Badania operacyjne w logistyce i zarządzaniu produkcją

Transkrypt

1 Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Nowym Sączu Badana operacyne w logstyce zarządzanu produkcą cz. I Andrze Woźnak Nowy Sącz

2 Komtet Redakcyny doc. dr Zdzsława Zacłona przewodncząca, prof. dr hab. nż. Jarosław Frączek, dr hab. n. med., prof. nadzw. Ryszard Gadosz, prof. dr hab. Leszek Rudnck, dr hab., prof. nadzw. Wocech Kudyba, dr Monka Made-Cetnarowska, dr Waldemar Makuła Redaktor Naczelny doc. dr Zdzsława Zacłona Redaktor Wydana prof. dr hab. nż. Jarosław Frączek Sekretarz Redakc dr Tamara Bolanowska-Bobrek Redakca Technczna dr Tamara Bolanowska-Bobrek Recenzent prof. dr hab. Jerzy Gruszczyńsk Wydano za zgodą JM Rektora PWSZ w Nowym Sączu, prof. dr. hab. nż. Zbgnewa Ślpka Autor ponos odpowedzalność za poprawność ęzykową tekstu Copyrght by Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa w Nowym Sączu Nowy Sącz (wydane II uzupełnone) ISBN Adres Redakc Nowy Sącz 33-3, ul. Staszca tel , e-mal: brw@pwsz-ns.edu.pl Wydawca Wydawnctwo Naukowe Państwowe Wyższe Szkoły Zawodowe w Nowym Sączu ul. Staszca, 33-3 Nowy Sącz tel , e-mal: brw@pwsz-ns.edu.pl Druk NOVA SANDEC, ul. Lwowska 43 tel , e-mal: buro@novasandec.pl

3 Sps treśc Wprowadzene Wstęp Metody loścowe w podemowanu decyz operacynych Metodologa procesu modelowana Typy model decyzynych zadań optymalzacynych Zagadnena optymalzac lnowe..... Podstawowe postace zagadnena programowana lnowego..... Przykład lnowego modelu decyzynego Interpretaca geometryczna w dwuwymarowe przestrzen decyzyne Metoda smpleks Postać bazowa Algorytm smpleks Optymalzaca zagadneń PL z wykorzystanem arkusza kalkulacynego Przegląd szczególnych przypadków Zadane sprzeczne Alternatywne rozwązana optymalne Neogranczony zbór rozwązań dopuszczalnych Reguły postępowana w metodze smpleks Zagadnene rozkrou podzał pól Zagadnena dualne Reguły tworzena zadana dualnego Twerdzena o dualnośc Programowane lnowe w lczbach całkowtych Metoda podzału ogranczeń Zagadnena transportowe Wprowadzene do zagadneń transportowych Model transportowy sformułowane zadana transportowego Etapy rozwązywana zagadnena transportowego Perwsze dopuszczalne rozwązane bazowe Metoda kąta północno-zachodnego Metoda mnmalnego elementu macerzy kosztów Metoda aproksymacyna VAM Optymalność zagadneń transportowych metoda potencałów Ocena optymalnośc rozwązana Degeneraca w zadanu transportowym Zadana transportowe nezblansowane... 7

4 4. Technk harmonogramowana planowana secowego Technka harmonogramów lnowych Metody secowe w zarządzanu przedsęwzęcam Grafy secowe sec zależnośc Podstawowe elementy grafów secowych Stopeń uwzględnena szczegółów w grafach secowych Konstrukca sec zależnośc Analza sec zależnośc Analza drog krytyczne w secach determnstycznych (CPM) Analza stochastycznych sec zależnośc (PERT) Metoda planowana secowego MPM-METRA Zasady metody MPM Analza grafu secowego MPM-METRA Modele secowe o stochastyczne strukturze logczne GERT Technka GERT podstawowe założena Schemat procedury technk GERT Dane lczbowe charakteryzuące obcążena poszczególnych łuków sec Redukowane sec stochastyczne Modelowane produkc drzewo produktu Tworzene lsty materałowe na podstawe grafu Goznto Postępowane algebraczne Goznto Elementy sztucznych sec neuronowych Geneza bologczne podstawy sztucznych sec neuronowych Modele neuronu Budowa sec neuronowych Uczene sec neuronowych Uczene sec neuronowych z nauczycelem Uczene sec neuronowych bez nauczycela Bblografa... 54

5 Wprowadzene Badana operacyne nazywane często metodam loścowym są dzedzną wedzy, która zrodzła sę w okrese II wony śwatowe. Sama nazwa te dzedzny wyraźne sugerue e genezę, ednoznaczne koarzoną z woskowoścą woennym dzałanam operacynym. Utworzone dla potrzeb dzałań mltarnych metody matematyczne, wspomagaące wybór optymalnych decyz, po zakończenu dzałań woennych znalazły zastosowane w praktyce gospodarcze. Równeż poęce logstyka w pewnych kręgach ma do dna dzseszego slne konotace z woskem. Wypracowane kedyś dla potrzeb woska metody matematyczne, pomagaące w podemowanu decyz taktycznych operacynych, a także o znaczenu logstycznym, obecne maą swoe fundamentalne znaczene w sterowanu zarządzanu produkcą. Te trzy dzedzny wedzy: badana operacyne, logstyka przedsęborstw zarządzane produkcą, koncentruąc sę na sposobach podemowana optymalnych decyz, stały sę ważnym flarem nauk zarządzana na kerunkach zarówno ekonomcznych, ak równeż nżynerskch. Przekazywana Czytelnkom publkaca w swom zamerzenu skerowana est przede wszystkm do studentów kerunku Zarządzane nżynera produkc ako uzupełnene materału wykładowego z tych trzech przedmotów, a także do praktyków życa gospodarczego, zanteresowanych nowoczesnym stylem zarządzana. Zebrane tak szerokego materału w ednym podręcznku ma ułatwć studentom przyswaane wedzy z zakresu badań operacynych, logstyk oraz zarządzana produkcą usługam dzedzn wedzy wchodzących w zakres standardów nauczana dla kerunku Zarządzane nżynera produkc. Głównym celem, ak został nakreślony w zamerzenach, stało sę zapoznane osób studuących z różnorodnym możlwoścam wykorzystana metod matematycznych, zwązanych z podemowanem optymalnych decyz. Wykłady prowadzone przez autora obemuą szersze spektrum zagadneń zwązanych z logstyką przedsęborstw oraz zarządzanem produkcą usługam. Materał zawarty w podręcznku est próbą przedstawena badań operacynych ako wspólne os logstyk zarządzana produkcą. Zamerzenem autora była prezentaca materału w trzech częścach, z których dwe perwsze zaweraą omówene materału teoretycznego zlustrowanego przykładam, zaś część trzeca stanow zbór zadań do samodzelnego rozwązana przez osoby studuące. Część perwsza publkac dotyczy zagadneń optymalzac lnowe, polegaące na budowe optymalzacynych model matematycznych o strukturze lnowe. Omówone zostały w ne kweste programowana lnowego, dualzmu w programowanu lnowym, programowana lnowego całkowtolczbowego, kończąc na zagadnenach transportowych oraz ch optymalzac. W te częśc zaprezentowane zostały równeż modele secowe metody ch rozwązywana na Podzał tego materału wynka główne z ogranczeń edytorskch. 5

6 przykładze prostych sec determnstycznych CPM PERT oraz bardze skomplkowanych sec o stochastyczne strukturze logczne GERT. Druga część podręcznka pośwęcona est nnym metodom wspomagana operacynych decyz. Perwsze rozdzały te częśc ukerunkowane są na metody wspomagana decyz taktycznych operacynych w logstycznym zarządzanu przedsęborstwem. Dotyczą one programowana secowego, optymalzac zasobów (kosztów, zatrudnena tp.), analzy przepływów w secach, a także modelowana produkc poprzez wykreślene drzewa produktu w postępowanu algebracznym planowana zasobów materałowych. W dalsze częśc podręcznka omówone zostały podstawowe metody gospodarowana zapasam, podstawowe typy model zapasów determnstyczne stochastyczne, oparte równeż o zasady programowana dynamcznego. Przedstawona tu została ponadto stota prognozowana zużyca zasobów planowana produkc na podstawe danych hstorycznych w tym modele oparte na średnch ruchomych, proste modele Browna, modele Holta, Wntersa tp. Znaczną część podręcznka stanową metody welokryteralne w procesach decyzynych. Zaprezentowane zostały welokryteralne modele lnowe, a także modele dyskretnego welokryteralnego wspomagana decyz (AHP, Promethee, Electre). Modele te poprzedzone zostały omówenem sposobów możlwośc zachowań decydentów w procesach edno- weloetapowych, zachodzących często w warunkach nepełne nformac. Zamarem autora było równeż przedstawene sposobów optymalzac harmonogramów lnowych przez zastosowane algorytmów Johnsona, Łomnckego oraz metod symulacynych w układanu harmonogramu produkc. Poddaąc życzlwe ocene Czytelnków nneszy zbór materałów wykładowych, żywę nadzeę, że ksążka ta przyczyn sę do podnesena efektów studowana tych nełatwych przeceż dyscypln, wymagaących od współczesnego nżynera wedzy menedżerske. prof. dr hab. Andrze Woźnak 6

7 . Wstęp.. Metody loścowe w podemowanu decyz operacynych Każda dzałalność zwązana z logstycznym zarządzanem produkcą wąże sę z planowanem, organzowanem, a także wykonanem określonego zboru zadań. Dzałalność ta podporządkowana est realzac założonego celu, ak równeż wymaga posadana w dyspozyc określonych zasobów fnansowych materalnych. Wzrost pozomu technologcznego produkc w ostatnch czasach charakteryzue sę zwększaącą sę złożonoścą dzałań. Klasyczne sposoby zarządzana produkcą, oparte edyne o ntucę oraz dośwadczene decydenta, staą sę coraz mne efektywne, a coraz częśce netrafne neuzasadnone. Obserwue sę zatem wzrost zanteresowana metodam usprawnaącym proces podemowana decyz. Możlwośc tych upatrue sę w coraz powszechneszym stosowanu metod loścowych, bardzo często nazywanych badanam operacynym. Badana operacyne stanową zespół model metod poszukwana optymalnych rozwązań, czyl takch, które napełne realzuą preference decydenta. Ze względu na przedmot podemowanych decyz zalcza sę e do nauk o zarządzanu, a z uwag na stosowane metody, których celem est kwantyfkaca obektywzaca procesu decyzynego wymagaą zastosowana programowana matematycznego oraz nformatyk. Początk badań operacynych sęgaą okresu II wony śwatowe, węc w porównanu z nnym dyscyplnam maą swoą nedługą hstorę. Za ch prekursorów uważa sę L. Kantorowcza ednego z perwszych laureatów Nagrody Nobla w dzedzne ekonom, J. von Neumana twórcę teor ger, R. Bellmana twórcę m.n. programowana dynamcznego, a także welu nnych badaczy, takch tak G.B. Dantzg oraz A.K. Erlang. Nazwa badana operacyne przyęła sę podczas II wony śwatowe określała zbór metod zwązanych z analzowanem oraz planowanem operac woskowych. Badana operacyne są ścśle zwązane z programowanem matematycznym teorą podemowana decyz. Grance pomędzy tym dyscyplnam są trudne do ednoznacznego określena, a różnce polegaą na nnym rozłożenu akcentów. Programowane matematyczne zamue sę główne konstrukcą analzą algorytmów rozwązywana określone klasy problemów optymalzacynych; badana operacyne budową model różnych sytuac decyzynych; zaś teora podemowana decyz wypracowanem odpowednch reguł decyzynych na podstawe analzy właścwośc konkretnych model podemowana decyz. Bardzo często te trzy nazwy traktue sę ako synonmy. Badana operacyne pozostaą w blskm zwązku z ekonometrą, które przedmotem zanteresowań est loścowy ops rzeczywstośc gospodarcze w postac zależnośc loścowych, wykorzystywanych do formułowana loścowych praw ekonomcznych podemowana optymalnych decyz, główne makroekonomcznych... Metodologa procesu modelowana Modelowane ego proces możemy wyobrazć sobe ako układ elementów powązanych ze sobą różnym relacam, który zachowue sę w sposób celowy. Warunkem usprawnena procesu decyzynego est przeprowadzene analzy obektywne oceny podętych decyz. W tym celu został wypracowany sposób postępowana 7

8 charakterystyczny dla metod loścowych, który można sprowadzć do następuących etapów: sformułowane problemu decyzynego, czyl sporządzene opsu słownego nteresuące nas rzeczywstośc (sytuac decyzyne); konstrukca matematycznego modelu sytuac decyzyne; wybór lub opracowane odpowednego algorytmu postępowana dla wyznaczana poszukwanego rozwązana optymalnego (lub rozwązana, które przez decydenta może być zaakceptowane ako optymalne); poszukwane przetworzene nformac koneczne do oszacowana wartośc parametrów modelu optymalzacynego; rozwązane zadana optymalzacynego za pomocą wybranego lub stworzonego algorytmu; analza wrażlwośc rozwązana zadana optymalzacynego; weryfkaca modelu; mplementaca rozwązana sformułowane optymalne decyz. Proces wspomagana decyz ne sprowadza sę do automatycznego wykonana proste sekwenc wymenonych postępowań. Zazwycza model neadekwatne opsue problem decyzyny trzeba, neraz welokrotne, poprawać ego konstrukcę. O końcowym sukcese decydue ednak gotowość decydenta do zaakceptowana otrzymanych wynków podęca raconalne decyz. Należy pamętać, że w procese decyzynym ostateczną decyzę podemue menedżer-decydent, a wykonane przez analtyka oblczena stosownych algorytmów są edne podpowedzą wspomaganem optymalzac decyz..3. Typy model decyzynych zadań optymalzacynych Decyze możemy podemować w warunkach z góry określonych (pewnośc) lub w warunkach ryzyka nepewnośc, kedy ne znamy lub ne mamy pewnośc co do wszystkch okolcznośc warunkuących ch trafność. Podzał ten prowadz do wyróżnena model determnstycznych nedetermnstycznych (stochastycznych lub model decyzynych podemowanych w warunkach nepełne nformac). O modelu determnstycznym możemy mówć wówczas, gdy podemuemy decyzę w warunkach pewnośc. Zakładamy, że parametry modelu są znane stałe, co oznacza, że rozwązane optymalne modelu można utożsamać z decyzą optymalną. O modelu stochastycznym mówmy, gdy podemuemy decyzę w warunkach ryzyka. Zakładamy, że nektóre parametry modelu są zmennym losowym o znanym rozkładze prawdopodobeństwa. Wynk decyz est wtedy wypadkową dzałań podętych przez decydenta czynnków losowych. Ne można wówczas utożsamać rozwązana optymalnego z decyzą optymalną, gdyż w momence podemowana decyz ne wemy, ake wartośc przymą parametry modelu, które są realzacam zmennych losowych. O podemowanu decyz w warunkach nepewnośc mówmy, gdy parametry modelu mogą przymować różne wartośc w zależnośc od tego, ak wystąpł stan otoczena (natury). Prawdopodobeństwa wystąpena tych stanów ne są znane. Sposoby podemowana decyz w warunkach nepełne nformac (ryzyka lub nepewnośc) zostaną omówone w dalszych rozdzałach podręcznka. 8

9 Decyze można podzelć na operacyne strategczne kryterum stanow tu horyzont czasowy, a podzał ten prowadz do wyróżnena model operacynych strategcznych. O modelach operacynych mówmy wówczas, gdy podemuemy decyze o krótkm horyzonce czasu, zazwycza cechuące sę dużym stopnem powtarzalnośc. O modelach strategcznych mówmy, gdy podemuemy decyze o dalekosężnych następstwach. Konstrukca tych model napotyka wele trudnośc, zwązanych z kwantyfkacą słabo ustrukturalzowanego procesu decyzynego. Kwantyfkaca pozwala na systematyczny przegląd zboru możlwych do podęca decyz umożlwa choć czasam tylko w przyblżone forme analzę konsekwenc rozpatrywanych decyz. Ze względu na lczbę kryterów oceny problemy wyboru optymalnych decyz możemy podzelć na: problemy optymalzac ednokryteralne oraz problemy optymalzac welokryteralne. Problemy optymalzac ednokryteralne opsuą sytuacę, w które decydent w podemowanu decyz kerue sę ednym kryterum. Są to sytuace typowe dla dzałań rutynowych. W przypadku decyz strategcznych, słabo strukturalzowanych, podemowanych często przez welu decydentów, trzeba wykorzystać modele optymalzac welokryteralne. Ze względu na typ relac zachodzących mędzy welkoścam, na które decydent ma wpływ (zmennym), wyróżnamy problemy lnowe oraz problemy nelnowe. Modele lnowe w metodach loścowych występuą naczęśce z uwag na łatwość formułowana model decyzynych (opsywana ch w postac funkc lnowych) stosunkowo dobrze opsane technk oblczenowe. Wele problemów decyzynych wchodzących w zakres badań operacynych est rozwązywanych właśne za pomocą metod programowana lnowego. Metody programowana nelnowego bardze realstyczne opsuą modelowane złożonych procesów decyzynych, ednak ch rozwązane est znaczne trudnesze. W podręcznku tym ogranczymy sę główne do model decyzynych opartych na lnowych zależnoścach. Ze względu na typ zmennych decyzynych wyróżnmy problemy ze zmennym cągłym problemy ze zmennym dyskretnym. Programowane lnowe w lczbach całkowtych (przedstawone w dalszych rozdzałach te ksążk) est ednym z przykładów programowana dyskretnego. 9

10 . Zagadnena optymalzac lnowe W przedsęborstwach oraz w welu różnych sytuacach życowych, codzenne podemowane są rozmate decyze. Sytuace te nazywamy sytuacam decyzynym, a osoby podemuące decyze decydentam. Warunk, w akch decydent podemue decyzę, na ogół ne pozwalaą na dowolność. Decyzę zgodną z ogranczenam, które wynkaą z warunków otoczena, nazywa sę decyzą dopuszczalną. Ne każda ednak decyza dopuszczalna est ednakowo dobra. W śwetle celów, ake nakreślł sobe decydent, edne decyze mogą być lepsze, a nne gorsze. Stąd powstae problem wyboru decyz nalepsze, zwane decyzą optymalną, co wymaga przyęca określonego kryterum wyboru, według którego ocenamy decyze ako lepsze lub gorsze. Ops określone sytuac decyzyne nazywamy problemem decyzynym. Dale będzemy rozpatrywać tylko take sytuace, w których warunk ogranczaące, kryterum wyboru oraz decyze daą sę opsać w ęzyku matematycznym, tzn. z użycem symbol operatorów matematycznych. Tak zaps sytuac decyzyne, z użycem symbol operatorów matematycznych, nazywa sę modelem matematycznym problemu decyzynego lub zadanem decyzynym. Warunk ogranczaące naczęśce są opsywane za pomocą układu równań lub nerównośc. W równanach tych (lub nerównoścach) występuą pewne welkośc, które są znane decydentow, zwane parametram, oraz welkośc, które należy ustalć, zwane zmennym decyzynym. Oprócz warunków ogranczaących, w zadanu decyzynym mogą także występować warunk brzegowe (np. warunek neuemnośc zmennych) lub typu zmennych (np. warunek cągłośc zmennych, całkowtolczbowośc lub bnarnośc). Decyze dopuszczalne utożsamać będzemy z takm układem wartośc zmennych decyzynych (układem lczb), które spełnaą wszystke warunk brzegowe ogranczaące, opsuące badaną sytuacę decyzyną. Rolę kryterum wyboru będze pełnć pewna funkca zmennych decyzynych, merząca stopeń osągnęca celu, który chce osągnąć decydent funkca celu lub funkca kryterum. Wybór decyz optymalne polega na wyznaczenu takch wartośc zmennych decyzynych, przy których wartość funkc celu osąga wartość nakorzystneszą, tzn. w zależnośc od badane sytuac wartość mnmalną lub maksymalną. Jeżel przez D oznaczymy zbór decyz dopuszczalnych, przez d dowolną decyzę, a przez f funkcę celu, to zadane decyzyne można zapsać następuąco: * należy znaleźć taką decyzę dopuszczalną d D, * f ( d ) = max{ f ( d) d D } gdy funkca celu est maksymalzowana f ( d * ) = mn{ f ( d ) d D } gdy funkca celu est mnmalzowana Decyza d est pewną kompozycą zmennych decyzynych, oznaczanych naczęśce symbolem zmenne newadome przez x. Decyza ta będze zatem odpowedną wzaemną proporcą zmennych decyzynych do sebe, stąd częśce ogólny zaps problemu optymalzacynego est przedstawany w postac: f ( x) max lub f ( x) mn dla x D dla x D

11 Aby rozwązane takego zadana rzeczywśce pozwolło podąć nalepszą decyzę, trzeba e tak sformułować, żeby dokładne opsywało rzeczywstą sytuacę decyzyną. W tym celu należy ustalć: ake welkośc maą być wyznaczone, tzn. podać zmenne decyzyne; ake welkośc są dane (znane), tzn. określć parametry zadana; ake ogranczena mus spełnć dopuszczalna decyza sformułować e w postac równań lub nerównośc, wążąc zmenne decyzyne zapsać warunk ogranczaące; ak cel chce osągnąć decydent, tzn. sformułować funkcę zmennych decyzynych, określaącą pozom realzac założonego celu (podać funkcę celu / kryterum). Jeżel w zadanu decyzynym funkca celu oraz warunk ogranczaące są lnowe (wszystke zmenne występuą w perwsze potędze), to zadane take nazywamy zadanem programowana lnowego (PL)... Podstawowe postace zagadnena programowana lnowego Zagadnene programowana lnowego polega na wyznaczenu maksmum lub mnmum lnowe funkc celu w ogólne postac: FC = c x + c x c x n n [.] przy lnowych warunkach ogranczaących: a x + a x a x b a... x + a... x a am x + amx amnxn bm oraz warunkach brzegowych: x k dla k =,,... n oraz b dla =,,..., m [.3] n n... x n n b... [.] Powyższy zaps stanow klasyczną postać zadana programowana lnowego, dość często nazywaną postacą standardową. Ogólna postać zadana PL przedstawa sę na ogół w skrócone forme. Gdy funkca celu est maksymalzowana, e postać est następuąca: FC = n = przy warunkach ogranczaących: c x max [.4] a x b =,,..., m =,,..., n [.5] oraz warunku neuemnośc zmennych decyzynych (warunku brzegowym): x [.6] Funkca celu może być oczywśce mnmalzowana wtedy w warunkach ogranczaących występue zazwycza nny kerunek nerównośc, lecz ne ma to żadnego wpływu an na postac ogólnego zapsu PL, an na sposób wyznaczena wartośc funkc.

12 Jeżel do lewych stron nerównośc dodamy odpowedno take lczby neuemne, x, n+..., xn m, by warunk te przybrały postać następuących równań: a x + a x a x + x = b x n+ + a... x + a... x a n n... am x + amx amnxn + xn+ m = bm to przekształconą postać standardową zadana programowana lnowego nazwemy postacą kanonczną. Dodatkowe zmenne x n+, xn+,,..., x n+ m nazywaą sę zmennym blansuącym. Warunk ogranczaące [.] lub [.5] wyznaczaą w n-wymarowe przestrzen n R obszar D decyz dopuszczalnych ( d, d,..., dn ). Inacze mówąc, każda kombnaca wypukła d x ), będąca rozwązanem układu równań lub nerównośc ogranczaących n ( x n n + x... n+ n+ = b... [.7] [.3] lub [.5] spełnaąca warunek neuemnośc, tworzy obszar zaweraący zbór rozwązań dopuszczalnych. Obszar ten może być ogranczony, neogranczony lub może być zborem pustym, gdy układ nerównośc [.] est sprzeczny. Zadane programowana lnowego możemy równeż przedstawć wektorowo. Klasyczna (standardowa) postać zadana PL w zapse wektorowym wygląda następuąco: cx max [.8] Ax b [.9] x [.] gdze: c wektor werszowy współczynnków funkc celu c = [ c, c,... c n ] x wektor kolumnowy zmennych decyzynych x = [ x, x,... x n ] A macerz współczynnków warunków ogranczaących a a... a n = a a... an A am am... amn b wektor kolumnowy wyrazów wolnych (prawych stron warunków ogranczaących) b b b =... b m Postać kanonczną PL przedstawmy z kole w sposób następuący: cx max [.] Ax = b [.] x [.3]

13 .. Przykład lnowego modelu decyzynego Dane są zasoby magazynowe trzech surowców S, S, S 3 odpowedno w loścach b, b b 3. Mamy z nch wytworzyć dwa produkty P P odpowedno w loścach x x. Do wytworzena ednostk produktu P ( =,) zużywa sę a surowca S ( =,,3). Zysk ednostkowy z wyprodukowana edne ednostk produktu P est równy c ednostek penężnych. * Wyznaczyć optymalną decyzę d ( x, x) maksymalzuącą całkowty zysk z wytworzena produktów P P przy danych zasobach b, b, b 3 surowców S, S, S 3. Funkca celu w tym przykładze est równa: FC = cx + cx max [.4] Maksmum te funkc mamy wyznaczyć przy następuących ogranczenach surowcowych. Jeśl wemy, że na wyprodukowane edne ednostk produktu P zużyemy a lośc surowca S oraz na wyprodukowane edne ednostk produktu P zużyemy a lośc tego samego surowca, lecz dysponuemy ego ogranczoną loścą do welkośc b, to perwszy warunek ogranczaący dla surowca S zapszemy następuąco: () ax + a x b [.5] Analogczne możemy rozpsać dwa pozostałe warunk dla surowców S S 3. () ax + ax b [.6] (3) a3x + a3x b3 [.7] Przy warunku neuemnośc zmennych decyzynych: x x [.8] zestaw równań zapsanych formułam [.4]-[.8] stanow klasyczną postać PL. Przykład lczbowy sformułowanego zadana podany został w forme tab... Tab... Zestaw danych lczbowych do optymalzac produkc. Nazwa surowca Produkty Welkość zasobów P P surowcowych S 4 S 8 S Zysk z wyk. ednostk produkc 3 Po uwzględnenu danych lczbowych zawartych w tab.. postać klasyczna zadana decyzynego wygląda następuąco: FC = x + 3x max [.9] x + x 4 [.] x + x 8 [.] 4x 6 [.] 4x 6, x [.3] Założena do tego przykładu zaczerpnęto z pracy T. Trzaskalk pt. Wprowadzene do badan operacynych z komputerem (PWE, Warszawa 8). Pozyca ta est szczególne polecana, gdyż Autor zaopatrzył ą w program komputerowy opracowany przez kerowany przez sebe zespół pracownków. Program ten może być wykorzystany do oblczeń szeregu nnych zagadneń z zakresu metod loścowych. 3

14 .3. Interpretaca geometryczna w dwuwymarowe przestrzen decyzyne Algebraczne właścwośc lnowych model decyzynych można łatwe poznać poprzez analzę ch nterpretac geometryczne. Dwuwymarowa przestrzeń decyzyna, w które poszukwać będzemy zboru rozwązań dopuszczalnych oraz rozwązana optymalnego, stworzona est przez układ współrzędnych o osach x x, odpowadaących zmennym decyzynym zadana optymalzacynego. Poneważ w rozpatrywanym przykładze są dwe zmenne decyzyne, zatem możlwe est rozwązane tego przypadku grafczne. Wększa lczba zmennych decyzynych w zadanu np. 4, 5, 5 td. tworzy układ hperprzestrzenn n-wymarowych percypowane takch przestrzen est poza zasęgem naszych możlwośc. Oczywśce zadana optymalzacyne PL z weloma zmennym decyzynym można rozwązywać, ednak wymagaą one korzystana z odpowednch algorytmów, które będą przedmotem rozważań w dalszych rozdzałach. Aby rozwązać zadane PL zapsane wzoram [.9]-[.3] metodą geometryczną, rysuemy układ współrzędnych, a na osach x, x nanosmy ednostk. Następne rysuemy proste odpowadaące poszczególnym nerównoścom zadana. Z nerównoścą [.] est zwązana prosta o równanu x + x = 4. Znaduemy e punkty przecęca z osam x ( x = 7) oraz x ( x = 7). Nerównośc te odpowada półpłaszczyzna punktów leżących zarówno na te proste, ak na lewo od ne. Następne nanosmy proste odpowadaące kolenym nerównoścom [.] [.]. Warunek neuemnośc zmennych ograncza nasze rozważana do perwsze ćwartk układu współrzędnych. Część wspólna trzech uzyskanych półpłaszczyzn tworzy zbór punktów o współrzędnych (x, x ), spełnaących wszystke warunk ogranczaące, stanow zbór rozwązań dopuszczalnych. Zborem tym est czworokąt A, B, C, D (rys..). Aby znaleźć rozwązane optymalne zadana PL, przymuemy wartość funkc kryterum równą zeru kreślmy prostą spełnaącą ten warunek x + 3x =. Jest to prosta przechodząca przez początek przyętego układu współrzędnych (x, x ), a na rysunku zaznaczono ą lną przerywaną. Wartość funkc celu przechodzące przez początek układu współrzędnych oznacza, że wartośc zmennych decyzynych są równe zeru (x = ; x = ). Oznacza to, że ne uruchamamy produkc, a węc zysk est równy zeru. Prosta ta est zokwantą, czyl lną tych samych wartośc funkc celu. Jeśl przymemy dowolną wększą od zera wartość funkc celu, to uzyskamy prostą równoległą, która będze leżała powyże zokwanty. Jeśl przesunemy zokwantę równolegle w górę, zgodne z zaznaczonym kerunkem wzrostu funkc celu do punktu, w którym będze styczna do obszaru rozwązań dopuszczalnych, otrzymamy prostą przechodzącą przez punkt C o współrzędnych (x = 4, x = ). Będze to punkt, w którym funkca celu osąga wartość nawększą zatem est rozwązanem optymalnym. Aby znaleźć ego współrzędne, rozwązuemy układ równań: x + x = 8 4x = 6 Perwastkam tego układu równań są x = 4 x = współrzędne punktu C, a zarazem wartośc zmennych decyzynych, przy których funkca kryterum osąga swoe optmum. 4

15 Rys... Interpretaca grafczna zadana programowana lnowego. Na rys.. przedstawona est nterpretaca geometryczna rozpatrywanego przykładu lczbowego oraz ego rozwązane. Welokąt ABCD stanow zbór rozwązań dopuszczalnych Ω, w naszym przykładze est welokątem wypukłym na płaszczyźne punktów (x, x ), est równeż dwuwymarowym przypadkem szczególnym n- wymarowego obszaru weloścennego, opsanego przez warunk ogranczaące [.] w n-wymarowe przestrzen. Oczywśce metoda grafcznego rozwązana zagadnena programowana lnowego może być stosowana edyne w przypadku n =. Wyznaczene obszaru weloścennego Ω w n-wymarowe przestrzen (gdy n > ) poszukwane tam określonego werzchołka, który est nabardze oddalony od hperpłaszczyzny utworzone przez weloman funkc kryterum ( c x + c x c x n n = ) est praktyczne nemożlwe. Warto w tym mescu zwrócć uwagę na pewną właścwość rozwązana optymalnego. Poszukwany punkt optymalny C, w którym funkca celu PL osąga wartość optymalną, ne leży, ak wdać na wykrese (rys..), wewnątrz zboru Ω rozwązań dopuszczalnych, lecz na ednym z ego werzchołków. Podobne będze równeż w przestrzenach n-wymarowych, gdze optymalne rozwązane będze leżało gdześ na werzchołkach hpersfery utworzone przez weloścan wypukły..4. Metoda smpleks Metoda smpleks est podstawową metodą znadywana optymalnych rozwązań zadań programowana lnowego. Jest to metoda ogólna, pozwalaąca rozwązać każde zadane PL, która polega na sekwencynym, ścśle określonym przeglądze rozwązań bazowych. 5

16 .4.. Postać bazowa Aby zastosowań metodę smpleks, należy zadane programowana lnowego zadanego w forme klasyczne przedstawć w forme standardowe (kanonczne). Jak uż wemy, zbór warunków ogranczaących należy przedstawć w forme równań przez dodane do każde nerównośc zmenne blansuące (formuła [.7]). Nowych zmennych w zadanu będze zatem tyle, le est warunków ogranczaących. Poneważ w naszym przykładze występuą dwe zmenne decyzyne x x oraz mamy trzy warunk ogranczaące, węc dodamy trzy zmenne blansuące. Kanonczna postać naszego zadana przedstawa sę następuąco: f x, x, x, x, x ) = x + 3x max [.4] ( x + x + x3 = 4 [.5] x + x + x 4 = 8 [.6] 4x + x5 = 6 [.7] x x, x, x, x [.8], Dodane do lewych stron nerównośc [.5]-[.7] zmenne blansuące x 3, x 4 x 5 określaą różncę lewych prawych stron nerównośc. Możemy zatem zapsać, że zmenne blansuące przymuą wartośc: x 3 = 4 x x [.9] x 4 = 8 x x [.3] x 5 = 6-4x [.3] Każdy warunek ogranczaący [.5]-[.7] przyporządkowany est określonemu surowcow S, S S 3. Wartośc x 3, x 4, x 5, zapsane formułam [.9]-[.3], określaą, ake lośc surowców S, S S 3 pozostaną newykorzystane w przypadku realzac planu produkc (x, x ). W rozpatrywanym przez nas zadanu współczynnk funkc celu [.4] tworzą wektor współczynnków funkc celu c, współczynnk warunków ogranczaących [.5]-[.7] wchodzą w skład macerzy współczynnków A, prawe strony warunków ogranczaących tworzą wektor warunków ogranczaących b, zaś zmenne występuące w zadanu przedstawmy ako wektor zmennych x. Wektorowy zaps ogólny kanonczne postac zdana PL został przedstawony formułam [.]-[.3]. W rozpatrywanym zadanu występue pęć zmennych (dwe decyzyne trzy blansuące) oraz trzy warunk ogranczaące, tak węc składowe wektorów elementy macerzy są następuące: [ 3 ] c =, A =, 4 4 b = 8, 6 x x x = x 3 x4 x 5 [.3] Macerz A utworzona est ze współczynnków podanych w zestawe nerównośc [.5]-[.7], e kolumny odpowadaą poszczególnym zmennym, a wersze poszczególnym warunkom ogranczaącym. Ostatne trzy kolumny macerzy utworzone 6

17 są ze współczynnków odpowadaących zmennym blansuącym x 3, x 4, x 5. Tworzą one macerz B. Jest to macerz kwadratowa (w naszym przypadku macerz 3. stopna), składaąca sę z lnowo nezależnych kolumn macerzy A. Macerz B nazywać będzemy bazą, e kolumny kolumnam bazowym, a pozostałe kolumny macerzy A kolumnam nebazowym. Zmenne zwązane z kolumnam bazowym nazywać będzemy zmennym bazowym, a pozostałe zmenne zmennym nebazowym. Z każdą bazą B układu Ax = b zwązane est rozwązane bazowe. Jeżel układ Ax = b est nesprzeczny oraz n>m, to układ ten ma neskończene wele rozwązań, ale skończoną lczbę rozwązań bazowych. Oznacza to, że w naszym zadanu układ równań [.5]-[.7], z którego powstała macerz A, est w postac bazowe oraz że zmenne (x 3, x 4, x 5 ) tworzą bazę, czyl, że są zmennym bazowym, natomast zmenne decyzyne x x zmennym nebazowym, a rozpatrywane zadane programowana lnowego est zadanem w postac bazowe. Jeśl przymemy, że w równanach [.9]-[.3] zmenne decyzyne x x przymuą wartośc równe zeru, to wartośc zmennych bazowych x 3, x 4 x 5 są dodatne (neuemne). Poneważ wszystke wartośc zmennych bazowych są neuemne, to take rozwązane est bazowym rozwązanem dopuszczalnym. Na rys.. odpowada to punktow A (,), który est ednym z werzchołków czworokąta A, B, C, D, wyznaczaącego zbór rozwązań dopuszczalnych. Takemu rozwązanu bazowemu odpowadaą wartośc zmennych: x =, x =, x 3 = 4, x 4 = 8, x 5 = 6 W rozwązanu tym wartość funkc celu est równa zeru, gdyż ne uruchamamy produkc (zmenne decyzyne x x są równe zeru), natomast zmenne blansuące x 3, x 4, x 5, określaące newykorzystane zasoby surowców S, S S 3, są równe dysponowanym welkoścom tych zasobów. Każde baze B odpowada określony podzał zmennych na zmenne bazowe nebazowe oraz zwązane z ną rozwązane bazowe. Przy dane baze B wektor zmennych x oraz macerz A można przedstawć ako: x = (x B, x N ), A = (B, N) Wówczas układ równań [.] zapszemy w postac: Bx B + Nx N = b [.33] Mnożąc lewostronne układ [.3] przez B -, otrzymuemy postać bazową: Ix B + Wx N = b * [.34] gdze: I = B - B [.35] W = B - N [.36] b * = B - b [.37] Z postac bazowe [.34] łatwo można odczytać rozwązane bazowe: x B = b *, x N = Jeżel dla dane bazy B: x B = B - b, to rozwązane bazowe est rozwązanem dopuszczalnym. 7

18 Dwe bazy B B nazywamy bazam sąsednm, eżel różną sę tylko edną kolumną macerzy A, a rozwązane bazowe będzemy nazywal rozwązanem sąsednm, eśl będze różnć sę tylko edną zmenną bazową..4.. Algorytm smpleks Metoda smpleks polega na teracynym rozpatrywanu cągu sąsednch rozwązań bazowych. Doboru bazy sąsedne dokonuemy w tak sposób, aby otrzymane nowe rozwązane bazowe ne było gorsze od rozwązana poprzednego. Poszukwań tych dokonue sę poprzez welokrotne wykorzystane tablcy smpleksowe, będące pewną modyfkacą zapsu macerzowego [.3]. Tab... Schemat perwsze tablcy smpleksowe. c x B c B A I b z c z wersz zerowy wersz kryterum smpleks (wskaźnk optymalnośc) wartość FC Centralną część te tablcy zamue macerz współczynnków zmennych decyzynych, występuących w warunkach ogranczaących A wraz z e podmacerzą ednostkową I, utworzoną przez te współczynnk stoące przy zmennych bazowych. Jak można zauważyć, macerz A w zapse [.3] została podzelona na część A utworzoną przez kolumny zmennych nebazowych, oraz część I utworzoną przez kolumny zmennych bazowych. Perwszy wersz zamue wektor współczynnków funkc celu c. Dwe perwsze kolumny z lewe strony macerzy współczynnków przeznaczone są na wykaz zmennych aktualne tworzących bazę oraz ch współczynnk występuące w funkc celu. Ostatną kolumnę zamue wektor wyrazów wolnych b ako wektor kolumnowy prawych stron warunków ogranczaących. Tab..3. Schemat oblczeń tablcy smpleksowe w -te terac z wykorzystanem rachunku macerzowego. c x B c B B A B B - b - - z z c B B - A c B B - - c c - c B A c - c B B B - c B B - b Po sprawdzenu otrzymanego rozwązana pod względem ego dopuszczalnośc optymalnośc, przechodzmy do bazy sąsedne w następne terac wypełnamy tablce smpleksową według schematu zawartego w tab..3. W tablcy te pokazano 8

19 sposób postępowana dla dowolne terac, wykorzystuący zaps rachunek macerzowy. Każdorazowe wypełnene te tablcy według schematu ponowne podlega ocene dopuszczalnośc optymalnośc uzyskanego nowego rozwązana Sposób postępowana w algorytme smpleks szczegółowo pokażemy na przykładze lczbowym. Korzystaąc z rozpsanych w postac wektorów macerzy [.3] przykładu oblczenowego oraz schematu zawartego w tab.., możemy zapsać perwszą postać bazową naszego przykładu. Tab..4. Tablca smpleksowa perwsza (perwsza postać bazowa). Współczynnk zmennych w funkc Funkca celu celu [c] cx max 3 Wyrazy wolne [b] Zmenne Współczynnk Nazwy zmennych [x] bazowe zmennych [B] bazowych [c B ] x x x 3 x 4 x 5 x 3 4 x 4 8 x n z = cba = Kryterum smpleks c z ) 3 ( Wartość FC W perwszym werszu tabel umeszczony został wektor c, którego elementy stanową współczynnk stoące przy zmennych w funkc celu est to wektor werszowy o składowych [, 3,,, ]. Dwe perwsze składowe to współczynnk w funkc celu, stoące przy zmennych decyzynych, a współczynnk wprowadzonych do funkc celu zmennych blansuących występuą w postac zer. W centralnym mescu tabel, w kolumnach oznaczonych nazwam wszystkch zmennych (x, x,, x 5 ) umeszczona została macerz A. Jak pamętamy, elementam (a ) macerzy A są współczynnk stoące przy zmennych w warunkach ogranczaących [.5]- [.7]. Perwsza postać bazowa zadana optymalzacynego PL zakłada, że zmenne decyzyne przymuą wartośc równe zeru, a bazę stanową wprowadzone zmenne blansuące. Jak węc łatwo dostrzec, kolumny x x utworzone zostały przez zmenne decyzyne, a kolumny x 3, x 4, x 5 przez zmenne blansuące, stąd ch odpowedne współczynnk występuą w postac zer lub edynek, tworząc macerz ednostkową I. Jest to dodatkowa właścwość tabel smpleksowe, że w każde terac przedstawaące nową postać bazową za każdym razem zmenne bazowe, po odpowednch przekształcenach elementarnych, będą tworzyć macerz ednostkową. Dwe dodatkowe kolumny umeszczone z lewe strony tabel smpleksowe to wykaz zmennych bazowych oraz ch współczynnków występuących w funkc celu. Poneważ perwsza postać bazowa zawera zmenne blansuące ako bazę, stąd w te kolumne występuą zmenne x 3, x 4 x 5, a w następne same zera ako ch współczynnk w funkc celu. Ostatną kolumnę tablcy stanow wektor wyrazów wolnych b, czyl prawych stron warunków ogranczaących o składowych wynoszących odpowedno 4,

20 Dwa ostatne wersze tabel smpleksowe przeznaczone zostały dla oblczeń pomocnczych. W ednym z nch wyznaczamy wskaźnk z oblczony ako loczyn skalarny dwóch wektorów będących kolumnam tablcy smpleksowe: wektora c B oraz odpowedne kolumny x macerzy współczynnków A. Wersz ten nazywa sę werszem zerowym, poneważ w perwsze postac bazowe występuą w nm same zera. W drugm werszu wyznaczona została wartość różncy c z, nazywana wskaźnkem optymalnośc lub kryterum smpleks. Wersz ten odgrywa bardzo stotną rolę w algorytme smpleks. Na ego podstawe dokonuemy oceny, czy aktualne analzowane rozwązane bazowe est rozwązanem optymalnym należy zakończyć postępowane, czy też ne należy, w poszukwanu rozwązana lepszego, prześć do sąsedne bazy. Wskaźnk ten nformue, o le ednostek wzrosłaby lub zmalała wartość funkc celu, gdyby zmenna odpowadaąca temu wskaźnkow wzrosła o edną ednostkę. Jeśl dla pewnych zmennych wartość tych wskaźnków est dodatna, oznacza to, że wprowadzene którekolwek z nch do bazy spowodue proporconalny wzrost wartośc funkc celu. Oznacza to w końcu, że można znaleźć eszcze nną bazę, dla które rozwązane funkc kryterum będze lepsze lub przynamne ne gorsze od obecne analzowane. Z tablcy smpleksowe łatwo równeż odczytać wartość funkc celu odpowadaącą aktualne rozwązanu bazowemu (bazę stanową zmenne x 3, x 4, x 5 ). Wartość funkc celu otrzymuemy, mnożąc skalarne kolumnę zaweraącą składowe wektora c B oraz kolumnę ostatną, zaweraącą składowe wektora b. W perwsze tablcy smpleksowe naszego przykładu wartość tę wyznaczamy, oblczaąc: = czyl wartość funkc celu odpowadaącą perwszemu rozwązanu bazowemu. Aby wykonać następny krok algorytmu smpleks należy: sprawdzć, czy rozpatrywane rozwązane bazowe est optymalne, czy też ne; w przypadku, gdy ne est optymalne, należy wyznaczyć nową bazę sąsedną, przekształcć za pomocą przekształceń elementarnych macerz warunków ogranczaących do postac bazowe (tak by zmenne bazowe w te macerzy utworzyły macerz ednostkową I); eśl będzemy korzystać ze schematu oblczenowego zawartego w tab..3, wykorzystuąc dzałana na macerzach, to macerz ednostkową, aką utworzą zmenne bazowe, uzyskamy automatyczne ne będze konecznośc wykonywana przekształceń elementarnych. Sprawdźmy zatem optymalność rozwązana naszego perwszego rozwązana bazowego. Poneważ wartość współczynnków optymalnośc est wększa od zera dla zmennych x x, oznacza to, że eżel wprowadzmy do nowe bazy którąkolwek z tych zmennych, to możemy lczyć na poprawę wartośc funkc kryterum. Można węc sformułować ogólne kryterum optymalnośc rozwązana w następuący sposób: Kryterum optymalnośc Jeżel wartośc wszystkch wskaźnków optymalnośc ne są dodatne (dla zadana maksymalzac), to rozwązane est optymalne. Jeśl choć eden ze wskaźnków optymalnośc est wększy od zera (dodatn), to rozwązane ne est optymalne można e eszcze poprawć.

21 W naszym przypadku rozwązane ne est optymalne, gdyż wskaźnk optymalnośc dla zmenne x wynos c z = = =, a dla zmenne x wynos c z = 3 = 3. Oznacza to, że wprowadzaąc edną z tych zmennych do nowe bazy, możemy spodzewać sę poprawy wartośc funkc kryterum. Wprowadzene do nowe bazy zmenne x spowodue przyrost funkc celu o dwe ednostk za każdą ednostkę wprowadzone zmenne, a wprowadzene zmenne x spowodue przyrost funkc celu o trzy ednostk. Poneważ poszukuemy optymalnego rozwązana w ak namnesze lczbe terac, wprowadzmy zatem do bazy zmenną, która powodue ednorazowy wększy (szybszy) przyrost funkc celu. W naszym przykładze będze to zmenna x, dla które wartość wskaźnka optymalnośc wynos 3. Możemy węc sformułować ogólne kryterum, zwązane z weścem nowe zmenne do bazy w mesce nne zmenne bazowe. Przypomnamy, że prześce od edne bazy do następne bazy sąsedne mus odbyć sę w tak sposób, żeby baza sąsedna różnła sę od poprzedne tylko edną zmenną. W procedurze prześca do bazy sąsedne wykorzystamy kryterum weśca kryterum wyśca. Kryterum weśca Do nowe bazy wprowadzamy zmenną, dla które wskaźnk optymalnośc est nawększy. W przypadku neednoznacznośc do bazy wprowadzamy zmenną o nanższym numerze. Kryterum wyśca Oblczamy lorazy kolenych wyrazów wolnych przez odpowadaące m elementy kolumny wchodzące do bazy dla tych elementów kolumny wprowadzane do bazy, które są dodatne. Bazę opuszcza ta zmenna, dla które odpowadaący e loraz est namneszy. W przypadku neednoznacznośc wyberamy zmenną o nanższym numerze. Korzystaąc z kryterum weśca, wyberamy zmenną x, dla które wskaźnk optymalnośc wynos 3 est wększy od wskaźnka optymalnośc dla zmenne nebazowe x, dla które wskaźnk ten wynos. Możemy węc powedzeć, że zmenną wchodzącą do nowe bazy est zmenna x. W następne kolenośc wyznaczmy lorazy wyrazów wolnych przez odpowedne elementy kolumny wchodzące do bazy. Rozważamy kolumny zmenne x wyrazu wolnego b zawarte w tab... dla zmenne bazowe x 3 loraz ten oblczymy: x 3 4/ = 7 dla zmenne bazowe x 4 loraz ten oblczymy: x 4 8/ = 4 dla zmenne x 5 wartość lorazu est neokreśloną. Zgodne węc z defncą kryterum wyśca, zmenną opuszczaącą bazę est zmenna x 4, gdyż dla te zmenne oblczany loraz est mneszy. W tab..5 przestawony został fragment tablcy smpleksowe po wprowadzenu nowe zmenne x wyścu z bazy dotychczasowe zmenne bazowe x 4. Nową bazę tworzą teraz zmenne x 3, x x 5.

22 Tab..5. Fragment tablcy smpleksowe po zmane bazy przygotowane do przekształceń elementarnych. Baza c B x x x 3 x 4 x 5 x 3 x 3 x 5 4 Jak można zauważyć, po zmane bazy nowe zmenne bazowe (kolumny zacemnone) ne tworzą macerzy ednostkowe. Macerz B (baza w druge terac) wygląda węc następuąco: = B oraz e odwrotność =,5 B - Wykonuąc dzałana na macerzach według schematu.3, otrzymuemy nowe podmacerze, które umeszczamy w tablcy smpleksowe w odpowednch mescach. Oblczoną macerz - B wstawamy do tablcy smpleksowe w kolumnach x 3, x 4, x 5. W kolumnach x x wstawamy wynk oblczeń: = = 4,5 4,5 - A B - Wektor wyrazów wolnych w druge terac (b ) oblczymy następuąco: = = = ,5 - b B b - Wartośc wskaźnków wersza zerowego dla zmennych x x wylczymy z zależnośc: [ ] 3,5 4,5-3 A B c z - B = = = dla kolumn odpowadaących zmennym x 3, x 4, x 5 w zależnośc: [ ],5,5-3 B c z - B = = = Wartość funkc celu w druge terac wylczymy następuąco: 6 8 4,5-3 b B c FC - B = = =

23 Wartośc wersza kryterum smpleks możemy wylczyć, korzystaąc z zależnośc macerzowych podanych w schemace (tab..4) lub bezpośredno w tablcy, odemuąc kolumnam od perwszego wersza współczynnków funkc celu odpowedne wartośc wersza zerowego. Wynk postępowana w druge terac zapsano w tab..6. Tab..6. Druge rozwązane bazowe (tablca smpleksowa po druge terac). Współczynnk zmennych w funkc celu Funkca celu [c] cx max 3 Zmenne Współczynnk Nazwy zmennych [x] bazowe zmennych x [B] bazowych [c B ] x x 3 x 4 x 5 Wyrazy wolne [b] x 3-6 x 3,5,5 4 x n z = cba,5 3,5 = Kryterum smpleks c z ),5 -,5 ( Przeprowadźmy zatem analzę otrzymanych wynków naszego przykładu w druge terac. Jak wdać, kolumny bazowe zbudowane ze zmennych x, x 3, x 5 po dokonanych przekształcenach tworzą macerz ednostkową. Korzystaąc z defnc kryterum optymalnośc, możemy stwerdzć, że uzyskane rozwązane ne est optymalne, poneważ wartośc wskaźnka optymalnośc dla zmenne x est dodatna. Jednocześne kryterum weśca metody smpleks wskazue, że tylko zmenna x może weść do nowe bazy. Przyrost wartośc funkc celu po wprowadzenu do bazy te zmenne wynese,5 ednostek za każdą ednostkę przyrostu zmenne x. Stosuąc defncę kryterum wyśca, oblczamy następuące lorazy: dla wersza zmenna bazowa x 3 6 : = 6 dla wersza zmenna bazowa x 4 :,5 = 8 dla wersza 3 zmenna bazowa x 5 6 : 4 = 4 Namneszą wartość lorazu otrzymuemy dla wersza 3, co wskazue, że zmenna x 5 mus opuścć bazę. Po wprowadzenu zmenne x do bazy w mesce zmenne x 5, otrzymamy nową tablcę smpleksową, które fragment przedstawa tab..7. Tab..7. Fragment tablcy smpleksowe po zmane bazy przygotowane do przekształceń elementarnych. Baza c B x x x 3 x 4 x 5 x 3 x 3 x 4 3

