POLITECHNIKA POZNAŃSKA WYDZIAŁ BUDOWY MASZYN I ZARZĄDZANIA STUDIA MAGISTERSKIE STUDIUM DZIENNE. Michał Kubacha. Praca dyplomowa

Transkrypt

1 POLITECHIKA POZAŃSKA WYDZIAŁ BUDOWY MASZY I ZARZĄDZAIA STUDIA MAGISTERSKIE STUDIUM DZIEE Mchał Kubacha Symulaca nestaconarnego przepływu cepła bezsatkową metodą Kansa w obszarze o neregularnym brzegu Praca dyplomowa Prowadzący: dr Tomasz Stręk Koreferent: prof. dr hab. nŝ. Jan A. Kołodze Poznań 5

2 Składam podzękowana moemu promotorow dr Tomaszow Strękow za okazaną pomoc przy powstawanu te pracy. neszą pracę dedykuę Rodzcom Justyne. - -

3 SPIS TREŚCI. Sps treśc... Streszczene Wprowadzene Zawsko przewodnctwa ceplnego Równane cepła Bezsatkowa metoda Kansa dla przypadku staconarnego nestaconarnego Zagadnene staconarne Zagadnene nestaconarne 5.3 Operatory róŝnczkowe dla radalnych funkc bazowych dla przypadku staconarnego Funkca welomanowa Funkca gaussowska Funkca polharmonczne Operatory róŝnczkowe dla radalnych funkc bazowych dla przypadku nestaconarnego Funkca welomanowa Funkca gaussowska Funkca polharmonczne arzędze programstyczne Sclab Przykłady wykorzystana Sclaba do oblczeń wzualzac wynków Wynk numeryczne Zagadnene staconarne na obszarze regularnym Zagadnene nestaconarne na obszarze regularnym Zagadnene staconarne na obszarze neregularnym Zagadnene nestaconarne na obszarze neregularnym Wnosk Lteratura Dodatk

4 .Streszczene Celem pracy est symulaca nestaconarnego przepływu cepła bezsatkową metodą Kansa w obszarze o neregularnym brzegu. Metodę tą zamplementowano z wykorzystanem programu Sclab. W pracy badano zagadnene przepływu cepła na całym brzegu rozwaŝanego obszaru z warunkem Drchleta (temperatura na brzegu była funkcą połoŝena. W perwsze częśc pracy omówono podstawy teoretyczne przewodnctwa cepła w całach stałych. W dalsze częśc pracy szczegółowo opsano metodę Kansa, wyprowadzono operatory róŝnczkowe dla trzech radalnych funkc bazowych (RFB: funkc welomanowe, funkc gaussowske oraz funkc polharmonczne dotyczących staconarnego nestaconarnego przepływu na obszarze o regularnym neregularnym brzegu. Początkowo ednocześne wydawałoby sę, Ŝe równana przedstawone w tym rozdzale są skomplkowane, ale po bardze wnklwe analze okazue sę, Ŝe ch wyprowadzena są proste powtarzalne. W dalsze częśc pracy zaprezentowano krótk ops programu Sclab. WyposaŜony est on w setk gotowych funkc do operac algebracznych, rozwązywana równań lnowych nelnowych, grafk dwu- trówymarowe oraz wele nnych. W końcowe częśc pracy zaprezentowane zostały tabele z wynkam oraz ch nterpretace grafczne. Ze względu na obszerność zagadnena przedstawono tylko wybrane wynk oblczeń numerycznych. Warto podkreślć zaletę środowska programu Sclab, które okazało sę być efektywnym efektownym narzędzem do oblczeń numerycznych nŝynerskch. Dodatkowo do pracy załączono płytę CD, która zawera program nstalacyny paketu Sclab oraz kody źródłowe programów wykorzystanych podczas oblczeń numerycznych. Programy mogą być modyfkowane przez uŝytkownka do własnych celów

5 3. Wprowadzene astarszą, hstoryczne rzecz borąc, est metoda róŝnc skończonych opsana dość szczegółowo w ksąŝkach z lat pęćdzesątych (np. Collatz, Panow. W tym samym czase (946 poawła sę pewna odmana te metody metoda blansów elementarnych, które podstawy sformułował Wnczew. Metoda blansów est bardzo efektywna w oblczenach ceplnych, a przy tym dzęk swoe oczywste nterpretac fzyczne zrozumała łatwo przyswaalna. Drugą z bardzo rozpowszechnonych w mechance termodynamce metod numerycznych est metoda elementów skończonych (MES. Łączy sę ą zazwycza z nazwskem O.C. Zenkewcza, który w 967 roku opublkował bardzo obszerną monografe Fnte Element Method. W latach osemdzesątych coraz węce psze sę o metodze elementu brzegowego. Do nawybtneszych e propagatorów naleŝą C.A. Brebba, J.C.F. Telles, L.C. Wrobel autorzy znane monograf Boundary Element Technques (984 [3]. W ostatne dekadze, postęp w stosowanu radalnych funkc bazowych (RFB w bezsatkowych metodach aproksymac rozwązań cząstkowego równana róŝnczkowego mała przycągnąć welu badaczy nauk nŝyner. Perwszą dzedzną typu metod bezsatkowych est tak zwana metoda Kansa rozwnęta przez Kansa w 99 roku [6], est uzyskwana bezpośredno z kolokac RFB (na przykład w szczególnośc funkc welomanowe, ang. multquadrc, dla numeryczne aproksymac rozwązana. Funkca welomanowa została perwszy raz rozwnęta przez Hardy ego [8] w 97 roku, ako welowymarowe rozproszene metody nterpolac do modelowana pola przycągana zemskego. eznana przez welu badaczy akademckch aŝ do czasu publkac recenz Franke ego [4] opsuące 9 metod nterpolacynych, gdze funkca welomanowa została zalczona do nalepszych w oparcu o dokładność, aspekty wzualne, wraŝlwośc na parametry, nadane waŝnośc czasu, przechowywane Ŝądań łatwość mplementac. Metoda Kansa została ostatno powększona do rozwązana róŝnych zwykłych cząstkowych równań róŝnczkowych włączaąc dwufazowe trófazowe modele meszann dla tkank nŝyneryne, ednowymarowego nelnowego równana Burgera [5] z uderzenem fal, powerzchnowego równane wody z przypływem symulacą prądu [9] oraz problem przepływu cepła [7]. Tradycyne radalne funkce bazowe są defnowane ako funkce globalne, których wynk w pełn wynkaą z współczynnka macerzy. Przeszkadza to w stosowanu RFB na duŝą skale z powodu źle uwarunkowanych współczynnków macerzy. W welu przypadkach, dokładność rozwązana RFB zaleŝy często od wyboru parametru c podstawanego do funkc welomanowe czy teŝ gausowske. Wybór optymalne 3 wartośc parametru c est poprzedzony ntensywnym badanam. Ostatno, RFB postac r est uŝywana zamenne, aby unknąć problemu wyboru optymalnego kształtu parametru. Dwe waŝne cechy bezsatkowych metod z wykorzystanem RFB to fakt ze są one naprawdę metodam typu bez satek (ang. mesh-free ch mplementaca est bardzo prosta w porównanu z nurtem domnuącym w technkach numerycznych takch ak metoda elementu skończonego, metoda róŝnc skończonych, metoda elementu brzegowego czy teŝ metoda obętośc skończone. Celem pracy była symulaca nestaconarnego przepływu cepła bezsatkową metodą Kansa w obszarze o neregularnym brzegu. Metodę tą zamplementowano w środowsku programstycznym Sclab. W pracy badano zagadnene przepływu cepła z warunkem Drchleta na całym brzegu rozwaŝanego obszaru. Temperatura na brzegu była funkcą połoŝena. W rozdzale 4 przestawono problem przewodnctw cepła ak równeŝ zapsano równane cepła. Bardzo waŝną część pracy stanow ops metody Kansa dla przypadku staconarnego nestaconarnego. W tym rozdzale opsano równeŝ operatory róŝnczkowe - 4 -

