Sprawy organizacyjne. dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Sprawy organizacyjne. dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p.568"

Transkrypt

1 Sprawy organizacyjne Jak można się ze mna skontaktować dr Barbara Przebieracz Bankowa 14, p wykładów, Zaliczenie wykładu: ocena z wykładu jest średnia oceny z ćwiczeń(materiał wykładów 1-5) i z egzaminu (materiał wykładów 6-10) obecność na wykładzie może podwyższyć ocenę z egzaminu (10 obecności (w tym ostatnie 5)- 40 punktów, 9 obecności (w tym ostatnie 5) - 30 punktów, 8 obecności (w tym ostatnie 5)- 20 punktów, 7 obecności (w tym ostatnie 5) - 10 punktów. Skala: 0-50 ndst, dst, dst+, db, db+, bdb.

2 Plan wykładu 1. Funkcje elementarne, własności funkcji, złożenia funkcji, funkcja odwrotna. 2. Ciagi i ich granice. 3. Granica funkcji, ciagłość funkcji. 4. Pochodna funkcji i jej zastosowania. 5. Całka nieoznaczona i oznaczona Riemanna. 6. Liczby zespolone i elementy algebry liniowej. 7. Rachunek różniczkowy i całka Riemanna w R n. 8. Równania różniczkowe zwyczajne. 9. Rachunek prawdopodobieństwa. 10. Statystyka.

3 Zacznijmy od powtórki...

4 Elelementy rachunku zdań. Alternatywa. Zdanie ma wartość logiczna 1, gdy jest prawdziwe, a 0, gdy jest fałszywe. Jeśli p i q sa zdaniami, to p q nazywamy alternatywa zdań p, q, czytamy: p lub q. Wartość logiczna zdania p q zależy od wartości logicznych zdań p i q następujaco: p q p q

5 Elelementy rachunku zdań. Koniunkcja. Zdanie ma wartość logiczna 1, gdy jest prawdziwe, a 0, gdy jest fałszywe. Jeśli p i q sa zdaniami, to p q nazywamy koniunkcja zdań p, q, czytamy: p i q. Wartość logiczna zdania p q zależy od wartości logicznych zdań p i q następujaco: p q p q

6 Elelementy rachunku zdań. Implikacja. Zdanie ma wartość logiczna 1, gdy jest prawdziwe, a 0, gdy jest fałszywe. Jeśli p i q sa zdaniami, to p q nazywamy implikacja zdań p(poprzednik implikacji), q(następnik implikacji), czytamy: jeżeli p, to q. Wartość logiczna zdania p q zależy od wartości logicznych zdań p i q następujaco: p q p q

7 Elelementy rachunku zdań. Równoważność. Zdanie ma wartość logiczna 1, gdy jest prawdziwe, a 0, gdy jest fałszywe. Jeśli p i q sa zdaniami, to p q nazywamy równoważnościa zdań p, q, czytamy: p wtedy i tylko wtedy, gdy q. Wartość logiczna zdania p q zależy od wartości logicznych zdań p i q następujaco: p q p q

8 Elelementy rachunku zdań. Negacja. Zdanie ma wartość logiczna 1, gdy jest prawdziwe, a 0, gdy jest fałszywe. Jeśli p jest zdaniem, to p nazywamy negacja zdania p, czytamy: nieprawda, że p. Wartość logiczna zdania p zależy od wartości logicznej zdania p następujaco: p p

9 Elementy rachunku zdań. Tautologie. Tautologie, to zdania złożone, których wartość logiczna wynosi zawsze 1, niezależnie od wartości logicznych zdań, z których sa złożone. Przykłady tautologii [ (p q)] [( p) ( q)] [ (p q)] [( p) ( q)] [ (p q)] [p q] [p q] [(p q) (q p)] [p q] [( q) ( p)]

10 Kwantyfikatory x X φ(x), x X φ(x) czytamy: dla każdego x ze zbioru X zachodzi φ(x). x X φ(x), x X φ(x) czytamy: istnieje taki x ze zbioru X, że zachodzi φ(x). Przykłady praw logicznych dotyczacych kwantyfikatorów x X φ(x) x X φ(x) x X φ(x) x X φ(x)

11 Elementy rachunku zbiorów x A czytamy: x należy do zbioru A, x jest elementem zbioru A. - zbiór pusty. A B: A jest podzbiorem zbioru B, czyli x x A x B. Niech X będzie pewna przestrzenia, A, B X, suma zbiorów: A B = {x X; x A x B}, iloczyn(przekrój, część wspólna) zbiorów: A B = {x X; x A x B}, różnica zbiorów: A \ B = {x X; x A x / B}, dopełnienie zbioru: A = X \ A, iloczyn kartezjański zbiorów: A B = {(x, y); x A y B}, zbiór potęgowy: P(A) = 2 A = {B X; B A}.

12 Oznaczenia N = {1, 2, 3,...} zbiór liczb naturalnych, N 0 = {0, 1, 2, 3,...} zbiór liczb naturalnych z zerem, Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} zbiór liczb całkowitych, Q = { p q ; p Z, q N} zbiór liczb wymiernych, R zbiór liczb rzeczywistych, C zbiór liczb zespolonych.

13 Funkcje. Podstawowe pojęcia. f : X Y nazwa funkcji dziedzina przeciwdziedzina f (X) = {f (x) Y ; x X} zbiór wartości funkcji. (f (X) Y ). Funkcja f : X Y jest różnowartościowa (injekcja), gdy x,y X x y f (x) f (y). Piszemy f : X 1 1 Y. Funkcja f : X Y jest na (surjekcja), gdy f (X) = Y. Piszemy f : X na Y. Funkcja f : X Y jest bijekcja, gdy jest różnowartościowa i na.

14 Monotoniczność Niech X R. Funkcja f : X R jest (silnie) rosnaca w zbiorze A X, gdy x,y A x < y f (x) < f (y). Niech X R. Funkcja f : X R jest słabo rosnaca (niemalejaca) w zbiorze A X, gdy x,y A x < y f (x) f (y). Niech X R. Funkcja f : X R jest (silnie) malejaca w zbiorze A X, gdy x,y A x < y f (x) > f (y). Niech X R. Funkcja f : X R jest słabo malejaca (nierosnaca) w zbiorze A X, gdy x,y A x < y f (x) f (y).

15 Wypukłość/wklęsłość Funkcja f : (a, b) R jest wypukła, gdy x,y (a,b) λ [0,1] f ((1 λ)x + λy) (1 λ)f (x) + λf (y). Funkcja f : (a, b) R jest wklęsła, gdy x,y (a,b) λ [0,1] f ((1 λ)x + λy) (1 λ)f (x) + λf (y).

16 Funkcja wypukła/wklęsła

17 I jeszcze kilka własności Niech D R i niech f : D R. Mówimy, że f jest parzysta, gdy x D x D f (x) = f ( x). Mówimy, że f jest nieparzysta, gdy x D x D f ( x) = f (x). Mówimy, że f jest okresowa o okresie T 0, gdy x D x + T D f (x) = f (x + T ).

18 I jeszcze kilka własności Niech D R i niech f : D R. Mówimy, że f jest parzysta, gdy x D x D f (x) = f ( x). Mówimy, że f jest nieparzysta, gdy x D x D f ( x) = f (x). Mówimy, że f jest okresowa o okresie T 0, gdy x D x + T D f (x) = f (x + T ).

19 I jeszcze kilka własności Niech D R i niech f : D R. Mówimy, że f jest parzysta, gdy x D x D f (x) = f ( x). Mówimy, że f jest nieparzysta, gdy x D x D f ( x) = f (x). Mówimy, że f jest okresowa o okresie T 0, gdy x D x + T D f (x) = f (x + T ).

20 I jeszcze kilka własności Niech D R i niech f : D R. Mówimy, że f jest parzysta, gdy x D x D f (x) = f ( x). Mówimy, że f jest nieparzysta, gdy x D x D f ( x) = f (x). Mówimy, że f jest okresowa o okresie T 0, gdy x D x + T D f (x) = f (x + T ).

