05. Model atomu Bohra: Obliczyć promień, prędkość oraz energię potencjalną, kinetyczną i całkowitą dozwolonych orbit w modelu atomu Bohra.

Transkrypt

1 Fika kwatowa I Zadaia do ćwiceń wersja dia 0 paźdierika 00 Najowsa wersja dostępa w sieci: 0 Zjawisko fotoelektrce: 9 Promieiowaie o atężeiu I = 3 0 W/cm i długości fali 400m pada a metal w którm praca wjścia fotoelektrou wosi ev Zaleźć eergię fotoelektroów licbę elektroów emitowach w jedostce casu pre jedostkę powierchi ora eergię absorbowaą w jedostce casu pre jedostkę powierchi 0 Zjawisko Comptoa: 4 Foto o eergii 0 ev roprasa się a spocwającm elektroie pod kątem 60 o Zaleźć prrost cęstości fali prrost jej długości ora eergię kietcą i pęd elektrou 03 Ciało doskoale care: Stała słoeca cli powierchiowa gęstość moc w pobliżu Ziemi (poa atmosferą) wosi I = 35 kw/m Zakładając że mam do cieia ciałem doskoale carm oblicć temperaturę promieiującej powierchi Odległość Ziemi od Słońca 8 R = 5 0 m promień Słońca r = m 04 Wkaać że swobod elektro ie może pochłoąć fotou 05 Model atomu Bohra: Oblicć promień prędkość ora eergię potecjalą kietcą i całkowitą dowoloch orbit w modelu atomu Bohra 06 Zaleźć prędkość którą uskał ieruchom atom wodoru w wiku prejścia pierwsego stau wbudoego do podstawowego Zaleźć cęstość wsłaego fotou uwględieiem odrutu 07 Rowiąań agadieie dwóch ciał Wprowadić tor wględego ruchu Roprasaie Rutheforda: Zbadać klasce roproseie cąstki o ładuku q = +e a ieruchomm cetrum sił o ładuku Q = +Ze Wprowadić wór Rutheforda a prekrój c

2 Podać rokład prawdopodobieństwa dla rutu prawidłową kostką ora kostką fałswą dla której prawdopodobieństwo wruceia jedki i sóstki są rówe dwukrotie miejse od rówch prawdopodobieństw wruceia dwójki i piątki i trkrotie miejse od rówch prawdopodobieństw wruceia trójki i cwórki Oblicć w każdm prpadku wartość średią i wariację rokładu 3 Cąstka w jedm wmiare opisaa jest fukcją Gaussa: ( a) Ψ( ) = C ep( + ik) 4σ Zaleźć stałą ormaliacją C wartość średią i wariację rokładu położeń a także prawdopodobieństwo aleieia cąstki w prediale (a σ a + σ) d * d Zaleźć wartość ocekiwaą dla operatora ih t d Ψ ( )( ih ) Ψ( ) d d 4 Elektro w ajiżsch staach atomu wodoru opisa jest fukcjami: r Ψ00( r ) = ep( ) 3 πa a r r Ψ00( r ) = ( ) ep( ) 3 3πa a a r r Ψ0( r ) = ep( ) cosϑ 3 3πa a a gdie a = m r = + + = arccos(/r) a) Sprawdić uormowaie fukcji dla stau lm = 00 b) Zaleźć dla tch staów ajbardiej prawdopodobą wartość odległości r elektrou od jądra r ma (maksimum w rokładie prawdopodobieństwa wględem r cli lm π π lm r dr d d r lm r ρ ( ) = ϕ Θ si θ Ψ ( θ ϕ) dr ) 0 0 c) wartość średią (ocekiwaą) r lm d) wariację rokładu ρ lm (r) e) prawdopodobieństwo aleieia elektrou w odległości miejsej iż 0a od wartości ajbardiej prawdopodobej r ma lm f) Wartość ocekiwaą wektora położeia r lm g) wartość ocekiwaą C r = r? r 5 Rowiąć w sereg fukcji ϕm ( ) = e l l gdie m całkowite fukcję + l l < < 0 Ψ( ) = C + l 0 < < l Stałą C wacć waruku ormaliacji imπ

