9. Rozmyte systemy z bazami wiedzy

Transkrypt

1 Podstawy teor systemów rozmytych z zadanam 9. Rozmyte systemy z bazam wedzy 9.. Wprowadzene System ekspertowy lub system z bazą wedzy (ang. knowledge-based system), est tzw. ntelgentnym programem komputerowym, utworzonym dla rozwązywana konkretnych problemów (np. w medycyne, planowanu, rozpoznawanu) w oparcu o wbudowaną wedzę ekspercką procedurę wnoskowana, które to elementy wraz z odpowednm nterfesem są włączone w całość systemu nformatycznego (Nederlńsk, 006). Perwsze systemy ekspertowe powstały w druge połowe dwudzestego weku, w USA. yły to systemy: DENDRAL z bazą wedzy zaweraącą prawa reguły chemczne, system PROSPEKTOR wspomagaący pracę geologów oraz systemy medyczne MYCIN NEOMYCIN (Mulawka, 996). Istneące obecne systemy ekspertowe wykorzystuą nowoczesne, przyazne dla użytkownków technologe a ch zastosowane est różnorodne, np. w bankowośc, medycyne, automatyce, ochrone środowska welu nnych obszarach. Rozmyte systemy ekspertowe oparte są o logkę rozmytą teorę zborów rozmytych, zarówno modele wedzy ak procedury wnoskowana tych systemów. Tworzene rozmytych baz wedzy często nazywane est modelowanem rozmytym bazuącym na podeścu lngwstycznym, które est charakterystyczne dla sposobu formułowana problemów poszukwana rozwązań przez człoweka. Dlatego też rozmyte systemy z bazam wedzy zalcza sę do metod technk sztuczne ntelgenc. Na całość obecne wedzy w zakrese modelowana rozmytego systemów złożyło sę wele prac, na przestrzen dzesęcolec, przede wszystkm prace L. A. Zadeha (965, 973, 975, 979), Mamdanego Asslana (975), Tonga (978, 979), Larsena (980), Gupty (986), Czogały Pedrycza (98), aldwna (979), Tsukamoto (979), Mzumoto (98), Dubos Prade (979), Yagera (980), Fukam, Mzumoto Tanak (980), Sugeno, Takag Kanga (983, 988), Kacprzyka (986), Cholewy Czogały (989) oraz welu nnych autorów. Główny nurt zastosowań systemów rozmytych w wymenonych pozycach lteratury to sterowane dentyfkaca realnych procesów. Późnesze prace dotyczyły główne systemów neuronowo-rozmytych, wykorzystuących możlwośc uczena sec neuronowych. Perwszym tego typu systemem opracowanym przez Janga (993) był adaptacyny neuronowo-rozmyty system wnoskuący ANFIS. Na uwagę zasługuą też, wśród welu nnych, powstałe późne systemy neuronowo-rozmyte Łęskego Czogały ANNFIS (999) oraz Łęskego Henzela ANLIR (00). Powstały prace specalstyczne, pośwęcone modelowanu rozmytemu w określonym obszarze tematycznym, np. w dagnostyce (Korbcz, Koścelny, 07

2 Rozdzał 9. Rozmyte systemy z bazam wedzy Kowalczuk, Cholewa, 003), (Moczulsk, 00), (rynarska, 04) w welu nnych obszarach. Modelowane rozmyte w systemach z bazam wedzy (ang. knowledge-based systems), które będze tematem tego rozdzału, obemue dwa główne zadana: sformułowane modelu rozmytego badanego procesu, ako bazy wedzy (ang. knowledge base), sformułowane procedury wnoskowana (ang. reasonng procedurę). 9.. Rozmyty system wnoskuący SISO typu Mamdanego Wnoskowane zaproponowane przez Mamdanego Asslana est wnoskowanem, w którym reguły warunkowe są nterpretowane ako zdana połączone konunkcą. Modelowany proces (system SISO, ang. sngle-nput, sngle-output) est opsywany przy pomocy zmennych lngwstycznych, reprezentuących wybrane welkośc procesu, przyęte ako zmenna weścowa zmenna wyścowa (rys.9.). Lngwstyczna zmenna weścowa est określona przez pątkę: gdze gdze <x nazwa,l(x),x,g x,m x >, L(x) = {Lx, Lx,, Lx I } zbór wartośc lngwstycznych (termnów), X przestrzeń wartośc numerycznych zmenne, G-gramatyka, M - semantyka, przypsuąca każde wartośc lngwstyczne Lx odpowedn znaczenowo zbór rozmyty A, =,,,I w przestrzen X. Lngwstyczna zmenna wyścowa est określona ako: <y nazwa,l(,y,g y,m y >, L( = {Ly, Ly,, Ly J } zbór wartośc lngwstycznych (termnów), którym odpowadaą zbory rozmyte, =,,,J określone w przestrzen numeryczne Y. aza wedzy, stanowąca model rozmyty systemu ma postać zboru reguł warunkowych typu (Yager, Flev, 995), (Hellendorn Drankov, 997), (Rutkowsk, 005), (Łęsk, 008): R : Jeżel x est A To y est (9.) =,,I, =,,J. Część reguły stanowąca warunek nazywa sę poprzednkem, a część po słowe To nazywa sę następnkem. Reguły są powązane pomędzy sobą spónkem Lub (Także). 08

3 Podstawy teor systemów rozmytych z zadanam Każda reguła reprezentue zależność mędzy zmennym w pewnym elementarnym obszarze przestrzen X Y, wyznaczonym przez loczyn kartezańsk zborów rozmytych A. Podzał przestrzen X Y na podobszary A przypsane w tym obszarze zależnośc w postac reguły (9.) nazywa sę rozmytą granulacą nformac. W sense logcznym, każda reguła est zdanem warunkowym, którego wartość prawdy determnuą funkce przynależnośc: zborów ( x), ( przyęte postac relac rozmyte ( x,. A Sposób podzału przestrzen prześledzmy w przykładze 9.. A X Y budowy reguł warunkowych Procedura wnoskowana rozpoczyna sę wtedy, gdy na weśce systemu zostane podany nowy fakt (nowa przesłanka, wartość x), czyl x est A. W myśl uogólnone rozmyte reguły modus ponens, odpowedzą będze sygnał konkluz rozmyte wynkaący z -tego następnka A o ( A ). (9.) W modelu Mamdanego funkca przynależnośc relac rozmyte reprezentuące zdane warunkowe est t-normą mnmum (rozdzał 8.) A ( x, mn( A ( x), ( ), ( x, X Y, (9.3) węc funkca przynależnośc zboru ( xx A ma postać: sup {mn[ ( x), mn( ( x), ( )]}. (9.4) Konkluza wyznaczona z całe bazy reguł, czyl zagregowana, est sumą zborów wyznaczonych w poszczególnych regułach U A. (9.5) Funkcę przynależnośc zagregowane konkluz wyznacza sę za pomocą operatora max (ogólne: supremum) ( yy J sup [ (,..., ( ]. (9.6) Procedura wnoskowana w modelu Mamdanego opera sę tylko na operatorach supremum (maxmum) oraz mnmum. Przykład 9.. Na rysunku 9. przedstawono wykres punktowy pewnego zboru obserwac {(, )}, który stanow wedzę o badanym procese. x n y n n,,..., N 09

