Zadanie 1. Zadanie 2. Sprawdzam dla objętości, że z obwarzanków mogę posklejać całą kulę o promieniu R: r = {x, y, z}; A = * Cross r, B

Transkrypt

1 Zadanie In[]:= = {x, y, z}; In[]:= B = B, B, B3 ; (* Bi to wielkości stałe *) In[3]:= A = - * Coss, B Out[3]= -B3 y + B z, B3 x - B z, -B x + B y In[4]:= {x,y,z} -B3 y + B z, B3 x - B z, -B x + B y Out[4]= B, B, B3 In[5]:= {x,y,z} -B3 y + B z, B3 x - B z, -B x + B y Out[5]= 0 In[6]:= CleaAll "Global`*" Zadanie Kulę składamy z obęczy o pomieniu =*sin(theta) i pzekoju popzecznym da=*d*dtheta. Objętość takiego obwazanka wynosi dv= *Pi**dA, a ładunek dq=ho*dv. Magnetyczny moment dipolowy takiego obwazanka wynosi dm=i*ds=(dq/t)*pi*^, gdzie T jest okesem obotu kuli wokół własnej osi: T=*Pi/omega. dm=(omega/)**pi*ho*^4*(sin(theta))^3*d*dtheta Spawdzam dla objętości, że z obwazanków mogę posklejać całą kulę o pomieniu R:

2 ozw_zadania_09.nb In[7]:= Vkuli = Integate * Pi * * * Sin theta,, 0, R, theta, 0, Pi Out[7]= 4 π R 3 3 In[8]:= Mommagnkuli = Integate omega * * Pi * ho * ^4 * Sin theta ^3,, 0, R, theta, 0, Pi Out[8]= In[9]:= Out[9]= In[0]:= Out[0]= 4 omega π R 5 ho 5 ho = Q Vkuli 3 Q 4 π R 3 Mommagnkuli omega Q R 5 In[]:= mpot =.4 * 0^ -6 ; (* C m^ s *) In[]:= R =.4 * 0^ -5 ; (* m *) In[3]:= Q =.6 * 0^ -9 ; (* C *) In[4]:= (* mp=.67*0^ -7 ; (* kg *) *) In[5]:= (* v= omega*r *) In[6]:= v = 5 * mpot Q * R (* m/s *) Out[6]= Ta pędkość nawet dla potonu jest większa od pędkości światła w póżni! Dla elektonu byłoby jeszcze gozej, bo watość pomienia elektonu jest szacowana tylko od góy Re < 0^(-8) m. Dlatego magnetyczne momenty dipolowe cząstek nie mogą być tłumaczone na guncie elektodynamiki klasycznej. In[7]:= CleaAll "Global`*" Zadanie 3

3 ozw_zadania_09.nb 3 Niech x oznacza odległość uchomej popzeczki od oponika R. Zmienne pole powiezchni amki to l*x, a stumień objęty pzez amkę wynosi B*l*x. Siła elektomotoyczna indukowana w amce ma watość Epsilon=B*l*x [t], a pąd w amce ma watość i[t]=epsilon/r, zakładając, że opoy szyn i popzeczki są małe w poównaniu z opoem R. Pąd w amce płynie w takim kieunku (pzez popzeczkę - w pawo), by pzeciwdziałać zmianie osnącego stumienia pola magnetycznego. W tej sytuacji na popzeczkę z pądem opócz siły gawitacji skieowanej w dół, działa siła pochodząca od pola magnetycznego skieowana w góę! In[8]:= Out[8]= In[9]:= Out[9]= i t = B * l * x' t R B l x [t] R ownanie = m * x'' t m * g - i t * l * B m x [t] g m - B l x [t] R In[0]:= wapocz = x 0 x0, x' 0 0 ; (* popzeczka spada z wysokości x0, bez pędkości początkowej *) In[]:= Out[]= ownania = Append wapocz, ownanie x[0] x0, x [0] 0, m x [t] g m - B l x [t] R In[]:= s = DSolve ownania, x t, t Out[]= x[t] e - B l t m R B 4 l 4 g m R - e B l t m R g m R + B e B l t m R g l m R t + B 4 e B l t m R l 4 x0 In[3]:= s = Simplify[s] Out[3]= x[t] g m R - + e - B l t m R m R + B l t + B 4 l 4 x0 B 4 l 4 In[4]:= Out[4]= In[5]:= Out[5]= x t_ = x t /. s B 4 l 4 g m R - + e - x t B 4 l 4 g m R - + e - B l t m R m R + B l t + B 4 l 4 x0 B l t m R m R + B l t + B 4 l 4 x0 In[6]:= l = ; B = 3; m = 0; g = 0; x0 = ; R = ; In[7]:= x t Out[7]= e -5 t 8 + t