6 dla poszczególnych przypadków. a perwszy rzut oka równana przedstawone w tym rozdzale mogą wydawać sę skomplkowane, ale po bardze wnklwe analze okazue sę, Ŝe ch wyprowadzena są proste powtarzalne. W rozdzale 6 zawarto krótk ops narzędza programstycznego Sclab, który est odpowednkem paketu naukowego Matlab. Rozdzał 7 zawera tabele z wynkam oraz nterpretace grafczną dla poszczególnych przypadków RFB. a końcu w rozdzale 8 zawarto wnosk przemyślena własne

7 4. Zawsko przewodnctwa ceplnego Od kuchennego tostera do nanowszego wysoko sprawnego mkroprocesora, cepło est wszechobecne ma welke znaczene w nŝyner śwatowe. Dla optymalzac sprawnośc ceplne redukc kosztów, nŝynerzy badacze wykorzystuą analzę opartą na metodze, elementu skończonego. PonewaŜ wele właścwośc materałowych est zaleŝnych od temperatury, efekt cepła występue w welu nnych dzedznach modelowana multdyscyplnarnego. a przykład, zarówno toster ak mkroukład zaweraą elektryczne przewodnk, które wytwarzaą energę ceplną podczas przepływu przez ne prądu elektrycznego. Gdy te przewodnk wyzwalaą energę ceplną, temperatura układu zwększa sę w tych przewodnkach. Jeśl przewodnctwo elektryczne est zaleŝne od temperatury, to zmena sę odpowedno wpływa na pole elektryczne w przewodnku. Inny przykład z multdyscyplnarnych połączeń, które pocągaą za sobą przepływ cepła są napręŝena ceplne, konwekca w płynach nagrzewane ndukcyne. Przepływ cepła est defnowany ako ruch energ spowodowany róŝncą temperatur. Opsywane est to przez następuące trzy mechanzmy: Przewodzene est przepływem cepła przez dyfuze w ośrodku staconarnym spowodowane gradentem temperatury. Ośrodkem moŝe być cało stałe lub płyn. Konwekca est przepływem cepła pomędzy cepłą powerzchną a zmnym ruchomym płynem, zmną powerzchną a cepłym ruchomym płynem lub cepłą zmną powerzchną płynu. Konwekca występue w płynach gazach. Promenowane est przepływem cepła pomędzy powerzchną A z temperaturą T powerzchną B z temperaturą T przez elektromagnetyczne fale, pod warunkem, Ŝe T T powerzchna A est wdoczna dla neskończene małego obserwatora na powerzchn B. 4. Równane cepła Matematyczny model dla przepływu cepła przez przewodzene est równanem cepła: T ρc t ( k T Q (4. gdze T temperatura [ C lub K] ρ gęstość [kg/m 3 ] k przewodnctwo ceplne [W/(m K] Q źródło cepła lub rozpraszacz [W] C- cepła właścwe [J/(kg K] o C p cepło właścwe przy stałym cśnenu [J/(kg K] o C v cepło właścwe przy stałe obętośc [J/(kg K] Dla stanu ustalonego, temperatura ne zmena sę w czase, węc perwszy człon równana (4. zaweraący pochodną temperatury po czase zerue sę. Jeśl przewodnctwo ceplne est anzotropowe k stae sę tensorem przewodnctwa ceplnego w postac: - 6 -

8 W modelu przewodnctwa cepła konwekc przez płyn, równane cepła zawera równeŝ człon konwekcyny. Równane przewodnctwa konwekc ceplne moŝemy zapsać w postac: gdze u est wektorem pola prędkośc. To pole moŝe być znane w postac matematycznego wyraŝene zmennych nezaleŝnych lub oblczone przez rozwązane sprzęŝonego układu równań przewodnctwa oraz blansu pędu (równane aver-stokesa dla przepływu neścślwego. Wektora strumena cepła est defnowany przez wyraz w nawase występuący w równanu (4.3. W przypadku przepływu cepła z wykorzystanem konwekc przewodnctwa równane na wektor strumena ma postać: atomast, eśl przepływ cepła est wyraŝona tylko przez przewodnctwo, q est określone przez q k T (4.5. ρc T t k xx k xy k xz k k yx k yy k yz (4. k zx k zy k zz (-k T + ρc Tu Q P P (4.3 q k T + ρc Tu (4.4 P - 7 -

9 5. Bezsatkowa metoda Kansa Metoda Kansa została wprowadzona w 99 roku [] przy rozwązywanu cząstkowych równań róŝnczkowych z kolokacynym wykorzystanem radalnych funkc bazowych. Ta technka est bardzo ogólna, prosta efektywna. RozwaŜamy ogólne cząstkowe równane róŝnczkowe w obszarze dwuwymarowym Lu f(x,y w Ω Bu g(x,y w Ω (5. gdze L operator róŝnczkowy, B operator narzucaący warunk granczne, Ω obszar wewnętrzny, Ω brzegem obszaru Ω Ω Ω { },y Rysunek 5.. Przykładowa grafczna prezentaca obszaru brzegu. Wyznaczamy { P } (x,y to będze kolokacynych punktów w Ω z których (x są punktam wewnętrznym; { (x,y } są punktam brzegowym. a + rysunku 5. punkty wewnętrzne oznaczone są kolorem asno-brązowym natomast punkty brzegowe oznaczone są kolorem brązowym. Kolorem czerwonym oznaczony został obszar neregularny. W metodze Kansa przymuemy sę, Ŝe przyblŝone rozwązane problemu est wyraŝone przez u(x,y u ϕ (x,y (5. gdze { u } P są neznanym współczynnkam który będze wyznaczony, ( P P ϕ ( x-x + ( y-y ϕ( r ϕ (x,y ϕ est radalną funkcą bazową. Tuta r P est Eukldesową normą pomędzy punktam P ( x, y P x, y. ( - 8 -

10 aczęśce uŝywanym radalnym funkcam bazowym są: Funkce welomanowe (ang. the multquadrc (MQ ( r ( r + c β/ parametrem; neparzystą lczbą całkowtą Funkce gaussowska (ang. the Gaussans (GS ϕ ( r ϕ (β est c r e Polharmonczne funkce skleane (ang. the polyharmonc splnem n ϕ r r log r w R dla n (dla n mamy tzw. funkcę cenkch płyt ( Przez podstawene równana (5. do równana (5., otrzymuemy ( Lϕ ( x,y u f ( x,y,,,..., ( Bϕ ( x,y u g( x,y, +, +,..., (5.3 (5.4 W zwązku z tym rozwązuemy następuący układ lnowo - algebraczny x A A A A u u ( ( ( f ( f (5.5 ( T ( Dla neznanych [ ] [ ] T u u, u,..., u, u u +, u +,..., u. Wtedy przyblŝone rozwązane moŝemy otrzymać z równana (5. w dowolnym punkce dzedzny Ω. Tuta otrzymuemy podmacerze: A z elementem A z elementem A z elementem A z elementem (Lϕ (x,y,,,,.., (Lϕ (x,y,,,..,, +,..., (Bϕ (x,y, +,..,,,,.., (Bϕ (x,y,, +,.., I wektor f f ( ( T [ f(x,y,f(x,y,...,f(x,y ] [ g(x,y,g(x,y,...,g(x,y ] T ( Zagadnene staconarne Dla numerycznego sprawdzena, skupamy rozwązane przy następuącym równanu u u + x y f(x,y, (x,y Ω R (

11 u Ω g(x,y, (x,y Ω (5.8 Dla problemu elptycznego staconarnego, w metodze Kansa rozwązane u est przyblŝane przez gdze { } są neznanym współczynnkam który będze wyznaczony. u u(x,y Podstawaąc równane (5.9 do równana (5.7 (5.8, otrzymuemy u ϕ (x,y (5.9 ϕ ϕ + x y ( x,y u f ( x,y,,,..., (5. ( x,y u g( x,y, +,..., ϕ. (5. Równana (5.-(5. przedstawaą układ równań lnowych (o wymarze x z neznanym współczynnkam }. ZauwaŜmy, Ŝe równane (5.9 dae globalne { u przyblŝene rozwązana równana (5. dla kaŝdego punktu w dzedzne Ω. 5.. Zagadnene nestaconarne estaconarny przepływ cepła opsany est następuącym równanem róŝnczkowym cząstkowym typu parabolcznego u u u α t + x y f ( x,y,t,u,u,u, (x,y Ω R, t T x y (5. z warunkem brzegowym u Ω g (x,y,t, (x,y Ω (5.3 u n Ω g (x,y,t, (x,y Ω gdze n est wektorem normalnym do rozwaŝanego brzegu a Ω Ω + Ω. Zagadnene rozwaŝane est z następuącym warunkem początkowym u t W probleme opsanym równanem (5. moŝemy pochodną czasową zastąpć (przyblŝyć awnym schematem róŝncowym, (5.4 h(x,y, (x,y Ω (