4 Rozdzał 9. Rozmyte systemy z bazam wedzy Aby utworzyć bazę wedzy, czyl odwzorować współzależność y od x posłużymy sę rozmytą granulacą nformac, a następne utworzymy model rozmyty. Dla zmenne weścowe przyęto zbory rozmyte A, A, A3, o funkcach przynależnośc ( x), ( x), ( x). Także dla zmenne wyścowe przyęto A, A A3 trzy zbory:, 3 o funkcach przynależnośc (, (, (. Funkce 3 przynależnośc są odcnkam lnowe, trókątne lub trapezodalne. Zauważmy, że sumaryczna przynależność każdego elementu x do zborów A est równa. Analogczne est dla os y zborów. Zbory tworzą trzy obszary, nerozłączne, wyznaczone przez loczyny kartezańske: A, A, A3 3. W każdym z tych obszarów zostane sformułowana edna reguła. aza wedzy składa sę węc z trzech reguł: R : Jeżel x est A To y est R : Jeżel x est A To y est (9.7) R 3 : Jeżel x est A 3 To y est 3. 0

5 Podstawy teor systemów rozmytych z zadanam Rys. 9.. Zbór obserwac weśce-wyśce, {(x n,y n )} n=,,n systemu SISO rozmyta granulaca nformac Praktyczny algorytm prowadzena wnoskowana można zapsać w czterech krokach (Yager, Flev, 995).. Krok: Wyznacz pozom aktywac reguł,, dla nowych przesłanek. a) Nech nowa przesłanka będze wartoścą numeryczną, lczbą, x=x* (sngletonem A =/x*), to pozom aktywac -te reguły wynos A (x*), (9.8) np. z rysunku 9.: ( x*) 0. 7, ( x*) 0. 3, ( x*) 0. A A 3 A 3

6 Rozdzał 9. Rozmyte systemy z bazam wedzy Rys. 9.. Wyznaczane pozomu zapłonu reguł, gdy weśce est wartoścą numeryczną x* (krok a algorytmu wnoskowana) Rys Wyznaczane pozomu zapłonu reguł, gdy weśce est wartoścą rozmytą A (krok b algorytmu wnoskowana) b) Nech nowa przesłanka będze zborem rozmytym A, to pozom aktywac -te reguły wyznaczamy ako maksymalną wartość funkc przynależnośc loczynu (przecęca) zborów AA, czyl max mn[ A ( x), A ( x)], (9.9) np. na rysunku 9.3 odczytuemy 0, 0. 6, Krok: Wyznacz rozmyte konkluze z poszczególnych reguł. Dla każde reguły, rozmyta konkluza est określona przez swoą funkcę przynależnośc:

7 Podstawy teor systemów rozmytych z zadanam ( mn[, ( ], y Y, (9.0) gdze est pozomem aktywac reguły (wartoścą stałą). Zgodne z punktem.a: dla reguły R pozom aktywac, 0. 7, konkluza rozmyta wynos ( mn[0.7, ( ], co pokazano na rys. 9.4a; dla reguły R, pozom aktywac, 0. 3, węc konkluza rozmyta wynos ( mn[0.3, ( ] ; reguła R 3 ne est aktywna, 3 0, konkluza est zborem pustym. 3 Rys. 9.4.a. Wyznaczane konkluz rozmytych oraz według pozomów zapłonu (aktywac) wyznaczonych w punkce a. algorytmu wnoskowana Natomast pozomy zapłonu reguł wyznaczone w punkce b) algorytmu daą nam następuące konkluze rozmyte (rys. 9.4b): ( mn[0, ( ] 0, ( mn[0.6, ( ], ( mn[0.7, ( ]

8 Rozdzał 9. Rozmyte systemy z bazam wedzy Rys.9.4b. Wyznaczane konkluz rozmytych oraz według pozomów zapłonu reguł wyznaczonych w punkce b. algorytmu wnoskowana 3. Krok: Agregaca konkluz rozmytych Rozmyta konkluza,, wyprowadzona z całe bazy wedzy est sumą poszczególnych konkluz rozmytych 3, (9.) max[ (, ( ], ( 0, (9.) ( Funkcę przynależnośc zagregowane konkluz, (, przedstawono na rysunkach 9.4a 9.4b czerwoną lną. 4. Krok: Wyostrzane (defuzyfkaca) konkluz rozmyte Często w zastosowanach modelowana rozmytego stotna est wartość numeryczna konkluz, y*, którą utożsamamy z centrodą zboru rozmytego. Istnee szereg metod wyznaczana ostre konkluz, np. dla zborów w przestrzen cągłe est stosowana metoda COA (ang. center of area). Wartość numeryczną y* wyznacza sę ako następuącą średną ważoną, y Y Y y ( dy ( dy 3. (9.3) Wyrażene całkowe można zastąpć rachunkem przyblżonym, eśl lczba reguł ne est duża a postać zborów est prosta. 4

9 Podstawy teor systemów rozmytych z zadanam Przykład 9.. W przykładze zostane pokazany sposób przyblżonego wyostrzana konkluz rozmyte, metodą COA. Rozpatrzmy konkluzę zagregowaną uzyskaną w algorytme wnoskowana w systeme SISO, pokazaną na rysunku 9.4a. Wprowadźmy na os x wartośc lczbowe 0, 3, 6, 9, dla nośnków zborów rozmytych, ak na rysunku 9.5. Rys Wyznaczane wartośc centrody y* rozmyte konkluz z rysunku 9.4a. Powstały pewne fgury geometryczne, dla których dokładne współrzędne wyznaczono z podobeństwa odpowednch trókątów. Przyęto oznaczena: P - pole prostokąta o długoścach boków równych , P - pole trapezu o podstawach oraz wysokośc równe., P 3 - pole trapezu o podstawach oraz o wysokośc równe 0.3, y - współrzędna środka boku prostokąta (P ), równa.95, y - współrzędna środka wysokośc trapezu (P ), równa 4.5, y3 - współrzędna środka podstawy trapezu (P 3 ), równa 6,95. Poszukwana centroda o współrzędne y* zostane wylczona ako średna ważona wartośc y, y, y 3 w następuący sposób: y* P y P y P y 3 3. (9.4) P P P3 Po podstawenu wartośc lczbowych otrzymuemy wynk wyostrzony wnoskowana: y *

