1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia

Transkrypt

1 1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, przy czym n N {0}, a 0, a 1,..., a n R oraz a n 0. Liczby a 0, a 1,..., a n nazywamy współczynnikami wielomianu, zaś liczbę a 0 nazywamy też wyrazem wolnym. Liczbę n nazywamy stopniem wielomianu w i oznaczamy symbolem st.w(x). Definicja wielomianu zerowego. Wielomian w, dla którego prawdziwy jest związek: w(x) = 0 dla każdego x R, nazywamy wielomianem zerowym. Piszemy wówczas w(x) 0. Wielomian zerowy nie ma określonego stopnia. W przypadku, gdy wielomian w zmiennej x nie jest wielomianem zerowym, będziemy pisać w(x) 0. Definicja pierwiastka wielomianu. Liczbę rzeczywistą a nazywamy pierwiastkiem wielomianu w wtedy i tylko wtedy, gdy w(a) = 0. Definicja równości wielomianów. Wielomiany w 1 oraz w są równe wtedy i tylko wtedy, gdy w 1 (x) = w (x) dla każdego x R. Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są albo zerowe albo są tego samego stopnia i mają równe współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej. Twierdzenie o rozkładzie wielomianu. Jeżeli w oraz p są wielomianami oraz p(x) 0, to istnieją wielomiany q oraz r takie, że w(x) = q(x)p(x) + r(x), przy czym r(x) 0 albo st.r(x) < st.p(x). Wielomian r(x) nazywamy resztą dzielenia w(x) przez p(x), natomiast q(x) ilorazem (zupełnym, gdy r(x) 0, niezupełnym, gdy r(x) 0). Wielomian p(x) nazywamy podzielnikiem (lub dzielnikiem) wielomianu w(x) wtedy i tylko wtedy, gdy r(x) 0. Twierdzenie Bézouta. Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu w wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian w(x) jest podzielny przez dwumian x a. Twierdzenie o reszcie. Reszta dzielenia wielomianu w(x) przez x a jest równa wartości tego wielomianu w punkcie a, tzn. w(a). Twierdzenie o rozkładzie wielomianu. Każdy niezerowy wielomian w(x) jest iloczynem czynników stopnia co najwyżej drugiego. Twierdzenie o liczbie pierwiastków. Każdy wielomian stopnia n ma co najwyżej n pierwiastków rzeczywistych. 1

2 Twierdzenie o postaci iloczynowej wielomianu. Jeśli wielomian n-tego stopnia w zdefiniowany równością w(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 ma n pierwiastków rzeczywistych x 1, x,..., x n, to w(x) = a n (x x 1 )(x x ) (x x n ). Definicja pierwiastka k-krotnego wielomianu. Liczbę a nazywamy pierwiastkiem k-krotnym wielomianu w, jeśli w(x) dzieli się przez (x a) k i nie dzieli się przez (x a) k+1. Liczbę naturalną k nazywamy krotnością pierwiastka. Twierdzenie o pierwiastkach wymiernych. Jeżeli liczba wymierna p q, gdzie p C oraz q C \ {0}, jest pierwiastkiem wielomianu w(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 o współczynnikach całkowitych, przy czym a n 0 i a 0 0, to p jest podzielnikiem wyrazu wolnego a 0, natomiast q jest podzielnikiem współczynnika a n. Twierdzenie o pierwiastkach całkowitych. Jeżeli liczba całkowita p jest pierwiastkiem wielomianu w o współczynnikach całkowitych zdefiniowanego przy pomocy równości w(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, przy czym a 0 0, to p jest podzielnikiem wyrazu wolnego a 0.