12 u n+ u δt n u α x n+ u + y n+ f n n n ( x,y,t,u,u,u n x y (5.6 gdze δt est krokem czasowym u n, u n+ oznacza odpowedno rozwązane w czase t n nδt t n+ (n+ δt. PrzyblŜone rozwązane dla problemu parabolcznego nestaconarnego (5.,(5.3 (5.5, będze wyraŝane wtedy ako gdze n+ { u } u(x,y,t n+ n + u ϕ (x,y (5.7 są neznanym współczynnkam, które będą wyznaczone w kaŝdym kroku czasowym t t n+. W pracy rozwązywane będą zagadnena z warunkem brzegowym (5.3 dla Ω Ω oraz g ( x, y, t g( x, y, t. Podstawaąc równane (5.7 do równana (5. (5.3, otrzymuemy ϕ ϕ ϕ α δt + x y n u n δt n+ ( x,y u (,,,.., n n n ( x,y + f x,y,t,u ( x,y,u ( x,y,u ( x,y x y (5.8 n+ ( x y u g( x, y, t, +, n+,..., ϕ. (5.9 Równana (5.8 (5.9 reprezentuą lnowy układ równań z neznanym wartoścam n+ współczynnków. Po rozwązanu układu (5.8 (5.9 wykorzystanu { u } wyraŝena (5.7 otrzymuemy przyblŝone rozwązane w kaŝdym punkce obszaru Ω. 5.3 Operatory róŝnczkowe dla radalnych funkc bazowych dla przypadku staconarnego Funkca welomanowa Dla funkc welomanowe (ang. Multquadrc (MQ określone równanem ( r r c ϕ ϕ (5. + gdze ( x x + ( y y r r (x,y (5. otrzymuemy następuące wyraŝena na perwsze druge pochodne funkc welomanowe (5. - -

13 ϕ x x x ϕ (y y + c x (r + c r + c, 3/ ' ϕ y y y r + c ϕ (x x + c y (r + c 3/ (5. Wykorzystuąc równana (5. w operatorze Lφ równana (5.3 otrzymuemy rs, r ( x x + ( y y rs + c (5.3, u f(x,y,,,..., 3/ (r + c atomast wstawaąc wyraŝena (5. do wyraŝena (5.4 w mesce operatora róŝnczkowego otrzymuemy ( rs, + c u g(x,y, +,+,..., (5.4 aleŝy tuta zauwaŝyć ze wyraŝene (5.3 odnos sę do punktów wewnętrznych, natomast wyraŝene (5.4 do punktów znaduących sę na brzegu. Wykorzystuąc równana (5.3 oraz (5.4 moŝemy stworzyć układ (5.5. Kolene elementy podmacerzy macerzy A (występuące po lewe strone układu przymą następuącą postać: A (,,,..., A A Lϕ Bϕ Bϕ ( x,y rs + c ( r + c rs c A L ( x,y, + (, ϕ 3/ ( r + c,,..., ; +,.., (, ( x,y ( rs, + c, +,.., ;,,..., (, ( x, y ( rs, + c, +,.., ; +,..,, 3/,, (5.5 atomast wektor wyrazów wolnych f (występuący po prawe strone układu moŝemy zapsać w następuące postac: f f ( ( 5.3. Funkca gaussowska T [ f(x,y,f(x,y,...,f(x,y ] [ g(x,y,g(x,y,...,g(x,y ] T Dla funkc gaussowske (ang. the Gaussans (GS określone równanem - - (5.6

14 ( r c r ϕ ϕ e (5.7 gdze r ( x x + ( y y r (x,y (5.8 otrzymuemy następuące wyraŝena na perwsze druge pochodne funkc gaussowske (5.7 ϕ x ϕ y ϕ x ϕ y rs, r ce ce ce ce ( x x + ( y y c c ( rs, ( x x ( rs, ( y y c c ( rs, c( rs, + 4c e ( x x ( rs, c( rs, + 4c e ( y y, Wykorzystuąc równana (5.9 w operatorze Lφ równana (5.3 otrzymuemy c( rs, ( 4ce ( c( rs, u f(x,y,,,...,,,, (5.9 (5.3 atomast wstawaąc wyraŝena (5.7 do wyraŝena (5.4 w mesce operatora róŝnczkowego otrzymuemy c ( rs, ( e u g(x,y, +,+,..., (5.3 aleŝy tuta zauwaŝyć ze wyraŝene (5.3 odnos sę do punktów wewnętrznych, natomast wyraŝene (5.3 do punktów znaduących sę na brzegu. Wykorzystuąc równana (5.3 oraz (5.3 moŝemy stworzyć układ (5.5. Kolene elementy podmacerzy macerzy A (występuące po lewe strone układu przymą następuącą postać: - 3 -

15 A (, A rs, Lϕ r,,..., (, Lϕ ( x ( x + y y c( rs, 4ce ( c( rs ( x,y ( x,y,,..., ; +,.., c ( rs, A Bϕ ( x,y ( e, (, +,.., ;,,..., c ( rs, A Bϕ ( x,y ( e, (, (, +,.., ; +,..,, c( rs, ( 4ce ( c( rs,, (5.3 atomast wektor wyrazów wolnych f (występuący po prawe strone układu moŝemy zapsać w następuące postac: Funkca polharmonczna Dla polharmoncznych funkc skleanych (ang. the polyharmonc splnes określonych równanem gdze f f ( ( T [ f(x,y,f(x,y,...,f(x,y ] [ g(x,y,g(x,y,...,g(x,y ] T ( r r n logr + (5.33 ϕ (5.34 r ( x x + ( y y r (x,y (5.35 otrzymuemy następuące wyraŝena na perwsze druge pochodne funkc polharmonczne (5.34 ϕ x ϕ y rs, r ( x x + ( y y ( ( ( n x x rs ( + nlogrs ( ( n rs ( y y ( + nlogrs ( ( ( ( ϕ n x x n 4n x x rs, + + ( rs, x ( rs rs,, ( ( ( ( ( n n n x x rs n( rs ( n 4, +, log( rs,, ϕ n ( ( y y rs n( y y ( rs ( ( n, + 4, y rs, rs, n( rs ( n ( n n( y y ( rs ( n + 4 log rs ( (,,,,,,,,,, + + (

16 Wykorzystuąc równana (5.36 w operatorze Lφ równana (5.3 otrzymuemy ( ( n ( n rs ( + nlogrs, u f(x,y,,,...,, (5.37 atomast wstawaąc wyraŝena (5.34 do wyraŝena (5.4 w mesce operatora róŝnczkowego otrzymuemy ( rs u g(x,y, +,+,..., rs, log, (5.38 aleŝy tuta zauwaŝyć ze wyraŝene (5.37 odnos sę do punktów wewnętrznych, natomast wyraŝene (5.38 do punktów znaduących sę na brzegu. Wykorzystuąc równana (5.37 oraz (5.38 moŝemy stworzyć układ (5.5. Kolene elementy podmacerzy macerzy A (występuące po lewe strone układu przymą następuącą postać: A (,,,..., A (, A A Lϕ Lϕ Bϕ Bϕ (, ( ( ( n x, y n rs ( + nlogrs (, ( ( ( n x, y n rs ( + nlogrs,,..., ; +,.., (, ( x, y ( rs log( rs, +,.., ;,,..., (, ( x, y ( rs log( rs, +,.., ; +,..,,,,,,,,, (5.39 atomast wektor wyrazów wolnych f (występuący po prawe strone układu moŝemy zapsać w następuące postac: f f ( ( T [ f(x,y,f(x,y,...,f(x,y ] [ g(x,y,g(x,y,...,g(x,y ] T ( Operatory róŝnczkowe dla radalnych funkc bazowych dla przypadku nestaconarnego 5.4. Funkca welomanowa Dla funkc welomanowe (ang. Multquadrc (MQ określone równanem ( r r c ϕ ϕ (5.4 + gdze - 5 -

