GEOMETRIA W SZTUCE. Maswerki gotyckie w Kolonii

Transkrypt

1 GEOMETRIA W SZTUCE Mswerki gotyckie w Kolonii

2

3 WSTĘP T oto broszurk jest dziełem uczniów trzeciej klsy Gimnzjum Przymierz Rodzin im. Jn Pwł II. Nsz grup, prowdzon przez prof. Wojciech Guzickiego i mgr Ewę Jroszewicz, jest ukierunkown n nucznie mtemtyki n poziomie rozszerzonym. Podzieliliśmy się n sześć grup, które przygotowły projekty dotyczące konstrukcji mswerków gotyckich pochodzących z ktedry w Kolonii. Z pomocą nszych opiekunów obliczliśmy wysokości, promienie, wyprowdzliśmy skomplikowne wzory orz geometrycznie wyznczliśmy znjdujące się w oknch gotyckich łuki i odcinki. Nstępnie z pomocą progrmu komputerowego C..R. skonstruowliśmy nsze projekty n komputerze, by je później opisć i złożyć wszystko w jedną cłość. Oto rezultty nszej dwumiesięcznej prcy. Życzymy ciekwej i przyjemnej lektury. Grup prof. W. Guzickiego orz mgr Ewy Jroszewicz 3

4 4

5 SPIS TREŚCI TRÓJLIŚCIE Mrysi Pc, Ani Szornk 7 TRÓJLIŚCIE W OSTROŁUKACH Bsi Redzisz, Ol Wlczk, Krolin Wszoł PIĘCIOLIŚCIE Bsi Redzisz, Ol Wlczk, Krolin Wszoł.. 5 CZTEROLIŚCIE Z WPISANYMI TRÓJLIŚĆMI Łuksz Binkiewicz, Pweł Lis.. 35 SZEŚCIOLIŚĆ Z WPISANYMI TRÓJLIŚĆMI Tomsz Jeleń, Igor Szumliński 43 SZEŚCIOLIŚĆ Z OSTROŁUKAMI Tomsz Jeleń, Igor Szumliński.. 47 MASWERK NAD WEJŚCIEM Kub Mkowski, Mteusz Zych OSTROŁUK Z WPISANYMI CZTEREMA OKRĘGAMI STYCZNYMI Filip Domński, Szymon Kowlik

6 6

7 TRÓJLIŚCIE Mrysi Pc Ani Szornk 7

8 r promień młego okręgu R promień dużego okręgu połow podstwy mniejszego trójkąt równobocznego d odcinek łączący punkt przecięci wysokości większego trójkąt równobocznego z wierzchołkiem mniejszego trójkąt równobocznego c odcinek łączący punkt przecięci wysokości większego trójkąt równobocznego z środkiem podstwy mniejszego trójkąt równobocznego 8

9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9

10 Konstruujemy trójkąt równoboczny W tym trójkącie konstruujemy wysokości. 10

11 Konstruujemy 3 okręgi, ze środkmi w wierzchołkch trójkąt równobocznego i o promieniu równym wysokości trójkąt. Konstruujemy trójkąt równoboczny, o boku równym r, którego wierzchołek jest środkiem okręgu. 11

12 Konstruujemy dw okręgi, o promieniu równym r, których środki znjdują się w wierzchołkch trójkąt. Konstruujemy jeszcze dw trójliście. 1

13 W środkowym trójkącie konstruujemy wysokości. Konstruujemy okrąg o promieniu R, którego środkiem jest punkt przecięci wysokości w trójkącie równobocznym. 13

14 Konstruujemy trójkąt ABC. Punkt O jest punktem przecięci symetrlnych trójkąt ABC. Konstruujemy trzy okręgi o środku O i promieniu równym DO. 14

15 15

16 16

17 TRÓJLIŚCIE W OSTROŁUKACH Bsi Redzisz Ol Wlczk Krolin Wszoł 17

18 Pierwszą oprcowną przez ns konstrukcją elementów rchitektury okien gotyckich będzie budow trójliści w ostrołukch. N początku musimy skonstruowć ostrołuk. Pierwszym etpem jest nrysownie odcink. A B Nstępnie ztczmy łuki o promieniu AB i środkch odpowiednio w punktch A i B. Potem, oznczmy punkt przecięci tych okręgów jko C. Z punktów A, B i C powstje trójkąt równoboczny. 18

