akademia365.pl kopia dla:
|
|
- Oskar Wasilewski
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1
2 Zestw wzoów mtemtycznych zostł pzygotowny dl potzeb egzminu mtulnego z mtemtyki obowiązującej od oku 00. Zwie wzoy pzydtne do ozwiązni zdń z wszystkich dziłów mtemtyki, dltego może służyć zdjącym nie tylko podczs egzminu, le i w czsie pzygotowń do mtuy. Zestw ten zostł opcowny w entlnej Komisji Egzmincyjnej we współpcy z pcownikmi wyższych uczelni oz w konsultcji z ekspetmi z okęgowych komisji egzmincyjnych. Mmy ndzieję, że zestw, któy pzygotowliśmy mtuzystom, spełni swoje zdnie i pzyczyni się do egzmincyjnych sukcesów. Publikcj współfinnsown pzez UE w mch Euopejskiego Funduszu Społecznego. Publikcj jest dystybuown bezpłtnie. SPIS TREŚI. Wtość bezwzględn liczby.... Potęgi i piewistki.... Logytmy Silni. Współczynnik dwuminowy Wzó dwuminowy Newton Wzoy skóconego mnożeni iągi Funkcj kwdtow Geometi nlityczn Plnimeti Steeometi.... Tygonometi Kombintoyk Rchunek pwdopodobieństw Pmety dnych sttystycznych Tblic wtości funkcji tygonometycznych... 7
3 . WRTŚĆ EZWZGLĘN LIZY Wtość bezwzględną liczby zeczywistej x definiujemy wzoem: x dl x 0 x = x dl x < 0 Liczb x jest to odległość n osi liczbowej punktu x od punktu 0. W szczególności: x 0 x = x l dowolnych liczb x, y mmy: x+ y x + y x y x + y x y = x y x x = y y l dowolnych liczb oz 0 mmy wunki ównowżne: x x + Pondto, jeśli y 0, to x x lub x +. PTĘGI I PIERWISTKI Niech n będzie liczbą cłkowitą dodtnią. l dowolnej liczby definiujemy jej n tą potęgę: n =... n zy Piewistkiem ytmetycznym że b n =. n stopni n z liczby 0 nzywmy liczbę b 0 tką, W szczególności, dl dowolnej liczby zchodzi ówność: =. Jeżeli < 0 oz liczb n jest niepzyst, to n ozncz liczbę b < 0 tką, że b n =. Piewistki stopni pzystych z liczb ujemnych nie istnieją. * Niech m, n będą liczbmi cłkowitymi dodtnimi. efiniujemy: dl 0 : n = n oz 0 = m n dl 0 : = n m m dl > 0 : n = n m Niech, s będą dowolnymi liczbmi zeczywistymi. Jeśli > 0 i b > 0, to zchodzą ówności: s s = +s = s ( ) = s s ( b) = b = b b Jeżeli wykłdniki, s są liczbmi cłkowitymi, to powyższe wzoy obowiązują dl wszystkich liczb 0 i b 0.
4 . LGRYTMY Niech > 0 i. Logytmem log c liczby c > 0 pzy podstwie nzywmy wykłdnik b potęgi, do któej nleży podnieść podstwę, by otzymć liczbę c: log c = b b = c Równowżnie: log c = c l dowolnych liczb x > 0, y > 0 oz zchodzą wzoy: x log ( x y ) = log x + log y log x = log x log = log x log y y Wzó n zminę podstwy logytmu: jeżeli > 0,, b > 0, b oz c > 0, to log c log b c = log b log x oz lg x ozncz log0 x. 4. SILNI. WSPÓŁZYNNIK WUMINWY Silnią liczby cłkowitej dodtniej n nzywmy iloczyn kolejnych liczb cłkowitych od do n włącznie: n! =... n Pondto pzyjmujemy umowę, że 0! =. l dowolnej liczby cłkowitej n 0 zchodzi związek: ( n + )! = n! ( n + ) * l liczb cłkowitych n, k spełnijących wunki 0 k n definiujemy współczynnik n dwuminowy (symbol Newton): k n n! = k k!( n k )! Zchodzą ówności: n n ( n )( n )... ( n k + ) =... k k n n n = = k n k 0 n = n 5. WZÓR WUMINWY NEWTN l dowolnej liczby cłkowitej dodtniej n oz dl dowolnych liczb, b mmy: n n n n n n ( + b ) = n + n b n k b k b n + b n 0 k n n
5 6. WZRY SKRÓNEG MNŻENI l dowolnych liczb, b: ( + b ) = + b + b ( b) = b + b ( + b ) = + b + b + b ( b ) = b + b b l dowolnej liczby cłkowitej dodtniej n oz dowolnych liczb, b zchodzi wzó: n b n = ( b ) ( n + n b n k b k b n + b n ) W szczególności: b = ( b )( + b ) = ( )( + ) b = ( b ) ( + b + b ) = ( ) ( + + ) + b = ( + b ) ( b + b ) + = ( + ) ( + ) n = ( ) ( n ) 7. IĄGI iąg ytmetyczny Wzó n n ty wyz ciągu ytmetycznego ( n ) o piewszym wyzie i óżnicy : n = + ( n ) Wzó n sumę S n = n początkowych n wyzów ciągu ytmetycznego: Sn = + ( n ) + n n = n Między sąsiednimi wyzmi ciągu ytmetycznego zchodzi związek: + n = n n + dl n iąg geometyczny Wzó n n ty wyz ciągu geometycznego ( n ) o piewszym wyzie i ilozie q: n = q n dl n Wzó n sumę S n = n początkowych n wyzów ciągu geometycznego: qn dl q Sn = q n dl q = Między sąsiednimi wyzmi ciągu geometycznego zchodzi związek: n = n n + dl n Pocent skłdny Jeżeli kpitł początkowy K złożymy n n lt w bnku, w któym opocentownie lokt wynosi p % w skli ocznej, to kpitł końcowy K n wyż się wzoem: p K n = K + 00 n
6 8. FUNKJ KWRTW Postć ogóln funkcji kwdtowej: f ( x ) = x + bx + c, 0, x R. Wzó kżdej funkcji kwdtowej możn dopowdzić do postci knonicznej: b Δ f ( x ) = ( x p ) + q, gdzie p =, q =, Δ = b 4c 4 Wykesem funkcji kwdtowej jest pbol o wiezchołku w punkcie o współzędnych ( p, q ). Rmion pboli skieowne są do góy, gdy > 0, do dołu, gdy < 0. Liczb miejsc zeowych funkcji kwdtowej f ( x ) = x + bx + c (liczb piewistków tójminu kwdtowego, liczb zeczywistych ozwiązń ównni x + bx + c = 0 ), zleży od wyóżnik Δ = b 4c : jeżeli Δ < 0, to funkcj kwdtow nie m miejsc zeowych (tójmin kwdtowy nie m piewistków zeczywistych, ównnie kwdtowe nie m ozwiązń zeczywistych), jeżeli Δ = 0, to funkcj kwdtow m dokłdnie jedno miejsce zeowe (tójmin kwdtowy m jeden piewistek podwójny, ównnie kwdtowe m dokłdnie b jedno ozwiąznie zeczywiste): x = x = jeżeli Δ > 0, to funkcj kwdtow m dw miejsc zeowe (tójmin kwdtowy m dw óżne piewistki zeczywiste, ównnie kwdtowe m dw ozwiązni zeczywiste): b Δ b + Δ x = x = Jeśli Δ 0, to wzó funkcji kwdtowej możn dopowdzić do postci iloczynowej: f ( x ) = ( x x )( x x ) Wzoy Viéte Jeżeli Δ 0 to x + x = b x x = c 9. GEMETRI NLITYZN dcinek ługość odcink o końcch w punktch = ( x, y ), = ( x, y ) dn jest y wzoem: = ( x x ) + ( y y ) = ( x, y ) Współzędne śodk odcink : x + x y + y, 4 = ( x, y ) x
