II. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ METODAMI ITERACYJNYMI 1

Transkrypt

1 II. ROZWIĄZYWANIE RÓWNAŃ METODAMI ITERACYJNYMI.. Wstęp W iiejszm rozdzile przedstwim metod rozwiązwi rówń miejsc zerowch tch rówń orz rozwiązwi ułdów rówń. W celu zilustrowi podstw metod itercjej do obliczeń umerczch rozwiążm stępujące rówie: >.. Wresem ucji jest: T α / - / - Rs... Ilustrcj metod itercjej wzczi miejsc zerowch Wzczeie rozwiązi rówi. sprowdz się więc do wzczei putów przecięci prboli z osią O. W rozwiąziu litczm mm więc:.. Jeśli jed wjdziem z dowolego putu blisiego jedemu z miejsc zerowch p. blisiemu putowi orz rsujem stczą T do tej prboli w pucie to przetie o oś O w pucie położom bliżej putu iż put strtow. Itercj łc. itertio to czość powtrzi zowu jeszcze rz jczęściej wielorotego tej smej istrucji lbo wielu istrucji w pętli tz. żdorzowm przesztłceiem w logicz sposób - oleje powtórzeie dej opercji odiesioe do rezulttu poprzediego jej wpełiei. Miem itercji oreśl się tże opercje wowe wewątrz tiej pętli. Czość itercji przedstwi pętl zpis w poiższm pseudoodzie: i pói i< wouj ii i przesocz do gór W pierwszej itercji otrzmm wrtość i w stępej i potem i i t dlej itercją jest powtrz tu czość czli zwięszie zmieej i o jede

2 Mm tże stąd otrzmujem: tgα '... ' Nstępie powtrzm procedurę strtując tm rzem z putu i zbliżm się do putu czli mm:... '.. Metodą itercją zwm więc procedurę obliczeiową tpu:..... w tórej strtujem z wrtości dej b obliczć stępie strtując z obliczm dąż itd. Wzór. zw się wzorem reurecjm. Procedur jest zbież jeśli ciąg { } do liczb sończoej jeśli ; jeśli ie to mówim że procedur jest rozbież. Przłd.. Wzczm miejsc zerowe pierwisti rówi.. ucj stąd jej pierwsz pochod: ' '.Wted też wzór reurecj m postć: - '... Jeśli ztem przłdowo przjmiem wrtość orz wstrtujem z putu to w olejch itercjch mm: Wrtość otrzm z lultor: Reurecj g. recursio z łc. recurrere przbiec z powrotem to w logice progrmowiu i w mtemtce odwołwie się p. ucji lub deiicji do smej siebie. Chrterstczą cechą ucji procedur reurecjej jest to że wwołuje o smą siebie. Drugą cechą reursji jest jej dziedzi tórą mogą bć tlo liczb turle. Njłtwiej zrozumieć mechizm dziłi reursji przłdzie sili: reurecj wzór obliczeie! zpisuje się w te sposób:!-! Ze wzoru tego wi że b obliczć p.! leż jpierw obliczć!. Ale żeb obliczć! trzeb obliczć! itd. ż dojdziem do! tóre j wiem wosi. Sposób obliczei! wgląd więc stępująco:!!!!!. Przłdow implemetcj ucji reurecjej obliczjącej! wgląd t: uctio sili :iteger: iteger; begi i or the sili: else sili:sili-; ed;

3 Rząd zbieżości metod itercjej Metod itercj m rząd zbieżości r jeżeli p M p < M <..5 Numercze szcowie zbieżości oreślm wzorem log p p r..5 log p p.. Metod umerczego zjdwi miejsc zerowch Zer miejsc zerowe pierwisti wielomiów pierwiste wielorot ieprzstego rzędu pierwiste wielorot przstego rzędu pierwiste pojedcz Rs... Zer wielomiu Jeśli jest miejscem zerowm pierwistiem ucji to.6 i jeśli g.6 to jest pierwistiem pojedczm gd zś to jest pierwistiem wielorotm rzędu. g.7