19 Punkt C będzie środkiem trzeciego okręgu o promieniu AB. Tk utworzyłyśmy tk zwny Trójkt Reuleux. Po wymzniu zbędnych elementów, nsz dotychczsow konstrukcj wygląd tk: 19

20 Terz w ten trójkąt Reuleux, wpiszemy trzy styczne względem siebie okręgi o tkich smych promienich. Tk jk n rysunku poniżej: Ale skąd wiemy ile m wynosić promień tych że okręgów? Obliczymy to w nstępujący sposób. Przyjmijmy oznczeni: 0

21 Tk powstną dw trójkąty równoboczne ABC orz KLM Oznczmy jeszcze punkty styczności okręgów: Terz możemy zuwżyć, że punkty A, K, P i B, L, Q orz C, M, R są współliniowe. 1

22 Punkt przecięci tych półprostych oznczmy jko O. Dorysujmy jeszcze jeden odcinek AM.

23 Aby rysunek był brdziej przejrzysty, wyróżnijmy elementy niezbędne do obliczeń. Niech: AB = b r długość promieni wpisnych okręgów Rozwiąznie: AP + PM = AM PM = r AM = b r AP = AO + OP Zuwżmy, iż: AO = promień okręgu opisnego n trójkącie ABC OP = promień okręgu wpisnego w trójkąt KLM Wtedy możemy obliczyć: AO = OT = 3

24 Znjąc wielkości AO i OT, podstwmy je do równni AP + PM = AM. Otrzymujemy: Celem nszych obliczeń jest odcinek r. Poniewż jest to odcinek, musi mieć wrtość dodtnią. Po przeksztłcenich obliczmy, iż: Nie znmy jeszcze wrtości odcink OK, lecz wiemy, że równ się on długości wysokości trójkąt KLM: Otrzymujemy szukne wrtości: 4

25 PIĘCIOLIŚCIE Bsi Redzisz Ol Wlczk Krolin Wszoł 5

26 Kolejnym oprcownym przez ns elementem rchitektury ktedry w Kolonii będą pięcioliście. Konstrukcję pięcioliści rozpoczynmy od nrysowni pięciokąt foremnego. Odcinek AB będzie promieniem okręgu, w który wpiszemy pięciokąt foremny. Nstępnie nrysujemy dwie prostopdłe do siebie średnice tego okręgu, z czego jedn z nich będzie zwierć odcinek AB, drug odcinek AP prostopdły do AB. 6

27 Kolejnym etpem nszej konstrukcji jest znlezienie środk promieni. Oznczmy ten punkt jko C. Nstępnie ztczmy okrąg o promieniu CP i środku w punkcie C. Punkt przecięci odcink AB i tego okręgu oznczmy literą D. Przyjmijmy, że: 7

28 Terz możemy łtwo obliczyć długość odcink CP. Wróćmy terz do konstrukcji pięciokąt. Osttnim jej etpem jest wyznczenie długości boku tego wielokąt. Minowicie, t długość jest równ długości odcink PD. 8

29 Aby otrzymć pięciokąt nleży odmierzyć długość odcink PD po długości okręgu. Punkty przecięci tych okręgów nzwijmy odpowiednio Q, R, S i T. Będą to wierzchołki pięciokąt. Po połączeniu punktów P, Q, R, S i T orz wymzniu zbędnych okręgów, otrzymujemy pięciokąt foremny. 9

30 Terz obliczymy ile wynosi długość boku tego pięciokąt. Wiemy, że jest on równ długości odcink PD. Wykorzystując wcześniejsze obliczeni otrzymujemy dne: Więc: Skoro: orz AP = r To: Podstwijąc wcześniej otrzymne dne uzyskujemy: 30

31 Z tego wynik, że bok tego pięciokąt m długość. Kolejnym etpem powstwni pięcioliści jest skonstruownie pięciu stycznych do siebie okręgów o środkch w wierzchołkch pięciokąt i bokch równych połowie długości boku pięciokąt. Ze wcześniejszych obliczeń możemy łtwo obliczyć długość tych promieni (oznczmy ją jko R). Będzie on równ, czyli R = poniewż długość boku pięciokąt wynosi. 31