17 r ( x x + ( y y r (x,y (5.4 otrzymuemy następuące wyraŝena na perwsze druge pochodne funkc welomanowe (5.43 ϕ x x x ϕ (y y + c x (r + c r + c, 3/ ' ϕ y y y r + c ϕ (x x + c y (r + c 3/ (5.43 W równanu (5.8 w mesce drugch pochodnych podstawamy wyraŝena (5.43 oraz w mesce φ wstawamy równane (5.4 otrzymuemy rs, + c δt,,.., rs, r rs ( x x + ( y y + c, α n+ u 3/ (r + c u δt ( x,y + f ( x,y,t, atomast wstawaąc wyraŝena (5.4 do wyraŝena (5.9 w mesce operatora róŝnczkowego otrzymuemy n n (5.44 ( x y, t, + n ( rs + c u +, g, n,..., + (5.45 aleŝy tuta zauwaŝyć ze wyraŝene (5.44 odnos sę do punktów wewnętrznych, natomast wyraŝene (5.45 do punktów znaduących sę na brzegu. Wykorzystuąc równana (5.44 oraz (5.45 moŝemy stworzyć układ (5.5. Kolene elementy podmacerzy macerzy A (występuące po lewe strone układu rzymą następuącą postać: A (, rs δt,,..., rs c A, + (, rs, + c α δt 3 (r + c,,..., ; +,.., A A (, + c ( rs, + c, +,.., ;,,..., (, ( rs, + c, rs, + c α 3 (r + c +,.., ; +,..,, / /,, (5.46 atomast wektor wyrazów wolnych f (występuący po prawe strone układu moŝemy zapsać w następuące postac: - 6 -

18 f f ( ( T [ f(x,y,f(x,y,...,f(x,y ] [ g(x,y,g(x,y,...,g(x,y ] T ( Funkca gaussowska Dla funkc gaussowske (ang. the Gaussans (GS określone równanem ( r c r ϕ ϕ e (5.48 gdze r ( x x + ( y y r (x,y (5.49 otrzymuemy następuące wyraŝena na perwsze druge pochodne funkc gaussowske (5.5 ϕ x ϕ y ϕ x ϕ y rs, r ce ce ce ce ( x x + ( y y c c ( rs, ( x x ( rs, ( y y c c,, ( rs, c( rs, + 4c e ( x x ( rs, c( rs, + 4c e ( y y,, (5.5 W równanu (5.8 w mesce drugch pochodnych podstawamy wyraŝena (5.5 oraz w mesce φ wstawamy równane (5.48 otrzymuemy c ( rs, c( rs, n+ ( e α( 4ce ( c( rs u, δt (5.5 n u ( x,y + f ( x,y,tn,,,.., δt atomast wstawaąc wyraŝena (5.48 do wyraŝena (5.9 w mesce operatora róŝnczkowego otrzymuemy c ( rs, n+ ( e u g( x, y, tn+, +,..., (5.5 aleŝy tuta zauwaŝyć ze wyraŝene (5.5 odnos sę do punktów wewnętrznych, natomast wyraŝene (5.5 do punktów znaduących sę na brzegu. Wykorzystuąc - 7 -

19 równana (5.5 oraz (5.5 moŝemy stworzyć układ (5.5. Kolene elementy podmacerzy macerzy A (występuące po lewe strone układu przymą następuącą postać: ( x x + ( y y ( ( rs, r c ( rs, c( rs, A (, ( e α 4ce c( rs,, δt,,..., c ( rs, c( rs, A (, ( e α( 4ce ( c( rs,, δt,,..., ; +,.., c ( rs, A e, (, ( +,.., ;,,..., c ( rs, A ( e, (, +,.., ; +,.., (5.53 atomast wektor wyrazów wolnych f (występuący po prawe strone układu moŝemy zapsać w następuące postac: Funkca polharmonczne Dla polharmoncznych funkc skleanych (ang. the polyharmonc splnem określonych równanem gdze f f ( ( T [ f(x,y,f(x,y,...,f(x,y ] [ g(x,y,g(x,y,...,g(x,y ] T ( r r n logr + otrzymuemy następuące wyraŝena na perwsze druge pochodne funkc polharmonczne (5.57 (5.54 ϕ (5.55 ( x x + ( y y r r (x,y (

20 ϕ x ϕ y rs, r ( x x + ( y y ( ( ( n x x rs ( + nlogrs ( ( n rs ( y y ( + nlogrs ( ( ( ( ϕ n x x n 4n x x rs, + + ( rs, x ( rs rs,, ( ( ( ( ( n n n x x rs n( rs ( n 4, +, log( rs,, ϕ n ( ( y y rs n( y y ( rs ( ( n, + 4, y rs, rs, n( rs ( n ( n n( y y ( rs ( n + 4 log rs ( (,,,,,,,,,, + + (5.57 W równanu (5.8 w mesce drugch pochodnych podstawamy wyraŝena (5.57 oraz w mesce φ wstawamy równane (5.55 otrzymuemy u δt ( ( ( ( n rs log rs α( n rs ( + nlogrs n+ u,,,, δt n ( x,y + f ( x,y,t,,,.., n (5.58 atomast wstawaąc wyraŝena (5.55 do wyraŝena (5.9 w mesce operatora róŝnczkowego otrzymuemy n+ ( rs ( rs u g( x, y, t, +, log, n+,..., (5.59 aleŝy tuta zauwaŝyć ze wyraŝene (5.58 odnos sę do punktów wewnętrznych, natomast wyraŝene (5.59 do punktów znaduących sę na brzegu. Wykorzystuąc równana (5.58 oraz (5.59 moŝemy stworzyć układ (5.5. Kolene elementy podmacerzy macerzy A (występuące po lewe strone układu przymą następuącą postać: - 9 -

21 A(, δt,,..., A A ( ( ( ( n rs log rs α( n rs ( + nlogrs ( ( ( ( n rs log rs α( n rs ( + nlogrs A(,,, δt,,..., ; +,.., (, ( rs log( rs, +,.., ;,,..., (,, ( rs log( rs,, +,.., ; +,..,,,,,,,,,,, (5.6 atomast wektor wyrazów wolnych f (występuący po prawe strone układu moŝemy zapsać w następuące postac: f f ( ( T [ f(x,y,f(x,y,...,f(x,y ] [ g(x,y,g(x,y,...,g(x,y ] T Jak moŝna zauwaŝyć powyŝe, mplementaca metody Kansa est neskomplkowana. To są główne zalety ze ta technka stae sę popularna została zastosowana w welu dzedznach nauk, w których zawska są opsywane cząstkowym równanam róŝnczkowym. Jakkolwek dowód rozwązywalnośc dla lnowego systemu wynkaącego z metody est nadal nepotwerdzony, nawet dla elptycznego problemu. (

22 6. arzędze programstyczne - Sclab Sclab [] est odpowednkem paketu naukowego Matlab. WyposaŜony est w setk gotowych funkc do operac algebracznych, rozwązywana równań lnowych nelnowych, grafk dwu- trówymarowe oraz wele nnych. Został opracowany w IRIA (Insttut atonal de Recherche en Informatque et en Automatque we Franc, dostępny est od 994 roku. aleŝy do programów rodzny CAS (Computer Algebra Systems, wspomagaących oblczena naukowe. Choć est opatrzony lcencą GPL, Sclab w nczym ne ustępue - a często przewyŝsza - oprogramowane komercyne []. Szczegółowy ops środowska dostępny est w bogate lteraturze dostępne w nternece, ak choćby na strone producenta Sclaba []. Rys.Interface programu ScLab w czase wykonywanego programu. Podstawowym obektem ęzyka est macerz. MoŜe to sprawć kłopot początkuącemu uŝytkownkow, ale dzęk temu przy odpowednm zaplanowanu struktury skryptu unkamy stosowana welu zmennych skalarnych zapewnany zwęzłość zapsu. Skalar leksykalne moŝna traktować ako macerz posadaącą eden wersz edną kolumnę. W porównanu z typowym ęzykam programowana stosowanym w oblczenach (np. Fortran, C, nawet słaba znaomość składn wystarcza do rozwązywana praktycznych problemów. aleŝy pamętać, Ŝe welkość lter ma znaczene. a A to dwe róŝne zmenne. Komentarze w programe maą składnę zapoŝyczoną z ęzyka programowana C++, czyl kaŝda lnka poprzedzona znakam \\ est gnorowana. Stałą od zmenne nałatwe odróŝnć po procence poprzedzaącym nazwę, np. %p, %e - stała Eulera, podstawa logarytmu naturalnego; % - ednostka uroona, czyl perwastek kwadratowy z -; %t, %f - prawda fałsz logczny; %nf to oznaczene neskończonośc; %nan - - -

