Sumy kolejnych bikwadratów

Transkrypt

1 Sumy kolejnych bikwadratów Znane są następujące dwie równości Andrzej Nowicki 18 maja 2015, wersja bi = = 6 3. Czy istnieją podobnego typu równości dla czwartych potęg? Czy suma co najmniej dwóch kolejnych bikwadratów może być bikwadratem? Innymi słowy, czy istnieje taka liczba naturalna n 2, że równanie ( ) x 4 + (x + 1) (x + n 1) 4 = y 4 ma co najmniej jedno rozwiązanie w zbiorze liczb naturalnych? W niniejszym artykule próbujemy podać odpowiedzi na te pytania. Łatwo można wykazać, że równanie ( ) nie ma rozwiązań, gdy n = 2, 3, 4, 5 oraz 6. Dla n = 2 takich rozwiązań nie ma, gdyż dobrze wiadomo, że równanie x 4 +y 4 = z 4 nie ma rozwiązań w zbiorze liczb naturalnych. Resztą z dzielenia bikwadratu przez 4 może być tylko 0 lub 1. Bikwadrat liczby parzystej ma resztę równą 0, a bikwadrat liczby nieparzystej ma resztę 1. Wśród czterech kolejnych bikwadratów są zawsze dwie liczby parzyste oraz dwie liczby nieparzyste. Reszta z dzielenia przez 4 sumy cztrech kolejnych bikwadratów jest więc zawsze równa 2. Zatem suma czterech kolejnych bikwadratów nigdy nie jest bikwadratem. Równanie ( ) nie ma więc rozwiązań w przypadku, gdy n = 4. Badanie reszt z dzielenia przez 4 szybko przekonuje nas, że równanie ( ) nie ma rozwiązań dla n = 5 oraz n = 6. Badając w ten sam sposób reszty z dzielenia przez 3 z łatwością dochodzimy do wniosku, że równanie ( ) nie ma również rozwiązań w przypadku gdy n = 3. Oznaczmy przez Ω zbiór wszystkich takich liczb naturalnych n 2, dla których potrafimy udowodnić, że równanie ( ) nie ma rozwiązań w zbiorze liczb naturalnych. Z tego co przed chwilą stwierdziliśmy wynika, że liczby 2, 3, 4, 5, 6 należą do zbioru Ω. Hipoteza 0.1. Każda liczba naturalna większa od 1 należy do zbioru Ω. 1 Wzory, oznaczenia i początkowe własności Niech s k (n) = 1 k + 2 k + + n k. Mamy w szczególności s 1 (n) = n = 1 n(n + 1), 2 s 2 (n) = n 2 = 1 n(n + 1)(2n + 1), 6 s 3 (n) = n 3 = 1 4 n2 (n + 1) 2.

2 W szczególny sposób interesować nas będą liczby s 4 (n). Wiemy, że s 4 (n) = n 4 = 1 30 n(n + 1)(2n + 1)(3n3 + 3n 1). Początkowe liczby s 4 (n): s 4 (1) = 1 = 1, s 4 (2) = 17 = 17, s 4 (3) = 98 = 2 7 2, s 4 (4) = 354 = , s 4 (5) = 979 = 11 89, s 4 (6) = 2275 = , s 4 (7) = 4676 = , s 4 (8) = 8772 = , s 4 (9) = = , s 4 (10) = = , s 4 (21) = = , s 4 (22) = = , s 4 (23) = = , s 4 (24) = = , s 4 (25) = = , s 4 (26) = = , s 4 (27) = = , s 4 (28) = = , s 4 (29) = = , s 4 (30) = = , s 4 (11) = = , s 4 (12) = = , s 4 (13) = = , s 4 (14) = = , s 4 (15) = = , s 4 (16) = = , s 4 (17) = = , s 4 (18) = = , s 4 (19) = = , s 4 (20) = = , s 4 (31) = = , s 4 (32) = = , s 4 (33) = = , s 4 (34) = = , s 4 (35) = = , s 4 (36) = = , s 4 (37) = = , s 4 (38) = = , s 4 (39) = = , s 4 (40) = = , W [1] znajdziemy pewne tożsamości, w których te liczby występują. Mamy na przykład równości s 4 = 1s 5 2(6s 1 1) oraz s 4 (n) = ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n+4 5. Oznaczmy przez f n (x) sumę n kolejnych bikwadratów począwszy od x 4 i kończywszy na (x + n 1) 4. Zapamiętajmy: f n (x) = x 4 + (x + 1) 4 + (x + 2) (x + n 1) 4. Początkowe przykłady: f 1 (x) = x 4, f 2 (x) = 2x 4 + 4x 3 + 6x 2 + 4x + 1, f 3 (x) = 3x x x x + 17, f 4 (x) = 4x x x x + 98, f 5 (x) = 5x x x x + 354, f 6 (x) = 6x x x x + 979, f 7 (x) = 7x x x x , f 8 (x) = 8x x x x , f 9 (x) = 9x x x x

3 Stwierdzenie 1.1. Korzystając ze znanych wzorów, łatwo sprawdzić, że f n (x) = w 4 x 4 + w 3 x 3 + w 2 x 2 + w 1 x 1 + w 0, gdzie w 4 = n, w 3 = 2n(n 1) = 4s 1 (n 1), w 2 = n(n 1)(2n 1) = 6s 2 (n 1), w 1 = n 2 (n 1) 2 = 4s 3 (n 1), w 0 = 1 30 n(n 1)(2n 1)(3n2 3n 1) = s 4 (n 1). Dla każdej liczby naturalnej m 2 przez B m oznaczać będziemy zbiór wszystkich bikwadratów w pierścieniu Z m. Innymi słowy, B m jest zbiorem wszystkich takich liczb całkowitych x z przedziału [0, m 1], dla których istnieje liczba całkowita y taka, że x y 4 (mod m). Przykłady: B 2 = {0, 1}, B 3 = {0, 1}, B 7 := {0, 1, 2, 4}, B 13 = {0, 1, 3, 9}, B 17 = {0, 1, 4, 13, 16}, B 19 = {0, 1, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 16, 17}, B 25 = {0, 1, 6, 11, 16, 21}, B 49 = {0, 1, 2, 4, 8, 9, 11, 15, 16, 18, 22, 23, 25, 29, 30, 32, 36, 37, 39, 43, 44, 46}. Zbiory B 7 1, B 7 2,..., B 7 5 Tabela 1.2. Zbiory B m dla m = 11 s. mają odpowiednio 4, 22, 148, 1030, 7207 elementów. s bikwadraty lb 1 0, 1, 3, 4, 5, , 1, 3, 4, 5, 9, 12, 14, 15, 16, 20, 23, 25, 26, 27, 31, 34, 36, 37, 38, 42, 45, 47, 48, 49, 53, 56, 58, 59, 60, 64, 67, 69, 70, 71, 75, 78, 80, 81, 82, 86, 89, 91, 92, 93, 97, 100, 102, 103, 104, 108, 111, 113, 114, 115, s lb Liczby a(m) i b(m) Załóżmy, że m 1 jest liczbą naturalną i oznaczmy przez r resztę z dzielenia przez m liczby s 4 (m) = 1 30 m(m + 1)(2m + 1)(3m2 + 3m 1). Wprowadźmy nowe oznaczenia a(m) = r, gdy r > 0, m, gdy r = 0. ( ) b(m) = nww m, a(m) a(m) m. Jest oczywiste, że jeśli nwd(m, 30) = 1, to a(m) = b(m) = m. W szczególności a(1) = b(1) = 1. 3