4 Metod ieiluzje metod stczch Newto metod itercji prostej metod sieczch Metod iluzje metod połowiei bisecji metod łszwej liii reguł lsi Metod Pegz Twierdzei. Niech C w przedzile [ b]. Wted [ b] ucji wted i tlo wted gd jest pierwistiem -rotm '... i.8. Jeżeli jest pierwistiem -rotm i ucj jest odpowiedio wsoiej ls to jest pierwistiem pojedczm ucji. Jeżeli ucj jest ciągł w przedzile [ b] przjmiej jede pierwiste w [ b] g '.9 twierdzeie Bolo i b < to m Ogól schemt metod itercjego zjdwi zer ucji. Przesztłceie rówi do postci poprzez podstwieie. gdzie jest ucją ciągłą i. Put ti że rówie jest spełioe zw się putem stłm. Często postć rówi jest jego postcią turlą ; wted mówim o metodzie itercji prostej. Iluzj zwierie zbiorów to relcj pomiędz dwom zbiormi polegjąc tm że żd elemet jedego zbioru jest jedocześie elemetem drugiego zbioru. O pierwszm z tch zbiorów mówi się że zwier się w drugim lub że jest jego podzbiorem o drugim - że zwier te pierwsz lub że jest jego dzbiorem. Smboliczie: A B A B Włsości:. Φ A. A B zwrotość A B B A A B tsmetri.

5 . Tworzm ciąg olejch przbliżeń... w złożeiu zbież do ti że. gdzie jest przbliżeiem początowm. T procedur jest zw procedurą itercją ucj ucją itercją.. Procedurę itercją ończm jeżeli oleje przbliżei różią się odpowiedio mło zbieżość lub woliśm msmlą liczbę roów br zbieżości. Metod Newto-Rphso metod stczch Metod Newto-Rphso jest często stosow do rozwiązwi rówń tpu.. Ozczm przez dołd wrtość poszuiwego pierwist rówi. zś przez wrtość zbliżoą do. Złdm że ucj może bć rozwiięt w szereg Tlor w otoczeiu putu. Wted mm: '' ξ '. gdzie ξ. Jeśli to z rówi. mm: '' ξ '. stąd gd ' otrzmujem: '' ξ.. ' ' W powższm wzorze możem pomiąć resztę '' ξ R.. ' Szereg Tlor ucji w pucie szereg potęgow tórego współczii utworzoe są z olejch pochodch ucji obliczoch w zdm pucie. Rozwiięcie ucji w jej szereg Tlor pozwl obliczć wrtości ucji w pewm otoczeiu bdego putu z dowolą dołdością z pomocą wrtości wielomiu. Wzór Tlor m duże zstosowie w obliczeich umerczch. Jeżeli ucj jest w pucie -rotie różiczowl to istieje ξ z przedziłu [mi m ] że: ξ!! ξ W powższm wzorze R zwm resztą Lgrge'.! 5

6 i wted prw stro rówi. ie reprezetuje już wrtość dołdą pierwist le pierwiste przbliżo - poprwio w stosuu do czli mm: stąd ' b '.5..5 T α Rs... Metod Newto-Rphso; ilustrcj metod b estrpolcj liiow Jeśli procedurę tę będziem powtrzć to otrzmujem wzór reurecj '....5b tór zw się wzorem reurecjm Newto-Rphso. Z putu widzei geometrczego metod t opier się estrpolcji 5 liiowej. Wchodząc z putu blisiego pierwistowi estrpolujem stczą w pucie ż do jej przecięci się z osią O w pucie. Mjąc tgα '.6 gdzie. Wted zjdujem wzór.5b. Jest oczwiste że metod t jest zbież do wrtości szuej. Metod Newto jest zwsze zbież dl ucji wpułch i mootoiczch i ' > dl żdego. Metod Newto jest zbież wdrtowo dl pierwistów pojedczch liiowo dl pierwistów wielorotch. 5 Estrpolcj w mtemtce - sposób oreśli wielości zmieej dl wrtości rgumetu wchodzącego poz grice jej zmi. 6

7 Przłd.. Obliczć wrtość odwrotą liczb czli wrtość woując tlo opercje dodwi odejmowi i możei. Poszuujem ztem liczb stąd mm rówie czli poszuujem pierwist tego rówi. Ze wzoru Newto-Rphso mm: ' Z powższego wzoru otrzmujem: Przłdowo przjmujem 7 orz put strtow. i ie woując dzielei w powższm wzorze reurecjm otrzmujem oleje przbliżei: W rozwiąziu dołdm mm: Przłd.. Rozwiązć rówie e. Rówie to możem przesztłcć do różch postci otrzmując róże wzor reurecje Rs... Wres ucji e Z rówi wjściowego otrzmujem e e ' e e 7