21 Funkcja parzysta

22 Funkcja nieparzysta

23 Funkcja okresowa

24 Złożenie funkcji definicja złożenia funkcji Niech dane będa odwzorowania f : X Y i g : Y Z. Odwzorowanie g f : X Z dane wzorem g f (x) = g(f (x)) nazywamy złożeniem (superpozycja) odwzorowań f i g. Funkcja f jest funkcja wewnętrzna, a g zewnętrzna tego złożenia. Przykład 1 Niech f (x) = sin x, a g(x) = x 2 + 3x 5. Wtedy g f (x) = g(sin x) = sin 2 x + 3 sin x 5, f g(x) = f (x 2 + 3x 5) = sin(x 2 + 3x 5). Przykład 2 Funkcja f (x) = 3 x jest złożeniem funkcji g(x) = 3 x i h(x) = x, tj. f = h g.

25 Złożenie funkcji definicja złożenia funkcji Niech dane będa odwzorowania f : X Y i g : Y Z. Odwzorowanie g f : X Z dane wzorem g f (x) = g(f (x)) nazywamy złożeniem (superpozycja) odwzorowań f i g. Funkcja f jest funkcja wewnętrzna, a g zewnętrzna tego złożenia. Przykład 1 Niech f (x) = sin x, a g(x) = x 2 + 3x 5. Wtedy g f (x) = g(sin x) = sin 2 x + 3 sin x 5, f g(x) = f (x 2 + 3x 5) = sin(x 2 + 3x 5). Przykład 2 Funkcja f (x) = 3 x jest złożeniem funkcji g(x) = 3 x i h(x) = x, tj. f = h g.

26 Złożenie funkcji definicja złożenia funkcji Niech dane będa odwzorowania f : X Y i g : Y Z. Odwzorowanie g f : X Z dane wzorem g f (x) = g(f (x)) nazywamy złożeniem (superpozycja) odwzorowań f i g. Funkcja f jest funkcja wewnętrzna, a g zewnętrzna tego złożenia. Przykład 1 Niech f (x) = sin x, a g(x) = x 2 + 3x 5. Wtedy g f (x) = g(sin x) = sin 2 x + 3 sin x 5, f g(x) = f (x 2 + 3x 5) = sin(x 2 + 3x 5). Przykład 2 Funkcja f (x) = 3 x jest złożeniem funkcji g(x) = 3 x i h(x) = x, tj. f = h g.

27 Złożenie funkcji definicja złożenia funkcji Niech dane będa odwzorowania f : X Y i g : Y Z. Odwzorowanie g f : X Z dane wzorem g f (x) = g(f (x)) nazywamy złożeniem (superpozycja) odwzorowań f i g. Funkcja f jest funkcja wewnętrzna, a g zewnętrzna tego złożenia. Przykład 1 Niech f (x) = sin x, a g(x) = x 2 + 3x 5. Wtedy g f (x) = g(sin x) = sin 2 x + 3 sin x 5, f g(x) = f (x 2 + 3x 5) = sin(x 2 + 3x 5). Przykład 2 Funkcja f (x) = 3 x jest złożeniem funkcji g(x) = 3 x i h(x) = x, tj. f = h g.

28 Złożenie funkcji definicja złożenia funkcji Niech dane będa odwzorowania f : X Y i g : Y Z. Odwzorowanie g f : X Z dane wzorem g f (x) = g(f (x)) nazywamy złożeniem (superpozycja) odwzorowań f i g. Funkcja f jest funkcja wewnętrzna, a g zewnętrzna tego złożenia. Przykład 1 Niech f (x) = sin x, a g(x) = x 2 + 3x 5. Wtedy g f (x) = g(sin x) = sin 2 x + 3 sin x 5, f g(x) = f (x 2 + 3x 5) = sin(x 2 + 3x 5). Przykład 2 Funkcja f (x) = 3 x jest złożeniem funkcji g(x) = 3 x i h(x) = x, tj. f = h g.

29 Złożenie funkcji definicja złożenia funkcji Niech dane będa odwzorowania f : X Y i g : Y Z. Odwzorowanie g f : X Z dane wzorem g f (x) = g(f (x)) nazywamy złożeniem (superpozycja) odwzorowań f i g. Funkcja f jest funkcja wewnętrzna, a g zewnętrzna tego złożenia. Przykład 1 Niech f (x) = sin x, a g(x) = x 2 + 3x 5. Wtedy g f (x) = g(sin x) = sin 2 x + 3 sin x 5, f g(x) = f (x 2 + 3x 5) = sin(x 2 + 3x 5). Przykład 2 Funkcja f (x) = 3 x jest złożeniem funkcji g(x) = 3 x i h(x) = x, tj. f = h g.

30 Złożenie funkcji definicja złożenia funkcji Niech dane będa odwzorowania f : X Y i g : Y Z. Odwzorowanie g f : X Z dane wzorem g f (x) = g(f (x)) nazywamy złożeniem (superpozycja) odwzorowań f i g. Funkcja f jest funkcja wewnętrzna, a g zewnętrzna tego złożenia. Przykład 1 Niech f (x) = sin x, a g(x) = x 2 + 3x 5. Wtedy g f (x) = g(sin x) = sin 2 x + 3 sin x 5, f g(x) = f (x 2 + 3x 5) = sin(x 2 + 3x 5). Przykład 2 Funkcja f (x) = 3 x jest złożeniem funkcji g(x) = 3 x i h(x) = x, tj. f = h g.

31 Funkcja odwrotna Niech f : X 1 1 Y. Funkcję f 1 : f (X) X określona następujaco: f 1 (y) = x f (x) = y, nazywamy funkcja odwrotna do funkcji f.

32 Funkcje elementarne. Wielomiany Wielomianem stopnia n, n N 0, nazywamy funkcję W : R R postaci W (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, gdzie a n 0. Funkcję W (x) = 0 nazywamy wielomianem zerowym. Przykłady wielomiany stopnia zero (funkcje stałe, niezerowe): W (x) = a 0, a 0 0 wielomiany stopnia jeden (funkcje liniowe, niestałe): W (x) = ax + b, a 0 wielomiany stopnia dwa (funkcje kwadratowe): W (x) = ax 2 + bx + c, a 0 wielomiany wyższych stopni, np. W (x) = x 3 x, W (x) = (x 2 4)(x 3 3x 2 + x 3)

33 Funkcje elementarne. Wielomiany Wielomianem stopnia n, n N 0, nazywamy funkcję W : R R postaci W (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, gdzie a n 0. Funkcję W (x) = 0 nazywamy wielomianem zerowym. Przykłady wielomiany stopnia zero (funkcje stałe, niezerowe): W (x) = a 0, a 0 0 wielomiany stopnia jeden (funkcje liniowe, niestałe): W (x) = ax + b, a 0 wielomiany stopnia dwa (funkcje kwadratowe): W (x) = ax 2 + bx + c, a 0 wielomiany wyższych stopni, np. W (x) = x 3 x, W (x) = (x 2 4)(x 3 3x 2 + x 3)

34 Funkcje elementarne. Wielomiany Wielomianem stopnia n, n N 0, nazywamy funkcję W : R R postaci W (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, gdzie a n 0. Funkcję W (x) = 0 nazywamy wielomianem zerowym. Przykłady wielomiany stopnia zero (funkcje stałe, niezerowe): W (x) = a 0, a 0 0 wielomiany stopnia jeden (funkcje liniowe, niestałe): W (x) = ax + b, a 0 wielomiany stopnia dwa (funkcje kwadratowe): W (x) = ax 2 + bx + c, a 0 wielomiany wyższych stopni, np. W (x) = x 3 x, W (x) = (x 2 4)(x 3 3x 2 + x 3)

35 Funkcje elementarne. Wielomiany Wielomianem stopnia n, n N 0, nazywamy funkcję W : R R postaci W (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, gdzie a n 0. Funkcję W (x) = 0 nazywamy wielomianem zerowym. Przykłady wielomiany stopnia zero (funkcje stałe, niezerowe): W (x) = a 0, a 0 0 wielomiany stopnia jeden (funkcje liniowe, niestałe): W (x) = ax + b, a 0 wielomiany stopnia dwa (funkcje kwadratowe): W (x) = ax 2 + bx + c, a 0 wielomiany wyższych stopni, np. W (x) = x 3 x, W (x) = (x 2 4)(x 3 3x 2 + x 3)