10 Rozdzał 9. Rozmyte systemy z bazam wedzy 9.3. Rozmyty system wnoskuący MISO typu Mamdanego W przypadku gdy modelowany system zawera węce nż edno weśce oraz edno wyśce, mówmy o systeme MISO (ang. multple-nput, sngle-output). W tym paragrafe będzemy rozpatrywać system o dwóch weścach ednym wyścu przymemy następuące oznaczena (rysunek 9.6): lngwstyczna zmenna weścowa <x nazwa,l(x),x,g x,m x >, przymuąca wartośc lngwstyczne L(x) = {Lx, Lx,, Lx I }, które są reprezentowane przez zbory rozmyte A, =,,,I zdefnowane przez swoe funkce przynależnośc (x) w przestrzen X; A lngwstyczna zmenna weścowa <y nazwa,l(,y,g y,m y >, przymuąca wartośc lngwstyczne L( = {Ly, Ly,, Ly J }, które są reprezentowane przez zbory rozmyte, =,,,J zdefnowane za pomocą funkc przynależnośc ( w przestrzen Y; lngwstyczna zmenna wyścowa <z nazwa,l(z),z,g z,m z >, przymuąca wartośc lngwstyczne L(z) = {Lz, Lz,, Lz K }, reprezentowane przez zbory rozmyte C k, k=,,,k zdefnowane za pomocą funkc przynależnośc (z) w przestrzen Z. C k aza wedzy, stanowąca model rozmyty systemu ma formę zboru reguł warunkowych o postac R k : Jeżel x est A I y est To z est C k (9.5) =,,I, =,,J, k=,,k. Poprzednk reguły zawera konunkcę dwóch zdań, dla dwóch zmennych w przestrzenach X Y. Jak określono w rozdzale 8., zgodne z logką rozmytą zdane to est równoważne loczynow kartezańskemu zborów x est A I y est = A. (9.6) aza wedzy złożona ze zboru warunkowych reguł (9.5) est węc relacą rozmytą R [( A ) C ], (9.7),, k które funkca przynależnośc zależy od wyboru postac mplkac. Dla model Mamdanego est to operaca mnmum. Funkca przynależnośc relac reprezentowane przez regułę (9.5) ma węc postać: k ( A ) C ( x, y, z) mn[mn( A ( x), ( ), C ( z)], (9.8) x X, y Y, z Z. k k 6

11 Podstawy teor systemów rozmytych z zadanam Formułę wnoskowana z dane reguły warunkowe, przy danych sygnałach weścowych A, zapsuemy ako rozmytą uogólnoną zasadę modus ponens: C k ( A ) [( A ) C k ]. (9.9) Algorytm wnoskowana zostane sformułowany w przykładze 9.3. Przykład 9.3. Na rysunku 9.6 przedstawono wykres punktowy pewnego zboru obserwac zmennych weścowych {(, )}, który posłużył do x n y n n,,..., N przyęca zborów rozmytych granulac rozmyte przestrzen zmennych weścowych X Y. Przyęto po trzy zbory rozmyte dla zmennych weścowych, tak aby zbór punktów znalazł sę w pełn w podprzestrzenach: A 3, A, A3. Te trzy zachodzące na sebe obszary stanową podstawę dla przyęca reguł warunkowych. Na rysunku 9.6 pokazano także sposób przyporządkowana tych podprzestrzen zborom rozmytym C,C,C 3 w przestrzen Z zmenne wyścowe. aza wedzy składa sę węc z następuących trzech reguł: R : Jeżel x est A I y est 3 To z est C R : Jeżel x est A I y est To z est C (9.0) R 3 : Jeżel x est A 3 I y est 3 To z est C 3. 7

12 Rozdzał 9. Rozmyte systemy z bazam wedzy Rys System MISO o dwóch zmennych weścowych; granulaca rozmyta przestrzen zmennych x, y, z za pomocą zborów rozmytych. Rys Przesłanka x* na tle zborów rozmytych zmenne weścowe x. 8

13 Podstawy teor systemów rozmytych z zadanam Rys Przesłanka y* na tle zborów rozmytych zmenne weścowe y. Algorytm wnoskowana systemu MISO ma bardze rozbudowaną część perwszą nż algorytm wnoskowana dla systemu SISO.. Krok: Wyznacz pozom aktywac reguł, l, dla nowych przesłanek. a) Nowe przesłank, to nowe numeryczne wartośc zmennych weścowych: x=x*, y=y*. Wartośc funkc przynależnośc poszczególnych zborów A dla x* y* odczytuemy z rysunków , odpowedno: A ( x*) x 0.5, A ( x*) x 0. 5, A ( x*) 3 x 0, ( y*) 3 y 0.5, ( y*) y 0. 75, ( y*) y 0. 3 Przymmy numeracę l=,,3 dla poszczególnych reguł. Symbol oznaczać będze pozom zapłonu w l-te regule będze wyznaczany ako mn(, ),,=,,3; (9.) l x mn( x, 3y ), mn( x, y ), 3 mn( 3x, y ) b) Nowe przesłank w postac zborów rozmytych A wymagaą wyznaczena wartośc, z przyrównana zborów rozmytych nowych x y przesłanek zborów rozmytych w poprzednkach reguł (rysunk ). y 3 3 l 9

14 Rozdzał 9. Rozmyte systemy z bazam wedzy Rys Rozmyta przesłanka A na tle zborów rozmytych zmenne weścowe x. max mn[ ( x), ( x)], dla A, A, A 3 ; x A 0.6, 0 ; x x A 3x max mn[ (, ( ], dla,, 3 ; y y 0, y 0. 8, 3y Rys Rozmyta przesłanka na tle zborów rozmytych zmenne weścowe y. Dale, maąc na uwadze bazę reguł (9.0) zbory rozmyte w poprzednkach reguł: A 3, A, A3, wyznaczamy pozomy zapłonów ak dla weść numerycznych, (9.), tzn. 0