8 e Rs..5. Wres ucji e Ze wzoru Newto-Rphso mm:... e e e e ' Możem rówież podstwić i wted z rówi strtowego otrzmujem: e e e g g@d ghl-e Rs..6. Wres ucji g e Nstępie ze wzoru Newto-Rphso mm:... e e e ' g g b 8

9 Logrtmując stromi rówie strtowe mm tże: l l l ' l l Rs..7. Wres ucji l Nstępie ze wzoru Newto-Rphso mm: l ' l... c Mm ztem trz róże wzor reurecje do tego smego rówi. We wzorch b orz c ie m podoszei do wdrtu więc te wzor są lepsze. - przjmując we wzorze b put strtow. 6 otrzmujem oleje.8 przbliżei: przjmując we wzorze c put strtow. 8 otrzmujem oleje przbliżei: Tłumio metod Newto Jest metodą zpewijącą pewiejszą zbieżość p.7 ' gdzie p jest jmiejszą liczbą cłowitą tą że Przłd.. <..7 Wzczm miejsc zerowe pierwisti rówi. dl. ucj. 9

10 Rs..8. Wres ucji Pierwsz pochod tej ucji: tłumioej metod Newto m postć: ' '.Wted też wzór reurecj dl p ' p Wbierm put strtow p.. 5 i obliczm pierwsze przbliżeie dl p : i oieczie sprwdzm wrue.7: <.58 < <.5 czli wrue te jest spełio i wobec tego mm dlej: Wrtość tego pierwist otrzm z lultor ieszoowego.. Zmodiow metod Newto do zjdwi pierwistów wielorotch Jeśli zm rząd r pierwist to r.8 ' jeśli ie zm rzędu pierwist to [ ' ] [ ' ] '' '.8 prz czm w tm przpdu orgile rówie zstępujem rówiem. '

11 Przłd.5. Wzczm miejsc zerowe pierwisti rówi. Pierwsz pochod: ' '. H -L - - Rs..9. Wres ucji Według wzoru.8 mm oleje przbliżei strtując z. 5 dl rzędu r Metod putu stłego metod itercji prostej Putem stłm zwm ti put dl tórego.9 Złóżm że ucj oreślo jest w przedzile zmiętm Γ [ b] i spełi stępujące wrui: wrue o : b dl wszstich Γ wrue o : istieje pew stł L z przedziłu L t że L gdzie dowole Γ Prz tch wruch ucj m w Γ [ b] jede put stł gdzie jest gricą ciągu... i ie zleż od wboru putu strtowego Γ. Dl dowodu sprwdźm jpierw zbieżość ciągu { }. Według wruu o mm: L... L i dl > po podstwieiu...

