Wielowymiarowa analiza statystyczna w badaniach rynku kapitałowego *
|
|
- Krzysztof Sowiński
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Zeszyty Uiwersytet Ekoomiczy w Krakowie Naukowe 4 (976) ISSN e-issn Zesz Nauk UEK, 018; 4 (976): Katarzya Budy Ja Tatar Wielowymiarowa aaliza statystycza w badaiach ryku kapitałowego * Streszczeie We wcześiejszych pracach autorzy artykułu przedstawili odmiee od klasyczego podejście do opisu i badaia wielowymiarowych rozkładów prawdopodobieństwa Było to możliwe dzięki uprzediemu zdefiiowaiu potęgi wektora w przestrzei z iloczyem skalarym W iiejszym artykule zapropoowae wcześiej owe arzędzia wykorzystao do badaia i aalizy wybraych dwu-, trzy- oraz czterowymiarowych wielkości (o charakterze wektorów losowych) występujących a polskim ryku kapitałowym Współrzędymi wektorów są ideksy giełdowe WIG, WIG- WIG-Baki, WIG-Paliwa oraz retowości tych ideksów Wykorzystując dae rykowe z okresu od 4 styczia 016 r do 7 lipca 017 r, wyzaczoo oraz ziterpretowao estymatory astępujących parametrów badaych rozkładów: wartość oczekiwaa, wariacja łącza, odchyleie stadardowe łącze, współczyik asymetrii, orma (długość) współczyika asymetrii, kwadrat współczyika asymetrii, kurtoza oraz współczyik ekscesu W celach poglądowych oraz porówawczych dla każdego wektora wyzaczoo rówież macierz kowariacji, macierz współczyików korelacji cząstkowych oraz klasyczie rozumiae astępujące charakte- Katarzya Budy, Uiwersytet Ekoomiczy w Krakowie, Wydział Fiasów i Prawa, Katedra Matematyki, ul Rakowicka 7, Kraków, budyk@uekkrakowpl Ja Tatar, Uiwersytet Ekoomiczy w Krakowie, Wydział Fiasów i Prawa, Katedra Matematyki, ul Rakowicka 7, Kraków, tatarj@uekkrakowpl * Artykuł powstał w wyiku realizacji projektu badawczego sfiasowaego ze środków przyzaych Wydziałowi Fiasów i Prawa Uiwersytetu Ekoomiczego w Krakowie w ramach dotacji a utrzymaie potecjału badawczego
2 16 Katarzya Budy, Ja Tatar rystyki rozkładów brzegowych: wartość oczekiwaa, wariacja, odchyleie stadardowe, współczyik asymetrii, kurtoza oraz współczyik ekscesu Poadto dla wybraych par badaych fiasowych wektorów losowych wyzaczoo estymator kwadratu współczyika korelacji wielowymiarowej jako jedą z możliwych miar ich zależości Słowa kluczowe: parametry rozkładu prawdopodobieństwa, wielowymiarowy wektor losowy, estymator, ryek kapitałowy, ideks giełdowy, retowość Klasyfikacja JEL: C15, C18, G1 G11 1 Wprowadzeie Zdecydowaa większość wielkości rozważaych w procesie badaia i aalizy sytuacji społeczo-demograficzo-gospodarczej kokretego kraju, grupy krajów bądź kokretego regiou ma charakter zmieych losowych Ozacza to, że są oe fukcjami określoymi a przestrzei probabilistyczej o wartościach ależących do zaego zbioru Jeżeli wartości te są poadto kwatyfikowale, to mamy wówczas do czyieia ze zmieymi losowymi o wartościach liczbowych Często badaiu poddawae są ie pojedycze zmiee losowe, ale ich odpowiedio dobrae zestawy, czyli zmiee losowe wielowymiarowe, azywae także wektorami losowymi W klasyczie rozumiaej statystyce matematyczej, w kosekwecji także w klasyczej statystyce opisowej, wypracowaa została stosowa metodologia opisu, badaia i aalizy wektorów losowych Charakterystyczą cechą tej metodologii jest, że badając day wektor losowy, w istocie badaiu poddaje się jedowymiarową zmieą losową będącą odpowiedio zdefiiowaą fukcją zmieych losowych staowiących współrzęde tego wektora W wielu wcześiejszych pracach autorzy iiejszego opracowaia przedstawili propozycję odmieego od klasyczego sposobu opisu i aalizy wielowymiarowych rozkładów prawdopodobieństwa oraz wykorzystali zapropoowae owe arzędzia do modelowaia i badaia tych wielkości, które mają charakter wielowymiarowych wektorów losowych W prezetowaej pracy, ależącej także do urtu badań ad wielowymiarowymi charakterystykami społeczo-gospodarczymi, zapropoowae wcześiej owe arzędzia probabilistycze wykorzystae zostały do opisu i badaia wybraych wektorowych charakterystyk polskiego ryku kapitałowego Współrzędymi badaych wektorów były poziomy ideksów giełdowych: WIG, WIG- WIG-Baki oraz WIG-Paliwa, a także retowości tych ideksów Dae, które wykorzystae zostały w części merytoryczej artykułu, pochodzą z okresu od 4 styczia 016 r do 7 lipca 017 r W pierwszej, metodologiczej części artykułu przypomiao, wskazując jedocześie kokrete pozycje literaturowe, probabilistycze i statystycze
3 Wielowymiarowa aaliza statystycza 163 arzędzia, czyli defiicje oraz postaci zarówo samych parametrów wielowymiarowych rozkładów prawdopodobieństwa, jak i ich estymatorów, których wartości, czyli oszacowaia (ocey) parametrów, zostały wyzaczoe i ziterpretowae w części merytoryczej Wybrae parametry wielowymiarowych rozkładów prawdopodobieństwa oraz ich estymatory Podstawowymi charakterystykami rozkładu jedowymiarowej zmieej losowej są jego momety zwykłe oraz cetrale (por p Feller 1969, Shao 003) W pracach (Tatar 1996, 1999), wykorzystując defiicję potęgi wektora w przestrzei z iloczyem skalarym, zapropoowao wielowymiarowe uogólieie tych pojęć Niech, rdn = Nj" oraz iech 0 L Ω = X: Ω" R : Xwektor losowyi X dp < + 3 ^ h ' 1 r r będzie przestrzeią wektorów losowych sumowalych (całkowalych) w r-tej potędze Należy admieić w tym miejscu, że w literaturze probabilistyczej wielkość r r E6 = # X dp jest iekiedy azywaa (por p Bilodeau i Breer 1999) Ω mometem rzędu r wektora losowego X i ozaczaa symbolem E[X r ] Natomiast w pracy (Tatar 00), przez aalogię do przypadku jedowymiarowego, wyrażeie to określoo jako momet absoluty rzędu r wektora losowego X Rozważmy zatem wektor X: Ω " R ależący do przestrzei L r (Ω), taki że jego momet absoluty rzędu r jest skończoy Przyjmijmy poadto, że R σ f ρ σ σ V S W Σ = S h j h W X S ρ σ σ f σ W 1 1 T X jest klasyczie rozumiaą macierzą kowariacji wektora X, zaś R 1 f r V S 1W R = h j h X S W Sr f 1 W 1 T X macierzą jego korelacji cząstkowych Defiicja 1 (Tatar 1996, 1999) Mometem zwykłym rzędu r wektora losowego X: Ω " R azywamy wyrażeie α r, (X) = E[X r ] Ω #
4 164 Katarzya Budy, Ja Tatar Zauważmy, że momet zwykły rzędu pierwszego wektora losowego jest wektorem wartości oczekiwaych jego składowych, czyli α 1, (X) = m(x) = EX; momet te będziemy azywać wartością oczekiwaą wektora losowego X Defiicja (Tatar 1996, 1999) Mometem cetralym rzędu r wektora losowego X: Ω " R azywamy wielkość μ r, (X) = E[(X EX) r ] Szczególe zaczeie ma momet cetraly rzędu drugiego wektora X, czyli μ, (X) = E[(X EX) ] Momet te będziemy azywać wariacją wektora losowego X oraz ozaczać także symbolem D X Za pomocą mometów cetralych wektora losowego defiiujemy z kolei takie charakterystyki wielowymiarowego rozkładu prawdopodobieństwa, jak współczyik asymetrii czy kurtoza Defiicja 3 (Tatar 000) Współczyik asymetrii wektora losowego X defiiujemy jako: X 3 μ3, ^ h E6 ^X γ X SkewX 1, ^ h = = 3 = 3 μ X D X ^ ^ hh ^ h, Zwróćmy uwagę, że zdefiiowaa powyżej miara asymetrii rozkładu wektora losowego dostarcza także wartości wektorowej Wskazuje oa zatem kieruek, a którym występuje ewetuala skośość (asymetria) Do pomiaru i wyrażeia jej wielkości moża z kolei wykorzystać długość lub kwadrat wektora γ 1, (X), czyli γ ^Xh lub β ^Xh= γ ^Xh 1, 1, 1, Defiicja 4 (Budy 009, Budy i Tatar 009) Kurtozą wektora losowego X azywamy wielkość β, (X) wyrażoą jako: β, X 4 μ4, ^ h E6 ^X ^Xh = KurtX = = X ^μ ^ hh ^D Xh, W pracy (Budy 01) wykazao, że kurtoza wektora losowego N: Ω " R o wielowymiarowym rozkładzie ormalym z tą samą wektorową wartością oczekiwaą i tą samą macierzą kowariacji, jakimi charakteryzuje się wektor losowy X, przyjmuje postać: β, ^Nh = KurtN = 1 + / ^D N h + ρ D N $ D N i = 1 / i i, j = 1 ij i j i j / D N $ D N i j i, j = 1 =