36 Funkcje elementarne. Wielomiany Wielomianem stopnia n, n N 0, nazywamy funkcję W : R R postaci W (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, gdzie a n 0. Funkcję W (x) = 0 nazywamy wielomianem zerowym. Przykłady wielomiany stopnia zero (funkcje stałe, niezerowe): W (x) = a 0, a 0 0 wielomiany stopnia jeden (funkcje liniowe, niestałe): W (x) = ax + b, a 0 wielomiany stopnia dwa (funkcje kwadratowe): W (x) = ax 2 + bx + c, a 0 wielomiany wyższych stopni, np. W (x) = x 3 x, W (x) = (x 2 4)(x 3 3x 2 + x 3)

37 Funkcje stałe

38 Funkcje liniowe

39 Funkcje kwadratowe

40 Wielomiany wyższych stopni

41 Wielomiany wyższych stopni

42 Wielomiany wyższych stopni

43 Funkcje elementarne. Funkcje wymierne. Niech P, Q : R R, będa wielomianami, Q 0. Oznaczmy Z = {x R : Q(x) = 0}. Funkcję R(x) = P(x) Q(x) określon a dla x R \ Z, nazywamy funkcja wymierna. W szczególności, gdy P i Q sa funkcjami liniowymi, tj. P(x) = ax + b, Q(x) = cx + d, przy czym ad bc 0, taka funkcję wymierna nazywmy homografia. Wykresem funkcji homograficznej R(x) = ax+b cx+d, gdy c 0 jest hiperbola.

44 Funkcje elementarne. Funkcje wymierne. Niech P, Q : R R, będa wielomianami, Q 0. Oznaczmy Z = {x R : Q(x) = 0}. Funkcję R(x) = P(x) Q(x) określon a dla x R \ Z, nazywamy funkcja wymierna. W szczególności, gdy P i Q sa funkcjami liniowymi, tj. P(x) = ax + b, Q(x) = cx + d, przy czym ad bc 0, taka funkcję wymierna nazywmy homografia. Wykresem funkcji homograficznej R(x) = ax+b cx+d, gdy c 0 jest hiperbola.

45 Funkcje elementarne. Funkcje wymierne. Niech P, Q : R R, będa wielomianami, Q 0. Oznaczmy Z = {x R : Q(x) = 0}. Funkcję R(x) = P(x) Q(x) określon a dla x R \ Z, nazywamy funkcja wymierna. W szczególności, gdy P i Q sa funkcjami liniowymi, tj. P(x) = ax + b, Q(x) = cx + d, przy czym ad bc 0, taka funkcję wymierna nazywmy homografia. Wykresem funkcji homograficznej R(x) = ax+b cx+d, gdy c 0 jest hiperbola.

46 Funkcje elementarne. Funkcje wymierne. Niech P, Q : R R, będa wielomianami, Q 0. Oznaczmy Z = {x R : Q(x) = 0}. Funkcję R(x) = P(x) Q(x) określon a dla x R \ Z, nazywamy funkcja wymierna. W szczególności, gdy P i Q sa funkcjami liniowymi, tj. P(x) = ax + b, Q(x) = cx + d, przy czym ad bc 0, taka funkcję wymierna nazywmy homografia. Wykresem funkcji homograficznej R(x) = ax+b cx+d, gdy c 0 jest hiperbola.

47 Funkcja homograficzna

48 Funkcje elementarne. Funkcja wykładnicza. Definicja potęgi o wykładniku wymiernym. Niech a (0, ). a 0 := 1, a n+1 := a n a, dla n N 0, a n := 1 a, dla n N, n a p q := q a p, dla p Z, q N. Własności a x a y = a x+y a x : a y = a x y (a x ) y = a xy

49 Funkcje elementarne. Funkcja wykładnicza. Definicja potęgi o wykładniku wymiernym. Niech a (0, ). a 0 := 1, a n+1 := a n a, dla n N 0, a n := 1 a, dla n N, n a p q := q a p, dla p Z, q N. Własności a x a y = a x+y a x : a y = a x y (a x ) y = a xy

50 Funkcje elementarne. Funkcja wykładnicza. Definicja potęgi o wykładniku wymiernym. Niech a (0, ). a 0 := 1, a n+1 := a n a, dla n N 0, a n := 1 a, dla n N, n a p q := q a p, dla p Z, q N. Własności a x a y = a x+y a x : a y = a x y (a x ) y = a xy

51 Funkcje elementarne. Funkcja wykładnicza. Definicja potęgi o wykładniku wymiernym. Niech a (0, ). a 0 := 1, a n+1 := a n a, dla n N 0, a n := 1 a, dla n N, n a p q := q a p, dla p Z, q N. Własności a x a y = a x+y a x : a y = a x y (a x ) y = a xy

52 Funkcje elementarne. Funkcja wykładnicza. Definicja potęgi o wykładniku wymiernym. Niech a (0, ). a 0 := 1, a n+1 := a n a, dla n N 0, a n := 1 a, dla n N, n a p q := q a p, dla p Z, q N. Własności a x a y = a x+y a x : a y = a x y (a x ) y = a xy

53 Funkcje elementarne. Funkcja wykładnicza. Definicja potęgi o wykładniku wymiernym. Niech a (0, ). a 0 := 1, a n+1 := a n a, dla n N 0, a n := 1 a, dla n N, n a p q := q a p, dla p Z, q N. Własności a x a y = a x+y a x : a y = a x y (a x ) y = a xy

54 Funkcje elementarne. Funkcja wykładnicza. Definicja potęgi o wykładniku wymiernym. Niech a (0, ). a 0 := 1, a n+1 := a n a, dla n N 0, a n := 1 a, dla n N, n a p q := q a p, dla p Z, q N. Własności a x a y = a x+y a x : a y = a x y (a x ) y = a xy

55 Funkcja wykładnicza Twierdzenie Jeśli funkcja f : R R spełnia równanie f (x)f (y) = f (x + y) dla x, y R oraz a := f (1) 0, to f (r) = a r dla r Q. Twierdzenie Dla dowolnego a > 1 istnieje dokładnie jedna funkcja rosnaca f a : R R spełniajaca równanie f (x)f (y) = f (x + y) i taka, że f a (1) = a. Dla dowolnego a (0, 1) istnieje dokładnie jedna funkcja malejaca f a : R R spełniajaca równanie f (x)f (y) = f (x + y) i taka, że f a (1) = a. a x := f a (x), dla a (0, 1) (1, ), x R

56 Funkcja wykładnicza Twierdzenie Jeśli funkcja f : R R spełnia równanie f (x)f (y) = f (x + y) dla x, y R oraz a := f (1) 0, to f (r) = a r dla r Q. Twierdzenie Dla dowolnego a > 1 istnieje dokładnie jedna funkcja rosnaca f a : R R spełniajaca równanie f (x)f (y) = f (x + y) i taka, że f a (1) = a. Dla dowolnego a (0, 1) istnieje dokładnie jedna funkcja malejaca f a : R R spełniajaca równanie f (x)f (y) = f (x + y) i taka, że f a (1) = a. a x := f a (x), dla a (0, 1) (1, ), x R

57 Funkcja wykładnicza Twierdzenie Jeśli funkcja f : R R spełnia równanie f (x)f (y) = f (x + y) dla x, y R oraz a := f (1) 0, to f (r) = a r dla r Q. Twierdzenie Dla dowolnego a > 1 istnieje dokładnie jedna funkcja rosnaca f a : R R spełniajaca równanie f (x)f (y) = f (x + y) i taka, że f a (1) = a. Dla dowolnego a (0, 1) istnieje dokładnie jedna funkcja malejaca f a : R R spełniajaca równanie f (x)f (y) = f (x + y) i taka, że f a (1) = a. a x := f a (x), dla a (0, 1) (1, ), x R