15 Podstawy teor systemów rozmytych z zadanam mn(, l x y ),,=,,3. mn( x, 3y ) =mn( 0.6, 0.5)=0.5 mn( x, y ) =mn(0.6, 0.8)=0.6 3 mn( 3x, y ) =0.. Krok: Wyznacz rozmyte konkluze z poszczególnych reguł Dla każde reguły, rozmyta konkluza C l est wyznaczana analogczne, ak pokazano w przykładze 9. dla systemu o ednym weścu ednym wyścu, SISO, zgodne z zasadą Mamdanego: ( z) mn[, ( )], ( z) mn[, ( )], ( z) mn[, ( )]. C C z C C z C3 3 C z 3 Konkluze rozmyte z poszczególnych reguł, C l, l=,,3, wyznaczone w myśl pozomów zapłonu uzyskanych w punkce. algorytmu pokazuą rysunk 9. 9., odpowedno. Rys. 9.. Konkluze rozmyte C oraz C według pozomów zapłonu reguł wyznaczonych w punkce a. algorytmu wnoskowana.

16 Rozdzał 9. Rozmyte systemy z bazam wedzy Rys. 9.. Konkluze rozmyte C oraz C wyznaczone według pozomów zapłonu reguł z punktu b. algorytmu wnoskowana. 3. Krok: Agregaca konkluz rozmytych Agregaca konkluz rozmytych odbywa sę zgodne z zasadą Mamdanego, maxmum, tzn. ( z) max[ ( z), ( z), ( z)], z Z. (9.) C C C C 3 Na rysunkach funkce przynależnośc zagregowanych konkluz ( ) zaznaczono czerwoną lną. C z 9.4. Wnoskowane rozmyte według Larsena Wnoskowane rozmyte zaproponowane przez Larsena dotyczy, podobne ak wnoskowane Mamdanego, nterpretac konunkcyne reguły Jeżel To, co przedstawone zostało w rozdzale 8. W algorytme wnoskowana, specyfka Larsena dotyczy wyznaczana same konkluz rozmyte. Jeśl wyznaczony uż został pozom zapłonu l dane reguły, to konkluza rozmyta l est wyznaczana w wynku zastosowana loczynu algebracznego (ang. product): ( (. (9.3) l l l Wyznaczane konkluz rozmytych według te zasady dotyczy zarówno systemów SISO ak MISO. Przykład 9.4. W przykładze 9. rozpatrue sę system rozmyty SISO. W punkce a) algorytmu wnoskowana wyznaczono pozomy aktywac reguł

17 Podstawy teor systemów rozmytych z zadanam 0.7, 0. 3, 0. Konkluze rozmyte z poszczególnych reguł, wyznaczone według zasady Larsena, (9.3), będą następuące: ( ( ), ( ( ), ( 0, y Y. y y Poszczególne rozmyte konkluze Larsena, oraz ch sumę typu maxmum przedstawono na rysunku 9. można e porównać z rozmytym konkluzam typu Mamdanego, na rysunku 9.4a. 3 3 Rys Konkluze rozmyte, wyznaczone według zasady Larsena dla systemu SISO (przesłank nerozmyte - punkt a. algorytmu wnoskowana z przykładu 9.). Przykład 9.5. W przykładze 9., w rozpatrywanym systeme rozmytym SISO, punkt b) algorytmu wnoskowana zakłada rozmytą przesłankę A na weścu systemu. Pozomy aktywac reguł wynoszą: , a rozmyte konkluze wyznaczone według zasady Mamdanego pokazano na rysunku 9.4b. Wyznaczmy konkluze rozmyte, stosuąc zasadę Larsena: ( 0, ( 0.6 (, ( 0.7 (, y Y. Konkluze rozmyte wyznaczone według zasady Larsena oraz ch sumę typu maxmum przedstawono na rysunku

18 Rozdzał 9. Rozmyte systemy z bazam wedzy Rys Konkluze rozmyte, wyznaczone według zasady Larsena dla systemu SISO (rozmyte przesłank - punkt b. algorytmu wnoskowana z przykładu 9.) Ogólna postać modelu konunkcynego MISO Uogólnene model Mamdanego Asslana polega na zastąpenu operac mnmum przez t-normy a operac maxmum przez s-normy w podstawowych założenach tych model. Zdane warunkowe zapsane w postac reguły JEŻELI TO est nterpretowane w kategorach konunkc poprzednka następnka, wyrażone za pomocą operatora t-normy: ( ) ( x, t[ ( ) ( x), ( ) ( ]. (9.4) R A System weloweścowy (MISO) est reprezentowany przez p lngwstycznych zmennych weścowych edną zmenną lngwstyczną wyścową. aza wedzy est zborem reguł o postac: () ( R : Jeżel ( A x est ) I ( A x est ) I ( p ) p A p ) I ( x est ) To ( y est ), (9.5) ( ) ( ) p,..., Ap gdze ndeks numerue reguły, A,,,... I;..., p,,..., I p są zboram rozmytym, reprezentuącym wartośc lngwstyczne poszczególnych zmennych weścowych, o funkcach przynależnośc ( ( x ),..., ( ) ( x ), określonych odpowedno, w przestrzenach, X,..., X ( ( ) ) ) A p A p p p poszczególnych zmennych, =,,,J są zboram rozmytym zmenne wyścowe y, o funkcach przynależnośc (, y Y. 4