3 6 Wielomia Legedre a (ob I Białicki-Birula Teoria kwatów M6): a) Zortoormaliować metodą Gramma-Schimdta jedomia ϕ ( ) = a odciku ( ) Uskae wielomia preormować uwględiając waruek: P ( ) Pm ( ) d = δm + b) Oblicć tr ajiżse współciki rowiięcia w sereg potęgow wględem t fukcji P( t) = (tw fukcji tworącej): P( t) = P ( ) t t + t = 0 c) Pokaać że dla oblicoch w b) wielomiaów prawdiw jest wór Rodriguesa d P ( ) = ( )! d d) Wkaać że oblicoe w b) wielomia Legedre a spełiają rówaie różickowe d d [( ) + ( + )] P ( ) = 0 d d 7 W seregu Fouriera ad 5 wkoać prejście graice l i otrmać całkę Fouriera: Ψ = π Ψ ik ( ) ( k) e dk ik Ψ( k) = Ψ( ) e d π (Uwaga! Nieco ieformal apis: Ψ () i Ψ (k) to dwie róże fukcje!) Cęsto a oaceie trasformat Fouriera stosuje się apis operatorow Ψ( k) = Fˆ Ψ( ) lub Ψ ( ) Ψ( k) Warto auważć że podobe jak dla położeia i wektora falowego (pędu) relacje moża otrmać dla casu i cęstości (eergii) (por asad ieoacoości dla tch wielkości) Róże bwają rówież defiicje trasformat (ak fukcji ekspoecjalej i współcik pred całką) Dowieść własości trasformat Fouriera (dla odmia w miech cas cęstość): a) ω skalowaie casu: h( at) H ( ) π a a b) t skalowaie cęstości: h( ) H ( bω) b b π iωt0 presuięcie w casie: h( t t0 ) H ( ω) e π iω 0t presuięcie w cęstości: h( t) e H ( ω ω0 ) π Jeżeli h(t) jest fukcją recwistą to H ( ω) = [ H ( ω)] * Jeżeli h(t) jest fukcją csto urojoą to H ( ω) = [ H ( ω)] Jeżeli h(t) jest fukcją parstą to H(t) jest rówież parsta Jeżeli h(t) jest fukcją ieparstą to H(t) jest rówież ieparsta *

4 c) Wkaać że g * h G( ω) H ( ω) gdie g * h = τ ( τ) ( τ) π d g h t (splątaie fukcji g i h) Wkaać że Corr ( g h) G( ω) H ( ω) gdie Corr ( g h) = τ ( τ) ( + τ) π d g h t (korelacja fukcji g i h) Wkaać że autokorelacja fukcji Corr ( g g) G( ω) G( ω) a poadto jeżeli g jest fukcją recwistą Corr ( g g) G( ω) (twierdeie Wieera-Khichia) 8 Zaleźć trasformatę Fouriera fukcji a) Ψ ( ) = C ep( γ ) ( a) b) Ψ ( ) = ep( + ik) 4 πσ 4σ W drugim prpadku oblicć wartość ocekiwaą k wariację ora iloc δ δ k δ k rokładu Ψ( k) dk 9 Zauważć że relacji uskaej w ad 7 wika że wrażeie π e własość δ-diraca t Ψ( ) δ( 0 ) d = Ψ( 0 ) Pokaać że taką własość mają rówież wrażeia graice fukcji si( a) a) lim π a ( a) b) lim ep( ) σ 0 πσ σ ik ) ( 0 dk posiada 0 Udowodić ajważiejse własości δ-diraca: a) f ( ) δ ( ) d = f (0) + b) δ ( a) = δ( ) a c) δ( ) = 0 d) pokaać diałaie δ ( a) i d δ () e) ( a ) = [ δ( a) + δ( + a) ] d δ a δ( i ) f) δ( f ( )) = gdie i umeruje wsstkie miejsca erowe f ( ) 0 f i = ( ) d g) δ ( ) = Θ( ) gdie d i i 0 Θ( ) = 0 < 0

5 Pokaać że (A B C maciere lub operator): a) [A+B C] = [A C] + [B C] b) [A B C] = A [B C] + [A C] B c) [B - A] = B - [A B] B - Oblicć a) [f() p ] = ih f () b) [ p ] c) [f() p ] d) [ [ p ]] p e) [H p ] gdie H to hamiltoia elektrou w potecjale V(): H = + V ( ) m 3 Oblicć komutator operatorów: ( p pęd L momet pędu r położeie i ora j prebiegają po { }) a) [L i L j ] b) [L i L ] c) [L i p j ] d) [L i r j ] 4 Oblicć komutator [V() p i ] gdie V() jest eergią potecjalą 5 Oblicć komutator [H L i ] ora [H L ] gdie H jest operatorem eergii cąstki o masie m ajdującej się w polu potecjalm o smetrii sfercej 6 Udowodić że [A [B C]]+ [B [C A]]+ [C [A B]] = 0 7 Sprawdić kied iloc dwóch operatorów hermitowskich jest operatorem hermitowskim 8 Pokaać dla fukcji ormowalch do jedości że w jedm wmiare operator położeia ora pędu p są operatorami hermitowskimi 9 Napisać hamiltoia dla osclatora harmoicego Zapisać go pr pomoc operatorów a i a + mω ip gdie a = ( + ) Zaleźć relacje komutacji dla operatorów a i a + : [a a + ] h mω [a (a + ) ] [a + a a] [a + a a + ] 0 Udowodić że wartość średia pędu cąstecki w staie o określoej eergii (widmo dskrete) jest rówe eru (Podpowiedź: roważć komutator [H ]) Pokaać że dla staów własch hamiltoiau H achodi własość (reguła sum) j j [ [ H ]] m ) ( E j E ) = h m (Wskaówka: roważć komutator [[H]] ora elemet Cąstka opisaa jest fukcją falową Ψ ( ) = C ep( γ + ik) Θ( ) Zaleźć prawdopodobieństwo że pomiar pędu da wik prediału ( h ( k γ) h( k + γ) )

