Graniastosłupy mają dwie podstawy, a ich ściany boczne mają kształt prostokątów.

Transkrypt

1 GRANIASTOSŁUPY I OSTROSŁUPY Bryły czyli figury przestrzenne dzielimy na: graniastosłupy ostrosłupy bryły obrotowe Graniastosłupy i ostrosłupy nazywamy wielościanami Graniastosłupy mają dwie podstawy, a ich ściany boczne mają kształt prostokątów. Nazwa składa się ze słowa graniastosłup i słowa informującego, jaka figura jest w podstawie. Przykładowo: graniastosłup trójkątny to graniastosłup, który w podstawie ma trójkąt; graniastosłup czworokątny to graniastosłup, który w podstawie ma czworokąt itp. RYSUJEMY w rzucie, co znaczy, że na rysunku, niektóre figury wyglądają na inne niż są w rzeczywistości szczególnie jeżeli są to figury podstaw wtedy: - gdy mamy w podstawie jakikolwiek trójkąt rysujemy trójkąt niski, z wierzchołkiem przechylonym w jedną stronę; - gdy mamy w podstawie jakikolwiek czworokąt rysujemy go jako równoległobok albo romb. Krawędzie normalnie niewidoczne, rysujemy liniami przerywanymi. Tworząc nazwy, czasem używamy też słowa: prawidłowy. Przykładowo: graniastosłup prawidłowy trójkątny. Bryła prawidłowa to taka, która ma w podstawie figurę foremną (taką, która ma boki tej samej długości i kąty tej samej miary trójkątem foremnym jest trójkąt równoboczny, czworokątem foremnym jest kwadrat itp.) Graniastosłup prawidłowy trójkątny będzie więc miał w podstawie trójkąt równoboczny. Ponadto, dwa graniastosłupy mają nazwy specjalne: - prostopadłościan to graniastosłup, który ma w podstawie prostokąt, - sześcian wszystkie jego ściany i podstawy mają kształt identycznych kwadratów. 1

2 Ostrosłupy mają jedną podstawę, a ich ściany zbiegają się w jednym wierzchołku i mają kształt trójkątów. Nazwy tworzymy tak samo, jak nazwy graniastosłupów. Przykładowo: ostrosłup trójkątny to ostrosłup, który w podstawie ma trójkąt; ostrosłup czworokątny to ostrosłup, który w podstawie ma czworokąt itp. Ostrosłupy prawidłowe, podobnie jak graniastosłupy, mają w podstawie figurę foremną. Przykładowo: ostrosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie kwadrat. Ponadto, jeden ostrosłup ma nazwę specjalną: - czworościan foremny to ostrosłup, którego wszystkie ściany i podstawa są identycznymi trójkątami równobocznymi. Odcinki w wielościanach 2

3 Odpowiednie odcinki w graniastosłupach i ostrosłupach maja swoje nazwy: - boki podstaw nazywamy krawędziami podstawy ( na zielono), - pozostałe krawędzie bryły nazywamy krawędziami ścian bocznych (na czerwono), Wysokość graniastosłupa (H) jest równa długości krawędzi bocznych, wysokość ostrosłupa (H) (na niebiesko) to odcinek opuszczony z wierzchołka, prostopadle na podstawę: Przykład: POLE POWIERZCHI GRANIASTOSŁUPÓW I OSTROSŁUPÓW Wzór na pole powierzchni wielościanów jest wzorem ogólnym. Mając do czynienia z konkretną figurą należy go sprecyzować. Wzory ogólne dla graniastosłupów i ostrosłupów mają postać: Graniastosłupy: Ostrosłupy: gdzie: pole powierzchni całkowitej pole podstawy pole powierzchni bocznej jest sumą pól ścian bocznych By ułatwić sobie precyzowanie wzorów, należy narysować rysunek poglądowy i oznaczyć poszczególne elementy brył. Następnie zamiast symbolu Pp zapisujemy wzór na pole podstawy, którego postać będzie różna w zależności od tego, jaką figurę mamy w podstawie. Zamiast Pb zapisujemy wzory na pola poszczególnych ścian(prostokątów w przypadku graniastosłupa i trójkątów w przypadku ostrosłupa). Jeżeli mamy dwie lub więcej takich samych ścian, wzór na pole zapisujemy tylko raz i mnożymy przez ich ilość. Przykłady: - prostopadłościan 3

4 - ostrosłup prawidłowy czworokątny Wzór na pole powierzchni sześcianu jest na tyle prosty, że można nauczyć się go na pamięć, jednak gdybyśmy zapomnieli, można zawsze stworzyć go od podstaw, tak jak wzór na pole powierzchni innych brył: Gdy już zapiszemy wzór dla konkretnej bryły, wystarczy podstawić dane i wykonać obliczenia. Przykład: 4

5 Oblicz pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o krawędzi podstawy 6cm i wysokości 10cm. dane: wzór: OBJĘTOŚĆ GRANIASTOSŁUPÓW I OSTROSŁUPÓW Wzory na objętość brył podobnie, jak na pole powierzchni całkowitej, mają charakter ogólny i należy je precyzować, gdy mamy do czynienia z konkretną bryłą. Wzory ogólne dla graniastosłupów i ostrosłupów mają postać: 5

6 Graniastosłupy: Ostrosłupy: gdzie: objętość pole podstawy wysokość Precyzowanie wzorów dla konkretnych brył, wygląda tak samo, jak w przypadku pola powierzchni całkowitej. Przykład: Oblicz objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego, o krawędzi podstawy 3cm i wysokości 5cm. dane: wzór: Objętość otrzymujemy w jednostkach sześciennych. ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI: 1. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość sześcianu o krawędzi 10cm. 6

7 2. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość prostopadłościanu o długości 7cm, szerokości 4cm i wysokości 12cm. 3. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego o wysokości 6cm i krawędzi podstawy o długości 4cm. 7

8 4. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy 6cm, wysokości 4cm i wysokości ściany bocznej o długości 5cm. 5. Oblicz objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, jeżeli krawędź jego podstawy ma długość 9cm, a przekątna ściany bocznej ma długość 15cm. 8

9 6. Oblicz objętość sześcianu, jeżeli przekątna jego podstawy ma długość 8cm. 7. Pole podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkątnego wynosi, a wysokość ściany bocznej ma długość 3cm. Oblicz pole powierzchni całkowitej bryły. 9

10 8. Oblicz objętość prostopadłościanu, o wymiarach: 5cm x 0,3dm x 40mm. 9. Oblicz wysokość ostrosłupa, który ma w podstawie trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 10cm i 3cm, jeżeli jego objętość wynosi

11 10. Objętość sześciu identycznych sześcianów wynosi 48. Oblicz długość krawędzi sześcianu. 11