w(x)= P(x) Q(x), (1) x 2 +7x 2 8 Pierwsze z tych wyrażeń jest funkcją wymierną niewłaściwą, a drugie wyrażenie jest funkcją wymierną właściwą.

Transkrypt

1 5 Funkcjewymierne. Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz postaci w(x)= P(x) Q(x), () gdzie P i Q są wielomianami, przy czym Q nie jest wielomianem zerowym. Jeżeli wielomiany te są rzeczywiste, to mówimy o funkcjach wymiernych rzeczywistych. Jeśli stp < stq(stopień wielomianu P jest mniejszy niż stopień wielomianu Q), to mówimy, że funkcja wymierna jest właściwa. W przeciwnym przypadku mówimy, że funkcja wymierna jest niewłaściwa. FunkcjawymiernawjestokreślonanazbiorzeD w = R\{x: Q(x)=0}. Funkcjami wymiernymi są na przykład wyrażenia x 2 +7x 2 8 x+,x3 x 7 + Pierwsze z tych wyrażeń jest funkcją wymierną niewłaściwą, a drugie wyrażenie jest funkcją wymierną właściwą. Twierdzenie 2. Każda funkcja wymierna niewłaściwa jest sumą niezerowego wielomianu i funkcji wymiernej właściwej. Dowód.Niechw(x)= P(x) gdziestp stq.niechsbędzieilorazem,aq resztązdzielenia Q(x) PprzezQ.ZTwierdzenia(odzieleniuzresztą)mamyrównośćP(x)=Q(x)S(x)+R(x),gdzie str<stq.ponieważstp stq,więcsniemożebyćwielomianemzerowym.wobectego możemy podzielić ostatnią równość stronami przez Q(x), otrzymując żądany rozkład wyjściowej funkcji na sumę wielomianu i funkcji wymiernej właściwej: P(x) Q(x) =Q(x)S(x)+R(x) Q(x). =S(x)+ R(x) Q(x). Funkcjawymierna R(x) Q(x) jestoczywiściewłaściwa,ponieważstr<stq. Z powyższego dowodu wynika, że podany w twierdzeniu rozkład można zawsze znaleźć, wykonując dzielenie licznika funkcji wymiernej przez jej mianownik(zwykłe dzielenie wielomianów z resztą). Czasami udaje się dokonać rozkładu przy użyciu elementarnych przekształceń, np.: x 2 +2x 2 x+ = x2 +x+x+ 3 x+ = x(x+)+(x+) 3 x+ =x+ 3 x+. 4

2 5. Funkcja homograficzna i jej własności Wśród funkcji wymiernych wyróżnia się funkcję postaci: gdziec 0orazad cb 0. D f = R\ { d c f(x)= ax+b cx+d, (2) }, f(x) R f = R\ { a c}. Funkcję f zdefiniowaną wzorem(2) nazywamy funkcją homograficzną. Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola. Y d c b a X y= a c x= d c Jeżelia 0,tomiejscemzerowymfunkcjihomograficznejjestx= b a. Jeżeliad bc>0,tofunkcjahomograficznapostaci(2)jestrosnącawswojejdziedzinie. Jeżeliad bc<0,tofunkcjahomograficznapostaci(2)jestmalejącawswojejdziedzinie. Jeżeli a 0, to funkcja homograficzna postaci(2) jest funkcją wymierną niewłaściwą, więc z Twierdzenia 2 mamy f(x)= ax+b cx+d =a c + bc ad c(cx+d). Wówczaswykresfunkcjif(x)= ax+b cx+d możnaotrzymaćprzezprzesunięciewykresufunkcji [ ] f(x)= A x,gdziea=bc ad c 2,owektor d c,a c. 5

