FALKOWA, WIELOROZDZIELCZA ANALIZA SIATEK POWIERZCHNI

Transkrypt

1 STUDIA INFORMATICA 2005 Volume 26 Number 4 65 Agneszka SZCZĘSNA Poltechnka Śląska, Instytut Informatyk FALKOWA, WIELOROZDZIELCZA ANALIZA SIATEK POWIERZCHNI Streszczene. Artykuł przedstawa ogólny ops konstrukc zastosowań falek w welorozdzelcze analze trókątnych satek powerzchn obektów 3D. Falk te powstaą z wykorzystanem technk podzału powerzchn, co umożlwa przedstawene powerzchn w welu pozomach rozdzelczośc. Opsany został równeż sposób uogólnena falek perwsze generac w falk druge generac wraz ze schematem lftngu ako narzędzem ch konstrukc. Słowa kluczowe: falka, analza welorozdzelcza, schemat lftngu, falk druge generac, podzał powerzchn WAVELET-BASED MULTIRESOLUTION ANALYSIS OF SURFACE MESHES Summary. Ths paper presents general descrpton of constructon and usng wavelets n multresoluton analyss of trangular surface meshes of 3D obects. Introduced wavelets are bult from subdvson surfaces whch enable to obtan surfaces n dfferent levels of resoluton. The generalzaton to the second generaton wavelets from frst generaton ones wth lftng scheme as constructon tool was also presented. Keywords: wavelet, multresoluton analyss, lftng scheme, second generaton wavelets, subdvson surfaces. Wprowadzene Obekty 3D maą obecne wele zastosowań grafka komputerowa, medycyna, gry, symulatory, naukowe wzualzace, proektowane systemy CAD, GIS, systemy wrtualne rzeczywstośc, archtektura tp. Coraz lepsze systemy pozyskwana model

2 44 A. Szczęsna trówymarowych np.: laserowe skanery 3D powoduą, że modele składaą sę z mlonów welokątów [6]. Tak złożone obekty muszą byś przetwarzane, przechowywane, wzualzowane, anmowane, przesyłane analzowane, co est bardzo kosztowne. Dlatego prowadzone są badana nad budową welorozdzelczych model [5], które umożlwaą reprezentacę przetwarzane danych geometrycznych w różnych pozomach szczegółowośc level-of- -detal, LOD [] w zależnośc od potrzeb aplkac rys welokątów welokąty 25 welokątów Rys.. Kolene pozomy szczegółów modelu Fg.. Level of detal of model 76 welokątów Welorozdzelcza analza falk stały sę w ostatnch latach bardzo popularne, zyskuąc coraz to nowe zastosowana. Po przetwarzanu sygnałów, dźwęku, obrazów aplkac wdeo teora falkowa znalazła mesce w "cyfrowym przetwarzanu geometr" dgtal geometry processng, DGP. Wymagało to stworzena narzędz, umożlwaących take operace na obektach trówymarowych, ak: usuwane szumów, kompresa, transmsa, wygładzane, wyostrzane enhancement, fltrowane, detekca, analza tp. [2, 3, 4]. Możlwe są równeż nne zastosowana falek w szeroko poęte grafce komputerowe []: globalne ośwetlene metoda generowana ośwetlena za pomocą blansu energetycznego radosty, anmaca, przetwarzane obrazów, renderng obętoścowy volume renderng, morfng morphng. Artykuł przedstawa ogólny ops konstrukc zastosowań falek w welorozdzelcze analze trókątnych satek powerzchn. Falk te powstaą z wykorzystanem specyfcznych technk podzału powerzchn subdvson surfaces, umożlwaących przedstawene powerzchn w welu pozomach rozdzelczośc, co stanow podstawową operacę DGP. Opsany został równeż sposób uogólnena falek tradycynych tzw. perwsze generac w falk druge generac wraz ze schematem lftngu lftng scheme, LS ako narzędzem ch konstrukc. Model Stanford Bunny pochodz z repozytorum skanów 3D, Unwersytetu Stanford