58 Funkcja wykładnicza Twierdzenie Jeśli funkcja f : R R spełnia równanie f (x)f (y) = f (x + y) dla x, y R oraz a := f (1) 0, to f (r) = a r dla r Q. Twierdzenie Dla dowolnego a > 1 istnieje dokładnie jedna funkcja rosnaca f a : R R spełniajaca równanie f (x)f (y) = f (x + y) i taka, że f a (1) = a. Dla dowolnego a (0, 1) istnieje dokładnie jedna funkcja malejaca f a : R R spełniajaca równanie f (x)f (y) = f (x + y) i taka, że f a (1) = a. a x := f a (x), dla a (0, 1) (1, ), x R

59

60

61 Funkcje elementarne. Funkcja logarytmiczna. przypomnienie Jeśli funkcja f : X Y jest różnowartościowa, to funkcję f 1 : f (X) X zdefiniowana przez warunek f 1 (y) = x f (x) = y nazywamy funkcja odwrotna do funkcji f. Funkcja logarytmiczna Funkcję odwrotna do funkcji wykładniczej f (x) = a x nazywamy funkcja logarytmiczna o podstawie a i oznaczamy log a. To znaczy log a y = x a x = y. Bezpośrednio z definicji otrzymujemy też: log a a x = x, dla x R, a log a x = x, dla x (0, ).

62 Funkcje elementarne. Funkcja logarytmiczna. przypomnienie Jeśli funkcja f : X Y jest różnowartościowa, to funkcję f 1 : f (X) X zdefiniowana przez warunek f 1 (y) = x f (x) = y nazywamy funkcja odwrotna do funkcji f. Funkcja logarytmiczna Funkcję odwrotna do funkcji wykładniczej f (x) = a x nazywamy funkcja logarytmiczna o podstawie a i oznaczamy log a. To znaczy log a y = x a x = y. Bezpośrednio z definicji otrzymujemy też: log a a x = x, dla x R, a log a x = x, dla x (0, ).

63 Funkcje elementarne. Funkcja logarytmiczna. przypomnienie Jeśli funkcja f : X Y jest różnowartościowa, to funkcję f 1 : f (X) X zdefiniowana przez warunek f 1 (y) = x f (x) = y nazywamy funkcja odwrotna do funkcji f. Funkcja logarytmiczna Funkcję odwrotna do funkcji wykładniczej f (x) = a x nazywamy funkcja logarytmiczna o podstawie a i oznaczamy log a. To znaczy log a y = x a x = y. Bezpośrednio z definicji otrzymujemy też: log a a x = x, dla x R, a log a x = x, dla x (0, ).

64 wykres funkcji logarytmicznej i wykładniczej

65 Własności funkcji logarytmicznej

66 Oznaczenie: log x := log 10 x, ln x := log e x. własności logarytmów log a b + log a c = log a (bc), log a b log a c = log a (b : c), log a b c = c log a b, log a b c = 1 b log a c, log a b = log c b log c a, log a b = 1 log b a.

67 Oznaczenie: log x := log 10 x, ln x := log e x. własności logarytmów log a b + log a c = log a (bc), log a b log a c = log a (b : c), log a b c = c log a b, log a b c = 1 b log a c, log a b = log c b log c a, log a b = 1 log b a.

68 Oznaczenie: log x := log 10 x, ln x := log e x. własności logarytmów log a b + log a c = log a (bc), log a b log a c = log a (b : c), log a b c = c log a b, log a b c = 1 b log a c, log a b = log c b log c a, log a b = 1 log b a.

69 Oznaczenie: log x := log 10 x, ln x := log e x. własności logarytmów log a b + log a c = log a (bc), log a b log a c = log a (b : c), log a b c = c log a b, log a b c = 1 b log a c, log a b = log c b log c a, log a b = 1 log b a.

70 Oznaczenie: log x := log 10 x, ln x := log e x. własności logarytmów log a b + log a c = log a (bc), log a b log a c = log a (b : c), log a b c = c log a b, log a b c = 1 b log a c, log a b = log c b log c a, log a b = 1 log b a.

71 Oznaczenie: log x := log 10 x, ln x := log e x. własności logarytmów log a b + log a c = log a (bc), log a b log a c = log a (b : c), log a b c = c log a b, log a b c = 1 b log a c, log a b = log c b log c a, log a b = 1 log b a.

72 Funkcje elementarne. Funkcje trygonometryczne.

73 Funkcje elementarne. Funkcje cyklometryczne. Definicja arc sin x := (sin [ π 2, π 2 ]) 1 (x) arc cos x := (cos [0,π] ) 1 (x) arctg x := (tg ( π 2, π 2 )) 1 (x) arcctg x := (ctg (0,π) ) 1 (x)

74 Funkcje elementarne. Funkcje cyklometryczne. Definicja arc sin x := (sin [ π 2, π 2 ]) 1 (x) arc cos x := (cos [0,π] ) 1 (x) arctg x := (tg ( π 2, π 2 )) 1 (x) arcctg x := (ctg (0,π) ) 1 (x)

75 Funkcje elementarne. Funkcje cyklometryczne. Definicja arc sin x := (sin [ π 2, π 2 ]) 1 (x) arc cos x := (cos [0,π] ) 1 (x) arctg x := (tg ( π 2, π 2 )) 1 (x) arcctg x := (ctg (0,π) ) 1 (x)

76 Funkcje elementarne. Funkcje cyklometryczne. Definicja arc sin x := (sin [ π 2, π 2 ]) 1 (x) arc cos x := (cos [0,π] ) 1 (x) arctg x := (tg ( π 2, π 2 )) 1 (x) arcctg x := (ctg (0,π) ) 1 (x)

77 Funkcje elementarne. Funkcje cyklometryczne. Definicja arc sin x := (sin [ π 2, π 2 ]) 1 (x) arc cos x := (cos [0,π] ) 1 (x) arctg x := (tg ( π 2, π 2 )) 1 (x) arcctg x := (ctg (0,π) ) 1 (x)

78 Funkcje cyklometryczne. Arcsin.

79 Funkcje cyklometryczne. Arccos.

80 Funkcje cyklometryczne. Arctg.

81 Funkcje cyklometryczne. Arcctg.

82 Przekształcenia wykresów funkcji g(x) = f (x) + b (x, y) grf (x, y + b) grg

83 Przekształcenia wykresów funkcji g(x) = f (x a) (x, y) grf (x + a, y) grg

84 Przekształcenia wykresów funkcji g(x) = f ( x) (x, y) grf ( x, y) grg

85 Przekształcenia wykresów funkcji g(x) = f (x) (x, y) grf (x, y) grg

86 Przekształcenia wykresów funkcji g(x) = f (kx) (x, y) grf ( 1 k x, y) grg

87 Przekształcenia wykresów funkcji g(x) = kf (x) (x, y) grf (x, ky) grg

Wykład I. Literatura. Oznaczenia. ot(x 0 ) zbiór wszystkich otoczeń punktu x 0

Wykład I. Literatura. Oznaczenia. ot(x 0 ) zbiór wszystkich otoczeń punktu x 0 Wykład I Literatura Podręczniki 1. G. M. Fitherholz Rachunek różniczkowy i całkowy 2. W. Żakowski Matematyka tom I Zbiory zadań 1. W. Krysicki, L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach tom I i II

Bardziej szczegółowo

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje

Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Zadania z analizy matematycznej - sem. I Liczby i funkcje Definicja 1. Mówimy że: liczba m Z jest dzielnikiem liczby n Z gdy istnieje l Z takie że n = l m. Zapisujemy to symbolem m n; liczba m Z jest wspólnym

Bardziej szczegółowo

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.

FUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego

Równania różniczkowe liniowe rzędu pierwszego Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 21 kwietnia 2016 Wstęp Definicja Równanie różniczkowe + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to

Bardziej szczegółowo

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. 1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.

Bardziej szczegółowo

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt

Bardziej szczegółowo

Spis treści Od autora......................................................... 7 Rozdział 1. Elementy rachunku zdań i algebry zbiorów............

