Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą"

Transkrypt

1 Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to przez [r] oznaczamy największą liczbę całkowitą nie większą od r. Mówimy wtedy, że [r] jest częścią całkowitą liczby r. Przykłady: [5] = 5, [ ] [ ] [ ] 7 3 =, [ 5] = 5, 7 8 =, 35 =. W niniejszym artykule zajmujemy się dwoma równaniami, w których występuje część całkowita liczby rzeczywistej. Pierwsze z tych równań jest postaci ax +b[x]+c = 0, gdzie a, b, c są liczbami rzeczywistymi i przy tym a > 0 oraz b 0. Drugie równanie ma postać a[x] +bx+c = 0, gdzie a, b, c są liczbami rzeczywistymi i a > 0. Interesować nas będzie głównie liczba rozwiązań rzeczywistych tego typu równań. Zanotujmy najpierw kilka podstawowych faktów o części całkowitej, z których dalej będziemy korzystać. Dowody tych faktów są bardzo łatwe, zostawiamy je Czytelnikowi. Lemat 0.. Niech x będzie liczbą rzeczywistą. Wtedy: () [x] x < x + ; () [x + a] = [x] + a dla każdej liczby całkowitej a; (3) jeśli x jest liczbą całkowitą, to [ x] = x; (4) jeśli x nie jest liczbą całkowitą, to [ x] = [x]; (5) jeśli x < y, gdzie y jest liczbą rzeczywistą, to [x] [y]. Równanie ax + b[x] +c = 0 Ropoczynamy od następującego zadania, które w 999 roku było na Olimpiadzie Matematycznej w Kanadzie. Zadanie.. Znaleźć wszystkie liczby rzeczywiste x spełniające równość 4x 40[x] + 5 = 0.

2 Rozwiązanie. ([] strona 40). Załóżmy, że rzeczywista liczba x spełnia daną równość. Wtedy, korzystając z oczywistej nierówności 40x 40[x], otrzymujemy: (x 3)(x 7) = 4x 40x + 5 4x 40[x] + 5 = 0 [ ] [ ] i stąd wnioskujemy najpierw, że 3 x 7 i następnie, że 3 [x] 7, czyli [x] 8. Stąd w szczególności wynika, że x jest liczbą dodatnią równą 40[x] 5. Ponieważ 40[x] 5 > 0, więc przypadek [x] = nie jest możliwy. Wstawiając kolejno [x] =, 3, 4, 5,, 7 i 8, otrzymujemy siedem liczb rzeczywistych: 9, 9, 09, 49, 89, 9 i 9, których części całkowite są odpowiednio równe, 4, 5,,, 7 i 8. Sprawdzamy, które z tych liczb spełniają warunek [ ] [x] = 40[x] 5. 89, 9, 9. W ten sposób otrzymaliśmy wszyst- Liczbami takimi są tylko 9, kie rozwiązania badanego równania. Równanie 4x 40[x] + 5 = 0 ma więc 4 rozwiązania: 9, 89, 9, 9. Wykazaliśmy, że równanie 4x 40[x] + 5 = 0 ma dokładnie 4 rozwiązania. Tyleż samo rozwiązań ma na przykład równanie x 8[x]+7 = 0. W tym przypadku rozwiązaniami są liczby, 33, 4 i 7 (patrz [3]). Podobnego typu równania x 3[x] + 4 = 0 i 5x 5[x] + = 0 nie mają rzeczywistych rozwiązań. Równania x [x] = 0 i 9x + 4[x] + 3 = 0 posiadają tylko jedno rozwiązanie. Rozwiązaniami są tu odpowiednio liczby i. Równanie 3 x 7[x] + = 0 posiada dokładnie dwa rozwiązania: 33 i 0. Równanie x + [x] + = 0 również posiada dokładnie dwa rozwiązania: i. Równanie x [x] 7 = 0 ma dokładnie trzy rozwiązania:, 43, 7. Podobnie jest z równaniem x [x] + = 0, które ma dokładnie trzy rozwiązania:, 3, 3. Ile rozwiązań może posiadać równanie postaci ax + b[x] + c = 0, gdzie a, b, c są liczbami rzeczywistymi i przy tym a 0? Wiemy już, że liczba tych rozwiązań może być równa 0,,, 3 lub 4. Istnieją tego typu równania posiadające dokładnie 5 rozwiązań. Takim równaniem jest na przykład x 8[x] + 9 = 0. Każda z pięciu liczb 7, 5, 3, 3, 39 jest rozwiązaniem tego równania i innych rozwiązań nie ma. Dowód tego faktu jest taki sam jak poniższy dowod dla następującego przykładu z podobnym równaniem posiadającym rozwiązań. Przykład.. Równanie x 7[x] + = 0 posiada dokładnie rozwiązań:,, 5,, 9,. Dowód. Załóżmy, że liczba rzeczywista x spełnia równość x 7[x] + = 0. Wtedy, korzystając z nierówności 7x 7[x], otrzymujemy: (x )(x ) = x 7x + x 7[x] + = 0. Zatem x i to implikuje, że [x]. Stąd dalej wynika, że x jest liczbą dodatnią równą 7[x]. Wstawiając kolejno [x] =,, 3, 4, 5 i, otrzymujemy odpowiednio