3 Falkowa, welorozdzelcza analza satek powerzchn Metoda podzału powerzchn Metoda podzału powerzchn tworząca powerzchne SDS nazwane tak od SubDvson Surfaces est alternatywą dla modelowana za pomocą powerzchn parametrycznych takch ak np.: B-splne, NURBS. Matematyczne wywodz sę z krzywych powerzchn skleanych splnes. Perwsze opracowana na ten temat pochodzą z roku 978 [24, 25], natomast karera powerzchn SDS w oprogramowanu grafk 3D zaczęła sę stosunkowo nedawno 997 r. od krótkometrażowego flmu Ger s Game frmy Pxar. Powerzchne SDS zastosowano równeż w nnych znanych produkcach flmowych, np. w A Bug s Lfe Toy Story 2 [7]. Metodę tę możemy podsumować następuąco: Podzał subdvson defnue gładką krzywą lub powerzchnę w skończone lczbe elementarnych kroków. Poedynczy krok rys. 2 polega na dodanu nowych werzchołków splttng oraz określenu współrzędnych pozostałych werzchołków averagng, zgodne z regułam algorytmu [8]. W przypadku powerzchn metoda ta polega na teracynym przetworzenu satk bazowe M 0, powoduącym zwększane lczby werzchołków M, M 2,... M, gdze M oznacza wynkową powerzchnę. W każdym kroku podzału werzchołek satk M est oblczany ako afnczna kombnaca werzchołków M. Jeżel V stanow macerz, które -ty wersz zawera współrzędne x, y, z werzchołka, to proces podzału możemy przedstawć następuąco: V Ps V gdze macerz P s charakteryzue metodę podzału subdvson matrx. M 0 M M 2 Rys. 2. Krok podzału składaący sę z dwóch częśc Fg. 2. A sngle subdvson step Metody podzału powerzchn możemy klasyfkować według następuących cech: a sposób wyznaczana werzchołków w powerzchn wynkowe: aproksymaca werzchołk początkowe ne znaduą sę w satce wynkowe, nterpolaca werzchołk satk bazowe znaduą sę w satce wynkowe, b rodza przetwarzane satk: trókątna, czworokątna,

4 46 A. Szczęsna c reguły przetwarzana werzchołków: ednolte eżel reguły przetwarzana maska dla wszystkch werzchołków są take same, neednolte eżel reguły przetwarzana zmenaą sę w zależnośc od położena lub wartoścowośc werzchołka, staconarne eżel reguły przetwarzana są take same w całym procese w każde terac podzału, nestaconarne eżel reguły przetwarzana werzchołków zmenaą sę w zależnośc od rozdzelczośc kroku terac schematu podzału, d klasa cągłośc generowane powerzchn C, C 2 td.. Przykładowe schematy podzału powerzchn [8]: Loop neednolty, staconarny schemat aproksymuący dla satk trókątne o wynkowe powerzchn klasy C 2, Butterfly ednolty, staconarny schemat nterpolacyny dla satk trókątne, klasa C, zmodyfkowany Butterfly neednolty, staconarny schemat nterpolacyny dla satk trókątne, klasa C, Catmull-Clark neednolty, staconarny schemat aproksymuący dla satk czworokątne o wynkowe powerzchn klasy C 2, Kobbelt neednolty, staconarny schemat nterpolacyny dla satk czworokątne o wynkowe powerzchn klasy C, 3 neednolty, staconarny schemat aproksymuący dla satk trókątne o wynkowe powerzchn klasy C Welorozdzelcza analza powerzchn Ogólna dea welorozdzelcze analzy powerzchn est bardzo prosta. Polega na podzale wysokorozdzelcze powerzchn na część o nższe rozdzelczośc resztę uzupełnaących detal współczynnk falkowe. Tak ak zostało przedstawone na rysunku 3, werzchołk satk a są oblczane ako średne ważone pozyc wybranych werzchołków satk b. Operaca ta est możlwa dzęk fltrom analzy A B. Take operace są rekursywne powtarzane, aż otrzymana zostane żądana rozdzelczość.