4 Tabela 2.1. Liczby a(m) oraz b(m) dla 2 m 100 i nwd(m, 30) > 1. m a b m a b m a b m a b m a b Spójrzmy na wielomian f m (x). Wszystkie współczynniki w 1, w 2, w 3 oraz w 4 są podzielne przez m (patrz Stwierdzenie 1.1). Ponadto, w 0 = s 4 (m 1) = s 4 (m) m 4, a więc w 0 s 4 (m) r a(m) (mod m). Mamy zatem Stwierdzenie 2.2. Dla każdej liczby całkowitej x zachodzi kongruencja f m (x) a(m) (mod m). Innymi słowy, każda suma m kolejnych bikwadratów przystaje do a(m) modulo m. Stąd natychmiast wynika następne stwierdzenie. Stwierdzenie 2.3. Dla dowolnej liczby naturalnej k, każda suma km kolejnych bikwadratów przystaje do k a(m) modulo m. Mamy również Stwierdzenie 2.4. Każda suma b(m) kolejnych bikwadratów jest podzielna przez m. Dowód. Przez [u, v] oznaczamy najmniejszą wspólną wielokrotność liczb u, v. Niech w = [m, a(m)]. Wtedy w = q a(m) dla pewnej liczby naturalnej q. Wtedy b(m) = w m = qm. Dowolna suma b(m) kolejnych bikwadratów (na mocy Stwierdzenia 2.3) przystaje więc do q a(m) modulo m, czyli przystaje do w. Ale m w, więc a(m) rozważana suma jest podzielna przez m. Wykażemy teraz, że b(m) jest najmniejszą taką liczbą naturalną n, że każda suma n kolejnych bikwadratów jest podzielna przez m. W tym celu udowodnimy najpierw kilka lematów. Lemat 2.5. Niech n będzie taką liczbą naturalną, że każda suma n kolejnych bikwadratów jest podzielna przez m. Wtedy każda liczba postaci 4x 3 n + 6x 2 n 2 + 4xn 3 + n 4, gdzie x jest dowolną liczbą naturalną, jest podzielna przez m. W szczególności n 4 jest podzielne przez m. 4

5 Dowód. Niech x będzie dowolną liczbą naturalną. Z założenia wynika, że liczby x 4 + (x + 1) (x + n 1) 4 oraz (x + 1) 4 + (x + 2) (x + n) 4 są podzielne przez m. Różnica tych liczb (od drugiej liczby odejmujemy pierwszą) jest więc również podzielna przez m. Różnicą tą jest 4x 3 n + 6x 2 n 2 + 4xn 3 + n 4. Lemat 2.6. Niech m = 2 s, gdzie s 1. Niech n będzie taką liczbą naturalną, że każda suma n kolejnych bikwadratów jest podzielna przez m. Wtedy n jest podzielne przez 2 s+1. Dowód. Wiemy (patrz Lemat 2.5), że m n 4. Liczba n jest więc parzysta. Niech n = 2 t n 0, gdzie t 1, 2 n 0. Z założenia wiemy również, że każda liczba postaci f n (x), gdzie x N, jest podzielna przez 2 s. W szczególności f n (2 s ) jest podzielne przez 2 s i to implikuje, że wyraz wolny w 0, wielomianu f n (x), jest podzielny przez 2 s. Ten wyraz wolny jest równy 2 t 1 v, gdzie v = 1 15 n 0(n 1)(2n 1)(3n 2 3n 1). Zauważmy, że v jest nieparzystą liczbą całkowitą. Zatem t 1 s, czyli t s + 1. Ale n = 2 t n 0, więc n jest podzielne przez 2 s+1. Lemat 2.7. Załóżmy, że m jest nieparzyste. Niech n będzie taką liczbą naturalną, że każda suma n kolejnych bikwadratów jest podzielna przez m. Wtedy n jest podzielne przez m. Dowód. Z Lematu 2.5 wiemy, że liczby n 4 oraz 4n + 6n 2 + 4n 3 są podzielne przez m. Przez m jest więc podzielna liczba n 2 (4n + 6n 2 + 4n 3 ) = 4n 3 + 6n 4 + 4n 5 i stąd wynika, że m n 3 (ponieważ m n 2 oraz nwd(4, m) = 1). Zatem m 4n + 6n 2, więc m 4n 2 + 6n 3 = n(4n + 6n 2 ), a zatem n n 2. To dalej implikuje, że m 4n i stąd wynika, że n jest podzielne przez m (ponieważ nwd(4, m) = 1). Z powyższych dwóch lematów wynika następny lemat. Lemat 2.8. Jeśli n jest taką liczbą naturalną, że każda suma n kolejnych bikwadratów jest podzielna przez m. to n jest również podzielne przez m. Dowód. Niech m = 2 s m 0, gdzie s 0 oraz 2 m 0. Załóżmy, że n jest taką liczbą naturalną, że każda suma n kolejnych bikwadratów jest podzielna przez m. Jeśli s = 0, to teza wynika z Lematu 2.7. Załóżmy, że s 1. Wtedy n jest podzielne przez m 0 (na mocy Lematu 2.7) i jest podzielne przez 2 s (na mocy Lematu 2.6). Ale liczby 2 s i m 0 są względnie pierwsze, więc n jest podzielne przez 2 s m 0 = m. Teraz możemy udowodnić zapowiedzianą wcześniej własność liczby b(m). Stwierdzenie 2.9. Liczba b(m) jest najmniejszą taką liczbą naturalną n, że każda suma n kolejnych bikwadratów jest podzielna przez m. 5