19 Podstawy teor systemów rozmytych z zadanam Spónk logczny I w poprzednku reguły (9.5) est realzowany za pomocą operatora t-normy x, x,..., x ) t[ ( x ), ( x ),..., ( x )]. (9.6) ( ( ) p ( ) ( ) ( ) A A p A p Ap Relaca rozmyta R reprezentuąca zbór reguł systemu MISO, w uogólnonych modelach typu Mamdanego Asslana ma postać: ( x, x,..., x s R t { t [ ( A ) p, ( x ), ( A ) ( x ),..., ( p ) Ap ( x p )], ( } (9.7) Symbole t t oznaczaą, że operator t-normy reprezentuący spónk I w poprzednku reguły oraz operator t-normy zastępuący w tych modelach mplkacę A, mogą być różne. Symbol s oznacza s-normę. Procedura wnoskowana, wykorzystuąca uogólnoną regułę modus ponens, dla zboru rozmytego A określonego w przestrzen zmennych weścowych X X... X p, może być zapsana w postac A R, (9.8) gdze symbol oznacza złożene max-t-norma (sup-t-norma), co można zapsać w postac funkc przynależnośc ( x,..., x X... X A p R sup t [ ( x,..., x ), ( x,..., x, ] (9.9) p p gdze est zborem rozmytym, konkluzą rozmytą, na wyścu systemu, a R est relacą rozmytą (9.7) reprezentuącą bazę wedzy Wnoskowane z wykorzystanem rozmyte mplkac Omawany w tym podrozdzale typ systemu wnoskuącego opera sę na zasadze, że zdana warunkowe stanowące poszczególne reguły bazy wedzy są nterpretowane, w sense logcznym, ako mplkace. W lteraturze przedmotu np. w pracy (Rutkowsk, 005), wnoskowane w systeme rozmytym, z wykorzystanem mplkac rozmyte nos nazwę modelu logcznego, w odróżnenu od modelu konunkcynego Mamdanego czy Larsena. Relaca rozmyta reprezentuąca podstawowe zdane warunkowe JEŻELI TO w modelach logcznych est realzowana za pomocą operatora mplkac I (rozdzał 8.), ako funkca zborów rozmytych poprzednka następnka: ( x, ( x, I[ A( x), ( ]. (9.30) R A Dla zadanego zboru rozmytego A na weścu, ze zdana warunkowego p 5

20 Rozdzał 9. Rozmyte systemy z bazam wedzy Jeżel x est A To y est (9.3) wyprowadza sę rozmytą konkluzę, w myśl złożenowe reguły wnoskowana supremum-mnmum (9.), w postac: mn[ ( x), ( x, ] supmn[ ( x), I( x, ] ( sup A A A. (9.3) xx Wykorzystuąc złożenową regułę wnoskowana supremum-t-norma, otrzymuemy rozmytą konkluzę : xx ( x), ( x, sup t ( x), I( x, ( sup t A A A. (9.33) xx Taką formułę wnoskowana, (9.33), z model logcznych ale w uęcu teor możlwośc zaprezentowano w pracach: (Dubos, Prade, 984), (Iancu, 998), a także omówono w pracy (Łęsk, 008). Natomast, klasyczną nterpretacę wnoskowana z modelu logcznego podaą autorzy pracy (Yager, Flev, 995). Jest to tzw. podeśce destrukcyne, w którym wyśce (wnosek) budue sę przez elmnowane możlwośc neakceptowanych przez poszczególne reguły. Przecweństwem tego podeśca są modele konstruktywne, w których wyśce est konstruowane ako superpozyca wyść poszczególnych reguł. Podeśce konstruktywne zostało przedstawone w nnesze pracy w paragrafach pośwęconych wnoskowanu z model typu Mamdanego Asslana. Rozpatrzmy model systemu SISO, stosuąc podeśce destrukcyne według Yagera Fleva. System est określony przez dwe zmenne lngwstyczne: ( weścową x oraz wyścową y. Model rozmyty est zborem R ) { },,..., I reguł warunkowych o postac kanonczne. Dla uproszczena zapsu przymemy, że ndeks numerue reguły wartośc lngwstyczne poprzednka następnka, zatem poedyncza reguła ma postać () xx R : Jeżel x est A To y est, =,,,I. (9.34) Każda reguła, dla modelu logcznego, est reprezentowana przez rozmytą mplkacę określoną na X Y, np. mplkacę Kleene a-denesa o funkc przynależnośc R A (9.35) ( x, ( ( x)) (. (9.36) R Zbór reguł {R () } tworzy relacę R, ako wynk agregac relac (9.35), za pomocą operac przecęca (loczynu zborów) operatora mnmum A 6

21 Podstawy teor systemów rozmytych z zadanam R R, (9.37),..., I ( x, mn[( ( x)) ( )] ( x, mn y, (9.38) R R A ( x, X Y,,..., I Pozom aktywac reguły, oznacza stopeń kompatyblnośc zboru A na weścu dopełnena zboru A, co zapszemy ako sup ( ( x)) ( x). (9.39) A A x Rozmyta konkluza est określona przez funkcę przynależnośc ( mn (, y Y,,..., I. (9.40) Algorytm wnoskowana według modelu logcznego z podeścem destruktywnym można zapsać następuąco:. Krok: Dla każde reguły oblcz pozom zapłonu według wzoru (9.39), eśl weśce A est zborem rozmytym oraz według (9.39a) ( x*) (9.39a) A eśl weśce est numeryczne, x*.. Krok: Wyprowadź z każde reguły rozmytą konkluzę ( ( max(, ( ). (9.4) 3. Krok: Przeprowadź agregacę wyznaczonych konkluz za pomocą operatora mnmum I..., (9.4) ( mn[ (,..., ( ], y Y. (9.43) 4. Krok: Przeprowadź defuzyfkacę (eśl potrzebna) zboru wynkowego. Uogólnenem takego podeśca do wnoskowana est zastosowane t-norm oraz s-norm zamast operatorów mnmum maxmum, odpowedno, co dae wzór ogólny (Yager, Flev, 995) I 7

22 Rozdzał 9. Rozmyte systemy z bazam wedzy I t [ s, ( ]. (9.44) ( Przykład 9.6. Rozpatrzmy efekty wnoskowana za pomocą rozmyte mplkac, z poedyncze reguły Jeżel x est A To y est. Przymmy, że dla pewne nerozmyte wartośc weśca, x*, wartość funkc przynależnośc est równa A ( x*) 0. 3, czyl pozom zapłonu dla wnoskowana według modelu logcznego z podeścem destruktywnym, wynos A ( x*) 0.7. Dale, nech zbór rozmyty będze zborem o trókątne funkc przynależnośc ( ( y;, 4, 6). Wyznaczmy wynk wnoskowana z te reguły, czyl zbory rozmyte, stosuąc różne postac mplkac, ak ponże (rys ): K D ( max[, ( ], ( max{,mn[, ( ]}, Z Rys Rozmyta konkluza otrzymana przez zastosowane: a) mplkac Kleene a Denesa, b) mplkac Zadeha., ( (, Re sh 0, (, ( (, God (, ( 8