6 3 Cąstka swoboda: Zaleźć rowiąaie rówaia Schrödigera be casu dla swobodego elektrou: d h Ψ( ) = EΨ( ) m d d me (co moża prepisać: ( + γ ) Ψ( ) = 0 gdie γ = ) d h Porówaj je do rówaia ietłumioego osclatora harmoicego: d k ( + ω ) ( t) = 0 gdie ω = dt m Porówaj rowiąaia i ich ses fic 4 Zaleźć fukcje i wartości włase operatora pędu 5 Zasada ieoacoości: a) Wprowadić asadę ieoacoości a prkładie pędu i położeia (ob Schiff Mechaika kwatowa) b) Wkaać że w asadie ieoacoości dla położeia i pędu rówość p = h / achodi tlko dla packi gaussowskiej Jedowmiarowe agadieia włase (sta wiąae) 6 Zaleźć poiom eergetce dla E < 0 i fukcje falowe cąstki o masie m umiescoej wewątr jedowmiarowej płaskiej smetrcej studi potecjału: 0 < a V ( ) = V0 Θ( < a) = V0 a a 0 > a gdie V 0 > 0 i a > 0 7 Cąstka w jedowmiarowej ieskońcoej płaskiej studi potecjału > a V ( ) = 0 a opisaa jest fukcją Ψ ( ) = C cos ( π a) Jakich wików i jakim prawdopodobieństwem ależ ocekiwać pr pomiare eergii? 8 Zaleźć poiom eergetce ( E < 0 ) i fukcje falowe cąstki o masie m umiescoej wewątr jedowmiarowej płaskiej studi potecjału: < 0 V ( ) = V0 0 a 0 > a W jakich warukach istieje tlko jede sta wiąa?

7 9 Rowiąać adaie 93 książki Hake Wolf Atom i kwat Wdawictwo Naukowe PWN: Potecjał V() da jest w jedm wmiare w postaci βδ() gdie δ () jest fukcją δ Diraca Rowiąż rówaie Schrödigera dla staów wiąach t dla E < 0 30 Korstając wików adaia 9 aleźć wartości włase eergii osclatora harmoicego i odpowiedie fukcje włase 3 Wkaać że w staach osclatora harmoicego o określoej eergii wartość średia eergii kietcej jest rówa wartości średiej eergii potecjalej (skorstać własości operatorów kreacji i aihilacji) 3 Zaleźć fukcje włase operatora aihilacji (fukcje tw staów koheretch) 33 Osclator harmoic ajduje się w staie koheretm o wartości własej operatora aihilacji rówej a (licba espoloa) Jakie wiki i jakimi prawdopodobieństwami moża otrmać pr pomiare eergii? 34 Osclator harmoic ajduje się w staie opisam fukcją 4 Ψ( ) = C( + ) ep( ) 4 α α α gdie C stała ormaliacja α = h Jakie wiki jakimi prawdopodobieństwami moża otrmać pr pomiare eergii? 35 Zaleźć eergie widma dskretego metodą wielomiaów Sommerfelda dla potecjałów: a) osclatora harmoicego V ( ) = mω b) kulombowskiego V ( ) = α α α c) Morse a V ( ) = V ( e e ) 0 36 Dla skońcoej smetrcej płaskiej studi potecjału (ob ad 6) oblic rut ora elemet macierowe operatora położeia: a) b) c)