23 wyraŝene neoznaczone. Istnee teŝ stała %eps określaąca precyzę oblczeń; est to nawększa lczba, która spełna równane +%eps. Zmenne w programe ne muszą być deklarowane przed uŝycem, ak ma to mesce w nnych ęzykach programowana. Dla przykładu A[,, 3, 4] lub A[ 3 4] defnue nam czteroelementowy wektor werszowy, a A3[; 3; 4] defnue nam czteroelementowy wektor kolumnowy. Transpozyca (zamana werszy na kolumny takego wektora est prosta - wystarczy apostrof po nazwe zmenne: A. Macerz tworzymy w podobny sposób, np. B [, - ;, 3] (gdze średnk oddzela poszczególne wersze macerzy a przecnek poszczególne wyrazy w werszu. Średnk ma takŝe nne zadane - oddzela poszczególne nstrukce. Odwrócene macerzy B moŝemy uzyskać dzęk procedurze funkcyne nv. Macerz C będze macerzą odwrotną macerzy B po wykonanu polecena Cnv(B. Wyznacznk take macerzy teŝ moŝemy otrzymać od razu: det(c. Wymar zmenne rozszerza sę automatyczne, polecene D(3,3; powodue powstane macerzy o 3 werszach 3 kolumnach z określonym elementem D(3,3 równym. Pozostałe elementy te macerzy są zerowe. Średnk na końcu nstrukc zapobega wyśwetlenu wartośc zmenne. Rozszerzena wymarów struktury moŝna dokonać dzęk kolenemu podstawenu nestneące elementu D(4,43. Po klku takch podstawenach trudno zapamętać, ake są aktualne wymary macerzy; do akc wkracza wtedy funkca sze, np. [wersz, kolumna]sze(d. Zwraca ona dwe lczby całkowte; dla zmenne skalarne kolumny wersze są równe ednośc. Przy wększych wymarach macerzy trudno wprowadzć wartośc wszystkch elementów w sposób awny. Macerz ednostkową (tylko elementy dagonalne równe ednośc, reszta zerowa o wymarach x tworzy zaps DUZA_MACIERZeye(,; macerz złoŝoną za samych zer zeroes(,; wszystke elementy równe ednośc ones(,. W bardze skomplkowanych przypadkach moŝemy wykorzystać podstawene w mesce elementu macerzy nne macerzy, a ne lczby. Funkca matrx modyfkue macerz podaną ako perwszy argument tworzy z ne macerz o wymarach podanych przez następne dwa argumenty. Oprócz dzałań na macerzach, moŝemy wykonywać nstrukce na ch elementach. UŜywamy wówczas operatorów poprzedzonych kropką FE.^ podnese wszystke elementy macerzy do kwadratu, zaś zaps FE^ lub FE*E spowodue wykonane mnoŝena macerzowego według reguł algebracznych. JeŜel argumentem funkc est macerz, to rezultatem będze zmenna macerzowa np. Fcos(E. Operator ^ to oczywśce potęgowane. Funkca nv(a oblcza macerz odwrotną do macerzy x. Sclab est w stane poradzć sobe z wymaram macerzy rzędu tysęcy. Po ostatne nstrukc brak przecnka, dzęk czemu program wyśwetl wartość zmenne. MoŜemy równeŝ kaŝde rozwązane przedstawć za pomocą wykresu dwu- lub trówymarowego. SłuŜą do tego polecena plotd plot3d. KaŜdy wykres poawa sę w oddzelnym okenku, co pozwala obserwować rozwązana dla welu punktów funkc. KaŜde okenko moŝna wzbogacć o opsy os współrzędnych, komentarzy własnych ak wele nnych rzeczy. Podczas tworzena kolenych zmennych moŝe zabraknąć pamęc. Są dwa sposoby rozwązana takego problemu: zwększene dostępne przestrzen nstrukcą stacksze lub usunęce nepotrzebnych zmennych. Ilość dostępne pamęc zaleŝy od wolne pamęc systemowe przestrzen wymany. Wszystke (nechronone zmenne moŝemy usunąć polecenem clear. Jeśl chcemy usunąć edyne zmenną a, wystarczy zaps clear a. Istnee teŝ moŝlwość ustalena swoch predefnowanych zmennych w plku.sclab. Zostaną one automatyczne dołączone do środowska po ponownym uruchomenu programu. Jeśl wykonane procedury oblczenowe okaŝe sę nemoŝlwe, to powstae sytuaca wyątkowa; na szczęśce funkca eee(tryb regulue zachowane środowska w takch warunkach. Istnee moŝlwość komplowana własnych funkc. SłuŜy do tego polecene comp(funkca. Komplowane nterpretowane funkce nczym sę ne róŝną, ale zwykle - -

24 te perwsze dzałaą szybce. Funkce dostarczone ze standardowym bblotekam Sclaba są skomplowane. Polecene getf('funkce' ładue wszystke zdefnowane tam funkce, a następne e komplue. Porównane szybkośc dwóch funkc - nterpretowane komplowane - moŝna przeprowadzć za pomocą funkc tmer(, która wyśwetla czas, ak mnął od poprzednego wywołana. DłuŜsze programy pownny być zapsywane w plkach zewnętrznych, co pozwala na ch rozwane testowane. Polecene exec('test.sc',tryb dołącza do środowska programu nstrukce zawarte w plku test.sc; eśl tryb, to wyśwetlone zostaną tylko wynk dzałana (domyślne, a eśl tryb, to wyśwetlone zostaną równeŝ wykonywane nstrukce. Standardowym rozszerzenem takch plków est sc. Dla zapomnalskch twórcy pozostawl eszcze edna furtkę - moŝlwość zapsu ses nteraktywne: dary('plk' rozpoczyna zaps wszystkch wpsanych poleceń ch wynk. Jeśl chcemy zakończyć sesę, wystarczy wpsać dary(. Powstały w ten sposób plk tekstowy moŝemy analzować w dowolnym edytorze. Dobrze skonstruowany system pomocy w tak obszernym programe est nezbędny. Tuta dokumentaca w formace Adobe Acrobat lczy ponad 6 stron []. Twórcy paketu ne zapomnel o uŝytkownkach. Jeśl mamy problem ze znalezenem składn dane funkc, wystarczy wpsać w werszu poleceń help nazwa_funkc; eśl nteresuą nas nformace dotyczące np. operac welomanowych, wystarczy apropos poly. W łatwy sposób moŝna dowedzeć sę, ake zmenne zostały dotychczas stworzone - pomocą słuŝy who. Dodatkową otrzymaną nformacą est lość dostępne zaęte pamęc. Lstę podstawowych nstrukc ęzyka otrzymamy za pomocą polecena what. Badana naukowe są często nedofnansowane, a ednocześne rośne zastosowane metod oblczenowych w chem, fzyce, bolog, naukach techncznych czy nformatyce. Wszędze tam Sclab - w połączenu z Lnuksem - moŝe sę okazać wręcz neodzowny. I to ne tylko ze względu na darmowy charakter, ale takŝe na welką słę drzemącą w tym programe ego wysoką elastyczność. 6. Przykłady wykorzystana Sclaba do oblczeń wzualzac wynków Przykład aprostszym zastosowanem operac macerzowych est rozwązywane układu równań lnowych, np. x+y+3z9 x-y+z- 3x+y+z7. W Sclabe zadane to realzue następuący fragment programu (kodu -->A [ 3; - ; 3 ]; -->B[9-7]'; -->xa\b; -->xnv(a*b x! -.!!.!! 3.! W tabelce umeszczono polecena ak otrzymane wynk programu. Przykład Rozwązane macerzy róŝne sposoby e zapsana -->A[ ;3 4]; -->B[5 6;7 8]; -->C[9 ; ]; -->D[A,B,C]; - 3 -