Spis treści Od autora......................................................... 7 Rozdział 1. Elementy rachunku zdań i algebry zbiorów............ Spis treści Od autora......................................................... 7 Rozdział 1. Elementy rachunku zdań i algebry zbiorów............ 11 1.1. Zdania..................................................................11

Bardziej szczegółowo

1 Funkcje i ich granice

1 Funkcje i ich granice Funkcje i ich granice Było: Zbiór argumentów; zbiór wartości; monotoniczność; funkcja odwrotna; funkcja liniowa; kwadratowa; wielomiany; funkcje wymierne; funkcje trygonometryczne i ich odwrotności; funkcja

Bardziej szczegółowo

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna

Rozdział 9. Funkcja pierwotna. 9.1 Funkcja pierwotna Rozdział 9 Funkcja pierwotna 9. Funkcja pierwotna Definicja funkcji pierwotnej. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale P. Mówimy, że funkcja F : P R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale

Bardziej szczegółowo

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol

ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA. oprac. I. Gorgol ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZNIA oprac. I. Gorgol Spis treści. Elementy logiki. Elementy rachunku zbiorów 4. Funkcje zdaniowe i kwantyfikatory. 4 4. Funkcja złożona i odwrotna 6 5. Granica ciągu liczbowego

Bardziej szczegółowo

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy

Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Matematyka do liceów i techników Szczegółowy rozkład materiału Zakres podstawowy Wariant nr (klasa I 4 godz., klasa II godz., klasa III godz.) Klasa I 7 tygodni 4 godziny = 48 godzin Lp. Tematyka zajęć

Bardziej szczegółowo

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008

(a 1 2 + b 1 2); : ( b a + b ab 2 + c ). : a2 2ab+b 2. Politechnika Białostocka KATEDRA MATEMATYKI. Zajęcia fakultatywne z matematyki 2008 Zajęcia fakultatywne z matematyki 008 WYRAŻENIA ARYTMETYCZNE I ALGEBRAICZNE. Wylicz b z równania a) ba + a = + b; b) a = b ; b+a c) a b = b ; d) a +ab =. a b. Oblicz a) [ 4 (0, 5) ] + ; b) 5 5 5 5+ 5 5

Bardziej szczegółowo

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony

MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony MATeMAtyka klasa II poziom rozszerzony W klasie drugiej na poziomie rozszerzonym realizujemy materiał z klasy pierwszej tylko z poziomu rozszerzonego (na czerwono) oraz cały materiał z klasy drugiej. Rozkład

Bardziej szczegółowo

Wstęp do analizy matematycznej

Wstęp do analizy matematycznej Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w

Bardziej szczegółowo

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna w zadaniach, t. 1, W. Krysicki, L. Włodarski - rozwiązania

Analiza matematyczna w zadaniach, t. 1, W. Krysicki, L. Włodarski - rozwiązania http://www./86.htm Analiza matematyczna w zadaniach, t., W. Krysicki, L. Włodarski - rozwiązania Całki nieoznaczone. Całkowanie przez podstawienie i całkowanie przez części. 5. 5. 5. 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9

Bardziej szczegółowo

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1

Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Biotechnologia, Chemia, Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Równania różniczkowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (R) y = f(x, y). Najogólniejszą

Bardziej szczegółowo

Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych

Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych ZESPÓŁ SZKÓŁ HANDLOWO-EKONOMICZNYCH IM. MIKOŁAJA KOPERNIKA W BIAŁYMSTOKU Pakiet edukacyjny do nauki przedmiotów ścisłych i kształtowania postaw przedsiębiorczych Mój przedmiot matematyka spis scenariuszy

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-R_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 008 Czas pracy 80 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

Kurs z matematyki - zadania

Kurs z matematyki - zadania Kurs z matematyki - zadania Miara łukowa kąta Zadanie Miary kątów wyrażone w stopniach zapisać w radianach: a) 0, b) 80, c) 90, d), e) 0, f) 0, g) 0, h), i) 0, j) 70, k), l) 80, m) 080, n), o) 0 Zadanie

Bardziej szczegółowo

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/

Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ Zakres na egzaminy poprawkowe w r. szk. 2013/14 /nauczyciel M.Tatar/ MATEMATYKA Klasa III ZAKRES PODSTAWOWY Dział programu Temat Wymagania. Uczeń: 1. Miara łukowa kąta zna pojęcia: kąt skierowany, kąt

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA. Pod redakcją Andrzeja Justa i Andrzeja Piątkowskiego

MATEMATYKA. Pod redakcją Andrzeja Justa i Andrzeja Piątkowskiego MATEMATYKA Pod redakcją Andrzeja Justa i Andrzeja Piątkowskiego Internetowy kurs dla kandydatów na Politechnikę Łódzką Repetytorium dla studentów I roku Politechniki Łódzkiej Skrypt niniejszy zawiera wiadomości

Bardziej szczegółowo

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i + Teoria na egzamin z algebry liniowej Wszystkie podane pojęcia należy umieć określić i podać pprzykłady, ewentualnie kontrprzykłady. Ponadto należy znać dowody tam gdzie to jest zaznaczone. Liczby zespolone.

Bardziej szczegółowo

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.)

PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY. I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) PLAN WYNIKOWY DLA KLASY DRUGIEJ POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY I. Proste na płaszczyźnie (15 godz.) Równanie prostej w postaci ogólnej Wzajemne połoŝenie dwóch prostych Nierówność liniowa z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ

PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ PORÓWNANIE TREŚCI ZAWARTYCH W OBOWIĄZUJĄCYCH STANDARDACH EGZAMINACYJNYCH Z TREŚCIAMI NOWEJ PODSTAWY PROGRAMOWEJ L.p. 1. Liczby rzeczywiste 2. Wyrażenia algebraiczne bada, czy wynik obliczeń jest liczbą

Bardziej szczegółowo

PROPOZYCJA PLANU WYNIKOWEGOREALIZACJI PROGRAMU NAUCZANIA Matematyka przyjemna i pożyteczna W DRUGIEJ KLASIE SZKOŁY PONADGIMNAZJALNEJ

PROPOZYCJA PLANU WYNIKOWEGOREALIZACJI PROGRAMU NAUCZANIA Matematyka przyjemna i pożyteczna W DRUGIEJ KLASIE SZKOŁY PONADGIMNAZJALNEJ OOZYCJA LANU WYNIKOWEGOEALIZACJI OGAMU NAUCZANIA Matematyka przyjemna i pożyteczna W DUGIEJ KLASIE SZKOŁY ONADGIMNAZJALNEJ ZAKES OZSZEZONY DZIAŁ I: CIĄGI Tematyka jednostki lekcyjnej lub Liczba oziomy

Bardziej szczegółowo

Spis treści Wstęp Liczby zespolone Funkcje elementarne zmiennej zespolonej Wielomiany Macierze i wyznaczniki

Spis treści Wstęp Liczby zespolone Funkcje elementarne zmiennej zespolonej Wielomiany Macierze i wyznaczniki Spis treści Wstęp ii 1 Liczby zespolone 1 1.1 Definicja i działania, liczby sprzężone......................... 1 1.2 Moduł, argument, postać trygonometryczna..................... 2 1.3 Działania na liczbach

Bardziej szczegółowo

SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJ

SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJ SYLABUS PRZEDMIOTU MATEMATYKA W RAMACH ZAJĘĆ WYRÓWNAWCZYCH Z MATEMATYKI DLA STUDENTÓW I ROKU BUDOWNICTWA WNT UWM W ROKU AKADEMICKIM 2012/2013 Nazwa przedmiotu: Zajęcia wyrównawcze z matematyki Rodzaj studiów:

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe

MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ) 1. Ciągi liczbowe MATEMATYKA I SEMESTR WSPIZ (PwZ). Ciągi liczbowe.. OKREŚLENIE Ciąg liczbowy = Dowolna funkcja przypisująca liczby rzeczywiste pierwszym n (ciąg skończony), albo wszystkim (ciąg nieskończony) liczbom naturalnym.