8 37 Ewolucja swoboda pakietu gaussowskiego: Zbadać ewolucję w casie cąstki swobodej opisaej w chwili pocątkowej fukcją Gaussa: ( a) Ψ ( 0) = ep( + ik) 4 πσ 4σ Osacować cas potreb do podwojeia serokości pakietu dla elektrou ( σ = 0 0 m m = 0 30 kg ) ora dla płu ( σ = 0 5 m m = 0 kg ) Jedowmiarowe agadieia włase (widmo ciągłe) 38 Zbadać roproseie cąstki o masie m a progu potecjału ( U > 0 ) 0 0 V ( ) = U > 0 Oblicć prawdopodobieństwo prepusceia dla cąstki o eergii E > U ora E < U Dla eergii E = 0 99U osacować głębokość wikaia w obsar barier o potecjale 5 U = 0V dla elektrou i dla cąstki płu o masie 0 kg i ładuku 0 9 e 39 Zbadać roproseie cąstki a smetrcej bariere potecjału 0 < 0 > a V ( ) = U 0 < < a Oblicć gęstość prądu cąstek padającch i odbitch Oblicć prawdopodobieństwo odbicia i prepusceia dla prpadków gd E > U ora E < U Dla eergii E = 0 99U osacować prawdopodobieństwo prepusceia pre barierę o potecjale 0V i serokości m dla elektrou i dla cąstki ple o masie i ładuku 5 odpowiedio 0 kg i 0 9 e 40 Zaleźć postać (be ormowaia) fukcji staów roproseiowch ( E 0 ) prostokątej skońcoej studi potecjału i wraić ją fukcjami trgoometrcmi (por adaie 3) 4 Rowiąż adaie 95 książki Hake Wolf sta roproseiowe potecjału opisaego fukcją δ Diraca (por adaie 9) Sta roproseiowe moża budować dodając lub odejmując rowiąaia agadieia roproseiowego dla fali padającej lewej i prawej stro 4 Oblic i askicuj ależości od eergii poadiagoalch elemetów macier operatora położeia E p ora E p (cli dla parstch i ieparstch staów cotiuum) dla skońcoej smetrcej płaskiej studi potecjału (ob adaia 8 i 40)

9 43 Pokaać że dla operatora mometu pędu L r L r 0 r 44 Zaleźć postać operatorów r L L ora L+ i L we współrędch sfercch 45 Oblicć fukcje włase operatora rutu mometu pędu L i uormować je do jedki 46 Wkaać że w staach własch operatora L wartości średie operatorów L i L są rówe eru a) korstając tego że i h L = [ L L ] (i podobie dla L ) ora tego że L jest operatorem hermitowskim b) korstając jawej postaci fukcji własej L ora operatorów L i L we współrędch kulistch 47 Spośród staów własch operatorów L i L aleźć te w którch iedokładość łącego pomiaru L i L (t suma wariacji W ( L ) + W ( L ) ) jest ajmiejsa 48 Rotator płaski o masie M i ramieiu R opisa jest fukcją 3 Ψ( ϕ) = C cos ϕ gdie C jest stałą i 0 ϕ < π a) Jakich wików i jakimi prawdopodobieństwami ależ ocekiwać pr pomiare eergii i mometu pędu? b) Zaleźć wartość średią i wariację rokładu 49 Fukcje kuliste a) Zaleźć fukcje włase operatorów ˆL (harmoiki sferce Y lm ( θ ϕ) ) b) Oblic L Y lm ( θ ϕ) c) Pokaać że dla hamiltoiau e sfercie smetrcm potecjałem ależości kątowe fukcji w staach wiąach i roproseiowch opisuje fukcja włase operatora kwadratu mometu pędu Wkorstując wartości włase operatora mometu pędu apis rówaie radiale i ajdź waruek a podstawieie dla którego rówaie prjmuje postać aą roważań jedowmiarowch (brak pierwsej pochodej) d) Korstając ortogoalości fukcji kulistch ora e wiąków M83 i M84 w Białicki-Birula Teoria kwatów wacć ieerowe elemet macierowe operatorów +i -i baie fukcji kulistch (por reguł wboru dla sprężeia dipolowego) 50 Cąstka ajduje się w staie w którm momet pędu i jego rut a oś opisae są licbami kwatowmi l = m = Jakich wików i jakimi prawdopodobieństwami moża ocekiwać pr pomiare rutu mometu pędu a oś leżącą w płascźie i tworącą kąt α osią 5 Zaleźć fukcje włase stau wiąaego l = 0 kulistosmetrcej studi potecjału r V ( ) = V ( r) = V 0θ ( a r)

10 5 Zaleźć potecjał w pukcie określom pre wektor wodąc R r pochodąc od ieodkstałcoego atomu wodoru w staie podstawowm 53 Osclacje Rabiego: Cąstka opisaa jest hamiltoiaem H 0 którego fukcje i wartości włase są ae ( H 0 Ψ = E Ψ ) i ajduje się w staie podstawowm Ψ Włącoo abureie V które * r ma tę własość że spośród elemetów macierowch V = i V j = Ψ VΨ d ij i j tlko V i V są róże od era Z jakim prawdopodobieństwem ajdiem cąstkę w staach eergetcch po casie t?