12 orz stosując ierówość trójąt 6 :... L... L L L L... L gdzie worzstliśm wzór L L.... Dl żdego ε > istieje ztem tie L że < ε dl wszstich > tz. że ciąg { } jest ciągiem Cuch 7. Jest o zbież do gric tór zjduje się w Γ [ b] moc wruu o. Wżm terz że jest putem stłm. Wzór reurecj orz ierówość trójąt pociąg z sobą ierówość:. Jeśli gd i jeśli ucj jest ciągł otrzmujem że. Pozostje ztem tlo wzć że jest jedm putem stłm. W tm celu złóżm że może bć jeszcze i put stł. Mm ztem L i poiewż L < wi stąd rówość. Twierdzeie o istieiu putu stłego: 6 Nierówość trójąt ogól zw dl ierówości postci: c b b c gdzie jest pewą ucją zś b c są obietmi mtemtczmi. Nierówość trójąt jest jedm z sjomtów metri orz orm. Pochodzeie: Nzw ierówość trójąt pochodzi od zleżości międz bomi trójąt: długość dowolego bou trójąt ie przewższ sum długości dwóch pozostłch boów i oddje ideę że odstęp międz dwom obietmi ie przewższ sum odstępów tchże obietów od pewego obietu pośrediego. Przłd: Nierówość trójąt dl wrtości bezwzględej: b b Nierówość trójąt dl orm: b b Nierówość trójąt dl metri: d b d c d b c Przr osewecj dl żci codzieego: odległość z miejsc prc bezpośredio do domu jest miejsz iż z miejsc prc do domu zhczjąc po drodze o pub. 7 ric ciągu liczbowego to liczb do tórej wrz tego ciągu zbliżją się ieogriczeie. Mówiąc iczej począwsz od pewego wrzu wszstie stępe wrz ciągu leżą t bliso gric j tlo chcem. Ściślej: iech ozcz -t wrz ciągu { } i iech ε ozcz dowolie obrą liczbę dodtią. Jeśli prz żdm wborze ε> istieje liczb turlą N że dl wszstich więszch od N wrtości będą się różić od pewej liczb g o ie więcej iż ε to tę liczbę g zwiem gricą ciągu. ε R ε > N N > N g < ε. ricę ciągu ozczm smbolem: lim g Wrue Cuch'ego zbieżości Dl szeregów liczbowch zchodzi stępując wrue zbieżości pochodząc od Cuch'ego: Szereg liczbow jest zbież wted i tlo wted gd: ε > > N N N N i < ε i Jest to rówowże temu że ciąg sum częściowch ciągu { } jest ciągiem Cuch'ego.

13 Rówie posid przjmiej jedo rozwiązie w przedzile [ b] jeżeli: o - jest ucją ciągłą w przedzile [ b] o - [ b] dl wszstich [ b]. Twierdzeie o jedozczości putu stłego Rówie posid co jwżej jedo rozwiązie w przedzile [ b] jeżeli pierwsz pochod tej ucji jest w tm przedzile ogriczo w sesie Lipschitz tj. istieje t stł L że dl żdego i z przedziłu [ b] mm: ' L < L. ' < Jeżeli spełi wrui zwrte w obu twierdzeich to rówie m jedo i tlo jedo rozwiązie w przedzile [ b] twierdzeie o jedozczości Metod itercji prostej jest ogół rzędu pierwszego. W tm przpdu zchodzi zbieżość i wrue o jest spełio zbieżość jedostj. W tm przpdu zchodzi zbieżość i wrue o jest spełio zbieżość osclcj. b b b b Rs... Iterpretcj geometrcz putu stłego dl przpdu ' < Rs... Iterpretcj geometrcz putu stłego dl przpdu < '

14 b b b b W tm przpdu zbieżość jest możliw le wrue o ie jest spełio rozbieżość. W tm przpdu zbieżość jest możliw le wrue o ie jest spełio rozbieżość osclcj Rs... Iterpretcj geometrcz putu stłego dl przpdu ' > Ab zstosowć metodę putu stłego do zjdwi miejsc zerowch ucji jedej zmieej leż ucję. przesztłcić do postci:. i stępie zstosowć wzór reurecj.... Przłd.6. Rozwiązć itercje rówie wdrtowe stosując metodę putu stłego Rs... Wres ucji

15 Rówie zpisujem w postci: i otrzmujem wzór reurecj. b Pochod tej ucji '. i możem oczeiwć zbieżości ciągu b jeżeli tlo przjmiem młą wrtość putu strtowego p. wted '. <. Nstępie obliczm:.... itd. stąd przjmujem miejsce zerowe.. Do wzczei drugiego pierwist rówi zpisujem je w stępującej postci: c i jeśli tlo poszuiw pierwiste jest róż od zer to rówie c możem podzielić przez. Wted otrzmujem wzór reurecj: d Pochod tej ucji ' i możem oczeiwć zbieżości ciągu d jeśli tlo będzie miło dużą wrtość p.. Wted też obliczm: itd. Ztem przjmujem że drugim miejscem zerowm jest Metod sieczch Rs... Ilustrcj metod sieczch 5