3 liczby rzeczywiste,, 5,, 9 i. Z łatwością sprawdzamy, że wszystkie te liczby spełniają dane równanie. Mnożąc ewentualnie dane równanie ax + b[x] + c = 0 przez, możemy zawsze zakładać, że a > 0. W zadaniu. i przykładzie. rozpatrywane równania miały ujemny współczynnik b. Dzięki temu mogliśmy wykorzystać nierówność bx b[x]. Trochę inaczej postępujemy, gdy b > 0. W tym przypadku korzystamy z nierówności b(x ) < b[x]. Spójrzmy na następny przykład. Przykład.3. Równanie x + 0[x] + 5 = 0 posiada dokładnie 7 rozwiązań: 5, 55, 45, 35, 5, 5, 5. Dowód. Załóżmy, że liczba rzeczywista x spełnia równość x + 0[x] + 5 = 0. Wtedy, korzystając z nierówności 0(x ) < 0[x], otrzymujemy x + 0x + 5 = x + 0(x ) + 5 < x + 0[x] + 5 = 0. Stąd wynika, że x < x < x, gdzie x = 5 0, x = Ponieważ [x ] = 9 i [x ] =, więc 9 [x]. W szczególności x jest liczbą ujemną równą 0[x] 5. Ponieważ 0[x] 5 0, więc przypadek [x] = nie jest możliwy. Wstawiając kolejno [x] = 9, 8,..., 3, otrzymujemy siedem liczb rzeczywistych: 5, 55, 45, 35, 5, 5 oraz 5. Łatwo sprawdzić, że wszystkie te liczby spełniają dane równanie. Z powyższych przykładów wynika, że jeśli n jest nieujemną liczbą całkowitą mniejszą lub równą 7, to istnieje równanie postaci ax + b[x] + c = 0 posiadające dokładnie n rozwiązań. Wykażemy, że to jest prawdą dla dowolnej nieujemnej liczby całkowitej n. Twierdzenie.4. Niech n będzie liczbą całkowitą. Równanie posiada dokładnie n rozwiązań. x (n 3n + )[x] + n(n ) 3 = 0 Dowód. Oznaczmy b = (n 3n + ), c = n(n ) 3, s = n, p = s, q = s + s. Wtedy 0 p q, b = (p + q), c = pq i dane równanie ma postać x (p + q)[x] + pq = 0. Należy wykazać, że to równanie ma dokładnie s + rozwiązań. Przypadek s = 0 (czyli n = ) jest oczywisty. Załóżmy dalej, że s i załóżmy, że liczba rzeczywista x jest rozwiązaniem tego równania. Wtedy (x p)(x q) = x (p + q)x + pq x (p + q)[x] + pq = 0, więc p x q i stąd s = p [x] q = s + s. Stąd w szczególności wynika, że x jest liczbą dodatnią równą (p + q)[x] pq. Wstawiając do (p + q)[x] pq kolejno [x] = 3

4 s, s +, s +,..., s + s, otrzymujemy s + parami różnych liczb rzeczywistych, z których każda jest postaci (s + s)(s + j) s (s + s) = s 4 + s j + sj, gdzie j {0,,,..., s}. Wystarczy teraz udowodnić, że dla każdego j należącego do zbioru {0,,,..., s} zachodzi równość ( ) s + j = [ s 4 + s j + sj]. W tym celu należy udowodnić, że dla j {0,,,..., s} zachodzą nierówności s + j s 4 + s j + sj < s + j +. To z kolei, po podniesieniu stron do kwadratu, sprowadza się do wykazania, że s 4 + s j + j s 4 + s j + sj < s 4 + (j + ) + s j + s dla j = 0,,..., s. Lewa nierówność jest oczywista. Prawa nierówność sprowadza się do nierówności (j + ) + s sj > 0. Sprawdzamy: (j + ) + s sj (j + ) + s s = (j + ) + s > 0. Zatem istotnie, dla każdego j {0,,,..., s}, zachodzi równość ( ) i to implikuje, że dane równanie ma dokładnie s + = n rozwiązań. Widzimy więc, że równanie postaci ax + b[x] + c = 0 może mieć dowolnie wiele rozwiązań. Czy może się tak zdarzyć, że rozwiązań jest nieskończenie wiele? Na pytanie to odpowiada następujące twierdzenie. Twierdzenie.5. Każde równanie postaci ax + b[x] + c = 0, gdzie a 0, b, c są liczbami rzeczywistymi, ma skończenie wiele rozwiązań, przy czym może tych rozwiązań w ogóle nie być. Dowód. Rozpatrzmy równanie ax + b[x] + c = 0, gdzie a > 0, b, c są danymi liczbami rzeczywistymi. Załóżmy, że liczba rzeczywista x spełnia to równanie. Przypadek. Niech b 0. Wtedy bx b[x] i mamy: ax + bx + c ax + b[x] + c = 0. Niech = b 4ac. Jeśli < 0, to nierówność ax + bx + c 0 nie może zachodzić. W tym przypadku rozpatrywane równanie nie ma w ogóle rozwiązań. Niech więc 0. Wtedy x x x, gdzie x i x są pierwiastkami równania ax + bx + c = 0. Wtedy [x ] [x] [x ]. Oznacza to, że [x] może przyjmować tylko skończenie wiele wartości (całkowitych). Mamy ponadto, x = ± może być tylko skończenie wiele. b[x] c a. Stąd wynika, że takich liczb x Przypadek. Niech b > 0. Wtedy b(x ) < b[x] i mamy: ax + bx + c b = ax + b(x ) + c ax + b[x] + c = 0. Niech = b 4a(c b). Jeśli < 0, to nierówność ax + bx + c b < 0 nie może zachodzić. W tym przypadku rozpatrywane równanie nie ma w ogóle rozwiązań. Jeśli 0, to powtarzamy argument z przypadku. W każdym więc przypadku rozwiązań rozpatrywanego równania jest tylko skończenie wiele. 4

5 Niech γ(u, v) oznacza liczbę rozwiązań równania x u[x] + v = 0. Zanotujmy kilka przykładów liczb postaci γ(u, v), otrzymanych przy pomocy przedstawionych metod i komputera. 7 = γ(0, ) = γ(, 5) = γ(, ) 8 = γ(3, 30) = γ(5, 4) = γ(5, 43) 9 = γ(8, 4) = γ(8, 5) = γ(0, 8) 0 = γ(, 90) = γ(3, 0) = γ(3, ) = γ(, 44) = γ(8, 9) = γ(8, 70) = γ(3, 0) = γ(33, 40) = γ(33, 4) 3 = γ(38, 34) = γ(38, 35) = γ(40, 3) 4 = γ(43, 40) = γ(45, 4) = γ(45, 43) 5 = γ(50, 57) = γ(5, 5) = γ(5, ) = γ(57, 75) = γ(59, 8) = γ(59, 83). Na zakończenie tego rozdziału proponujemy Czytelnikowi następujące zadania. Zadanie.. Wykazać, że: () równanie x = [x] ma dokładnie dwa rozwiązania: 0 i ; () równanie x = [x] ma dokładnie 3 rozwiązania: 0, i ; (3) jeśli n jest liczbą całkowitą większą od, to równanie x = n[x] ma dokładnie 4 rozwiązania: 0, n oraz n(n ) i n(n ). Zadanie.7. Wykazać, że: () równanie x = [x] ma dokładnie dwa rozwiązania: 0 i ; () jeśli n jest liczbą całkowitą większą od, to równanie x = n[x] ma dokładnie 3 rozwiązania: 0, n oraz n(n + ). Zadanie.8. Niech λ będzie dodatnią liczbą rzeczywistą. Wykazać, że: () równanie x = λ[x] posiada co najwyżej 4 rozwiązania; () równanie x = λ[x] posiada co najwyżej 3 rozwiązania. Zadanie.9. Rozpatrzmy równanie x (n + )[x] + n = 0, gdzie n jest liczbą całkowitą. Wykazać, że: () jeśli n, to równanie to posiada dokładnie n rozwiązań; () jeśli n 7, to równanie to posiada dokładnie 4 rozwiązania:, n n, n n i n. Równanie [x] + bx + c = 0 W tym rozdziale zajmujemy się liczbą rozwiązań równania postaci a[x] +bx+c = 0, gdzie a, b, c są liczbami rzeczywistymi i a 0. W przypadku gdy b = 0, równanie takie ma postać a[x] + c = 0, gdzie a 0. Wówczas rozwiązań może nie być wcale albo może ich być nieskończenie wiele. Dla 5