6 Dowód. Przypomnijmy najpierw (patrz Stwierdzenie 2.4), że każda suma b(m) kolejnych bikwadratów jest podzielna przez m. Niech n będzie taką liczbą naturalną, że każda suma n kolejnych bikwadratów jest podzielna przez m i przypuśćmy, że n < b(m). Wiemy (Lemat 2.8), że m n. Niech n = vm, gdzie v jest pewną liczbą naturalną, Niech w = [m, a(m)]. Niech w = q a(m), gdzie q N. Wtedy b(m) = w m = qm. a(m) Ale vm = n < b(m) = qm, więc v < q. Rozpatrzmy najmniejszą wspólną wielokrotność liczb m oraz v a(m). Oznaczmy: u = [m, v a(m)]. Liczba v a(m) jest, na mocy założenia oraz Stwierdzenia 2.3, podzielna przez m. Zatem u = v a(m). Mamy więc: m u oraz a(m) u. Zatem w u, czyli q a(m) = w u = v a(m), a zatem q v. W szczególności q v, wbrew temu, że q > v. Przypuszczenie n < b(m) prowadzi więc do sprzeczności. 3 Liczby pierwsze typu alfa Załóżmy, że p jest liczbą pierwszą większą od 5 i załóżmy, że istnieje p kolejnych bikwadratów, których suma jest bikwadratem. Wtedy równanie f p (x) = y 4 ma rozwiązanie (x, y) w zbiorze liczb naturalnych. Niech f p (x) = w 4 x 4 + w 3 x 3 + w 2 x 2 + w 1 x 1 + w 0. Ponieważ nwd(30, p) = 1, więc ze Stwierdzenia 1.1 wynika, że wszystkie współczynniki w 0, w 1,..., w 4 są podzielne przez p. Liczba f p (x) jest więc podzielna przez p. Liczba y 4 jest zatem również podzielna przez p, a zatem f p (x) jest podzielne przez p 4. Modulo p 2 mamy: w 4 p, w 3 = 2p(p 1) 2p, w 2 = p(p 1)(2p 1) p(2p 1) p, w 1 = p 2 (p 1) p 0, w 0 = 1 p(p 1)(2p 30 1)(3p2 3p 1) t( p)(2p 1)(3p 2 3p 1) t( p)(2p 1)(3p 2 3p 1) tp(3p 2 3p 1) tp, gdzie t jest taką liczbą naturalną mniejszą od p 2, że 30t 1 (mod p 2 ). Ponieważ liczby 30 i p 2 są względnie pierwsze, więc jest jasne, że takie t istnieje. Niech f p (x) oznacza liczbę f p (x) modulo p 2. Oczywiście f p (x) = 0 (gdyż f p (x) jest podzielne przez p 4 ). Mamy zatem kongruencję p (x 4 2x 3 + x 2 t) 0 (mod p 2 ), z której otrzymujemy kongruencję x 4 2x 3 + x 2 t 0 (mod p). Zauważmy, że x 4 2x 3 + x 2 = x 2 (x 1) 2. Mamy więc kongruencję x 2 (x 1) 2 w (mod p), gdzie w jest resztą z dzielenia liczby t orzez p. Zauważmy, że w jest taką liczbą naturalną mniejszą od p, że 30w 1 (mod p). Wykazaliśmy zatem 6

7 Stwierdzenie 3.1. Niech p 7 będzie liczbą pierwszą i niech w będzie taką liczbą naturalną mniejszą od p, że 30w 1 (mod p). Niech x będzie liczbą naturalną. Jeśli suma p kolejnych bikwadratów x 4, (x + 1) 4,..., (x + p 1) 4 jest bikwadratem, to x 2 (x 1) 2 t (mod p). Niech p 7 będzie liczbą pierwszą i niech w będzie taką liczbą naturalną mniejszą od p, że 30w 1 (mod p). Mówić będziemy, że liczba pierwsza p jest typu alfa jeśli kongruencja x 2 (x 1) 2 w (mod p) nie ma rozwiązań. Udowodniliśmy zatem: Stwierdzenie 3.2. Każda liczba pierwsza typu alfa należy do zbioru Ω. Teraz udowodnimy Twierdzenie 3.3. Jeśli p jest liczbą pierwszą typu alfa, to każda liczba postaci należy do zbioru Ω. n 0 p i, gdzie i {1, 2, 3}, p n 0, Dowód. Niech n = n 0 p i, gdzie i {1, 2, 3} oraz n 0 jest liczbą naturalną niepodzielną przez p. Przypuśćmy, że para liczb naturalnych (x, y) jest rozwiązaniem równania f n (x) = y 4. Wtedy liczba f n (x) jest podzielna przez p 4, więc prawdziwa jest kongruencja f n (x) 0 (mod p i+1 ), która na mocy Stwierdzenia 1.1 jest postaci n 0 p i ( x 4 2x 3 + x 2 t ) 0 (mod p i+1 ), gdzie t = 1 30 nodulo pi+1, tzn. gdzie t jest taką liczbą naturalną mniejszą od p i+1, że 30t 1 (mod p i+1 ). Ale nwd(n 0, p i+1 ) = 1, więc mamy wtedy kongruencję x 2 (x 1) 2 w (mod p), w której w jest taką liczbą naturalną mniejszą od p, że 30t 1 (mod p). Otrzymaliśmy sprzeczność z założeniem, że p jest liczbą pierwszą typu alfa. Powyższe twierdzenie można jeszcze nieco uogólnić. Zapis v p (n) = k oznacza, że p k n oraz p k+1 n. Dla przykładu v 5 (50) = 2, v 7 (20) = 0. Twierdzenie 3.4. Niech p będzie liczbą pierwszą typu alfa i niech n będzie liczbą naturalną. Jeżeli liczba v p (n) nie jest podzielna przez 4, to n należy do zbioru Ω. Dowód. Niech s = v p (n) i załóżmy, że 4 s. Wtedy s 1 oraz n = n 0 p s, gdzie n 0 jest liczbą naturalną niepodzielną przez p. Przypuśćmy, że para liczb naturalnych (x, y) jest rozwiązaniem równania f n (x) = y 4. Wtedy liczba f n (x) jest podzielna przez p s, a zatem y 4 jest podzielne przez p s. Ale 4 s, więc y 4 jest podzielne przez p s+1 i mamy kongruencję f n (x) 0 (mod p s+1 ), która na mocy Stwierdzenia 1.1 jest postaci n 0 p s ( x 4 2x 3 + x 2 t ) 0 (mod p s+1 ), 7