7 Wektoy Post JJJG Współzędne wekto : JJJG = [ x x, y y ] G G Jeżeli u = [u, u ], v = [ v, v ] są wektomi, zś jest liczbą, to G G G u + v = [u + v, u + v ] u = [ u, u ] Równnie ogólne postej: x + y + = 0, gdzie + 0 (tj. współczynniki, nie są ównocześnie ówne 0). Jeżeli = 0, to post jest ównoległ do osi x; jeżeli = 0, to post jest ównoległ do osi y; jeżeli = 0, to post pzechodzi pzez początek ukłdu współzędnych. y Jeżeli post nie jest ównoległ do osi y, to m on ównnie kieunkowe: y = x + b Liczb to współczynnik kieunkowy postej: = tg Współczynnik b wyzncz n osi y punkt, w któym dn post ją pzecin. y = x + b b x Równnie kieunkowe postej o współczynniku kieunkowym, któ pzechodzi pzez punkt P = ( x0, y0 ) : y = ( x x0 ) + y0 Równnie postej, któ pzechodzi pzez dw dne punkty = ( x, y ), = ( x, y ) : ( y y )( x x ) ( y y )( x x ) = 0 Post i punkt dległość punktu P = ( x0, y0 ) od postej o ównniu x + y + = 0 jest dn wzoem: x0 + y0 + + P postych wie poste o ównnich kieunkowych y = x + b y = x + b spełniją jeden z nstępujących wunków: są ównoległe, gdy = są postopdłe, gdy = twozą kąt osty ϕ i tgϕ = + 5
8 wie poste o ównnich ogólnych: x + y + = 0 x + y + = 0 są ównoległe, gdy = 0 są postopdłe, gdy + = 0 twozą kąt osty ϕ i tgϕ = + Tójkąt Pole tójkąt o wiezchołkch = ( x, y ), = ( x, y ), = ( x, y ), jest dne wzoem: ( x x )( y y ) ( y y )( x x ) Śodek ciężkości tójkąt, czyli punkt pzecięci jego śodkowych, m współzędne: x + x + x y + y + y, PΔ = Pzeksztłceni geometyczne G pzesunięcie o wekto u = [, b ] pzeksztłc punkt = ( x, y ) n punkt = ( x +, y + b ) symeti względem osi x pzeksztłc punkt = ( x, y ) n punkt = ( x, y ) symeti względem osi y pzeksztłc punkt = ( x, y ) n punkt = ( x, y ) symeti względem punktu (, b ) pzeksztłc punkt = ( x, y ) n punkt = ( x, b y ) jednokłdność o śodku w punkcie ( 0,0 ) i skli s 0 pzeksztłc punkt = ( x, y ) n punkt = ( sx, sy ) Równnie okęgu Równnie okęgu o śodku w punkcie S = (, b ) i pomieniu > 0 : ( x ) + ( y b) lub = x + y x by + c = 0 gdy = + b c > 0 0. PLNIMETRI echy pzystwni tójkątów F 6 E
9 To, że dw tójkąty i EF są pzystjące ( Δ Δ EF ), możemy stwiedzić n podstwie kżdej z nstępujących cech pzystwni tójkątów: cech pzystwni bok bok bok : odpowidjące sobie boki obu tójkątów mją te sme długości: = E, = F, = EF cech pzystwni bok kąt bok : dw boki jednego tójkąt są ówne odpowidjącym im bokom dugiego tójkąt oz kąt zwty między tymi bokmi jednego tójkąt m tką smą mię jk odpowidjący mu kąt dugiego tójkąt, np. = E, = F, ) = )EF cech pzystwni kąt bok kąt : jeden bok jednego tójkąt m tę smą długość, co odpowidjący mu bok dugiego tójkąt oz miy odpowidjących sobie kątów obu tójkątów, pzyległych do boku, są ówne, np. = E, ) = )EF, ) = )EF echy podobieństw tójkątów F E To, że dw tójkąty i EF są podobne ( Δ ~ Δ EF ), możemy stwiedzić n podstwie kżdej z nstępujących cech podobieństw tójkątów: cech podobieństw bok bok bok : długości boków jednego tójkąt są popocjonlne do odpowiednich długości boków dugiego tójkąt, np. = = E F EF cech podobieństw bok kąt bok : długości dwóch boków jednego tójkąt są popocjonlne do odpowiednich długości dwóch boków dugiego tójkąt i kąty między tymi pmi boków są pzystjące, np. =, ) = )EF E F cech podobieństw kąt kąt kąt : dw kąty jednego tójkąt są pzystjące do odpowiednich dwóch kątów dugiego tójkąt (więc też i tzecie kąty obu tójkątów są pzystjące): ) = )EF, ) = )EF, ) = )FE 7
10 Pzyjmujemy oznczeni w tójkącie :, b, c długości boków, leżących odpowiednio npzeciwko wiezchołków,, γ p = + b + c obwód tójkąt b, β, γ miy kątów pzy wiezchołkch,, β c h, hb, hc wysokości opuszczone z wiezchołków,, R, pomienie okęgów opisnego i wpisnego Twiedzenie Pitgos (wz z twiedzeniem odwotnym do niego) W tójkącie kąt γ jest posty wtedy i tylko wtedy, gdy + b = c. Związki miowe w tójkącie postokątnym Złóżmy, że kąt γ jest posty. Wówczs: hc = γ b hc. c b c = c sin = c cos β = b tg = b tgβ +b c R= c = = p c hc = β Twiedzenie sinusów = b + c bc cos b = + c c cos β c = + b b cos γ b c = = = R sin sin β sin γ Twiedzenie cosinusów Tójkąt ównoboczny Wzoy n pole tójkąt PΔ = h = b hb = c hc długość boku h wysokość tójkąt PΔ = b sin γ PΔ sin β sin γ = = R sin sin β sin γ sin h= PΔ bc = = p = 4R PΔ = p ( p )( p b )( p c ) 8 4
11 Twiedzenie Tles Jeżeli poste ównoległe i pzecinją dwie poste, któe pzecinją się w punkcie, to. = Twiedzenie odwotne do twiedzeni Tles Jeżeli poste i pzecinją dwie poste, któe pzecinją się w punkcie oz =, to poste i są ównoległe. zwookąty b Tpez zwookąt, któy m co njmniej jedną pę boków ównoległych. Wzó n pole tpezu: +b P= h h E h ϕ b Romb zwookąt, któy m dwie py boków ównoległych jednkowej długości. Wzoy n pole ombu: P = h = sin = h Równoległobok zwookąt, któy m dwie py boków ównoległych. Wzoy n pole ównoległoboku: P = h = b sin = sin ϕ eltoid zwookąt, któy m oś symetii, zwiejącą jedną z pzekątnych. Wzó n pole deltoidu: P = 9
12 Koło Wzó n pole koł o pomieniu : P = π bwód koł o pomieniu : b = π Wycinek koł Wzó n pole wycink koł o pomieniu i kącie śodkowym wyżonym w stopnich: P = π 60 ługość łuku wycink koł o pomieniu i kącie śodkowym wyżonym w stopnich: l = π 60 Kąty w okęgu Mi kąt wpisnego w okąg jest ówn połowie miy kąt śodkowego, optego n tym smym łuku. Miy kątów wpisnych w okąg, optych n tym smym łuku, są ówne. Twiedzenie o kącie między styczną i cięciwą ny jest okąg o śodku w punkcie i jego cięciw. Post jest styczn do tego okęgu w punkcie. Wtedy ) = ), pzy czym wybiemy ten z kątów śodkowych, któy jest opty n łuku znjdującym się wewnątz kąt. 0
