Materiały dydaktyczne. Matematyka. I Semestr

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Materiały dydaktyczne. Matematyka. I Semestr"

Transkrypt

1 Materiał ddaktce Matematka I Semestr Ćwiceia kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci

2 Semestr Predmiot: MTEMTYK Kieruek: Mechatroika Specjalość: Elektroautomatka okrętowa Rokład ajęć w casie studiów Studia pierwsego stopia Licba godi Licba godi Licba tgodi w tgodiu w semestre w semestre W Ć L S Σ W Ć L S I E II III E Raem w casie studiów Zwiąki imi predmiotami: fika mechaika techica wtrmałość materiałów podstaw kostrukcji mas elektrotechika i elektroika automatka i robotka metrologia i sstem pomiarowe Zakres wied do opaowaia Pukt kredtowe Po wsłuchaiu wkładów prewidwach programem ora wkoaiu ćwiceń studet powiie: Zać ) Defiicje i podstawowe twierdeia dotcące bioru licb espoloch macier wacików i układów rówań liiowch ) Rachuek wektorow rówaia płasc i prostej w prestrei R ) Defiicje i podstawowe twierdeia dotcące wsechstroego badaia prebiegu mieości fukcji jedej mieej recwistej ) Podstawowe agadieia dotcące rachuku różickowego fukcji wielu miech ) Podstaw rachuku całkowego całka ieoacoa całka oacoa całki iewłaściwe całki wielokrote i krwoliiowe) ) Krteria bieżości seregów licbowch podstawowe twierdeia dotcące seregów fukcjch ) Sposob rowiąwaia wbrach tpów rówań różickowch wcajch pierwsego i drugiego rędu 8) Elemet rachuku prawdopodobieństwa podstaw statstki matematcej Umieć kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci

3 ) Wkować diałaia a licbach espoloch i macierach oblicać waciki ora rowiąwać układ rówań liiowch metodą macierową a pomocą worów Cramera ora w oparciu o twierdeie Kroeckera-Capellego ) Preprowadać wsechstroe badaie fukcji jedej mieej recwistej ) Wacać całki ieoacoe oblicać całki oacoe podwóje potróje i krwoliiowe stosować rachuek całkow w geometrii i predmiotach techicch ) Wacać ekstrema lokale i warukowe fukcji wielu miech badać bieżość seregów licbowch i fukcjch rowijać fukcje w sereg Talora ) Rowiąwać wbrae tp rówań różickowch wcajch i cąstkowch pierwsego i drugiego rędu ) Oblicać prawdopodobieństwo dareń losowch wacać estmator i prediał ufości stosować test statstce do werfikacji hipote statstcch Treść ajęć ddaktcch Nr Temat i ich rowiięcie tematu Semestr I Elemet logiki matematcej: wacaie wartości logicch dań łożoch sprawdaie formuł rachuku dań metodą erojedkową dowodeie twierdeń klascego rachuku kwatfikatorów Elemet teorii biorów: wkowaie diałań a biorach dowodeie wbrach praw algebr biorów lgebra Boole a: dowodeie twierdeń algebr Boole a a podstawie aksjomatów prkład realiacji algebr Boole a algebra dań algebra biorów) lgebra wżsa: potęgowaie i pierwiastkowaie licb espoloch rowiąwaie rówań algebraicch w biore licb espoloch Maciere waciki układ rówań liiowch: wkowaie diałań a macierach oblicaie wacików wacaie macier odwrotej rowiąwaie układów rówań liiowch metodą macierową i a pomocą worów Cramera Geometria aalitca w prestrei R : oblicaie ilocu skalarego i miesaego wacaie współrędch ilocu wektorowego wacaie rówań płasc i prostej oblicaie odległości puktu od płasc puktu od prostej i prostej od prostej Rachuek różickow fukcji jedej mieej recwistej: oblicaie graic ciągów i graic fukcji badaie ciągłości fukcji wacaie pochodch a podstawie defiicji i a pomocą reguł różickowaia; wacaie ekstremów prediałów mootoicości puktów pregięcia i prediałów wpukłości i wklęsłości fukcji; wacaie asmptot rowijaie fukcji według woru Talora kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci Licba godi Raem W Ć L S Raem

4 I Metod ddaktce Predmiot jest realiowa w formie wkładów i ćwiceń rachukowch a I i II roku studiów Pomoce ddaktce staowią: - literatura podstawowa i uupełiająca do wkładów i ćwiceń rachukowch - dieicki studetów II Forma i waruki aliceia predmiotu II- Forma i waruki aliceia ćwiceń rachukowch - obecość studeta a ćwiceiach - uskaie potwch oce sprawdiaów pisemch w ciągu semestru preprowadoch w termiach ugodioch e studetami - aliceie oceą kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci

5 CI ELEMENTY LOGIKI LGEBR ZBIORÓW LGEBR BOOLE Elemet logiki matematcej lgebra biorów lgebra Boole a Elemet logiki matematcej Rachuek dań Prkład Sprawdić metodą ero-jedkową że wrażeie [p q r)] [p q) p r)] prawo rodielości koiukcji wględem alteratw) jest tautologią rachuku dań Dowód predstawioo w postaci tabelarcej p q r q r p q p r p q r) p q) p r) Poieważ wartości logice dań podach w dwóch ostatich kolumach są rówe więc daie jest twierdeiem rachuku dań lgebra biorów Prkład W oparciu o prawa rachuku dań udowodić prawo de Morgaa B) ' ' B' Niech U oaca biór którego podbiorami są ropatrwae bior a B) a U B)) a U a B a U a a B) a U a ) a U a B) a ) a B ) a B a B) a a B otrmaliśm prawa de Morgaa p q) p q kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci

6 poadto a U a a B) a U a ) a U a B) otrmaliśm astępującego prawa rachuku dań p q r) p q) p r) lgebra Boole a Prkład W oparciu o aksjomat algebr Boole a [WI ] wkaać że: Smbol B k ad akiem rówości oaca umer odpowiediego aksjomatu Zadaia Udowodić astępujące prawa rachuku dań: a) [p q ) q)] p b) Sprawdić c astępujące daia są twierdeiami rachuku dań: [ p q) p q)] q p) p q) [ p q) p] Za pomocą kwatfikatorów i fuktorów daiotwórcch apisać wrażeia: a) Fukcja f ma dokładie jedo miejsce erowe b) Fukcja f jest fukcją malejącą Udowodić prawa algebr biorów: B C) B) C) B C) B) C) Na podstawie aksjomatów algebr Boole a wkaać że: Literatura: R Ro I kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci

7 CI Diałaia a licbach espoloch Wór de Moivre a Pierwiastkowaie licb espoloch Rówaia Prkład ZBIÓR LICZB ZESPOLONYCH Diałaia a licbach espoloch Oblicć: ± ) gdie i i i) i) ) ) i i) i) ) ) i) i) 8i i i i ) i i ) i [ ] i i i 8i i i i i i) i i i Licbę predstawić w postaci trgoometrcej Postać trgoometrca licb a bi ) : cosϕ isiϕ) a bi a b i ) a b ; cosϕ siϕ a b π cosϕ cos π α ) cosα α i cos π isi π Oblicć ) i π ϕ π π kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci

8 Korstam e woru de Moivre a cosϕ isiϕ cosϕ isiϕ ) i ) cos π isi π cos π isi π cosπ isiπ ) cosπ isiπ ) i) Oblicć i ϕ kπ ϕ kπ Korstam e woru w k cos isi k Licbę i predstawiam w postaci trgoometrcej: i cos π isi π π kπ π kπ w cos isi k k π π π π π π w cos isi i w i π π cos si cos si i w i Rowiąać w biore licb espoloch rówaia: a) ; b) i a) Wróżik 8 i i i Ze worów a pierwiastki rówaia kwadratowego mam: i i i i b) Wróżik ) i) i wacam korstając defiicji pierwiastka stopia drugiego ω ω ) Niech i i R) Wówcas i i) i i stąd otrmuję układ rówań kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci 8

9 Wacam drugiego rówaia ) i podstawiam do pierwsego rówaia otrmujem rówaie dwukwadratowe Podstawiam t i mam rówaie t t którego rowiąaia pierwiastkami są t ora t Stąd mam rówaie sprece w biore R ) ora więc lub i i i i Ostatecie i i i i i Zadaia Predstawić w postaci trgoometrcej be pomoc tablic) astępujące licb espoloe: a) ; b) i ; c) ; d) i Oblicć pierwiastki treciego stopia astępującch licb espoloch: a) i ; b) ; c) i Rowiąać rówaia kwadratowe: a) i) i ; b) i) i ; c) i i Rowiąać rówaia dwukwadratowe: a) ; b) 89 Odpowiedi a) cosπ isiπ ; b) cos π isi π ; c) cos π i si π ; d) cos π i si π a) i i i ; b) i i ; c) k k cos π isi π 9 9 k kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci 9

10 a) i i ; b) i i ; c) i i a) Literatura: Z Ro I ± i ± ; b) ± ± i kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci

11 kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci CI MCIERZE DZIŁNI N MCIERZCH Diałaia a macierach Wacaie macier odwrotej defiicji Prkład Dae są maciere B Wacć: a) T ; b) ; c) B ; d) B ; e) B ; f) B ; g) ) T B ; h) T T B Korstam defiicji diałań a macierach podach w [WI ]: a) T ; b) ) ) ; c) 8 8 ) ) ) B ; d) ; ) ) ) B e) 8 9 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) B alogicie wacam f) 9 8 B