Bardziej szczegółowo

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi: 1 Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski

Liczby zespolone. Magdalena Nowak. 23 marca Uniwersytet Śląski Uniwersytet Śląski 23 marca 2012 Ciało liczb zespolonych Rozważmy zbiór C = R R, czyli C = {(x, y) : x, y R}. W zbiorze C definiujemy następujące działania: dodawanie: mnożenie: (a, b) + (c, d) = (a +

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy. Klasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń i systemów energetyki odnawialnej. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym

Plan wynikowy. Klasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń i systemów energetyki odnawialnej. Kształcenie ogólne w zakresie podstawowym Oznaczenia: wymagania konieczne, P wymagania podstawowe, R wymagania rozszerzające, D wymagania dopełniające, W wymagania wykraczające. Plan wynikowy lasa III Technik pojazdów samochodowych/ Technik urządzeń

Bardziej szczegółowo

Wymagania z matematyki, poziom podstawowy. nowa podstawa programowa

Wymagania z matematyki, poziom podstawowy. nowa podstawa programowa z matematyki, poziom podstawowy nowa podstawa programowa Nauczyciel matematyki: mgr Joanna Nowaczyk Zbiór liczb rzeczywistych i jego podzbiory ponad potrafi odróżnić zdanie logiczne od innej wypowiedzi;

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCENIANIA MATEMATYKA (podstawowy) klasa 1.

KRYTERIA OCENIANIA MATEMATYKA (podstawowy) klasa 1. Wymagania podstawowe (zawierają wymagania konieczne); Wymagania dopełniające (zawierają wymagania rozszerzające); Wymagania wykraczające. KRYTERIA OCENIANIA MATEMATYKA (podstawowy) klasa 1. Prace klasowe

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

Wprowadzenie do struktur o-minimalnych

Wprowadzenie do struktur o-minimalnych Wprowadzenie do struktur o-minimalnych Piotr Pokora 22.02.2009 1 Wprowadzenie do struktur o-minimalnych i pojęcia wstępne Na początku lat 80-tych Pillay i Steinhorn wprowadzili pojęcie o-minimalności bazując

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0.

y f x 0 f x 0 x x 0 x 0 lim 0 h f x 0 lim x x0 - o ile ta granica właściwa istnieje. f x x2 Definicja pochodnych jednostronnych 1.5 0. Matematyka ZLic - 3 Pochodne i różniczki funkcji jednej zmiennej Definicja Pochodną funkcji f w punkcie x, nazwiemy liczbę oznaczaną symbolem f x lub df x dx, równą granicy właściwej f x lim h - o ile

Bardziej szczegółowo

Kurs matematyki dla chemików

Kurs matematyki dla chemików Kurs matematyki dla chemików nr 136 Joanna Ger Kurs matematyki dla chemików Wydanie piąte poprawione Wydawnictwo Uniwersytetu Śląskiego Katowice 2012 Redaktor serii: Matematyka Tomawsz Dłotko Recenzenci

Bardziej szczegółowo

w(x)= P(x) Q(x), (1) x 2 +7x 2 8 Pierwsze z tych wyrażeń jest funkcją wymierną niewłaściwą, a drugie wyrażenie jest funkcją wymierną właściwą.

w(x)= P(x) Q(x), (1) x 2 +7x 2 8 Pierwsze z tych wyrażeń jest funkcją wymierną niewłaściwą, a drugie wyrażenie jest funkcją wymierną właściwą. 5 Funkcjewymierne. Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz postaci w(x)= P(x) Q(x), () gdzie P i Q są wielomianami, przy czym Q nie jest wielomianem zerowym. Jeżeli wielomiany te są rzeczywiste, to

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA - PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) Rok szkolny 2014/2015- klasa 1 a, b

MATEMATYKA - PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) Rok szkolny 2014/2015- klasa 1 a, b MATEMATYKA - PLAN WYNIKOWY (zakres podstawowy) Rok szkolny 04/05- klasa a, b Wymagania wykraczające zawierają w sobie wymagania dopełniające, te zaś zawierają wymagania podstawowe. Ocenę dopuszczającą

Bardziej szczegółowo

Klasa pierwsza: I TE 1, I TE 2, 1 TG, 1 TH, I TRA, 1TI Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 90 nr programu DKOS /07 I. Liczby rzeczywiste

Klasa pierwsza: I TE 1, I TE 2, 1 TG, 1 TH, I TRA, 1TI Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 90 nr programu DKOS /07 I. Liczby rzeczywiste Klasa pierwsza: I TE 1, I TE 2, 1 TG, 1 TH, I TRA, 1TI Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 0 nr programu DKOS-5002-7/07 I. Liczby rzeczywiste Liczby naturalne Liczby całkowite. Liczby wymierne. 1 Wykonalność

Bardziej szczegółowo

M A T E M A T Y K A 8 KURSÓW OPISY KURSÓW. Rok szkolny 2015/2016. klasa III Zakres Trymestr I. Podstawowy 104 105 300

M A T E M A T Y K A 8 KURSÓW OPISY KURSÓW. Rok szkolny 2015/2016. klasa III Zakres Trymestr I. Podstawowy 104 105 300 M A T E M A T Y K A Podział kursów w procesie nauczania: -podstawowe 5 kursów (300 godzin) -rozszerzone 8 kursów (480 godzin) MATURA zakres podstawowy 5 KURSÓW PP: 101,102,103,104,105 MATURA zakres rozszerzony

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA III ZAKRES ROZSZERZONY (90 godz.) , x WYMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI LASA III ZARES ROZSZERZONY (90 godz.) Oznaczenia: wymagania konieczne (dopuszczający); P wymagania podstawowe (dostateczny); R wymagania rozszerzające (dobry); D wymagania

Bardziej szczegółowo

III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU

III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU III. STRUKTURA I FORMA EGZAMINU Egzamin maturalny z matematyki jest egzaminem pisemnym sprawdzającym wiadomości i umiejętności określone w Standardach wymagań egzaminacyjnych i polega na rozwiązaniu zadań

Bardziej szczegółowo

Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę):

Matematyka Lista 1 1. Matematyka. Lista Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę): Matematyka Lista 1 1 Matematyka Lista 1 1. Obliczyć lub uprościć zapis (zapisać jako potęgę): 3 3 3 ( ) 1 4 2 5 8 3 100 3 2 4 1 3 4 2 4 9 1 3 3 9 3. 5 2. Rozwiązać równania i nierówności: 4 2x+1 = 8 5x

Bardziej szczegółowo

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1.

Kurs Start plus - matematyka poziom podstawowy, materiały dla prowadzących, Marcin Kościelecki. Zajęcia 1. Projekt Fizyka Plus nr POKL.04.0.0-00-034/ współfinansowany przez Unię Europejską ze środków Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Kurs Start plus - matematyka

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych.

MATEMATYKA Z SENSEM. Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki. Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych. MATEMATYKA Z SENSEM Ryszard Kalina Tadeusz Szymański Marek Lewicki Przedmiotowy system oceniania wraz z określeniem wymagań edukacyjnych Klasa I Zakres podstawowy i rozszerzony Wymagania konieczne (K)

Bardziej szczegółowo

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE

V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE V. WYMAGANIA EGZAMINACYJNE Standardy wymagań egzaminacyjnych Zdający posiada umiejętności w zakresie: POZIOM PODSTAWOWY POZIOM ROZSZERZONY 1. wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny

Bardziej szczegółowo

SYLABUS. Cele zajęć z przedmiotu

SYLABUS. Cele zajęć z przedmiotu Załącznik nr 1 do Zarządzenia Rektora UR Nr 4/2012 z dnia 20.01.2012r. SYLABUS Nazwa przedmiotu Nazwa jednostki prowadzącej przedmiot Analiza matematyczna Wydział Matematyczno-Przyrodniczy, Instytut Fizyki

Bardziej szczegółowo

Uczeń: -podaje przykłady ciągów liczbowych skończonych i nieskończonych oraz rysuje wykresy ciągów

Uczeń: -podaje przykłady ciągów liczbowych skończonych i nieskończonych oraz rysuje wykresy ciągów Wymagania edukacyjne PRZEDMIOT: Matematyka KLASA: III Th ZAKRES: zakres podstawowy Poziom wymagań Lp. Dział programu Konieczny-K Podstawowy-P Rozszerzający-R Dopełniający-D Uczeń: 1. Ciągi liczbowe. -zna

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MARZEC w odniesieniu do INFORMATORA O EGZAMINIE MATURALNYM OD 2010 ROKU MATEMATYKA.