23 Podstawy teor systemów rozmytych z zadanam Rys Rozmyta konkluza otrzymana przez zastosowane: a) mplkac Reshera, b) mplkac Gödela. ( mn[ ( /,], ( mn[ (,] Gog, Ł ( (. Re ch Rys Rozmyta konkluza otrzymana przez zastosowane: a) mplkac Goguena, b) mplkac Łukasewcza, c) mplkaca Rechenbacha Rozmyty system Takag-Sugeno-Kanga Modele systemów rozmytych Takag-Sugeno-Kanga (TSK) charakteryzuą sę równeż regułową bazą wedzy, przy czym poprzednk każde reguły est zdanem rozmytym a następnk reguły stanow nerozmyta funkca zmennych weścowych. Ogólną postać modelu TSK MISO stanow zbór reguł {R () }: ( ) () R : Jeżel ( x est A ) I ( x est A ) I I ( x est ) ( ) () p A p 9

24 Rozdzał 9. Rozmyte systemy z bazam wedzy 30 ( ) ( ) ( To y f x, x,..., x ) ; =,,,I (9.45) gdze ndeks numeruący reguły oraz dla uproszczena zapsu równana, także numeruący zbory poprzednka funkcę następnka w -te regule, x, x,..., x p - zmenne weścowe (zmenne poprzednka), ( ) ( ) () A, A,.., Ap - zbory rozmyte reprezentuące wartośc lngwstyczne poszczególnych zmennych weścowych w -te regule bazy wedzy, o funkcach przynależnośc ( ) ( x),..., ( ) ( x), określonych w przestrzenach X, X,..., X p, A A p odpowedno; () y - wyśce nerozmyte -te reguły, określone w przestrzen Y ako funkca numerycznych wartośc zmennych weścowych; () f - postać funkc może być dana a pror przez ekspertów procesu lub może być pewną aproksymacą danych dośwadczalnych, np. funkcą regres. Algorytm wnoskowana w modelu TSK można zapsać w następuących krokach: dla nerozmytych wartośc weść x X,..., x p X p, wyznaczene pozomu zapłonu każde reguły gdze p t [ ( ) ( x ), ( ) ( x ),..., ( ) ( x )], (9.46) A A p Ap wyznaczene wartośc funkc wyścowe każde reguły ( ) ( ) ( y f x, x,..., x ) (9.47) agregaca wyść poszczególnych reguł przez utworzene sumy ważone o postac (9.48) lub równoważne (9.49) ( ) y*, y Y,,..., I I y* y I y,..., I ( ) ( ) p, (9.48) y, (9.49) - względny pozom zapłonu poszczególnych reguł.

25 Podstawy teor systemów rozmytych z zadanam Modelowane przy pomocy metody TSK oznacza aproksymacę systemu MISO podsystemam, w których poszczególne obszary przestrzen weśca-wyśce są przyblżane: odcnkam prostych (modele lnowe systemu SISO), odcnkam krzywych (modele nelnowe systemu SISO), kawałkam płaszczyzn (modele lnowe systemu MISO) lub kawałkam powerzchn (modele nelnowe systemu MISO). Istotnym problemem przy stosowanu metody TSK est odpowedn podzał przestrzen oraz dobór funkc aproksymuących. Przykład 9.7. Rozpatrzmy system TSK o ednym weścu ednym wyścu. Na rysunku 9. 7 przedstawono zbór obserwac typu weśce-wyśce, w układze współrzędnych x, y. Aby aproksymować zbór obserwac modelem Takag- Sugeno-Kanga, w przestrzen X przyęto trzy zbory rozmyte: A, A, A3, co pozwala na ułożene trzech reguł bazy wedzy, w których następnk zaweraą lnowe funkce zmenne x: () R : Jeżel x est A To y ax b, () R : Jeżel x est A To y ax b, (9.50) (3) R : Jeżel x est A 3 To y3 a3x b3. Zbory obserwac aproksymowano lnam regres, których parametry wyznaczono metodą namneszych kwadratów. Funkce te maą postać: y ax b x, y a x b b 4, y a x b.5x Podany na weśce sygnał nerozmyty x*=3 spowodue aktywacę reguły R na pozome 0. 5 reguły () R na pozome 0. 5 (rysunek 9.7 ). Wyśce systemu est nerozmytą wartoścą ważoną wyść poszczególnych reguł na podstawe (9.48) wynos: x 4 x y () =3.5. Nech teraz sygnał weścowy będze x =5.6. Aktywaca reguł będze następuąca: (3) reguła R est aktywna na pozome , a reguła () R - na pozome 0.. Wyśce systemu wynos 3

26 Rozdzał 9. Rozmyte systemy z bazam wedzy 4 (.5 ) 3 x y Rys Granulaca rozmyta przestrzen X model TSK Model TSK o welu weścach, MISO, est określony w przestrzenach zmennych weścowych, X X X p, oraz w przestrzen Y. Każda z reguł tego modelu, (9.45), określa lokalny model w podprzestrzen p+ wymarowe. Zasadnczym problemem w zadanach modelowana TSK ednocześne główną trudnoścą est właścwy podzał przestrzen. Problem ten może być rozwązany przez zastosowane nnych, wspomagaących technk sztuczne ntelgenc, np. grupowana typu klasterng (ang. clusterng) danych weścowych lub przez zastosowane systemu neuronowo-rozmytego z uczenem lub algorytmów genetycznych dla optymalzac zadana podzału przestrzen Uproszczona metoda wnoskowana Metoda uproszczona wnoskowana rozmytego (ang. Smplfed Method of Fuzzy Reasonng, SMFR) sprowadza sę do dwóch kroków algorytmu (Yager, Flev, 995):