4 4 ozw_zadania_09.nb In[8]:= Plot x t, t, 0, Out[8]= In[9]:= Plot x' t, t, 0, Out[9]= In[30]:= CleaAll "Global`*" Zadanie 4

5 ozw_zadania_09.nb 5 In[3]:= polee = Ex x, y, z, t, Ey x, y, z, t, Ez x, y, z, t ; In[3]:= In[33]:= Out[33]= poleb = Bx x, y, z, t, By x, y, z, t, Bz x, y, z, t ; ho = epsilon0 * {x,y,z} polee epsilon0 Ez 0,0,,0 [x, y, z, t] + Ey 0,,0,0 [x, y, z, t] + Ex,0,0,0 [x, y, z, t] In[34]:= j = -epsilon0 * D polee, t + mu0 * {x,y,z} poleb Out[34]= -epsilon0 Ex 0,0,0, [x, y, z, t] + -By 0,0,,0 [x, y, z, t] + Bz 0,,0,0 [x, y, z, t], mu0 -epsilon0 Ey 0,0,0, [x, y, z, t] + Bx 0,0,,0 [x, y, z, t] - Bz,0,0,0 [x, y, z, t], mu0 -epsilon0 Ez 0,0,0, [x, y, z, t] + mu0 -Bx 0,,0,0 [x, y, z, t] + By,0,0,0 [x, y, z, t] In[35]:= Out[35]= FullSimplify {x,y,z} j -epsilon0 Ez 0,0,, [x, y, z, t] + Ey 0,,0, [x, y, z, t] + Ex,0,0, [x, y, z, t] In[36]:= Out[36]= FullSimplify D ho, t epsilon0 Ez 0,0,, [x, y, z, t] + Ey 0,,0, [x, y, z, t] + Ex,0,0, [x, y, z, t] In[37]:= FullSimplify {x,y,z} j + D ho, t Out[37]= 0 In[38]:= CleaAll "Global`*" Zadanie 5

6 6 ozw_zadania_09.nb In[39]:= u = c * f x - v * t + c * f x + v * t Out[39]= c f[-t v + x] + c f[t v + x] In[40]:= l = D u, x, Out[40]= c f [-t v + x] + c f [t v + x] In[4]:= Out[4]= p = v^ * D u, t, c v f [-t v + x] + c v f [t v + x] v In[4]:= Simplify[p] Out[4]= c f [-t v + x] + c f [t v + x] In[43]:= Out[43]= Simplify l p Tue In[44]:= CleaAll "Global`*" Zadanie 6 In[45]:= In[46]:= In[47]:= k = k, k, k3 ; x = x, x, x3 ; u = f k.x - w * t Out[47]= f[-t w + k x + k x + k3 x3] In[48]:= l = Laplacian u, x, x, x3 Out[48]= k f [-t w + k x + k x + k3 x3] + k f [-t w + k x + k x + k3 x3] + k3 f [-t w + k x + k x + k3 x3] In[49]:= Simplify l Out[49]= k + k + k3 f [-t w + k x + k x + k3 x3]

7 ozw_zadania_09.nb 7 In[50]:= p = v^ * D u, t, Out[50]= w f [-t w + k x + k x + k3 x3] v Aby zachodziło l=p, musi być spełniona zależność k + k + k3 = w v In[5]:= CleaAll "Global`*" Zadanie 7 In[5]:= Out[5]= u = c * * f - v * t + c * * f + v * t c f[ - t v] c f[ + t v] + In[53]:= d = D[u, ] c f[ - t v] c f[ + t v] Out[53]= c f [ - t v] + c f [ + t v] In[54]:= d = ^ * D[u, ] Out[54]= c f[ - t v] c f[ + t v] c f [ - t v] + c f [ + t v] In[55]:= Simplify d Out[55]= -c f[ - t v] - c f[ + t v] + c f [ - t v] + c f [ + t v] In[56]:= Out[56]= l = ^ * D d, c f[ - t v] c f[ + t v] c f [ - t v] + c f [ + t v] c f[ - t v] c f[ + t v] c f [ + t v] + c f [ - t v] + c f [ + t v] +