12 kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci Prkład jest ilustracją te: możeie macier a ogół) ie jest premiee t B B g) ) 8 9 T B h) T T B Prkład g) i h) są więc ilustracją twierdeia ) T T T B B Korstając defiicji macier odwrotej [WI ] wacć macier odwrotą do macier Sukam macier u t takiej że J cli u t Stąd u t u u t t u t u t stąd Zadaia Dae są maciere: C B Wkaać że: a) ) ) C B C B ; b) ) )C B BC ; c) ) T T T B B ; d) ) BC B B C ; e) ) C B C B ; f) ) T T T B B Wacć macier X rówaia: a) 8 X ; b) X ; c) X ;

13 d) X [ ] Odpowiedi: 8 9 a) ; b) ; c) 8 Literatura: P Ro I ; P Ro I ; d) [ ] kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci

14 CI WYZNCZNIKI MCIERZE CD Waciki Macier odwrota Rąd macier Prkład Waciki Na podstawie defiicji [WI ] oblicć wacik det det 9 ) 8 9) 9 ) ) 9 ) 9 Oblicć wacik 8 Z podach w [WI ] własości wacika wika że wartość wacika ie miei się gd do dowolego wiersa kolum) dodam i wiers kolumę) pomożo pre licbę Możem p uskać tr era w pierwsm wiersu możąc odpowiedio kolum pierwsej pre - - i dodając do kolum drugiej treciej i cwartej ) 9 * Metoda Sarrusa) Dae są maciere: B kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci

15 Sprawdić że det B) det det B twierdeie Cauch ego) B 9 det B) 9 det det B więc det B) det det B Macier odwrota Wacć macier odwrotą do macier Macier odwrotą możem wacć korstając e woru [WI ]: 8 D T ) det det det 8 macier jest macierą ieosobliwą więc 9 Wacam macier dopełień algebraicch macier t D * i j i j macier [ ] ) ij [ ] ij * 8 * * 8 istieje * 9 * 8 * 8 9 * 9 * 8 * kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci

16 kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci ) det T T D Ocwiście moża sprawdić że J Rąd macier Określeie rędu macier a podstawie podaej defiicji może okaać się kłopotliwe Zaleieie ajwięksego stopia podwacika różego od era bwa iekied żmude Moża wkaać że rąd macier rów jest rędowi macier powstałej pre dodawaie do dowolego wiersa kolum) macier iego wiersa kolum) pomożoego pre licbę W wiku stosowaia wielokrotego tch operacji elemetarch a wiersach kolumach) otrmam macier o maksmalej licbie er Wówcas rąd tej macier rówież rąd daej macier ) rówa się ilości wiers kolum) w którch są elemet róże od era Oblicć rąd macier Stosujem p astępujące operacje elemetare a wiersach macier : od wiersa drugiego i cwartego odejmujem wiers pierws pomożo pre ora odejmujem wiers pierws od wiersa treciego i piątego i otrmujem macier B ) ) B R R ): B Następie od treciego wiersa macier B odejmujem wiers drugi pomożo pre od cwartego drugi pomożo pre ora od piątego drugi

17 kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci Otrmujem macier 9 8 C Poieważ wiers pierws i drugi macier ie awierają odpowiedich elemetów proporcjoalch ie otrmam kolejego pierwsego lub drugiego) wiersa awierającego włącie era Stąd ) ) ) R B R C R Zadaia Oblicć waciki: a) ; b) Wacć macier odwrotą do macier: a) 9 8 ; b) Określić rąd macier: a) 8 8 ; b) 9 Odpowiedi a) 8 ; b) 9 a) ; b) a) ; b) Literatura: Z Ro I

18 kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci 8 CI UKŁDY RÓWNŃ LINIOWYCH Układ rówań Cramera Metoda macierowa Układ m rówań o iewiadomch prpadek ogól) Prkład Rowiąać układ rówań stosując wor Cramera [WI ]: Oblicam wacik macier główej ora waciki macier ) k K powstałch macier pre astąpieie k-tej kolum kolumą wraów wolch det det det det Następie korstam e worów Cramera: det det det det det det Rowiąać układ rówań prkładu metodą macierową [WI ] Zapis macierow układu rówań: B X stąd B X Gdie X B det Następie wacam macier odwrotą do macier [WI ] ) det T T D

19 kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci 9 X atem Rowiąać układ rówań: 8 : Poieważ licba iewiadomch ie rówa się ilości rówań układ rówań ie jest układem Cramera Na podstawie twierdeia Kroeckera-Capellego [WI ] rostrgam c układ ma rowiąaie Wacam rąd macier główej a podstawie defiicji rędu macier: 8 Oblicam p wacik macier C utworoej trech pierwsch wiers macier Poieważ det C więc ) R Następie wacam rąd macier uupełioej 8 B Wkoujem astępujące operacje elemetare a wiersach macier B : możm wiers drugi pre i dodajem do wiersa treciego a astępie otrma wiers treci odejmujem od wiersa cwartego Otrmujem macier D o rędie rówm rędowi macier B ) ) B R D R Poieważ ) R ora ) ) B R R więc ) B R

20 Stąd R ) R B) więc układ rówań ma rowiąaie twierdeie Kroeckera- Capellego) Korstając e schematu podaego w [WI ] roważa układ jest rówoważ układowi rówań Cramera o macier główej C : Następie oblicam waciki macier C K k ) utworoch pre astąpieie k- tej kolum macier C kolumą wraów wolch detc detc detc Stosując wor Cramera otrmujem: det C detc det C det C det C detc Łatwo sprawdić że licb - są rówież rowiąaiami cwartego rówaia rowiąwaego układu rówań Rowiąać układ rówań w w w Da układ ie jest układem Cramera ależ sprawdić c ma o rowiąaie jest iesprec) Wacam rąd macier główej układu: Moża sprawdić że wsstkie cter podwaciki macier stopia treciego są rówe eru więc rąd tej macier R ) < Poieważ p podwacik detc więc R ) Wacam rąd macier uupełioej B Wkoujem astępujące operacje elemetare a wiersach macier B : odejmujem kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci

21 wiers drugi od treciego ora wiers drugi pomożo pre od pierwsego Otrmujem macier: 8 D Możąc wiers pierws macier D pre i odejmując od wiersa treciego mam macier: 8 E R E) Poieważ ręd macier E D B są rówe więc R) R B) twierdeie Kroeckera- Capellego) Da układ sprowadam do rówoważego układu Cramera [WI ] Poieważ detc więc odrucam trecie rówaie daego układu ora podstawiam dowole stałe c d c d R) a iewiadome Otrmujem układ rówań Cramera: w c d w c d Oblicam waciki macier C C utworoch pre astąpieie odpowiedio pierwsej i drugiej kolum macier C kolumą wraów wolch c d c d detc c d detc c d 8 c d c d Stosując wor Cramera otrmujem: det C c d w c d det C det C c d 8 c c 8 detc c d Ropatrwa układ ieoaco) ma ieskońceie wiele rowiąań ależch od prjętch wartości c d Np dla c d otrmujem rowiąaie w Zadaia Rowiąać metodą Cramera układ rówań: 8 a) ; b) Rowiąać metodą macierową układ rówań; kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci

22 kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci a) ; b) Rowiąać układ rówań: a) 9 ; b) ; c) Odpowiedi: a) ; b) ; a) ; b) ; a) układ sprec; b) ; c) C C Literatura: Z Ro I

23 CI RCHUNEK WEKTOROWY Iloc skalar Iloc wektorow Iloc miesa Prkład ) Iloc skalar: a b a b cos a b) k Postać kartejańska ilocu skalarego: a b a b a b a b Dae są pukt ) B ) ) Zaleźć kąt międ wektorami B i C Zajdujem współręde wektorów B i BC B [ ] [ ] C Oblicam cosius kąta międ wektorami B i C ϕ K B C ) ) ) cosϕ ϕ arccos cos ϕ B C B C Iloc wektorow i j k ) ) ) c a b a a a i a b a b j a b a b k a b a b b b b Oblicć pole trójkąta o wierchołkach ) B ) C ) Z określeia ilocu wektorowego wika że pole trójkąta BC jest rówe połowie długości ilocu wektorowego wektorów B i C rs) [WI ] Rs Wacam współręde wektorów B i C kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci

24 B [ ) ] [ ] [ ) ] [ ] Iloc wektorow [WI ] C B C wacam korstając postaci smbolicej wacik) i j k B C 9i 8 j k więc pole S BC [ j ] Iloc miesa a b c a a a b b b c c c Oblicć objętość cworościau o wierchołkach ) B ) C ) D ) Korstam iterpretacji geometrcej ilocu miesaego [WI ] Objętość V rówoległościau budowaego a wektorach a b c o wspólm pocątku rówa się wartości bewględej ilocu miesaego tch wektorów V a b) c Objętość V cworościau budowaego a wektorach a b c jest rówa objętości rówoległościau cli V a b) c Niech B a b C c D Wacam współręde wektorów a b c a [ 8] b [ ] [ ] c Iloc miesa wektorów a b c oblicam e woru wacik) podaego w [WI ] 8 a b) c [ ] V j kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci

25 Zadaia Zaleźć wektor prostopadł do wektorów a [ ] i [ ] gdie d [ ] Dae są pukt P ) ) Zaleźć wersor wektora a P P P P i P ) P Wkaać że wektor [ ] b [ ] c [ ] b taki że a d a ie są komplaare Odpowiedi [ ] ; 8 Literatura: Z Ro II kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci

26 CI PŁSZCZYZN I PROST W PRZESTRZENI R Płasca Prosta w prestrei R Odległości Prkład Zaleźć rówaie płasc prechodącej pre tr pukt ) B ) C ) Sposób Korstam e woru podaego w [WI 8] π : ) B ) C ) gdie P ) π i π [ B C] π Zajdujem wektor o Wacam wektor o BC B C o o o o o B [ ] [ ] C [ ] [ ] i j BC i 8 j k k Wacam rówaie płasc prechodącej pre pukt ) i prostopadłej do wektora [ 8 ] π : ) 8 ) ) Ostatecie π : Sposób π : Rowijam wacik wględem pierwsego wiersa cli 8 więc π : kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci

27 Wacć rówaie prostej l prechodącej pre pukt P ) i P ) Zaleźć odległość puktu P ) od wacoej prostej a) Wacam rówaia parametrce prostej prechodącej pre pukt P i rówoległej do wektora a P P [WI 8] t a P P [ 8] l : t t R 8t Rówaie kaoice kierukowe) prostej l [WI 8] l : 8 b) Odległość puktu P od prostej l wacam e woru [WI 8]: a P P d d P l) a P P ] a P P 8 i j k [ i d 8 9 Oblicć odległość prostch skośch l i l : t l : t l : 8 t Odległość prostch skośch l l : j k kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci

28 a a a b b b a b P P d d l l ) a b i j k a a a b b b P ) l P ) l a [ ] a l P P [ ] i j k ; b [ 8 ] b l a b i j k a b) P P Zadaia d d l l ) 9 Napisać rówaie płasc prechodącej pre pukt P ) i prostopadłej do wektora [ ] Napisać rówaie płasc prechodącej pre pukt P ) P ) ) P t Oblicć kąt międ prostą l : t a płascą t Oblicć odległość międ prostmi l i l : l : l : t Oblicć odległość puktu P ) od prostej l : t 8 t Odpowiedi ; ; prosta jest rówoległa do płasc; ; Literatura: Z Ro II kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci 8

29 CI 8 CIĄGI LICZBOWE GRNIC CIĄGU Mootoicość ciągu Graica ciągu Mootoicość ciągu Prkład Wkaać że ciąg o wraie ogólm a > ) jest ciągiem malejącm! Poieważ dla dowolego N a > więc ciąg a ) będie malejąc wted i tlko wted gd a a < gdż ierówość a > a jest wówcas rówoważa ierówości a a a! a < dla > )!! ) a! ) < cli ciąg a ) jest malejąc dla > Graia ciągu Prkład Da jest ciąg a ) o wraie ogólm a Sprawdić c graicą ciągu jest lim a g ε > m > m a g < ε Licba będie graicą ciągu a ) jeżeli dla dowolej licb ε > ajdiem licbę m taką że gd > m to a < ε a < ε ) ) Otrmaą ierówość rowiąujem wględem kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci 9

30 ε < ε < ε ) > ) 9ε Wkaaliśm że wstępująca w defiicji graic ierówość a g < ε jest spełioa dla ε wsstkich więksch od gdie ε dowola licba dodatia Istieje więc licba 9ε ε m cli g jest graicą daego ciągu 9ε Prkład Wkaać że lim Załóżm że g godie defiicją dla dowolej licb recwistej spełioa musi bć wówcas ierówość a > t > Ostatia ierówość jest spełioa dla > a więc istieje licba m rówa p cli graicą daego ciągu ) jest Prkład Oblicć lim Poieważ lim ora lim więc mam smbol ieoaco postaci [ ] Wra ogól ciągu a prekstałcam a podstawie woru a b) a b ) a b a b a b a b lim lim Poieważ licik i miaowik otrmaego ułamka dążą do więc otrmaliśm kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci

31 smbol ieoaco tpu rówoważ smbolowi [ ] Wra ogól a możem tak prekstałcić ab otrmać smbol oaco W tm celu dielim licik i miaowik pre Otrmujem a Poieważ lim więc lim Zadaia Wkaać a podstawie defiicji że: a) lim ; b) lim Oblicć graice ciągu: a) lim ) Odpowiedi a) ; b) ; c) ; b) lim ; c) lim Literatura: Z Ro III kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci

32 CI 9 GRNIC FUNKCJI CIĄGŁOŚĆ FUNKCJI Defiicja graic Graice jedostroe Ciągłość fukcji Oblicaie graic Defiicja graic fukcji Prkład 8 Na podstawie defiicji Heiego wkaać że lim ) lim f ) g lim lim f ) g Niech ) będie dowolm ciągiem takim że lim Odpowiada mu ciąg wartości fukcji f ) o wraie ogólm f ) lim f 8 ) lim ) ) ) lim lim Z defiicji wika więc że graicą daej fukcji w pukcie jest Graice jedostroe Prkład Zbadać istieie graic fukcji f ) w pukcie Zbadam istieie graic jedostroch w ere lim lim lim lim lim lim ) kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci

33 Wika stąd że daa fukcja ie ma graic w ere gdż graice jedostroe ie są rówe Ciągłość fukcji Prkład Wkaać że fukcja cos jest ciągła dla R Fukcja f ) określoa w pukcie jest ciągła w tm pukcie jeżeli istieje graica lim f ) i lim f ) f ) Wkażem a podstawie defiicji graic Cauch ego) że lim cos cos Wkażem że dla dowolego ε > będie istiała δ > taka że dla wsstkich δ δ ) wartości fukcji będą spełiał ierówość cos cos < ε Korstam e woru cos cos si si cos cos si si si si si Poadto si Zatem poieważ si kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci więc cos cos cos cos < ε gd < ε Wkaaliśm że istieje licba δ ε więc godie defiicją graic Oblicaie graic limcos cos cli fukcja jest ciągła alogicie jak dla ciągów oblicaie graic fukcji a podstawie twierdeń ropocam awse od sprawdeia smbolu: jeżeli wstępuje smbol oaco graicę otrmujem twierdeń jeżeli atomiast jest jede smboli ieoacoch [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] musim tak prekstałcić fukcję ab otrmać smbol oaco i dopiero wted korstać twierdeń Prkład cos Oblicć graicę fukcji lim o

34 Dla licik i miaowik fukcji cos są rówe eru więc mam smbol ieoaco tpu cos si lim lim Poieważ si si cos si więc f ) Korstaliśm twierdeia lim si si lim Zadaia Na podstawie defiicji Heiego wkaać że ie istieje limsi Wacć graice fukcji a) lim si ; b) lim Dla jakich wartości parametru a fukcja si dla f ) a dla jest ciągła? ; c) lim Odpowiedi a) ; b) 8 ; c) Literatura: Z Ro III kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci

35 CI POCHODN FUNKCJI Defiicja pochodej Iterpretacja geometrca Oblicaie pochodch Prkład Na podstawie defiicji oblicć pochodą fukcji: f ) cos w pukcie ) ) f f lim lim f ) gdie lim f ) f ) cos lim ) cos ) ) si si lim si )si si lim si lim si si gdż lim Iterpretacja geometrca pochodej Pochodą fukcji f ) stcej do wkresu fukcji w pukcie P ) ) si iterpretujem geometrcie jako współcik kierukow ależącm do wkresu fukcji t f tgα α kąt achleia stcej do wkresu fukcji wględem dodatiego wrotu osi OX rs ) f P leżącm a tej krwej Rówaie stcej do krwej ) w pukcie ) jest postaci f ) ) pr ałożeiu że istieje f ) Rówaie ormalej prostej prostopadłej do stcej w pukcie stcości) do f jest postaci pr ałożeiu że f ) rs ) f krwej ) ) ) kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci

36 Rs Rs Prkład Wprowadić rówaie stcej do paraboli p w pukcie P ) Niech p > rs) dla p < wprowadeie jest aalogice) p p góra gałąź paraboli lub p dola gałąź paraboli) rs ) Rs Załóżm dla ustaleia uwagi że > rs ) Zajdujem współcik kierukow stcej m f ) ) p p p p > m ) p p p Otrmujem więc sukae rówaie stcej Poieważ p ) p p p więc ) Pomóżm ostatie rówaie pre otrmujem p p stąd p p p Ostatecie rówaie stcej do paraboli p jest postaci p ) kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci

37 Oblicaie pochodch Pochode oblicam w oparciu o podae reguł różickowaia i wór a pochodą fukcji łożoej [WI ] Prkład Oblicć pochodą fukcji f ) si Fukcją ewętrą jest f u) u atomiast wętrem fukcja u si która rówież jest fukcją łożoą Fukcją ewętrą jest u siv wętrem v Poieważ u )' u si v)' cosv v' więc si )' si cos 9 si cos Zadaia Na podstawie defiicji wacć pochodą fukcji f ) Wacć pochode fukcji: cos a) f ) e ; b) f ) lsi ) ; c) f ) arcsi Odpowiedi cos f ' ) l ; a) f ' ) e si ) ; b) f ' ) ctg ; c) f ' ) Literatura: Z Ro kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci

38 CI POCHODN LOGRYTMICZN POCHODNE WYŻSZYCH RZĘDÓW RÓŻNICZK FUNKCJI Pochoda logartmica Pochode wżsch rędów Różicka fukcji Pochoda logartmica [ ] ) ) Pochodą fukcji f ) g ) f > oblicam w astępując sposób: Logartmujem obie stro i otrmujem f ) g cli l g ) l f ) l l ) ) astępie różickujem obie stro traktując l jako fukcję łożoą) Z otrmaej rówości oblicam ) ) ) g l f g f f : ) ) ) a ) ) f ) g [ ] ) g ) ) f f g l Pochodą logartmicą stosujem rówież wówcas gd fukcja jest ilocem iloraem awiera pierwiastki potęgi te diałaia które dają się łatwo logartmować) Pochode wżsch rędów Pochoda rędu N ) fukcji f jest pochodą pochodej rędu t [ ] ) ) ) ) ) ) f f Fukcję f która ma pochodą rędu awam fukcją -krotie różickowalą Prkład Wacć pochodą -tego rędu fukcji f ) f ' ) )' l f '' ) l)' )'l l)l l ) f ''' ) l )' )'l l )l l f ) l dowód idukcj) Wór Leibia Jeżeli fukcja f i g są -krotie różickowale to k f g ) ) k f g ) k ) k gdie ) ) f f g g kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci 8