13 Twiedzenie o odcinkch siecznej i stycznej ne są: post pzecinjąc okąg w punktch i oz post styczn do tego okęgu w punkcie. Jeżeli poste te pzecinją się w punkcie P, to P P = P. P kąg opisny n czwookącie γ β N czwookącie możn opisć okąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy mi jego pzeciwległych kątów wewnętznych są ówne 80 : δ + γ = β + δ = 80 kąg wpisny w czwookąt c W czwookąt wypukły możn wpisć okąg wtedy i tylko wtedy, gdy sumy długości jego pzeciwległych boków są ówne: b d +c =b+d
14 . STEREMETRI Twiedzenie o tzech postych postopdłych k l P m Post k pzebij płszczyznę w punkcie P. Post l jest zutem postokątnym postej k n tę płszczyznę. Post m leży n tej płszczyźnie i pzechodzi pzez punkt P. Wówczs post m jest postopdł do postej k wtedy i tylko wtedy, gdy jest postopdł do postej l. znczeni P pole powiezchni cłkowitej Pp pole powiezchni podstwy Pb pole powiezchni bocznej V objętość Postopdłościn H G E F P = ( b + bc + c ) V = bc gdzie, b, c są długościmi kwędzi postopdłościnu c b Gnistosłup posty I J H F Pb = p h V = Pp h G h E gdzie p jest obwodem podstwy gnistosłup
15 stosłup S V = Pp h gdzie h jest wysokością ostosłup h E Wlec Pb = π h h P = π ( + h ) V = π h gdzie jest pomieniem podstwy, h wysokością wlc Stożek S Pb = π l P = π ( + l ) h l V = π h gdzie jest pomieniem podstwy, h wysokością, l długością twozącej stożk Kul P = 4π 4 V = π gdzie jest pomieniem kuli
16 . TRYGNMETRI efinicje funkcji tygonometycznych y y x cos = y tg =, gdy x 0 x sin = M=(x, y) M gdzie = x + y > 0 jest pomieniem wodzącym punktu M x Wykesy funkcji tygonometycznych y = sin x y = tg x y = cos x Związki między funkcjmi tego smego kąt sin + cos = sin tg = cos dl π + kπ k cłkowite Niektóe wtości funkcji tygonometycznych 0 0 sin 0 cos tg π π 4 π π 0 nie istnieje
17 Funkcje sumy i óżnicy kątów l dowolnych kątów, β zchodzą ówności: sin ( + β ) = sin cos β + cos sin β sin ( β ) = sin cos β cos sin β cos ( + β ) = cos cos β sin sin β cos ( β ) = cos cos β + sin sin β Pondto mmy ówności: tg + tgβ tg tgβ tg ( + β ) = tg ( β ) = tg tgβ + tg tgβ któe zchodzą zwsze, gdy są okeślone i minownik pwej stony nie jest zeem. Funkcje podwojonego kąt sin = sin cos cos = cos sin = cos = sin. KMINTRYK Wicje z powtózenimi Liczb sposobów, n któe z n óżnych elementów możn utwozyć ciąg, skłdjący się z k niekoniecznie óżnych wyzów, jest ówn nk. Wicje bez powtózeń Liczb sposobów, n któe z n óżnych elementów możn utwozyć ciąg, skłdjący się z k ( k n ) óżnych wyzów, jest ówn n ( n )... ( n k + ) = n! ( n k )! Pemutcje Liczb sposobów, n któe n óżnych elementów możn ustwić w ciąg, jest ówn n!. Kombincje Liczb sposobów, n któe spośód n óżnych elementów możn wybć k ( 0 k n ) n elementów, jest ówn. k 4. RHUNEK PRWPIEŃSTW Włsności pwdopodobieństw 0 P ( ) dl kżdego zdzeni Ω P (Ω) = Ω zdzenie pewne P ( ) = 0 zdzenie niemożliwe (pusty podzbió Ω ) P ( ) P ( ) gdy Ω P ( ) = P ( ), gdzie ozncz zdzenie pzeciwne do zdzeni P ( ) = P ( ) + P ( ) P ( ), dl dowolnych zdzeń, Ω P ( ) P ( ) + P ( ), dl dowolnych zdzeń, Ω 5
18 Twiedzenie: Klsyczn definicj pwdopodobieństw Niech Ω będzie skończonym zbioem wszystkich zdzeń elementnych. Jeżeli wszystkie zdzeni jednoelementowe są jednkowo pwdopodobne, to pwdopodobieństwo zdzeni Ω jest ówne P ( ) = Ω gdzie ozncz liczbę elementów zbiou, zś Ω liczbę elementów zbiou Ω. 5. PRMETRY NYH STTYSTYZNYH Śedni ytmetyczn Śedni ytmetyczn n liczb,,..., n jest ówn: n = n Śedni wżon Śedni wżon n liczb,,..., n, któym pzypisno odpowiednio dodtnie wgi w, w,..., wn jest ówn: w + w wn n w + w wn Śedni geometyczn Śedni geometyczn n nieujemnych liczb,,..., n jest ówn: n... n Medin Mediną upoządkownego w kolejności niemlejącej zbiou n dnych liczbowych... n jest: dl n niepzystych: n + (śodkowy wyz ciągu) dl n pzystych: n + n + (śedni ytmetyczn śodkowych wyzów ciągu) Wincj i odchylenie stnddowe Wincją n dnych liczbowych,,..., n o śedniej ytmetycznej jest liczb: ( ) + ( ) σ = ( n ) n ( ) n n dchylenie stnddowe σ jest piewistkiem kwdtowym z wincji. 6 =
19 6. TLI WRTŚI FUNKJI TRYGNMETRYZNYH [ ] sin cos β tg β [ ] 0,0000 0,075 0,049 0,05 0,0698 0,087 0,045 0,9 0,9 0,564 0,76 0,908 0,079 0,50 0,49 0,588 0,756 0,94 0,090 0,56 0,40 0,584 0,746 0,907 0,4067 0,46 0,484 0,4540 0,4695 0,4848 0,5000 0,550 0,599 0,5446 0,559 0,576 0,5878 0,608 0,657 0,69 0,648 0,656 0,669 0,680 0,6947 0,707 0,0000 0,075 0,049 0,054 0,0699 0,0875 0,05 0,8 0,405 0,584 0,76 0,944 0,6 0,09 0,49 0,679 0,867 0,057 0,49 0,44 0,640 0,89 0,4040 0,445 0,445 0,466 0,4877 0,5095 0,57 0,554 0,5774 0,6009 0,649 0,6494 0,6745 0,700 0,765 0,756 0,78 0,8098 0,89 0,869 0,9004 0,95 0,9657, [ ] sin cos β tg β [ ] 0,79 0,74 0,74 0,7547 0,7660 0,777 0,7880 0,7986 0,8090 0,89 0,890 0,887 0,8480 0,857 0,8660 0,8746 0,889 0,890 0,8988 0,906 0,95 0,905 0,97 0,96 0,997 0,9455 0,95 0,956 0,96 0,9659 0,970 0,9744 0,978 0,986 0,9848 0,9877 0,990 0,995 0,9945 0,996 0,9976 0,9986 0,9994 0,9998,0000,055,074,06,504,98,49,799,70,764,48,486,599,600,664,7,8040,8807,966,050,445,460,559,475,605,7475,904,0777,709,4874,7 4,008 4,5 4,7046 5,446 5,67 6,8 7,54 8,44 9,544,40 4,007 9,08 8,66 57,
20 Poweed by TPF (
Mamy nadzieję, że zestaw, który przygotowaliśmy maturzystom, spełni swoje zadanie i przyczyni się do egzaminacyjnych sukcesów.