6 przykładu równanie [x] + = 0 nie ma rozwiązań. Natomiast równanie [x] = 0 ma nieskończenie wiele rozwiązań; każda liczba x taka, że x <, spełnia to równanie. W dalszym ciągu zakładać będziemy, że współczynnik b jest również różny od zera. W latach 974/975 na Olimpiadzie Matematycznej w Czechosłowacji (patrz [] zadanie 473) było następujące zadanie. Zadanie.. Znaleźć wszystkie liczby rzeczywiste x spełniające równość 3[x] + x 4 = 0. Rozwiązanie. Załóżmy, że liczba rzeczywista x spełnia równość 3[x] + x 4 = 0. Rozpatrzmy cztery przypadki. [ ] Przypadek. Niech [x] = 0. Wtedy x 4 = 0, więc x = 4 = 3. Ponieważ 3 = 0, więc mamy pierwsze rozwiązanie: x = 3. Przypadek. Niech [x]. W tym przypadku 0 x < [x] i stąd mamy nierówność (x ) < [x]. Następnie otrzymujemy: 3x = 3(x ) + x 4 < 3[x] + x 4 = 0, czyli x < 3 i mamy sprzeczność: x < 3. Ten przypadek nie jest zatem możliwy. Przypadek 3. Załóżmy, że x jest liczbą całkowitą. Wtedy [x] = x oraz x + x 4 = 0. Bez trudu stwierdzamy, że równanie x + 5x 4 = 0 nie ma pierwiastków całkowitych. Ten przypadek zatem też nie jest możliwy. Przypadek 4. Załóżmy, że liczba x nie jest całkowita i [x] < 0. Niech x = y. Wtedy y jest większe od zera i nie jest liczbą całkowitą. Zatem (patrz Lemat 0.) [x] = [ y] = [y] i stąd 3( [y]) + ( y) 4 = 0, czyli ( ) 3[y] + [y] y = 0. Jeśli [y] = 0, to mamy sprzeczność: 0 < y =. Zatem [y] i stąd kolejno mamy: y, 0 < y < [y], (y ) < [y] oraz 3y y 4 = 3(y ) + (y ) y < 3[y] + [y] y = 0, to znaczy, 3y y 4 < 0. Ostatnia nierówność implikuje, że y < y < y, gdzie y = 84, y = Stąd dalej mamy [y ] [y] [y ]. Ale y < 0, [y ] = i [y], więc [y]. [ ] Niech [y] =. Wtedy z równości ( ) otrzymujemy, że y = 4 3. Ponieważ 4 3 =, więc mamy następne rozwiązanie: x = [ ] 4 3. Jeśli [y] =, to z równości ( ) wynika, że y = 3 i mamy sprzeczność: = 3 = 3. Wynika stąd, że równanie 3[x] + x 4 = 0 ma dokładnie rozwiązania: 3 i 4 3. Wykazaliśmy, że równanie 3[x] +x 4 = 0 ma dokładnie rozwiązania. Podobnego typu równanie [x] +x = 0 nie ma rzeczywistych rozwiązań. Równanie [x] +x 3 = 0 ma tylko jedno rozwiązanie x =. Natomiast równanie [x] 4x+4 = 0 ma dokładnie trzy rozwiązania: 5 4, i 3 4. Dokładnie trzy rozwiązania mają również równania [x] 4x + 3 = 0 i [x] + 4x = 0. Rozwiązaniami tych równań są odpowiednio zbiory

7 { 3, 5, dokładnie cztery rozwiązania, odpowiednio { 7,, 3, 5 5 } { i 7,, } Równania [x] 5x + = 0 i [x] + 5x + = 0 posiadają } { i 8,,, } Ile rozwiązań może posiadać równanie postaci a[x] + bx + c = 0, gdzie a, b, c są liczbami rzeczywistymi i przy tym a 0 oraz b 0? Wiemy już, że liczba tych rozwiązań może być równa 0,,, 3 lub 4. Istnieją tego typu równania posiadające 5 rozwiązań. Przykład.. Równanie [x] x + 9 = 0 posiada dokładnie 5 rozwiązań: 5, 3, 3, 5, Dowód. Załóżmy, że liczba rzeczywista x spełnia równość [x] x + 9 = 0. Wtedy x = [x] +9 9 >, czyli x >. Zatem 0 < x < [x], więc (x ) < [x] i stąd x 8x + 0 = (x ) x + 9 < [x] x + 9 = 0. Z nierówności x 8x + 0 < 0 wynika, że x < x < x, gdzie x = 8 4 = 4 oraz x = 8+ 4 = 4 +. Ale [x ] = i [x ] =, więc [x]. Jeśli [x] =, to x = [x] +9 = 45 i wtedy mamy sprzeczność: = [x] = [45/] = 7. Zatem [x] 5. Wstawiając do [x] +9 kolejno [x] =,, 3, 4, 5, otrzymujemy odpowiednio liczby rzeczywiste 5 3, 3, 3, 5, 7 3. Łatwo sprawdzić, że wszystkie te liczby spełniają dane równanie. Spójrzmy na następne przykłady. Przykład.3. Równanie [x] + 9x + = 0 posiada dokładnie rozwiązań: 9, 3, 37 9, 8 9, 7 3, 9. Dowód. Załóżmy, że liczba rzeczywista x spełnia równość [x] + 9x + = 0. Wtedy x = [x] <, więc x jest liczbą ujemną mniejszą od. Zauważmy, że x nie może być liczbą całkowitą. Istotnie, przypuśćmy, że liczba x jest całkowita. Wtedy [x] = x, więc x jest całkowitym pierwiastkiem równania x + 9x + = 0. Obliczając pierwiastki stwierdzamy szybko, że równanie to nie ma całkowitych pierwiastków. Niech y = x. Wtedy liczba y nie jest całkowita, jest większa od oraz [ y] + 9( y) + = 0. Ale [ y] = [y] (patrz Lemat 0.), więc 0 = ( [y]) 9y+ = [y] +[y] 9y+ 3. Należy zatem znaleźć wszystkie niecałkowite liczby y, większe od, spełniające równość [y] + [y] 9y + 3 = 0. Korzystając z nierówności 0 < y < [y] i (y ) < [y], otrzymujemy: y 9y + = (y ) + (y ) 9y + 3 < [y] + [y] 9y + 3 = 0. Z nierówności y 9y + < 0 wynika, że y < y < y, gdzie y = 9 33 oraz y = Ale [y ] = i [y ] = 7, więc [y] 7. Ponadto, y = [y] +[y]+3 9. Wstawiając kolejno [y] =,, 3, 4, 5, otrzymujemy odpowiednio liczby rzeczywiste 9, 7 3, 8 9, 37 9, 3, 9. Z łatwością sprawdzamy, że wszystkie te liczby spełniają równość [y] +[y] 9y+3 = 0. Zatem liczby przeciwne do nich, czyli liczby 9, 3, 37 9, 8 9, 7 3, 9, spełniają daną równość [x] + 9x + = 0 i innych takich liczb nie ma. Podobnie dowodzimy, że istnieją przykłady z siedmioma i ośmioma rozwiązaniami. 7