3 . ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA 3 Zadanie 1.1. Obliczyć resztę z dzielenia wielomianu w(x) = x 3 x 5x + 1 przez dwumian (x ). Zadanie 1.. Dla jakiej wartości parametru a wielomian w(x) = ax 3 4x + ax a jest podzielny przez (x )? Zadanie 1.3. Udowodnić, że dla dowolnej liczby naturalnej n spełniony jest warunek: wielomian x 3x + jest dzielnikiem wielomianu (x ) n + (x 1) n 1. Zadanie 1.4. Wielomian w(x) = x 4 + (a 3)x 3 + x b + jest podzielny przez trójmian (x x ). Wyznaczyć resztę z dzielenia w(x) przez dwumian (x 1). Zadanie 1.5. Dla jakich wartości parametrów a i b wielomian w(x) = x 3 + x + ax + b przy dzieleniu przez wielomian q(x) = x + x daje resztę r(x) = 4x 3? Zadanie 1.6. Wyznaczyć te wartości parametrów p i q, dla których wielomian x 3 +8x + 5x p jest podzielny przez x + 3x q. Zadanie 1.7. Pewien wielomian daje przy dzieleniu przez x 1 resztę, zaś przy dzieleniu przez x resztę 3. Jaką resztę daje ten wielomian przy dzieleniu przez (x 1)(x )? Zadanie 1.8. Wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu w(x) = x x 1 przez wielomian p(x) = x 3 x. Zadanie 1.9. Dla jakich parametrów p i q równanie x 3 + px + q = 0 ma pierwiastki x 1, x, x 3 takie, że x 1 = x = x Zadanie Dane jest równanie x 4 + bx 3 + x + ax + 1 = 0. Dla jakich wartości parametrów a i b liczba 1 jest podwójnym pierwiastkiem tego równania? Zadanie Wyznaczyć największy z pierwiastków wielomianu w(x) = x 3 ax 7x + 10, wiedząc, że jednym z jego pierwiastków jest 1. Zadanie 1.1. Rozwiązać równanie 8x 3 8x + 3 = 0. Zadanie Rozwiązać nierówność x 3 + x 3x 3 > 0. Zadanie Dany jest wielomian określony równścią w(x+1) = x 3 x+6. Rozwiązać nierówność w(x 1) > 0. Zadanie Rozwiązać nierówność (x + 3)(x 1) 3 (x 1)(1 x)(x 4) 0.. Zadania do samodzielnego rozwiązania Zadanie.1. Dla jakich wartości a oraz b równe są wielomiany w oraz g h, gdy w(x) = x 4 + 4x 3 8x 4, g(x) = x, zaś h(x) = x + ax + b? a = 4, b = Zadanie.. Wykonać dzielenie wielomianów: (a) (x 3 + 4x + x 6) : (x + 3), (b) (x 4 x 3 7x + 13x 6) : (x + x 3), (c) (4x 6 5) : (x 3 + 8x 3), (d) (3x 3 13x + 4) : (4x + 1x + 9), (e) (x 3 3ax + a 3 + 1) : (x + a + 1). Zadanie.3. Wiedząc, że liczby i 3 są pierwiastkami równania x 3 +mx 13x+n = 0 znaleźć trzeci pierwiastek. x = 5 Zadanie.4. Wielomian x 4 3x 3 + ax + bx 18 ma pierwiastek podwójny równy 3. Obliczyć pozostałe pierwiastki tego wielomianu. 17 3, 3+ 17