11 54 Maciere Pauliego (maciere spiowe ): a) aalia spektrala operatorów/macier 0 0 i 0 0 σ = σ = σ = Ι = 0 i Wektor włase uormować do jedki b) Wkaać że maciere te spełiają rówości: σ = σ = σ = Ι = Ι σ σ = σ σ = iσ podobie dla poostałch macier Stąd wprowadić komutator i atkomutator { σ σ } = σ σ + σ σ dla poscególch macier Pauliego c) Wkaać że cter maciere Pauliego staowią baę wsstkich macier d) Korstając reguł komutacji macier Pauliego aleźć operator w prestrei S r ˆ = ( S S S ) o wmiare mometu pędu którego składowe będą spełiał r reguł komutacji idetce jak składowe operatora mometu pędu L = ( L L L ) Zaleźć repreetację macierową operatora Ŝ e) Zaleźć maciere repreetujące operator σ ˆ ± = σˆ ± iσˆ Sprawdić diałaie macier σ + i (wkorstaj oaceia Ψ σ a uormowae sta włase operatora Ψ ) ora Zaleźć relacje komutacji dla operatorów σ + σ i σ f) Pokaać że + = σ + = σ+ + + = Ι + Oblicć + + i + + = σ 55 Dla s = aleźć fukcje włase i wartości włase rutu spiu Ŝ r a kieruek r = (si θcosϕsi θsi ϕcos θ) cli r Sˆ o v σ ˆ r = r Jeśli cąstka jest prgotowaa tak że rut spiu a oś wosi h / (sta + ) to a) jaka jest wartość ocekiwaa operatora w tm staie + σˆ r + b) jakie są prawdopodobieństwa otrmaia poscególch wików pr pomiare rutu spiu a kieruek r? 56 a) Zaleźć operator spiu dla cąstki o spiie s = (Podpowiedź: Z teorii operatorów mometu pędu wika że Kˆ ± k = h ( k ± + )( k m ) k ± = h k( k + ) ( ± ) k ± gdie k to fukcje włase operatorów ˆK i Kˆ ( K ˆ k = h k( k + ) k K ˆ k = h k ) Żądając takich relacji dla Ŝ ± ajdź składową i spiu b) Cąstka ajduje się w staie o rucie spiu a oś wosącm + h Jakich wików i jakimi prawdopodobieństwami moża ocekiwać pr pomiare rutu spiu a oś? σ

12 r r r r 57 Udowodić że potecjał Vlecka A V ( ) = B gdie B r to jedorode (ieależe od położeia) r pole magetce jest poprawm potecjałem dla tego pola (t r r r r r r ( ) = B ) ora że spełia cechowaie Coulomba diva( ) = o A( ) = 0 A V 58 Wkorstując potecjał Vlecka aleźć hamiltoia swobodej cąstki aładowaej (be uwględieia jej spiu) w jedorodm polu magetcm Następie apisać hamiltoia we współrędch walcowch dobrach tak że pole magetce jest skierowae w kieruku ẑ (Zob Białicki-Birula Teoria kwatów rodiał ) 59 W popredim adaiu uupełić hamiltoia o cęść opisującą spi cąstki 60 Cąstka o spiie / ajduje się w silm polu magetcm B r rówoległm do osi i słabm polu magetcm b r rówoległm do osi Zaleźć perturbacje poprawki do eergii wiąae oddiałwaiem spiu tmi polami Cąstka o masie m ajduje się w polu o potecjale V ( ) = k + A + B Zaleźć perturbacje poprawki do eergii (ależ użć operatorów kreacji i aihilacji)

13 6 Dwa atom wodoru w staie podstawowm ajdują się w odległości R Zaleźć poprawkę perturbacją do eergii (prciągaie va der Waalsa) 63 Osacować poprawkę do eergii stau podstawowego atomu wodoru wikającą e skońcoch romiarów jądra Prjąć że jądro jest jedorodie aładowaą kulą o promieiu R 64 Osacować poprawkę do eergii stau podstawowego atomu wodoru wikającą 3 relatwistcego prrostu mas (abureie jest postaci b 4 8m c ) 65 Rowiąać aładowa rotator płaski w polu elektrcm Zaleźć poprawki do eergii wikające obecości pola elektrcego korstając rachuku abureń