39 Prkład Moża wkaać że pochoda -tego rędu fukcji f ) ) l l) f ) rówa się Różicka fukcji Różicka fukcji f w pukcie dla prrostu d Różicka fukcji w pukcie fukcja): df ) f ) d Różicka -tego rędu N ) Jeżeli fukcja f jest -krotie różickowala dla : ) ) X p to ) d f ) d[ d f ) ] f ) ) d df f d Prkład Różicka -tego rędu fukcji f ) rówa się d f ) l d Zadaia Oblicć pochode fukcji: a) f ) l ) f ) si ; b) ) Wprowadić wór a -tą pochodą fukcji a) f ) l ; b) f ) e si Odpowiedi a) f ' ) l ) [ l ll ) ] > e si b) f ' ) si ) cos lsi ) si > ) ) a) f ) ) )! > ; b) f ) e ) Literatura: Z Ro III 9 ; kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci 9

40 CI MONOTONICZNOŚĆ EKSTREM FUNKCJI Mootoicość fukcji Ekstrema lokale Ekstrema globale wartość ajwięksa wartość ajmiejsa) Mootoicość fukcji Jeżeli pochoda fukcji f jest w każdm pukcie prediału a b) dodatia ujema) to fukcja jest w tm prediale rosąca malejąca) Prkład Wacć prediał mootoicości fukcji f ) e : : Korstam podaego twierdeia [WI ] Diedia fukcji f ) R f ' ) e e ) e ) ' : Diedia pochodej f ) R f ' ) > gd > stąd ' ) < f gd Fukcja ) ora malejąca w prediałach Ekstrema lokale f jest rosąca w prediałach Prkład Oblicć ekstrema lokale fukcji f ) l a pomocą pochodej pierwsego rędu Diedia fukcji f : > Oblicam pochodą f ' ) l l ) > Wacam pukt w którch może wstąpić ekstremum fukcji f ' ) l ) l stąd e kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci

41 Badam ak f ' ) w sąsiedtwie puktu e f ' ) > l ) > l > e f ' ) < dla e Poieważ w sąsiedtwie puktu e pochoda mieia ak - a więc w tm pukcie fukcja ma miimum e e mi mi mi e f e P e Prkład Pewa ilość doświadceń doprowadiła do różch wartości badaej wielkości Gauss apropoował prjąć a wartość X taką wartość dla której suma kwadratów jej różic wartościami osiąga miimum Wacć f ) ) ) ) Wacam ekstremum fukcji f ) f ) ) ) ) ) f ) ) f '' ) Poieważ f '' ) > więc fukcja f osiąga w wacom pukcie miimum cli mi średia artmetca) Wartość ajwięksa i wartość ajmiejsa Prkład π π Wacć wartość ajmiejsą i ajwięksą fukcji f ) si f π π π π π π π π si si π) f si si π π π Wacam miejsca erowe pochodej w prediale π π f ) si ) cos f ) cos cos kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci

42 π Rowiąujem rówaie cos kπ π π π stąd kπ k C lub kπ ora kπ k C Poieważ π π π π więc i π π π π π π f si si π π π π π π f si si Wartością ajwięksą daej fukcji w prediale π π jest M π atomiast wartością ajmiejsą jest m π Zadaia Zaleźć prediał mootoicości fukcji f ) l l Wacć ekstrema lokale fukcji ) ) e f Zaleźć wartość ajmiejsą i ajwięksą fukcji f ) si cos w prediale π Odpowiedi > < e ) - fukcja rosąca e e e 9 P mi e) ; m M 8 - fukcja malejąca Literatura: Z Ro III kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci

43 CI PRZEDZIŁY WYPUKŁOŚCI WKLĘSŁOŚCI PUNKTY PRZEGIĘCI Prediał wpukłości wklęsłości wkresu fukcji Pukt pregięcia Prediał wpukłości wklęsłości Jeżeli fukcja f ma drugą pochodą dodatią ujemą) w pukcie to jest wpukła wklęsła) w tm pukcie Prkład Wacć prediał wpukłości i wklęsłości fukcji f ) l Diedia fukcji: ) ) Oblicam f ' ) i f '' ) : l l f ' ) f '' ) l l Diedia pochodch jest taka jak diedia fukcji Badam ak drugiej pochodej: l f '' ) > > l l ) > e ) - fukcja wpukła l '' ) < e - fukcja wklęsła f dla ) ) Pukt pregięcia Jeżeli fukcja f dwukrotie różickowala w otoceiu U puktu spełia waruki a) f ) ; b) ) ) dla lub ) dla ) f > > f < < f > dla < f < dla > to jest puktem pregięcia waruek koiec i dostatec) Prkład Wacć pukt pregięcia wkresu fukcji f ) e Oblicam f ' ) i f '' ) : f ' ) ) e f '' ) e ) f '' ) e stąd lub Następie badam ak f '' ) w sąsiedtwie tch puktów kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci R ) > > i f '' ) > e

44 Poieważ w sąsiedtwie wacoch puktów f '' ) mieia ak więc fukcja f ma pukt pregięcia: P e P e Zadaia Wacć prediał wpukłości i wklęsłości fukcji a) f ) l ; b) f ) e Wacć pukt pregięcia wkresu fukcji a) f ) ; b) f ) e l Odpowiedi a) ; b) wpukła dla > ; a) e Literatura: Z Ro III e ; b) e) kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci

45 CI REGUŁY DE L HOSPITL SYMPTOTY Reguł de L Hospitala smptot wkresu fukcji Reguł de L Hospitala Korstam twierdeń podach w [WI ] Prkład Oblicć graice fukcji: a) lim ; b) lim l ; c) lim si Smbol H ad akiem rówości oaca że stosujem regułę de L Hospitala Poadto akładam że istieje graica po prawej stroie rówości H l a) lim lim l ; b) Wstąpił smbol ieoaco [ ] więc musim predstawić fukcję w takiej postaci ab wstąpił rówoważ smbol lub l lim lim Mam smbol ieoaco postaci l ) l stosować reguł de L Hospitala dwukrotie) l H lim lim l lim kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci H lim lim l a więc możem ) l l l c) Mam smbol ieoaco [ ] si si si l Niech h ) l h ) l l h ) si l stąd h ) e Następie oblicam lim si l Wstąpił smbol ieoaco [ ] więc prekstałcam fukcję i dwukrotie stosujem regułę de L Hospitala

46 lim si l l H lim lim si si si H si cos lim lim cos cos si cos Ostatecie sukaa graica daej fukcji rówa się e smptot Prkład Wacć rówaia asmptot daej krwej: l ; Wacam diedię fukcji; > ) > ) ) Sprawdam c fukcja ma asmptot pioowe w puktach lub l lim l lim jest asmptotą pioową H lim lim wika stąd że prosta ie lim l więc prosta jest asmptotą pioową prawostroą Z kolei sukam asmptot ukośch: f ) m lim lim l l Dla rówież m l H H lim f ) m) lim l lim lim lim rówież dla m Mam więc asmptotę poiomą kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci

47 Zadaia Oblicć graice: a a) lim a > ; b) lim ; c) lim ) α ; d) l ) lim Wacć rówaia asmptot dach krwch: l a) f ) ; b) f ) e Odpowiedi a) l a ; b) e ; c) α ; d) a) ; b) Literatura: Z Ro 8 9 kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci

48 CI BDNIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Badaie prebiegu mieości fukcji możem preprowadić według astępującego schematu: Określam diedię fukcji Wacam graice fukcji a krańcach prediałów określoości Zajdujem pukt precięcia wkresu fukcji osiami układu współrędch Sprawdam c fukcja jest parsta ieparsta lub okresowa Wacam asmptot wkresu fukcji pioowe ukośe) Zajdujem ekstrema fukcji ora prediał mootoicości Zajdujem pukt pregięcia ora prediał wpukłości i wklęsłości 8 Skicujem wkres fukcji a podstawie iformacji uskach w puktach które moża estawić w postaci tabelarcej Prkład Zbadać prebieg mieości fukcji f ) Rowiąaia Diedią fukcji jest prediał domkięt poieważ ) ) Badam graice fukcji dla ora lim lim Zajdujem pukt precięcia wkresu fukcji osiami układu współrędch : lub lub : Możem auważć że fukcja jest ieparsta f ) f ) więc jej wkres musi bć smetrc wględem pocątku układu współrędch Fukcja ie ma asmptot Badam pochodą fukcji: f ) 8) 8 kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci 8