25 -->Ematrx(D,3,4 E! !! !! ! -->Feye(E F!....!!....!!....! -->Geye(4,3 G!...!!...!!...!!...! -->Hones(4,4 H!....!!....!!....!!....! -->Izeros(4,4 I!....!!....!!....!!....! Przykład 3 Zastosowane wzualzac w Sclabe Plotd Rozwązane funkc ctcos(*p*t z krokem czasowym t.5 w przedzale (,. W Sclabe zadane to realzue następuący fragment kodu: -->t(:.5:; -->ctcos(*%p*t; -->plot(t,ct; -->xset("font",5,4;xset("thckness",3; -->plot(t,ct, Tme, Cosne, Smple Plot - 4 -

26 Połączene plotd plot3d -->r(%p:-.:;xr.*cos(*r;yr.*sn(*r; --> functon zsurf(x,y, --> zsn(x*cos(y; --> endfuncton -->t%p*(-:/; -->zsn(x.*cos(y; -->[x,y]geom3d(x,y,z; -->xpoly(x,y,"lnes"; -->[x,y]geom3d([,],[,],[5,]; -->xsegs(x,y; -->xstrng(x(,y(; Przykład 4 Rozwązane lnowego układu równań A*x+b -->Arand(5,3*rand(3,8; -->ba*ones(8,;[x,kera]lnsolve(a,b;a*x+b //compatble b ans.d-4 *! !! !! !! ! - 5 -

27 ! ! -->bones(5,;[x,kera]lnsolve(a,b;a*x+b //uncompatble b ans!.!!.!!.!!.!!.! -->Arand(5,5;[x,kerA]lnsolve(A,b, -nv(a*b //x s unquey x! !! !! !!.7894!! ! ans! !! !! !!.7894!! ! - 6 -

28 7. Wynk numeryczne W rozdzale tym przedstawone są wynk symulac dla staconarnego nestaconarnego przepływu cepła bezsatkową metodą Kansa w obszarach o regularnym lub neregularnym brzegu. Metodę tą zamplementowano w środowsku programstycznym Sclab. W pracy badano zagadnene przepływu cepła z warunkem Drchleta na całym brzegu rozwaŝanego obszaru. 7. Zagadnene staconarne na obszarze regularnym Przy rozwązywanu numerycznym wykorzystalśmy następuącą funkcę ( x, y 8x( x + 8y( y oraz rozwązane na brzegu rozwązane dokładne u f (7. ( x y g( x, y 4xy( x( y, (7. Całkowta lczba punktów *+4(mc+ gdze lczba punktów w ednym kerunku mc lczba punktów na ednym brzegu satk c, m parametry RFB (ustalane przez uŝytkownka normerr nawększy błąd rozwązana maxerr róŝnca rozwązana przyblŝonego rozwązana dokładnego W te częśc przedstawone są wynk rozwązana zagadnene (5.7 z warunkam (5.8 z funkcam (7. (7. z wykorzystanem funkc welomanowe opsane równanem (5.. Tabela 7., 7., przedstawaą zaleŝność błędu rozwązana od parametru c RFB oraz lczby punktów. Zagadnene rozwązano z całkowtą lczba punktów: 64 (wynk Tabela 7., 9 (wynk Tabela 7., 44 (wynk Tabela 7.3, 96 (wynk Tabela 7.4. Rysunek 7., 7.3, 7.5, 7.7 przedstawa zaleŝnośc błędu maxerr od parametru c dla poszczególnych przypadków. Rysunek 7., 7.4, 7.6, 7.8 przedstawa rozkład błędu maxerr na powerzchn satk. Tabela 7.. ZaleŜność błędu rozwązana od parametru c RFB lczby punktów dla mc6 Mc C normerr maxerr 6 6,.954D , 6.8D ,3.3D , , , , , , , , , ,

29 błąd,,,8 maxerr,6,4, -,,,,3,4,5,6,7,8,9,,,3,4,5 parametr c Rysunek 7.. Wykres zaleŝnośc błędu maxerr od parametru c Rysunek 7.. Rozkład błędu na powerzchn satk dla c. Tabela 7.. ZaleŜność błędu rozwązana od parametru c RBF lczby punktów dla 8 mc6. Mc c normerr maxerr 8 6,.39D ,.3D , , , , , , , , , , ,

30 błąd,8,6,4 maxerr,,,8,6,4, -,,,,3,4,5,6,7,8,9,,,3,4,5 parametr c Rysunek 7.3. Wykres zaleŝnośc błędu maxerr od parametru c Rysunek 7.4. Rozkład błędu na powerzchn satk dla c.8 Tabela 7.3. ZaleŜność błędu rozwązana od parametru c RBF lczby punktów dla 8 mc6. Mc c normerr maxerr, 7.55D-4.3, , , , , , , , , , , ,

31 błąd,6,4, maxerr,,8,6,4,,,,3,4,5,6,7,8,9,,,3,4,5 parametr c Rysunek 7.5. Wykres zaleŝnośc błędu maxerr od parametru c Rysunek 7.6. Rozkład błędu na powerzchn satk dla c. Tabela 7.4. ZaleŜność błędu rozwązana od parametru c RBF lczby punktów dla mc. Mc c normerr maxerr, , , , , , , , , , , , ,

32 błąd,4,, maxerr,8,6,4,,,,3,4,5,6,7,8,9,,,3,4,5 parametr c Rysunek 7.7. Wykres zaleŝnośc błędu maxerr od parametru c Rysunek 7.8. Rozkład błędu na powerzchn satk dla c. W te częśc przedstawone są wynk rozwązana zagadnene (5.7 z warunkam (5.8 z funkcam (7. (7. z wykorzystanem funkc gaussowske opsane równanem (5.7. Tabela 7.5, 7.6, 7.7, 7.8 przedstawaą zaleŝność błędu rozwązana od parametru c RFB oraz lczby punktów. Zagadnene rozwązano z całkowtą lczba punktów: 64 (wynk Tabela 7.5, 9 (wynk Tabela 7.6, 44 (wynk Tabela 7.7, 96 (wynk Tabela 7.8. Rysunek 7.9, 7., 7.3, 7.5 przedstawa zaleŝnośc błędu maxerr od parametru c dla poszczególnych. Rysunek 7., 7., 7.4, 7.6 przedstawa rozkład błędu maxerr na powerzchn satk. Tabela 7.5. ZaleŜność błędu rozwązana od parametru c RBF lczby punktów dla mc6. Mc Rysunek normerr maxerr 6 6, , , , , , , , ,

33 , , , , błąd,45,4,35 maxerr,3,5,,5,,5 -,5,,,3,4,5,6,7,8,9,,,3,4,5 parametr c Rysunek 7.9. Wykres zaleŝnośc błędu maxerr od parametru c Rysunek 7.. Rozkład błędu na powerzchn satk dla c. Tabela 7.6. ZaleŜność błędu rozwązana od parametru c RBF lczby punktów dla 8 mc6. Mc c normerr maxerr 8 6, , , , , , , , , , , , ,

34 błąd,6,4,, maxerr,8,6,4, -,,,,3,4,5,6,7,8,9,,,3,4,5 parametr c Rysunek 7.. Wykres zaleŝnośc błędu maxerr od parametru c Rysunek 7.. Rozkład błędu na powerzchn satk dla c.3 Tabela 7.7. ZaleŜność błędu rozwązana od parametru c RBF lczby punktów dla mc. Mc c normerr maxerr,.97d , , , , , , , , , , , , , ,

35 błąd,5,,5 maxerr,,5 -,5,,,3,4,5,6,7,8,9,,,3,4,5 parametr c Rysunek 7.3. Wykres zaleŝnośc błędu maxerr od parametru c Rysunek 7.4. Rozkład błędu na powerzchn satk dla c.5 Tabela 7.8. ZaleŜność błędu rozwązana od parametru c RBF lczby punktów dla mc. Mc c normerr maxerr, , , , , , , , , , , , ,