5 Falkowa, welorozdzelcza analza satek powerzchn 47 A A a B b B c współczynnk falkowe współczynnk falkowe Rys. 3. Welorozdzelcza analza satk powerzchn za pomocą fltrów A B Fg. 3. Multresoluton analyss of surface mesh wth A and B flters Operacą odwrotną do procesu analzy est synteza, czyl odtwarzane orygnalnego modelu z aproksymac nższe rozdzelczośc dodane detal. Umożlwaą to fltry syntezy F, G. W kontekśce rozdzału 2 można stwerdzć, że analza est odwrotnoścą metody podzału powerzchn subdvson surfaces. W pracy Lounsbery [9] wprowadzono klasę falek dla powerzchn posadaące tzw. subdvson connectvty, czyl połączena powstałe w procese podzału. Satk regularne otrzymano po zastosowanu algorytmów przebudowy satk remeshng do satek w nawyższe rozdzelczośc uzyskanych z orygnalnego zboru punktów chmura punktów uzyskana z urządzena weścowego, np.: skaner 3D. Przykładowe algorytmy to: algorytm wprowadzony przez Ecka nnych [8], MAPS [2], satk normalne normal meshes [22]. Tworząc analzę welorozdzelczą dla powerzchn, głównym zadanem est zaproektowane odpowednch fltrów syntezy analzy, tak aby: powerzchne w nższych rozdzelczoścach stanowły dobrą aproksymacę orygnału, welkość współczynnków falkowych stanowła użyteczną marę błędu wprowadzonego podczas przetwarzana, złożoność procesu analzy syntezy rosła lnowo względem lczby werzchołków. 4. Falk druge generac w analze welorozdzelcze satek powerzchn 4.. Falk druge generac Falk druge generac są pewnym uogólnenem klasycznych falek [27, 28] nazwanych falkam perwsze generac, które spełnaą warunek bortogonalnośc. Podczas konstrukc falek druge generac ne korzysta sę z transformaty Fourera oraz algebracznych operac translac przesunęć edne funkc podstawowe mother wavelet. Falk druge generac

6 48 A. Szczęsna mogą korzystać z welu funkc, ale mus zostać zachowana zależność, żeby bazowa funkca ednego pozomu stanowła skończoną, lnową kombnacę funkc wyższego pozomu rozdzelczośc. Gwarantue to możlwość zdefnowana zagneżdżonych przestrzen konecznych do opsana analzy welorozdzelcze. Schemat lftngu opsany w kolenym rozdzale est narzędzem konstrukc falek druge generac. Metoda została wprowadzona w 995 r. przez Sweldensa [2, 3, 4] ako uogólnene prac Donoho [5] Lounsbery [9]. Typowe przykłady wykorzystana falek druge generac: falk defnowane na ogranczonych skończonych dzedznach, falk na krzywych powerzchnach przykładem mogą być falk skonstruowane na sferze [6, 7], falk adaptacyne [26], falk z ważonym loczynem skalarnym weghted wavelets, falk zbudowane na neregularne próbkowanych zborach danych. Główną zaletą takego podeśca est możlwość zdefnowana analzy falkowe na właścwe dowolne strukturze danych przy zachowanu właścwośc falek perwsze generac, takch ak szybkość dobra zdolność aproksymac Schemat lftngu Schemat lftngu est narzędzem konstrukc falek może być stosowany w bardze uogólnonych falk druge generac sytuacach nż klasyczny bank fltrów. Schemat lftngu może zostać zastosowany w dwóch głównych koncepcach. Perwsza dotyczy metody konstrukc re-mplementac transformaty falkowe, druga zdolnośc do ulepszana słowo lftng oznacza tuta ulepszane, udoskonalane, poprawa własnośc stneące transformaty falkowe przez dodane pożądanych właścwośc np. momenty zerowe [8]. Omówony ponże schemat est używany w standardze JPEG Główne zalety schematu są następuące: oblczena mogą być przeprowadzane bez potrzeby alokac dodatkowe pamęc, wydaność metoda est szybsza nż klasyczny bank fltrów rys. 4, stnee prosta transformata odwrotna, ogólność możlwość zastosowana do konstrukc falek perwsze druge generac.

