KONKURS MATEMATYCZNY STOŻEK 2007/ Na rozwiązanie 10 zadań masz 90 minut. 2. Dokładnie czytaj treści zadań i udzielaj odpowiedzi.

Transkrypt

1 KONKURS MATEMATYCZNY STOŻEK 007/ N rozwiąznie 10 zdń msz 90 minut.. Dokłdnie cztj treści zdń i udzielj odpowiedzi.. W rozwiąznich zdń przedstwij swój tok rozumowni.. Rozwiązni zpisuj długopisem, jednie do wkonwni rsunków możesz użwć ołówk. 5. Nie użwj korektor ni kolorowch pisków. 6. W rzie pomłki skreśl wbrn frgment. 7. Nie korzstj z klkultor. POWODZENIA ŻYCZY KOMISJA KONKURSU MATEMATYCZNEGO STOŻEK

2 ZADANIA Zdnie 1 Różnic kwdrtów dwóch liczb nturlnch wnosi 8. Jkie to liczb? Zdnie Przez jki czs w ciągu dob n wświetlczu zegrk elektronicznego widoczn jest jedn cfr 9? Zegrek wświetl godzin i minut, nie pokzuje sekund. Zdnie Gdb Aleksnder Wielki umrł o 5 lt wcześniej, pnowłb 1 swego żci, gdb zś żł o 9 lt dłużej, pnowłb połowę swego żci. Ile lt żł i ile lt pnowł? Zdnie Mrek kupił 10 bułek, Witek 6. Podzielili je n równe części i wrz z Krzsiem zjedli. Nstępnie Krzś oddł kolegom w sumie 80 gr. z zjedzone bułki. Ile pieniędz otrzmł Witek? Zdnie 5 W okręgu o środku w punkcie O przeprowdzono średnicę AB i dwie cięciw AE i BF przecinjące się w punkcie K i tkie, że AE = BF. Oblicz mir kątów trójkąt ABC, jeżeli 0 C jest punktem, w którm przecinją się proste AF i BE, kąt AKB = 1. Zdnie 6 W kwdrcie o boku ścięto nroż tk, że powstł ośmiokąt o równch bokch. Oblicz pole tego ośmiokąt. Zdnie 7 W czsie godzin smolot przelecił z witrem drogę o długości 11 km. Lecąc pod witr z tką smą prędkością przelecił w czsie 1 godzin km. Jk jest prędkość smolotu, jk witru? Zdnie 8 Trz grcje niosą jbłk, kżd m jednkową ich ilość. Spotkją dziewięć muz, n ich prośbę obdrzją kżdą muzę jednkową ilością jbłek. Po podzile kżd grcj i kżd muz mił tką smą ilość jbłek. Ile jbłek mił kżd z grcji przed podziłem? Zdnie 9 Trzcin bmbusow, mjąc łokcie i wznosząc się pionowo n równinie, zostł w jednm miejscu złmn przez witr. Wierzchołek jej dotknął ziemi o 16 łokci od podstw. Ile łokci nd ziemią zostł złmn trzcin bmbusow? Zdnie 10 W ciągu dwóch lt wiek czterech członków pewnej rodzin wzrósł odpowiednio o %, 5%, 10% i 0%. O ile procent wzrosł średni wieku tch czterech osób?

