M.7.); nie przecin się i nie m punktu wspólneg z sią (nie m rzwiązń w pstci zpisu (M..), c nzwne jest brkiem rzwiązń). I nic więcej! Brdz dkłdnie nic więcej! W przpdku ujemnej wrtści, czli brku rzwiązń pstci (M.), zpis (M..) włśnie brku rzwiązń mdfikwn jest przez mtemtków d pstci zesplnch zleżnści (M.3.), czli (M..). Rzptrzm więc c nstępuje. Rzwiązni (M..) rz (M.5.) trzmuje się w wniku zmin znku pd pierwistkiem, dpwiedni w zleżnścich (M..) rz (M..). A t włącznie pprzez dpisnie liczb i przed pierwistkiem. Ale zmin znku ( tm smm zmin znku ; Eq. M.8.) jest brdz dkłdnie równwżn ddniu wrtści ( ± ) rz ( m ), pd dpwiednimi pierwistkmi zleżnści (M..) rz (M..). Złóżm, że dne równnie nie m rzwiązń według zleżnści (M..). Dpisując pd pierwistkmi ( ) znjdujem rzwiązni (M..), czli rzwiązni (M.3.), czli rzwiązni (M..). Ale pwższe zncz trnslcję prbli wzdłuż si dkłdnie wrtść ( ), c zstł przedstwine n rs. M.3. Prbl zstł przesunięt w dół, i przecięł się z sią -ów. I w ten t prst spsób znlzł się rzwiązni cłkiem rzeczwiste, nie urjne! Fig. M.3. Trnslcj prbli m ). (

5 Ale przesunięt prbl nie jest już tą smą prblą: jest prblą innm równniu! A t dwód pwższeg. W szczególnści, jeżeli równnie pstci (Fig M.3.) b c 0 ( > 0 ) (M.6.) nie m rzwiązń rz (Eqs M.., prbl rminch skierwnch d gór znjduje się pnd sią -ów), t przesunięcie prbli w dół wrtść ( ) pwduje, że wierzchłek prbli znjdzie się pd sią -ów, pwższe równnie przjmuje pstć: b (c ) 0 i prbl m punkt przecięci rz, czli rzwiązni (M.).. Ale równnie (M.7.) NIE JEST JUŻ równniem (M.6)! (M.7.) Oczwiście, przesuniętą w dół prblę mżem z klei przesunąć w górę, czli w równniu (M.7.) ddć w nwisie ( ). Otrzmm z pwrtem równnie (M.6.), prbl znjdzie się pnd sią -ów. A t zncz brk rzwiązń według zleżnści (M.5.)! Jk przkłd, n któr mtemtc brdz lubią pwłwć się, rzptrzm równnie nstępującej pstci: 0 Mm więc: > 0; b 0 rz c > 0. Pndt: 0; < 0 rz > 0. (M.8.) Równnie (M.8.) nie m rzwiązń, czli prbl nie przecin się z sią, pniewż wierzchłek prbli znjduje się pnd sią -ów ( > 0) rz rmin skierwne są w ddtnim kierunku si ( > 0). Fig. M.. Trnslcj prbli (Eqs M.8. rz M.0.). Brk rzwiązń mżem zpisć z pmcą zleżnści (M..), i mtemtc piszą: i i (M.9.)