36 błąd,7,6,5 maxerr,4,3,,,,,3,4,5,6,7,8,9,,,3,4,5 parametr c Rysunek 7.5. Wykres zaleŝnośc błędu maxerr od parametru c Rysunek 7.6. Rozkład błędu na powerzchn satk dla c. W te częśc przedstawone są wynk rozwązana zagadnene (5.7 z warunkam (5.8 z funkcam (7. (7. z wykorzystanem funkc polharmonczne opsane równanem (5.34. Tabela 7.9, 7., 7., 7. przedstawaą zaleŝność błędu rozwązana od parametru c RFB oraz lczby punktów. Zagadnene rozwązano z całkowtą lczba punktów: 64 (wynk Tabela 7.9, 9 (wynk Tabela 7., 44 (wynk Tabela 7., 96 (wynk Tabela 7.. Rysunek 7.7, 7.9, 7., 7.3 przedstawa zaleŝnośc błędu maxerr od parametru c dla poszczególnych. Rysunek 7.8, 7., 7., 7.4 przedstawa rozkład błędu maxerr na powerzchn satk. Tabela 7.9. ZaleŜność błędu rozwązana od parametru m RBF lczby punktów dla mc6. Mc m normerr maxerr 6 6, 3.58D ,.44D ,3.84D ,4 3.73D ,5.576D ,6 6.67D ,7 5.89D ,8.8D ,9 6.67D

37 D ,.753D , 9.59D ,3 7.5D , D błąd maxerr 3,,,3,4,5,6,7,8,9,,,3,4,5 parametr m Rysunek 7.7. Wykres zaleŝnośc błędu maxerr od parametru m Rysunek 7.8. Rozkład błędu na powerzchn satk dla c.8 Tabela 7.. ZaleŜność błędu rozwązana od parametru c RBF lczby punktów dla 8 mc6. Mc M normerr maxerr 8 6, 6.595D , 7.95D ,3.599D ,4.359D ,5.785D ,6 9.59D ,7 4.D ,8 5.8D ,9 6.97D D , 3.68D ,.439D ,3 6.4D ,4 6.66D

38 błąd 4 3,5 3 maxerr,5,5,5,,,3,4,5,6,7,8,9,,,3,4,5 parametr m Rysunek 7.9. Wykres zaleŝnośc błędu maxerr od parametru m Rysunek 7.. Rozkład błędu na powerzchn satk dla c. Tabela 7.. ZaleŜność błędu rozwązana od parametru c RBF lczby punktów dla mc. Mc m normerr maxerr,.998d ,.37d ,3.3d ,4 6.6D ,5.958D , ,7.76D ,8.98D , , , , ,

39 błąd maxerr 4 3,,,3,4,5,6,7,8,9,,,3,4,5 parametr m Rysunek 7.. Wykres zaleŝnośc błędu maxerr od parametru m Rysunek 7.. Rozkład błędu na powerzchn satk dla c. Tabela 7.. ZaleŜność błędu rozwązana od parametru c RBF lczby punktów dla mc. Mc m normerr maxerr, 9.59D , 3.97D-3.69,3.596D ,4.6D ,5 6.57D , , , , , , , ,

40 błąd,5,5,5,,,3,4,5,6,7,8,9,,,3,4,5 maxerr parametr m Rysunek 7.3. Wykres zaleŝnośc błędu maxerr od parametru m Rysunek 7.4. Rozkład błędu na powerzchn satk dla c.9 7. Zagadnene nestaconarne na obszarze regularnym Przy rozwązywanu numerycznym wykorzystalśmy następuącą funkcę zaleŝną od czasu z warunkem brzegowym oraz warunkem początkowym ( x, y, t x( x + y( y t Całkowta lczba punktów *+4(mc+ gdze f 4 (7.3 ( x, y, t x( x + y( y t g 4 (7.4 ( x, y, g( x, y, u (

41 lczba punktów w ednym kerunku mc lczba punktów na ednym brzegu satk c, m parametry RFB (ustalane przez uŝytkownka dt krok czasowy nstep lość kroków maxerr róŝnca rozwązana przyblŝonego rozwązana dokładnego W te częśc przedstawone są wynk rozwązana zagadnene (5. z warunkam (5.3 (5.5 z funkcam (7.3, (7.4 (7.5 z wykorzystanem funkc gaussowske opsane równanem (5.7. Tabela 7.3 do 7. przedstawaą zaleŝność błędu rozwązana od parametru c RFB, kroku czasowego, lośc kroków oraz lośc punktów. Zagadnene rozwązano z całkowtą lczba punktów: 64 (wynk Tabela , róŝną sę tylko lczba kroków oraz krokem czasowym. Rysunek przedstawa zaleŝnośc błędu maxerr od parametru c dla poszczególnych przypadków. Rysunek przedstawa rozkład błędu maxerr na powerzchn satk. a rysunkach przedstawono tylko nalepsze rozwązana z przedzału czasowego t(,. Tabela ZaleŜność błędu rozwązana od parametru c, kroku czasowego dt., lośc kroków nstep RBF lczby punktów dla mc6. mc c dt nstep t maxerr błąd ,,3,4,5,6,7,8,9,,,3,4,5,6,7,8,9 maxerr parametr c Rysunek 7.4. Wykres zaleŝnośc błędu maxerr od parametru c - 4 -

42 Rysunek 7.5. Rozkład błędu na powerzchn satk dla t, c., dt. oraz nstep Tabela ZaleŜność błędu rozwązana od parametru c, kroku czasowego dt., lośc kroków nstep RBF lczby punktów dla mc6. mc c dt nstep t maxerr błąd maxerr 4 3,5 3,5,5,5,,3,4,5,6,7,8,9,,,3,4,5,6,7,8,9 parametr c Rysunek 7.6. Wykres zaleŝnośc błędu maxerr od parametru c - 4 -

43 Rysunek 7.7. Rozkład błędu na powerzchn satk dla t.5, c., dt. oraz nstep5 Tabela ZaleŜność błędu rozwązana od parametru c, kroku czasowego dt., lośc kroków nstep RBF lczby punktów dla mc6. mc c dt nstep t maxerr błąd maxerr,5,45,4,35,3,5,,5,,5,,3,4,5,6,7,8,9,,,3,4,5,6,7,8,9 parametr c Rysunek 7.8. Wykres zaleŝnośc błędu maxerr od parametru c - 4 -

44 Rysunek 7.9. Rozkład błędu na powerzchn satk dla t.5, c., dt. oraz nstep5 Tabela ZaleŜność błędu rozwązana od parametru c, kroku czasowego dt., lośc kroków nstep RBF lczby punktów dla mc. mc c dt nstep t maxerr błąd,,8 maxerr,6,4,,,3,4,5,6,7,8,9,,,3,4,5,6,7,8,9 parametr c Rysunek 7.3. Wykres zaleŝnośc błędu maxerr od parametru c

45 Rysunek 7.3. Rozkład błędu na powerzchn satk dla t.5, c., dt. oraz nstep5 Tabela ZaleŜność błędu rozwązana od parametru c, kroku czasowego dt., lośc kroków nstep RBF lczby punktów dla mc. mc c dt nstep t maxerr błąd 4 8 maxerr 6 4 -,,3,4,5,6,7,8,9,,,3,4,5,6,7,8,9 parametr c Rysunek 7.3. Wykres zaleŝnośc błędu maxerr od parametru c

46 Rysunek Rozkład błędu na powerzchn satk dla t.74, c., dt. oraz nstep37 Tabela ZaleŜność błędu rozwązana od parametru c, kroku czasowego dt., lośc kroków nstep RBF lczby punktów dla mc. mc c dt nstep t Maxerr błąd maxerr,5,45,4,35,3,5,,5,,5,,3,4,5,6,7,8,9,,,3,4,5,6,7,8,9 parametr c Rysunek Wykres zaleŝnośc błędu maxerr od parametru c

47 Rysunek Rozkład błędu na powerzchn satk dla t., c., dt. oraz nstep Tabela ZaleŜność błędu rozwązana od parametru c, kroku czasowego dt., lośc kroków nstep RBF lczby punktów dla mc. mc c dt nstep t maxerr błąd,7,6,5 maxerr,4,3,,,,3,4,5,6,7,8,9,,,3,4,5,6,7,8,9 parametr c Rysunek Wykres zaleŝnośc błędu maxerr od parametru c