5 Wielowymiarowa aaliza statystycza 165 = 1 + / σ + i = 1 4 / ρ σσ i ij i j i, j = 1 i j / σσ i j i, j = 1 gdzie r ij ozacza współczyik korelacji składowych N i oraz N j wektora N Wykorzystując pojęcie kurtozy, w pracy (Budy 014b) zdefiiowao koleją charakterystykę wielowymiarowego rozkładu prawdopodobieństwa Defiicja 5 (Budy 014b) Współczyikiem ekscesu (ekscesem) wektora losowego X: Ω " R azywamy wielkość γ, (X) określoą astępująco: γ X Ekscess X, ^ h = = J N K / ^D X D X D X ih + / ρ $ O ij i j K i = 1 i, j = 1 O i j = Kurt X K 1 + O K O = β X β N, ^ h, ^ h K / D X $ D X i j O L i, j = 1 P W badaiu wielowymiarowych wielkości losowych istote zaczeie mają pomiar oraz aaliza ich wzajemych zależości Jedą z ważiejszych miar w tym zakresie jest współczyik korelacji wielowymiarowej Niech X: Ω " R m oraz Y: Ω " R będą dowolymi wektorami losowymi, przy czym o wektorze Y zakładamy, że μ, (Y) = D Y 0 Defiicja 6 (Budy 018) Współczyik korelacji wielowymiarowej (współczyik korelacji wektorów losowych X oraz Y) defiiujemy jako: XY, D ^ A X XY, h r, multi ^ h = D Y gdzie A X, Y jest macierzą realizującą waruek mi E6 ^Y ^AX + A! M ^ R # mh^ h B! M ^ ^Rh # 1h Ważymi własościami współczyika korelacji wielowymiarowej są jego ieujemość oraz iezmieiczość względem skali i traslacji wektorów Ią istotą własością miary r multi jest brak jej symetrii; tz mogą istieć pary wektorów X oraz Y, dla których zachodzi ierówość r multi (X, Y) r multi (Y, X) W pracy (Budy 018) wykazao, że kwadrat zdefiiowaego powyżej współczyika korelacji wielowymiarowej moża, w sposób rówoważy, zapisać jako: D Y i r XY, XY,, multi ^ h = / r D Y ^ ih i = 1
6 166 Katarzya Budy, Ja Tatar gdzie r(x, Y i ) jest współczyikiem korelacji wielokrotej (wielorakiej) między zmieą losową Y i a wektorem losowym X = (X 1,, X m ), dla wszystkich i d {1,, } W praktyce, w aalizie wielowymiarowych daych empiryczych badając ich charakterystyki oparte a defiicji potęgi wektora wykorzystuje się (podobie jak ma to miejsce w przypadku jedowymiarowym) ich odpowiedie estymatory, czyli oszacowaia uzyskae a podstawie dostępej próby statystyczej W pracach (Budy 014a, 017, 018) zapropoowao postać estymatorów mometów zwykłych, mometów cetralych, współczyika asymetrii, kwadratu współczyika asymetrii, kurtozy i ekscesu wektora losowego oraz wykazao, że są to statystyki zgode i (co ajmiej) asymptotyczie ieobciążoe Dla potrzeb rozważań prowadzoych w dalszej części pracy przypomijmy ich defiicje Niech X: Ω " R w dalszym ciągu będzie badaym -wymiarowym wektorem losowym oraz iech kd N ozacza liczebość wykorzystywaej próby losowej Sama zaś próba losowa prosta z rozkładu -wymiarowego iech będzie ciągiem wektorów: X 1 : Ω " R, f, X k : Ω " R Defiicja 7 (Budy 014a, 018) Estymatorem mometu zwykłego rzędu r wektora losowego (iaczej: mometem zwykłym rzędu r w próbie wielowymiarowej) azywamy statystykę: k / ^X i 1 a = = r, k h (1) Szczególe zaczeie ma estymator mometu zwykłego rzędu pierwszego (estymator wartości oczekiwaej), czyli a 1, ozaczoy także symbolem Xr Defiicja 8 (Budy 017, 018) Estymatorem mometu cetralego rzędu r wektora losowego (mometem cetralym rzędu r w próbie wielowymiarowej) azywamy statystykę: k i r / ^X Xr h i 1 m = = () r, k W tym przypadku szczególie istoty jest estymator mometu cetralego rzędu drugiego (tz estymator wariacji) m, W kosekwecji pierwiastek kwadratowy z wariacji, czyli s= m =, k i r i / ^X Xr h i = 1 jest estymatorem odchyleia stadardowego k (3)
7 Wielowymiarowa aaliza statystycza 167 Estymatory mometów zwykłych i cetralych posłużyły do zdefiiowaia kolejych ważych statystyk Defiicja 9 (Budy 018) Estymatorem współczyika asymetrii wektora losowego (iaczej: współczyikiem asymetrii w próbie wielowymiarowej) azywamy wielkość: m3, γ t = 1, 3 (4) ^m h, Naturalą kosekwecją powyższej defiicji są postacie: estymatora długości wektora (współczyika) asymetrii: m3, γ t =, 1, 3 (5) ^m, h oraz estymatora kwadratu współczyika asymetrii wektora losowego (Budy 018): βt = ^γt h (6) 1, 1, W kolejych dwóch defiicjach podao postaci estymatorów współczyików kocetracji i spłaszczeia wielowymiarowego rozkładu prawdopodobieństwa Defiicja 10 (Budy 018) Estymatorem kurtozy wektora losowego (kurtozą w próbie wielowymiarowej) azywamy statystykę: m4, β t =, (7) ^m, h Defiicja 11 (Budy 018) Estymatorem współczyika ekscesu wektora losowego (współczyikiem ekscesu w próbie wielowymiarowej) azywamy wielkość: J N i K i j / ^m r m m, h + / O ij,, K i = 1 i, j = 1 O i j γt = βt 1 +,,, K m O (8) L ^, h P i przy czym m, ozacza jedowymiarową wariację w próbie i-tej współrzędej wektora losowego, a r ij współczyik korelacji cząstkowej w próbie między i-tą oraz j-tą współrzędą, dla wszystkich i, jd" 1, f,, Na koiec tej części pracy przypomijmy postać estymatora zapropoowaej w defiicji 6 miary zależości wektorów losowych X: Ω " R m oraz Y: Ω " R Defiicja 1 (Budy 018) Estymatorem kwadratu współczyika korelacji wielowymiarowej wektorów X oraz Y azywamy wielkość:
8 168 Katarzya Budy, Ja Tatar R multi Y m i, X, Y Y R ^ h = /, (9) m XY, i i = 1 Y gdzie m i, jest klasyczym estymatorem jedowymiarowej wariacji zmieej Y Y losowej Y i, m m i = /, atomiast R,, XY, jest estymatorem kwadratu współczyika korelacji wielokrotej między zmieą losową Y i i i = 1 a zestawem zmieych losowych X 1,, X m, czyli wektorem losowym X = (X 1,, X m ), dla wszystkich id" 1, f,,, 3 Wybrae charakterystyki polskiego ryku kapitałowego aaliza 31 Uwagi ogóle W tej części pracy wykorzystao przedstawioe w pukcie charakterystyki wielowymiarowych rozkładów prawdopodobieństwa (oraz ich estymatory) do badaia kilku wektorów losowych wybraych z polskiego ryku fiasowego Współrzędymi (składowymi) tych wektorów są wielkości wymieioe we wprowadzeiu do iiejszego opracowaia Próbę, którą wykorzystao do uzyskaia oce wybraych parametrów rozkładu badaych wektorów, staowiły dae pobrae ze stroy wwwmoeypl Są to poziomy zamkięcia w każdym diu otowań w okresie od 4 styczia 016 r do 10 lipca 017 r W przypadku daych omialych wykorzystao zatem próbę 380-elemetową, zaś w badaiu retowości wybraych istrumetów (ideksów giełdowych), z oczywistych względów, próbę 379-elemetową Dla każdego z wyspecyfikowaych wektorów fiasowych wyzaczoo estymatory astępujących parametrów ich rozkładów: wartość oczekiwaa (wektor), według wzoru (1), wariacja łącza (skalar), według wzoru (), odchyleie stadardowe łącze (skalar), według wzoru (3), współczyik asymetrii (wektor), według wzoru (4), orma/długość współczyika asymetrii (skalar), według wzoru (5), kwadrat współczyika asymetrii (skalar), według wzoru (6), kurtoza, według wzoru (7), współczyik ekscesu, według wzoru (8) W celach poglądowych, pozawczych oraz porówawczych w każdym przypadku wyzaczoo rówież macierz kowariacji, macierz współczyików korelacji cząstkowych oraz klasyczie rozumiae astępujące charakterystyki