27 Podstawy teor systemów rozmytych z zadanam ) wyznacz pozomy zapłonu poszczególnych reguł,, ) podstaw do wzoru końcowego y y, (9.5) gdze y oznacza centrody zborów rozmytych zmenne wyścowe systemu lngwstycznego o postac reguł Jeżel x est A To y est lub y oznaczać może stałą wartość w następnku reguł w systeme TSK Jeżel x est A To y est y. (9.5) Jak wdać, w algorytme wnoskowana pomnęte zostało wyznaczane zborów rozmytych poszczególnych reguł. Operace maxmum mnmum zastąpone zostały operacam algebracznym: mnożenem sumowanem. Metoda uproszczona wnoskowana rozmytego znadue zastosowane w oblczenach neuronowo-rozmytych w tworzenu statycznych charakterystyk nelnowych. Przykład 9.8. W tym przykładze pokażemy ak bardzo upraszcza sę algorytm wnoskowana, gdy stosuemy metodę uproszczonego wnoskowana rozmytego. Nech system rozmyty będze opsany dwema zmennym lngwstycznym, x X [ 0, 8] R, y Y [ 0, 8] R. Dla obydwu zmennych przymuemy po trzy wartośc lngwstyczne, które są reprezentowane przez zbory rozmyte o trókątnych funkcach przynależnośc: ( x;0,0,4), ( x;0,4,8), ( x;4,8,8 ) dla x X, oraz A A ( y;0,0,4), ( y;0,4,8), ( y;4,8,8 ) dla y Y. A3 3 Załóżmy, że baza reguł składa sę z trzech zdań warunkowych: R : A, R : A, R 3 : A 3 3. Centrody zborów rozmytych wyznaczamy ako współrzędne środków obszaru pod każdą funkcą przynależnośc (metoda COA, przykład 9. ): y.5, y 4, y Przeprowadźmy wnoskowane dla klku wartośc weśca ) x*=, ( x*) 0. 5, ( x*) 0. 5 A A * ( y /( ) A ( x*) 0. ( *) A x y.75; ) x*=3, 5, 0. 75, y*=3.375; 33

28 Rozdzał 9. Rozmyte systemy z bazam wedzy ) x*=7, ( x*) 0. 5, ( x*) 0. 75, y*= A 9.9. Systemy probablstyczno-rozmyte 3 A 3 Często w modelowanu systemów rzeczywstych zachodz potrzeba uwzględnena także nepewnośc o charakterze probablstycznym lub stochastycznym. Przyczyny powstawana tego rodzau nepewnośc bywaą różne, np. błędy pomarowe, nemerzalność pewnych zmennych, a przede wszystkm losowość wpsana w funkconowane nektórych zawsk, takch ak zachowana rynków fnansowych. Tworzene rozmytego modelu systemu, w którym uwzględnamy nepewność o charakterze probablstycznym, statycznym, będzemy nazywać modelem probablstyczno-rozmytym. Natomast rozmyty model dynamczny systemu, w którym berzemy pod uwagę występowane stochastycznych zależnośc w danym systeme, będzemy nazywać modelem stochastyczno-rozmytym (Walaszek-abszewska, 007, 00). Zmenne opsuące obekt analzy są wówczas lngwstycznym zmennym losowym albo procesam stochastycznym o stanach rozmytych (Walaszek-abszewska, 00). Take podeśce do modelowana, uwzględnaące zalety modelowana lngwstycznego a ednocześne pozwalaące określać częstość zdarzeń rozmytych est zgodne z deą soft computng, sformułowaną przez L.A. Zadeha. udowa model probablstyczno-rozmytych (stochastyczno-rozmytych) zwykle wąże sę z uwzględnenem danych dośwadczalnych, które wraz z wedzą ekspercką służą do budowy takego modelu. 34

29 Podstawy teor systemów rozmytych z zadanam Rys Granulaca rozmyta przestrzen X Y wraz z zaznaczoną lczbą zdarzeń w obszarach rozmytych Na rysunku 9.8 w układze współrzędnych zmennych weśca-wyśca przedstawono wynk pewnego eksperymentu zaznaczono lczbę obserwac zanotowanych w poszczególnych obszarach rozmytych przestrzen X Y. Dane te posłużą do wyznaczena emprycznych prawdopodobeństw zdarzeń rozmytych, co zostane przedstawone w dalsze częśc nneszego paragrafu. Prawdopodobeństwo zdarzena rozmytego, które est kluczowym poęcem dla formułowana model probablstyczno-rozmytych, zostało zdefnowane przez L.A. Zadeha (968). Jeżel zdarzene A est określone w przestrzen cągłe X przez merzalną funkcę A (x ), ponadto w przestrzen te określono marę prawdopodobeństwa P, rozumanego w sense klasyczne teor prawdopodobeństwa, to prawdopodobeństwo zdarzena rozmytego, P(A), wyraża sę przez całkę Lebesgue a-stetlesa, ako 35

30 Rozdzał 9. Rozmyte systemy z bazam wedzy P( A) ( x) dp E[ ( x)], (9.53) n R A o le całka ta stnee. Prawdopodobeństwo zdarzena rozmytego est wartoścą oczekwaną funkc przynależnośc A (x ) przymue wartośc rzeczywste z przedzału [0, ]. Gdy przestrzeń rozważań est zborem dyskretnym X= { x },,,..., w którym określono funkcę prawdopodobeństwa p A P( X x ) p, taką że, to dla zdarzena rozmytego A o borelowske funkc przynależnośc A( x ) : [0,], prawdopodobeństwo zdarzena rozmytego określa sę ako sumę P ( A) A( x ) p (9.54) o le suma ta est skończona. P(A) stanow także wartość oczekwaną funkc przynależnośc zboru A. W oparcu o zdefnowane przez L.A. Zadeha poęce mocy zboru rozmytego, Count (A) (ang. sgma-count), prawdopodobeństwo zdarzena A określonego w można wyznaczyć z następuącego wzoru: A( x ) Count( A) P( A), (9.55) gdze symbol oznacza moc zboru odnesena (przestrzen rozważań) (Zadeh, 983). Defnce (9.53) - (9.55) pozwalaą na dogodne wyznaczene prawdopodobeństwa emprycznego zdarzeń rozmytych, w zależnośc od typu danych. Przykład 9.9. W badanach emprycznych pewne zmenne losowe X, zakres rozważań R podzelono na pęć rozłącznych przedzałów a, a,..., a5 o równe długośc. Na podstawe lczby obserwac wyznaczono empryczne estymatory prawdopodobeństwa, ako częstość występowana dośwadczena w poszczególnych przedzałach, P( X a k ) pk, k=,,,5. Jednocześne, przyęto wartośc lngwstyczne zmenne X, LX,,, 3, dla których zdefnowano odpowedne zbory rozmyte A, A, A3 w R. Funkce 36