8 Przykład.4. Równanie [x] 0x + 5 = 0 posiada dokładnie 7 rozwiązań: 9, 7, 4, 5,, 37, i Przykład.5. Równanie [x] 9x + 88 = 0 posiada dokładnie 8 rozwiązań: 3 9, 4 9, 37 9, 8,, 3 9, 57 9, Stosując powyższe metody i korzystając z komputera, można szybko obliczyć liczbę rozwiązań równań postaci a[x] + bx + c = 0, gdzie a > 0 i b 0. Zanotujmy kilka takich równań wraz z ich liczbami rozwiązań. Przykład.. Pewne równania postaci [x] ux + v = 0 i ich liczba rozwiązań. () [x] 8x + 8 = 0, 9 rozwiązań. () [x] 30x + 4 = 0, 0 rozwiązań. (3) [x] 30x + 5 = 0, rozwiązań. (4) [x] 40x = 0, rozwiązań. (5) [x] 40x = 0, 3 rozwiązań. () [x] 50x + 4 = 0, 4 rozwiązań. (7) [x] 0x = 0, 5 rozwiązań. (8) [x] 59x = 0, rozwiązań. (9) [x] 70x + 5 = 0, 7 rozwiązań. Z powyższych przykładów wynika, że jeśli n jest nieujemną liczbą całkowitą mniejszą lub równą 7, to istnieje równanie postaci a[x] + bx + c = 0 posiadające dokładnie n rozwiązań. Wykażemy, że to jest prawdą dla dowolnej nieujemnej liczby całkowitej n. W dowdzie tego faktu wykorzystamy następujący lemat. Jego dowód, który nie jest skomplikowany, pozostawiamy Czytelnikowi. Lemat.7. Niech p będzie liczbą całkowitą. Wtedy: () [ 4p + ] = [ 4p + ] = p; () [ 4p 4p ] = p ; (3) liczby 4p + i p + nie są całkowite; (4) liczba 4p 4p, gdzie p, nie jest całkowita; Stwierdzenie.8. Niech p będzie liczbą całkowitą. () Równanie [x] 4p x + 4p 4 = 0 posiada dokładnie 4p rozwiązań. () Równanie [x] 4p x + 4p 4 = 0 posiada dokładnie 4p rozwiązań. (3) Równanie [x] 4p x + 4p 4 = 0 posiada dokładnie 4p rozwiązań. (4) Równanie [x] 4p x + 4p 4 + 4p = 0 posiada dokładnie 4p 3 rozwiązań. 8

9 Dowód. W każdym przypadku mamy równanie postaci [x] ux+v = 0, gdzie u = 4p i v jest liczbą całkowitą większą od u. Załóżmy, że liczba rzeczywista x spełnia takie równanie. Wtedy x = [x] +v u v u >, więc 0 < x < [x] i stąd 0 < (x ) < [x]. Mamy zatem (x ) ux + v < [x] ux + v = 0, czyli x (u + )x + (v + ) < 0. To implikuje, że x < x < x, gdzie x = ( u + ) (, x = u + + ), przy czym = (u + ) 4(v + ) = u + 4u 4v. Stąd wynika, że [x ] [x] [x ]. Przejdźmy teraz do danych równań. () Równanie [x] 4p x + 4p 4 = 0. W tym przypadku u = 4p, v = 4p 4, = p, x = p p + = [x ], x = p + p + = [x ], więc p p + [x] p + p +. Niech [x] = p p + i, gdzie i jest liczbą całkowitą taką, że i 4p +. Wtedy x = [x] +4p 4 4p = p p + i + (p i) 4p = [x] + (i p) 4p. Jeśli i = 4p lub i = 4p +, to (i p) 4p i wtedy mamy sprzeczność: [x] [x] +. Natomiast, gdy i 4p, to 0 (i p) 4p < i wtedy powyższe x jest rozwiązaniem rozpatrywanego równania. Mamy więc w tym przypadku dokładnie 4p rozwiązań. () Równanie [x] 4p x + 4p 4 = 0. W tym przypadku u = 4p, v = 4p 4, = p +4, x = p + 4p +, x = p ++ 4p + i z lematów 0. i.7 wynika, że [x ] = p p, [x ] = p + p +. Zatem p p [x] p + p +. Niech [x] = p p + i, gdzie i jest liczbą całkowitą taką, że 0 i 4p +. Wtedy x = [x] +4p 4 4p = p p + i + (p i) 4p = [x] + (i p) 4p. Oznaczmy r = (i p) 4p. Mamy więc x = [x] + r. Jeśli i = 4p +, to r > i otrzymujemy sprzeczność. Zatem i 4p +. Podobnie jest, gdy i = p. W tym przypadku r < 0 i znowu mamy sprzeczność. Zatem i p. Jest oczywiste, że dla pozostałych i mamy zawsze nierówność 0 r <. Tych pozostałych i jest dokładnie 4p. Mamy więc w tym przypadku dokładnie 4p rozwiązań. (3) Równanie [x] 4p x + 4p 4 = 0. W tym przypadku u = 4p, v = 4p 4, = p + 8, x = p + 4p +, x = p + + 4p + i z powyższych lematów wynika, że [x ] = p p, [x ] = p + p +. Zatem p p [x] p + p +. Niech [x] = p p + i, gdzie i jest liczbą całkowitą taką, że 0 i 4p +. Powtarzając obliczenia z przypadku równania () otrzymujemy, że x = [x] + r, gdzie r = (i p) 4p. Jeśli i jest jedną z czterech liczb p, p, p + lub 4p +, to otrzymujemy oczywistą sprzeczność. Dla pozostałych i, których jest dokładnie 4p, mamy zawsze nierówność 0 r <. W tym przypadku jest więc dokładnie 4p rozwiązań. (4) Równanie [x] 4p x + 4p 4 + 4p = 0. W tym przypadku u = 4p, v = 4p 4 + 4p, = p p, x = p + 4p 4p, x = p + + 4p 4p i z powyższych lematów wynika, że [x ] = p p +, [x ] = p + p. Zatem p p + [x] p + p. Niech [x] = p p + i, gdzie i jest liczbą całkowitą taką, że i 4p. Powtarzając obliczenia z przypadku równania () otrzymujemy, że x = [x] + r, gdzie r = (i p) +4p 4p. Jeśli i = 4p, to otrzymujemy oczywistą sprzeczność. Dla pozostałych i, których jest dokładnie 9