8 gdzie t = 1 30 nodulo ps+1, tzn. gdzie t jest taką liczbą naturalną mniejszą od p s+1, że 30t 1 (mod p s+1 ). Ale nwd(n 0, p s+1 ) = 1, więc mamy wtedy kongruencję x 2 (x 1) 2 w (mod p), w której w jest taką liczbą naturalną mniejszą od p, że 30t 1 (mod p). Otrzymaliśmy sprzeczność z założeniem, że p jest liczbą pierwszą typu alfa. Z tego twierdzenia w szczególności wynika, że jeśli p jest liczbą pierwszą typu alfa, to każda liczba naturalna podzielna przez p i niepodzielna przez p 4 należy do zbioru Ω. To samo dotyczy liczb naturalnych podzielnych przez p 5 i niepodzielnych przez p 8. Spójrzmy na kilka przykładów. Przykład 3.5. Liczba pierwsza 7 nie jest typu α. Dowód. Mamy (mod 7), a więc w tym przypadku w = 4. Kongruencja x 2 (x 1) 2 4 (mod 7) ma rozwiązanie; na przykład x = 2. Liczba pierwsza 7 nie jest więc typu alfa. Przykład 3.6. Liczba pierwsza 11 jest typu α. Dowód. Mamy (mod 11), a więc w tym przypadku w = 7. Badamy kongruencję x 2 (x 1) 2 7 (mod 11). Niech g(x) = x 2 (x 1) 2. Modulo 11 mamy: g(0) 0, g(1) 0, g(2) 4, g(3) 1, g(4) 1, g(5) 4, g(6) 9, g(7) 4, g(8) 1, g(9) 3, g(10) 4. Badana kongruencja nie ma więc rozwiązań. Zatem 11 jest liczbą pierwszą typu alfa. Przykład 3.7. Wszystkie liczby pierwsze typu alfa mniejsze od 100 : Jest ich , 23, 31, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 73, 79, 89, 97. Przykład 3.8. Wszystkie liczby pierwsze typu alfa mniejsze od 1000 : 11, 23, 31, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 73, 79, 89, 97, 103, 107, 109, 113, 131, 137, 151, 163, 167, 173, 179, 181, 193, 197, 199, 211, 229, 233, 251, 263, 271, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 367, 383, 397, 401, 419, 421, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 479, 491, 503, 521, 523, 541, 547, 557, 569, 571, 577, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 709, 733, 743, 751, 761, 773, 787, 797, 809, 829, 839, 853, 863, 881, 883, 887, 907, 919, 929, 937, 941, 971, 977, 983, 991, 997. Jest ich

9 Liczb pierwszych typu alfa mniejszych od 10 4 jest 771. Przypomnijmy jeszcze raz, że liczba pierwsza p 7 jest typu alfa, jeśli kongruencja x 2 (x 1) 2 w (mod p) nie ma rozwiązań. Tutaj w jest taką liczbą naturalną, że w < p oraz 30w 1 (mod p). Z tej definicji wynika w szczególności, że jeśli symbol Legendrea ( ) w p jest równy 1, to p jest liczbą pierwszą typu alfa. Zauważmy, że 1 = ( ) ( ) ( ) ( ) 1 p = 30w p = 30 w p p, a zatem ( ) ( ) w p = 30 p. Wykazaliśmy więc Stwierdzenie 3.9. Niech p 7 będzie liczbą pierwszą. Jeśli ( ) 30 p = 1, to p jest liczbą pierwszą typu alfa. Implikacja w przeciwnym kierunku nie musi zachodzić. Istnieją liczby pierwsze p typu alfa z symbolem ( ) 30 p równym 1. Takich liczb pierwszych jest dużo. Najmniejszą z nich jest p = 103. Zanotujmy znane fakty, które mogą się w przyszłości okazać przydatne. Stwierdzenie Zakładamy, że p jest liczbą pierwszą większą od 5. (1) ( ) 2 p = ( 1) (p 2 1)/8 i stąd wynika, że ( ) 2 p = 1 p = 8k ± 1. (2) ( ) 3 p = 1 p = 12k ± 1. (3) ( ) 5 p = 1 p = 10k ± 1. (4) ( ) 6 p = 1 p = 24k + r, gdzie r {1, 5, 19, 23}. 4 Zbiory E(m) Niech m 2 będzie liczbą naturalną. Przez E(m) oznaczać będziemy zbiór tych wszystkich liczb naturalnych n, dla których kongruencja (e) f n (x) y 4 (mod m) nie ma rozwiązań. Z tego co napisaliśmy w rozdziale wstępnym wynika, że liczby 4, 5, 6 należą do zbioru E(4), a liczba 3 należy do zbioru E(3). Wiemy, że jeśli n = b(m), to dla każdej liczby całkowitej x zachodzi kongruencja f n (x) 0 (mod m). Zatem liczba b(m) nie należy do zbioru E(m) Jeśli r należy do E(m), to każda liczba naturalna postaci k b(m) + r również należy do zbioru E(m). Założyliśmy, że m 2. To założenie nie jest potrzebne. Dla m = 1 mamy E(m) =. Przez E 0 (m) oznaczać będziemy zbiór tych wszystkich liczb naturalnych ze zbioru E(m), które są mniejsze od b(m). Mamy na przykład E 0 (2) =, E 0 (4) = {4, 5, 6}, E 0 (3) = {3}, E 0 (6) = {3, 12, 21, 30}. 9

10 E 0 (28) = {4, 5, 6, 12, 13, 14, 20, 21, 22, 28, 29, 30, 36, 37, 38, 44, 45, 46, 52, 53, 54}. Później podamy liczne inne przykłady. Jest jasne, że jeśli E 0 (m) =, to E(m) =. Ponadto, { } E(m) = r + k b(m); k 0, r E 0 (m). W szczególności jeśli n 1 n 2 (mod b(m)), to n 1 E(m) n 2 E(m). Zanotujmy kilka podstawowych własności zbiorów postaci E(m). Stwierdzenie 4.1. Niech d, m N. Jeśli d m, to E(d) E(m). Stwierdzenie to jest oczywiste. Wynika natychmiast z definicji zbioru E(m). Stwierdzenie 4.2. Jeśli m 1, m 2 są względnie pierwszymi liczbami naturalnymi, to E(m 1 m 2 ) = E(m 1 ) E(m 2 ). Dowód. Inkluzja wynika ze Stwierdzenia 4.1. Udowodnimy inkluzję w przeciwnym kierunku. Załóżmy, że n E(m 1 m 2 ) i przypuśćmy, że n E(m 1 ) E(m 2 ). Wtedy n E(m 1 ) oraz n E(m 2 ). Kongruencje f n (x) y 4 (mod m 1 ) oraz f n (x) y 4 (mod m 2 ) mają więc rozwiązania; odpowiednio (x 1, y 1 ) oraz (x 2, y 2 ). Niech x, y będą takimi liczbami całkowitymi, że { x x1 (mod m 1 ) x x 2 (mod m 2 ) oraz { y y1 (mod m 1 ) y y 2 (mod m 2 ). Takie liczby całkowite istnieją na mocy twierdzenia chińskiego o resztach. Mamy wtedy f n (x) f n (x 1 ) y 4 1 y 4 (mod m 1 ), f n (x) f n (x 2 ) y 4 2 y 4 (mod m 2 ), czyli m 1 f n (x) y 4 oraz m 2 f n (x) y 4. Ale nwd(m 1, m 2 ) = 1, więc m 1 m 2 f n (x) y 4 i mamy f n (x) y 4 (mod m 1 m 2 ) wbrew temu, że n E(m 1 m 2 ). Zanotujmy również następujące oczywiste stwierdzenie. Stwierdzenie 4.3. Niech n 2 będzie liczbą naturalną. Jeśli istnueje taka liczba naturalna m, że n E(m), to n należy do zbioru Ω. Czy dla każdej liczby naturalnej n 3 istnieje co najmniej jedna taka liczba naturalna m, że n należy do zbioru E(m)? Dzisiaj ( ) wiem, że wszystkie liczby naturalne mniejsze od 481 mają rozważaną własność. Nie potrafię tego wykazać dla n = 481. Czy liczba 481 należy do zbioru Ω? Następną liczbą tego typu jest n =