3 5.2 Ułamkiproste Z Twierdzenia 2 wiemy, że każdą funkcję wymierną niewłaściwą można przedstawić w postaci sumy wielomianu i funkcji wymiernej właściwej. Okazuje się, że każdą funkcję wymierną właściwą można z kolei przedstawić w postaci sumy pewnych specjalnych funkcji wymiernych, zwanych ułamkami prostymi. Rzeczywiste ułamki proste dzielą się na ułamki proste pierwszego rodzaju oraz ułamki proste drugiego rodzaju. Definicja 3. Rzeczywistym ułamkiem prostym pierwszego rodzaju nazywamy funkcję wymierną postaci gdziea,a R,an N. A (x a) n, Definicja 4. Rzeczywistym ułamkiem prostym drugiego rodzaju nazywamy funkcję wymierną postaci Ax+B (x 2 +px+q) n, gdziea,b,p,q R,n Nip 2 4q<0(trójmiankwadratowywmianownikujestnierozkładalny). 5.3 Rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste. Twierdzenie5.Niechw(x)= P(x) Q(x) będzieniezerowąrzeczywistąfunkcjąwymiernąwłaściwą. Załóżmy, że mianownik Q ma następujący rozkład na rzeczywiste czynniki nierozkładalne: Q(x)=a n (x x ) k (x x r ) kr ( x 2 +p x+q ) l (x 2 +p s x+q s ) ls. Wówczasw(x)jestsumąn =k +k k r rzeczywistychułamkówprostychpierwszegorodzaju orazn 2 =l +l 2 + +l s rzeczywistychułamkówprostychdrugiegorodzaju.wrozkładzietym każdemu czynnikowi (x x i ) k i, i=,...,r odpowiadasumak i rzeczywistychułamkówprostychpostaci natomiast każdemu czynnikowi A i x x i + A ik 2 (x x i ) 2+ + A ik i (x x i ) k i, ( x 2 +p j x+q j ) lj, j=,...,s 6

4 odpowiadasumal j rzeczywistychułamkówprostychdrugiegorodzajupostaci tzn. w(x)= A x x + + B j x+c j x 2 +p j x+q j + B j2x+c j2 (x 2 +p j x+q j ) 2+ + B jl j x+c jl j (x 2 +p j x+q j ) l j. A k (x x ) k + + A r x x r + + A rkr (x x r ) kr+ + B x+c x 2 +p x+q + + B l x+c l (x 2 +p x+q ) l + B sx+c s x 2 +p s x+q s + + B sl s x+c sls (x 2 +p s x+q s ) ls. Powyższy rozkład jest jednoznaczny z dokładnością do kolejności składników. Zauważmy, że mianowniki funkcji wymiernej zostały podane w postaci iloczynu czynników nierozkładalnych. Jeśli mianownik funkcji wymiernej podamy w postaci rozwiniętej, np. x+4 x 3 x 2 2x, to musimy taki mianownik najpierw rozłożyć na czynniki: x+4 x(x+)(x 2), a dopiero potem zastosować twierdzenie o rozkładzie na ułamki proste. Przykład 6. Rozkład funkcji wymiernej postaci na ułamki proste jest następujący: (x 3) 3 (x+2) (x 3) 3 (x+2) = A x 3 + B C D (x 3) 2+ (x 3) 3+ x+2 Mianownik funkcji wymiernej jest iloczynem dwóch dwumianów, z których jeden występuje w trzeciej, a drugi w pierwszej potędze. Otrzymujemy trzy ułamki proste odpowiadające dwumianowix 3orazjedenułamekprostyodpowiadającydwumianowix+2. Przykład 7. Rozkład funkcji na ułamki proste jest następujący: x(x 2 +x+2) 2 x(x 2 +x+2) 2=A x + Bx+C x 2 +x+2 + Dx+E (x 2 +x+2) 2 Mianownik funkcji wymiernej jest iloczynem jednomianu stopnia pierwszego oraz drugiej potęgi trójmianu nierozkładalnego. Otrzymujemy jeden ułamek prosty odpowiadający jednomianowi x orazdwaułamkiprosteodpowiadającetrójmianowix 2 +x+2. 7