Zestw wzoów mtemtyzy zostł pzygotowy dl potze egzmiu mtulego z mtemtyki oowiązująej od oku 00. Zwie wzoy pzydte do ozwiązi zdń z wszystki dziłów mtemtyki, dltego może służyć zdjąym ie tylko podzs egzmiu,
Bardziej szczegółowo9. PLANIMETRIA. Cięciwa okręgu (koła) odcinek łączący dwa dowolne punkty okręgu
9. PLANIMETIA 9.. Okąg i koło ) Odinki w okęgu i kole S Cięiw okęgu (koł) odinek łąząy dw dowolne punkty okęgu d S Śedni okęgu (koł) odinek łąząy dw dowolne punkty okęgu pzeodząy pzez śodek okęgu (koł)
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI WZRY SPIS TREŚI. Wtość ezwzględ liczy.... Potęgi i piewistki.... Logytmy... 4. Sili. Współczyik dwumiowy... 5. Wzó dwumiowy Newto... 6. Wzoy skócoego możei... 7. iągi... 8. Fukcj
Bardziej szczegółowoKARTA WZORÓW MATEMATYCZNYCH. (a + b) c = a c + b c. p% liczby a = p a 100 Liczba x, której p% jest równe a 100 a p
KRT WZORÓW MTEMTYZNY WŁSNOŚI DZIŁŃ Pwo pzemiennośi dodwni + = + Pwo łąznośi dodwni + + = ( + ) + = + ( + ) Pwo zemiennośi mnoŝeni = Pwo łąznośi mnoŝeni = ( ) = ( ) Pwo ozdzielnośi mnoŝeni względem dodwni
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 2015/2016 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY. Copyright by Nowa Era Sp. z o.o.
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z NOWĄ ERĄ 0/06 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Zsdy ocenini ozwiązń zdń Copyight by Now E Sp. z o.o. Póbny egzmin mtulny z Nową Eą Uwg: Akceptowne są wszystkie odpowiedzi meytoycznie
Bardziej szczegółowoGEOMETRIA PŁASZCZYZNY
GEOMETRIA PŁASZCZYZNY. Oblicz pole tapezu ównoamiennego, któego podstawy mają długość cm i 0 cm, a pzekątne są do siebie postopadłe.. Dany jest kwadat ABCD. Punkty E i F są śodkami boków BC i CD. Wiedząc,
Bardziej szczegółowo11. STEREOMETRIA. V - objętość bryły D H. c p. Oznaczenia stosowane w stereometrii: - pole powierzchni całkowitej bryły - pole podstawy bryły
. STEREOMETRIA Oznczeni stosowne w steeometii: Pc - poe powiezcni cłkowitej yły Pp - poe podstwy yły P - poe powiezcni ocznej yły V - ojętość yły.. Gnistosłupy D Podstwy gnistosłup - dw ównoegłe i pzystjące
Bardziej szczegółowoh a V. GEOMETRIA PŁASKA TRÓJKĄT :
pitgos..pl V. GEOMETRIA PŁASKA TRÓJKĄT : Wunek utwozeni tójkąt: sum ługośi wó kótszy oków musi yć większ o ługośi njłuższego oku. Śoek okęgu opisnego wyznzją symetlne oków. Śoek okęgu wpisnego wyznzją
Bardziej szczegółowoIKONY CZĘŚĆ I 1. WIELOKĄTY I OKRĘGI
CZĘŚĆ I 1. WIELOKĄTY I OKRĘGI 1.1. Okąg opisny n wielokącie (s. 10) Zdni utwljące (s. ) 1.. Okąg wpisny w wielokąt (s. 4) Zdni utwljące (s. 35) 1.3. Wielokąty foemne (s. 37) Zdni utwljące (s. 43) Zdni
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Mteriły dydktyczne n zjęci wyrównwcze z mtemtyki dl studentów pierwszego roku kierunku zmwinego Inżynieri Środowisk w rmch projektu Er inżynier pewn lokt n przyszłość Projekt Er inżynier pewn lokt n przyszłość
Bardziej szczegółowoSpis treści. Publikacja współinansowana przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego. Publikacja jest dystrybuowana bezpłatnie.
Spis teści. Wtość ezwzględ liczy.... Potęgi i piewistki.... Logytmy... 4. Sili. Współczyik dwumiowy... 5. Wzó dwumiowy Newto... 6. Wzoy skócoego możei... 7. iągi... 8. Fukcj kwdtow...4 9. Geometi litycz...4
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Mteriły dydktyczne n zjęci wyrównwcze z mtemtyki dl studentów pierwszego roku kierunku zmwinego Inżynieri i Gospodrk Wodn w rmch projektu Er inżynier pewn lokt n przyszłość Projekt Er inżynier pewn lokt
Bardziej szczegółowoZnajdowanie analogii w geometrii płaskiej i przestrzennej
Gimnzjum n 17 im. Atu Gottge w Kkowie ul. Litewsk 34, 30-014 Kków, Tel. (12) 633-59-12 Justyn Więcek, Atu Leśnik Znjdownie nlogii w geometii płskiej i pzestzennej opiekun pcy: mg Doot Szczepńsk Kków, mzec
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Mteriły dydktyczne n zjęci wyrównwcze z mtemtyki dl studentów pierwszego roku kierunku zmwinego Biotechnologi w rmch projektu Er inżynier pewn lokt n przyszłość Projekt Er inżynier pewn lokt n przyszłość
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ODPOWIEDZI DO ARKUSZA ROZSZERZONEGO Zadanie ( pkt) A Zadanie ( pkt) C Zadanie ( pkt) A, bo sinα + cosα sinα + cosα cos sinα sin cosα + π π + π sin α π A więc musi
Bardziej szczegółowoZadania otwarte. 2. Matematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM i Gazetą Wyborczą n n. 2n n. lim 10.