11 5 Potęgi dwójki Tabela 5.1. Bikwadraty modulo m = 2 s. s bikwadraty lb 1 0, , , , , 1, 16, , 1, 16, 17, 33, , 1, 16, 17, 33, 49, 65, 81, 97, , 1, 16, 17, 33, 49, 65, 81, 97, 113, 129, 145, 161, 177, 193, 209, 225, , 1, 16, 17, 33, 49, 65, 81, 97, 113, 129, 145, 161, 177, 193, 209, 225, 241, 256, 257, 272, 273, 289, 305, 321, 337, 353, 369, 385, 401, 417, 433, 449, 465, 481, , 1, 16, 17, 33, 49, 65, 81, 97, 113, 129, 145, 161, 177, 193, 209, 225, 241, 256, 257, 272, 273, 289, 305, 321, 337, 353, 369, 385, 401, 417, 433, 449, 465, 481, 497, 513, 528, 529, 545, 561, 577, 593, 609, 625, 641, 657, 673, 689, 705, 721, 737, 753, 769, 784, 785, 801, 817, 833, 849, 865, 881, 897, 913, 929, 945, 961, 977, 993, s lb Tabela 5.2. Elementy zbiorów E 0 (2 s ). W drugiej kolumnie są liczby b(2 s ). s b elementy lb , 5, , 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, , 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, , 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, , 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 64, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 100, 101, 102, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, Zbiory E 0 (2 7 ), E 0 (2 8 ), E 0 (2 9 ) oraz E 0 (2 10 ) mają odpowiednio 227, 457, 914 oraz 1831 elementów. Z tabeli tej dowiadujemy się na przykład, że każda liczba naturalna postaci 128k + 75 należy do zbioru Ω. Lemat 5.3. Dla każdej liczby naturalnej s, suma 2 s kolejnych bikwadratów przystaje do 2 s 1 modulo 2 s. 11

12 Dowód. Niech u = (d 1) 4, gdzie d = 2 s. Jest oczywiste, że suma 2 s kolejnych bikwadratów przystaje zawsze do u modulo 2 s. Zauważmy, że u = 1 30 (d 1)d(2d 1)(3d2 3d 1) = 1 15 (2s 1) 2 s 1 ( 2 s+1 1 ) ( (3 2 2s 3 2 s 1 ), więc 15u ( 1)2 s 1 ( 1)( 1) = 2 s 1 2 s 1 (mod 2 s ). Niech c będzie liczbą całkowitą taką, że 15c 1 (mod 2 s ). Takie c istnieje gdzyċ liczby 15 i 2 s są względnie pierwsze. Oczywiście c jest nieparzyste; niech c = 2k + 1. Mamy więc i to kończy dowód. u c2 s 1 = (3k + 1)2 s 1 2 s 1 (mod 2 s ) Z tego lematu otrzymujemy natychmiast Stwierdzenie 5.4. Dla każdej liczby naturalnej s zachodzą równości a (2 s ) = 2 s 1, b (2 s ) = 2 s+1. Czy bikwadrat może przystawać do 2 s 1 modulo 2 s? Okazuje się, że tak się może zdarzyć. Dla s = 5 mamy = 2 4 (mod 2 5 ). Dla s = 9 mamy podobnie: = 2 8 (mod 2 9 ). Lemat 5.5. Jeśli s 1, to następujące dwa warunki są równoważne. (1) Liczba s jest postaci 4k + 1. (2) Istnieje liczba całkowita x taka, że x 4 2 s 1 (mod 2 s ). Dowód. (1) (2). Niech s = 4k + 1. Wtedy dla x = 2 k mamy x 4 2 4k = 2 s 1 (mod 2 s ). (2) (1). Załóżmy, że x 4 2 s 1 (mod 2 s ) dla pewnej liczby całkowitej x. Wtedy x 4 2 s 1 = 2 s a, gdzie a Z. Jeśli s = 1, to s jest postaci 4k + 1 i nie ma czego dowodzić. Niech więc s 2. Wtedy x jest parzyste; niech x = 2 k u, k 1, 2 u. Wtedy 2 4k u 4 2 s 1 = 2 s a i po podzieleniu przez 2 s 1 otrzymujemy równość 2 4k (s 1) u 4 1 = 2a. Ale u jest nieparzyste, więc 4k (s 1) = 0 i mamy s = 4k + 1. Z powyższych faktów otrzymujemy następujące dwa stwierdzenia. Stwierdzenie 5.6. Każda potęga dwójki postaci 2 s, gdzie s 1, s 1 (mod 4), należy do zbioru Ω. Stwierdzenie 5.7. Każda liczba postaci 2 s + k2 s+1, gdzie s 1, s 1 (mod 4) oraz k 0, należy do zbioru Ω. 12

13 Zauważmy, że 2 s + k2 s+1 = 2 s (2k + 1). Powyższe stwierdzenie można więc wysłowić w następujący sposób. Stwierdzenie 5.8. Niech n będzie liczbą naturalną i niech s = v 2 (n). Jeśli s 2 oraz s 1 (mod 4), to n należy do zbioru Ω. W szczególności każda liczba naturalna podzielna przez 4 i niepodzielna przez 32 należy do zbioru Ω. Każda liczba naturalna podzielna przez 64 i niepodzielna przez 512 należy do zbioru Ω. Czy liczby postaci 2 4k+1 również należą do zbioru Ω? Liczba 32 = 2 5 należy do Ω, gdyż każda liczba postaci 121k+32 należy do Ω. Liczba 512 = 2 9 należy do Ω, gdyż 512 = i każda liczba postaci 81k + 26 należy do Ω. Liczba 8192 = 2 13 należy do Ω, gdyż 2 13 = i każda liczba postaci 125k + 67 należy do Ω. W podobny sposób możemy, za pomocą Maple, wykazać, że pewne inne liczby postaci 2 4k+1 również należą do Ω. Otrzymane wyniki dla takich 2 s przedstawiają poniższe tabele. s bk + r 17 25k k k k k k + 22 s bk + r k k k k k k s bk + r k k k k k k + 76 s bk + r 89? 93 25k k ? 6 Potęgi trójki Tabela 6.1. Bikwadraty modulo m = 3 s. s bikwadraty lb 1 0, , 1, 4, , 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, , 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, , 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 81, 82, 85, 88, 91, 94, 97, 100, 103, 106, 109, 112, 115, 118, 121, 124, 127, 130, 133, 136, 139, 142, 145, 148, 151, 154, 157, 160, 163, 166, 169, 172, 175, 178, 181, 184, 187, 190, 193, 196, 199, 202, 205, 208, 211, 214, 217, 220, 223, 226, 229, 232, 235, 238, s lb