16 Wzór reurecj: p p p p p. p p 5 Rząd zbieżości metod sieczch wosi r. 6. Metod sieczch ie musi bć zwsze zbież. Dl pierwistów wielorotch ucję zstępujem przez [ ] h. Metod łszwej liii reguł lsi. Strt z i tich że < róże zi. Do obliczei stępego stosujem zmodiow wzór metod sieczch q p p p p.5 q gdzie q jest jwięszą liczbą cłowitą ie więszą iż p tą że p q < tj. ucj m róże zi w putch p i q ztem pierwiste musi zwierć się w przedzile [ p q ] jeżeli ucj jest ciągł. Metod m gwrtową zbieżość ucji ciągłch le jej rząd w ogólości wosi wol zbieżość. p Metod Pegz Rs..5. Ilustrcj metod pegz Wzór reurecj tej metod:.6 6

17 Algortm metod Pegz:. Strtujem j w metodzie łszwej liii z i tich że róże zi <. Obliczm put zgodie z lgortmem metod sieczch. Jeżeli < ε to ończm proces itercj. Jeżeli < to pierwiste leż międz i wted podstwim i i przechodzim do stępego rou. Jeżeli < to pierwiste leż międz i i wted zstępujem we wzorze metod sieczch przez i wliczm jeszcze rz i podstwim 5. Sprwdzm cz < ε. Jeśli t to z rozwiązie przjmujem jeżeli < < w przeciwm przpdu przjmujem. Rząd zbieżości metod Pegz wosi.6. Metod połowiei bisecji Rs..6. Ilustrcj metod bisecji Algortm metod bisecji:. Strtujem z tich i że <. Obliczm. Jeżeli < ε to ończm proces itercj. Jeżeli < to wstwim w przeciwm przpdu wstwim i. Metod bisecji jest rzędu pierwszego. 7

18 Ie metod zjdwi zer. Metod Aderso-Björc rząd zbieżości od.68 do.7 iluzj j metod Pegz le z ią ormułą obliczi ; jeżeli > orz w przeciwm przpdu.. Metod Kig rząd zbieżości od.7 do.7 iluzj w odróżieiu od metod Pegz po żdej itercji metod sieczej stępuje itercj z modicją.. Metod Aderso-Björc rząd zbieżości od.7 do.7 iluzj ormuł Aderso-Björc obliczi ze schemtem itercjm Kig.. Metod Illiois rząd zbieżości. iluzj j metod Pegz le. Zjdwie wszstich pierwistów rówń lgebriczch wielomiów P....7 Metod Muller: Lolizujem pierwiste o jmiejszm module Po zlezieiu jego przbliżoej wrtości dzielim wielomi przez igorujem resztę z dzielei stępie szum stępego pierwist ż do rzędu Po zlezieiu przbliżeń wszstich pierwistów porządujem je od ow od wrtości jmiejszej do jwięszej i powtrzm cl procedur Wiliso Przbliżei poszczególch pierwistów poprwim stosując jąolwie metodę szbo zbieżą p. Newto. Do eetwego zjdwi dobrch przbliżeń pierwistów brdzo dobrze dje się metod itercji Muller w tórej wielomi iterpoluje się odcimi prboli. Pozwl to lolizcję zrówo pierwistów rzeczwistch j i zespoloch... Metod Newto-Rphso dl dwóch iewidomch Ułd rówń liiowch dl dwóch zmiech iezleżch :.8 Wbierm rozwiązie przbliżoe tz. przbliżeie początowe i podstwim: ε τ.9 8

19 jo rozwiązie ułdu.8. Rozwijm w szereg Tlor w otoczeiu putu z jedoczesm podstwieiem.9: R R τ ε τ ε τ ε τ ε. lub w zpisie mcierzowm: R R τ ε. Jeśli istieje mcierz odwrot. to R τ ε. sąd otrzmujem: R. Pomijjąc resztę mm rozwiązie przbliżoe tóre moż brć jo put strtow stępego przbliżei itercji:.b Stąd mm wzór reurecj Newto-Rphso dl dwóch iewidomch:. 9

20 Przłd.7. Rozwiązć rówie si Woujem podstwieie: si b i wted moż zstosowć wzór reurecj ' si cos c Woujem rsue: si Rs..7. Wres ucji si z tórego obierm szcuową wrtość putu strtowego:. Wzczm oleje przbliżei: si.99 si cos cos.99.9 si.9.9 cos Numercze rozwiązie dołde procedurą idroot Woujem podstwieie stąd mm si si d e