Vdemecum Mtemtyk KRYTERIA OCENIANIA OPOWIEZI Póbn Mtu z OPERONEM mtemtyk ZAKRES ROZSZERZONY VAEMECUM MATURA 06 kod wewnątz Mtemtyk Poziom ozszezony Zcznij zygotowni do mtuy już dziś Listod 05 skle.oeon.l/mtu
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka. Poziom rozszerzony. Listopad Wskazówki do rozwiązania zadania
Vdemecum Mtemtyk KRYTERIA OCENIANIA OPOWIEZI Póbn Mtu z OPERONEM mtemtyk ZAKRES ROZSZERZONY VAEMECUM MATURA 06 kod wewnątz Mtemtyk Poziom ozszezony Zcznij zygotowni do mtuy już dziś Listod 0 Zdni zmknięte
Bardziej szczegółowoEGZAMIN EKSTERNISTYCZNY Z MATEMATYKI
SPIS TREŚI EGZMIN EKSTERNISTYZNY Z MTEMTYKI WZRY. Wtość ezwzględ licz.... Potęgi i piewistki.... Sili. Smol Newto... 4. wumi Newto... 5. Wzo skócoego możei... 6. iągi... 7. Fukcj kwdtow...4 8. Logtm...5
Bardziej szczegółowo1. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA LICZBY
. WRTŚĆ EZWZGLĘN LIZY Wtość ezwzględą lizy zezywistej x defiiujemy wzoem: x dl x 0 x x dl x < 0 Liz x jest to odległość osi lizowej puktu x od puktu 0. W szzególośi: x 0 x x l dowoly liz x, y mmy: x +
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony
KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Póbna Matua z OPERONEM Matematyka Poziom ozszezony Listopad 0 W ni niej szym sche ma cie oce nia nia za dań otwa tych są pe zen to wa ne pzy kła do we po paw ne od po wie
Bardziej szczegółowo9. 1. KOŁO. Odcinki w okręgu i kole
9.. KOŁO Odcinki w okęgu i kole Cięciwa okęgu (koła) odcinek łączący dwa dowolne punkty okęgu d Śednica okęgu (koła) odcinek łączący dwa dowolne punkty okęgu pzechodzący pzez śodek okęgu (koła) Pomień
Bardziej szczegółowoSumy algebraiczne i funkcje wymierne
Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych
Bardziej szczegółowoSumy algebraiczne i funkcje wymierne
Sumy lgebriczne i funkcje wymierne Moduł - dził -temt Zkres treści Sumy lgebriczne 1 definicj jednominu, sumy lgebricznej, wyrzów podobnych pojęcie współczynnik jednominu Dodwnie i odejmownie sum lgebricznych
Bardziej szczegółowoSieć odwrotna. Fale i funkcje okresowe
Sieć odwotn Fle i funkcje okesowe o Wiele obiektów w pzyodzie d; o Różne fle ozchodzą się w pzestzeni (zówno w póżni jk i w mteii); o Aby mtemtycznie opisć tkie okesowe zminy stosuje się funkcje sinus
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE IIc ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. JĘZYK MATEMATYKI oblicz wrtość bezwzględną liczby rzeczywistej stosuje interpretcję geometryczną wrtości bezwzględnej liczby
Bardziej szczegółowoZadania do rozdziału 7.
Zdni do ozdziłu 7. Zd.7.. wiezchołkch kwdtu o okch umieszczono ednkowe łdunku. Jki łdunek o znku pzeciwnym tze umieścić w śodku kwdtu y sił wypdkow dziłąc n kżdy łdunek ył ówn zeu? ozwiąznie: ozptzmy siły
Bardziej szczegółowo2. FUNKCJE WYMIERNE Poziom (K) lub (P)
Kls drug poziom podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych redukuje wyrzy
Bardziej szczegółowoOznaczenia: K wymagania konieczne; P wymagania podstawowe; R wymagania rozszerzające; D wymagania dopełniające; W wymagania wykraczające
Wymgni edukcyjne z mtemtyki ls 2 b lo Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne; wymgni podstwowe; R wymgni rozszerzjące; D wymgni dopełnijące; W wymgni wykrczjące Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci
Bardziej szczegółowousuwa niewymierność z mianownika wyrażenia typu
Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki Kls pierwsz zkres podstwowy. LICZBY RZECZYWISTE podje przykłdy liczb: nturlnych, cłkowitych, wymiernych, niewymiernych, pierwszych i złożonych orz przyporządkowuje
Bardziej szczegółowoModele odpowiedzi do arkusza Próbnej Matury z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony
Modele odpowiedzi do akusza Póbnej Matuy z OPERONEM Matematyka Poziom ozszezony Listopad 00 W kluczu są pezentowane pzykładowe pawidłowe odpowiedzi. Należy ównież uznać odpowiedzi ucznia, jeśli są inaczej
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 2b, 2c, 2e zakres podstawowy rok szkolny 2015/2016. 1.Sumy algebraiczne
Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2b, 2c, 2e zkres podstwowy rok szkolny 2015/2016 1.Sumy lgebriczne N ocenę dopuszczjącą: 1. rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne 2. oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych
Bardziej szczegółowoWymagania na ocenę dopuszczającą z matematyki klasa II Matematyka - Babiański, Chańko-Nowa Era nr prog. DKOS 4015-99/02
Wymgni n ocenę dopuszczjącą z mtemtyki kls II Mtemtyk - Bbiński, Chńko-Now Er nr prog. DKOS 4015-99/02 Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni WIELOMIANY 1. Stopień i współczynniki wielominu 2. Dodwnie
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne matematyka klasa 2 zakres podstawowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE
Wymgni edukcyjne mtemtyk kls 2 zkres podstwowy 1. SUMY ALGEBRAICZNE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne oblicz wrtości liczbowe wyrżeń lgebricznych
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI
EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI WZORY SPIS TREŚI. Wtość ezwzględ lizy.... Potęgi i piewistki.... Sili. Symol Newto... 4. wumi Newto... 5. Wzoy skóoego możei... 6. iągi... 7. Fukj kwdtow...4 8. Logytmy...5 9.
Bardziej szczegółowoKURS GEOMETRIA ANALITYCZNA
KURS GEOMETRIA ANALITYCZNA Lekcja 2 Działania na wektoach w układzie współzędnych. ZADANIE DOMOWE www.etapez.pl Stona 1 Część 1: TEST Zaznacz popawną odpowiedź (tylko jedna jest pawdziwa). Pytanie 1 Któe
Bardziej szczegółowoG i m n a z j a l i s t ó w
Ko³o Mtemtyzne G i m n z j l i s t ó w Stowzyszenie n zez Edukji Mtemtyznej Zestw 6 szkie ozwiązń zdń Znjdź wszystkie tójki (x, y, z) liz zezywistyh, któe są ozwiąznimi ównni 5(x +y +z ) = 4(xy +yz +zx)
Bardziej szczegółowoWymagania kl. 2. Uczeń:
Wymgni kl. 2 Zkres podstwowy Temt lekcji Zkres treści Osiągnięci uczni. SUMY ALGEBRAICZNE. Sumy lgebriczne definicj jednominu pojęcie współczynnik jednominu porządkuje jednominy pojęcie sumy lgebricznej
Bardziej szczegółowoMATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań
MATURA z WSiP Mtemtyk Poziom podstwowy Zsdy ocenini zdń Copyright by Wydwnictw Szkolne i Pedgogiczne sp. z o.o., Wrszw Krtotek testu Numer zdni 6 7 8 9 6 7 8 9 Uczeń: Sprwdzn umiejętność (z numerem stndrdu)
Bardziej szczegółowoKONKURS Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW SZKÓŁ PODSTAWOWYCH
Konkusy w województwie podkapackim w oku szkolnym 08/09 KONKURS Z MTEMTYKI L UZNIÓW SZKÓŁ POSTWOWYH ETP REJONOWY KLUZ OPOWIEZI Zasady pzyznawania punktów za każdą popawną odpowiedź punkt za błędną odpowiedź
Bardziej szczegółowoMETODY HODOWLANE - zagadnienia
METODY HODOWLANE METODY HODOWLANE - zgdnieni. Mtemtyczne podstwy metod odowlnyc. Wtość cecy ilościowej i definicje pmetów genetycznyc. Metody szcowni pmetów genetycznyc 4. Wtość odowln cecy ilościowej
Bardziej szczegółowoMATeMAtyka 3 inf. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. Zakres podstawowy i rozszerzony. Dorota Ponczek, Karolina Wej
Dorot Ponczek, Krolin Wej MATeMAtyk 3 inf Przedmiotowy system ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych Zkres podstwowy i rozszerzony Wyróżnione zostły nstępujące wymgni progrmowe: konieczne (K), podstwowe
Bardziej szczegółowoTemat lekcji Zakres treści Osiągnięcia ucznia
ln wynikowy kls 2c i 2e - Jolnt jąk Mtemtyk 2. dl liceum ogólnoksztłcącego, liceum profilownego i technikum. sztłcenie ogólne w zkresie podstwowym rok szkolny 2015/2016 Wymgni edukcyjne określjące oceny:
Bardziej szczegółowoSpis treści. Wstęp... 4
pis treści Wstęp... 4 Zdni mturlne......................................................... 5 1. Funkcj kwdrtow... 5. Wielominy... 7. Trygonometri... 9 4. Wrtość bezwzględn... 11 5. Plnimetri... 15 6.