49 Diedią pochodej jest prediał otwart poieważ > Zajdujem miejsca erowe pochodej: f ) 8 Badam ak pochodej > > f ) 8 < < f ) 8 Ekstrema fukcji W pukcie pochoda mieia ak: kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci 9 f ) < dla < f ) > dla > f więc fukcja osiąga w tm pukcie miimum: mi mi f alogicie wkaujem że w pukcie fukcja osiąga maksimum: ma ma f Ocwiście pukt P mi mi ) i P ma ma ) są smetrce wględem pocątku układu fukcja ieparsta) Prediał mootoicości Fukcja jest rosąca dla ora Prediał wpukłości i wklęsłości pukt pregięcia f '' ) ' 8 ) ) 8 ) 8 atomiast malejąca dla f '' ) 8 8 Fukcja f może mieć pukt pregięcia tlko w pukcie poieważ poostałe pukt ie ależą do diedi fukcji 8 '' ) ) ) 8 ) > f > f '' ) < dla Wika stąd że fukcja f jest wpukła dla < ) ora wklęsła dla > Poieważ w pukcie pochoda f '' ) mieia ak więc pukt O ) jest puktem pregięcia wkresu fukcji

50 8 Wkres fukcji rs) Zadaia Preprowadić badaie fukcji: a) f ) e ; b) π Literatura: Z Ro III f ) Rs kademia Morska w Sceciie ul Wał Chrobrego - - Sceci

III. LICZBY ZESPOLONE

III. LICZBY ZESPOLONE Pojęcie ciała 0 III LICZBY ZESPOLONE Defiicja 3 Niech K będie dowolm biorem Diałaiem wewętrm (krótko będiem mówić - diałaiem) w biore K awam każdą fukcję o : K K K Wartość fukcji o dla elemetów K oacam

Bardziej szczegółowo

( ) O k k k. A k. P k. r k. M O r 1. -P n W. P 1 P k. Rys. 3.21. Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił

( ) O k k k. A k. P k. r k. M O r 1. -P n W. P 1 P k. Rys. 3.21. Redukcja dowolnego przestrzennego układu sił 3.7.. Reducja dowolego uładu sił do sił i par sił Dowolm uładem sił będiem awać uład sił o liiach diałaia dowolie romiescoch w prestrei. tm pucie ajmiem się sprowadeiem (reducją) taiego uładu sił do ajprostsej

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego

Przykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Opracował: dr hab. Mieczysław Kula, prof. WSBiF dr Michał Baczyński

Matematyka. Opracował: dr hab. Mieczysław Kula, prof. WSBiF dr Michał Baczyński Matematka Opracował: dr hab. Miecsław Kula, prof. WSBiF dr Michał Bacński I. Ogóle iformacje o predmiocie: Cel predmiotu: Celem główm kursu jest apoaie studetów wbrami diałami matematki stosowami w aukach

Bardziej szczegółowo

Materiały dydaktyczne. Matematyka. Semestr II

Materiały dydaktyczne. Matematyka. Semestr II Projekt współfiasowa ze środków Uii Europejskiej w ramach Europejskiego Fuduszu Społeczego Materiał ddaktcze Matematka Semestr II Ćwiczeia Projekt Rozwój i promocja kieruków techiczch w Akademii Morskiej

Bardziej szczegółowo

Zadania domowe z Analizy Matematycznej III - czȩść 2 (funkcje wielu zmiennych)

Zadania domowe z Analizy Matematycznej III - czȩść 2 (funkcje wielu zmiennych) Zadaia domowe z AM III dla grup E7 (semestr zimow 07/08) Czȩść Zadaia domowe z Aaliz Matematczej III - czȩść (fukcje wielu zmiech) Zadaie. Obliczć graice lub wkazać że ie istiej a: (a) () (00) (b) + ()

Bardziej szczegółowo

Opis ruchu we współrzędnych prostokątnych (kartezjańskich)

Opis ruchu we współrzędnych prostokątnych (kartezjańskich) Opis ruchu we współrędch prosokąch (karejańskich) Opis ruchu we współrędch prosokąch jes podob do opisu a pomocą wekora wodącego, kórego pocąek leż w pocąku układu odiesieia. Położeie. Położeie puku A

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń liniowa R n.

Przestrzeń liniowa R n. MATEMATYKA IIb - Lcjan Kowalski Prestreń liniowa R n. Element (wektor) prestreni R n będiem onacać [,,, ] Element erow [,, L, ]. Diałania. a) ilocn element pre licbę: b) sma elementów [ c, c, ] c L, c

Bardziej szczegółowo

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH

UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a

Bardziej szczegółowo

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce!

Informatyka Stosowana-egzamin z Analizy Matematycznej Każde zadanie należy rozwiązać na oddzielnej, podpisanej kartce! Iformatyka Stosowaa-egzami z Aalizy Matematyczej Każde zadaie ależy rozwiązać a oddzielej, podpisaej kartce! y, Daa jest fukcja f (, + y, a) zbadać ciągłość tej fukcji f b) obliczyć (,) (, (, (,) c) zbadać,

Bardziej szczegółowo

Ciągi i szeregi liczbowe. Ciągi nieskończone.

Ciągi i szeregi liczbowe. Ciągi nieskończone. Ciągi i szeregi liczbowe W zbiorze liczb X jest określoa pewa fukcja f, jeŝeli kaŝdej liczbie x ze zbioru X jest przporządkowaa dokładie jeda liczba pewego zbioru liczb Y Przporządkowaie to zapisujem w

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17 Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo

Bardziej szczegółowo

Wersja najbardziej zaawansowana. Zestaw nr 1: Ciągi liczbowe własności i granica

Wersja najbardziej zaawansowana. Zestaw nr 1: Ciągi liczbowe własności i granica Wersja ajbardziej zaawasowaa. Zestaw r : Ciągi liczbowe własości i graica.. Niech a dla.... Sprawdzić cz a jest ciągiem mootoiczm artmetczm... Sprawdzić cz astępując ciąg jest ciągiem geometrczm. Wpisać

Bardziej szczegółowo

1. Granica funkcji w punkcie

1. Granica funkcji w punkcie Graica ukcji w pukcie Deiicja Sąsiedztwem o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r ( a a Deiicja Sąsiedztwem lewostroym o promieiu r > 0 puktu a R azywamy zbiór S ( a ( a r Deiicja Sąsiedztwem

Bardziej szczegółowo

MACIERZE I WYZNACZNIKI

MACIERZE I WYZNACZNIKI MCIERZE I WYZNCZNIKI Defiicj Mcierą o współcyikch recywistych (espoloych) i wymire m x ywmy pryporądkowie kżdej pre licb turlych (i,k), i,,, m, k,,,, dokłdie jedej licby recywistej ik [ ik ] mx (espoloej)

Bardziej szczegółowo

( ) WŁASNOŚCI MACIERZY

( ) WŁASNOŚCI MACIERZY .Kowalski własości macierzy WŁSNOŚC MCERZY Własości iloczyu i traspozycji a) możeie macierzy jest łącze, tz. (C) ()C, dlatego zapis C jest jedozaczy, b) możeie macierzy jest rozdziele względem dodawaia,

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU WIMiR Semestr zimowy 2017/18

ZAGADNIENIA Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU WIMiR Semestr zimowy 2017/18 dr Aa Barbaszewska-Wiśiowska ZAGADNIENIA Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU WIMiR Semestr zimowy 17/18 1 Elemety logiki matematyczej Zdaia i formy zdaiowe fuktory zdaiotwórcze Tautologie Wartości logicze

Bardziej szczegółowo

3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń

3. Wykład III: Warunki optymalności dla zadań bez ograniczeń 3 Wkład III: Waruki optmalości dla zadań bez ograiczeń Podae poiże waruki optmalości dla są uogólieiem powszechie zach waruków dla fukci ede zmiee (zerowaie się pierwsze pochode i lokala wpukłość) 3 Twierdzeie

Bardziej szczegółowo

Postać Jordana macierzy

Postać Jordana macierzy Rodiał 8 Postać Jordana macier 8.1. Macier Jordana Niech F = R lub F = C. Macier J r () F r r postaci 1. 1... J r () =..........,.... 1 gdie F, nawam klatką Jordana stopnia r. Ocwiście J 1 () = [. Definicja

Bardziej szczegółowo

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek

Znajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNIĘTE. Zadanie 1. (1 pkt) Wartość wyrażenia. b dla a 2 3 i b 2 3 jest równa A B. 5 C. 6 D Zadanie 2.

ZADANIA ZAMKNIĘTE. Zadanie 1. (1 pkt) Wartość wyrażenia. b dla a 2 3 i b 2 3 jest równa A B. 5 C. 6 D Zadanie 2. Zachęcam do samodzielej prac z arkuszem diagostczm. Pozaj swoje moce i słabe stro, a astępie popracuj ad słabmi. Żczę przjemego rozwiązwaia zadań. Zadaie. ( pkt) Wartość wrażeia a ZADANIA ZAMKNIĘTE b dla

Bardziej szczegółowo

Rozwiazania zadań. Zadanie 1A. Zadanie 1B. Zadanie 2A

Rozwiazania zadań. Zadanie 1A. Zadanie 1B. Zadanie 2A Rowiaania adań Zadanie A = ( i) = 4 8i 4 = 8i Badam licbȩ espolon a 8i Jej moduł 8i jest równ 8 Jej postać espolona jest równa 8(cosα + isinα) α = /π St ad cosα = i sinα = Mam pierwiastki które oblicam

Bardziej szczegółowo

MACIERZE STOCHASTYCZNE

MACIERZE STOCHASTYCZNE MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:

Bardziej szczegółowo

A B - zawieranie słabe

A B - zawieranie słabe NAZEWNICTWO: : rówoważość defcj : rówość defcj dla każdego steje! ZBIORY steje dokłade jede {,,,...} - całkowte * - całkowte be era - wmere - ujeme plus ero - recwste - espoloe A B - awerae słabe A :

