współrzędne wierzchołka A oraz oblicz pole trójkąta ABC. Napisz równanie okręgu opisanego na trójkącie ABC. Zadanie 3. Ciąg ( a

Transkrypt

1 STARA MATURA 00 Województwo Śląskie Mtemtyk - rozwiązni zdń. mj 00 Pisemny egzmin dojrzłości obowiązujący w licech ogólnoksztłcących (z wyjątkiem profilu mtemtyczno fizycznego), technikch pięcioletnich orz technikch po ZSZ mj 00 roku godzin (wersj nieoficjln) Zdnie. Dn jest funkcj ( ) ( ) f m m m = , gdzie R. ) Dl m = oblicz wrtość wyrżeni +, gdzie i są pierwistkmi równni f ( ) = 0. b) Zbdj liczbę miejsc zerowych funkcji f w zleżności od wrtości m. c) Dl jkiej wrtości prmetru m rzędn wierzchołk prboli będącej wykresem funkcji f jest njmniejsz? Zdnie. Punkty B= (, ) i ( 7,6) C= są wierzchołkmi trójkąt równormiennego ABC, w którym AC = BC. Wysokość CD jest zwrt w prostej o równniu 4y+ = 0. Wyzncz współrzędne wierzchołk A orz oblicz pole trójkąt ABC. Npisz równnie okręgu opisnego n trójkącie ABC. Zdnie. Ciąg ( n ) określony jest wzorem ( n ). n n n = +. Zbdj monotoniczność ciągu ) Wyrzy szósty i drugi ciągu ( n ) są odpowiednio równe pierwszemu i drugiemu wyrzowi nieskończonego ciągu geometrycznego ( b n ). Podj wzór n wyrz ogólny ciągu ( n ) sumę wszystkich wyrzów ciągu ( b n ). b i oblicz b) Wyrzy ósmy i piąty ciągu ( n ) są odpowiednio równe trzeciemu i czternstemu wyrzowi ciągu rytmetycznego ( c n ). Ile kolejnych początkowych wyrzów ciągu rytmetycznego ( c n ) nleży dodć, by otrzymn sum był równ 60? CKA 00. Plik pobrny ze strony - Mtemtyk rozwiązni zdń Str mtur Woj. Śląskie stron

2 Zdnie 4. Wysokość prwidłowego ostrosłup czworokątnego m długość 7 sum długości wszystkich krwędzi ostrosłup jest równ 40. ) Oblicz objętość ostrosłup orz odległość środk wysokości ostrosłup od jego krwędzi bocznej. b) Ostrosłup przecięto płszczyzną przechodzącą przez środki dwóch sąsiednich krwędzi podstwy i wierzchołek ostrosłup. Oblicz pole otrzymnego przekroju. Zdnie. Ze zbioru {,,0,,} losujemy kolejno ze zwrcniem liczby i y. Niech A i B będą nstępującymi zdrzenimi: A sum wylosownych liczb jest nie większ od, B liczby i y spełniją wrunek: + y+. Oblicz prwdopodobieństwo zdrzeń: A, B, A B. ROZWIĄZANIA ROZWIĄZANIE ZADANIA. Dl ( ) m = funkcj f przyjmuje postć: f = = = +. Obliczmy: ( + ) ( + ) + + = = =. Wykorzystując wzory Viete : b c + = =, orz = =, mmy: + = =. b) Funkcj kwdrtow f m dw miejsc zerowe, gdy > 0. Mmy ( m ) ( m m ) = > 0, ( m ) ( m m ) > 0, m m m m > 0, CKA 00. Plik pobrny ze strony - Mtemtyk rozwiązni zdń Str mtur Woj. Śląskie stron

3 m m> 0, ( ) m m+ > 0. Zznczmy n poniższym rysunku znk trójminu kwdrtowego m( m ) m Otrzymujemy n podstwie znku wyróżnik trójminu kwdrtowego f, orz powyższego wykresu, odpowiedzi: dl m (, ) ( 0, + ) - funkcj f nie m miejsc zerowych, ( < 0) dl m {,0} - funkcj f m jedno miejsce zerowe, ( = 0) dl m (,0) - funkcj f m dw miejsc zerowe, ( > 0) c) ( + ) 4m m y = = = m( m+ ). 4 4 Wrtość njwiększ w wierzchołku prboli: y m( m ) = +. Poniewż pierwistkmi osttniej funkcji są m = 0, m =, więc wrtością njmniejszą (wierzchołek prboli) przyjmuje dl 0 m = =. ROZWIĄZANIE ZADANIA. y y= 4y+ Współczynnik kierunkowy prostej BC A 6 O C y y 6+ 8 wynosi: mbc = = = =, 7 4 ztem współczynnik kierunkowy k D B l P s 7 symetrlnej: m s =.Symetrln przechodzi przez środek odcink BC P,, stąd (,) P. Ztem symetrln m równnie: s: y = ( ), y 4= +, + y 9= 0. CKA 00. Plik pobrny ze strony - Mtemtyk rozwiązni zdń Str mtur Woj. Śląskie stron