3 ROZWIĄZANIA (propozcj punktcji) Zdnie 1. Niech szuknmi liczbmi będą n i k i niech n > k (n k, poniewż gdb n = k wted błob n - k =0 wbrew złożeni). Mm n - k = (n + k)(n - k) = 8 i n - k < n + k. Poniewż 8 = 1 8 = 1 = 7 (1 pkt) więc mogą zchodzić wrunki: n k = 1 n k = n k = lub lub n + k = 8 n + k = 7 n + k = 1 (podnie poprwnch ukłdów n = 9 n = 11 n = 16 n = 1 1 N n = 5 1 N równń pkt n = 8 k = 6 Z pierwszch dwóch wrunków wnik sprzeczność ( n musi bć liczbą nturlną) ztem liczbmi spełnijącmi wrunki zdni są 8 i 6. Spr. 8-6 = 6-6 = 8. (prwidłowe rozwiąznie ukłdów równń i podnie odpowiedzi) pkt Zdnie. Cfr 9 wstępuje w godzinie 9-tej i 19-tej, tkże pojwi się w nstępującch minutch: 09, 19, 9, 9, 9, 59. 1pkt 60min.-6min.=5min. w liczbie godzin jest dziewiątk (przez 6 min. są dwie dziewiątki) min.*6min.=1min w liczbie godzin nie m dziewiątki *5+1=0min. pkt Odp. W ciągu dob jedn dziewiątk pojwi się n wświetlczu przez 0min. 1pkt Zdnie. - lt żci Aleksndr Wielkiego - lt pnowni Aleksndr Wielkiego 5 = + 9 = 1 1 ( 5) ( ) = + 9 = 1 pkt (podnie dnch i ukłd równń) Odp. Aleksnder Wielki żł lt, pnowł 1 lt. (prwidłowe rozwiąznie ukłdu i odpowiedź pkt) Zdnie. Kżd z chłopców zjdł 5 1 bułki ( zkłdm, że bł wmóg i zjedli po równo 16 : = 5 1 ). 1 pkt Mrek oddł więc Krzsiowi, Witek bułki. Krzś z zjedzenie 5 1 bułki zpłcił 80 gr., stąd 1 bułk kosztowł 80 gr. : 5 1 = 15 gr. pkt Witek dł Krzsiowi bułki więc powinien otrzmć 15 gr. = 10 gr. pkt

4 C Zdnie 5. F K E 1 0 A B prwidłow rsunek 1 pkt Trójkąt AKB jest równormienn bo trójkąt ABE i ABF są przstjące. Obliczm mirę kąt KBA: kąt KBA = ( ): = 56 0 : = 8 0, - 1 pkt obliczm mirę kąt CAB: kąt CAB = = 6 0, poniewż kąt CAB = kąt CBA więc kąt CBA = 6 0 i kąt ACB = = pkt Odp: Osttecznie kąt trójkąt wnoszą: 56 0, 6 0, pkt Zdnie 6. rsunek 1 pkt D E C F A B Poniewż trójkąt FCE jest prostokątn, więc = +, czli = i = =. Poniewż + + = więc ( ) 1 + = = = = - pkt + Obliczm pole ośmiokąt: 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( ) P = = = + = ( ) 1 + = = - pkt

5 Zdnie 7 V s prędkość smolotu V w prędkość witru 11 = ( Vs + V = Vs Vw w ) V V s w = 0 = 18 - pkt (podnie dnch i ukłd równń), (prwidłowe rozwiąznie ukłdu równń) 1 pkt Odp: Prędkość smolotu wnosi 0 km/h, witru 18 km/h. 1 pkt Zdnie 8 Wszstkie boginie, bło ich w sumie 1, mił po podzile jednkową ilość jbłek. Więc ogóln liczb jbłek musi bć wielokrotnością liczb 1, z czego wnik, że kżd z trzech grcj mił przed podziłem liczbę jbłek podzielną przez. Wiem również, że kżd grcj obdrzł dziewięć muz jednkową ilością jbłek, czli ilość t nie może bć mniejsz od 9. Pierwszą wielokrotnością liczb większą od 9 jest 1. Liczb t więc będzie poszukiwną, gdż jeśli kżd grcj d jedno jbłko kżdej muzie, to kżdej grcji pozostną jbłk i kżd z muz otrzm jbłk. Rozwiązniem zdni są więc wszstkie wielokrotności liczb 1. W przpdku podni jednego rozwiązni ( np. 1) pkt Poprwn odpowiedź z uzsdnieniem - 5 pkt Zdnie 9 Przpuśćm, że trzcin zostł złmn n wsokości łokci nd ziemią. Z trójkąt prostokątnego o przprostokątnch i 16 orz przeciwprostokątnej - mm równnie lgebriczne ( - ) = + 16, którego rozwiązniem jest liczb 0. Anliz zdni (rsunek) 1 pkt Prwidłowe równnie pkt Prwidłowe rozwiąznie równni 1 pkt Poprwn odpowiedź 1 pkt Zdnie 10, b, c, d wiek członków rodzin 0,0= =50 0,05b= b=0 0,10c= c=0 0,0d= d=10 nliz pkt Średni wieku n początku - = 0-1 pkt Średni wieku po dwóch ltch - = - 1 pkt 0 Procentow wzrost średniej - 100% = 6 % - 1 pkt 0 Prwidłowo zrobione zdnie punktujem mksmlnie (5 pkt) bez względu n metodę rozwiązni.