Bardziej szczegółowoWEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:
WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość
Bardziej szczegółowoWEKTORY skalary wektory W ogólnym przypadku, aby określić wektor, należy znać:
WEKTORY Wśród wielkości fizycznych występujących w fizyce możn wyróżnić sklry i wektory. Aby określić wielkość sklrną, wystrczy podć tylko jedną liczbę. Wielkościmi tkimi są ms, czs, tempertur, objętość
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 2015/2016
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY VIII w roku szkolnym 015/016 oprcowł: Dnut Wojcieszek n ocenę dopuszczjącą rysuje wykres funkcji f ( ) i podje jej włsności sprwdz lgebricznie, czy dny punkt
Bardziej szczegółowoPRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH. (powtórzenie) y=f(x)=ax+b,
WYKŁAD 0 PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH (powtórzenie) 1. Funkcje liniowe Funkcją liniową nzywmy funkcję postci y=f()=+b, gdzie, b są dnymi liczbmi zwnymi odpowiednio: - współczynnik kierunkowy, b - wyrz
Bardziej szczegółowoZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA
ZNI SMZIELNE RZWIĄZNI łski ukłd sił zbieżnych Zdnie 1 Jednoodn poziom belk połączon jest pzegubowo n końcu z nieuchomą ściną oz zwieszon n końcu n cięgnie twozącym z poziomem kąt. Znleźć ekcję podpoy n
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony
KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Póbna Matua z OPERONEM Matematyka Poziom ozszezony Listopad W niniejszym schemacie oceniania zadań otwatych są pezentowane pzykładowe popawne odpowiedzi. W tego typu ch należy
Bardziej szczegółowoKONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM
Konkusy w województwie podkpkim w oku szkolnym 0/0 KONKURS MATEMATYCZNY DLA UCZNIÓW GIMNAZJUM Kluz odpowiedzi do ETAPU WOJEWÓDZKIEGO Akusz zwie tylko zdni otwte, któe nleży oenić według zmieszzonego poniżej
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. Moduł - dział -temat Lp. Zakres treści. z.p. z.r Funkcja kwadratowa - powtórzenie PLANIMETRIA 1
FUNKCJA KWADRATOWA Moduł - dził -temt Funkcj kwdrtow - powtórzenie Lp Lp z.p. z.r. 1 1 Równni kwdrtowe 2 Postć iloczynow funkcji kwdrtowej 3 Równni sprowdzlne do równń kwdrtowych Nierówności kwdrtowe 5
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 5. Typy macierzy, działania na macierzach, macierz układu równań. Podstawowe wiadomości o macierzach
Mtemtyk I WYKŁD. ypy mcierzy, dziłni n mcierzch, mcierz ukłdu równń. Podstwowe widomości o mcierzch Ogóln postć ukłdu m równń liniowych lgebricznych z n niewidomymi x x n xn b x x n xn b, niewidome: x,
Bardziej szczegółowoWyznacznikiem macierzy kwadratowej A stopnia n nazywamy liczbę det A określoną następująco:
Def.8. Wyzncznikiem mcierzy kwdrtowej stopni n nzywmy liczbę det określoną nstępująco:.det.det dl n n det det n det n, gdzie i j ozncz mcierz, którą otrzymujemy z mcierzy przez skreślenie i- tego wiersz
Bardziej szczegółowoWykład z matematyki dla studentów Inżynierii Środowiska. Wykład 1. Literatura PRZEGLĄD FUNKCJI ELEMENTARNYCH
Wykłd z mtemtyki dl studentów Inżynierii Środowisk Wykłd. Litertur. Gewert M., Skoczyls Z.: Anliz mtemtyczn, Oficyn Wydwnicz GiS, Wrocłw, 0.. Jurlewicz T., Skoczyls Z.: Algebr liniow, Oficyn Wydwnicz GiS,
Bardziej szczegółowoPlanimetria czworokąty
Plnimetri czworokąty Emili Ruszczyk kl. II, I LO im. Stefn Żeromskiego w Ełku pod kierunkiem Grżyny iernot-lendo Klsyfikcj czworokątów zworokąty dzielą się n niewypukłe i wypukłe, wypukłe n trpezy i trpezoidy,
Bardziej szczegółowoWYMAGANIA I KRYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU POPRAWKOWEGO MATEMATYKA. Zakresie podstawowym i rozszerzonym. Klasa II rok szkolny 2011/2012
mgr Jolnt Chlebd mgr Mri Mślnk mgr Leszek Mślnk mgr inż. Rent itl mgr inż. Henryk Stępniowski Zespół Szkół ondgimnzjlnych Młopolsk Szkoł Gościnności w Myślenicch WYMAGANIA I RYTERIA OCENIANIA DO EGZAMINU
Bardziej szczegółowoRównania i nierówności kwadratowe z jedną niewiadomą
50 REPETYTORIUM 31 Równni i nierówności kwdrtowe z jedną niewidomą Równnie wielominowe to równość dwóch wyrżeń lgebricznych Kżd liczb, któr po podstwieniu w miejscu niewidomej w równniu o jednej niewidomej
Bardziej szczegółowoZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ
ZADANIA Z ZAKRESU SZKOŁY PODSTAWOWEJ, GIMNAZJUM I SZKOŁY ŚREDNIEJ Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + Nrsowć wkres funkji: f() = + + Dl jkih wrtośi A, B zhodzi równość: + +5+6 = A
Bardziej szczegółowoPropozycja przedmiotowego systemu oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych (zakres podstawowy)
Propozycj przedmiotowego systemu ocenini wrz z określeniem wymgń edukcyjnych (zkres podstwowy) Proponujemy, by omwijąc dne zgdnienie progrmowe lub rozwiązując zdnie, nuczyciel określł do jkiego zkresu
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie II poziom rozszerzony
Wymgni edukcyjne n poszczególne oceny z mtemtyki w klsie II poziom rozszerzony N ocenę dopuszczjącą, uczeń: rysuje wykres funkcji f ( x) x i podje jej włsności; sprwdz lgebricznie, czy dny punkt nleży
Bardziej szczegółowoSprawdzian całoroczny kl. III
Sprwdzin cłoroczny kl. III Gr. A 1. Podne liczby zpisz w kolejności rosnącej: 7 ; b,5 ; c 6 ; d,5(). Oblicz i zpisz wynik w notcji wykłdniczej 0 8 6, 10 5 10. Wskż równość nieprwdziwą: A) 5 9 B) 6 C) 0
Bardziej szczegółowoCałkowanie. dx d) x 3 x+ 4 x. + x4 big)dx g) e x 4 3 x +a x b x. dx k) 2x ; x 0. 2x 2 ; x 1. (x 2 +3) 6 j) 6x 2. x 3 +3 dx k) xe x2 dx l) 6 1 x dx
Wydził Mtemtyki Stosownej Zestw zdń nr 5 Akdemi Górniczo-Hutnicz w Krkowie WFiIS, informtyk stosown, I rok Elżbiet Admus 3 listopd 6r. Cłk nieoznczon Cłkownie. Podstwowe metody cłkowni Zdnie. Oblicz cłki:
Bardziej szczegółowoKlasa druga: II TK1, II TK2 Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 90 nr programu DKOS /07 I. Funkcja kwadratowa
Kls drug: II TK1, II TK2 Poziom podstwowy 3 godz. 30 tyg.= 0 nr progrmu DKOS-5002-7/07 I. Funkcj kwdrtow Moduł - dził - L.p. temt Wykres 1 f()= 2 2 Zkres treści Pojęcie Rysownie wykresów Związek współczynnik
Bardziej szczegółowoZadania. I. Podzielność liczb całkowitych
Zdni I. Podzielność liczb cłkowitych. Pewn liczb sześciocyfrow kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestwimy n miejsce pierwsze ze strony lewej to otrzymmy nową liczbę cztery rzy większą od poprzedniej.