10 4p 3, mamy zawsze nierówność 0 r <. W tym przypadku jest więc dokładnie 4p 3 rozwiązań. Z powyższego stwierdzenia wynika natychmiast: Twierdzenie.9. Dla każdej nieujemnej liczby całkowitej n istnieje równanie postaci posiadające dokładnie n rozwiązań. a[x] + bx + c = 0, gdzie a > 0 i b 0, Dowód. Dla n < 5 przykłady takich równań podaliśmy na początku tego rozdziału. Jeśli n 5, to n jest jedną z liczb postaci 4p, 4p, 4p lub 4p 3, gdzie p jest liczbą całkowitą. W tym przypadku teza wynika ze stwierdzenia.8. Przykład.0. Ze stwierdzenia.8 wynika, że równania [x] 4(50) x + 4(50) 4 = 0, [x] 4(50) x + 4(50) 4 = 0, [x] 4(50) x + 4(50) 4 = 0, [x] 4(503) x + 4(503) + 0 = 0 mają odpowiednio 00, 007, 008 i 009 rozwiązań. Widzimy więc, że równanie postaci a[x] + bx + c = 0, gdzie a 0 i b 0 może mieć dowolnie wiele rozwiązań. Czy może się tak zdarzyć, że rozwiązań jest nieskończenie wiele? Wspominaliśmy już, że jeśli b = 0, to może być nieskończenie rozwiązań. Mamy jednak dodatkowe założenie, że b 0. Stosując metodę podobną do tej, którą zastosowaliśmy w dowodzie twierdzenia.5, można udowodnić następujące twierdzenie. Twierdzenie.. Każde równanie postaci a[x] + bx + c = 0, gdzie a 0, b 0, c są liczbami rzeczywistymi, ma skończenie wiele rozwiązań, przy czym może tych rozwiązań w ogóle nie być. Kończymy ten artykuł następującymi zadaniami. Zadanie.. Udowodnić, że: () równanie [x] = x posiada dokładnie dwa rozwiązania: 0 i ; () równanie [x] = x posiada dokładnie trzy rozwiązania: 0, i ; (3) jeśli n 3 jest liczbą całkowitą, to równanie [x] = nx posiada dokładnie cztery rozwiązania: 0, n, (n ) oraz ; n n (4) jeśli u jest dowolną liczbą dodatnią, to równanie [x] = ux posiada co najwyżej 4 rozwiązania. Zadanie.3. Wykazać, że równanie [x] = ux, gdzie u > 0, posiada co najwyżej dwa rozwiązania. Zadanie.4. Wykazać, że jeśli n 3 jest liczbą całkowitą, to równanie [x] = n+x n ma tylko zerowe rozwiązanie. 0

11 Literatura [] T. Andrescu, Z. Feng, Mathematical Olympiads Problems and Solutions From Around the World, The Mathematical Association of America, 00. [] J. Kalinowski, Zbiór Zadań z Czeskich i Słowackich Olimpiad Matematycznych, 95-00, Oficyna Wydawniczo-Poligraficzna Adam, Warszawa 00. [3] H. Pawłowski, Kółko Matematyczne dla Olimpijczyków, Turpress, Toruń, 994.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz

Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współcz Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów o stałych współczynnikach Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 12 maja 2016 Równanie liniowe n-tego rzędu Definicja Równaniem różniczkowym liniowym

Bardziej szczegółowo

6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.).

6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 0 grudnia 008 r. 88. Obliczyć podając wynik w postaci ułamka zwykłego a) 0,(4)+ 3 3,374(9) b) (0,(9)+1,(09)) 1,() c) (0,(037))

Bardziej szczegółowo

Podróże po Imperium Liczb

Podróże po Imperium Liczb Podróże po Imperium Liczb Część 07 Ciągi rekurencyjne Rozdział 12 12 Całkowitość wyrazów pewnych ciągów rekurencyjnych Andrzej Nowicki 17 maja 2012, http://wwwmatunitorunpl/~anow Spis treści 12 Całkowitość

Bardziej szczegółowo

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1 Zadanie IV. Dany jest prostokątny arkusz kartony o długości 80 cm i szerokości 50 cm. W czterech rogach tego arkusza wycięto kwadratowe

Bardziej szczegółowo

Układy równań i nierówności liniowych

Układy równań i nierówności liniowych Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

Układy równań i równania wyższych rzędów

Układy równań i równania wyższych rzędów Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem

Bardziej szczegółowo

1) 2) 3) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25)

1) 2) 3)  5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 1) Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku w początku układu współrzędnych i przechodząca przez punkt. Wobec tego funkcja f określona wzorem 2) Punkt należy do paraboli o równaniu. Wobec

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.

Funkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k. Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy

Bardziej szczegółowo

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia

1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia 1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n

Bardziej szczegółowo

LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów)

LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dana jest liczba całkowita n 2. Wyznaczyć liczbę rozwiązań (x 1,x

Bardziej szczegółowo

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c, Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \

Bardziej szczegółowo

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X

Bardziej szczegółowo

Nierówności symetryczne

Nierówności symetryczne Nierówności symetryczne Andrzej Nowicki Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i Informatyki, ul Chopina 1 18, 87 100 Toruń (e-mail: anow@matunitorunpl) Sierpień 1995 Wstęp Jeśli x, y, z, t

Bardziej szczegółowo

Wykład z równań różnicowych

Wykład z równań różnicowych Wykład z równań różnicowych 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp. Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp.

Bardziej szczegółowo

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria

Wielomiany. dr Tadeusz Werbiński. Teoria Wielomiany dr Tadeusz Werbiński Teoria Na początku przypomnimy kilka szkolnych definicji i twierdzeń dotyczących wielomianów. Autorzy podręczników szkolnych podają różne definicje wielomianu - dla jednych

Bardziej szczegółowo

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych

Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych V Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych Opracowanie Monika Fabijańczyk ROZDZIAŁ 1 Cechy podzielności Poniższe zadania zostały wybrane z różnych zbiorów zadań, opracowań, konkursów matematycznych.