7 Falkowa, welorozdzelcza analza satek powerzchn 49 A 2 s 2 F s s B d 2 2 G Rys. 4. Implementaca transformaty falkowe za pomocą banku fltrów Fg. 4. Implementaton wavelet transform wth flter bank Schemat składa sę z trzech głównych kroków rys. 5 6: Podzał splt, S podzał weścowego zboru danych s, k na dwa podzbory o ndeksach parzystych s, 2k neparzystych s, 2k. Etap rozdzelena nazywany est w lteraturze transformatą lenwe falk lazy wavelet: s,2k, s,2k S s, k Odwrotną operacą est połączene merge, M dwóch podzborów. Predykca predct, P predykca zboru ndeksów neparzystych na podstawe próbek parzystych: d, k k s,2k P s, 2. Oblczone wartośc współczynnków falkowych d oznaczaą różncę mędzy aktualną wartoścą funkc a oblczoną na podstawe predykc. W zależnośc od potrzeb można użyć różnych bloków predykc, przykładowo: predykca lnowa nterpoluąca rys. 7, lnowa uśrednaąca, kwadratowa nterpoluąca rys. 7, kwadratowa uśrednaąca. Uaktualnene update, U oblczane wartośc danych w nższe rozdzelczośc: s s U d., k,2k, k s,2k - d,k s,k Podzał P U s,2k Rys. 5. Schemat lftngu Fg. 5. The lftng scheme s,k

8 50 A. Szczęsna d,k s,2k U P Połączene s,k s,k - s,2k Rys. 6. Odwrotny schemat lftngu Fg. 6. The nverse lftng scheme Rys. 7. Predykca nterpoluąca: po lewe strone nterpolaca lnowa, po prawe nterpolaca kwadratowa Fg. 7. Interpolaton predcton: on the left lnear nterpolaton, on the rght cubc nterpolaton Wszystke te oblczena mogą być wykonane bez wykorzystywana dodatkowe pamęc ponad pamęć przeznaczoną dla próbek. Transformata odwrotna rys. 6 wyznaczana est poprzez prostą zamanę kolenośc oraz znaków operac na przecwny. Podsumowuąc, możemy napsać równana transformaty w przód: odd odd even, even P even U odd S s gdze elementy parzyste even stanową dane wyścowe w nższe rozdzelczośc, a neparzyste odd wartośc współczynnków falkowych detal. Wyśce takego układu może stanowć weśce kolenego zestawu fltrów. 2

9 Falkowa, welorozdzelcza analza satek powerzchn 5 Transformata odwrotna ma postać: even odd odd U odd P even, even M s Metoda lftngu może być równeż użyta do mplementac lub dodana pewnych właścwośc do stneące uż transformaty falkowe. Analzę można rozpocząć z zestawem prostych fltrów bortogonalnych syntezy F, G oraz analzy A, B przekształcć e za pomocą macerzy L lft matrx, zgodne ze wzoram 4. Macerz współczynnków L możemy wybrać w zależnośc od dodawane właścwośc. Przykładem może być zwększene lośc momentów zankaących vanshng moments falk. F A lft G lft F G-FL T lft Blft A LB B T Zostało udowodnone [9], że każdy zespół komplementarnych fltrów o odpowedz skończone Fnte Impulse Response, FIR może być przedstawony ako skończona lczba kroków schematu lftngu Analza powerzchn 5.. Satk półregularne W lteraturze [9, 0, ] opsana est analza falkowa dla satek półregularnych, posadaących połączena powstałe z procesu podzału subdvson connectvty. Elementam weścowym są satka bazowa M 0 topologczne równoważna orygnalne powerzchn oraz parametryczna funkca Sx, która mapue punkty w przestrzeń trówymarową. Poszczególne krok analzy możemy przedstawć następuąco: A. Zdefnowane zagneżdżonych przestrzen funkc skaluących. Podstawowym elementem analzy welorozdzelcze est cąg domknętych przestrzen funkcynych kolenych aproksymac, takch że 0 2 V V V... 5 Posadaąc trókątną satkę bazową M 0, tworzymy satkę M za pomocą podzału każdego trókąta na trzy mnesze, dodaąc werzchołk w środku każde krawędz schemat podzału Loopa. Proces rekursywnego podzału przedstawa rysunek 8.