4 4 Zadanie.5. Liczby 1 oraz - są pierwiastkami równania x 4 + ax 3 + bx + 4 = 0. Wyznaczyć a, b oraz pozostałe pierwiastki równania. a = 0, b = 5, x 3 = 1, x 4 = Zadanie.6. Dla jakich wartości p oraz q wielomian x 4 + px + q jest podzielny przez wielomian x + x + 5? p = 6, q = 5 Zadanie.7. Wielomian w(x) = x 4 x 3 bx + (a + 1)x jest podzielny przez trójmian (x 3x + ). Wyznaczyć resztę z dzielenia w(x) przez dwumian (x + 1). Zadanie.8. Dla jakich wartości m oraz n wielomian x 3 + 6x + 3x m jest podzielny przez wielomian x + x + n? m = 0, n = 5 Zadanie.9. Wyznaczyć liczby a oraz b tak, aby wielomian ax 4 +bx 3 +1 dzielił się przez (x 1). a = 3, b = 4 Zadanie.10. Dany jest wielomian f(x) = x 3 (m + n)x + (3n + mn m)x + (m mn n ). Jaka zależność powinna zachodzić pomiędzy liczbami m oraz n, aby ten wielomian był podzielny przez dwumian x n? n = m Zadanie.11. Wyznaczyć współczynniki m, n, p oraz q tak, aby wielomian x 4 + mx 3 + nx + 1x + 4 był równy wielomianowi ( x px + q ). m = 6, n = 13, p = 3, q = lub m = 6, n = 5, p = 3, q = Zadanie.1. Wyznaczyć współczynniki p oraz q równania x 4 10x 3 +37x +px+q = 0, jeżeli wiadomo, że równanie to ma cztery rozwiązania x 1, x, x 3 oraz x 4 spełniające warunki x 1 = x oraz x 3 = x 4. p = 60, q = 36 Zadanie.13. Wyznaczyć te wartości parametrów p, q oraz r, dla których wielomian x 4 5x 3 + px + qx r jest podzielny przez (x 1) 3. p = 9, q = 7, r = Zadanie.14. Wielomian w daje przy dzieleniu przez wielomiany x + 1, x + oraz x + 3 reszty równe odpowiednio 1, oraz 3. Wyznaczyć resztę z dzielenia wielomianu w przez wielomian (x + 1)(x + )(x + 3). r(x) = x Zadanie.15. Wykazać, że nierówność x x + 4 6x 3 + 1x jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej. Zadanie.16. W zależności od wartości parametru m wyznaczyć liczbę pierwiastków wielomianu f określonego równością f(x) = x 3 mx + m 8. Zadanie.17. Rozwiązać równanie: (1) x 3 3x 3x + = 0, x { 1, 1, } () 7x 3 9x 3x + 1 = 0, x { 1 3, 1 3 } (3) 5x 3 19x 38x + 40 = 0, x {, 4 5, 5} (4) 3x 4 10x x 3 = 0, x { 1, 1 3, 1, 3} (5) 6x 4 + 7x 3 1x 3x + = 0, x {, 1, 1 3, 1} (6) x 4 3x 3 8x + 1x + 16 = 0, x {, 1,, 4} (7) x 5 x 4 13x 3 + 6x + 36x 7 = 0, x { 3,,, 3} (8) 1x 5 8x 4 45x x + 8x 1 = 0, x {, 1, 3, 1, } 3 (9) x 5 x 4 3x 3 + 5x x = 0, x {, 0, 1} (10) 3x 1x (x 4x) + 10 = 0, x { 1,, +, 5 } { (11) (x 3x + 4)(x 3 3x 1) = 6, x } 5, 1,, 3+ 5 (1) (3x + x ) = 30x + 10x 36, x {, 4 3, 1, 5 3 }

5 . ZADANIA DO SAMODZIELNEGO ROZWIĄZANIA 5 (13) x x 3 + x = 0. x { 3, 1, 1, 3} Zadanie.18. Rozwiązać nierówność: (1) x 3 5x + 10x 1 < 0, x (, 3) () ( 3x 13x + 4 )( 4x + 1x + 9 ) 0, x { } 3 1 3, 4 (3) (x 5) ( x 5 4x 3 + 8x 3 ) 0, x { }, 5 (4) (x 3) ( x + x + 1 )( x 9 ) (x + ) 3 x 0, x (, 3, 0 3, + ) (5) x 3 1 x + x + 1, x 0, (6) ( 4 x )( x 6x + 8 )( x 3 7 ) 0, x (, {} 3, 4 Zadanie.19. Dana jest funkcja f określona równością f(x) = x + x. Rozwiązać nierówność f(f(x)) < (f(x)). x (, 0)