Bardziej szczegółowo

1. ALGEBRA Liczby zespolone

1. ALGEBRA Liczby zespolone ALGEBRA Licby espoloe Opracowaie: Vladimir Marcheko WYKŁAD Postać algebraica i trygoometryca licby espoloe; dodawaie, możeie, potęgowaie i dieleie licb espoloych A+B+C (Wstęp: pochodeie licb espoloych)

Bardziej szczegółowo

1.8. PROSTE ŚCINANIE

1.8. PROSTE ŚCINANIE .8. PROSTE ŚCINNIE.8.. Wprowadeie Proste ściaie wstępuje wówcas, gd obciążeie ewętre redukuje się do wektora sił poprecej T, której kieruek pokrwa się główą, cetralą osią prekroju O. Prostm ściaie praktcie

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16 Egzami,.6.6, godz. 9:-: Zadaie. puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z i w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej bez używaia fukcji trygoometryczych) oraz zazaczyć

Bardziej szczegółowo

Elementy rach. macierzowego Materiały pomocnicze do MES Strona 1 z 7. Elementy rachunku macierzowego

Elementy rach. macierzowego Materiały pomocnicze do MES Strona 1 z 7. Elementy rachunku macierzowego Elemety rach macierzowego Materiały pomocicze do MES Stroa z 7 Elemety rachuku macierzowego Przedstawioe poiżej iformacje staowią krótkie przypomieie elemetów rachuku macierzowego iezbęde dla zrozumieia

Bardziej szczegółowo

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania

Egzaminy. na wyższe uczelnie 2003. zadania zadaia Egzamiy wstępe a wyższe uczelie 003 I. Akademia Ekoomicza we Wrocławiu. Rozwiąż układ rówań Æ_ -9 y - 5 _ y = 5 _ -9 _. Dla jakiej wartości parametru a suma kwadratów rozwiązań rzeczywistych rówaia

Bardziej szczegółowo

Parametryzacja rozwiązań układu równań

Parametryzacja rozwiązań układu równań Parametryzacja rozwiązań układu rówań Przykład: ozwiąż układy rówań: / 2 2 6 2 5 2 6 2 5 //( / / 2 2 9 2 2 4 4 2 ) / 4 2 2 5 2 4 2 2 Korzystając z postaci schodkowej (środkowa macierz) i stosując podstawiaie

Bardziej szczegółowo

x 2 5x + 6, (i) lim 9 + 2x 5 lim x + 3 ( ) 9 Zadanie 1.4. Czy funkcjom, (c) h(x) =, (b) g(x) = x x, (c) h(x) = x + x.

x 2 5x + 6, (i) lim 9 + 2x 5 lim x + 3 ( ) 9 Zadanie 1.4. Czy funkcjom, (c) h(x) =, (b) g(x) = x x, (c) h(x) = x + x. Zadaie.. Obliczyć graice x 2 + 2x 3 (a) x x x2 + x2 + 25 5 (d) x 0. Graica i ciągłość fukcji x 2 5x + 6 (b) x x 2 x 6 4x (e) x 0si 2x (g) x 0 cos x x 2 (h) x 8 Zadaie.2. Obliczyć graice (a) (d) (g) x (x3

Bardziej szczegółowo

2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1

2 n < 2n + 2 n. 2 n = 2. 2 n 2 +3n+2 > 2 0 = 1 = 2. n+2 n 1 n+1 = 2. n+1 Tekst a iebiesko jest kometarzem lub treścią zadaia. Zadaie 1. Zbadaj mootoiczość i ograiczoość ciągów. a = + 3 + 1 Ciąg jest mootoiczie rosący i ieograiczoy poieważ różica kolejych wyrazów jest dodatia.

Bardziej szczegółowo

Trzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w

Trzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to

Bardziej szczegółowo

Pierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik

Pierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem

Bardziej szczegółowo

I kolokwium z Analizy Matematycznej

I kolokwium z Analizy Matematycznej I kolokwium z Aalizy Matematyczej 4 XI 0 Grupa A. Korzystając z zasady idukcji matematyczej udowodić ierówość dla wszystkich N. Rozwiązaie:... 4 < + Nierówość zachodzi dla, bo 4

Bardziej szczegółowo

7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi,

7 Liczby zespolone. 7.1 Działania na liczbach zespolonych. Liczby zespolone to liczby postaci. z = a + bi, 7 Liczby zespoloe Liczby zespoloe to liczby postaci z a + bi, gdzie a, b R. Liczbę i azywamy jedostką urojoą, spełia oa waruek i 2 1. Zbiór liczb zespoloych ozaczamy przez C: C {a + bi; a, b R}. Liczba

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta Fukcje cze Moduł - dział -temat Fukcje cze dowolego kąta Lp 1 kąt w układzie współrzędych fukcje cze dowolego kąta zaki czych wartości czych iektórych kątów Kąt obrotu 2 dodati i ujemy kieruek obrotu wartości

Bardziej szczegółowo

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =

Teoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i = Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy 12. Dowieść, że istieje ieskończeie wiele par liczb aturalych k < spełiających rówaie ( ) ( ) k. k k +1 Stosując wzór a wartość współczyika dwumiaowego otrzymujemy ( ) ( )!! oraz k k! ( k)! k +1 (k +1)!

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16 Egzami,.9.6, godz. :-5: Zadaie. ( puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z 4 = 4 w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej (bez używaia fukcji trygoometryczych)

Bardziej szczegółowo

Poziom rozszerzony. 5. Ciągi. Uczeń:

Poziom rozszerzony. 5. Ciągi. Uczeń: PIOTR LUDWIKOWSKI Materiał z wykładu z aalizy dla uczestików koerecji Podstawa programowa z kometarzami Tom 6 Edukacja matematycza i techicza w szkole podstawowej, gimazjum i liceum matematyka, zajęcia

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta Fukcje cze Moduł - dział -temat Fukcje cze dowolego kąta Lp 1 kąt w układzie współrzędych fukcje cze dowolego kąta zaki czych wartości czych iektórych kątów Kąt obrotu 2 dodati i ujemy kieruek obrotu wartości

Bardziej szczegółowo

Rozdział 9. Baza Jordana

Rozdział 9. Baza Jordana Rodiał 9 Baa Jordana Niech X będie n wmiarową prestrenią wektorową nad ciałem F = R lub F = C Roważm dowoln endomorfim f : X X Wiem, że postać macier endomorfimu ależ od wboru ba w prestreni X Wiem również,

Bardziej szczegółowo

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim.

Damian Doroba. Ciągi. 1. Pierwsza z granic powinna wydawać się oczywista. Jako przykład może służyć: lim n = lim n 1 2 = lim. Damia Doroba Ciągi. Graice, z których korzystamy. k. q.. 5. dla k > 0 dla k 0 0 dla k < 0 dla q > 0 dla q, ) dla q Nie istieje dla q ) e a, a > 0. Opis. Pierwsza z graic powia wydawać się oczywista. Jako

Bardziej szczegółowo

(x 1 y 1 ) (x n y n ) 2. 1<j<m x i y i. x2 y 2 gdy x 1 = y 1 x 2 y 2 + x 1 + y 1 gdy x 1 = y 1. gdy x, y, 0 nie są współliniowe

(x 1 y 1 ) (x n y n ) 2. 1<j<m x i y i. x2 y 2 gdy x 1 = y 1 x 2 y 2 + x 1 + y 1 gdy x 1 = y 1. gdy x, y, 0 nie są współliniowe . Metrka Zadaie.. Pokazać, że metrka jest fukcją ieujemą. Zadaie.2. Odowodić, że poiższe wzor defiiuja metrki. a) (metrka euklidesowa) X = R. d e (, ) := ( ) 2 +... + ( ) 2 b) (metrka taksówkowa) X = R

Bardziej szczegółowo

c 2 + d2 c 2 + d i, 2

c 2 + d2 c 2 + d i, 2 3. Wykład 3: Ciało liczb zespoloych. Twierdzeie 3.1. Niech C R. W zbiorze C określamy dodawaie: oraz możeie: a, b) + c, d) a + c, b + d) a, b) c, d) ac bd, ad + bc). Wówczas C, +, ) jest ciałem, w którym

Bardziej szczegółowo

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta

Funkcje trygonometryczne Moduł - dział -temat Funkcje trygonometry czne dowolnego kąta Fukcje trygoometrycze Moduł - dział -temat Fukcje trygoometry cze dowolego kąta 1 kąt w układzie współrzędych fukcje trygoometrycze dowolego kąta zaki trygoometryczych wartości trygoometryczych iektórych

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Informatyka 2015/2016 Kazimierz Jezuita. ZADANIA - Seria 1. Znaleźć wzór na ogólny wyraz ciągu opisanego relacją rekurencyjną: x

ALGEBRA LINIOWA Informatyka 2015/2016 Kazimierz Jezuita. ZADANIA - Seria 1. Znaleźć wzór na ogólny wyraz ciągu opisanego relacją rekurencyjną: x Iformatyka 05/06 Kazimierz Jezuita ZADANIA - Seria. Relacja rekurecyja kowecja sumacyja suma ciągu geometryczego. Zaleźć wzór a ogóly wyraz ciągu opisaego relacją rekurecyją: x sprowadzając problem do

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie III poziom rozszerzony

Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny z matematyki w klasie III poziom rozszerzony Wymagaia edukacyje a poszczególe ocey z matematyki w klasie III poziom rozszerzoy Na oceę dopuszczającą, uczeń: zazacza kąt w układzie współrzędych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe wyzacza wartości

Bardziej szczegółowo

Mechanika kwantowa III

Mechanika kwantowa III Mecaika kwatowa III Opracowaie: Barbara Pac, Piotr Petele Powtóreie Moet pędu jest wielkością pojęciowo bardo istotą, gdż dla wsstkic pól o setrii sfercej operator jego kwadratu ( ˆM koutuje ailtoiae (