48 Rysunek Rozkład błędu na powerzchn satk dla t.5, c., dt. oraz nstep5 Tabela 7.. ZaleŜność błędu rozwązana od parametru c, kroku czasowego dt., lośc kroków nstep RBF lczby punktów dla mc. mc c dt nstep t maxerr błąd 9 8 maxerr ,,3,4,5,6,7,8,9,,,3,4,5,6,7,8,9 parametr c Rysunek Wykres zaleŝnośc błędu maxerr od parametru c

49 Rysunek Rozkład błędu na powerzchn satk dla t.4, c., dt. oraz nstep 7.3 Zagadnene staconarne na obszarze neregularnym Przy rozwązywanu numerycznym wykorzystalśmy następuącą funkcę ( x, y 8x( x + 8y( y oraz rozwązane na brzegu rozwązane dokładne u f (7.6 ( x y g( x, y 4xy( x( y, (7.7 Całkowta lczba punktów ((*++((4*mc-7 gdze lczba punktów w ednym kerunku mc lczba punktów na ednym brzegu satk c, m parametry RFB (ustalane przez uŝytkownka W te częśc przedstawone są wynk rozwązana zagadnene (5.7 z warunkam (5.8 z funkcam (7.6 (7.7 z wykorzystanem funkc welomanowe opsane równanem (5.. Przedstawono tuta rozwązane dla nalepszego parametru c.. Zagadnene rozwązano z całkowtą lczba punktów: 38. Rysunek 7.4 przedstawa rozwązane numeryczne na powerzchn obszaru neregularnego. Rysunek 7.4 przedstawa rozkład błędu na powerzchn obszaru neregularnego. Kolor bały na rysunku przedstawa rozwązane lub błąd maksymalny, natomast kolor czarny oznacza rozwązane lub błąd mnmalny

50 Rysunek 7.4 Rozwązane numeryczne na obszarze neregularnym Rysunek 7.4 Rozkład błędu na powerzchn obszaru neregularnego W te częśc przedstawone są wynk rozwązana zagadnene (5.7 z warunkam (5.8 z funkcam (7.6 (7.7 z wykorzystanem funkc gaussowske opsane równanem (5.7. Przedstawono tuta rozwązane dla nalepszego parametru c3.. Zagadnene rozwązano z całkowtą lczba punktów: 38. Rysunek 7.4 przedstawa rozwązane numeryczne na powerzchn obszaru neregularnego. Rysunek 7.43 przedstawa rozkład błędu na powerzchn obszaru neregularnego

51 Rysunek 7.4 Rozwązane numeryczne na obszarze neregularnym Rysunek 7.43 Rozkład błędu na powerzchn obszaru neregularnego W te częśc przedstawone są wynk rozwązana zagadnene (5.7 z warunkam (5.8 z funkcam (7.6 (7.7 z wykorzystanem funkc polharmonczne opsane równanem (5.34. Przedstawono tuta rozwązane dla nalepszego parametru m.. Zagadnene rozwązano z całkowtą lczba punktów: 38. Rysunek 7.44 przedstawa rozwązane numeryczne na powerzchn obszaru neregularnego. Rysunek 7.45 przedstawa rozkład błędu na powerzchn obszaru neregularnego

52 Rysunek 7.44 Rozwązane numeryczne na obszarze neregularnym Rysunek 7.45 Rozkład błędu na powerzchn obszaru neregularnego 7.4 Zagadnene nestaconarne na obszarze neregularnym Przy rozwązywanu numerycznym wykorzystalśmy następuącą funkcę zaleŝną od czasu z warunkem brzegowym ( x, y, t x( x + y( y t f 4 (

53 oraz warunkem początkowym ( x, y, t x( x + y( y t g 4 (7.9 ( x, y, g( x, y, Całkowta lczba punktów ((*++((4*mc-7 gdze lczba punktów w ednym kerunku mc lczba punktów na ednym brzegu satk c parametr RFB (ustalany przez uŝytkownka u (7. W te częśc przedstawone są wynk rozwązana zagadnene (5. z warunkam (5.3 (5.5 z funkcam (7.8, (7.9 (7. z wykorzystanem funkc welomanowe opsane równanem (5.. Przedstawono tuta rozwązane dla parametru c.5, kroku czasowego dt. oraz lczby kroków nstep. Zagadnene rozwązano z całkowtą lczba punktów: 38. Rysunek 7.46 przedstawa rozwązane numeryczne na powerzchn obszaru neregularnego. Rysunek 7.47 przedstawa rozkład błędu na powerzchn obszaru neregularnego. Kolor bały na rysunku przedstawa rozwązane lub błąd maksymalny, natomast kolor czarny oznacza rozwązane lub błąd mnmalny. Rysunek 7.46 Rozwązane numeryczne na obszarze neregularnym - 5 -

54 Rysunek 7.47 Rozkład błędu na powerzchn obszaru neregularnego

55 8.Wnosk Dla staconarnego przepływu wykorzystane zostały wszystke funkce RFB zaproponowane w rozdzale 5. Wszystke dostarczyły satysfakconuących wynków. Porównane błędów rozwązań przedstawono w tabelach na wykresach w rozdzale 7. Dla funkc RFB welomanowe nalepsze wynk zostały zaobserwowane dla satk 64. Wynk dla tego przypadku przedstawono grafczne w rozdzale 7. na rysunkach oraz tabel 7.. Dla funkc RFB gaussowske nalepsze wynk zostały otrzymane dla satk 64. Wynk dla tego przypadku przedstawono grafczne w rozdzale 7. na rysunkach oraz tabel 7.5. Dla funkc RFB polharmonczne wynk były namne zadowalaące, nalepsze wynk wychodzą dla satk 96. Wynk dla tego przypadku przedstawono grafczne w rozdzale 7. na rysunkach oraz tabel 7.. W zagadnenach nestaconarnych dla funkc RFB welomanowe funkc polharmonczne wynk wychodzą nesatysfakconuące. Spowodowane est to złym uwarunkowanem a tym samym rozwązanem generowanego przez metodę Kansa lnowego układu równań. Dla funkc RBF gaussowske nalepsze rezultaty wychodzą dla satk 64, a wynk dla tego przypadku przedstawono grafczne w rozdzale 7. na rysunkach oraz tabel 7.4. W przypadku zagadnena staconarnego na obszarze neregularnym uzyskane wynk były tak ak w przypadku obszaru regularnego satysfakconuące. Dla funkc RFB welomanowe nalepsze wynk zostały zaobserwowane dla satk 38 parametru c.. Wynk dla tego przypadku przedstawono grafczne w rozdzale 7.3 na rysunkach Dla funkc RFB gaussowske nalepsze wynk zostały otrzymane dla satk 38 parametru c3.. Wynk dla tego przypadku przedstawono grafczne w rozdzale 7.3 na rysunkach Dla funkc RFB polharmonczne nalepsze wynk wychodzą dla satk 38 parametru c.. Wynk dla tego przypadku przedstawono grafczne w rozdzale 7.3 na rysunkach W przypadku zagadnena nestaconarnego dla obszaru neregularnego dla funkc RFB gaussowske funkc polharmonczne wynk wychodzą nesatysfakconuące. Dla funkc RBF welomanowe nalepsze rezultaty wychodzą dla satk 38 parametru c.5, wynk dla tego przypadku przedstawono grafczne w rozdzale 7.4 na rysunkach Jak moŝna zauwaŝyć powyŝe, mplementaca metody Kansa est neskomplkowana. To są główne zalety, Ŝe ta technka stae sę popularna została zastosowana w welu dzedznach nauk, w których zawska są opsywane cząstkowym równanam róŝnczkowym. Jakkolwek dowód rozwązywalnośc dla lnowego systemu wynkaącego z metody Kansa est eszcze nepotwerdzony, nawet dla elptycznego problemu []. Uogólnene te metody dla nnych problemów est aktualne badane. Ze względu na obszerność zagadnena autor przedstawł tylko wybrane wynk oblczeń numerycznych. Warto podkreślć zaletę środowska programstycznego Sclab, które okazało sę być efektywnym efektownym narzędzem do oblczeń numerycznych nŝynerskch