31 Podstawy teor systemów rozmytych z zadanam przynależnośc a ) są funkcam przymuącym stałe wartośc dla danego A ( k przedzału a k (tabela 9. ) spełnaą warunk:,,3 A ( a k ), x ak, k=,,5. (9.56) Prawdopodobeństwa empryczne poszczególnych zdarzeń rozmytych A, A A, wyznaczono według wzoru (Walaszek-abszewska, 003a), 3 P( A ) p ( a ) (9.57) k k,...,5 zameszczono w tabel 9.. Wartośc prawdopodobeństw spełnaą warunk,,3 A k P ( ). (9.58) Tabela 9.. Wartośc prawdopodobeństw zdarzeń rozmytych (Przykład 9.9) Przedzały rozłączne a a a 3 a 4 a 5 A ( a ) k A, A, A3 ( a ) A k A ( a ) A3 k P( X a k ) p k P ( A ) 0. P ( A ) P ( A ) 0.6 P ( A 3 ) 0. Zbór wartośc prawdopodobeństw zdarzeń rozmytych P ( A ), =,,3 stanow rozkład prawdopodobeństwa lngwstyczne zmenne losowe X. Rozkład prawdopodobeństwa łączny, P(X,Y), dwóch lngwstycznych zmennych losowych, est zborem wartośc prawdopodobeństw zdarzeń ednoczesnych (np. na rysunku 9.8): P X, Y ) P( A ), P( A ), P( A ) (9.59) ( 3 3 gdze prawdopodobeństwa zdarzeń ednoczesnych można wyznaczać ednym ze sposobów (9.53) (9.55). Dla przykładu, eśl dane est prawdopodobeństwo P(x,, rozumane w sense klasyczne teor prawdopodobeństwa, to prawdopodobeństwo zdarzena rozmytego ednoczesnego wyznacza sę z (9.53): 37

32 Rozdzał 9. Rozmyte systemy z bazam wedzy P( A ) ( x, dp. (9.60) ( x, x A Funkca przynależnośc zdarzeń ednoczesnych może być określona w sposób następuący y A ( x, A ( x) ( (9.6) Wartośc prawdopodobeństw poszczególnych zdarzeń ednoczesnych, tworzących łączny rozkład prawdopodobeństwa dwóch lngwstycznych zmennych losowych muszą spełnać warunek P ( A ). (9.6) Przykład 9.0. Wyznaczmy prawdopodobeństwo P A ) rozmytych ( zdarzeń ednoczesnych, które zaznaczono na rysunku 9.8. Na rysunku tym przedstawono w sposób symbolczny wynk obserwac zmennych weśca wyśca w pewnym systeme SISO. W poszczególnych nerozłącznych obszarach zaznaczono lczby obserwac. Zakładaąc, że funkce przynależnośc zostały określone w tak sposób, że dla każdego punktu x, y ) suma ego przynależnośc ( n n do zborów: A, lub A, lub A3 3 est równa eden, czyl 3 3 A xn yn x (, ), n x, y n, (9.63) y to suma współczynnków przynależnośc wszystkch punktów będze równa lczbe obserwac, N, czyl A xn yn N (, ). n,..., N A zatem, prawdopodobeństwa zdarzeń rozmytych łącznych, (9.59), możemy wyznaczyć na podstawe wzoru (9.55), ako: P( A P( A ) A ( x, y ) w n n N, n,..., n ) A ( x, y ) w n n N, n,..., n 38

33 Podstawy teor systemów rozmytych z zadanam P( A 3 3) A ( x, y ) w 3 3 n n 33 N. n,..., n Łatwo sprawdzć, że w w w. 33 W rozkładze łącznym lngwstyczne zmenne losowe dwuwymarowe wyróżna sę także rozkłady warunkowe, np. P(Y/X), np. P [( Y ) /( X A )] w / P( A ) 3 P( A ), (9.64) =,,J; =const. Ogólna postać bazy wedzy modelu probablstyczno-rozmytego systemu SISO est zborem rozmytych warunkowych reguł plkowych z wagam, o postac (Walaszek-abszewska, 007, 00): () R : w [Jeżel ( X est A ) ] To [ ( Y est ) ] w / Także ( Y est ) ] w / (9.65) Także[ ( Y est ) ] w / Także [ ( Y est J ) ] w J /. W modelu (9.65) w est wagą zwązaną z poprzednkem -te reguły plkowe, reprezentuącą prawdopodobeństwo (częstość występowana) zdarzena X est A ) w rozkładze brzegowym lngwstyczne zmenne weścowe. Waga ( w / est wagą -te reguły elementarne, zwązaną z następnkem -te reguły plkowe reprezentue prawdopodobeństwo (częstość występowana) zdarzena warunkowego Y est ) / X est A ) w rozkładze warunkowym. Wag modelu, ( ( ako prawdopodobeństwa w odpowednch rozkładach spełnaą warunk I w, J w /, const. (9.66) Wnoskowane w systeme probablstyczno-rozmytym SISO opsanym lngwstycznym zmennym losowym X Y przedstawmy w sposób ogólny. Nech będze dana przesłanka ( X est A ), przy czym, na ogół ( u) ( u), =,,I. Z elementarne reguły A A 39

34 Rozdzał 9. Rozmyte systemy z bazam wedzy 40 Jeżel X est A ) To Y est ) (9.67) ( ( zawarte w regule plkowe (9.65) wyprowadzony zostane wnosek Y est ). Funkca przynależnośc zboru złożenowe, przez formułę: / ( / est określona, w myśl uogólnone reguły sup t ( ( x), ( x, ), (9.68) ( / x A A gdze t oznacza t-normę, ( u, v) determnue relacę rozmytą reprezentuącą A zdane warunkowe (9.67), stosowne do nterpretac: konunkcyne lub mplkacyne. Agregaca wyść rozmytych, (9.68), wyprowadzonych dla / wszystkch reguł elementarnych -te reguły plkowe, wyraża sę ako suma ważona uwzględnaąca wag w / następnków, według wzoru (Walaszek-abszewska, 007, 00) ( w (. (9.69) J / / Zauważmy, że wag w / stanową wartośc prawdopodobeństw warunkowych zdarzeń rozmytych (9.64). Analogczne, agregaca wyść rozmytych, wyznaczonych dla wszystkch -tych reguł aktywnych, realzowana ako suma ważona uwzględnaąca wag poprzednków, w, dae rozmytą wartość oczekwaną konkluz (wyścowe zmenne lngwstyczne Y), o funkc przynależnośc I ( w ( ). (9.70) y Uwzględnaąc obydwa etapy agregac, możemy zapsać rozmyty wynk konkluz w postac: ( w w (. (9.7) I J Zbór rozmyty konkluz wyprowadzone z całe bazy wedzy, est zależny od przesłank rozmyte ( X est A ) pozomu zapłonu -te reguły oraz zastosowanych operatorów: t-normy operatora mplkac (lub t-norm relac ( x, w (9.68). Wartość nerozmytą konkluz otrzymamy, stosuąc A / / edną z metod defuzyfkac w odnesenu do zboru rozmytego.