Bardziej szczegółowoMateriały diagnostyczne z matematyki poziom podstawowy
Mteriły dignostyczne z mtemtyki poziom podstwowy czerwiec 0 Klucz odpowiedzi do zdń zmkniętych orz schemt ocenini Mteriły dignostyczne przygotowł Agt Siwik we współprcy z nuczycielmi mtemtyki szkół pondgimnzjlnych:
Bardziej szczegółowoODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM PODSTAWOWY. Etapy rozwiązania zadania
Przykładowy zestaw zadań nr z matematyki ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM PODSTAWOWY Nr zadania Nr czynności Etapy rozwiązania zadania Liczba punktów Uwagi. Podanie dziedziny funkcji f:
Bardziej szczegółowomagnetycznym. Rozwiązanie: Na elektron poruszający się z prędkością υ w polu B działa siła Lorentza F L, wektorów B i υ.
Zdni do ozdziłu 8. Zd.8.. Elekton (o msie 3 9 m 9, 0 kg i łdunku elektycznym e.6 0 C ) wpd z pędkością υ 0 7 m / s w obsz jednoodnego pol mgnetycznego o indukcji B 0 T postopdle do linii sił tego pol.
Bardziej szczegółowoPRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD ,0. 3x 6 6 3x 6 6,
Zdnie PRÓBNA MATURA Z MATEMATYKI Z OPERONEM LISTOPAD 04 Zbiorem wszystkich rozwiązń nierówności x 6 6 jest: A, 4 0, B 4,0 C,0 4, D 0,4 Odpowiedź: C Rozwiąznie Sposób I Nierówność A 6 jest równowżn lterntywie
Bardziej szczegółowoPrędkość i przyspieszenie punktu bryły w ruchu kulistym
Pędkość i pzyspieszenie punktu były w uchu kulistym Położenie dowolnego punktu były okeślmy z pomocą wekto (o stłej długości) któego współzędne możemy podć w nieuchomym ukłdzie osi x y z ) z b) ζ ζ η z
Bardziej szczegółowoWykład 2. Granice, ciągłość, pochodna funkcji i jej interpretacja geometryczna
1 Wykłd Grnice, ciągłość, pocodn unkcji i jej interpretcj geometryczn.1 Grnic unkcji. Grnic lewostronn i grnic prwostronn unkcji Deinicj.1 Mówimy, że liczb g jest grnicą lewostronną unkcji w punkcie =,
Bardziej szczegółowoRozwiązania maj 2017r. Zadania zamknięte
Rozwiązni mj 2017r. Zdni zmknięte Zd 1. 5 16 5 2 5 2 Zd 2. 5 2 27 2 23 2 2 2 2 Zd 3. 2log 3 2log 5log 3 log 5 log 9 log 25log Zd. 120% 8910 1,2 8910 2,2 8910 $%, 050 Zd 5. Njłtwiej jest zuwżyć że dl 1
Bardziej szczegółowoCAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU
CAŁKA OZNACZONA JAKO SUMA SZEREGU Rozwżmy funkcję ciągłą x f(x) o wrtościch nieujemnych określoną n przedzile [, b]. Ustlmy [będzie to problem sttystyczny polegjący n dokłdnym sprecyzowniu informcji o
Bardziej szczegółowoZbiory wyznaczone przez funkcje zdaniowe
pojęci zbioru i elementu RCHUNEK ZIORÓW zbiór zwier element element nleży do zbioru jest elementem zbioru ( X zbiór wszystkich przedmiotów indywidulnych, których dotyczy dn nuk zbiór pełny (uniwerslny
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom podstawowy
KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbn Mtur z OPERONEM Mtemtyk Poziom podstwowy Mrzec 7 Zdni zmknięte Z kżdą poprwną odpowiedź zdjący otrzymuje punkt. Poprwn odpowiedź Wskzówki do rozwiązni. B 5 5 6 5 = =
Bardziej szczegółowoKONKURS MATEMATYCZNY dla uczniów gimnazjów w roku szkolnym 2012/13. Propozycja punktowania rozwiązań zadań
KONKURS MATEMATYCZNY dl uczniów gimnzjów w roku szkolnym 0/ II etp zwodów (rejonowy) 0 listopd 0 r. Propozycj punktowni rozwiązń zdń Uwg: Z kżde poprwne rozwiąznie inne niż przewidzine w propozycji punktowni
Bardziej szczegółowoMacierz. Wyznacznik macierzy. Układ równań liniowych
Temt wykłdu: Mcierz. Wyzncznik mcierzy. Ukłd równń liniowych Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomrńczowy uwg kursyw komentrz * mterił ndobowiązkowy Ann Rjfur, Mtemtyk Zgdnieni. Pojęci. Dziłni n mcierzch.