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MARZEC w odniesieniu do INFORMATORA O EGZAMINIE MATURALNYM OD 2010 ROKU MATEMATYKA. PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MARZEC 2011 w odniesieniu do INFORMATORA O EGZAMINIE MATURALNYM OD 2010 ROKU MATEMATYKA oraz WYBRANYCH WZORÓW MATEMATYCZNYCH 2 Próbny egzamin maturalny

Bardziej szczegółowo

Matematyka. Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Klasa 1

Matematyka. Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Klasa 1 Matematyka. Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Katalog wymagań programowych na poszczególne stopnie szkolne Klasa 1 Matematyka Poznać, zrozumieć. Zakres podstawowy Klasa 1 Liceum i technikum Katalog

Bardziej szczegółowo

1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Poziom (K) lub (P)

1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Poziom (K) lub (P) Wymagania edukacyjne dla klasy IIIc technik informatyk 1.. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE rok szkolny 2014/2015 zaznacza kąt w układzie współrzędnych, wskazuje jego ramię początkowe i końcowe wyznacza wartości

Bardziej szczegółowo

Wykłady z matematyki Liczby zespolone

Wykłady z matematyki Liczby zespolone Wykłady z matematyki Liczby zespolone Rok akademicki 015/16 UTP Bydgoszcz Liczby zespolone Wstęp Formalnie rzecz biorąc liczby zespolone to punkty na płaszczyźnie z działaniami zdefiniowanymi następująco:

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 1 zadania z odpowiedziami

Analiza matematyczna 1 zadania z odpowiedziami Analiza matematyczna zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki strona główna Spis treści Elementy logiki, zbiory, funkcje Funkcje trygonometryczne 3 3 Ciągi 4 4 Granice funkcji, ciągłość 5 5 Rachunek różniczkowy

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.)

Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. 2 godz. = 76 godz.) Rozkład materiału z matematyki dla II klasy technikum zakres podstawowy I wariant (38 tyg. godz. = 76 godz.) I. Funkcja i jej własności.4godz. II. Przekształcenia wykresów funkcji...9 godz. III. Funkcja

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1

MATEMATYKA WYDZIAŁ MATEMATYKI - TEST 1 Wszelkie prawa zastrzeżone. Rozpowszechnianie, wypożyczanie i powielanie niniejszych testów w jakiejkolwiek formie surowo zabronione. W przypadku złamania zakazu mają zastosowanie przepisy dotyczące naruszenia

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Katalog wymagań programowych

MATEMATYKA Katalog wymagań programowych MATEMATYKA Katalog wymagań programowych KLASA 1H LICZBY RZECZYWISTE Na poziomie wymagań koniecznych lub podstawowych - na ocenę dopuszczającą () lub dostateczną przedstawiać liczby rzeczywiste w różnych

Bardziej szczegółowo

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.)

Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.2012 r.) IV etap edukacyjny Nowa podstawa programowa z matematyki ( w liceum od 01.09.01 r.) Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI YMAGANIA EDUACYJNE Z MATEMATYI opisie uwzględniono klasyfikację umiejętności na odpowiednie poziomy wymagań : onieczne ( ) ocena dopuszczająca, odstawowe ( ) ocena dostateczna, ozszerzone ( ) ocena dobra,

Bardziej szczegółowo

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1

LICZBY ZESPOLONE. 1. Wiadomości ogólne. 2. Płaszczyzna zespolona. z nazywamy liczbę. z = a + bi (1) i = 1 lub i 2 = 1 LICZBY ZESPOLONE 1. Wiadomości ogólne DEFINICJA 1. Liczba zespolona z nazywamy liczbę taką, że a, b R oraz i jest jednostka urojona, definiowaną następująco: z = a + bi (1 i = 1 lub i = 1 Powyższą postać

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych Całki potrójne wykład z MATEMATYKI Budownictwo studia niestacjonarne sem. II, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematyki Wydział Informatyki olitechnika Białostocka 1

Bardziej szczegółowo

Rozdział 2. Liczby zespolone

Rozdział 2. Liczby zespolone Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DLA I ROKU GEOLOGII

MATEMATYKA DLA I ROKU GEOLOGII MATEMATYKA DLA I ROKU GEOLOGII PAWEŁ ZAPAŁOWSKI Spis treści Literatura. Pojęcia wstępne.. Elementy logiki.. Zbiory liczb i działania na liczbach 3.3. Iloczyn kartezjański 5. Funkcje rzeczywiste zmiennej

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI

WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI Zał. nr 4 do ZW WYDZIAŁ Geoinżynierii, Górnictwa i Geologii KARTA PRZEDMIOTU Nazwa w języku polskim Wstęp do analizy i algebry Nazwa w języku angielskim Introduction to analysis and algebra Kierunek studiów

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna na kierunku Elektrotechnika

Analiza matematyczna na kierunku Elektrotechnika 1 Analiza matematyczna na kierunku Elektrotechnika 3 stycznia 011 1 Uzupełnienia do wykładu 1. (5 /6 X 010) Literatura: W. Żakowski, W. Kołodziej Matematyka Cz.I WNT R. Leitner, Zarys matematyki wyższej

Bardziej szczegółowo

Zarzadzanie i Marketing Egzamin z Matematyki. Studia dzienne. 1999

Zarzadzanie i Marketing Egzamin z Matematyki. Studia dzienne. 1999 Imie Nazwisko Zestaw 121 Zarzadzanie i Marketing Egzamin z Matematyki. Studia dzienne. 1999 Zaznacz wlasciwa odpowiedz przez otoczenie kolkiem litery a, b lub c. Tylko jedna z podanych odpowiedzi jest

Bardziej szczegółowo

5 Pochodna funkcji w punkcie Motywacja, przykłady Definicja pochodnej, różniczkowalność... 24

5 Pochodna funkcji w punkcie Motywacja, przykłady Definicja pochodnej, różniczkowalność... 24 1 Spis treści 1 Uzupełnienia do pierwszych wykładów (014) 1.1 Podstawowe oznaczenia...................... 1. Zbiory................................ 4 1.3 relacje, odwzorowania, funkcje...................

Bardziej szczegółowo

LOGIKA ALGORYTMICZNA

LOGIKA ALGORYTMICZNA LOGIKA ALGORYTMICZNA 0.0. Relacje. Iloczyn kartezjański: A B := (a, b) : a A i b B} (zak ladamy, że (x, y) i (u, v) s a równe wtedy i tylko wtedy gdy x = u i y = v); A n := (x 1,..., x n ) : x i A}; R

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający

Bardziej szczegółowo

ZAKRES PODSTAWOWY CZĘŚĆ II. Wyrażenia wymierne

ZAKRES PODSTAWOWY CZĘŚĆ II. Wyrażenia wymierne CZĘŚĆ II ZAKRES PODSTAWOWY Wyrażenia wymierne Temat: Wielomiany-przypomnienie i poszerzenie wiadomości. (2 godz.) znać i rozumieć pojęcie jednomianu (2) znać i rozumieć pojęcie wielomianu stopnia n (2)

Bardziej szczegółowo

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI

SPIS TREŚCI WSTĘP... 8 1. LICZBY RZECZYWISTE 2. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 3. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI SPIS TREŚCI WSTĘP.................................................................. 8 1. LICZBY RZECZYWISTE Teoria............................................................ 11 Rozgrzewka 1.....................................................