10 52 A. Szczęsna a b c Rys. 8. Rekursywny podzał. a M 0 b M c M 2 Fg. 8. Recursve subdvson. a M 0 b M c M 2 Wszystke werzchołk w M należą równeż do M. Dla każde satk M należy zdefnować przestrzeń V ako zestaw cągłych funkc, które są lnowe dla każdego trókąta satk. Przykładem take funkc skaluące może być funkca kapelusza hat functon w -tym werzchołku, która przymue wartość w tym werzchołku lnowo opada do zera w sąsednch werzchołkach. We wszystkch pozostałych werzchołkach przymue wartość 0. Dlatego możemy zapsać: V span{ ϕ x} lub w zapse macerzowym V span{ Φ x Tak opsane funkce na danym pozome rozdzelczośc powstaą z kombnac funkc skaluących poprzednego pozomu refnable, co gwarantue zagneżdżane przestrzen zdefnowanych ako rozpęce zboru tych funkc. Prowadz to do ogólnego równana: ϕ x ϕ x Ps 6 gdze P s oznacza macerz metody podzału subdvson matrx. Dowód znadue sę w pracy [9]. B. Wyznaczene loczynu skalarnego. Skonstruowane falk wymaga zdefnowana loczynu skalarnego dwóch funkc, których dzedzną est bazowa satka M 0. f, g f, g 0 x M f x g x dx τ Δ M 0 Pow τ x τ f x g x dx gdze: τ trókąt, Powτ powerzchna trókąta τ. W postac macerzy można zapsać: T f, g g I f 8 gdze I est macerzą loczynów skalarnych nner product matrcs, zaweraącą w -tym werszu loczyn skalarny funkc skaluące ϕ } z każdą nną funkcą skaluącą. Korzystaąc z wcześneszego równana 6, możemy napsać: I T Ps I Ps 9 7

11 Falkowa, welorozdzelcza analza satek powerzchn 53 C. Konstrukca falk subdvson wavelet. Falk stanową funkce bazowe przestrzen W, która est ortogonalnym dopełnenem V V V W 0 Do zdefnowana falek ortogonalnych należałoby za każdym razem wyznaczać współczynnk falkowe z równana Φ, Ψ 0. Możlwe est pewne uproszczene poprzez wprowadzene falk lokalne k-dsc, zgodne z następuącym wzorem rys. 9 ψ x ϕ x α ϕ x k N k k k gdze: N k sąsedztwo werzchołka, α k wartość współczynnka falkowego dla werzchołków, k w pozome rozdzelczośc. a b c d Rys. 9. Falk dla satek powerzchn. a Falka lenwa; b Falka 0-dsc; c Falka -dsc; d Falka 2-dsc Fg. 9. Surface wavelets: a a lazy wavelet; b a 0-dsc wavelet; c a -dsc wavelet; d a 2-dsc wavelet Współczynnk falkowe należy wyznaczyć, oblczaąc loczyn skalarny obu stron równana z funkcą skaluącą. Umożlwa to określene wartośc loczynu skalarnego tylko w wybranym sąsedztwe werzchołka. Powerzchnę w dane rozdzelczośc możemy zapsać w postac: S J J 0 0 x v φ x α ψ x 2 0 gdze: S J x funkca parametryczna opsuąca powerzchne w rozdzelczośc J, v 0 werzchołk satk bazowe M 0, φ funkca skaluąca dla werzchołka, α współczynnk falkowy dla werzchołka, ψ funkca falkowa dla werzchołka.

12 54 A. Szczęsna D. Implementaca za pomocą banku fltrów. Zgodne z zasadam proektowana fltrów analzy welorozdzelcze możemy napsać następuące równana [20]: Φ Φ Ψ Φ N N O O G F x N x O G F B A G F x x x α α 3 gdze: O werzchołk z poprzednego pozomu - w procese podzału, N nowe werzchołk dodane na pozome w procese podzału, α współczynnk falkowe dla werzchołków na pozome, F, G fltry syntezy, A, B fltry analzy, Φ macerz funkc skaluących, Ψ macerz funkc falkowych. Możlwe est tuta równeż zastosowane schematu lftngu w celu wprowadzena dodatkowych właścwośc do analzy rozdzał 4.2. Przymuąc, że V est macerzą werzchołków, a W macerzą współczynnków falkowych, można powyższe równana zapsać następuąco: W G V F V V B W A V V V B x V A x x S Ψ Φ 4 Opsany schemat dla satek półregularnych pozwala łatwo zbudować herarchczną strukturę potrzebną w welu praktycznych zastosowanach. Przykładowe struktury to: pramda falkowa [2], drzewo zerowe zerotree [4] Satk neregularne Perwszym zadanem w określenu schematu lftngu est wyznaczene sąsednch próbek, które będą używane w bloku predykc. Następnym problemem est określene sposobu predykc. Poneważ werzchołk maą różną wartoścowość lość krawędz wychodzących z werzchołka, ne est możlwe użyce takego samego schematu podzału dla całe satk,