Bardziej szczegółowoKonkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów województwa lubuskiego 19 stycznia 2012 r. zawody II stopnia (rejonowe)
Kod ucznia:. Ilość punktów: Konkus Matematyczny dla uczniów gimnazjów województwa lubuskiego 19 stycznia 2012. zawody II stopnia (ejonowe) Witamy Cię na dugim etapie Konkusu Matematycznego. Pzed pzystąpieniem
Bardziej szczegółowo4. RACHUNEK WEKTOROWY
4. RACHUNEK WEKTOROWY 4.1. Wektor zczepiony i wektor swoodny Uporządkowną prę punktów (A B) wyznczjącą skierowny odcinek o początku w punkcie A i końcu w punkcie B nzywmy wektorem zczepionym w punkcie
Bardziej szczegółowo- Wydział Fizyki Zestaw nr 5. Powierzchnie 2-go stopnia
1 Algebr Liniow z Geometri - Wydził Fizyki Zestw nr 5 Powierzchnie -go stopni 1 N sferze 1 + + 3 = 4 znleźć punkt, którego odległość od punktu p = (, 6, 3) byłby njmniejsz Wyznczyć osie elipsy powstłej
Bardziej szczegółowo11. DYNAMIKA RUCHU DRGAJĄCEGO
11. DYNAMIKA RUCHU DRGAJĄCEGO Ruchem dgającym nazywamy uch, któy powtaza się peiodycznie w takcie jego twania w czasie i zachodzi wokół położenia ównowagi. Zespół obiektów fizycznych zapewniający wytwozenie
Bardziej szczegółowoDorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Plan wynikowy. Zakres podstawowy
Dorot Ponczek, rolin Wej MATeMAtyk Pln wynikowy Zkres podstwowy MATeMAtyk. Pln wynikowy. ZP Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące
Bardziej szczegółowoKatalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne. Matematyka. Poznać, zrozumieć
Ktlog wymgń progrmowych n poszczególne stopnie szkolne Mtemtyk. Poznć, zrozumieć Ksztłcenie w zkresie podstwowym. Kls 2 Poniżej podjemy umiejętności, jkie powinien zdobyć uczeń z kżdego dziłu, by uzyskć
Bardziej szczegółowoSzczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki, klasa 2C, poziom podstawowy
Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki, kls 2C, poziom podstwowy Wymgni konieczne () dotyczą zgdnieo elementrnych, stnowiących swego rodzju podstwę, ztem powinny byd opnowne przez kżdego uczni. Wymgni
Bardziej szczegółowoCałka oznaczona i całka niewłaściwa Zastosowania rachunku całkowego w geometrii
Wydził Mtemtyki Stosownej Zestw zdń nr 6 Akdemi Górniczo-Hutnicz w Krkowie WFiIS, informtyk stosown, I rok Elżbiet Admus 9 listopd 8r. Cłk oznczon i cłk niewłściw Zstosowni rchunku cłkowego w geometrii
Bardziej szczegółowoPierwiastek z liczby zespolonej
Pierwistek z liczby zespolonej Twierdzenie: Istnieje dokłdnie n różnych pierwistków n-tego stopni z kżdej liczby zespolonej różnej od zer, tzn. rozwiązń równni w n z i wszystkie te pierwistki dją się zpisć
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka. Poziom rozszerzony. Listopad Wskazówki do rozwiązania zadania
Vdemecum i Testy GIELDAMATURALNA.PL ODBIERZ KOD DOSTĘPU* - Twój indywidulny klucz do wiedzy! *Kod n końcu klucz odpowiedzi Mtemtyk KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbn Mtur z OPERONEM Mtemtyk Poziom rozszerzony
Bardziej szczegółowozestaw DO ĆWICZEŃ z matematyki
zestaw DO ĆWICZEŃ z mtemtyki poziom rozszerzony rozumownie i rgumentcj krty prcy ZESTAW I Zdnie 1. Wykż, że odcinek łączący środki dwóch dowolnych oków trójkąt jest równoległy do trzeciego oku i jest równy
Bardziej szczegółowomgh. Praca ta jest zmagazynowana w postaci energii potencjalnej,
Wykłd z fizyki. Piot Posmykiewicz 49 6-4 Enegi potencjln Cłkowit pc wykonn nd punktem mteilnym jest ówn zminie jego enegii kinetycznej. Często jednk, jesteśmy zinteesowni znlezieniem pcy jką sił wykonł
Bardziej szczegółowodr inż. Zbigniew Szklarski
Wkłd 3: Kinemtk d inż. Zbigniew Szklski szkl@gh.edu.pl http://le.uci.gh.edu.pl/z.szklski/ Wstęp Opis uchu KINEMATYKA Dlczego tki uch? Pzczn uchu DYNAMIKA MECHANIKA 08.03.018 Wdził Infomtki, Elektoniki
Bardziej szczegółowoWymagania na poszczególne oceny z matematyki w Zespole Szkół im. St. Staszica w Pile. Kl. II poziom podstawowy
Wymgni n poszczególne oceny z mtemtyki w Zespole Szkół im. St. Stszic w Pile 1. SUMY ALGEBRAICZNE Kl. II poziom podstwowy Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą, jeśli: rozpoznje jednominy i sumy lgebriczne
Bardziej szczegółowo1 Definicja całki oznaczonej
Definicj cłki oznczonej Niech dn będzie funkcj y = g(x) ciągł w przedzile [, b]. Przedził [, b] podzielimy n n podprzedziłów punktmi = x < x < x
Bardziej szczegółowo3. Odległość Ziemi od Słońca jest równa km. Odległość tą można zapisać w postaci iloczynu: C. ( 2) 2 C D.
Sprwdzin Potęgi i pierwistki. Piąt potęg liczby jest równ: A. 0 B. C. D. 4. Iloczyn jest równy: A. B. C. D.. Odległość Ziemi od Słońc jest równ 0 000 000 km. Odległość tą możn zpisć w postci iloczynu:
Bardziej szczegółowoNotatki z Analizy Matematycznej 4. Jacek M. Jędrzejewski
Nottki z Anlizy Mtemtycznej 4 Jcek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 7 Cłk Riemnn 1. Cłk nieoznczon Definicj 7.1. Niech f : (, b) R będzie dowolną funkcją. Jeżeli dl pewnej funkcji F : (, b) R spełnion jest równość
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki FUNKCJE dopuszczającą dostateczną dobrą bardzo dobrą
Wymgni edukcyjne z mtemtyki Kls IIC. Rok szkolny 013/014 Poziom podstwowy FUNKCJE Uczeń otrzymuje ocenę dopuszczjącą lub dostteczną, jeśli: rozpoznje przyporządkowni będące funkcjmi określ funkcję różnymi
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI ZESTW PRZYGOTOWNY PRZEZ SERWIS WWW.ZDNI.INFO POZIOM PODSTWOWY 24 MRC 2018 CZS PRCY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZDNIE 1 (1 PKT) Niech a = 2, b = 1 i c = 3. Wartość wyrażenia
Bardziej szczegółowoZałącznik nr 3 do PSO z matematyki
Złącznik nr 3 do PSO z mtemtyki Wymgni n poszczególne oceny szkolne z mtemtyki n poziomie podstwowym Chrkterystyk wymgń n poszczególne oceny: Wymgni n ocenę dopuszczjącą dotyczą zgdnień elementrnych, stnowiących
Bardziej szczegółowoDorota Ponczek, Karolina Wej. MATeMAtyka 2. Szczegółowe wymagania edukacyjne z matematyki w klasie drugiej Zakres podstawowy
Dorot Ponczek, rolin Wej MATeMAtyk 2 Szczegółowe wymgni edukcyjne z mtemtyki w klsie drugiej Zkres podstwowy Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące,
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z matematyki dla klasy II a liceum (poziom podstawowy) na rok szkolny 2018/2019
Wymgni edukcyjne z mtemtyki dl klsy II liceum (poziom podstwowy) n rok szkolny 08/09 Oznczeni: wymgni konieczne, P wymgni podstwowe, R wymgni rozszerzjące, D wymgni dopełnijące, W wymgni wykrczjące. SUMY
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA KLASY I K i rozszerzonym WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH
MATEMATYKA KLASY I K i rozszerzonym WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH oprcowne n podstwie przedmiotowego systemu ocenini NOWEJ ERY
Bardziej szczegółowoWykład 1. Elementy rachunku prawdopodobieństwa. Przestrzeń probabilistyczna.
Podstawowe pojęcia. Wykład Elementy achunku pawdopodobieństwa. Pzestzeń pobabilistyczna. Doświadczenie losowe-doświadczenie (zjawisko, któego wyniku nie możemy pzewidzieć. Pojęcie piewotne achunku pawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowo