Referaty wygłoszone w roku akademickim 2007/08

Transkrypt

1 Referaty wygłoszoe w rou aaec 27/8 Dzezc Karola Atoa Wojcech r. Wstęp Referaty prezetowae poczas spotań SKN TRADA są uzupełee o wyłau ateatya baowa 2 prowazoego przez prof. r hab. Kazerza Włoarczya. Wprowazają jeolte ozaczea ęzyaroowe, tóre oża spotać a egzaach orgazowaych przez KNUFE. ata wygłaszający teat referatu stroy r. Dzezc Karola Mary westycj r. Atoa Wojcech Postawowe rety r. Dzezc Karola Ie przypa ret część I r. Atoa Wojcech Ie przypa ret część II W raach oła rozwązywalśy taże zaaa z egzaów a atuarusza orgazowaych przez KNUFE. Przyłay gotowych rozwązań oża zobaczyć a stroe oła traa.

2 2 Mary westycj 2. Wstęp Zys Reopesata la pożyczającego aptał reopesata us astąpć prze ońce spłaty pożyczaego aptału zys aptał są zazwyczaj wyrażoe w jeostach peężych 2.2 Fucja auulacj wartośc aptału Trasacja fasowa Kwota peęzy albo aptału wota oala zawestowaa a pewe ores czasu a oec oresu westycj cała wota zauulowaa wartość jest zwrócoa różca ęzy zauulowaa wartoścą a wotą oalą jest abyty zyse Fucja auulacj: at Nech t bęze loścą lat westycj t, gze a, przypuśćy, ze at jest fucją rosącą, at efuje wzór auulacj la westycj o woce oalej. Fucja auulacj: At at Nech bęze wota oalą westycj > gze A, At jest fucja rosącą At efuje zauulowaą wartość, tóra aptał utworzył przez t lat. Zys abyty poczas -tego oresu: I A A Nabyty zys jest różca poęzy zauulowaą wartoścą z ońca oresu a zauulowaą wartoścą z początu oresu. 2.3 Efetywa stopa zysu : Defcja jest zyse abyty w jeoletej westycj o aptale oaly, ech bęze efetywą stopą zysu z -tego oresu westycj, w tórej zys jest płacoy a ońcu oresu, jest taże efowae jao stosue zysu abytego poczas pewego oresu a wartoścą zauulowaa z początu oresu. A A A I, la całowtych A Copyrght SKN TRADA c 2 Wyzał Mateaty Iforaty UŁ

3 2.4 Procet prosty Przypuśćy, że westycja trwa t lat pote astępuje re westycja a astępe s lat, gze s <, ech zys z ażego rou westycj bęze stały wyosł oraz: a, a, 2 oprocetowae proste jest lową fucja auulacj at t, la całowtych t 3 oprocetowae proste a własość: zys e jest re westoway w celu abyca oatowych zysów, w oprocetowau prosty stała stopa procetowa pluje alejącą efetywa stopę procetową: A A a a A a a a [ ] a 4 Necałowta wartość: t Przypuśćy, że westycja trwa t lat pote astępuje re westycja a astępe s lat, gze s <, jeśl zys e jest opsyway w ułaowych oresach to at jest fucją schoową, przypuśćy, że zys opsyway jest proporcjoaly o ułaowych oresów at s at as t s t s 5 abyty zys o oetu t wyos I A t Procet słaay Nech zys abyty ażego ru z westycj bęze wyosł oraz a, a, 7 fucja auulacj w oelu proceta słaaego jest fucją wyłaczą at t, la całowtych t, 8 oprocetowae słaae a właścwość: zys jest rewestoway w celu zwęszea zysu, oprocetowae słaae prouuje węszą auulację ż procet prosty la t >, stała stopa oprocetowaa słaaego pluje stałą efetywą stopę zysu A A a a A a a a a 9 Necałowta wartość: t Przypuśćy, że westycja trwa t lat pote astępuje re westycja a astępe s lat, gze s < at s at as s t a s ts Copyrght SKN TRADA c 3 Wyzał Mateaty Iforaty UŁ

4 2.6 Wartość beżąca Dysotowae Zauulowaa wartość jest wartoścą przyszłą płatośc zroboych w przeszłośc, zysotowaa wartość jest wartoścą beżącą płatośc, tóre ają być zroboe w przyszłośc, ysotowae eteruje le us być zawestowae początowo X, aby zauulowaa wartość po t latach wyosła X t X t X reprezetuje wartość beżącą, tóra a być osągęta po t latach, Nech v, v azyway czye ysotujący Fucja ysotująca Nech a t at, w przypau oprocetowaa prostego a t t, w przypau oprocetowaa złożoego a t t v t, X v t 2 w oprocetowau słaay zysotowae wartośc bęą ejsze ż w oprocetowau prosty la t >. 2.7 Efetywa stopa ysotowa: Defcja Efetywa stopa zysu jest alczaa z wartośc zauulowaej a początu rou, atoast efetywa stopa ysotowa z wartośc zauulowaej a ońcu rou, ech bęze efetywą stopą ysotową w -ty orese westycj gze ysoto jest płate a początu oresu jest taże zefowae jao loraz zysu welość ysota abytego poczas oresu o wartośc zauulowaej a oec oresu, A A A I, la całowtych 3 A jeśl stopa procetowa jest stała,, to stopa ysotowa jest stała,. Relacja ęzy a Jeśl jest pożyczoe oset są zapłacoa a początu rou to pozostaje, wartość zauulowaa aptału a oec rou wyos przy efetywej stopy procetowej : A A A A A A A A A A 4 stopa procetowa jest loraze ysota o wartośc aptału a początu oresu : I A 5 Copyrght SKN TRADA c 4 Wyzał Mateaty Iforaty UŁ

5 stopa ysotowa jest loraze zysu o aptału a ońcu oresu I A 6 wartość beżąca zysu płacoego a oec rou jest ysote płaty a początu rou v 7 wartość beżąca płatej a oec rou jest taa saa ja pożycz w wysoośc z spłatą a oec rou jeśl oba ają tae sae wartośc a oec rou, to ają tae sae wartośc a początu rou, różca ęzy zyse z początu ońca rou rówa sę zysow a ońcu rou z zysu otrzyaego poprzez uzelee pożycz a początu rou. 8 Fucja ysotowa:a t Nech w prosty oelu ysotowaa fucja ysotowa przestawa sę astępująco: a t t, la t < 9 atoast w słaay oelu ysotowaa fucja ysotowa jest postac a t t v t la t 2 stała stopa ysotowaa prostego pluje rosącą efetywą stopę ysotową A A A a a a a a a a stała stopa słaaego oelu ysotowaa pluje stałą efetywą stopę ysotową A A A a a a a a a a 2 22 Copyrght SKN TRADA c 5 Wyzał Mateaty Iforaty UŁ

6 2.8 Noala stopa procetowa ysotowa aptalzowaa -razy:, Defcja Efetywa stopa procetowa ysotowa jest płacoa raz a ońcu początu rou oala stopa procetowa ysotowa jest płacoa częścej w rou razy a ońcu początu pooresu aptalzacj, oala stopa ozwercela stopę płacoą w czase pooresu płacoe co 6 esęcy, Rówowartość stóp procetowych:, 2 % 2 2 % 5% 23 2 Przy efetywej stope procetowej, otrzyujey zys w wysoośc płaty a oec rou, przy oalej stope procetowej otrzyujey zys w wysoośc płaty a oec ażego z pooresów pooresów w rou 24 jeśl ay aą efetywą stopę procetową, oala stopa procetowa oże być wyzaczoa wzore: 25 stopa procetowa z ażego pooresu oże byc wyzaczoe jeżel aa jest efetywa stopa procetowa Rówowartość efetywych stóp ysotowych:, 26 Przy efetywej stope ysotowej otrzyujey zysotoway zys w wysoośc płaty a początu rou, przy oalej stope ysotowej otrzyujey zysotoway zys w wysoośc płaty a początu ażego z pooresów pooresów w cągu rou P 27 jeśl ay aą efetywą stopę ysotową, oala stopa ysotowa oże być wyrażoa wzore 28 stopa ysotowa z pooresu oże być wyzaczoa jeżel aa jest efetywa stopa ysotowa Zwąze ęzy a 29 Jeśl używay efetywej stopy usy otrzyać albo a ońcu rou v 3 Copyrght SKN TRADA c 6 Wyzał Mateaty Iforaty UŁ

7 jeżel zastąpy stopę efetywą jej oaly opowee otrzyay w przypau gy p p p 3 p 32 zate stopa zysu w poorese jest loraze zysotowaych wpłat o lośc a początu pooresu, stopa ysotowa w poorese jest loraze wpłacoego zysu o lośc a ońcu pooresu 33 różce ęzy wypłacoy zyse a ońcu a początu pooresu zależy o różcy aptału pożyczoego a początu pooresu zysu zaroboego a tej różcy Natężee oprocetowaa ysotowaa: δ, δ Defcja Rocza efetywa stopa procetowa ysotowa jest stosowaa w oresach jeo roczych, rocza oala stopa procetowa ysotowa jest stosowa jeorazowo w poorese, w tóry stopu były aptalzowae, rocze atężee oprocetowaa, ysotowaa jest stosowae w ajejszych ożlwych o wyobrażea pooresach w aży oece czasu czyl. Rocze atężee oprocetowaa w oece Przypojy, że stopa procetowa w poorese jest loraze aptału zaroboego w czase tego oresu o zauulowaej wartośc a początu oresu A A A 35 jeśl 2, 2 jeśl 365, A 2 A A 365 A 365 A A stopa esęcza, stopa esęcza 2 rocza stopa, stopa owa, stopa owa 2 rocza stopa, Copyrght SKN TRADA c 7 Wyzał Mateaty Iforaty UŁ

8 jeśl 876, 876 jeśl, 876 A 876 A A stopa goza, stopa goza 876 rocza stopa, l A A A atężee oprocetowaa, ech δ l l δ A A A A A atężee oprocetowaa w oece a l a Fucja auulacj używaa przy atężeu oprocetowaa Przypojy, że atężee oprocetowaa jest zefowae jao całując obe stroy rówaa pożej otrzyujey: a l[a] 36 a δ l[a] 37 t δ t at l[a] l[at] l[a] l a t δ l[at] 38 stosując fucję exp z obu stro rówaa otrzyujey e t δ at 39 zate fucja auulacj oże być zefowaa jao fucja wyłacza, gze rocze atężee oprocetowaa jest aptalzowae o ożlwe ajejszej stopy, ta ała stopa jest pote wyorzystywaa w aży stejący oece ęzy czase t. Zys zaroboy w t latach przy poocy atężea oprocetowaa Przypojy, że atęże oprocetowaa jest taże zefowae jao δ całując obe stroy powyższego rówaa otrzyujey t o A Aδ A 4 A A δ t A At A 4 zys zaroboy w cągu t roczego oresu oże być osągęty poprzez stosowae stopy procetowej, tóra steje w ustaloy oece, δ, o wartośc aptału w ty oece, A w ażej ożlwej chwl ęzy a t. Rocze atężee ysotowaa w oece Rocze atężee oprocetowaa w oece : δ δ Copyrght SKN TRADA c 8 Wyzał Mateaty Iforaty UŁ

9 Przypojy, że stopa ysotowa w poorese jest loraze aptału zaroboego w czase tego oresu o zauulowaej wartośc a początu oresu A A A 42 jeśl 2, 2 2 A 2 A esęcza stopa ysotowa, esęcza stopa ysotowa 2 rocza A 2 stopa ysotowa, jeśl 365, 365 stopa ysotowa, jeśl 876, 876 stopa ysotowa, jeśl, 365 A 365 A A 876 A 876 A A 365 zea stopa ysotowa, zea stopa ysotowa 2 rocza 876 goza stopa ysotowa, goza stopa ysotowa 876 rocza l A A atężee ysotowaa, A A A ech δ l l A atężee ysotowaa w oece δ A A A A A A l A A A A δ δ 43 alteratyw atężee ysotowaa oża wyzaczać stosując pochoe fucj ysotowych δ a a t a a a 2 a a a δ 44 a bęzey stosować δ zaast δ albo δ. Natężee oprocetowaa jeśl stopa procetowa jest stała δ oże być a w aży oece, ech atężee oprocetowaa bęze stałe w aży rou δ δ, wówczas at e t δ e t δ e δ t t 45 zauważy, że stopa oa;a oże być wówczas przestawoa jao p p e δ 46 p Natężee oprocetowaa przy oprocetowau prosty stała stopa przy przy oprocetowau prosty pluje alejące atężee oprocetowaa δ a a Natężee oprocetowaa przy ysotowau prosty 47 Stałe ysoto w ysotowau prosty pluje rosące atężee oprocetowaa δ a a, la t 48 Copyrght SKN TRADA c 9 Wyzał Mateaty Iforaty UŁ

10 2. Zee stopy procetowe Zee atężee oprocetowaa Przypojy postawową forułę at e t δ r 49 jeśl δ jest fucją łatwo całowalą oża wyzaczyć fucję perwotą w sposób aaltyczy, to at oża łatwo wyzaczyć, jeśl δ jest fucją e posaającą fucj perwotej wyzaczoej aaltycze, to trzeba użyć eto przyblżających wy aby oblczyć at Zee efetywe stopy procetowe Najpopularejszy jest wzór oraz at a t t 5 t 5 2. Posuowae Stopa procetowa lub ysotowa at a t procet słaay t t v t t t t t t t t δ e δt e δt procet prosty t t ysoto proste t t Copyrght SKN TRADA c Wyzał Mateaty Iforaty UŁ

11 3 Rety eleetare 3. Wprowazee Defcja rety Cąg płatośc oresowych ooywaych w rówych ostępach czasu, jeżel płatośc ooywae są przez ustaloy ores czasu ay o czyea z reta sończoą, częstotlwość płatośc ores aptalzacj aptału są sobe rówe e przypa rozważyy późej, płatośc są stałe e przypa rozważyy późej. 3.2 Reta płata z ołu Defcja Płatośc w wysoośc są ooywae a ońcu ażego z lat, wartość beżąca t rety płatej z ołu, gze rocza efetywa stopa procetowa to bęze ozaczaa jao a, oraz wyprowazaa astępująco: a v v 2 v v v v v 2 v 2 v v v v v v 52 wartość ońcowat rety płatej z ołu, gze rocza efetywa stopa procetowa to bęze ozaczaa jao s, oraz wyprowazaa astępująco: s 2 53 Postawowa zależość: P V F V oraz P V F V v Copyrght SKN TRADA c Wyzał Mateaty Iforaty UŁ

12 Jeżel wartość przyszła w oece rówa s zostae zysotowaa o oetu otrzyay wartość beżącą a : s v v v v v a jeżel wartość beżąca w oece rówa a zostae zauulowaa o oetu otrzyay wartość przyszłą s : 3.3 Reta płata z góry Defcja v a v s Płatośc w wysoośc są ooywae a początu ażego z -lat, wartość beżąca t rety płatej z góry przy roczej efetywej stope procetowej bęze ozaczaa jao ä wyzaczaa astępująco: ä v v 2 v 2 v v v v 56 wartość ońcowa t rety płatej z góry przy roczej efetywej stope procetowej bęze ozaczaa jao s wyzaczaa astępująco: s Postawowy zwąze: P V F V oraz P V F V. v Copyrght SKN TRADA c 2 Wyzał Mateaty Iforaty UŁ

13 Jeżel wartość przyszła w oece rówa s zostae zysotowaa o oetu otrzyay wartość beżącą ä : s. v. v v v v ä jeżel wartość beżąca w oece rówa ä zostae zauulowaa o oetu otrzyay wartość przyszłą s : v ä v s Postawowy zwąze: Reta płata z góry reta płata z ołu ä v v a 6 s s 6 Reta płata z góry zaczya sę jee ores wcześej ż reta płata z ołu. W rezultace procetuje jee ores łużej latego jej wartość jest wyższa. Postawowy zwąze: ä a ä v v 2 v 2 v v v v 3 v 2 v v v v v a 62 Dla ołaejszego zrozuea e przestawy te zwąze a rysuu: Copyrght SKN TRADA c 3 Wyzał Mateaty Iforaty UŁ

14 Doatowa płatość w wysoośc wpłacoa w oece sutuje ty, że wraz z a otrzyujey płatośc ooywaych a początu ażego rou - co wprost z efcj aje ä. Postawowy zwąze: s s s s 63 Te zwąze taże przestawy a rysuu: Doatowa płatość w wysoośc wpłacoa w oece sutuje ty, że wraz z s otrzyujey płatośc ooywaych a ońcu ażego rou - co wprost z efcj aje s. 3.4 Wartość rety w owoly czase Isteją trzy alteratywe oety wyzaczaa wartośc rety poza atualzacją a począte t a oect oresu. Są oe astępujące: Wartość beżąca wyzaczaa jest a węcej ż jee ores wcześej prze ooae perwszej wpłaty, wartość rety auulowaa jest a węcej ż jee ores po ooau ostatej płatośc, atuala wartość rety wyzaczaa jest w owoly oece ęzy perwszą ostatą płatoścą. Dla wyjaśea tego przypau posłużyy sę astępujący przyłae: Rozważy serę płatośc w wysoośc, ooywaych w oresach o t 3 o t 9. Wartość beżąca wyzaczaa jest a węcej ż jee ores wcześej prze ooae perwszej wpłaty Dla oetu t 2 steje 7 płatośc, płatych a oec rou, tórych wartość beżąca wyos a 7. Jeśl wartość tą zysotujey a oet t wówczas wartość tej ser płatośc 2 oresy prze perwszą wpłatą wyos: v 2 a 7 Rówoważe, la t 3 steje 7 płatośc, płatych a początu rou, tórych wartość beżąca wyos Copyrght SKN TRADA c 4 Wyzał Mateaty Iforaty UŁ

15 ä 7. Jeśl wartość tą zysotujey a oet t wówczas wartość tej ser płatośc 3 oresy prze perwszą wpłatą wyos: v 3 ä 7 64 Ią ożlwoścą rozważaa tej sytuacj jest założee, że steje 9 płatośc płatych a oec rou. Należy wówczas oać 2 płatośc. Załóży zate, że te we oatowe płatośc były ooywae w oetach t t 2. Na rysuu ozaczyy je jao w warace. Dla t steje teraz 9 płatośc, płatych a oec rou, tórych wartość beżąca wyos a 9. Wartość tą ależy poejszyć o wysoość wóch oatowych wpłat o łączej wartośc a 2. Wartość beżąca w oece t wyos zate: a 9 a 2 65 Co po postaweu aje: W rezultace wzór ogóly a postać: v 2 a 7 a 9 a 2 66 v a a a 67 W przypau rety płatej z góry oża wyoać aalogcze rozuowae. Należy założyć, że zostało ooaych płatośc. Wówczas oajey 3. Załóży zate, że te trzy oatowe płatośc były ooywae w oetach t, t 2 t 3. Dla t steje teraz płatośc, płatych a początu rou, tórych wartość beżąca wyos ä. Wartość tą ależy poejszyć o wysoość trzech oatowych wpłat o łączej wartośc ä 3. Wartość beżąca w oece t wyos zate: ä ä 3 68 Co po postaweu aje: W rezultace wzór ogóly a postać: v 3 ä 7 ä ä 3 69 v ä ä ä 7 Wartość rety auulowaa jest a węcej ż jee ores po ooau ostatej płatośc Dla oetu t 9 steje 7 płatośc, płatych a oec rou, tórych wartość zauulowaa wyos s 7. Jeśl wartość tą zauulujey a oet t 2 wówczas wartość tej ser płatośc 3 oresy po ostatej wpłace wyos: a Rówoważe, la t steje 7 płatośc, płatych a początu rou, tórych wartość zauulowaa wyos s 7. Jeśl wartość tą zauulujey a oet t 2 wówczas wartość tej ser płatośc 2 oresy po ostatej wpłace wyos: s Ią ożlwoścą rozważaa tej sytuacj jest założee, że steje płatośc płatych a oec rou. Należy wówczas oać 3 płatośc. Załóży zate, że te trzy oatowe płatośc były ooywae w oetach t, t t 2. Na rysuu ozaczyy je jao w warace. Copyrght SKN TRADA c 5 Wyzał Mateaty Iforaty UŁ

16 Dla t 2 steje teraz płatośc, płatych a oec rou, tórych wartość zauulowaa wyos s. Wartość tą ależy poejszyć o wysoość trzech oatowych wpłat o łączej wartośc s 3. Wartość beżąca w oece t wyos zate: s s 3 73 Co po postaweu aje: W rezultace wzór ogóly a postać: s 7 3 s s 3 74 s s s 75 W przypau rety płatej z góry oża wyoać aalogcze rozuowae. Należy założyć, że zostało ooaych 9 płatośc. Wówczas oajey 2. Załóży zate, że te we oatowe płatośc były ooywae w oetach t t. Na rysuu ozaczyy je jao w warace. Dla t 2 steje teraz 9 płatośc, płatych a początu rou, tórych wartość zauulowaa wyos s 9. Wartość tą ależy poejszyć o wysoość wóch oatowych wpłat o łączej wartośc s 2. Wartość zauulowaa w oece t 2 wyos zate: s 9 s 2 76 Co po postaweu aje: W rezultace wzór ogóly a postać: s 7 2 s 9 s 2 77 s s s 78 Atuala wartość rety wyzaczaa jest w owoly oece ęzy perwszą ostatą płatoścą Rozważaych 7 płatośc oże być rozpatrywaych jao reta płata z ołu bąź z góry w zależośc o wybraego oetu. Na przyła w oece t 2 wartość beżąca 7 płatośc wyos a 7. Dla t 9 wartość przyszła tych saych płatośc wyos s 7. Męzy oeta 2 9 steją puty, w tórych wartość beżąca przyszła oże być auulowaa ysotowaa opoweo. Dla przyłau, w oece t 6 wartość beżąca bęze zauulowaa 4 oresy o przou, atoast wartość przyszła zostae zysotowaa 3 oresy o tyłu. Stą wzór ogóly jest postac: a 7 4 v 3 s 7 79 a v s 8 Rówoważe la oetu t 3 oża rozważać, że 7 płatośc było ooaych a początu rou, a ch wartość przyszła jest rówa ä 7. Wartość w oece t jest wówczas rówa s 7. Dla przyłau, w oece t 6 wartość beżąca bęze zauulowaa 3 oresy o przou, atoast wartość przyszła zostae zysotowaa 4 oresy o tyłu. ä 7 3 v 4 s 7 8 Stą wzór ogóly jest postac: ä v s 82 W aży orese w cągu ooywaa płatośc steje przyszła przeszła sera płatośc. Na przyła la oetu t 6 oża zefować przeszłe płatośc jao 4 płate a oec rou wpłaty, Copyrght SKN TRADA c 6 Wyzał Mateaty Iforaty UŁ

17 o wartośc s 4. Wówczas 3 płate oec rou przyszłe płatośc ają wartość beżącą w oece t 6 rówą a 3. Zate wartość beżąca 7 płatośc w oece t 6 wyos: s 4 a 3 83 Alteratywe, jeśl płatośc bęą rozpatrywae jao płate a początu rou wówczas steją 4 przyszłe 3 przeszłe płatośc, tórych wartośc wyoszą opoweo ä 4 s 3. Zate wartość beżąca 7 płatośc w oece t 6 wyos rówoważe: s 3 ä Co aje: Wzór ogóly jest zate postac: 3.5 Rety esończoe Reta esończoa płata z ołu s 4 a 3 s 3 ä 4 85 s a s ä 86 Rozważy retę, w tórej płatośc są ooywae a oec rou przez esończee wele lat, poższy rysue lustruje te scearusz: wartość beżąca powyższej rety ag. perpetuty-eate, gze roczą efetywą stopą procetową jest, bęzey ozaczać a oraz oblczać astępująco: a v v 2 v 3 v v v 2... v v 87 powyższy wzór oża było taże wyzaczyć poprzez przejśce gracze w forule a retę sończoą: a l a v l wartość przyszła s e jest efowaa w przypau rety esończoej. Reta esończoa płata z góry 88 Rozważy retę, w tórej płatośc są ooywae a początu rou przez esończee wele lat, poższy rysue lustruje te scearusz: wartość beżąca powyższej rety ag. perpetuty-ue, gze roczą efetywą stopą procetową jest, bęzey ozaczać ä oraz oblczać astępująco: a v v 2 v 89 Copyrght SKN TRADA c 7 Wyzał Mateaty Iforaty UŁ

18 powyższy wzór oża było taże wyzaczyć poprzez przejśce gracze w forule a retę sończoą: v ä l ä l 9 wartość przyszła s e jest efowaa w przypau rety esończoej. Copyrght SKN TRADA c 8 Wyzał Mateaty Iforaty UŁ

19 4 Ie przypa ret 4. Wprowazee W rug rozzale rety były efowae jao stałej welośc płatośc płate z taa saą częstotlwoścą co aptalzacja osete, w ty rozzale bęzey rozważać rety o różych płatoścach oraz częstotlwośc wpłat różej o aptalzacj osete. 4.2 Rety płate z częstotlwoścą różą o aptalzacj osete Nech płatośc pozostaą stałe. ey ores aptalzacj e porywa sę z orese płatośc, ożlwe jest wyzaczee efetywej stopu procetowej, tórej częstotlwość aptalzacj jest taa saa ja płatośc. Copyrght SKN TRADA c 9 Wyzał Mateaty Iforaty UŁ

20 4.3 Dalsza aalza ret, tórych częstotlwość płatośc jest rzasza o częstotlwośc aptalzacj osete Reta płata z ołu Nech bęze oalą stopa procetowa aptalzowaą razy w rou oraz ech a oec rou bęze wpłacaa przez lat, po ooau perwszej płatośc, aptał był aptalzoway razy, po ooau rugej płatośc, aptał był aptalzoway 2 razy, po ooau ostatej płatośc aptał był aptalzoway razy, przeto reta bęze trwała przez lat, rysue przestawa powyższy scearusz: Wartość beżąca t rety płatej z ołu, tórej płatośc są ooywae co oresów aptalzacj oraz gze j jest oblczaa astępująco: P V v v 2 v v vj vj 2 v vj vj v j v 2 j v j vj vj v j j v j vj vj v j j v j j j j a j s j j j 9 Jest taże alteratywy sposób a oblczee wartośc beżącej powyższej rety. Płatość roboa a oec ażego tou reprezetuje zauulowaa wartość ejszych stałych płatośc ooywaych a oec oresów aptalzacj P s j 92 Te ejsze płatośc są przeto w wysoośc P s j. Jeśl teraz te ejsze płatośc bęa ooywae a ońcu oresów aptalzacj oraz bęze tach oresów, to wartość beżąca tych ałych płatośc t wyos: P V s j a j 93 Copyrght SKN TRADA c 2 Wyzał Mateaty Iforaty UŁ

21 zauulowaa wartość t lat roczej rety płatej z góry, tórej płatośc sa ooywae co oresów aptalzacj oraz gze j jest oblczaa astępująco: F V j j 2 j j j j j j j s j s j j j 94 Wartość przyszłą oża taże oblczać orzystając z postawowej rówośc F V P V : F V F V P V j a j s j j s j s 95 wartość przyszła oże być wyzaczoa taże poprzez wyorzystae ałych płatośc w wysoośc P s. Jeśl te ałe płatośc są ooywae a oec ażego oresu aptalzacj oraz jest tych j oresów to wartość przyszła zauulowaa a t lat wyos Reta płata z góry F V s j s j 96 Nech bęze oalą stopa procetowa aptalzowaą razy w rou oraz ech a oec rou bęze wpłacaa przez lat, po ooau rugej płatośc, aptał był aptalzoway razy, po ooau trzecej płatośc, aptał był aptalzoway 2 razy, po ooau ostatej płatośc aptał był aptalzoway razy, przeto reta bęze trwała przez rysue przestawa powyższy scearusz: lat, Wartość beżąca t rety płatej z ołu, tórej płatośc są ooywae co oresów aptalzacj Copyrght SKN TRADA c 2 Wyzał Mateaty Iforaty UŁ

22 oraz gze j jest oblczaa astępująco: P V v v 2 v vj vj 2 v j vj vj v j vj v j j vj j a j a j 97 Jest taże alteratywy sposób a oblczee wartośc beżącej powyższej rety. Płatość roboa a początu ażego tou reprezetuje wartość beżącą ejszych stałych płatośc ooywaych a oec oresów aptalzacj P a j 98 Te ejsze płatośc są przeto w wysoośc P a j. Jeśl teraz te ejsze płatośc bęa ooywae a ońcu oresów aptalzacj oraz bęze tach oresów, to wartość beżąca tych ałych płatośc t wyos: P V a j a j 99 zauulowaa wartość t lat roczej rety płatej z ołu, tórej płatośc są ooywae co oresów aptalzacj oraz gze j jest oblczaa astępująco: F V 2 j j 2 j j j j j j j j j vj j j vj j j s j a j Wartość przyszłą oża taże oblczać orzystając z postawowej rówośc F V P V : F V F V P V j a j a j j s j a wartość przyszła oże być wyzaczoa taże poprzez wyorzystae ałych płatośc w wysoośc P a. Jeśl te ałe płatośc są ooywae a oec ażego oresu aptalzacj oraz jest tych j oresów to wartość przyszła zauulowaa a t lat wyos F V a j s j 2 Copyrght SKN TRADA c 22 Wyzał Mateaty Iforaty UŁ

23 Ie rozważaa Reta esończoa, płata z ołu Rozważy roczą retę esończoą płatą a oec rou w wysoośc, gze oprocetowae jest aptalzowae razy rocze. Powyższy scearusz przestawa rysue: wartość beżąca t rety esończoej płatej z ołu o wysoośc płatośc co aptalzacj oraz gze j jest oblczaa astępująco: P V v v 2 v 3... vj vj 2 vj 3... vj v j vj 2 vj 3... v j vj vj j vj j j j j s j 3 powyższy wzór oża wyzaczyć przechoząc o gracy w forule a sończoą retę: Reta esończoa, płata z góry P V a j s j j 4 s j Rozważy roczą retę esończoą płatą a początu rou w wysoośc, gze oprocetowae jest aptalzowae razy rocze. Powyższy scearusz przestawa rysue: wartość beżąca t rety esończoej płatej z góry o wysoośc płatośc co aptalzacj oraz Copyrght SKN TRADA c 23 Wyzał Mateaty Iforaty UŁ

24 gze j jest oblczaa astępująco: P V v v 2 v 3... vj vj 2 vj j j a j j j v 3 j... 5 powyższy wzór oża wyzaczyć przechoząc o gracy w forule a sończoą retę: P V a j a j j 6 a j Copyrght SKN TRADA c 24 Wyzał Mateaty Iforaty UŁ

25 4.4 Dalsza aalza ret, tórych częstotlwość płatośc jest węsza o częstotlwośc aptalzacj osete Reta płata z ołu Płatośc w wysoośc są ooywae a ońcu ażej częśc rou przez astępe lat, wartość beżąca t tej rety, gze roczą efetywą roczą stopą procetową jest, ozaczay a oblczay astępująco: a v v v 2 v v v v v v v v 2 v v 2 v 2 v 2 v v v v 2 v v v 2 v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v v 2 v v v v 2 perwszy ro rug ro ostat ro v v 7 Wartość przyszła zauulowaa a y powyższej rety, gze roczą stopą procetową jest oza- Copyrght SKN TRADA c 25 Wyzał Mateaty Iforaty UŁ

26 czay s s oraz oblczay astępująco: Reta płata z góry Płatośc w wysoośc są ooywae a początu ażej częśc rou przez astępe lat, wartość beżąca t tej rety, gze roczą efetywą roczą stopą procetową jest, ozaczay ä Copyrght SKN TRADA c 26 Wyzał Mateaty Iforaty UŁ

27 oblczay astępująco: ä v v... v v v v v... v v v 2 v v 2 v v 2 v v 2 v v v 2 v v v v v v v v v v 2 2 v v v v v 9 v Wartość przyszła zauulowaa a y powyższej rety, gze roczą stopą procetową jest oza- Copyrght SKN TRADA c 27 Wyzał Mateaty Iforaty UŁ

28 czay s oraz oblczay astępująco: s v v Ie przypa Reta esończoa płata z ołu Płatośc w wysoośc są ooywae a ońcu ażej częśc rou, wartość beżąca t tej rety, gze roczą efetywą roczą stopą procetową jest, ozaczay ä oraz ożey oblczyć astępująco: Reta esończoa płata z góry ä l v a l Płatośc w wysoośc są ooywae a początu ażej częśc rou, Copyrght SKN TRADA c 28 Wyzał Mateaty Iforaty UŁ

29 wartość beżąca t tej rety, gze roczą efetywą roczą stopą procetową jest, ozaczay ä oraz ożey oblczyć astępująco: 4.5 Rety cągłe ä l v ä l 2 Rozważy retę, w tórej płatośc ooywae są w sposób cągły przez astępe lat. tz. Wyobraźy sobe retę o płatośc ooywaą a początu ażej tej częśc rou la, wartość beżąca tach płatośc, gze roczą stopą procetową jest, ozaczay a oraz oblczay astępująco: a v t t e δt t δ e δt e δ v 3 δ δ wzór a wartość beżącą oże być taże wyzaczoy astępująco: v a l a l l ä l v v δ v δ 4 Wartość przyszła zatualzowaa a t powyższej rety, gze roczą stopą procetową jest, ozaczay s oraz oblczay astępująco: s t t t t e δt t δ eδt δ e δ δ Postawowe rety o zeających płatoścach W tej częśc, płatośc bęą sę zeać, aptalzacja częstotlwość płatośc bęą tae sae. Wyróżay trzy postawowe typy ret o zeających sę płatoścach:. płatośc zeają sę w sposób arytetyczy 2. płatośc zeają sę w sposób geoetryczy 3. płatośc zeają sę w y stały sposób Płatośc zeają sę w sposób arytetyczy Reta płata z ołu Auty eate Rozważy retę płata a początu rou przez lat, tórej perwsza płatość wyos P oraz aża astępa jest węsza o Q. Poższy rysue przestawa te scearusz: Copyrght SKN TRADA c 29 Wyzał Mateaty Iforaty UŁ

30 Wartość beżąca t tej rety, gze roczą efetywą stopą zysu jest, wyos: P V [P ]v [P Q]V 2 [P 2Q]v [P Q]v P v v 2 v v Q v 2 2v 3 2v v P a Qv 2 2v 2v v 2 P a Qv 2 v v 2 v v P a Qv 2 v v v v v P a Qv 2 v v 2 Q P a 2 v v v 2 P a v v P a Q v P a Q a v 2 v Wartość przyszła t powyższej rety, gze roczą efetywą stopą zysu jest, wyos: F V P V P a Q a v P a Q a v P s Q a 7 v P s Q s Nech teraz P, Q. Płatośc rozpoczyają sę o zejszają co ro o jee aż o osągęca w -ty rou 6 Wartość beżąca taej rosącej rety, gze efetywą stopą zwrotu z westycj jest, ozaczay Ia oraz oblczay astępująco: Ia a a v v a v v a v v v v v v v v v v v v v v v v v ä v Copyrght SKN TRADA c 3 Wyzał Mateaty Iforaty UŁ 8

31 Wartość przyszła t powyższej rety, gze roczą efetywą stopą zysu jest, ozaczay Is oraz oblczay astępująco: Is Ia ä v ä v s Nech teraz P oraz Q. Płatośc rozpoczyają sę o zejszają sę co ro o aż o osągęca w -ty rou. 9 Wartość beżąca t taej alejącej rety, gze roczą efetywą stopą zysu jest, ozaczay Da oraz oblczay astępująco: Da a a v v a v v a v a Wartość przyszła t powyższej rety, gze roczą efetywą stopą zysu jest, ozaczay Ds oraz oblczay astępująco: Ds Da a a s Reta płata z góry Rozważy retę płatą a oec rou przez lat, tórej perwsza płatość wyos P oraz aża astępa jest węsza o Q. Poższy rysue przestawa te scearusz: 2 2 Copyrght SKN TRADA c 3 Wyzał Mateaty Iforaty UŁ

32 Wartość beżąca t tej rety, gze roczą efetywą stopą procetową jest, wyos: P V P P Qv P 2Qv 2 P Qv P v v Q v v 2 v P ä Qv 2v v 2 P ä Qv 2v v 2 v v 22 P ä Qv v v Wartość beżąca t ogłaby być oblczoa taże orzystając z postawowej zależośc: P V ue P V Ieate Wartość przyszła t powyższej rety, gze roczą efetywą stopa zwrotu z westycj jest, wyos: F V P V P ä Q a v P ä Q a v 23 P s Q s Nech teraz P Q. W ty przypau płatośc rozpoczyają se o zwęszają sę o co rou aż o osągęca w rou. Wartość beżąca t taej rosącej rety, gze roczą efetywą stopa procetową jest, ozaczay Iä oraz oblczay astępująco: Iä ä a v v a v v v v v v v v v v v v v v ä Wartość przyszła powyższej rety, gze roczą efetywą jest, ozaczay I s oraz oblczay astępująco: I s Iä ä ä s Nech teraz P Q. W ty przypau płatośc zaczyają sę o aleją co rou o az o w rou Copyrght SKN TRADA c 32 Wyzał Mateaty Iforaty UŁ

33 Wartość beżąca taej alejącej rety, gze roczą efetywą stopą zysu jest, ozaczay Dä oraz oblczay astępująco Dä ä a v v a v v a v a Wartość przyszła t powyższej rety, gze jest roczą efetywą stopą zysu z westycj, ozaczay D s oraz oblczay astępująco D s Dä a a s Postawowa zależość:ä Ia v Rozważy -letą westycję, w tórej jest zawestowae a początu ażego oresu. Wartość beżąca tych płatośc wyos ä Z rugej stroy rozważy astępującą -letą westycję, w tórej jest zawestowae a początu ażego rou. Zys roczy rośe co rou o wartośc w perwszy rou o w ostat. Wszyste płatośc łącze są zwracae a oec oresu t. Wartość beżąca powyższego cągu płatośc wyos Ia v Zauważy, że Ia ä v ä Ia v 28 Zate wartośc beżące obu ożlwych westycj są rówe. Płatośc zeają sę w sposób geoetryczy Reta płata z ołu Rozważy retę płatą z ołu przez lat z perwszą płatoścą rówą oraz ażą astępą o czy. Poższy rysue lustruje te scearusz Copyrght SKN TRADA c 33 Wyzał Mateaty Iforaty UŁ

34 Wartość beżąca t tej roczej rosącej geoetrycze rety płatej z ołu, gze rocza efetywą stopą procetową jest, wyos: P V v v 2 2 v v v v 2 v 2 v 2 v v v j v j ä j Wartość przyszła t powyższej rety, gze roczą efetywą stopą procetową jest, wyos F V P V ä j 29 3 Reta płata z góry Rozważy retę płatą z góry przez lat z perwszą płatoścą rówa oraz ażą astępą poożoą o czy. Poższy rysue lustruje te przyła Wartość beżąca t tej roczej rosącej geoetrycze rety płatej z góry, gze efetywa stopa procetowa jest, wyos P V v 2 v 2 v 2 3 v j v j ä j Wartość przyszła t powyższej rety, gze roczą efetywą stopa procetową jest, wyos F V P V 32 Ie zee płatośc Jesl zeość płatośc e oże być rozpozaa albo e oże być przestawoa w postac zaych zeośc to aża płatość powa być zysotowaa albo zauulowaa zatualzowaa a ay oet t aby uzysać wartość beżącą, t wartość przyszłą Praa Copyrght SKN TRADA c 34 Wyzał Mateaty Iforaty UŁ

35 Rozważy cąg płatośc, roczych z ołu, rozpoczyający sę o wartośc zwęszający sę co rou o aż o osągęca w -ty rou. Następe zejszający sę o przez astępe lat. Poższy rysue opsuje te scearusz: Powyższa płatość oża rozbć a we rety: perwszą jest reta rocza płata z ołu zwęszająca sę o przez lat o perwszej płatośc ; ruga jest reta rocza płata z ołu o zejszających sę o płatoścach przez lat o perwszej płatośc rozpoczyająca sę w rou. Wówczas wartość beżąca t taego cągu płatośc wyos: P V Ia v Da ä v ä v ä v v a v v v v v v v v v ä v v v v ä ä v ä a Przyła Wartość beżąca rety roczej płatej z ołu, tórej perwsza płatość wyos aża astępa jest węsza o aż o osągęca w -ty rou oraz astępe o płatośc stałej przez astępe lat gze < <, ozaczay jao I a. Powyższy scearusz przestawa rysue: 33 Taą retę oża przestawć w 3 scearuszach: Rozważy rety perwszą jest reta rosąca o w aży rou o perwszej płatośc przez lat rugą retą bęze cąg płatośc z ołu o stałych wysooścach płatych przez lat rozpoczyający sę w -ty rou Wówczas: I a Ia v a 34 Rozważy retę letą rosąco o w aży rou o perwszej płatośc. Wówczas aby wyrówać te cąg płatośc ależy ojąć o ego retę leta z ołu rosącą o w aży rou o perwszej płatośc, rozpoczyającą sę w -ty rou. Wówczas: I a Ia v Ia 35 Rozważy letą retę z ołu o stałych płatoścach w wysoośc. Wówczas aby wyrówać te cąg płatośc ależy ojąć o ego retę letą z ołu alejącą o w aży rou o perwszej płatośc rozpoczyająca sę w perwszy rou. Wówczas: I a a Da 36 Copyrght SKN TRADA c 35 Wyzał Mateaty Iforaty UŁ

36 4.7 Barzej złożoe rety o zeających sę płatoścach Aalza ret, tórych częstotlwość płatośc jest rzasza o częstotlwośc aptalzacj osete Nech bęze oalą stopą procetową aptalzowaą razy w rou oraz ech bęze ay cąg rosących arytetycze płatośc ooywaych a ońcu rou. Perwsza płatość jest w wysoośc oraz aża astępa zwęsza sę o. Po perwszej płatośc aptał był aptalzoway razy, po rugej płatośc aptał był aptalzoway 2 razy, po ostatej płatośc aptał był aptalzoway razy, zate z efcj rety ooao płatośc, Poższy rysue przestawa te scearusz wartość beżąca t powyższej rety, gze płatośc są ooywae co aptalzacj oraz gze j oblczaa jest astępująco: P V v 2v 2 v v vj 2vj 2 v vj j j P V j vj 2vj 2 v j 2vj v 2 j v j j P V P V 2 vj 3 2vj 2 j P V vj vj 2 v j vj P V v j v2 j a j a j v j j s j v j j v j vj v j vj Aalza ret, tórych częstotlwość płatośc jest węsza o częstotlwośc aptalzacj osete Rozważy płatośc w wysoośc ooywae a ońcu ażej tej częśc rou przez perwszy ro, w 2 wysoośc w rug rou oraz w wysoośc w -ty rou. Poższy rysue obrazuje te scearusz: 37 Copyrght SKN TRADA c 36 Wyzał Mateaty Iforaty UŁ

37 Wartość beżąca t taej rety, gze roczą stopą procetową jest bęzey ozaczać Ia oblczać astępująco: Ia 2 v v... v 2 v 2 v v v 2 v... v v v 2 v v 2 v 2 v 2 v 2 v v 2 v 2 v v v 2 v 2 v v v 2v v }{{} Iä ä v ä v v ä v ä v v v v Rozważy cąg płatośc o astępujących własoścach: v v Płatośc są ooywae a oec ażej tej częśc rou. Wysoość -tej płatośc wyos. 2 Płatośc są ooywae przez lat. v 2 v v v 2 v Wartość beżąca taej rety, gze roczą efetywą stopą procetową jest, ozaczay I a oblczay astępująco: I a 2 v v v v 2 v 2 2 v v v 2 oraz v v 2 2 v 2 v ä v oraz 39 Copyrght SKN TRADA c 37 Wyzał Mateaty Iforaty UŁ

38 4.8 Rety cągłe o zeej płatośc Rozważy retę cągłą o roczej płatośc t w chwl t płatą przez lat, wartość beżąca t taej rety, gze roczą efetywą stopą procetową jest, ozaczay Ia oraz oblczay astępująco: Ia tv t t }{{} t e } δt {{ t } f t e δt δ }{{} f g e δ δ g a v δ e δt δ t }{{} f g a δ 4 Wartość beżąca rety, tórej płatość w oece t jest zefowaa jao ft oraz gze rocza efetywa stopa procetowa wyos, bęze oblczaa astępująco: Jeśl poato oprocetowae bęze zee to stosujey poższy wzór: ft v t t 4 ft e t δ s s t 42 Copyrght SKN TRADA c 38 Wyzał Mateaty Iforaty UŁ

39 Sps treśc Wstęp 2 Mary westycj 2 2. Wstęp Fucja auulacj wartośc aptału Efetywa stopa zysu : Procet prosty Procet słaay Wartość beżąca Efetywa stopa ysotowa: Noala stopa procetowa ysotowa aptalzowaa -razy:, Natężee oprocetowaa ysotowaa: δ, δ Zee stopy procetowe Posuowae Rety eleetare 3. Wprowazee Reta płata z ołu Reta płata z góry Wartość rety w owoly czase Rety esończoe Ie przypa ret 9 4. Wprowazee Rety płate z częstotlwoścą różą o aptalzacj osete Dalsza aalza ret, tórych częstotlwość płatośc jest rzasza o częstotlwośc aptalzacj osete Dalsza aalza ret, tórych częstotlwość płatośc jest węsza o częstotlwośc aptalzacj osete Rety cągłe Postawowe rety o zeających płatoścach Barzej złożoe rety o zeających sę płatoścach Rety cągłe o zeej płatośc Copyrght SKN TRADA c 39 Wyzał Mateaty Iforaty UŁ