4 Środek okręgu opisnego znjduje się w punkcie przecięci się symetrlnych trójkąt, czyli symetrlnej s i wysokości CD. Rozwiązujemy ztem ukłd równń: + y 9= 0 4y+ = 0 Z równni pierwszego: = y+ 9. Ztem po podstwieniu do równni drugiego, mmy: ( y ) + 9 4y+ = 0, 0y+ 0= 0, stąd y =, więc = + 9=. Środek okręgu opisnego n trójkącie m współrzędne: O (,). Ztem promień okręgu m długość: ( ) ( ) R= OC = = 6+ 9 = =. Równnie okręgu: ( ) ( y ) + =. Pondto wysokość CD zwier się w prostej: 4y = +, czyli y = Zuwżmy, że współczynnik kierunkowy prostej zwierjącej wysokość CD wynosi: m CD =, 4 ztem współczynnik kierunkowy prostej AB (jko prostopdłej do prostej zwierjącej wysokość) wynosi: równnie: 4 m AB =. Pondto prost AB przechodzi przez wierzchołek B. Ztem wyznczmy jej 4 AB: y+ = ( ), y+ 6= 4+, 4+ y 6= 0. Znjdujemy współrzędne punktu D, będącego środkiem podstwy AB, rozwiązując ukłd równń: 4y+ = 0, 4+ y 6= 0, Mnożąc równnie pierwsze przez, drugie przez 4, mmy: 9 y+ 9= 0, 6+ y 4= 0, Dodjąc równni stronmi, mmy: = 0, stąd =. Ztem 4y+ = 0, stąd 4 4y =, 6 y =. CKA 00. Plik pobrny ze strony - Mtemtyk rozwiązni zdń Str mtur Woj. Śląskie stron 4

5 Ztem punkt 6 P,. Wykorzystując wzór n środek odcink AB znjdujemy współrzędne wierzchołk A: A+ ya 6 =, =, A 6 =, ya = +. Ztem A 9 =, ya =. Pozostło do obliczeni pole trójkąt: S = CD AB. Długość CD obliczymy, jko odległość wierzchołk C od prostej AB CD = = = Ntomist: AB = + + = + = = 8. Osttecznie pole wynosi: S = 88 =. ROZWIĄZANIE ZADANIA. Mmy: n n n = +, ( ) ( ) n+ = n+ + n+ = n n + n+ = n. Ztem: = n + n n+ = n+ < dl kżdego n N. n+ n 0 Poniewż n+ < n dl kżdego n N, więc ciąg jest mlejący. ) Zgodnie z wrunkmi zdni, mmy: 6 = 6+ = 7, = 4+ 4 =. b Ztem: b = 7, b =, więc q= = = b 7 9 Mmy, więc b n n 7 n n = bq = 7 = = = n n 9 9 Ztem sum nieskończenie wielu wyrzów tego ciągu, wynosi:. dl kżdego n N. CKA 00. Plik pobrny ze strony - Mtemtyk rozwiązni zdń Str mtur Woj. Śląskie stron

6 b S = = = =. q b) Zgodnie z wrunkmi zdni, mmy: 8 = =, = + 0 = 8. Otrzymujemy więc ukłd równń: c c 4 =, = 8, czyli: c + r =, c + r = 8, stąd po odjęciu stronmi r =, czyli r =, więc c = 7. Obliczmy jeszcze równnie: S n = 60, ( ) c+ n rn = 60, ( n ) 4+ n= 0, ( ) 7+ n n= 0, stąd n 7n 0= 0 n 9n 40= 0, = = 68, = 4, 9 4 n = = < 0 - odrzucmy n 9+ 4 = = 40. Odp. Nleży zsumowć 40 wyrzów ciągu ( c n). CKA 00. Plik pobrny ze strony - Mtemtyk rozwiązni zdń Str mtur Woj. Śląskie stron 6