32 Nstępną czynnością potrzebną do wykonni pięcioliści jest ztoczenie tkiego okręgu, by pięć nrysownych przez ns wcześniej okręgów było do niego styczne wewnętrznie. Konstrukcj tego okręgu jest brdzo prost, poniewż jego promień to sum r + R środek znjduje się w punkcie A. Terz musimy jeszcze tylko nrysowć okrąg o promieniu równym odcinkowi od punktu A do środk boku pięciokąt. Będzie to odcinek AK. 3

33 EFEKTY KOŃCOWE W ten sposób uzyskłyśmy dwie konstrukcje. 33

34 34

35 CZTEROLIŚCIE Z WPISANYMI TRÓJLIŚĆMI Łuksz Binkiewicz Pweł Lis 35

36 KROK 1 Rysujemy prostą, zznczmy dowolny odcinek i dzielimy go n dwie równe części. Krok Rysujemy okrąg o środku w symetrlnej odcink o długości połowy odcink. Rysujemy prostą prostopdłą przechodzącą przez środek odcink. 36

37 Krok 3 Rysujemy dw o kręgi o środkch w przeciwległych końcch odcink o długości odcink. Krok 4 Powtrzmy krok 3 tylko n odcinku, który otrzymliśmy w kroku (n prostej prostopdłej) 37

38 Krok 5 Rysujemy 4 okręgi o środku n końcch odcinków z kroku 1 i kroku o promieniu równej odległości końców odcinków od wierzchołków trójkątów równobocznych. Krok 6 Wyłączmy części okręgów, które nie są nm potrzebne. 38

39 Krok 7 Rysujemy okrąg, który m swój środek w połowie promieni jednego z okręgów z kroku 6. Promień nowego okręgu m długość równą połowie promieni z kroku 6 Krok 8 Rysujemy dw pozostłe okręgi, które mją środki w środkch odcinków, które łączą pkt przecięci kręgów ze środkiem okręgu z kroku 6. 39

40 Krok 9 Powtrzmy krok 8 i krok 9 w kżdym liściu czworoliści. Krok 10 Wyłączmy części trójliściów, które są zbędne. 40

41 Krok 11 41

42 4

43 SZEŚCIOLIŚĆ Z WPISANYMI TRÓJLIŚĆMI Tomsz Jeleń Igor Szumliński 43

44 Konstruujemy okrąg. Konstruujemy trzy średnice okręgu przecinjące się pod równymi kątmi. W /3 promieni konstruujemy okręgi o promieniu 1/3 promieni. 44

45 W powstłych okręgch tworzymy trójliście. Konstruujemy okrąg wewnątrz njwiększego okręgu i tworzymy odcinki łączące go z punktmi styczności okręgów, pokrywjące się z promienimi njwiększego okręgu. 45

46 Z powstłych okręgów tworzymy łuki. 46

47 SZEŚCIOLIŚĆ Z OSTROŁUKAMI Tomsz Jeleń Igor Szumliński 47

48 Konstruujemy okrąg. Konstruujemy sześć stycznych okręgów położonych n okręgu o środku w środku pierwszego okręgu lecz większym promieniu. Konstruujemy sześć odcinków łączących njmniejszy okrąg z punktmi styczności okręgów, orz pokrywjących się z promienimi okręgu. Konstruujemy ostrołuki n zewnętrznych okręgch. Punty, n których oprte są ostrołuki tworzymy prowdząc dwie proste przez środek okręgu n którym położony jest ostrołuk orz środki okręgów znjdujcych się z okręgmi stykjącymi się z nim. 48

49 Konstruujemy okrąg styczny do krwędzi ostrołuków, orz z okręgów tworzymy łuki. 49

50 50

51 MASWERK NAD WEJŚCIEM Kub Mkowski Mteusz Zych 51

52 1. Skonstruowliśmy ostrołuk o podstwie x, który jest oprty n prostej. Skonstruowliśmy kwdrt o wspólnej podstwie z ostrołukiem 5