14 Tabela 6.2. Elementy zbiorów E 0 (3 s ). W drugiej kolumnie są liczby b(3 s ). s b elementy lb , 8, 9, 12, 17, 18, , 8, 9, 12, 17, 18, 21, 26, 27, 30, 35, 36, 39, 44, 45, 48, 53, 54, 57, 62, 63, 66, 71, 72, , 8, 9, 12, 17, 18, 21, 26, 27, 30, 35, 36, 39, 44, 45, 48, 53, 54, 57, 62, 63, 66, 71, 72, 75, 80, 81, 84, 89, 90, 93, 98, 99, 102, 107, 108, 111, 116, 117, 120, 125, 126, 129, 134, 135, 138, 143, 144, 147, 152, 153, 156, 161, 162, 165, 170, 171, 174, 179, 180, 183, 188, 189, 192, 197, 198, 201, 206, 207, 210, 215, 216, 219, 224, 225, 228, 233, 234, Zbiory E 0 (3 5 ) oraz E 0 (3 6 ) mają odpowiednio 238 oraz 718 elementów. Z tabeli tej dowiadujemy się na przykład, że każda liczba naturalna postaci 81k + 57 należy do zbioru Ω. Lemat 6.3. Dla każdej liczby naturalnej s, suma 3 s kolejnych bikwadratów przystaje do 2 3 s 1 modulo 3 s. Dowód. Niech u = (d 1) 4, gdzie d = 3 s. Jest oczywiste, że suma 3 s kolejnych bikwadratów przystaje zawsze do u modulo 3 s. Zauważmy, że u = 1 30 (d 1)d(2d 1)(3d2 3d 1) = 1 10 (3s 1) 3 s 1 (2 3 s 1) ( (3 2s+1 3 s+1 1 ), więc 10u ( 1)3 s 1 ( 1)( 1) = 3 s s 1 (mod 3 s ) i stąd 5u 3 s 1 (mod 3 s ). Niech c będzie liczbą całkowitą taką, że 5c 1 (mod 3 s ). Oczywiście takie c istnieje, gdyż liczby 5 i 3 s są względnie pierwsze. Oczywiście 3 c. Zatem c jest postaci 3k + 1 lub 3k + 2. Jeśli c = 3k + 1, to 3 5(3k + 1) 1 i mamy sprzeczność: 3 4. Zatem c = 3k + 2. Mamy więc i to kończy dowód. u c3 s 1 = (3k + 2)3 s s 1 (mod 3 s ) Z tego lematu otrzymujemy natychmiast Stwierdzenie 6.4. Dla każdej liczby naturalnej s zachodzą równości a (3 s ) = 2 3 s 1, b (3 s ) = 3 s+1. Lemat 6.5. Dla każdej liczby naturalnej s, bikwadrat liczby całkowitej nigdy nie przystaje do liczby 2 3 s 1 modulo 3 s. Dowód. Dla s = 1 jest to oczywiste. Założmy, że s 2 i przypuśćmy, że y s 1 (mod 3 s ) dla pewnej liczby całkowitej y. Wtedy y s 1 = v3 s, gdzie v Z. Liczba y jest więc podzielna przez 3. Niech y = 3 p c, gdzie c Z, 3 c. Wtedy 3 4p c s 1 = v3 s i stąd 4p s 1 oraz 3 4p s+1 c 4 2 = 3v. Jeśli 4p s + 1 > 0, to mamy sprzeczność: 3 2. Zatem 4p s + 1 = 0 i znowu mamy sprzeczność, gdyż wtedy c 4 = 3v + 2, a bikwadrat nie przystaje do 2 modulo 3. Z powyższych dwóch lematów otrzymujemy natychmiast następujące dwa twierdzenia. 14

15 Twierdzenie 6.6. Każda potęga trójki należy do zbioru Ω. Innymi słowy, suma 3 s kolejnych bikwadratów (gdzie s 1) nigdy nie jest bikwadratem. Twierdzenie 6.7. Każda liczba postaci 3 s + k3 s+1, gdzie s 1 oraz k 0, należy do zbioru Ω. 7 Potęgi piątki Przykład 7.1. Bikwadraty modulo m = 5 s. s bikwadraty lb 1 0, , 1, 6, 11, 16, , 1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51, 56, 61, 66, 71, 76, 81, 86, 91, 96, 101, 106, 111, 116, , 1, 6, 11, 16, 21, 26, 31, 36, 41, 46, 51, 56, 61, 66, 71, 76, 81, 86, 91, 96, 101, 106, 111, 116, 121, 126, 131, 136, 141, 146, 151, 156, 161, 166, 171, 176, 181, 186, 191, 196, 201, 206, 211, 216, 221, 226, 231, 236, 241, 246, 251, 256, 261, 266, 271, 276, 281, 286, 291, 296, 301, 306, 311, 316, 321, 326, 331, 336, 341, 346, 351, 356, 361, 366, 371, 376, 381, 386, 391, 396, 401, 406, 411, 416, 421, 426, 431, 436, 441, 446, 451, 456, 461, 466, 471, 476, 481, 486, 491, 496, 501, 506, 511, 516, 521, 526, 531, 536, 541, 546, 551, 556, 561, 566, 571, 576, 581, 586, 591, 596, 601, 606, 611, 616, s lb Tabela 7.2. Elementy zbiorów E 0 (5 s ). W drugiej kolumnie są liczby b(5 s ). s b elementy lb , 4, 5, 9, 10, 11, 15, 16, 17, 22, , 4, 5, 9, 10, 11, 15, 16, 17, 22, 23, 24, 25, 28, 29, 30, 34, 35, 36, 40, 41, 42, 47, 48, 49, 50, 53, 54, 55, 59, 60, 61, 65, 66, 67, 72, 73, 74, 75, 78, 79, 80, 84, 85, 86, 90, 91, 92, 97, 98, 99, 100, 103, 104, 105, 109, 110, 111, 115, 116, 117, 122, Zbiory E 0 (5 3 ) oraz E 0 (5 4 ) mają odpowiednio 323 oraz 1623 elementów. Z tabeli tej dowiadujemy się na przykład, że każda liczba naturalna postaci 125k + 74 należy do zbioru Ω. Lemat 7.3. Dla każdej liczby naturalnej s, suma 5 s kolejnych bikwadratów przystaje do 4 5 s 1 modulo 5 s. Dowód. Niech u = (d 1) 4, gdzie d = 5 s. Jest oczywiste, że suma 5 s kolejnych bikwadratów przystaje zawsze do u modulo 5 s. Zauważmy, że u = 1 30 (d 1)d(2d 1)(3d2 3d 1) = 1 6 (5s 1) 5 s 1 (2 5 s 1) ( (3 5 2s 3 5 s 1 ), 15