21 Po policzeiu pochodch mm wzór reurecj: cos Jo pu strtow wbierm z rsuu: si i wted si.8 g h Obliczm mcierz odwrotą 8 : A cos i cos [ A ] [ A ] ij ij T cos j i wted A cos cos Z rówi otrzmujem: cos [ si ] si cos l i jest to wzór c orz cos cos [ cos si ] cos cos si m Po olejch itercjch otrzmujem: Mcierz odwrot A mcierz wdrtowej A deiiuje się jo A D A pod wruiem że mcierz A A jest mcierzą ieosobliwą tz. gd A gdzie mcierz dołączo D A mcierz wdrtowej A jest mcierzą trspoową mcierz utworzoej z dopełień lgebriczch mcierz A czli: D [ ] T dopełieie lgebricze i j A ij M ij d A A gdzie i jest to mcierz wdrtow tego smego stopi co mcierz A. ij

22 .. Estremum ucji dwóch zmiech Niech będzie d zbiór płsi A i zbiór liczb Z. Jeżeli żdemu putowi zbioru A jest przporządow według pewego przepisu pew liczb z ze zbioru Z to mówim że zostł oreślo w zbiorze A ucj dwóch zmiech o wrtościch z leżącch do zbioru Z. Liczb z jest zmieą zleżą tą że z. - płszczz z b c dl b c z Rs..8. Wres ucji z b c - prboloid obrotow z 5 z Rs..9. Wres ucji z

23 - ul o promieiu i środu w początu ułdu współrzędch z z Rs... Wres ucji z - wielomi z z - Rs... Wres ucji z Różicz ucji dwóch zmiech d d d d d ' ' z z. d d d d d d d d d dd d z z.5

24 Estrem ucji dwóch zmiech Wruiem oieczm to b ucj z różiczowl w pucie mił estremum lole w pucie jest zchodzeie rówości ' '.6 Wrue wstrczjąc: Jeśli wróżi ucji W '' [ ] '' ''.7 w pucie jest: orz pochod W.8 > '' <.9 to ucj z posid msimum lole w pucie gd zś '' >.9 to ucj z posid miimum lole w pucie. d W. < ' ' prz to ucj ie m estremum w pucie. Przłd.8. Zleźć estremum ucji z ' ' 6 Podstwijąc do pierwszego rówi mm: A orz B Podstwijąc do pierwszego rówi mm: C orz D

25 Obliczm drugie pochode: '' '' ' ' W Stąd w tm pucie mm msimum orz w tm pucie mm miimum orz w tm pucie ie m estremum w tm pucie ie m estremum '' '' < > > > < < W D W W C W W WB W A W Numercze wzczie estremum ucji dwóch zmiech z Rozwijm ucję z w szereg Tlor w otoczeiu putu otrzmując R. Ab ucj z mił estremum musi bć spełio wrue.6 stąd mm pomijjąc resztę z. lub w zpisie mcierzowm [ ] [ ] S. gdzie mcierz S.b jest mcierzą smetrczą tz. S S T.c 5

26 Wted też jej wrtości włse 9 λ orz λ są liczbmi rzeczwistmi orz istieje mcierz ortogol P t że T λ P S P.. λ Wted otrzmujem: T λ [ ] P λ λ P λ. gdzie P. Zi wrtości włsch λ orz λ oreślją bdą ucję w pucie stępująco: λ λ > > ucj z m miimum w pucie λ λ < < ucj z m msimum w pucie z λ λ ucj z m siodło w pucie λ λ ucj z m rę w pucie λ λ ucj z m tuel w pucie λ λ leż bdć wrz wższego rzędu w rozwiięciu ucji z w szereg Tlor 9 Mcierz chrterstcz mcierz A jest to mcierz A λ E. Wielomi chrterstcz: W d λ A λ E λ... λ λ Pierwisti rówi chrterstczego A λ E zw się wrtościmi włsmi mcierz wdrtowej A. 6

27 Przłd.9. Zleźć estremum ucji z z.5.5 Rs... Wres ucji z Pochode: Stąd mm: 5. orz czli w tm pucie ucj może mieć estremum. Drugie pochode: stąd też mcierz S. Mcierz chrterstcz λ λ λ λ E S orz wielomi chrterstcz 6 λ λ λ λ λ λ λ λ E S d W stąd orz > > λ λ czli w pucie.5 ucj osiąg miimum lole. 7