13 Falkowa, welorozdzelcza analza satek powerzchn 55 tak ak to ma mesce w satkach regularnych. Ogólne, metodę możemy przedstawć w klku krokach: wybrane werzchołka, który zamerzamy usunąć. Warunk wyboru mogą być różne, np.: leżący w regone zanteresowań regon of nterest, ROI, leżący w namnesze komórce Vorono, o namnesze odległośc od sąsadów, o namnesze wartośc błędu kwadratowego Quadrc Error Metrc [23] blok podzału, oblczene współczynnka falkowego, uwzględnaące położene wybranego werzchołka ego k-nablższych sąsadów. W tym kroku możemy używać wag ze schematu podzału blok predykc, wygładzene powerzchn blok uaktualnena, usunęce werzchołka z trangulac, trangulaca Delaunaya obszaru po usunęcu werzchołka. Podczas proektowana poszczególnych bloków należy zwrócć szczególną uwagę na zagadnena zwązane z gładkoścą, klasą cągłośc wynkowe powerzchn, stablnoścą numeryczną falek oraz akoścą aproksymac błąd przyblżena. Równeż należałoby sę zastanowć nad skonstruowanem herarchczne struktury do reprezentowana welorozdzelcze satk. Należy pamętać, że współczynnk falkowe ne dotyczą punktu środka, a racze całego boku analzowanego trókąta. 6. Podsumowane Możlwość zastosowana falek druge generac do przetwarzana satek powerzchn dae dużo nowych możlwośc. Umożlwło to przede wszystkm zaadaptowane analzy falkowe w połączenu ze schematem podzału do budowy welorozdzelczych model z neregularnych statek otrzymywanych z weścowych urządzeń pozyskwana danych. Pozwolło to równeż na wyelmnowane wstępnego przetwarzana satk do postac regularne lub półregularne. Dużo problemów zostało eszcze do rozwązana, t.: przetwarzane satek z atrybutam kolor, dane pogodowe, tekstura tp., możlwość uzyskana wększe rozdzelczośc tylko w wyznaczonym obszarze modelu regon of nterest, ROI, możlwość zastosowana falek adaptacynych [26], wydane przetwarzane ęzyka zapytań selectve refnement szybke otrzymane satk z modelu o zadane rozdzelczośc [], sposoby przechowywana model welorozdzelczych powstałych z satek neregularnych, optymalzaca w celu umeszczena modelu na stronach WWW.