16 więc 6u ( 1)5 s 1 ( 1)( 1) = 5 s s 1 (mod 3 s ) i stąd 3u 2 5 s 1 (mod 5 s ). Niech c będzie liczbą całkowitą taką, że 3c 1 (mod 5 s ). Takie c istnieje, gdyż liczby 3 i 5 s są względnie pierwsze. Oczywiście 5 c. Zatem c jest postaci 5k + 1, 5k + 2, 5k + 3 lub 5k + 4. Jeśli c = 5k + 1, to 5 3(5k + 1) 1 i mamy sprzeczność: 5 2. Jeśli c = 5k + 3, to 5 3(5k + 3) 1 i mamy sprzeczność: 5 8. Jeśli c = 5k + 4, to 5 3(5k + 4) 1 i mamy sprzeczność: Zatem c = 5k + 2. Mamy więc i to kończy dowód. u 2c5 s 1 = 2(5k + 2)5 s s 1 (mod 5 s ) Z tego lematu otrzymujemy natychmiast Stwierdzenie 7.4. Dla każdej liczby naturalnej s zachodzą równości a (5 s ) = 4 5 s 1, b (5 s ) = 5 s+1. Lemat 7.5. Dla każdej liczby naturalnej s, bikwadrat liczby całkowitej nigdy nie przystaje do liczby 4 5 s 1 modulo 5 s. Dowód. Dla s = 1 jest to oczywiste. Założmy, że s 2 i przypuśćmy, że y s 1 (mod 5 s ) dla pewnej liczby całkowitej y. Wtedy y s 1 = v5 s, gdzie v Z. Liczba y jest więc podzielna przez 5. Niech y = 5 p c, gdzie c Z, 5 c. Wtedy 5 4p c s 1 = v5 s i stąd 4p s 1 oraz 5 4p s+1 c 4 4 = 5v. Jeśli 4p s + 1 > 0, to mamy sprzeczność: 5 4. Zatem 4p s + 1 = 0 i znowu mamy sprzeczność, gdyż wtedy c 4 = 5v + 4, a bikwadrat nie przystaje do 4 modulo 5. Z powyższych dwóch lematów otrzymujemy natychmiast następujące dwa twierdzenia. Twierdzenie 7.6. Każda potęga piątki należy do zbioru Ω. Innymi słowy, suma 5 s kolejnych bikwadratów (gdzie s 1) nigdy nie jest bikwadratem. Twierdzenie 7.7. Każda liczba postaci 5 s + k5 s+1, gdzie s 1 oraz k 0, należy do zbioru Ω. 8 Następne własności liczb a(m) i b(m) Rozpoczynamy ten rozdział od następującego stwierdzenia. Stwierdzenie 8.1. Jeśli m 1 jest liczbą naturalną względnie pierwszą z 30, to a(2m 1 ) = m 1 oraz b(2m 1 ) = 4m 1. Dowód. Niech m = 2m 1, w = s 4 (m) i niech t = 1 (mod m), tzn. t jest taką 15 liczbą naturalną mniejszą od m, że 15t 1 (mod m). Oczywiście t jest nieparzyste; niech t = 2k + 1. Mamy wtedy 15w m 1 m 1 (mod 2m 1 ) i stąd w tm 1 = (2k + 1)m 1 = mk + m 1 m 1 (mod m). Zatem a(m) = m 1 i b(m) = m [m, a(m)]/a(m) = m [2m 1, m 1 ]/m 1 = 2m = 4m 1. 16

17 W podobny sposób dowodzimy, że jeśli m 1 jest liczbą naturalną względnie pierwszą z 30 oraz m jest podaną wielokrotnością liczby m 1, to liczby a(m) i b(m) są takie jak w poniższej tabeli. Tabela 8.2. m a(m) b(m) 3m 1 2m 1 9m 1 5m 1 4m 1 25m 1 6m 1 m 1 36m 1 m a(m) b(m) 10m 1 3m 1 100m 1 15m 1 7m 1 225m 1 30m 1 29m 1 900m 1 Podane przykłady są szczególnymi przypadkami następującego stwierdzenia. Stwierdzenie 8.3. Niech u = 2 i 3 j 5 k, gdzie i 0, j 0, k 0 oraz niech m 1 będzie liczbą naturalną względnie pierwszą z 30. Wtedy ) ) a (um 1 = a(u)m 1, b (um 1 = b(u)m 1. Dowód. Niech d = nwd(u, 30), uαd, 30 = βd, α, β N. Wtedy liczby β, u są względnie pierwsze. Istotnie, przypuśćmy, że istnieje liczba pierwsza p taka, że p u oraz p β. Wtedy p 30 (gdyż β 30) oraz p u, a zatem p d = nwd(30, u) i stąd otrzymujemy sprzeczność: p Istnieje więc r {1, 2,..., u 1} takie, że rβ 1 (mod u). Mamy zatem u = αd = 30 βd α 1 αr (mod u) i stąd otrzymujemy β a(u) s 4 (u) = u 30 (u + 1)(2u + 1)(3u2 + 3u 1) αr (mod u), a zatem αr = a(u) + vu, gdzie v Z. Z tego, że β 30 oraz nwd(30, m 1 ) = 1 wynika, że nwd(β, m 1 ) = 1. Ale nwd(β, u) = 1, więc nwd(β, um 1 ) = 1. Istnieje więc t {1, 2,..., um 1 1} takie, że tβ 1 (mod um 1 ). Wtedy tβ 1 (mod u), a więc t r (mod u). Mamy więc pewną równość postaci t = su + r, w której s jest jakąś liczbą całkowitą. Oznaczmy: m = um 1. Mamy teraz modulo m : ) a(m) = a (um 1 u m 30 1(m + 1)(2m + 1)(3m 2 + 3m 1) αalphatm 1 (m + 1)(2m + 1)(3m 2 + 3m 1) tm 1 ( ) = α(su + r)m 1 = αrm 1 sm αr m 1 ( ) = a(u) + vu m 1 = a(u)m 1 + vm a(u)m 1. Wykazaliśmy więc, że a(um 1 ) = a(u)m 1. Mamy teraz: b(um 1 ) = [um 1, a(um 1 )] a(um 1 ) um 1 = [um 1, a(u)m 1 ] um 1 = a(u)m 1 17 [u, a(u)] um 1 = b(u)m 1. a(u)