9 Wielowymiarowa aaliza statystycza 169 rozkładów brzegowych: wartość oczekiwaa, wariacja, odchyleie stadardowe, współczyik asymetrii, kurtoza oraz współczyik ekscesu Dla wybraych par badaych fiasowych wektorów losowych wyzaczoo także (według wzoru (9)) estymator kwadratu współczyika korelacji wielowymiarowej jako jedą z miar ich zależości 3 Estymatory wybraych charakterystyk rozkładu czterowymiarowego wektora poziomu ideksów Niech X 1 ozacza wartość ideksu WIG, X wartość ideksu WIG- X 3 wartość ideksu WIG-Baki oraz X 4 wartość ideksu WIG-Paliwa a Giełdzie Papierów Wartościowych w Warszawie (GPW) Jako pierwszy poddamy badaiu wektor postaci X = (X 1, X, X 3, X 4 ) Korzystając z daych, o których mowa w pukcie 31, tj z próby 380-elemetowej, otrzymujemy podae poiżej wyiki 1 Macierz kowariacji: R S , 7 S165614, 0 Σ = X S377337, 8 S T , , , , , , , , 41 Macierz współczyików korelacji cząstkowej: R X = R S 1 S 9694 S 9698 S 975 T V W 9440W 9058W 1 W X V W 0345, 67 W 63011, 41 W , 61 W X 3 Charakterystyki rozkładów brzegowych wektora X (tabela 1) Tabela 1 Estymatory charakterystyk rozkładów brzegowych Charakterystyka WIG WIG-0 WIG-Baki WIG-Paliwa Wartość oczekiwaa 50976,4 1955,9 6376,48 533,85 Wariacja , , , ,61 Odchyleie stadardowe 6048,98 15,83 643, ,45 Współczyik asymetrii Kurtoza 1,8384 1,965 1,9341,1897 Współczyik ekscesu 1,1616 1,0375 1, Źródło: opracowaie włase
10 170 Katarzya Budy, Ja Tatar 4 Charakterystyki łącze wektora X (tabela ) Tabela Estymatory charakterystyk łączych rozkładu wektora losowego X (opartych a defiicji potęgi wektora) Charakterystyka Wartość estymatora EX (50 976,4; 1955,9; 6376,48; 533,85) D X ,0 Odchyleie stadardowe 618,3 γ 1, (X) (616; 038; 065; 1197) Norma (długość) γ 1, 6313 β 1, (X) 3985 β, (X) 1,8419 γ, (X) 1,1488 Źródło: opracowaie włase Iterpretacja wyików 1 Wariacja łącza wektora losowego X jest rówa sumie wariacji rozkładów brzegowych Nie jest to zaskoczeiem, poieważ w pracach (Tatar 1996, Tatar 1999) udowodioo prawdziwość tego związku w przypadku każdego wektora losowego Największy wpływ a wartość łączego odchyleia stadardowego wektora losowego X ma odchyleie stadardowe zmieej losowej X 1, czyli poziomu ideksu WIG 3 Każdy z rozkładów brzegowych wektora X charakteryzuje się wyraźą asymetrią prawostroą ( dodatią ) Najbardziej wydłużoe prawe ramię ma rozkład zmieej WIG-Paliwa (803), ajmiej zaś rozkład ideksu WIG-Baki 4 Łącza asymetria wektora X wyrażoa czterowymiarowym wektorem γ = 1, = (, 0 616; 038; 065; 1197) rówież wskazuje a dodatią skośość jego rozkładu a każdym z czterech kieruków Zdecydowaie ajwiększą wartość ma jedak ta współrzęda wektora asymetrii, która odpowiada kierukowi (zmieej losowej) WIG Co więcej, długość wektora asymetrii łączej (6313) jest zbliżoa do wartości współczyika asymetrii brzegowej zmieej losowej WIG Spostrzeżeie to skłaia do kokluzji, że próba aalizy asymetrii wektora losowego poprzez aalizę asymetrii jego rozkładów brzegowych może prowadzić do ieuprawioych wiosków W rozważaym w artykule przypadku takie podejście mogłoby błędie sugerować, że wektor X będzie charakteryzował się ajwiększą asymetrią (skośością) a kieruku WIG-Paliwa Moża zatem sformułować wiosek, że aalizując asymetrię rozkładów wielowymiarowych,
11 Wielowymiarowa aaliza statystycza 171 ie wystarczy zbadać, jak bardzo (i w którą stroę) wydłużoe są ramioa rozkładów brzegowych, ale trzeba poadto zmierzyć, jak duża masa prawdopodobieństwa mieści się pod tymi ramioami, a a to pozwala współczyik asymetrii łączej γ 1, 5 Ostatie dwa wskaźiki, tz kurtoza oraz (będący jej kosekwecją) współczyik ekscesu, mogą być iterpretowae jako miary, odpowiedio, spłaszczeia badaego rozkładu oraz jego różieia się (odbiegaia) od rozkładu ormalego o tej samej wartości oczekiwaej oraz wariacji Iterpretacja ta odosi się do rozkładów zarówo jedowymiarowych, jak i wielowymiarowych W przypadku badaego wektora ideksów giełdowych ajwiększym spłaszczeiem charakteryzuje się rozkład brzegowy WIG-Paliwa (,1897), chociaż odbiega o w ajmiejszym stopiu (spośród wszystkich czterech rozkładów brzegowych) od rozkładu ormalego (eksces rówy 8103) Kurtoza łączego rozkładu wektora X przyjmuje wartość (1,84190) zbliżoą do wartości kurtozy główego ideksu WGPW, czyli WIG-u Podobie jest w przypadku wskaźika ekscesu: czterowymiarowy rozkład wektora ideksów giełdowych różi się od odpowiadającego mu rozkładu ormalego w przybliżeiu w tym samym stopiu ( 1,1488), w jakim rozkład WIG-u różi się od rozkładu ormalego o wartości oczekiwaej ,4 oraz odchyleiu stadardowym 6048,98 Iterpretując wartość estymatora współczyika ekscesu, ależy rówież zwrócić uwagę a jego zak Ujema wartość wskazuje a to, że odbiegaie od rozkładu ormalego ma miejsce przede wszystkim w przypadku realizacji bardziej odległych od wartości oczekiwaej (czyli w przypadku jedowymiarowym a tzw ogoach), zaś dodati współczyik ekscesu świadczy o różicach między badaym rozkładem a rozkładem ormalym dla realizacji bliskich wartości średiej 33 Estymatory wybraych charakterystyk rozkładu dwuwymiarowego wektora poziomu ideksów Biorąc pod uwagę ozaczeia podae w pukcie 3, będziemy teraz rozważać wektor losowy Y = (X 1, X ), czyli wektor, którego brzegowymi zmieymi losowymi są WIG oraz WIG-0 Korzystając z tej samej próby historyczej (ciąg 380-elemetowy), wyzaczymy estymatory charakterystyk wymieioych w pukcie 31 Stosując odpowiedie formuły, otrzymujemy podae poiżej wyiki 1 Macierz kowariacji: , 47 Σ = Y ; , , 0 E 46583, 96
12 17 Katarzya Budy, Ja Tatar Macierz współczyików korelacji cząstkowej: R = ; 1 Y E 3 Charakterystyki rozkładów brzegowych wektora Y; wartości estymatorów zostały obliczoe w pukcie 3 i podao je w tabeli 1 4 Charakterystyki łącze wektora Y (tabela 3) Tabela 3 Estymatory charakterystyk łączych rozkładu wektora losowego Y (opartych a defiicji potęgi wektora) Charakterystyka Wartość EY (50 976,4; 1955,9) D Y ,43 Odchyleie stadardowe 605,8 γ 1, (Y) (664; 04) Norma (długość) γ 1, 669 β 1, (Y) 3930 β, (Y) 1,8384 γ, (Y) 1,1613 Źródło: opracowaie włase Iterpretacja wyików 1 Podobie jak w przypadku wektora badaego w pukcie 3 wariacja łącza jest liczbą, czyli skalarem, ie zaś wektorem Jest to immaeta własość wariacji liczoej według owej kocepcji charakteryzacji wielowymiarowych rozkładów prawdopodobieństwa Co więcej, według tej kocepcji wszystkie momety rzędu parzystego są skalarami, wszystkie zaś momety rzędu ieparzystego są wektorami Nie powio budzić to zaiepokojeia; przeciwie, skoro momety rzędu ieparzystego mają służyć (i służą) do defiiowaia parametrów położeia rozkładu, to w przestrzei wielowymiarowej powiy być wektorami; skoro zaś momety rzędu parzystego wykorzystuje się do określaia parametrów rozproszeia daego rozkładu, to także w przestrzei wielowymiarowej powiy być skalarami (liczbami) Rówież w tym przypadku współczyiki asymetrii obliczoe oddzielie dla obydwu rozkładów brzegowych mogłyby skłaiać do błędego wiosku, że baday wektor losowy jest bardziej asymetryczy a kieruku X, tz WIG-0 (6909 vs 667) Tymczasem wyzaczoy łączy (wektorowy) współczyik
13 Wielowymiarowa aaliza statystycza 173 (664; 04) wskazuje a zdecydowaą skośość a kieruku WIG Przyczyy takiego stau rzeczy wskazao, iterpretując wyiki uzyskae w pukcie 3 3 Rozkład prawdopodobieństwa wektora dwóch ideksów giełdowych rozważaego w tym pukcie pracy także charakteryzuje się zaczym spłaszczeiem (kurtoza rówa 1,8384) oraz odbiegaiem od ormalości ( 1,1613) przede wszystkim dla tych realizacji, które są dość odlegle od wartości oczekiwaej (ujemy wskaźik ekscesu) 4 Dwuwymiarowość wektora Y stwarza możliwość graficzego przedstawieia jego rozkładu Poiżej zaprezetowao trzy wykresy: histogram rozkładu wektora Y skostruoway a podstawie 380-elemetowej próby (rys 1), dwuwymiarowy rozkład ormaly o tej samej wartości oczekiwaej oraz wariacji (rys ), a także zestawieie obydwu rysuków (rys 3) Wykresy te potwierdzają słuszość sformułowaych wcześiej wiosków Niestety, z oczywistych przyczy, ie jest możliwe graficze przedstawieie rozkładu (oraz jego charakterystyk) czterowymiarowego wektora badaego w poprzedim pukcie pracy wymagałoby to sporządzeia wykresu w przestrzei pięciowymiarowej WIG WIG-0 Rys 1 Histogram rozkładu wektora Y Źródło: opracowaie włase