6 zklinjąc się n wszstkie świętści, że istnieją liczb urjne nie tlk ddtnie, le tkże ujemne (Eqs M..), które (pnć) są jk njbrdziej rzeczwiste, pniewż są... urjne! Żeb t udwdnić, mtemtc użwją reguł (M..), i znjdują rzwiązni (M.3.): i i i i i i ( i)( i) ( i)( i) Nie mówi się prz tm, że dknn trnslcji prbli (Fig. M.). Rzwiązni (M.0.) są słuszne dl równni: Ale NIE JEST t równnie (M. 8.)! 0 (M.0.) Jk t wżej przedstwiliśm, mtemtc twierdzą, wskzując n K.F. Guss, że kżde równnie stpni n musi mieć n rzwiązń. Jeżeli nie w dziedzinie t.zw. liczb rzeczwistch, t w dziedzinie t.zw. liczb urjnch. Otóż, z żci sweg Krl Friedrich Guss twierdził (Disquisitines rithmetice, 80), że kżde równnie stpni n mże mieć mksmlnie n rzwiązń, którm dpwid n punktów przecięci prstej z krzwą pisną tm równniem. Ale, mże mieć nie zncz, że musi mieć. Ale przeknnie mtemtków sprwdz się d wir (głębkiej!), że kżde równnie drugieg stpni musi mieć dw rzwiązni. A t zncz, że prbl musi przecinć się z sią -ów. Uprzejmie dnsim z ś.p. K.F. Gussem, że nie musi! Amen. Przestrzeń hiperurjn Jk wżej wskzliśm, włśnie L. Euler wprwdził zpis i, któr t zpis stł się pdstwą wnlzku liczb urjnch. Z klei, m pzwlm sbie wprwdzić liczbę hiper włsnścich, zwną dlej liczbą hiperurjną j, pstci: j 0 Pniewż zer (0) jest sumą dwlnch liczb smetrcznch (według mtemtków, czwiście), t tm smm liczb hiperurjn j m brdziej góln chrkter niż liczb urjn i, pniewż j zwier w sbie wszstkie liczb znne i nieznne, w tm tkże liczb dwlnie urjne! Wróćm terz d równni (M.6.). Według mtemtków równnie t psid rzwiązni (M.3.) w dziedzinie t.zw. liczb urjnch. Zstępując w zleżnścich (M.3.) liczb urjne i liczbmi hiperurjnmi j, znjdujem: b m j i jest t rzwiąznie według zleżnści (M.7.), c widć n rs. M.5. b (M..) Wkzliśm więc, że niezleżnie d przestrzeni urjnej i istnieje przestrzeń hiperurjn j, któr pdbnie jk przestrzeń urjn i jest cłkiem... rzeczwist!

7 Fig. M.5. Trnslcj prbli (Eq. M.6.) w przestrzeni hiperurjnej. Pndt, w przestrzeni hiperurjnej j, hiperurjn liczb j mże bć jednm z rzwiązń dl wszstkich równń pstci (M.0.). Zuwżm więc, że pisnie równni (M.6.) w pstci równni (M.0.) jest niczm nieuzsdninm wskzniem, że tlk zmienn mże spełnić wrunek: 0. Otóż, zmienn też mże spełnić ten sm wrunek. Dlteg, nie tlk mżem, le musim npisć: 0 rz 0. Dl tch wrunków, jednkwch dl bdwu zmiennch, w kżdm równniu stpni drugieg (tkże dwlneg stpni n) krzw kreśln dnm równniem przecin się z pczątkiem ukłdu współrzędnch. Spełnine jest t dl wrunku: c 0 w równnich (M.6.) rz (M.0), i mm: b ( b) 0 skąd znjdujem dw rzwiązni (Fig. M.6.): 0 jk njbrdziej rzeczwiste! b (M..) Fig. M.6. Prbl w przestrzeni hiperurjnej j. Zmist więc męczć dzieci w szkle skmplikwnmi i niezrzumiłmi rzwiąznimi (M..), i z klei rbić wnlzki w pstci liczb urjnch i zesplnch pstci (M..), nleż pdziłć liczbą hiperurjną j n cznnik c w równniu (M.0.), i pisć: b jc 0

8 Kżd prbl pisn pwższm równniem przecin się jedncześnie z simi rz, czli przecin się z nimi w pczątku ukłdu współrzędnch, czli 0, jk t przedstwin n rs. M.6. Jeżeli chcem znleźć drugi punkt przecięci, t łtwiutk w pmięci (!) znjdziem rzwiąznie według zleżnści (M..).