28 Zstosowie metod umerczej Newto-Rphso dotczć będzie tlo wzczi putów w tórch ucj może mieć estremum czli wzcziu miejsc zerowch ułdu rówń.6 czli: Worzstujem ztem wzór..5 Wbierm put strtow p..5 i obliczm: orz.5.5. Stąd wi że wstrcz woć jede ro b uzsć rozwiązie dołde. Wi to z tego że pochode są ucjmi liiowmi. Wrz tórch rząd jest więsz lub rów dw reduują się we wzorze. stąd wzór. dje rozwiązie dołde już w pierwszm rou itercji. Przłd ucji dwóch zmiech ie mjącch estremum: siodło ; z z -5 5 Rs... Wres ucji z 8

29 r ; z z Rs... Wres ucji z tuel ; z z Rs..5. Wres ucji z.5. Zbieżość metod Newto-Rphso We wzorze reurecjm Newto-Rphso możem przjąć że czli ucj....5 ' g g.5..5b ' 9

30 Niech g ' < dl wszstich putów blisich pierwistowi rówi orz wrui o - jest ucją ciągłą w przedzile [ b] orz o - [ b] dl wszstich [ b] twierdzei o istieiu putu stłego będą spełioe. W te sposób zchodzi zbieżość ciągu { } do pierwist rówi. Poszuując w przedzile [ b] zuwż się przede wszstim że z ierówości g ' < wi: ' '' ' g <..6 ' [ ' ] Złóżm terz że dl wszstich [ b] zchodzi: ' m > '' < M.7 Nstępie rozwijm ucję w szereg trz pierwsze wrz w otoczeiu putu otrzmując: ' '' ξ.8 gdzie ξ. Poiewż dl to z powższego mm: ' '' ξ.8 i stępie po podzieleiu stromi tego rówi przez ' otrzmujem: ' '' ξ '..9 Ze wzoru Newto-Rphso.5 mm tże że i wted otrzmujem: ' '' ξ '.5..5 Jeśli '' M orz ' m > to mm ierówość: M m..5

31 Z powższej ierówości stwierdzm ztem że błąd -tego przbliżei jest proporcjol do wdrtu tego przbliżei. Z tego też powodu metodę Newto- Rphso zw się metodą itercją drugiego rzędu. Jeśli podstwim M C to z ierówości.5 otrzmujem: m 7 8 C C C... C..5 d tlo to otrzmujem ierówość: b.5 [ C b ] C b C Zchodzi ztem zbieżość do rozwiązi jeśli M m b <.55 co osiąg się zwsze wbierjąc przedził [ b] dostteczie mł tz. ti b m b <..55 M.6. Metod Picrd rozwiązwi rówi różiczowego Poszuujem rozwiązi rówi różiczowego z wruiem griczm ' Jeśli jest ucją ciągłą to ucj h [ ] d.57 istieje dl żdej ucji ciągłej. Ab ucj bł rozwiąziem rówi.56 trzeb i wstrcz żeb [ ]d..57

32 Ztem rozwiązie rówi.56 sprowdz się do wzczei putu stłego rówi.57 tz. do wzczei ucji tiej że h. Wchodząc ztem z ucji stłej moż bdć cz ciąg { } ucji [ ]d jest zbież do putu stłego. Jeśli w metodzie tej będzie zchodził oieczość wzczi dużej liczb iesończoej cłe ieozczoch to wted obliczei umercze będą w ogólości utrudioe. Przłd.. Stosując metodę Picrd rozwiązć rówie ' z wruiem griczm. b Wchodzim z wrtości ucji te ides zero ozcz put strtow ie wrtość ucji dl i wted mm wzór reurecj.58 w stępującej postci: Ztem olejo otrzmujem: d d.... c d! d!! i po stępch cłowich mm: Rozwiązie litcze: d W rówiu możem rozdzielić zmiee w stępując sposób ' : d d d d l C C e C e d Z wruu griczego b otrzmujem: C C i ostteczie e.