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2, lato 2018/19 47. W każdym z zadań 47.-47.5 podaj wzór a fukcję różiczkowalą f :D f R o podaym wzorze a pochodą oraz o podaej wartości w podaym pukcie. 47.. f x 4x 5 54 f D f R 4x 555 fx + 47.. f x x+ f D f, + fx 9

Bardziej szczegółowo

Dowolną niezerową macierz A o wymiarach m na n za pomocą ciągu przekształceń elementarnych można sprowadzić do postaci C 01

Dowolną niezerową macierz A o wymiarach m na n za pomocą ciągu przekształceń elementarnych można sprowadzić do postaci C 01 WYKŁD / RZĄD MCIERZY POSTĆ BZOW MCIERZY Dowolą ieerową mcier o wymirch m pomocą ciągu prekłceń elemerych moż prowdić do poci I r C m wej bową (koicą) W cególości mcier bow może mieć poć: r I dl r m I r

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 12: Przekształcenia liniowe. z z + 2 2x + y. x y z. x y + 2t 2x + 3y + 5z t x + z t. x y + 2t 2x 3y + 5z t x z t

Zestaw zadań 12: Przekształcenia liniowe. z z + 2 2x + y. x y z. x y + 2t 2x + 3y + 5z t x + z t. x y + 2t 2x 3y + 5z t x z t Zesaw adań : Preksałcenia liniowe () Kóre podanch niżej preksałceń ϕ : K n K m są preksałceniami liniowmi: a) n = m = 3, ϕ( + +, b) n = m = 3, ϕ( +, 3 + + + +, d) n = m = 3, ϕ( +, c) n = m = 3, ϕ( e) n

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi. Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe

Bardziej szczegółowo

, +, - przestrzeń afiniczna, gdzie w wprowadzono iloczyn

, +, - przestrzeń afiniczna, gdzie w wprowadzono iloczyn EUKLIDESOWA PRZESTRZEŃ AFINICZNA (WEKTOROWA) RZECZYWISTA Deiicja 1,, +, u = ( x x x ) v = ( y y y ),,..., 1 2,,..., 1 2 1 1 2 2 u/ v : = x y + x y +... + xy - aywamy ilocyem skalarym Możemy go rówież oacać

Bardziej szczegółowo

I. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n

I. Ciągi liczbowe. , gdzie a n oznacza n-ty wyraz ciągu (a n ) n N. spełniający warunek. a n+1 a n = r, spełniający warunek a n+1 a n I. Ciągi liczbowe Defiicja 1. Fukcję określoą a zbiorze liczb aturalych o wartościach rzeczywistych azywamy ciągiem liczbowym. Ciągi będziemy ozaczać symbolem a ), gdzie a ozacza -ty wyraz ciągu a ). Defiicja.

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań 12: Przekształcenia liniowe. Macierze przekształceń liniowych. z z + 2 2x + y. x y z. x y + 2t 2x + 3y + 5z t x + z t

Zestaw zadań 12: Przekształcenia liniowe. Macierze przekształceń liniowych. z z + 2 2x + y. x y z. x y + 2t 2x + 3y + 5z t x + z t Zesaw adań : Preksałcenia liniowe. Maciere preksałceń liniowch () Kóre podanch niżej preksałceń ϕ : K n K m są preksałceniami liniowmi: a) n = m = 3, ϕ( + ) = +, b) n = m = 3, ϕ( ) = +, 3 + + + +, d) n

Bardziej szczegółowo

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem

x 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem 9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3

Bardziej szczegółowo

Analiza Matematyczna I dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań

Analiza Matematyczna I dla Inżynierii Biomedycznej Lista zadań Aaliza Matematycza I dla Iżyierii Biomedyczej Lista zadań Jacek Cichoń, WPPT PWr, 205/6 Logika, zbiory i otacja matematycza Zadaie Niech p, q, r będą zmieymi zdaiowymi. Pokaż, że:. = ( (p p)), 2. = (p

Bardziej szczegółowo

Zadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4

Zadania z Matematyka 2 - SIMR 2008/ szeregi zadania z rozwiązaniami. n 1. n n. ( 1) n n. n n + 4 Zadaia z Matematyka - SIMR 00/009 - szeregi zadaia z rozwiązaiami. Zbadać zbieżość szeregu Rozwiązaie: 0 4 4 + 6 0 : Dla dostateczie dużych 0 wyrazy szeregu są ieujeme 0 a = 4 4 + 6 0 0 Stosujemy kryterium

Bardziej szczegółowo

Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjny (wykłady)

Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjny (wykłady) Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjy (wykłady) Wykład r 12: Fukcja wykładicza cd. Ciągłość fukcji. Pochoda fukcji Semestr zimowy 2018/2019 Fukcja wykładicza (cd.) propozycja Podobie jak w przykładach

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH

FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH FUNKCJE DWÓCH MIENNYCH De. JeŜel kaŝdemu puktow (, ) ze zoru E płaszczz XY przporządkujem pewą lczę rzeczwstą z, to mówm, Ŝe a zorze E określoa została ukcja z (, ). Gd zór E e jest wraźe poda, sprawdzam

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum

MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu

Bardziej szczegółowo

ĆWICZENIA NR 1 Z MATEMATYKI (Finanse i Rachunkowość, studia zaoczne, I rok) Zad. 1. Wyznaczyć dziedziny funkcji: 1 = 1, b) ( x) , c) h ( x) x x

ĆWICZENIA NR 1 Z MATEMATYKI (Finanse i Rachunkowość, studia zaoczne, I rok) Zad. 1. Wyznaczyć dziedziny funkcji: 1 = 1, b) ( x) , c) h ( x) x x ĆWICZENIA NR Z MATEMATYKI (Fiase i Rachukowość studia zaocze I rok) Zad Wyzaczyć dziedziy fukcji: a) f ( ) b) ( ) + + 6 f c) f ( ) + + d) f ( ) + e) ( ) f l f) f ( ) l( + ) + l( ) g) f ( ) l( si ) h) f

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/ n 333))

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/ n 333)) 46. Wskazać liczbę rzeczywistą k, dla której graica k 666 + 333)) istieje i jest liczbą rzeczywistą dodatią. Obliczyć wartość graicy przy tak wybraej liczbie k. Rozwiązaie: Korzystając ze wzoru a różicę

Bardziej szczegółowo

P π n π. Równanie ogólne płaszczyzny w E 3. Dane: n=[a,b,c] Wówczas: P 0 P=[x-x 0,y-y 0,z-z 0 ] Równanie (1) nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny

P π n π. Równanie ogólne płaszczyzny w E 3. Dane: n=[a,b,c] Wówczas: P 0 P=[x-x 0,y-y 0,z-z 0 ] Równanie (1) nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny Rówaie ogóle płaszczyzy w E 3. ae: P π i π o =[A,B,C] P (,y,z ) Wówczas: P P=[-,y-y,z-z ] P π PP PP= o o Rówaie () azywamy rówaiem ogólym płaszczyzy A(- )+B(y-y )+C(z-z )= ( ) A+By+Cz+= Przykład

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna. Robert Rałowski

Analiza matematyczna. Robert Rałowski Aaliza matematycza Robert Rałowski 6 paździerika 205 2 Spis treści 0. Liczby aturale.................................... 3 0.2 Liczby rzeczywiste.................................... 5 0.2. Nierówości...................................

Bardziej szczegółowo

,..., u x n. , 2 u x 2 1

,..., u x n. , 2 u x 2 1 . Równania różnickowe cąstkowe Definicja. Równaniem różnickowm cąstkowm (rrc) nawam równanie różnickowe, w którm wstępuje funkcja niewiadoma dwóch lub więcej miennch i jej pochodne cąstkowe. Ogólna postać

Bardziej szczegółowo

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań

MATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań MATURA 0 z WSiP Matematyka Poziom rozszerzoy Zasady oceiaia zadań Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo, Warszawa 0 Matematyka Poziom rozszerzoy Kartoteka testu Numer zadaia Sprawdzaa umiejętość

Bardziej szczegółowo

Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005

Internetowe Kółko Matematyczne 2004/2005 Iteretowe Kółko Matematycze 2004/2005 http://www.mat.ui.toru.pl/~kolka/ Zadaia dla szkoły średiej Zestaw I (20 IX) Zadaie 1. Daa jest liczba całkowita dodatia. Co jest większe:! czy 2 2? Zadaie 2. Udowodij,

Bardziej szczegółowo

Funkcje wielu zmiennych

Funkcje wielu zmiennych Funkcje wielu miennch wkład MATEMATYKI Automatka i robotka studia niestacjonarne sem II, rok ak 2009/2010 Katedra Matematki Wdiał Informatki Politechnika Białostocka Niech R ndef ={( 1, 2,, n ): 1 R 2

Bardziej szczegółowo

Materiały do ćwiczeń z Analizy Matematycznej I

Materiały do ćwiczeń z Analizy Matematycznej I Materiały do ćwiczeń z Aalizy Matematyczej I 08/09 Maria Frotczak Ludwika Kaczmarek Katarzya Klimczak Maria Michalska Beata Osińska-Ulrych Tomasz Rodak Adam Różycki Grzegorz Skalski Staisław Spodzieja

Bardziej szczegółowo

Geometria analityczna w przestrzeni. Kierunek. Długość. Zwrot

Geometria analityczna w przestrzeni. Kierunek. Długość. Zwrot - podstawowe pojęcia Geometria analitcna w prestreni Wektorem acepionm w prestreni R 3 nawam uporądkowaną parę punktów A ora B i onacam go pre AB. Punkt A nawam jego pocątkiem, a punkt B - jego końcem.