5 5.4 Równania i nierówności wymierne. Równaniem wymiernym nazywamy równanie postaci: w(x) = v(x) gdzie w i v są funkcjami wymiernymi. Dziedziną tego równania jest część wspólna dziedzin funkcji wymiernych w i v Sposoby rozwiązywania równań wymiernych. I sposób: (krótszy, ale ogólnie nie można stosować przy nierównościach) rozkładamy na czynniki wszystkie mianowniki obustronnie mnożymy równanie przez wspólny mianownik rozwiązujemy otrzymane równanie liniowe, kwadratowe lub wielomianowe. sprawdzamy, czy rozwiązanie należy do dziedziny. Przykład 8. Rozwiążemy równanie 2 x+ x+ x = x2 x 2. (3) Wtedy 2 x+ x+ x = x 2 (x )(x+), D=R\{,}, 2 x+ x+ x = x 2 (x )(x+) / (x )(x+) 2(x )+(x+) 2 =x 2 2x 2+x 2 +2x+=x 2 4x= x= 4 D. Stądx= 4 jestrozwiązaniemrównania(3). II sposób: rozkładamy na czynniki wszystkie mianowniki przenosimy wszystko na lewą stronę ustalamy wspólny mianownik rozszerzamy wszystko do wspólnego mianownika i zapisujemy na jednej kresce ułamkowej porównujemylicznikdozera(ułamek=0wtedy,gdylicznik=0)irozwiązujemyotrzymane równanie liniowe, kwadratowe lub wielomianowe sprawdzamy, czy rozwiązanie należy do dziedziny. 8

6 Przykład 9. Rozwiążemy równanie 2x 2 x +4 x =3. (4) WtedyD=R\{0,2}i 2x x+4 (2 x) 3x(2 x) = 0 x(2 x) 5x 2 0x+8 = 0 < 0 Stąd brak rozwiązań równania(4) w zbiorze liczb rzeczywistych. Uwaga 0. Jeżeli równanie ma postać proporcji( równość dwóch ułamków) To: iloczyn wyrazów skrajnych jest równy iloczynowi wyrazów środkowych porównujemy iloczyny wyrazów skrajnych i środkowych i rozwiązujemy otrzymane równanie sprawdzamy, czy rozwiązanie należy do dziedziny. Przykład. Rozwiążemy równanie x x+2 = 3x x 3. (5) Wtedy D= R\{ 2,3}, x(x 3)=3x(x+2); x 2 3x=3x 2 +6x; 2x 2 +9x=0; ( 2x x+ 9 ) =0; 2 x =0 D x 2 = 4,5 D. Zatem rozwiązaniem równania(5) są liczby 0 lub 4,5. 9

7 Nierównościąwymiernąnazywamykażdąnierównośćwpostaci: P(x) Q(x) >0,P(x) Q(x) 0,Q(x) Q(x) <0 oraz P(x) Q(x) 0,gdziePiQsąwielomianami Sposoby rozwiązywania nierówności wymiernych. Isposób: przenosimy wszystko na jedną stronę rozkładamy na czynniki wszystkie mianowniki ustalamy wspólny mianownik rozszerzamy wszystko do wspólnego mianownika i zapisujemy na jednej kresce ułamkowej porządkujemy licznik i rozkładamy go na czynniki iloraz(ułamek) zamieniamy na iloczyn(znak wyniku dla ilorazu i iloczynu podobnie ustalamy) rozwiązujemy otrzymaną nierówność wielomianową będącą już w postaci iloczynowej ustalamy część wspólną rozwiązania i dziedziny. Przykład 2. Rozwiążmy nierówność Wtedy 2x 5 6x+8) (x 2)(x 4) +(x2 (x 2)(x 4) 0i 2x 5. (6) x 2 6x+8 D=R\{2,4}, 2x 5+x 2 6x+8 (x 2)(x 4) 0; x 2 4x+3 (x 2)(x 4) 0; (x )(x 3) (x 2)(x 4) 0; (x )(x 3)(x 2)(x 4) 0 x {2,4}. x,2) 3,4). Zatem rozwiązaniem nierówności(6) jest zbiór, 2) 3, 4) X 20

8 II sposób: rozkładamy na czynniki wszystkie mianowniki mnożymy obustronnie nierówność przez kwadraty mianowników liniowych lub przez inne wyrażenia, których znak jest jednoznacznie określony rozwiązujemy otrzymaną nierówność wielomianową będącą już w postaci iloczynowej ustalamy część wspólną rozwiązania i dziedziny. Przykład 3. Rozwiążmy nierówność 4 x x 2 2 x. (7) Wtedy D= R\{0}, 4 x 2 0 x 2 / x2 x 4 x 2x x 2 0; x 2 3x+4 0; (x )(x+4) X x,4)\{0}. Zatem rozwiązaniem nierówności(7) jest zbiór, 4)\{0}. 2