53 3. N górnych rogch kwdrtu umieściliśmy dw okręgi o promieniu x (x= bok kwdrtu) 4. Usunęliśmy koł pozostwijąc tylko odcinki od f do d i od f do e 53

54 5. N prostej tworzącej bok kwdrtu umieściliśmy okrąg o r równym połowie boku kwdrtu i w ten sposób mogę odmierzyć odcinek równy półtor boku 6. Wspomniny duży okrąg umieściliśmy n górnym rogu kwdrtu, wyznczjąc tym smym punkt Q 54

55 7. Umieściliśmy drugi okrąg n drugim rogu i wyznczm punkt V 8. Usunęliśmy kol i połączyliśmy punkty Q i V 55

56 9. Usunęliśmy linie podstwy i umieściliśmy okręgi o r równym połowie boku n punktch Q i V, tkże n środku odcink który je łączy 10. Usunęliśmy frgment kół tk by pozostwić ostrołuki 56

57 11. Usunęliśmy resztę zbędnych obiektów i stworzyliśmy nsz mswerk. 57

58 58

59 OSTROŁUK Z WPISANYMI CZTEREMA OKRĘGAMI STYCZNYMI Filip Domński Szymon Kowlik 59

60 Dw wrinty: 1. Ostrołuk opisny n trójkącie równobocznym. Ostrołuk opisny n trójkącie równormiennym o wysokości równej podstwie 60

61 WARIANT 1 Aby obliczyć odległość środk kwdrtu utworzonego przez środki czterech okręgów od podstwy (h) orz promień (r) tych okręgów posłużymy się dwom zznczonymi n rysunku trójkątmi. Dn jest podstw (). Z twierdzeni Pitgors mmy: h h r hr h r r 4 r hr h 4 h r r h r) ( h r r r h

62 6 Skoro znmy już wysokość (h), to możemy obliczyć promień czterech okręgów (r) używjąc twierdzenie Pitgors dl jednego z zznczonych trójkątów. 0 r r 0 r r r r r 4 r r 4 r r Równnie kwdrtowe zostło doprowdzone do postci 0 f er dr, gdzie f e 1 d Podstwimy te wrtości do wzoru d 4df e e r, gdyż drugie rozwiąznie tego równni d 4df e e r dłoby wynik ujemny, co w geometrii jest niemożliwe. r r r 4 r 4 8 r 4 4 r 4 r

63 Przystępujemy do konstrukcji poszczególnych odcinków. 63

64 64

65 65

66 66

67 67

68 68

69 Mmy już skonstruowne wszystkie odcinki, więc możemy przystąpić do docelowej konstrukcji. 69

70 70

71 71

72 7

73 73

74 74 WARIANT Podobnie jk w pierwszym wrincie, w tym tkże mmy odległość środk kwdrtu utworzonego przez środki czterech okręgów od podstwy (h) orz promień (r) tych okręgów. Tu tkże dn jest podstw (). Jednk w tym przypdku mmy jeszcze odcinek łączący środek koł z bliższym końcem podstwy (x). Njpierw obliczmy długość odcink x z pomocą tw. Pitgors dl niebieskiego trójkąt: x x x x x x x x

75 75 Nstępnie, podobnie jk w wrincie 1, rozwiązujemy ukłd równń tw. Pitgors dl trójkątów czerwonego i zielonego h h r hr r r h r hr h r h r h r x h r x x r h r x I znów podobnie jk w wrincie 1, mjąc już wysokość h, obliczmy odcinek r z pomocą tw. Pitgors dl jednego z dwóch trójkątów (czerwony lub zielony) f e d r r r r r r r r dl tego równni kwdrtowego jest dodtni, więc rozwiąznimi równni są d 4df e e r lub d 4df e e r, jednk w drugim przypdku długość r będzie ujemn co jest niemożliwe.

76 76 Rozwiązujemy dne równnie kwdrtowe: r r r r Przystępujemy do konstrukcji poszczególnych, potrzebnych odcinków.

77 77

78 78

79 79

80 80

81 Terz zostwmy tylko te odcinki których będziemy używć w konstrukcji. 81

82 I przystępujemy do konstrukcji: 8

83 83

84 84