33 Ztem ciąg { } Tlor ucji e.... d!!! jest zbież do putu stłego i wted uwzględijąc rozwiięcie w szereg... otrzmujem w rozwiąziu rówi :!!!! e e lim. e.7. Algortm Jcobiego Algortm Jcobiego jest itercją metod rozwiązwi ułdu rówń liiowch tpu A b.59 gdzie: A [ ] ij b b b b Jeśli elemet leżące przeątej ii to i-te rówie i... możem podzielić przez elemet ii orz rozwiązć te rówie ze względu iewidomą i. Sposób te wi z stępującego rozumowi: dl i-tego wiersz rówi.59 mm: i i... i i i ii i i i i... i bi.6 stąd i i i i i i i i... i i... ii ii ii ii ii b i ii..6 Prwą stroę rówi.6 możem uzupełić wrzem i z zerową wrtością współczi czli mm: i i i i i i i i... i i i... ii ii ii ii ii bi ii..6b W te sposób ułd rówń.59 przesztłcm do stępującej postci: gdzie: A b.6

34 b... b... A b b b... Ztem problem rozwiązi ułdu rówń.59 zostł sprowdzo do problemu wzczei putu stłego ułdu rówń b A..6 Wzór reurecj... metod putu stłego możem w tm przpdu zpisć mcierzowo w stępującej postci: A b Jeśli złożm że elemet mcierz A leżące jej przeątej są elemetmi domiującmi tz. gd ii > i i i....6 to wted dąż do jedego rozwiązi wchodząc z dowolego wetor początowego strtowego. Dl jsości zpisu zstępujem jpierw -te przbliżeie wetor przez ozczeie - rezerwując w te sposób dol ides do słdowej tego wetor czli ozcz -te przbliżeie i-tej słdowej iewidomej wetor. Jeśli elemet digole są domiujące to istieje mcierz A i ułd rówń.59 m bez dowodu dołdie jedo rozwiązie. Możem terz podstwić dl -tego przbliżei i ε.65 gdzie jest wetorem -tego przbliżei wzczm według wzoru reurecjego.6 zś ε jest wetorem błędu prosmcji wetor. Mm ztem ε A ε b..66 Jeśli terz uwzględim.6 to z powższego rówi otrzmujem: ε A ε..67 ij d w mcierz [ ] C < C < t że A elemet digole są domiujące to istieje t stł

35 ij j i j C < i Niech ε j będzie j-tą słdową wetor błędu ε. Poiewż to ε j ji ε i i.69 ε j ji ε i m ε i ji m ε i C..69 i i... i i... Mm ztem m ε j... j m ε i... i C m ε i... i C... m ε i... i C.69b i jeśli < C < to ciąg gd dl dowolej wrtości strtowej wetor. Przłd.. Rozwiązć stępując ułd rówń liiowch: 8 z 8 z 6 z 8 Elemet digole są domiujące więc możem zstosowć lgortm Jcobiego. Według.6: z 8 8 z b z 6 Wchodząc z putu strtowego p. z otrzmujem: z z z c Rozwiązie dołde: z. 5

36 .8. Numercze wzczie mcierz odwrotej Algortm Jcobiego może bć stosow do poprw odwrotości umerczej mcierz. Niech A jest mcierzą regulrą zś A jej mcierzą odwrotą dołdą. Złóżm że zm umerczie wzczoą mcierz odwrotą X ~ przbliżoą z błędem zorąglom do mcierz A. Poszuujem wzoru reurecjego pozwljącego poprwić mcierz X ~. Możem ztem zpisć: ~ X A I E.7 gdzie I jest mcierzą jedostową zś E ε ] jest mcierzą błędów w ogólości ε <<. [ ij Jeżeli terz ozczm dołdą wrtość mcierz odwrotej A przez X to otrzmujem: ~ ~ X A X X X E X.7 stąd mm rówie dl mcierz X w postci putu stłego: ij Jeśli j ~ X E X X..7 ε C < i....7 ij to wrui stosowi lgortmu Jcobiego są spełioe i wted otrzmujem wzór gdzie X ~ X. X E X X Przłd.. Woć dwie itercje do poprw umerczie wzczoej mcierz odwrotej X ~ względem mcierz A jeśli: ~. A X.5.. Złóżm stłą wrtość błędu ε. 5. Ztem w pierwszm rou itercji mm: ij X E X X orz w drugim b X E X X c Wrtość dołd A..5 6