14 56 A. Szczęsna Prace nad rozwązanem podanych problemów są obecne bardzo ntensywne prowadzone na śwece. LITERATURA. Puppo E., Scopgo R.: Smplcaton, LOD and Multresoluton Prncples and Applcatons. EUROGRAPHICS' Daubeches I., Guskov I., Schröder P., Sweldens W.: Wavelets on Irregular Pont Sets. Royal Socety, Guskov I., Sweldens W., Schröder P.: Multresoluton Sgnal Processng for Meshes. Computer Graphcs Proceedngs SIGGRAPH 99, Khodakovsky A., Sweldens W., Schröder P.: Progressve Geometry Compresson. Computer Graphcs Proceedngs SIGGRAPH 2000, Clark J.H.: Herarchcal geometrc models for vsble surface algortms, The Dgtal Mchelangelo Proect, 7. DeRose T., Kass M., Truong T.: Subdvson Surfaces n Character Anmaton. Pxar Anmaton Studos. 8. Zorn D., Schröder P.: Subdvson for Modelng and Anmaton. SIGGRAPH 2000 Course Notes. 9. Lounsbery J.M.: Multresoluton analyss for surfaces of arbtrary topologcal type. Ph.D. thess. Department of Mathematcs, Unversty of Washngton, M.Eck, T.DeRose, T.Duchamp, H.Hoppe, M.Lounsbery, W.Stuetzle, Multresoluton Analyss of Arbtrary Meshes, SIGGRAPH Stollntz E.J., DeRose T., Salesn D.H.: Wavelets for Computer Graphcs: Theory and Applcatons, Sweldens W.: The Lftng Scheme: A new phlosophy n borthogonal wavelet constructons. Wavelet Applcatons n Sgnal and Image Processng III, Sweldens W.: The lftng scheme: A custom-desgn constructon of borthogonal wavelets. Appl. Comput. Harmon. Anal., Sweldens W.: The lftng scheme: A constructon of second generaton wavelets. SIAM J. Math. Anal., Donoho D.L.: Interpolatng Wavelet Transforms. Department of Statstcs Stanford Unversty, Schröder P., Sweldens W.: Sphercal Wavelets: Texture Processng. Renderng Technques, 995.

15 Falkowa, welorozdzelcza analza satek powerzchn Schröder P., Sweldens W.: Sphercal wavelets: Effcently representng functons on a sphere. Computer Graphcs Proceedngs SIGGRAPH 95, Jansen M., Oonncx P.: Second Generaton Wavelets and Applcatons. Sprnger, Daubeches I., Sweldens W.: Factorng Wavelet Transforms nto Lftng Steps. J. Fourer Anal. Appl., Stang G., Nguyen T.: Wavelets an Flter Bank. Wellesley-Cambrdge Press, Lee F., Sweldens W., Schröder P., Cowsar L., Dobkn D.: MAPS: Multresoluton Adaptve Parameterzaton of Surfaces. Computer Graphcs Proceedngs SIGGRAPH 98, Guskov I., Vdmce K., Sweldens W., Schröder P.: Normal Meches. Computer Graphcs Proceedngs SIGGRAPH 2000, Garland M., Heckbert P.: Surface Smplfcaton Usng Quadrc Error Metrcs. Computer Graphcs Proceedngs SIGGRAPH 97, Catmull E., Clark J.: Recursvely Generated B-Splne Surfaces on Arbtrary Topologcal Meches. Computer Aded Desgn 0, Doo D., Sabn M.: Analyss of the Behavour of Recursve Dvson Surfaces near Extraordnary Ponts. Computer Aded Desgn 0, Pella G., Hemans H.J.A.M.: Adaptve lftng schemes wth perfect reconstructon. IEEE Transactons on Sgnal Processng, Bałasewcz J.: Falk aproksymace. Wydawnctwo Naukowo-Technczne, Warszawa Wotaszczyk P.: Teora falek. Wydawnctwo Naukowe PWN SA, Warszawa Recenzent: Dr hab. nż. Mara Petruszka, Prof. Pol. Łódzke Wpłynęło do Redakc 8 lstopada 2005 r. Abstract Ths paper presents general descrpton of constructon and usng wavelets n multresoluton analyss of trangular surface meshes of 3D obects. Introduced wavelets are bult from subdvson surfaces whch enable to obtan surfaces n dfferent levels of resoluton. The paper consst the short ntroducton to subdvson technques whch are alternatve tool to constructon smooth curve and surface Fg. 2. The man classfcaton of subdvson methods are descrbed.

16 58 A. Szczęsna The general condtons of multresoluton surface Fg. 3 are presented wth detaled descrpton of constructon wavelet on sem-regular mesh wth subdvson connectvty. The man equaton of multresoluton analyss s derved 2. The generalzaton to the second generaton wavelets from frst generaton ones gve an opportunty to constructon wavelets on rregular meshes. It s descrbed wth lftng scheme Fg. 5, Fg. 6, a smple, but qute powerful tool to construct second generaton wavelets. The man deas for future exploraton are presented. Adres Agneszka SZCZĘSNA: Poltechnka Śląska, Instytut Informatyk, ul. Akademcka 6, 44-0 Glwce, Polska, agneszka.szczesna@polsl.pl.