24 Bazę w trzece terac stanową zmenne x 3, x, x, a e postać macerzowa przedstawa sę następuąco:,5 B = 3 oraz e odwrotność B - 3 =,5,3 4,5 Jak łatwo zauważyć, nową macerz B 3 tworzymy, wypsuąc zmenne w kolenośc, w ake występuą w werszach tablcy smpleksowe. Wartośc macerzy A wektora b do dalszych oblczeń przymuemy nezmenone z perwsze tablcy smpleksowe. Po wykonanu w opsany wyże sposób dzałań na macerzach, otrzymuemy trzecą tablcę smpleksową w postac: Tab..8. Tabela smpleksowa po trzece terac. Funkca celu cx max Zmenne bazowe [B] Współczynnk zmennych bazowych [c B ] Współczynnk zmennych w funkc celu [c] 3 Nazwy zmennych [x] x x x 3 x 4 x 5 Wyrazy wolne [b] x 3 - -,5 x 3,5 -,3 x,5 4 n z = cba 3,5,3 = Kryterum smpleks c z ) -,5 -,3 ( Sprawdźmy zatem, czy otrzymane w trzece terac rozwązane bazowe est rozwązanem dopuszczalnym optymalnym. Wszystke zmenne w rozwązanym zadanu są dodatne, węc rozwązane est dopuszczalnym. Wartośc wylczonych zmennych bazowych odczytuemy z tablcy smpleksowe: x = 4, x =, x 3 =, x 4 =, x 5 = W ostatnm werszu tablcy smpleksowe (tab..8) wszystke wskaźnk optymalnośc są nedodatne, zatem zgodne z kryterum optymalnośc otrzymane rozwązane est rozwązanem optymalnym. Możemy węc zakończyć procedurę oblczenową. Otrzymane wynk wskazuą, że optymalny plan produkc wynos 4 ednostk produktu P ednostk produktu P. Przy optymalnym plane produkc w magazyne pozostane newykorzystana część surowca S w lośc ednostek Optymalzaca zagadneń PL z wykorzystanem arkusza kalkulacynego Zadana programowana lnowego możemy sprawne rozwązać, korzystaąc z arkusza kalkulacynego MsExcel, za pomocą programu Solver, znaduącego sę w dodatkach (Narzędza Dodatk Solver). 4 4

25 Aby skorzystać z możlwośc rozwązana naszego zadana z użycem arkusza kalkulacynego, należy arkusz odpowedno przygotować. W arkuszu kalkulacynym został on zapsany w podobny sposób ak w tabel z danym (tab..). Rys... Przygotowane arkusza kalkulacynego do oblczena zadana PL. Tabela z danym zameszczona est w komórkach arkusza A:D5. W komórkach B8:C8 umeszczamy współczynnk funkc celu te, które w tabel danych zameszczone są w werszu ZYSK odpowedno dla produktu P P. Pod nm w komórkach B9:C9 rezerwuemy mesce na wynk, ake zostaną wygenerowane przez program. Wynkam tym będą optymalne wartośc zmennych decyzynych (początkowo przymuą wartość zero) oraz wartość funkc celu przy zrealzowanu optymalnego planu (też początkowo równa zeru). Wartość funkc celu będzemy przechowywać w komórce F8, ednak naperw musmy wpsać do ne formułę (SUMA.ILOCZYNÓW(B8:C8; B9:C9). W komórkach B::C4 wpsuemy współczynnk występuące przy zmennych w warunkach ogranczaących (macerz A). Jest to skopowana wartość komórek B:C4. W komórkach D:D4 wylczymy wartość warunków ogranczaących. Formułę wylczaącą wartość perwszego warunku ogranczaącego (komórka D) mamy zapsaną aktualne w werszu poleceń. Skopowane te formuły do komórek D3 D4 pozwol na przechowywane wynków z rozwązana warunków ogranczaących przy dowolne wyznaczonych zmennych. W komórkach E:E4 umeszczamy prawe strony warunków ogranczaących (wektor wyrazów wolnych). Dysponuąc tak przygotowanym arkuszem (rys..), uruchamamy program Solver. Program ten est automatyczne nstalowany przy nstalac pełne paketu MSOffce. Można go też zanstalować późne z menu: Narzędza Dodatk zaznaczyć odpowedną opcę. Dysponuąc tak przygotowanym arkuszem, uruchamamy program. W okone Solver Parametry ustawamy komórkę funkc celu komórk zmenne oraz ogranczena, a t korzystaąc z przycsków radowych, wyberamy opcę Maks (rys..3). 5

26 Rys..3. Okno dalogowe Solver Parametry. Nacskamy przycsk Opce w okne dalogowym zaznaczamy pola wyboru Przym model lnowy Przym neuemne. Klawszem OK zamykamy okno Solver Opce nacskamy przycsk Rozwąż. Poaw sę okno dalogowe Solver Wynk (ak na rys..4), w którym możemy zadecydować, czy wynk oblczeń mamy przechować w arkuszu kalkulacynym, czy wrócć do ustaweń początkowych. Rys..4. Okno dalogowe Solver Wynk. W arkuszu kalkulacynym poaw sę rozwązane naszego zadana. Wynk uzyskane w Solverze są dentyczne z tym, które otrzymalśmy metodą grafczną algorytmem smpleks. Rys..5. Wynk rozwązana zadana PL w arkuszu kalkulacynym. 6

27 W komórkach B9 C9 podane są optymalne wartośc zmennych decyzynych, a w komórce F8 est podana wartość funkc celu przy zrealzowanu optymalnego planu. Arkusza kalkulacynego możemy też używać do rozwązywana algorytmu smpleks z wykorzystanem rachunku macerzowego. Sposób wypełnana kolenych tablc smpleksowych, powstałych przez mnożene fragmentów tablc smpleksowych przez odpowedne kolumny lub wersze pochodzące z terac poprzednch, traktowalśmy ako wykonywane dzałań na macerzach. Sposób ten został pokazany wcześne, bez wchodzena w szczegóły technczne tych oblczeń. Ponże przedstawmy sposób wypełnana kolenych tablc smpleksowych z wykorzystanem arkusza kalkulacynego. Wychodzmy oczywśce od perwsze postac bazowe naszego przykładu, wpsuąc ą w odpowedne komórk arkusza. Rys..6. Perwsza postać bazowa zagadnena PL. Zmenne blansuące x 3, x 4 x 5 tworzą perwsze rozwązane bazowe. Korzystaąc z podanych kryterów: optymalnośc, weśca wyśca, podemuemy decyzę o dalszych krokach algorytmu smpleks. Na podstawe wersza optymalnośc (komórk C8:G8) możemy powedzeć, że otrzymane w te postac bazowe rozwązane ne est optymalne (wartośc współczynnków optymalnośc są dodatne). Należy węc poszukać nowe bazy sąsedne wskazać, która zmenna wedze do nowe bazy, a która mus być z bazy usunęta. Kryterum weśca wskazue, że tą zmenną est zmenna decyzyna x, gdyż odpowadaący e wskaźnk optymalnośc (komórka D8) est nawększy. Aby wskazać zmenną opuszczaącą bazę, korzystamy z kryterum wyśca oblczamy na boku arkusza (np. w komórkach I4 I5) wartość lorazu (odpowedna formuła wdoczna w werszu poleceń =H4/D4). Mnesza wartość tego lorazu wskazue na zmenną x 4 ako zmenną opuszczaącą bazę. Ustalena te pozwalaą na prześce do następne terac. W arkuszu przygotowuemy odpowedne mesce na nową tablcę smpleksową (rys..7). 7