Bardziej szczegółowo

4. Granica i ciągłość funkcji

4. Granica i ciągłość funkcji 4. Granica i ciągłość funkcji W niniejszym rozdziale wprowadzamy pojęcie granicy funkcji, definiujemy funkcje ciągłe i omawiamy ich podstawowe własności. Niech f będzie funkcją określoną na przedziale

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ

ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ ALGEBRA LINIOWA Z ELEMENTAMI GEOMETRII ANALITYCZNEJ WSHE, O/K-CE 10. Homomorfizmy Definicja 1. Niech V, W będą dwiema przestrzeniami liniowymi nad ustalonym ciałem, odwzorowanie ϕ : V W nazywamy homomorfizmem

Bardziej szczegółowo

1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu

1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu Równania różniczkowe zwyczajne liniowe I-go rzędu 1 1 1 Równania różniczkowe zwyczajne liniowe pierwszego rzędu Równaniem różniczkowym zwyczajnym liniowym pierwszego rzędu nazywamy równanie postaci (RL1)

Bardziej szczegółowo

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna 1. Podaj denicj liczby zespolonej. 2. Jak obliczy sum /iloczyn dwóch liczb zespolonych w postaci algebraicznej? 3. Co to jest liczba urojona?

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

1. Teoria mnogości, zbiory i operacje na zbiorach, relacje i odwzorowania, moc zbiorów.

1. Teoria mnogości, zbiory i operacje na zbiorach, relacje i odwzorowania, moc zbiorów. 1. Teoria mnogości, zbiory i operacje na zbiorach, relacje i odwzorowania, moc zbiorów. Teoria mnogości inaczej nazywana teorią zbiorów jest to teoria matematyczna badająca własności zbiorów (mnogość dawna

Bardziej szczegółowo

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego

Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego Wykaz treści i umiejętności zawartych w podstawie programowej z matematyki dla IV etapu edukacyjnego 1. Liczby rzeczywiste P1.1. Przedstawianie liczb rzeczywistych w różnych postaciach (np. ułamka zwykłego,

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna Matematyka dyskretna Wykład 6: Ciała skończone i kongruencje Gniewomir Sarbicki 24 lutego 2015 Relacja przystawania Definicja: Mówimy, że liczby a, b Z przystają modulo m (co oznaczamy jako a = b (mod

Bardziej szczegółowo

Materiały do ćwiczeń z matematyki - przebieg zmienności funkcji

Materiały do ćwiczeń z matematyki - przebieg zmienności funkcji Materiały do ćwiczeń z matematyki - przebieg zmienności funkcji Kierunek: chemia Specjalność: podstawowa Zadanie 1. Zbadać przebieg zmienności funkcji Rozwiązanie. I Analiza funkcji f(x) = x 3 3x 2 + 2.

Bardziej szczegółowo

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE; RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI LINIOWE I KWADRATOWE zakres podstawowy *zakres rozszerzony

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE; RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI LINIOWE I KWADRATOWE zakres podstawowy *zakres rozszerzony WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE; RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI LINIOWE I KWADRATOWE 1. zna i stosuje zasady redukcji wyrazów podobnych 2. zna zasady przekształcania wyrażeń algebraicznych 3. zna i posługuje się wzorami

Bardziej szczegółowo

MATURA POPRAWKOWA Z MATEMATYKI 23 SIERPIEŃ 2011 R. PRZYKŁADOWE ODPOWIEDZI

MATURA POPRAWKOWA Z MATEMATYKI 23 SIERPIEŃ 2011 R. PRZYKŁADOWE ODPOWIEDZI MATURA POPRAWKOWA Z MATEMATYKI 23 SIERPIEŃ 2011 R. PRZYKŁADOWE ODPOWIEDZI OPRACOWANIE AKADEMIA MATEMATYKI 26 SIERPNIA 2011 mgr Marek Dębczyński CENTRUM NOWCZESNEJ EDUKACJI W KALISZU MAREK DEBCZYŃSKI Zadanie

Bardziej szczegółowo

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale

KURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA

Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA Plan wynikowy z przedmiotu: MATEMATYKA Szkoła: Liceum Ogólnokształcące Klasa: pierwsza Poziom nauczania: podstawowy Numer programu: DPN-5002-31/08 Podręcznik: MATEMATYKA Anna Jatczak, Monika Ciołkosz,

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA - - MATEMATYKA ROK SZKOLNY 2015/2016. opracowała: mgr Anna Przybylska

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA - - MATEMATYKA ROK SZKOLNY 2015/2016. opracowała: mgr Anna Przybylska PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA - - MATEMATYKA ROK SZKOLNY 2015/2016 opracowała: mgr Anna Przybylska I. CELE EDUKACJI MATEMATYCZNEJ w zakresie rozwoju intelektualnego ucznia (cele związane z kształceniem):

Bardziej szczegółowo

ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY

ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY ZESTAW PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ Z MATEMATYKI ZAKRES ROZSZERZONY Zadanie Wskaż w zbiorze A = Zadanie Usuń niewymierność z wyrażenia,(0); 0,9; ; 0; 8; 0; 0 liczby wymierne 6 Zadanie Rozwiąż nierówność x + > Rozwiązanie

Bardziej szczegółowo

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne:

Poniżej przedstawiony został podział wymagań na poszczególne oceny szkolne: Prosto do matury klasa d Rok szkolny 014/015 WYMAGANIA EDUKACYJNE Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i wykraczające

Bardziej szczegółowo

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne

PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne PODSTAWA PROGRAMOWA PRZEDMIOTU MATEMATYKA IV etap edukacyjny: liceum Cele kształcenia wymagania ogólne ZAKRES PODSTAWOWY ZAKRES ROZSZERZONY I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń używa języka matematycznego

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA IV etap edukacyjny. I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.

MATEMATYKA IV etap edukacyjny. I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. Cele kształcenia wymagania ogólne MATEMATYKA IV etap edukacyjny I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje tekst matematyczny. Po rozwiązaniu zadania interpretuje otrzymany wynik. Uczeń

Bardziej szczegółowo

PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ

PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ PROGRAM KLASY Z ROZSZERZONĄ MATEMATYKĄ ALGEBRA Klasa I 3 godziny tygodniowo Klasa II 4 godziny tygodniowo Klasa III 3 godziny tygodniowo A. Liczby (24) 1. Liczby naturalne i całkowite. a. Własności, kolejność

Bardziej szczegółowo

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami

Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Algebra z geometrią analityczną zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki Spis treści 0 Wyrażenia algebraiczne, indukcja matematyczna 2 2 2 1 Geometria analityczna w R 2 3 3 3 2 Liczby zespolone 4 4 4 3

Bardziej szczegółowo

ISBN

ISBN Danuta Wróbel, Alicja Zielińska Uniwersytet Łódzki, Studium Języka Polskiego dla Cudzoziemców, 90-231 Łódź, ul. Matejki 21/23 Grzegorz Rudziński Uniwersytet Łódzki, Wydział Filologiczny Katedra Lingwistyki

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA LICEUM. 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń:

MATEMATYKA LICEUM. 1. Liczby rzeczywiste. Uczeń: MATEMATYKA LICEUM Stopień niedostateczny otrzymuje uczeń, który nie opanował wiadomości i umiejętności określonych w podstawie programowej i braki uniemożliwiają dalsze zdobywanie wiedzy z tego przedmiotu,

Bardziej szczegółowo

Algebra liniowa z geometrią

Algebra liniowa z geometrią Algebra liniowa z geometrią Maciej Czarnecki 15 stycznia 2013 Spis treści 1 Geometria płaszczyzny 2 1.1 Wektory i skalary........................... 2 1.2 Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.........

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI W SPOŁECZNYM LICEUM OGÓLNOKSZTAŁCĄCYM SPLOT IMIENIA JANA KARSKIEGO W NOWYM SĄCZU I. Cele edukacyjne: W zakresie rozwoju intelektualnego ucznia: wykształcenie

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA SENS. Plan wynikowy. Marian Łuniewski. Tomasz Tobiasz. Zakres podstawowy i rozszerzony

MATEMATYKA SENS. Plan wynikowy. Marian Łuniewski. Tomasz Tobiasz. Zakres podstawowy i rozszerzony Marian Łuniewski Tomasz Tobiasz MATEMATYKA Plan wynikowy Zakres podstawowy i rozszerzony SENS Wymagania konieczne (K) dotyczą zagadnień elementarnych, stanowiących swego rodzaju podstawę, zatem powinny

Bardziej szczegółowo