Bardziej szczegółowo

Matematyka Dyskretna Zestaw 2

Matematyka Dyskretna Zestaw 2 Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje

Bardziej szczegółowo

1 Całki funkcji wymiernych

1 Całki funkcji wymiernych Całki funkcji wymiernych Definicja. Funkcją wymierną nazywamy iloraz dwóch wielomianów. Całka funkcji wymiernej jest więc postaci: W (x) W (x) = an x n + a n x n +... + a x + a 0 b m x m + b m x m +...

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest

Bardziej szczegółowo

LXI Olimpiada Matematyczna

LXI Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 21 kwietnia 2010 r. (pierwszy dzień zawodów) Dana jest liczba całkowita n > 1 i zbiór S {0,1,2,...,n 1}

Bardziej szczegółowo

Teoria. a, jeśli a < 0.

Teoria. a, jeśli a < 0. Teoria Definicja 1 Wartością bezwzględną liczby a R nazywamy liczbę a określoną wzorem a, jeśli a 0, a = a, jeśli a < 0 Zgodnie z powyższym określeniem liczba a jest równa odległości liczby a od liczby

Bardziej szczegółowo

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0

Równania różnicowe. Dodatkowo umawiamy się, że powyższy iloczyn po pustym zbiorze indeksów, czyli na przykład 0 Równania różnicowe 1 Wiadomości wstępne Umówmy się, że na czas tego wykładu zrezygnujemy z oznaczania n-tego wyrazu ciągu symbolem typu x n, y n itp Zamiast tego pisać będziemy x (n), y (n) itp Ponadto

Bardziej szczegółowo

1 Nierówność Minkowskiego i Hoeldera

1 Nierówność Minkowskiego i Hoeldera 1 Nierówność Minkowskiego i Hoeldera Na państwa użytek załączam precyzyjne sformułowania i dowody nierówności Hoeldera i Minkowskiego: Twierdzenie 1.1 Nierówność Hoeldera). Niech p, q będą takimi liczbami

Bardziej szczegółowo

Nierówności. dla początkujących olimpijczyków. Aleksander Kubica Tomasz Szymczyk

Nierówności. dla początkujących olimpijczyków. Aleksander Kubica Tomasz Szymczyk STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Nierówności dla początkujących olimpijczyków Aleksander Kubica Tomasz Szymczyk wwwomgedupl Warszawa

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c

FUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

Równania różniczkowe. Notatki z wykładu.

Równania różniczkowe. Notatki z wykładu. Równania różniczkowe Notatki z wykładu http://robert.brainusers.net 17.06.2009 Notatki własne z wykładu. Są niekompletne, bez bibliografii oraz mogą zawierać błędy i usterki. Z tego powodu niniejszy dokument

Bardziej szczegółowo

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:

Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13 35. O zdaniu 1 T (n) udowodniono, że prawdziwe jest T (1), oraz że dla dowolnego n 6 zachodzi implikacja T (n) T (n+2). Czy można stąd wnioskować, że a) prawdziwe jest T (10), b) prawdziwe jest T (11),

Bardziej szczegółowo

f (x)=mx 2 +(2m 2)x+m+1 ma co najmniej jedno

f (x)=mx 2 +(2m 2)x+m+1 ma co najmniej jedno Zadanie 1 x 2 2mx+4m 3=0 ma dwa różne pierwiastki? Odp: m ( ; 1) (3 ; ) Zadanie 2 mx 2 +(2m 2) x+m+1=0 ma dwa różne pierwiastki? Odp: m ( ;0) (0; 1 3 ) Zadanie 3 ma jeden pierwiastek? Odp: m = -2, m =

Bardziej szczegółowo

System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10

System BCD z κ. Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna. Semestr letni 2009/10 System BCD z κ Adam Slaski na podstawie wykładów, notatek i uwag Pawła Urzyczyna Semestr letni 2009/10 Rozważamy system BCD ze stałą typową κ i aksjomatami ω κ κ i κ ω κ. W pierwszej części tej notatki

Bardziej szczegółowo

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski

Bardziej szczegółowo

NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI FUNKCJE KWADRATOWE PARAMETRY

NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI FUNKCJE KWADRATOWE PARAMETRY www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI FUNKCJE KWADRATOWE PARAMETRY 1 www.zadania.info NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI ZADANIE 1 Wyznacz wzór funkcji f (x) = 2x

Bardziej szczegółowo

XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2016 r. 17 października 2016 r.)

XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2016 r. 17 października 2016 r.) XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna ( września 06 r. 7 października 06 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych. Liczby wymierne a, b, c spełniają równanie

Bardziej szczegółowo

Pendolinem z równaniami, nierównościami i układami

Pendolinem z równaniami, nierównościami i układami Pendolinem z równaniami, nierównościami i układami 1. Równaniem nazywamy równość dwóch wyrażeń algebraicznych. Równaniami z jedną niewiadomą są, np. równania: 2 x+3=5 x 2 =4 2x=4 9=17 x 3 2t +3=5t 7 Równaniami

Bardziej szczegółowo

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) 1. Liczby wymierne. - wartość bezwzględna liczby. dla 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba) - dla < 0 ( wartością bezwzględną liczby ujemnej jest liczba do niej przeciwna) W interpretacji

Bardziej szczegółowo

Podróże po Imperium Liczb

Podróże po Imperium Liczb Podróże po Imperium Liczb Część 14. Równanie Pella Rozdział 9 9. Zastosowania równania Pella Andrzej Nowicki 10 kwietnia 013, Spis treści http://www.mat.uni.torun.pl/~anow 9 Zastosowania równania Pella

Bardziej szczegółowo

I Liceum Ogólnokształcące im. Cypriana Kamila Norwida w Bydgoszczy. Wojciech Kretowicz PODZIELNOŚĆ SILNI A SUMA CYFR

I Liceum Ogólnokształcące im. Cypriana Kamila Norwida w Bydgoszczy. Wojciech Kretowicz PODZIELNOŚĆ SILNI A SUMA CYFR I Liceum Ogólnokształcące im. Cypriana Kamila Norwida w Bydgoszczy Wojciech Kretowicz PODZIELNOŚĆ SILNI A SUMA CYFR Opiekun Mariusz Adamczak wojtekkretowicz@gmail.com Bydgoszcz 2017 Spis treści Wstęp...

Bardziej szczegółowo

LXIII Olimpiada Matematyczna

LXIII Olimpiada Matematyczna 1 Zadanie 1. LXIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 17 lutego 2012 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych a, b, c, d układ równań a

Bardziej szczegółowo

F t+ := s>t. F s = F t.