14 174 Katarzya Budy, Ja Tatar z WIG WIG-0 Rys Dwuwymiarowy rozkład ormaly o wektorze wartości oczekiwaych EY i macierzy kowariacji Σ Y Źródło: opracowaie włase z WIG WIG-0 Rys 3 Zestawieie histogramu oraz dwuwymiarowego rozkładu ormalego Źródło: opracowaie włase
15 Wielowymiarowa aaliza statystycza Estymacja wielowymiarowego współczyika korelacji Niech w dalszym ciągu obowiązują ustaleia podae w pukcie 3 oraz iech Y = (X 1, X ) i Z = (X 3, X 4 ) Będziemy zatem rozważać dwa dwuwymiarowe wektory: Y = (WIG, WIG-0) oraz Z = (WIG-Baki, WIG-Paliwa) Zbadamy ich wzajemą zależość, obliczając, według wzoru (9), estymator kwadratu wielowymiarowego współczyika korelacji Otrzymujemy: r ^Y, Zh = 9473 oraz r ^ZY, h= 9898 multi Powyższy rezultat potwierdza, że wykorzystyway w iiejszej pracy współczyik korelacji (jako miara zależości wektorów losowych) ie ma własości symetrii Nie ależy w tym upatrywać iczego zaskakującego: pozostając we wzajemym związku, wektory Y i Z odgrywają w im róże role, a zatem siła zależości Y od Z ie musi być (i a ogół ie jest) taka sama jak siła zależości Z od Y Uwaga ta dotyczy także zmieych losowych jedowymiarowych: jeżeli p zysk daego przedsiębiorstwa w jakimś stopiu zależy od ogólego poziomu rykowych stóp procetowych, to przecież wysokość stóp procetowych zapewe w iym stopiu (jeżeli w ogóle) zależy od zysku tego kokretego przedsiębiorstwa W rozważaym w artykule przypadku okazuje się, że obie zależości (Y od Z oraz Z od Y) są bardzo sile, co biorąc pod uwagę składowe oraz strukturę tych wektorów Y i Z ie jest zaskoczeiem Nie zaskakuje rówież, że w tym przypadku zależość między Z a Y jest wyraźie siliejsza iż zależość między Y a Z 35 Estymatory wybraych charakterystyk rozkładu czterowymiarowego wektora retowości Niech w dalszym ciągu X = (X 1, X, X 3, X 4 ) będzie wektorem ustaloym a początku puktu 3, czyli wektorem czterech wybraych ideksów otowaych a WGPW Określmy poadto wektor U = (U 1, U, U 3, U 4 ), gdzie U 1 jest dobową (lepiej: jedosesyją) retowością ideksu WIG, U dobową retowością ideksu WIG- U 3 dobową retowością ideksu WIG-Baki, a U 4 dobową retowością wskaźika WIG-Paliwa Rozważamy zatem czterowymiarowy wektor retowości (stóp zwrotu) wybraych ideksów Poieważ mówimy o klasyczie rozumiaych retowościach jedosesyjych, więc historycza próba, którą wykorzystamy do dalszych obliczeń, jest próbą 379-elemetową Postępując podobie jak dotychczas oraz korzystając z odpowiedich formuł, otrzymujemy podae poiżej wyiki multi
16 176 Katarzya Budy, Ja Tatar 1 Macierz kowariacji: R S S Σ = U S S T V W W W 000 W X Macierz współczyików korelacji cząstkowej: R V S W 985,, R = S W U S W S W T X 3 Charakterystyki rozkładów brzegowych wektora U (tabela 4) Tabela 4 Estymatory charakterystyk rozkładów brzegowych Charakterystyka retwig retwig-0 retwig- -Baki retwig- Paliwa Wartość oczekiwaa Wariacja Odchyleie stadardowe Współczyik asymetrii Kurtoza 4,6668 3,8779 4,9574 3,5143 Współczyik ekscesu 1, , Źródło: opracowaie włase 4 Charakterystyki łącze wektora U (tabela 5) Tabela 5 Estymatory charakterystyk łączych rozkładu wektora losowego U (opartych a defiicji potęgi wektora) Charakterystyka Wartość EU (000818; ; ; ) D U Odchyleie stadardowe γ 1, (U) ( 00488; 03501; 0790; 00469) Norma (długość) γ 1, β 1, (U) β, (U) 3,0710 γ, (U) 7748 Źródło: opracowaie włase
17 Wielowymiarowa aaliza statystycza 177 Iterpretacja uzyskaych wyików 1 Rozważając odrębie rozkłady brzegowe wektora U zauważamy, że ajwiększą asymetrią (prawostroą) charakteryzuje się zmiea losowa ret WIG-Baki (359), astępie zmiea retwig ( 49), a ajmiejszą asymetrię brzegową wykazuje zmiea retwig-0 ( 0016) Z kolei asymetria łącza (wektorowa) wskazuje, że wprawdzie wektor U charakteryzuje się ajwiększą skośością także a kieruku retwig-baki (073), ale kolejym jest kieruek retwig-0 ze skośością rówą 035 Kurtoza łącza wektora U wyosi 3,071 i jest zdecydowaie miejsza iż kurtoza każdego z rozkładów brzegowych Ozacza to, że łączie rozpatryway wektor retowości ideksów giełdowych ie wykazuje aż tak dużego spłaszczeia jak każdy z jego rozkładów brzegowych 3 Miara odbiegaia rozkładu łączego wektora retowości od rozkładu ormalego (współczyik ekscesu) wyosi 7748 i jest zaczie iższa od ekscesu wyzaczoego w pukcie 3 dla wektora wartości omialych wybraych ideksów Potwierdza to słuszość podejścia stosowaego w badaiu jedowymiarowych ce aktywów oraz ich retowości, zgodie z którym o ile często uzasadioe jest założeie o ormalości rozkładu stóp zwrotu, o tyle a ogół błęde byłoby aalogicze przypuszczeie w odiesieiu do ce omialych rozważaych aktywów 36 Estymatory wybraych charakterystyk rozkładu dwuwymiarowego wektora retowości Niech U = (U 1, U, U 3, U 4 ) będzie adal wektorem retowości wybraych ideksów GPW określoym w pukcie 35 Rozważmy teraz wektor V = (U 1, U ), czyli V = (retwig, retwig-0) Wykorzystując w dalszym ciągu 79-elemetowy ciąg daych historyczych, otrzymujemy podae poiżej estymatory wybraych charakterystyk 1 Macierz kowariacji: Σ = V ; E Macierz współczyików korelacji cząstkowej: R = ; 1 V E 3 Charakterystyki rozkładów brzegowych wektora V; wartości ich estymatorów zostały obliczoe w pukcie 35 i podae są w tabeli 4
18 178 Katarzya Budy, Ja Tatar 4 Charakterystyki łącze wektora V (tabela 6) Tabela 6 Estymatory charakterystyk łączych rozkładu wektora losowego V (opartych a defiicji potęgi wektora) Charakterystyka Wartość EV (000818; ) D V Odchyleie stadardowe γ 1, (U) ( ; ) Norma (długość) γ 1, β 1, (V) β, (V) 4,176 γ, (V) 1,1609 Źródło: opracowaie włase Iterpretacja uzyskaych wyików 1 Kolejy raz zauważamy, że łączy wektor asymetrii γ 1, (V) wskazuje a zupełie iy jej kieruek iż te, który mógłby być odczytay ze współczyików asymetrii rozkładów brzegowych Także poziom (wielkość) asymetrii łączej jest róży od poziomu asymetrii rozkładów brzegowych 3000 z WIG WIG-0 Rys 4 Histogram rozkładu wektora V Źródło: opracowaie włase
19 Wielowymiarowa aaliza statystycza z WIG WIG-0 Rys 5 Dwuwymiarowy rozkład ormaly o wektorze wartości oczekiwaych EV i macierzy kowariacji Σ V Źródło: opracowaie włase z WIG WIG-0 Rys 6 Zestawieie histogramu oraz dwuwymiarowego rozkładu ormalego Źródło: opracowaie włase
