Układy liniowosprężyste Clapeyrona

Transkrypt

1 Układy liiowosprężyste Clapeyroa

2 Liiowosprężysty układ Clapeyroa zbiór połączoych ze sobą ciał odkształcalych, w których przemieszczeia są liiowymi fukcjami sił Układ rzeczywisty może być traktoway jako liiowosprężysty gdy: składa się z połączoych ze sobą ciał liiowosprężystych będących w rówowadze, przemieszczeia ie wpływają a zmiaę waruków rówowagi, siły tarcia moża pomiąć.

3 Siła uogólioa (a) siła skupioa lub (b) momet skupioy, (obciążeie rozłożoe liiowo lub powierzchiowo) Przemieszczeie uogólioe (a) przemieszczeie lub (b) kąt obrotu A ϕ A U i P i M

4 Dowole przemieszczeie uogólioe u i (i,,..,) spowodowae jedoczesym działaiem układu sił uogólioych P j (j,,..,) moża przedstawić w postaci: u f P f P + f P f P f P i ij j i i ij j i j lub macierzowo: u FP f ij liczby wpływowe u u u. u, P P P. P, F f f. f f f. f.. fij. f f. f macierz podatosci

5 Dowolą siłę uogólioą P i (i,,..,) moża przedstawić jako liiową fukcję uogólioych przemieszczeń u j (j,,..,): P k u k u + k u k u k u i ij j i i ij j i j lub macierzowo: P Ku K k k. k k k. k.. kij. k k. k macierz sztywosci K F

6 Zasada superpozycji u f P f P + f P f P f P i ij j i i ij j i j u i u i j u i j i i + i i i u u u u u u i Jeżeli zachodzą liiowe związki między skutkami i przyczyami, to skutek spowodoway jedoczesym działaiem wszystkich przyczy jest sumą skutków wywołaych pojedyczymi przyczyami

7 P i Eergia sprężysta Na układ liiowosprężysty działają siły uogólioe P, P,..., P i,.., P. Zwiększają się oe w sposób quasi-statyczy od zera do pełych swoich wartości. Obciążeia te wywołują odpowiadające im przemieszczeia u, u,..., u i,.., u. Eergia kietycza: praca siłyp i E L+ A Pu i i i u i L V L A V Pu i i L praca sił zewętrzych P i Poieważ E0, więc A praca sił wewętrzych V eergia sprężysta, rówa pracy sił wewętrzych A wziętych ze zakiem (-)

8 u i ij j j L V Pu i f P P j i i ku i ij j L V PP f uu k i j ij i j ij i j i j Eergia sprężysta układu liiowosprężystego jest jedorodą kwadratową fukcją sił lub przemieszczeń uogólioych. Poieważ V ie jest liiową fukcją P i oraz u i, ie moża do obliczaia eergii sprężystej stosować zasady superpozycji.

9 Twierdzeie o wzajemości prac Bettiego Niech a układ liiowosprężysty działają w sposób quasi-statyczy dwie siły, w kolejości P i i P j oraz P j i P i. L Pu + Pu + Pu ij i ii j jj i ij L Pu + Pu Pu + ji j jj i ii j ji Pu P u i ij j ji Praca siły P i a odpowiadającym jej przemieszczeiu u ij wywołaym siłą P j jest rówa pracy siły P j a odpowiadającym jej przemieszczeiu u ji wywołaym siłą P i.

10 Twierdzeie o wzajemości przemieszczeń Maxwella Załóżmy, że P i P j. Wówczas z tw. Bettiego wyika, że u ij u ji Przemieszczeie u ij opowiadające sile P i spowodowae siłą P j jest rówe przemieszczeiu u ji odpowiadającemu sile P j spowodowaemu siłą P i jeśli P i P j. Jeśli P i P j, to uij fijpj fij oraz uji fjipi fji stąd fij fji oraz kij kji Macierze podatości F i sztywości K są symetrycze

11 Twierdzeie Castigliaa Na układ liiowosprężysty działają uogólioe siły P, P,.., P i,.., P. Siły te dozają przyrostów dp, dp,.., dp i,..,dp. Praca przyrostów sił dp i a odpowiadających im przemieszczeiach u i jest rówa: dl dpu i Różiczka eergii sprężystej VV(P, P,.., P i,.., P ) jako fukcji wielu zmieych wyraża się zależością: i i i V P i dp i

12 dl V dpu P i i i i i dp i V ui P i i dp i 0 Twierdzeie Castigliaa: u i V P i dla dowolych przyrostów dp i Pochoda cząstkowa eergii sprężystej względem siły uogólioej jest rówa przemieszczeiu uogólioemu odpowiadającemu tej sile.

13 Eergia sprężysta układu prętowego Pręt rozciągay (ściskay): Rozważamy pręt o długości dx, polu przekroju A, rozciągay (ściskay) siłą N. Siła N wykouje pracę: Ndu E moduł Youga gdzie du Ndx EA Dla pręta o długości l: N dx EA V l N N l dx EA EA 0

14 Skręcaie: Rozważamy pręt o długości dx, przekroju kołowym o bieguowym momecie bezwładości I S skręcay mometem skręcającym M S. Momet skręcający wykouje pracę: M dϕ S G moduł Kirchhoffa gdzie dϕ M dx S GI S Dla pręta o długości l: S M dx GI S V l 0 S S M dx GI S M l GI S

15 Zgiaie: Rozważmy pręt (belkę) o długości dx zgiay mometem gącym M g. Momet gący wykouje pracę a kącie ugięcia dϑ M gdϑ E moduł Youga I momet bezwładości przekroju dϑ M g Mgdx skąd dϑ dx ρ EI EI Dla pręta o długości l: M dx g EI V l M gdx M gl EI EI 0

16 Ściaie: Rozważay jest pręt o długości dx ściay siłą poprzeczą T. Siła T wykouje pracę a ugięciu środka ciężkości przekroju dv T : Tdv T Ugięcie dv T oblicza się porówując eergię sprężystą w elemecie zastępczym (przekrój płaski) z eergią w rzeczywistym elemecie pręta (przekrój wypaczoy): τ TdvT G A dxda gdzie τ TS z Ib wzór Żurawskiego

17 Ściaie cd: T Sz TdvT dx da IbG A dv T A S z Tdx da I b GA A dv T βtdx GA gdzie β β bezwymiarowy współczyik zależy od kształtu przekroju A I S z b A da β TdvT GA Tdx Dla pręta o długości l: V l βtdx βtl GA GA 0

18 Podsumowaie ( ) ( ) Sila wewętrza dx Sztywosc N dx EA s s M dx GI M g dx EI T dx GA β Rozciągaie: Zgiaie: Skręcaie: Ściaie:

19

20