Bardziej szczegółowo

O trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności

O trzech elementarnych nierównościach i ich zastosowaniach przy dowodzeniu innych nierówności Edward Stachowski O trzech elemetarych ierówościach i ich zastosowaiach przy dowodzeiu iych ierówości Przy dowodzeiu ierówości stosujemy elemetare przejścia rówoważe, przeprowadzamy rozumowaie typu: jeżeli

Bardziej szczegółowo

Dodawanie i mnożenie liczb zespolonych są działaniami wewnętrznymi tzn., że ich wynikiem jest liczba zespolona.

Dodawanie i mnożenie liczb zespolonych są działaniami wewnętrznymi tzn., że ich wynikiem jest liczba zespolona. Wykład - LICZBY ZESPOLONE Algebra licb espolonych, repreentacja algebraicna i geometrycna, geometria licb espolonych. Moduł, argument, postać trygonometrycna, wór de Moivre a.' Zbiór Licb Zespolonych Niech

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona Twierdzeie Cayleya-Hamiltoa Twierdzeie (Cayleya-Hamiltoa): Każda macierz kwadratowa spełia swoje włase rówaie charakterystycze. D: Chcemy pokazać, że jeśli wielomiaem charakterystyczym macierzy A jest

Bardziej szczegółowo

Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11

Matematyka I. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11 Matematyka I Bezpieczeństwo jądrowe i ochroa radiologicza Semestr zimowy 2018/2019 Wykład 11 Całka ozaczoa podstawowe pojęcia Defiicja podziału odcika Podziałem P odcika < a, b > a części azywamy zbiór

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna A1, zima 2011/12. Kresy zbiorów. x Z M R Kresy zbiorów. Ćwiczeia 21.11.2011: zad. 197-229 Kolokwium r 7, 22.11.2011: materiał z zad. 1-249 Defiicja: Zbiór Z R azywamy ograiczoym z góry, jeżeli M R x Z x M. Każdą liczbę rzeczywistą M R spełiającą

Bardziej szczegółowo

Wykład 11. a, b G a b = b a,

Wykład 11. a, b G a b = b a, Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada

Bardziej szczegółowo

3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej

3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej 3. Regresja liiowa 3.. Założeia dotyczące modelu regresji liiowej Aby moża było wykorzystać model regresji liiowej, muszą być spełioe astępujące założeia:. Relacja pomiędzy zmieą objaśiaą a zmieymi objaśiającymi

Bardziej szczegółowo

I. Podzielność liczb całkowitych

I. Podzielność liczb całkowitych I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc

Bardziej szczegółowo

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.

Arkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D. Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)

Bardziej szczegółowo

a 1, a 2, a 3,..., a n,...

a 1, a 2, a 3,..., a n,... III. Ciągi liczbowe. 1. Defiicja ciągu liczbowego. Defiicja 1.1. Ciągiem liczbowym azywamy fukcję a : N R odwzorowującą zbiór liczb aturalych N w zbiór liczb rzeczywistych R i ozaczamy przez { }. Używamy

Bardziej szczegółowo

O pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii

O pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii O pewych zastosowaiach rachuku różiczkowego fukcji dwóch zmieych w ekoomii 1 Wielkość wytwarzaego dochodu arodowego D zależa jest od wielkości produkcyjego majątku trwałego M i akładów pracy żywej Z Fukcję

Bardziej szczegółowo

1 Pochodne wyższych rzędów

1 Pochodne wyższych rzędów 1 Pochode wyższych rzędów 1.1 Defiicja i przykłady Def. Drugą pochodą fukcji f azywamy pochodą pochodej tej fukcji. Trzecia pochoda jest pochodą drugiej pochodej; itd. Ogólie, -ta pochoda fukcji jest pochodą

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2

STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD 1 i 2 STATYSTYKA OPISOWA WYKŁAD i 2 Literatura: Marek Cieciura, Jausz Zacharski, Metody probabilistycze w ujęciu praktyczym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 2 Statystyka to dyscyplia aukowa, której zadaiem jest

Bardziej szczegółowo

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3:

Szereg geometryczny. 5. b) b n = 4n 2 (b 1 = 2, r = 4) lub b n = 10 (b 1 = 10, r = 0). 2. jest równa 1 x dla x = 1+ Zad. 3: Szereg geometryczy Zad : Suma wszystkich wyrazów ieskończoego ciągu geometryczego jest rówa 4, a suma trzech początkowych wyrazów wyosi a) Zbadaj mootoiczość ciągu sum częściowych tego ciągu geometryczego

Bardziej szczegółowo

III seria zadań domowych - Analiza I

III seria zadań domowych - Analiza I III seria zadań domowych - Aaliza I Różiczkowalość fukcji Zadaie Dla jakich wartości parametrów abc R fukcje a + gdy π si + b gdy > π a + b gdy 0 gdy > c a + b gdy c są różiczkowale. a + b gdy a 0 / arcsi

Bardziej szczegółowo

Ekonomia matematyczna 2-2

Ekonomia matematyczna 2-2 Ekoomia matematycza - Fukcja produkcji Defiicja Efektywym przekształceiem techologiczym azywamy odwzorowaie (iekiedy wielowartościowe), które kazdemu wektorowi akładów R przyporządkowuje zbiór wektorów

Bardziej szczegółowo

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic).

Stwierdzenie 1. Jeżeli ciąg ma granicę, to jest ona określona jednoznacznie (żaden ciąg nie może mieć dwóch różnych granic). Materiały dydaktycze Aaliza Matematycza Wykład Ciągi liczbowe i ich graice. Graice ieskończoe. Waruek Cauchyego. Działaia arytmetycze a ciągach. Podstawowe techiki obliczaia graic ciągów. Istieie graic

Bardziej szczegółowo

3. Funkcje elementarne

3. Funkcje elementarne 3. Fukcje elemetare Fukcjami elemetarymi będziemy azywać fukcję tożsamościową x x, fukcję wykładiczą, fukcje trygoometrycze oraz wszystkie fukcje, jakie moża otrzymać z wyżej wymieioych drogą astępujących

Bardziej szczegółowo

Podprzestrzenie macierzowe

Podprzestrzenie macierzowe Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji ( ) : m f x = Ax ( A) { Ax x } = Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy

Bardziej szczegółowo

201. a 1 a 2 a 3...a n a 2 1 +a 2 2 +a a 2 n n a 4 1 +a 4 2 +a a 4 n n. a1 + a 2 + a a n 204.

201. a 1 a 2 a 3...a n a 2 1 +a 2 2 +a a 2 n n a 4 1 +a 4 2 +a a 4 n n. a1 + a 2 + a a n 204. Liczby rzeczywiste dodatie a 1, a 2, a 3,...a spełiają waruek a 1 +a 2 +a 3 +...+a =. Wpisać w kratkę zak lub i udowodić podaą ierówość bez korzystaia z gotowych twierdzeń (moża korzystać z wcześiejszych

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią 2012/2013

Algebra z geometrią 2012/2013 Algebra geometrią 22/23 Seria XVI Javier de Lucas Zadanie. Wnacć rąd macier: A :, B : 2 4 3 4 3 2 3 3 5 7 3 3 6 3 Rowiąanie: Macier A: Sposób: Rąd macier to wmiar prestreni generowanej pre jej kolumn.

Bardziej szczegółowo

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej

Rachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej Rachunek różniczkow funkcji jednej zmiennej wkład z MATEMATYKI Budownictwo, studia niestacjonarne sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematki Wdział Informatki Politechnika Białostocka 1 Iloraz różnicow

Bardziej szczegółowo

Szeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne.

Szeregi liczbowe. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Szeregi iczbowe. Szeregi potęgowe i trygoometrycze. wykład z MATEMATYKI Automatyka i Robotyka sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Iformatyki Poitechika Białostocka Szeregi iczbowe Defiicja..

Bardziej szczegółowo

Pochodna kierunkowa i gradient Równania parametryczne prostej przechodzącej przez punkt i skierowanej wzdłuż jednostkowego wektora mają postać:

Pochodna kierunkowa i gradient Równania parametryczne prostej przechodzącej przez punkt i skierowanej wzdłuż jednostkowego wektora mają postać: ochodna kierunkowa i gradient Równania parametrcne prostej prechodącej pre punkt i skierowanej wdłuż jednostkowego wektora mają postać: Oblicam pochodną kierunkową u ( u, u ) 1 + su + su 1 (, ) d d d ˆ

Bardziej szczegółowo

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu

Technikum Nr 2 im. gen. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekonomicznych w Kaliszu Techikum Nr 2 im. ge. Mieczysława Smorawińskiego w Zespole Szkół Ekoomiczych w Kaliszu Wymagaia edukacyje iezbęde do uzyskaia poszczególych śródroczych i roczych oce klasyfikacyjych z obowiązkowych zajęć

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna. Wykład II. Estymacja punktowa

Statystyka matematyczna. Wykład II. Estymacja punktowa Statystyka matematycza. Wykład II. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści 1 dyskretych Rozkłady zmieeych losowych ciągłych 2 3 4 Rozkład zmieej losowej dyskretej dyskretych Rozkłady zmieeych losowych

Bardziej szczegółowo

BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI

BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Wkład z matematki inżnierskiej BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI IMiF UTP 06 przed wkonaniem wkresu... BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Wkonujem wkres funkcji wznaczaja c wcześniej: 1 dziedzinȩ

Bardziej szczegółowo