F t+ := s>t. F s = F t. M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną

Bardziej szczegółowo

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018.

Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 2017/2018. Zadania przygotowawcze do konkursu o tytuł NAJLEPSZEGO MATEMATYKA KLAS PIERWSZYCH I DRUGICH POWIATU BOCHEŃSKIEGO rok szk. 017/018 19 grudnia 017 1 1 Klasy pierwsze - poziom podstawowy 1. Dane są zbiory

Bardziej szczegółowo

Regionalne Koło Matematyczne

Regionalne Koło Matematyczne Regionalne Koło Matematyczne Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki http://www.mat.umk.pl/rkm/ Lista rozwiązań zadań nr 16 (27.02.2010) Twierdzenia evy i Menelaosa 1.

Bardziej szczegółowo

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A

Bardziej szczegółowo

Wielomiany podstawowe wiadomości

Wielomiany podstawowe wiadomości Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s = a n s n + a n s n + + a s + a 0, gdzie n N, a i R i = 0,, n, a n 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i

Bardziej szczegółowo

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów VII Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część testowa, test próbny www.omg.edu.pl (wrzesień 2011 r.) Rozwiązania zadań testowych 1. Liczba krawędzi pewnego ostrosłupa jest o

Bardziej szczegółowo

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a); Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy

Bardziej szczegółowo

Wektory i wartości własne

Wektory i wartości własne Treść wykładu Podprzestrzenie niezmiennicze Podprzestrzenie niezmiennicze... Twierdzenie Cayley Hamiltona Podprzestrzenie niezmiennicze Definicja Niech f : V V będzie przekształceniem liniowym. Podprzestrzeń

Bardziej szczegółowo

5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne.

5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne. 5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne. 78. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 a) 4 2+log 27 = (2 2 ) log 27 4 = 28 2 = 784 29 listopada 2008

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna dla informatyków

Matematyka dyskretna dla informatyków Matematyka dyskretna dla informatyków Część I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szymański Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Poznań 2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zależności

Bardziej szczegółowo

Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych

Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych Zajęcia nr. 6: Równania i układy równań liniowych 13 maja 2005 1 Podstawowe pojęcia. Definicja 1.1 (równanie liniowe). Równaniem liniowym będziemy nazwyać równanie postaci: ax = b, gdzie x oznacza niewiadomą,

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH ALGEBRA Z GEOMETRIĄ 1/10 BAZY PRZESTRZENI WEKTOROWYCH Piotr M. Hajac Uniwersytet Warszawski Wykład 11, 18.12.2013 Typeset by Jakub Szczepanik. Istnienie bazy Tak jak wśród wszystkich pierścieni wyróżniamy

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne w przykładach

Metody numeryczne w przykładach Metody numeryczne w przykładach Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Regionalne Koło Matematyczne 8 kwietnia 2010 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

LVIII Olimpiada Matematyczna

LVIII Olimpiada Matematyczna LVIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2007 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. W trójkącie ostrokątnym A punkt O jest środkiem okręgu opisanego,

Bardziej szczegółowo

Programowanie liniowe

Programowanie liniowe Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.

Bardziej szczegółowo

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami ALGEBRA Z GEOMETRIĄ ANALITYCZNĄ zadania z odpowiedziami Maciej Burnecki opracowanie strona główna Spis treści 1 Wyrażenia algebraiczne indukcja matematyczna 1 Geometria analityczna w R 3 3 Liczby zespolone

Bardziej szczegółowo

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.

1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania. 10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd

Wykład 3 Równania rózniczkowe cd 7 grudnia 2010 Definicja Równanie różniczkowe dy dx + p (x) y = q (x) (1) nazywamy równaniem różniczkowym liniowym pierwszego rzędu. Jeśli q (x) 0, to równanie (1) czyli równanie dy dx + p (x) y = 0 nazywamy

Bardziej szczegółowo

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.

Bardziej szczegółowo

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne. Definicja. Niech a i b będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi i niech a. Logarytmem liczby b przy podstawie

Bardziej szczegółowo

Marek Zakrzewski Wydział Matematyki Politechnika Wrocławska. Lekarstwo na kłopoty z Cardanem: Róbta co Vieta.

Marek Zakrzewski Wydział Matematyki Politechnika Wrocławska. Lekarstwo na kłopoty z Cardanem: Róbta co Vieta. Marek Zakrzewski Wydział Matematyki Politechnika Wrocławska Lekarstwo na kłopoty z Cardanem: Róbta co Vieta. Rozwiązywanie równań sześciennych - wzory Cardana Każde równanie sześcienne można sprowadzić

Bardziej szczegółowo

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x

( ) Arkusz I Zadanie 1. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) = x + 3 oraz g ( x) 2x Arkusz I Zadanie. Wartość bezwzględna Rozwiąż równanie x + 3 x 4 x 7. Naszkicujmy wykresy funkcji f ( x) x + 3 oraz g ( x) x 4 uwzględniając tylko ich miejsca zerowe i monotoniczność w ten sposób znajdziemy

Bardziej szczegółowo

WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE

WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE. RozwiąŜ nierówność.. Dla jakiej wartości parametru a R wielomian W() = ++ a dzieli się bez reszty przez +?. Rozwiązać nierówność: a) 5 b) + 4. Wyznaczyć wartości parametru

Bardziej szczegółowo

Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska

Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel. 320-27-40 Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska E-mail: Strona internetowa: robert.wojcik@pwr.edu.pl google: Wójcik

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz

Bardziej szczegółowo

Wielomiany podstawowe wiadomości

Wielomiany podstawowe wiadomości Rozdział Wielomiany podstawowe wiadomości Funkcję postaci f s) = s n + 1 s n 1 ++a 1 s+a 0, 1) gdzie n N, a i R i = 0,,n), 0 nazywamy wielomianem rzeczywistym stopnia n; jeżeli współczynniki a i i = 0,,n)

Bardziej szczegółowo

Krzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata

Krzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata Krzywe Freya i Wielkie Twierdzenie Fermata Michał Krzemiński 29 listopad 2006 Naukowe Koło Matematyki Politechnika Gdańska 1 1 Krzywe algebraiczne Definicja 1.1 Krzywą algebraiczną C nad ciałem K nazywamy

Bardziej szczegółowo

Skończone rozszerzenia ciał

Skończone rozszerzenia ciał Skończone rozszerzenia ciał Notkę tę rozpoczniemy od definicji i prostych własności wielomianu minimalnego, następnie wprowadzimy pojecie rozszerzenia pojedynczego o element algebraiczny, udowodnimy twierdzenie

Bardziej szczegółowo

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej

Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem

Bardziej szczegółowo

Równania wielomianowe

Równania wielomianowe Instytut Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego 20 marca 2009 Kraków Równanie z jedną niewiadomą Wielomian jednej zmiennej to wyrażenie postaci P(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

Bukiety matematyczne dla gimnazjum

Bukiety matematyczne dla gimnazjum Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 1 X 2002 Bukiet I Dany jest prostokąt o bokach wymiernych a, b, którego obwód O i pole P są całkowite. 1. Sprawdź, że zachodzi równość

Bardziej szczegółowo

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych.

4. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. Jarosław Wróblewski Matematyka dla Myślących, 008/09. Postęp arytmetyczny i geometryczny. Wartość bezwzględna, potęgowanie i pierwiastkowanie liczb rzeczywistych. 15 listopada 008 r. Uwaga: Przyjmujemy,

Bardziej szczegółowo

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n Z. Jeśli n > 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r < n. Liczbę r nazywamy resztą z dzielenia

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania na kółko matematyczne dla uczniów gimnazjum

Przykładowe zadania na kółko matematyczne dla uczniów gimnazjum 1 Przykładowe zadania na kółko matematyczne dla uczniów gimnazjum Zagadnienia, które uczeń powinien znać przy rozwiązywaniu opisanych zadań: zastosowanie równań w zadaniach tekstowych, funkcje i ich monotoniczność,

Bardziej szczegółowo

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012 1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać

Bardziej szczegółowo

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów 1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i

Bardziej szczegółowo

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ).

Jak łatwo zauważyć, zbiór form symetrycznych (podobnie antysymetrycznych) stanowi podprzestrzeń przestrzeni L(V, V, K). Oznaczamy ją Sym(V ). Odwzorowania n-liniowe; formy n-liniowe Definicja 1 Niech V 1,..., V n, U będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem K. Odwzorowanie G: V 1 V n U nazywamy n-liniowym, jeśli dla każdego k [n] i wszelkich

Bardziej szczegółowo

Formy kwadratowe. Rozdział 10

Formy kwadratowe. Rozdział 10 Rozdział 10 Formy kwadratowe Rozważmy rzeczywistą macierz symetryczną A R n n Definicja 101 Funkcję h : R n R postaci h (x) = x T Ax (101) nazywamy formą kwadratową Macierz symetryczną A występującą w

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 15.1.010r. Zarządzanie Licencjackie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f x) = arc cos x x + x 5 ) ) log x + 5. Rozwiązanie. Wymagane

Bardziej szczegółowo

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów

X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów www.omg.edu.pl X Olimpiada Matematyczna Gimnazjalistów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (10 listopada 01 r. 15 grudnia 01 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych 1. nia rozmieniła banknot

Bardziej szczegółowo

x+h=10 zatem h=10-x gdzie x>0 i h>0

x+h=10 zatem h=10-x gdzie x>0 i h>0 Zadania optymalizacyjne. Jaka jest największa możliwa wartość iloczynu dwóch liczb, których suma jest równa 60? Rozwiązanie: KROK USTALENIE WZORU Liczby oznaczamy przez a i b więc x+y=60 Następnie wyznaczamy

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2014 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/15 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej

Bardziej szczegółowo

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Układy równań. Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi Układy równań Kinga Kolczyńska - Przybycień 22 marca 2014 1 Układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi 1.1 Pojęcie układu i rozwiązania układu Układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Bardziej szczegółowo

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe

FUNKCJA LINIOWA - WYKRES. y = ax + b. a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe FUNKCJA LINIOWA - WYKRES Wzór funkcji liniowej (postać kierunkowa) Funkcja liniowa to funkcja o wzorze: y = ax + b a i b to współczynniki funkcji, które mają wartości liczbowe Szczególnie ważny w postaci

Bardziej szczegółowo

Wzory skróconego mnożenia w zadaniach olimpijskich

Wzory skróconego mnożenia w zadaniach olimpijskich Wzory skróconego mnożenia w zadaniach olimpijskich Jacek Dymel 17.10.008 Bardzo często uczniowie wyrażają taką opinię, że do rozwiązywania zadań olimpijskich niezbędna jest znajomość wielu skomplikowanych

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II

Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Rozwiązania zadań z kolokwium w dniu 10.1.010r. Zarządzanie Inżynierskie, WDAM, grupy I i II Zadanie 1. Wyznacz dziedzinę naturalną funkcji f (x) = x 4x + 3 x + x + log arc sin 1 x. Rozwiązanie. Wymagane

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki. Zdania proste i złożone

Elementy logiki. Zdania proste i złożone Elementy logiki Zdania proste i złożone. Jaka jest wartość logiczna następujących zdań: (a) jest dzielnikiem 7 lub suma kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 80. (b) Jeśli sin 0 =, to 5 < 5. (c) Równanie

Bardziej szczegółowo

E-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Funkcja wykładnicza. Materiały merytoryczne do kursu

E-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Funkcja wykładnicza. Materiały merytoryczne do kursu E-learning - matematyka - poziom rozszerzony Funkcja wykładnicza Materiały merytoryczne do kursu Definicję i własności funkcji wykładniczej poprzedzimy definicją potęgi o wykładniku rzeczywistym. Poprawna

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/15 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej

Bardziej szczegółowo

Ciągi komplementarne. Autor: Krzysztof Zamarski. Opiekun pracy: dr Jacek Dymel

Ciągi komplementarne. Autor: Krzysztof Zamarski. Opiekun pracy: dr Jacek Dymel Ciągi komplementarne Autor: Krzysztof Zamarski Opiekun pracy: dr Jacek Dymel Spis treści 1 Wprowadzenie 2 2 Pojęcia podstawowe 3 2.1 Oznaczenia........................... 3 2.2 "Ciąg odwrotny"........................

Bardziej szczegółowo

Krzysztof Gniłka. Twierdzenie o rekurencji uniwersalnej

Krzysztof Gniłka. Twierdzenie o rekurencji uniwersalnej Krzysztof Gniłka Twierdzenie o rekurencji uniwersalnej Spis treści Wstęp 3 Rozdział 1 Definicje i pomocnicze lematy 4 1 Części całkowite liczb 4 2 Logarytmy 9 3 Notacja asymptotyczna 12 Rozdział 2 Metoda

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego

Twierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego Politechnika Gdańska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Twierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego Autor: Kamil Jaworski 11 marca 2012 Spis treści 1 Wstęp 2 1.1 Podstawowe pojęcia........................

Bardziej szczegółowo

Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe

Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Grzegorz Bobiński Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2012 Spis treści Notacja 1 1 Podstawowe pojęcia

Bardziej szczegółowo

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,

Bardziej szczegółowo