20 180 Katarzya Budy, Ja Tatar Kurtoza oraz współczyik ekscesu rozkładu wektora V sugerują, że zaczie bardziej odbiega o od rozkładu ormalego iż było to w przypadku rozważaego w pukcie 35 wektora U Moża to także dostrzec a rys 4 6 zauważamy, że histogram rozkładu wektora V jest dużo bardziej spłaszczoy iż rozkład ormaly o tej samej wartości oczekiwaej oraz wariacji 37 Estymatory wielowymiarowych współczyików korelacji W ostatim pukcie prowadzoej aalizy przyjmijmy, że V = (U 1, U ) oraz W = (U 3, U 4 ), gdzie U 1, U, U 3, U 4 mają zaczeie określoe w pukcie 35 Rozważamy zatem dwa dwuwymiarowe wektory: V = (retwig, retwig-0) oraz W = (retwig-baki, retwig-paliwa) Obliczając estymatory kwadratu współczyików korelacji wielowymiarowej (korzystając ze wzoru (9)), otrzymujemy: r ^VW, h = 649 oraz r ^WV, h= 8919 multi Kometarz do uzyskaych wyików jest aalogiczy do sformułowaego a zakończeie puktu 34 multi 4 Uwagi końcowe i perspektywy badawcze Zaprezetowae w artykule przykłady wykorzystaia łączych charakterystyk wielowymiarowych rozkładów prawdopodobieństwa pozwalają a sformułowaie wiosku, że odmiee od klasyczego podejście do aalizy rozkładów wektorów losowych pozwala dokładiej opisać badaą rzeczywistość iż badaie ich jedowymiarowych wektorów losowych Odosi się to mi do takich ich charakterystyk, jak asymetria, kurtoza czy współczyik ekscesu W szczególości eksces rozkładu wielowymiarowego może być ważą przesłaką formułowaia hipotezy o jego ormalości Oczywiście, taka hipoteza musiałaby zostać poddaa weryfikacji, do tego zaś potrzebe bądą odpowiedie testy statystycze Kostrukcja takich testów jawi się jako koleje zadaie w procesie rozwijaia kocepcji owej charakteryzacji wielowymiarowych rozkładów prawdopodobieństwa Zadaie to ie musi być łatwe, ale zdaiem autorów dogodym puktem wyjścia do jego realizacji mogą być uzyskae już wcześiej postaci estymatorów szeregu charakterystyk Estymatory te z powodzeiem zostały wykorzystae także w iiejszym opracowaiu
21 Wielowymiarowa aaliza statystycza 181 Literatura Bilodeau M, Breer D (1999), Theory of Multivariate Statistics, Spriger-Verlag, New York Budy K (009), Kurtoza wektora losowego, Prace Naukowe Uiwersytetu Ekoomiczego we Wrocławiu, r 78, seria: Ekoometria, r 6 Budy K (01), Kurtoza wektora losowego o wielowymiarowym rozkładzie ormalym (w:) Zastosowaie metod ilościowych w fiasach i ubezpieczeiach, red S Folrlicz, CeDeWu, Warszawa Budy K (014a), Estymacja mometów zwykłych wektora losowego opartych a defiicji potęgi wektora, Folia Oecoomica Cracoviesia, vol 55 Budy K (014b), Współczyik ekscesu wektora losowego, Studia Ekoomicze Zeszyty Naukowe Uiwersytetu Ekoomiczego w Katowicach, r 03 Budy K (017), Estimatio of the Cetral Momets of a Radom Vector Based o the Defiitio of the Power of a Vector, Statistics i Trasitio New Series, vol 18, r 1, Budy K (018), Nowe charakterystyki rozkładu i zależości wektorów losowych kostrukcja, estymacja, zastosowaia, Moografie: Prace Doktorskie, Wydawictwo Uiwersytetu Ekoomiczego w Krakowie, Kraków Budy K, Tatar J (009), Kurtosis of a Radom Vector Special Types of Distributios, Statistics i Trasito New Series, vol 1 r 3 Feller W (1969), Wstęp do rachuku prawdopodobieństwa, t, PWN, Warszawa Shao J (003), Mathematical Statistics, d ed, Spriger, New York Tatar J (1996), O iektórych miarach rozproszeia rozkładów prawdopodobieństwa, Przegląd Statystyczy, vol 43, r 3 4 Tatar J (1999), Momets of a Radom Variable i a Hilbert Space, Przegląd Statystyczy, vol 46, r Tatar J (000), Asymetria wielowymiarowych rozkładów prawdopodobieństwa, Materiały z XXXV Koferecji Statystyków, Ekoometryków i Matematyków Akademii Ekoomiczych Polski Połudiowej zorgaizowaej przez Katedrę Statystyki Akademii Ekoomiczej w Krakowie (Osieczay, 3 5 marca 1999 r), Wydawictwo Akademii Ekoomiczej w Krakowie, Kraków Tatar J (00), Nierówość Lapuowa dla wielowymiarowych rozkładów prawdopodobieństwa, Zeszyty Naukowe Akademii Ekoomiczej w Krakowie, r 549 Multivariate Statistical Aalysis i the Study of Capital Markets (Abstract) I their previous work, the authors have preseted a approach to describig ad researchig multivariate probability distributios that departs from the stadard I this paper, the ew tools that resulted have bee used to research ad aalyse selected two-, three- ad fourth-dimesio radom vectors that have appeared o the Polish capital market Coordiates of these vectors are stock market idices: WIG, WIG- WIG-Baks, WIG-Fuels ad profitability of these idices Usig market data for the period 4/1/16 7/7/17, the followig estimators of parameters of aalysed distributios
22 18 Katarzya Budy, Ja Tatar were calculated ad iterpreted: expected value, total variace, total stadard deviatio, skewess coefficiet, orm of the skewess coefficiet, square of the skewess coefficiet, kurtosis ad excess coefficiet I order to overview ad compare, for each vector a covariace matrix ad a matrix of correlatio coefficiets are idicated The followig characteristics of margial distributios are also used: expected value, variace, stadard deviatio, skewess coefficiet, kurtosis ad excess coefficiet For each pair of fiacial radom vectors researched, the estimator of the square of correlatio coefficiet was also calculated, as that is oe of the possible measures of their depedece Keywords: parameters of the probability distributio, multivariate radom vector, estimator, capital market, stock idex, profitability
X i. X = 1 n. i=1. wartość tej statystyki nazywana jest wartością średnią empiryczną i oznaczamy ją symbolem x, przy czym x = 1. (X i X) 2.
Zagadieia estymacji Puktem wyjścia badaia statystyczego jest wylosowaie z całej populacji pewej skończoej liczby elemetów i zbadaie ich ze względu a zmieą losową cechę X Uzyskae w te sposób wartości x,
Bardziej szczegółowoKorelacja i regresja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 12
Wykład Korelacja i regresja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Wykład 8. Badaie statystycze ze względu
Bardziej szczegółowoCharakterystyki liczbowe zmiennych losowych: wartość oczekiwana i wariancja
Charakterystyki liczbowe zmieych losowych: wartość oczekiwaa i wariacja dr Mariusz Grządziel Wykłady 3 i 4;,8 marca 24 Wartość oczekiwaa zmieej losowej dyskretej Defiicja. Dla zmieej losowej dyskretej
Bardziej szczegółowoTrzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w
Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to
Bardziej szczegółowoNiezależność zmiennych, funkcje i charakterystyki wektora losowego, centralne twierdzenia graniczne
Wykład 4 Niezależość zmieych, fukcje i charakterystyki wektora losowego, cetrale twierdzeia graicze Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki
Bardziej szczegółowo16 Przedziały ufności
16 Przedziały ufości zapis wyiku pomiaru: sugeruje, że rozkład błędów jest symetryczy; θ ± u(θ) iterpretacja statystycza przedziału [θ u(θ), θ + u(θ)] zależy od rozkładu błędów: P (Θ [θ u(θ), θ + u(θ)])
Bardziej szczegółowoPodstawowe oznaczenia i wzory stosowane na wykładzie i laboratorium Część I: estymacja
Podstawowe ozaczeia i wzory stosowae a wykładzie i laboratorium Część I: estymacja 1 Ozaczeia Zmiee losowe (cechy) ozaczamy a wykładzie dużymi literami z końca alfabetu. Próby proste odpowiadającymi im
Bardziej szczegółowoWokół testu Studenta 1. Wprowadzenie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaniu hipotez dotyczących rozkładów normalnych
Wokół testu Studeta Wprowadzeie Rozkłady prawdopodobieństwa występujące w testowaiu hipotez dotyczących rozkładów ormalych Rozkład ormaly N(µ, σ, µ R, σ > 0 gęstość: f(x σ (x µ π e σ Niech a R \ {0}, b
Bardziej szczegółowoĆwiczenia nr 5. TEMATYKA: Regresja liniowa dla prostej i płaszczyzny
TEMATYKA: Regresja liiowa dla prostej i płaszczyzy Ćwiczeia r 5 DEFINICJE: Regresja: metoda statystycza pozwalająca a badaie związku pomiędzy wielkościami daych i przewidywaie a tej podstawie iezaych wartości
Bardziej szczegółowoModa (Mo, D) wartość cechy występującej najczęściej (najliczniej).