8 8 ozw_zadania_09.nb In[57]:= Out[57]= Simplify l c f [ - t v] + c f [ + t v] In[58]:= Out[58]= In[59]:= Out[59]= In[60]:= Out[60]= p = v^ * D u, t, c v f [-t v] Simplify[p] + c v f [+t v] v c f [ - t v] + c f [ + t v] Simplify l p Tue In[6]:= CleaAll "Global`*" Zadanie 8 In[6]:= u = A[x] * Cos w * t + phi Out[6]= A[x] Cos[phi + t w] In[63]:= Out[63]= In[64]:= Out[64]= d = D u, x, - v^ * D u, t, w A[x] Cos[phi + t w] + Cos[phi + t w] A [x] v Simplify d Cos[phi + t w] w A[x] + v A [x] v Aby ównanie było spełnione dla dowolnej chwili t, wyażenie w nawiasie musi być ówne zeo In[65]:= ownanie = w A[x] + v A [x] 0 Out[65]= w A[x] + v A [x] 0 In[66]:= Out[66]= v = w k w k

9 ozw_zadania_09.nb 9 In[67]:= Out[67]= ownanie = Simplify ownanie, w > 0 k A[x] + A [x] 0 k In[68]:= Out[68]= wabzeg = A 0 0, A L 0 A[0] 0, A[L] 0 In[69]:= Out[69]= In[70]:= Out[70]= ownania = Append wabzeg, ownanie A[0] 0, A[L] 0, k A[x] + A [x] 0 k s = Assuming k > 0 && L > 0, DSolve ownania, A[x], x A[x] C[] Sin[k x] 0 Tue ṅ. Integes && ṅ. && k > 0 && L ṅ. π k ṅ. 0 && k > 0 && L π+ n.. k To nie jest popawny wynik. Szukam więc najpiew ozwiązania bez waunków bzegowych! In[7]:= Out[7]= s = DSolve ownanie, A[x], x A[x] C[] Cos[k x] + C[] Sin[k x] Aby waunki bzegowe były spełnione: In[7]:= A[x_] := c * Sin k * x Dodatkowo Sin[k*L]=0, więc k*l = n*pi, gdzie n=,,3,.. (Dla n=0 mielibyśmy tywialne ozwiązanie A[x]=0 i u=0.) Dlatego k = n*pi/l, gdzie n=,,3,... In[73]:= kmin = Pi L; In[74]:= Out[74]= wmin = vf * kmin π vf L In[75]:= fmin = wmin * Pi (* najniższa częstotliwość *) Out[75]= vf L In[76]:= vf = Sqt T0 mu (* pędkość fazowa fali w stunie *) Out[76]= T0 mu In[77]:= fmin Out[77]= T0 mu L

10 0 ozw_zadania_09.nb In[78]:= L = 0.64; (* m *)Manipulate Plot Sin n * x * Pi L, x, 0, L, AxesLabel x, "A[x]", PlotLabel n, n,, 0, n A[x] Out[78]= x In[79]:= CleaAll "Global`*" Zadanie 9 In[80]:= L = 0.64; (* m *) In[8]:= d = 0.08; (* cm *) In[8]:= ho = 7.85;(* g (cm)^3 *) In[83]:= T0 = 443.8; (* N *) Liczę objętość m bieżącego stuny w (cm)^3 : In[84]:= obj = Pi * d ^ * 00 Out[84]= In[85]:= m = obj * ho (* masa m bieżącego stuny w gamach *) Out[85]= In[86]:= mu = m 000 (* masa m bieżącego stuny w kg *) Out[86]=

11 ozw_zadania_09.nb In[87]:= vf = Sqt T0 mu (* m/s *) Out[87]= In[88]:= fmin = Out[88]= T0 mu L (* Hz *)