7 ROZWIĄZANIE ZADANIA 4. S Krwędź boczną SC, wyliczymy z twierdzeni Pitgors dl trójkąt SOC: D P h Q C SC = SO + OC, SC = SO + OC, SC = h +. A O B Ztem: + + =, 4 4 h = 0, 8+ = 0. Zuwżmy, że wyrżenie m sens dl 0 0, czyli 0. Ztem podnosząc obustronnie do kwdrtu, mmy: = +, 0+ 7= 0, = 0, stąd = = 04, =, 40+ = = 6> 0 - odrzucmy 40 = = 4> 0. Ztem krwędź podstwy wynosi = 4. ) Ntomist V = h= 4 7 = 7. Z podobieństw trójkątów PQS i SOC, mmy: =, stąd h SC =, ztem 6=, = więc: CKA 00. Plik pobrny ze strony - Mtemtyk rozwiązni zdń Str mtur Woj. Śląskie stron 7

8 4 = - odległość środk wysokości od krwędzi. b) S PQ = AC, AC = 4, ztem PQ =. OR = DB = 4 =. 4 4 Wykorzystując twierdzenie Pitgors dl trójkąt D C SOR, mmy: SR = SO + OR, A P O R B Q SR = 8+ = 0, SR = 0. S = PQ SR = 0 =. ROZWIĄZANIE ZADANIA. SPOSÓB. y y = + 0 Obliczmy liczbę wszystkich zdrzeń elementrnych Ω= =, Zliczjąc z rysunku wszystkie elementy leżące pod prostą i n prostej y = +, mmy: 9 A = 9. Ztem P( A ) =. CKA 00. Plik pobrny ze strony - Mtemtyk rozwiązni zdń Str mtur Woj. Śląskie stron 8

9 y Zliczjąc z rysunku elementy leżące wewnątrz i n y= + brzegu czworokąt, mmy: 6 B = 6, więc P( B ) =. 0 A B =, ztem P( A B ) = Pełne rozwiązni zdń oprcowł zespół Centrum Ksztłceni Akdemickiego CKA. Nie są to oficjlne rozwiązni. Nieutoryzowne rozpowszechninie cłości lub frgmentów rozwiązń zdń w jkiejkolwiek postci jest zbronione bez zgody CKA. Wykonywnie kopii metodą kserogrficzną, fotogrficzną tkże kopiownie n nośniku filmowym, mgnetycznym lub innym powoduje nruszenie prw utorskich niniejszej publikcji. CKA 00. Plik pobrny ze strony - Mtemtyk rozwiązni zdń Str mtur Woj. Śląskie stron 9

10 Wydwnictwo CKA polec dl mturzystów Mtemtyk now mtur - 00 zdń z pełnymi rozwiąznimi i komentrzmi cz.ii. Dl przyszłych studentów gorąco polecmy książki nszego wydwnictw. Możn je zkupić bezpośrednio u ns w korzystnych cench! N nszej stronie znjdziecie przykłdowe zestwy egzmincyjne n wyższe uczelnie techniczne. Serdecznie zprszmy! Jest to nowe wydnie nszej książki Mtemtyk. Zbiór zdń z rozwiąznimi z egzminów wstępnych n wyższe uczelnie techniczne. W nowym wydniu zostł zmieniony i poprwiony ukłd książki, dodno temty egzmincyjne z 00 roku n wyższe uczelnie techniczne orz nowe uczelnie w Polsce. Publikcj t jko jedyn n rynku stnowi zbiór oryginlnych zdń z egzminów wstępnych n Wyższe Uczelnie Techniczne w Polsce z lt z pełnymi rozwiąznimi, obejmujący nstępujące uczelnie: Akdemię Górniczo-Hutniczą w Krkowie, Wojskową Akdemię Techniczną w Wrszwie, Politechnikę Krkowską, Politechnikę Łódzką, Politechnikę Śląską Politechnikę Częstochowską (lt 00 i 00), Politechnikę Poznńską (rok 00), Politechnikę Wrocłwską (lt 00 i 00) orz zdni przygotowujące do egzminu wstępnego n Politechnikę Gdńską i Politechnikę Wrszwską. W książce znjduje się część teoretyczn zwierjąc niezbędny mterił do rozwiązywni zdń zilustrowny licznymi przykłdmi, obejmujący zgdnieni tkie jk: podstwowe dziłni i wrtość bezwzględn, wielominy, nierówności lgebriczne, funkcj wykłdnicz, funkcj logrytmiczn, funkcje trygonometryczne, funkcje cyklometryczne, ciągi liczbowe, plnimetri, stereometri, geometri nlityczn, funkcj i rchunek różniczkowy, rchunek prwdopodobieństw orz część prktyczn, n którą skłd się pond 440 zdń z pełnymi rozwiąznimi i komentrzmi. Książk m 40 stron! Niniejsz publikcj stnowi doskonłe kompendium wiedzy potrzebnej do skutecznego przygotowni się do egzminu wstępnego z mtemtyki n uczelnię techniczną. CKA 00. Plik pobrny ze strony - Mtemtyk rozwiązni zdń Str mtur Woj. Śląskie stron 0