Cetrale miary położeia Średia; Moda (domiata) Mediaa Kwatyle (kwartyle, decyle, cetyle) Moda (Mo, D) wartość cechy występującej ajczęściej (ajlicziej). Mediaa (Me, M) dzieli uporządkoway szereg liczbowy
Bardziej szczegółowo1 Twierdzenia o granicznym przejściu pod znakiem całki
1 Twierdzeia o graiczym przejściu pod zakiem całki Ozaczeia: R + = [0, ) R + = [0, ] (X, M, µ), gdzie M jest σ-ciałem podzbiorów X oraz µ: M R + - zbiór mierzaly, to zaczy M Twierdzeie 1.1. Jeżeli dae
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja przedziałowa Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowoWykład 11 ( ). Przedziały ufności dla średniej
Wykład 11 (14.05.07). Przedziały ufości dla średiej Przykład Cea metra kwadratowego (w tys. zł) z dla 14 losowo wybraych mieszkań w mieście A: 3,75; 3,89; 5,09; 3,77; 3,53; 2,82; 3,16; 2,79; 4,34; 3,61;
Bardziej szczegółowoStatystyka i Opracowanie Danych. W7. Estymacja i estymatory. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407
Statystyka i Opracowaie Daych W7. Estymacja i estymatory Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok407 ada@agh.edu.pl Estymacja parametrycza Podstawowym arzędziem szacowaia iezaego parametru jest estymator obliczoy a podstawie
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA
ZAGADNIENIE ESTYMACJI. ESTYMACJA PUNKTOWA I PRZEDZIAŁOWA Mamy populację geeralą i iteresujemy się pewą cechą X jedostek statystyczych, a dokładiej pewą charakterystyką liczbową θ tej cechy (p. średią wartością
Bardziej szczegółowoZadanie 2 Niech,,, będą niezależnymi zmiennymi losowymi o identycznym rozkładzie,.
Z adaie Niech,,, będą iezależymi zmieymi losowymi o idetyczym rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją. Wyzaczyć wariację zmieej losowej. Wskazówka: pokazać, że ma rozkład Γ, ODP: Zadaie Niech,,,
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa. () Statystyka opisowa 24 maja / 8
Część I Statystyka opisowa () Statystyka opisowa 24 maja 2010 1 / 8 Niech x 1, x 2,..., x będą wyikami pomiarów, p. temperatury, ciśieia, poziomu rzeki, wielkości ploów itp. Przykład 1: wyiki pomiarów
Bardziej szczegółowoZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4
Agata Boratyńska Statystyka aktuariala... 1 ZADANIA NA ĆWICZENIA 3 I 4 1. Wygeeruj szkody dla polis z kolejych lat wg rozkładu P (N = 1) = 0, 1 P (N = 0) = 0, 9, gdzie N jest liczbą szkód z jedej polisy.
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna. Wykład II. Estymacja punktowa
Statystyka matematycza. Wykład II. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 dyskretych Rozkłady zmieeych losowych ciągłych 2 3 4 Rozkład zmieej losowej dyskretej dyskretych Rozkłady zmieeych losowych
Bardziej szczegółowoElementy statystyki opisowej Izolda Gorgol wyciąg z prezentacji (wykład I)
Elemety statystyki opisowej Izolda Gorgol wyciąg z prezetacji (wykład I) Populacja statystycza, badaie statystycze Statystyka matematycza zajmuje się opisywaiem i aalizą zjawisk masowych za pomocą metod
Bardziej szczegółowoLista 6. Estymacja punktowa
Estymacja puktowa Lista 6 Model metoda mometów, rozkład ciągły. Zadaie. Metodą mometów zaleźć estymator iezaego parametru a w populacji jedostajej a odciku [a, a +. Czy jest to estymator ieobciążoy i zgody?
Bardziej szczegółowoCOLLEGIUM MAZOVIA INNOWACYJNA SZKOŁA WYŻSZA WYDZIAŁ NAUK STOSOWANYCH. Kierunek: Finanse i rachunkowość. Robert Bąkowski Nr albumu: 9871
COLLEGIUM MAZOVIA INNOWACYJNA SZKOŁA WYŻSZA WYDZIAŁ NAUK STOSOWANYCH Kieruek: Fiase i rachukowość Robert Bąkowski Nr albumu: 9871 Projekt: Badaie statystycze cey baryłki ropy aftowej i wartości dolara
Bardziej szczegółowoEstymacja. Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych. Wykład 7
Metody probabilistycze i statystyka Estymacja Dr Joaa Baaś Zakład Badań Systemowych Istytut Sztuczej Iteligecji i Metod Matematyczych Wydział Iformatyki Politechiki Szczecińskiej Metody probabilistycze
Bardziej szczegółowoO pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii
O pewych zastosowaiach rachuku różiczkowego fukcji dwóch zmieych w ekoomii 1 Wielkość wytwarzaego dochodu arodowego D zależa jest od wielkości produkcyjego majątku trwałego M i akładów pracy żywej Z Fukcję
Bardziej szczegółowoθx θ 1, dla 0 < x < 1, 0, poza tym,
Zadaie 1. Niech X 1,..., X 8 będzie próbą z rozkładu ormalego z wartością oczekiwaą θ i wariacją 1. Niezay parametr θ jest z kolei zmieą losową o rozkładzie ormalym z wartością oczekiwaą 0 i wariacją 1.
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2
STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD i 2 Literatura: Marek Cieciura, Jausz Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 2 Statystyka to dyscyplia aukowa, której zadaiem jest
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA
TATYTYKA MATEMATYCZNA ROZKŁADY PODTAWOWYCH TATYTYK zmiea losowa odpowiedik badaej cechy, (,,..., ) próba losowa (zmiea losowa wymiarowa, i iezależe zmiee losowe o takim samym rozkładzie jak (taką próbę
Bardziej szczegółowoZeszyty naukowe nr 9
Zeszyty aukowe r 9 Wyższej Szkoły Ekoomiczej w Bochi 2011 Piotr Fijałkowski Model zależości otowań giełdowych a przykładzie otowań ołowiu i spółki Orzeł Biały S.A. Streszczeie Niiejsza praca opisuje próbę
Bardziej szczegółowo3. Tworzenie próby, błąd przypadkowy (próbkowania) 5. Błąd standardowy średniej arytmetycznej
PODSTAWY STATYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i elemety kombiatoryki 2. Zmiee losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby daych, estymacja parametrów 4. Testowaie hipotez 5. Testy parametrycze 6. Testy
Bardziej szczegółowoĆwiczenie nr 14. Porównanie doświadczalnego rozkładu liczby zliczeń w zadanym przedziale czasu z rozkładem Poissona
Ćwiczeie r 4 Porówaie doświadczalego rozkładu liczby zliczeń w zadaym przedziale czasu z rozkładem Poissoa Studeta obowiązuje zajomość: Podstawowych zagadień z rachuku prawdopodobieństwa, Zajomość rozkładów
Bardziej szczegółowoMetody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych
Metody badaia zbieżości/rozbieżości ciągów liczbowych Ryszard Rębowski 14 grudia 2017 1 Wstęp Kluczowe pytaie odoszące się do zagadieia badaia zachowaia się ciągu liczbowego sprowadza się do sposobu opisu
Bardziej szczegółowoz przedziału 0,1. Rozważmy trzy zmienne losowe:..., gdzie X
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.0 r. Zadaie. Mamy day ciąg liczb q, q,..., q z przedziału 0,. Rozważmy trzy zmiee losowe: o X X X... X, gdzie X i ma rozkład dwumiaowy o parametrach,q i, i wszystkie
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystyczna analiza danych jakościowych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.
Rachuek prawdopodobieństwa i statystyka W12: Statystycza aaliza daych jakościowych Dr Aa ADRIAN Paw B5, pok 407 ada@agh.edu.pl Wprowadzeie Rozróżia się dwa typy daych jakościowych: Nomiale jeśli opisują
Bardziej szczegółowoMiary położenia (tendencji centralnej) to tzw. miary przeciętne charakteryzujące średni lub typowy poziom wartości cechy.
MIARY POŁOŻENIA I ROZPROSZENIA WYNIKÓW SERII POMIAROWYCH Miary położeia (tedecji cetralej) to tzw. miary przecięte charakteryzujące średi lub typowy poziom wartości cechy. Średia arytmetycza: X i 1 X i,
Bardziej szczegółowo3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej
3. Regresja liiowa 3.. Założeia dotyczące modelu regresji liiowej Aby moża było wykorzystać model regresji liiowej, muszą być spełioe astępujące założeia:. Relacja pomiędzy zmieą objaśiaą a zmieymi objaśiającymi
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie 1 Rzucamy 4 kości do gry (uczciwe). Prawdopodobieństwo zdarzeia iż ajmiejsza uzyskaa a pojedyczej kości liczba oczek wyiesie trzy (trzy oczka mogą wystąpić a więcej iż jedej kości) rówe jest: (A)
Bardziej szczegółowoRozkład normalny (Gaussa)
Rozład ormaly (Gaussa) Wyprowadzeie rozładu Gaussa w modelu Laplace a błędów pomiarowych. Rozważmy pomiar wielości m, tóry jest zaburzay przez losowych efetów o wielości e ażdy, zarówo zaiżających ja i
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA I ANALIZA DANYCH
TATYTYKA I ANALIZA DANYCH Zad. Z pewej partii włókie weły wylosowao dwie próbki włókie, a w każdej z ich zmierzoo średicę włókie różymi metodami. Otrzymao astępujące wyiki: I próbka: 50; średia średica
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie. Wykoujemy rzuty symetryczą kością do gry do chwili uzyskaia drugiej szóstki. Niech Y ozacza zmieą losową rówą liczbie rzutów w których uzyskaliśmy ie wyiki iż szóstka a zmieą losową rówą liczbie
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa. (n m n m 1 ) h (n m n m 1 ) + (n m n m+1 ) 2 +1), gdy n jest parzyste
Statystyka opisowa Miary statystycze: 1. miary położeia a) średia z próby x = 1 x = 1 x = 1 x i - szereg wyliczający x i i - szereg rozdzielczy puktowy x i i - szereg rozdzielczy przedziałowy, gdzie x
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez. H 1 : µ 15 lub H 1 : µ < 15 lub H 1 : µ > 15
Testowaie hipotez ZałoŜeia będące przedmiotem weryfikacji azywamy hipotezami statystyczymi. KaŜde przypuszczeie ma swoją alteratywę. Jeśli postawimy hipotezę, Ŝe średica pia jedoroczych drzew owej odmiay
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 6..003 r. Zadaie. W kolejych okresach czasu t =,, 3, 4, 5 ubezpieczoy, charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ, geeruje szkód. Dla daego Λ = λ zmiee N, N,..., N 5 są
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2
STATYSTYKA Rafał Kucharski Uiwersytet Ekoomiczy w Katowicach 2015/16 ROND, Fiase i Rachukowość, rok 2 Rachuek prawdopodobieństwa Rzucamy 10 razy moetą, dla której prawdopodobieństwo wyrzuceia orła w pojedyczym
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.
Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY
MIARY POŁOŻENIA Średia Dla daych idywidualych: STATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY Q i = x lmi + i mi 1 4 j h m i mi x = 1 x i x = 1 i ẋ i gdzie ẋ i środek i-tego przedziału i liczość i- tego przedziału
Bardziej szczegółowoSTATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II
STATYSTKA I ANALIZA DANYCH LAB II 1. Pla laboratorium II rozkłady prawdopodobieństwa Rozkłady prawdopodobieństwa dwupuktowy, dwumiaowy, jedostajy, ormaly. Związki pomiędzy rozkładami prawdopodobieństw.
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowoMiary położenia. Miary rozproszenia. Średnia. Wariancja. Dla danych indywidualnych: Dla danych indywidualnych: s 2 = 1 n. (x i x) 2. x i.
Miary położeia Średia Dla daych idywidualych: x = 1 x = 1 x i i ẋ i gdzie ẋ i środek i tego przedziału i - liczość i-tego przedziału Domiata moda Liczba ajczęściej występująca jeśli taka istieje - dla
Bardziej szczegółowoma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y
Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 1. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD Zdarzeia losowe i prawdopodobieństwo Zmiea losowa i jej rozkłady Metody statystycze metody opisu metody wioskowaia statystyczego sytetyczy liczbowy opis właściwości zbioru daych ocea charakterystyk
Bardziej szczegółowoStatystyczny opis danych - parametry
Statystyczy opis daych - parametry Ozaczeia żółty owe pojęcie czerwoy, podkreśleie uwaga * materiał adobowiązkowy Aa Rajfura, Matematyka i statystyka matematycza a kieruku Rolictwo SGGW Zagadieia. Idea
Bardziej szczegółowoTeoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka
Bardziej szczegółowoMiary rozproszenia. Miary położenia. Wariancja. Średnia. Dla danych indywidualnych: Dla danych indywidualnych: s 2 = 1 n. (x i x) 2. x i.
Miary położeia Średia Dla daych idywidualych: x = 1 x = 1 x i i ẋ i gdzie ẋ i środek i tego przedziału i - liczość i-tego przedziału Domiata moda Liczba ajczęściej występująca jeśli taka istieje - dla
Bardziej szczegółowoĆwiczenie 2 ESTYMACJA STATYSTYCZNA
Ćwiczeie ETYMACJA TATYTYCZNA Jest to metoda wioskowaia statystyczego. Umożliwia oszacowaie wartości iteresującego as parametru a podstawie badaia próbki. Estymacja puktowa polega a określeiu fukcji zwaej
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowoWyższe momenty zmiennej losowej
Wyższe momety zmieej losowej Deiicja: Mometem m rzędu azywamy wartość oczeiwaą ucji h( dla dysretej zm. losowej oraz ucji h( dla ciągłej zm. losowej: m E P m E ( d Deiicja: Mometem cetralym µ rzędu dla
Bardziej szczegółowon k n k ( ) k ) P r s r s m n m n r s r s x y x y M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Wyższe momety zmieej losowej Deiicja: Mometem m rzędu azywamy wartość oczeiwaą ucji h() dla dysretej zm. losowej oraz ucji h() dla ciągłej zm. losowej: m E P m E ( ) d Deiicja: Mometem cetralym µ rzędu
Bardziej szczegółowoBADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI
StatSoft Polska, tel. () 484300, (60) 445, ifo@statsoft.pl, www.statsoft.pl BADANIA DOCHODU I RYZYKA INWESTYCJI ZA POMOCĄ ANALIZY ROZKŁADÓW Agieszka Pasztyła Akademia Ekoomicza w Krakowie, Katedra Statystyki;
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa - dodatek
Statystyka opisowa - dodatek. *Jak obliczyć statystyki opisowe w dużych daych? Liczeie statystyk opisowych w dużych daych może sprawiać problemy. Dla przykładu zauważmy, że aiwa implemetacja średiej arytmetyczej
Bardziej szczegółowo0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK
0.1. ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK 1 0.1 ROZKŁADY WYBRANYCH STATYSTYK Zadaia 0.1.1. Niech X 1,..., X będą iezależymi zmieymi losowymi o tym samym rozkładzie. Obliczyć ES 2 oraz D 2 ( 1 i=1 X 2 i ). 0.1.2.
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY
MIARY POŁOŻENIA Średia Dla daych idywidualych: x = 1 STATYSTYKA OPISOWA PODSTAWOWE WZORY x i x = 1 i ẋ i gdzie ẋ i środek i-tego przedziału i liczość i- tego przedziału Domiata (moda Liczba ajczęściej
Bardziej szczegółowo2.1. Studium przypadku 1
Uogóliaie wyików Filip Chybalski.. Studium przypadku Opis problemu Przedsiębiorstwo ŚRUBEX zajmuje się produkcją wyrobów metalowych i w jego szerokim asortymecie domiują różego rodzaju śrubki i wkręty.
Bardziej szczegółowoTwierdzenia graniczne:
Twierdzeia graicze: Tw. ierówośd Markowa Jeżeli P(X > 0) = 1 oraz EX 0: P X k 1 k EX. Tw. ierówośd Czebyszewa Jeżeli EX = m i 0 < σ = D X 0: P( X m tσ) 1 t. 1. Z partii towaru o wadliwości
Bardziej szczegółowoPRZEDZIAŁY UFNOŚCI. Niech θ - nieznany parametr rozkładu cechy X. Niech α będzie liczbą z przedziału (0, 1).
TATYTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 3 RZEDZIAŁY UFNOŚCI Niech θ - iezay parametr rozkład cechy. Niech będzie liczbą z przedział 0,. Jeśli istieją statystyki, U i U ; U U ; których rozkład zależy od θ oraz U θ
Bardziej szczegółowoMetrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie
Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,
Bardziej szczegółowoP = 27, 8 27, 9 27 ). Przechodząc do granicy otrzymamy lim P(Y n > Y n+1 ) = P(Z 1 0 > Z 2 X 2 X 1 = 0)π 0 + P(Z 1 1 > Z 2 X 2 X 1 = 1)π 1 +
Zadaia róże W tym rozdziale zajdują się zadaia ietypowe, często dotyczące łańcuchów Markowa oraz własości zmieych losowych. Pojawią się także zadaia z estymacji Bayesowskiej.. (Eg 8/) Rozważamy łańcuch
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH. 1. Renty
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 2: RENTY. PRZEPŁYWY PIENIĘŻNE. TRWANIE ŻYCIA 1. Rety Retą azywamy pewie ciąg płatości. Na razie będziemy je rozpatrywać bez żadego związku z czasem życiem człowieka.
Bardziej szczegółowoMatematyka finansowa 08.10.2007 r. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. XLIII Egzamin dla Aktuariuszy z 8 października 2007 r.
Matematyka fiasowa 08.10.2007 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy XLIII Egzami dla Aktuariuszy z 8 paździerika 2007 r. Część I Matematyka fiasowa WERSJA TESTU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:...
Bardziej szczegółowoO liczbach naturalnych, których suma równa się iloczynowi
O liczbach aturalych, których suma rówa się iloczyowi Lew Kurladczyk i Adrzej Nowicki Toruń UMK, 10 listopada 1998 r. Liczby aturale 1, 2, 3 posiadają szczególą własość. Ich suma rówa się iloczyowi: Podobą
Bardziej szczegółowoModel ciągły wyceny opcji Blacka Scholesa - Mertona. Wzór Blacka - Scholesa na wycenę opcji europejskiej.
Model ciągły wycey opcji Blacka Scholesa - Mertoa Wzór Blacka - Scholesa a wyceę opcji europejskiej. Model Blacka Scholesa- Mertoa Przełomowe prace z zakresu wycey opcji: Fischer Black, Myro Scholes The
Bardziej szczegółowoPodstawy opracowania wyników pomiarów z elementami analizy niepewności pomiarowych (w zakresie materiału przedstawionego na wykładzie organizacyjnym)
Podstawy opracowaia wyików pomiarów z elemetami aalizepewości pomiarowych (w zakresie materiału przedstawioego a wykładzie orgaizacyjym) Pomiary Wyróżiamy dwa rodzaje pomiarów: pomiar bezpośredi, czyli
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Analiza danych Wykład 1: Statystyka opisowa. Literatura. Podstawowe pojęcia
Pla wykładu Aaliza daych Wykład : Statystyka opisowa. Małgorzata Krętowska Wydział Iformatyki Politechika Białostocka. Statystyka opisowa.. Estymacja puktowa. Własości estymatorów.. Rozkłady statystyk
Bardziej szczegółowooznaczają łączne wartości szkód odpowiednio dla k-tego kontraktu w t-tym roku. O składnikach naszych zmiennych zakładamy, że:
Zadaie. Niech zmiee losowe: X t,k = μ + α k + β t + ε t,k, k =,2,, K oraz t =,2,, T, ozaczają łącze wartości szkód odpowiedio dla k-tego kotraktu w t-tym roku. O składikach aszych zmieych zakładamy, że:
Bardziej szczegółowoKomputerowa analiza danych doświadczalnych
Komputerowa aaliza daych doświadczalych Wykład 6.04.06 dr iż. Łukasz Graczykowski lgraczyk@if.pw.edu.pl Semestr leti 05/06 Własości rozkładu ormalego Cetrale twierdzeie graicze Fukcja charakterystycza
Bardziej szczegółowo14. RACHUNEK BŁĘDÓW *
4. RACHUNEK BŁĘDÓW * Błędy, które pojawiają się w czasie doświadczeia mogą mieć włase źródła. Są imi błędy związae z błędą kalibracją torów pomiarowych, szumy, czas reagowaia przyrządu, ograiczeia kostrukcyje,
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA OPISOWA I PROJEKTOWANIE EKSPERYMENTU dr inż Krzysztof Bryś
1 STATYSTYKA OPISOWA I PROJEKTOWANIE EKSPERYMENTU dr iż Krzysztof Bryś Pojȩcia wstȩpe populacja - ca ly zbiór badaych przedmiotów lub wartości. próba - skończoy podzbiór populacji podlegaj acy badaiu.
Bardziej szczegółowoa) symbole logiczne (wspólne dla wszystkich języków) zmienne przedmiotowe: x, y, z, stałe logiczne:,,,,,, symbole techniczne: (, )
PROGRAMOWANIE W JĘZYU OGII WPROWADZENIE OGIA PIERWSZEGO RZĘDU Symbole języka pierwszego rzędu dzielą się a: a symbole logicze (wspóle dla wszystkich języków zmiee przedmiotowe: x y z stałe logicze: symbole
Bardziej szczegółowoWykład 5 Przedziały ufności. Przedział ufności, gdy znane jest σ. Opis słowny / 2
Wykład 5 Przedziały ufości Zwykle ie zamy parametrów populacji, p. Chcemy określić a ile dokładie y estymuje Kostruujemy przedział o środku y, i taki, że mamy 95% pewości, że zawiera o Nazywamy go 95%
Bardziej szczegółowoĆwiczenia rachunkowe TEST ZGODNOŚCI χ 2 PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA
Aaliza iepewości pomiarowych w esperymetach fizyczych Ćwiczeia rachuowe TEST ZGODNOŚCI χ PEARSONA ROZKŁAD GAUSSA UWAGA: Na stroie, z tórej pobrałaś/pobrałeś istrucję zajduje się gotowy do załadowaia arusz
Bardziej szczegółowoZmienna losowa N ma rozkład ujemny dwumianowy z parametrami (, q) = 7,
Matematyka ubezpieczeń majątkowych.0.008 r. Zadaie. r, Zmiea losowa N ma rozkład ujemy dwumiaowy z parametrami (, q), tz.: Pr( N k) (.5 + k) (.5) k! Γ Γ * Niech k ozacza taką liczbę aturalą, że: * k if{
Bardziej szczegółowoEstymacja parametrów populacji
Estymacja parametrów populacji Estymacja parametrów populacji Estymacja polega a szacowaiu wartości parametrów rozkładu lub postaci samego rozkładu zmieej losowej, a podstawie próby statystyczej. Estymacje
Bardziej szczegółowoI. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
Bardziej szczegółowoElementy modelowania matematycznego
Elemety modelowaia matematyczego Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Modelowaie daych (ilościowe): Metody statystycze: estymacja parametrów modelu,
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematycza dla leśików Wydział Leśy Kieruek leśictwo Studia Stacjoare I Stopia Rok akademicki 0/0 Wykład 5 Testy statystycze Ogóle zasady testowaia hipotez statystyczych, rodzaje hipotez, rodzaje
Bardziej szczegółowoWERSJA TESTU A. Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy. LX Egzamin dla Aktuariuszy z 28 maja 2012 r. Część I. Matematyka finansowa
Matematyka fiasowa 8.05.0 r. Komisja Egzamiacyja dla Aktuariuszy LX Egzami dla Aktuariuszy z 8 maja 0 r. Część I Matematyka fiasowa WERJA EU A Imię i azwisko osoby egzamiowaej:... Czas egzamiu: 00 miut
Bardziej szczegółowoMACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
Bardziej szczegółowoGeometrycznie o liczbach
Geometryczie o liczbach Geometryczie o liczbach Łukasz Bożyk Dodatią liczbę całkowitą moża iterpretować jako pole pewej figury składającej się z kwadratów jedostkowych Te prosty pomysł pozwala w aturaly
Bardziej szczegółowoLista 5. Odp. 1. xf(x)dx = xdx = 1 2 E [X] = 1. Pr(X > 3/4) E [X] 3/4 = 2 3. Zadanie 3. Zmienne losowe X i (i = 1, 2, 3, 4) są niezależne o tym samym
Lista 5 Zadaia a zastosowaie ierówosci Markowa i Czebyszewa. Zadaie 1. Niech zmiea losowa X ma rozkład jedostajy a odciku [0, 1]. Korzystając z ierówości Markowa oszacować od góry prawdopodobieństwo, że
Bardziej szczegółowo1. Wnioskowanie statystyczne. Ponadto mianem statystyki określa się także funkcje zmiennych losowych o
1. Wioskowaie statystycze. W statystyce idetyfikujemy: Cecha-Zmiea losowa Rozkład cechy-rozkład populacji Poadto miaem statystyki określa się także fukcje zmieych losowych o tym samym rozkładzie. Rozkłady
Bardziej szczegółowoAnaliza wyników symulacji i rzeczywistego pomiaru zmian napięcia ładowanego kondensatora
Aaliza wyików symulacji i rzeczywistego pomiaru zmia apięcia ładowaego kodesatora Adrzej Skowroński Symulacja umożliwia am przeprowadzeie wirtualego eksperymetu. Nie kostruując jeszcze fizyczego urządzeia
Bardziej szczegółowod wymiarowy wektor losowy Niech (Ω, S, P) przestrzeń probabilistyczna Definicja Odwzorowanie X: Ω R nazywamy 1-wymiarowym wektorem
d wymiarowy wektor losowy Niech (Ω, S, P) przestrzeń probabilistycza Defiicja Odwzorowaie X: Ω R d azywamy d-wymiarowym wektorem losowym jeśli dla każdego (x 1, x 2,,x d ) є R d zbiór Uwaga {ω є Ω: X(ω)
Bardziej szczegółowoPODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH
PODSTAWY OPRACOWANIA WYNIKÓW POMIARÓW Z ELEMENTAMI ANALIZY NIEPEWNOŚCI POMIAROWYCH POMIAR FIZYCZNY Pomiar bezpośredi to doświadczeie, w którym przy pomocy odpowiedich przyrządów mierzymy (tj. porówujemy
Bardziej szczegółowoKurs Prawdopodobieństwo Wzory
Kurs Prawdoodobieństwo Wzory Elemety kombiatoryki Klasycza deiicja rawdoodobieństwa gdzie: A - liczba zdarzeń srzyjających A - liczba wszystkich zdarzeń P A Tel. 603 088 74 Prawdoodobieństwo deiicja Kołmogorowa
Bardziej szczegółowox 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem
9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3
Bardziej szczegółowoEstymacja: Punktowa (ocena, błędy szacunku) Przedziałowa (przedział ufności)
IV. Estymacja parametrów Estymacja: Puktowa (ocea, błędy szacuku Przedziałowa (przedział ufości Załóżmy, że rozkład zmieej losowej X w populacji geeralej jest opisay dystrybuatą F(x;α, gdzie α jest iezaym
Bardziej szczegółowoModele wskaźnikowe rynku kapitałowego wykorzystujące funkcję regresji wektorów losowych
Zeszyty Naukowe Metody aalizy daych Uiwersytet Ekoomiczy w Krakowie 93 IN 1898-6447 Zesz Nauk UEK, 013; 93: 37 45 DOI: 1015678/ZNUEK01309303 Katedra Matematyki Uiwersytet Ekoomiczy w Krakowie Modele wskaźikowe
Bardziej szczegółowo40:5. 40:5 = 500000υ5 5p 40, 40:5 = 500000 5p 40.
Portfele polis Poieważ składka jest ustalaa jako wartość oczekiwaa rzeczywistego, losowego kosztu ubezpieczeia, więc jest tym bliższa średiej wydatków im większa jest liczba ubezpieczoych Polisy grupuje
Bardziej szczegółowoANALIZA DANYCH DYSKRETNYCH
ZJAZD ESTYMACJA Jest to metoda wioskowaia statystyczego. Umożliwia oa oszacowaie wartości iteresującego as parametru a podstawie badaia próbki. Estymacja puktowa polega a określeiu fukcji zwaej estymatorem,
Bardziej szczegółowo