18 To kończy dowód. Niech m = um 1, gdzie u = 2 i 3 j 5 k, i 0, j 0, k 0 oraz m 1 jest liczbą naturalną względnie pierwszą z 30. Chcąc obliczyć liczby a(m) oraz b(m) wystarczy, na mocy Stwierdzenia 8.3, znać tylko liczby a(u) oraz b(u). Jeśli i = j = k = 0, to u = 1 i wtedy a(u) = b(u) = 1. Znamy liczby a(u) oraz b(u) w przypadku, gdy dokładnie jedna z liczb i, j, k jest większa od zera. Przypomnijmy (patrz Stwierdzenia 5.4, 6.4 oraz 7.4): : Stwierdzenie 8.4. Jeśli s 1, to ) ) (1) a (2 s = 2 s 1, b (2 s = 2 s+1 ; ) ) (2) a (3 s = 2 3 s 1, b (3 s = 3 s+1 ; ) ) (3) a (5 s = 4 5 s 1, b (5 s = 5 s+1. Teraz rozpatrzymy pozostałe cztery przypadki. Stwierdzenie 8.5. Jeśli u = 2 i 3 j 5 k, gdzie i 1, j 1, k 1, to a(u) = 29 u 30 oraz b(u) = 30u. Dowód. W tym przypadku u jest podzielne przez 30 i modulo u mamy Stąd dalej otrzymujemy a(u) u 30 u u 30 = (30 1) u 30 = 29 u 30. b(u) = [a(u) u] a(u) u = [ 29 2 i 1 3 j 1 5 k 1, 2 i 3 j 5 k] 29 2 i 1 3 j 1 5 k 1 u = 29 2 i 3 j 5 k u = 30u 29 2 i 1 3 j 1 5k 1 i to kończy dowód. Stwierdzenie 8.6. Jeśli u = 2 i 3 j, gdzie i 1, j 1, to a(u) = 2 i 1 3 j 1 oraz b(u) = 6u. Dowód. W tym przypadku u jest podzielne przez 6 i modulo u mamy 5a(u) u u u = 5 u, a więc a(u) = i 1 3 j 1 [a(u) u]. Stąd dalej otrzymujemy b(u) = u = a(u) [ 2 i 1 3 j 1, 2 i 3 j ] u = 2i 3 j u = 6u. 2 i 1 3 j 1 2 i 1 3 j 1 Stwierdzenie 8.7. Jeśli u = 2 i 5 k, gdzie i 1, k 1, to a(u) = 3 2 i 1 5 k 1 oraz b(u) = 10u. 18

19 Dowód. W tym przypadku u jest podzielne przez 10 i modulo u mamy 3a(u) u u u = (10 1) u = 9 u, a więc a(u) = i 1 5 k 1. Stąd dalej otrzymujemy [a(u) u] b(u) = u = [3 2i 1 5 k 1, 2 i 5 k ] u = 3 2i 5 k u = 10u. a(u) 3 2 i 1 5 k i 1 5 k 1 Stwierdzenie 8.8. Jeśli u = 3 j 5 k, gdzie i 1, k 1, to a(u) = 7 3 j 1 5 k 1 oraz b(u) = 15u. Dowód. W tym przypadku u jest podzielne przez 15 i modulo u mamy 2a(u) u u u = (15 1) u = 14 u, a więc a(u) = j 1 5 k 1. Stąd dalej otrzymujemy [a(u) u] b(u) = u = [7 3j 1 5 k 1, 3 j 5 k ] u = 7 3j 5 k u = 15u. a(u) 7 3 j 1 5 k j 1 5 k 1 Z powyższych stwierdzeń otrzymujemy: Stwierdzenie 8.9. Jeśli u = 2 i 3 j 5 k, i 0, j 0, k 0, to b(u) = du, gdzie d = nwd(u, 30). Stąd następnie wynika: Twierdzenie Dla dowolnej liczby naturalnej m zachodzi równość b(m) = nwd(30, m) m. Dowód. Niech m = um 1, gdzie u = 2 i 3 j 5 k, i 0, j 0, k 0 oraz m 1 jest liczbą naturalną względnie pierwszą z 30. Ponieważ nwd(30, m 1 ) = 1, więc d = nwd(30, m) = nwd(30, um 1 ) = nwd(30, u) Mamy więc (na mocy poprzednich stwierdzeń) b(m) = b(um 1 ) = b(u)m 1 = dum 1 = dm. 19

20 9 Tablice zbiorów E(p) p cc lb , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Tabela 9.1. Zbiory E(p) z elementami mniejszymi lub równymi p cc p cc p cc Zbadano pod tym względem wszystkie liczby pierwsze p mniejsze od

21 10 Tablice zbiorów E(p 2 ) p p 2 cc lb , 13, 20, 27, 34, , 11, 21, 22, 32, 33, 43, 44, 54, 55, 65, 66, 76, 77, 87, 88, 98, 99, 109, , 12, 22, 25, 35, 38, 48, 51, 61, 64, 74, 77, 87, 90, 100, 103, 113, 116, 126, 129, 139, 142, 152, 155, , 18, 27, 37, 46, 56, 65, 75, 84, 94, 103, 113, 122, 132, 141, 151, 160, 170, 179, 189, 198, 208, 217, 227, 236, 246, 255, 265, 274, 284, 293, 303, 312, 322, 331, 341, , 22, 23, 45, 46, 65, 68, 69, 88, 91, 92, 111, 114, 115, 134, 137, 138, 157, 160, 161, 180, 183, 184, 203, 206, 207, 226, 229, 230, 249, 252, 253, 272, 275, 276, 295, 298, 299, 318, 321, 322, 341, 344, 345, 364, 367, 368, 387, 390, 391, 410, 413, 414, 433, 436, 437, 456, 459, 460, 479, 482, 483, 502, 505, 506, , 28, 56, 57, 85, 86, 114, 115, 143, 144, 172, 173, 201, 202, 230, 231, 259, 260, 288, 289, 317, 318, 346, 347, 375, 376, 404, 405, 433, 434, 462, 463, 491, 492, 520, 521, 549, 550, 578, 579, 607, 608, 636, 637, 665, 666, 694, 695, 723, 724, 752, 753, 781, 782, 810, 811, , 31, 61, 62, 92, 93, 123, 124, 154, 155, 185, 186, 216, 217, 247, 248, 278, 279, 309, 310, 340, 341, 371, 372, 402, 403, 433, 434, 464, 465, 495, 496, 526, 527, 557, 558, 588, 589, 619, 620, 650, 651, 681, 682, 712, 713, 743, 744, 774, 775, 805, 806, 836, 837, 867, 868, 898, 899, 929, , 73, 110, 147, 184, 221, 258, 295, 332, 369, 406, 443, 480, 517, 554, 591, 628, 665, 702, 739, 776, 813, 850, 887, 924, 961, 998, 1035, 1072, 1109, 1146, 1183, 1220, 1257, 1294, , 82, 123, 164, 205, 246, 287, 328, 369, 410, 451, 492, 533, 574, 615, 656, 697, 738, 779, 820, 861, 902, 943, 984, 1025, 1066, 1107, 1148, 1189, 1230, 1271, 1312, 1353, 1394, 1435, 1476, 1517, 1558, 1599,

22 Zbiory E(p 2 ) z elementami mniejszymi lub równymi p p 2 cc lb , 42, 43, 55, 85, 86, 98, 128, 129, 141, 171, 172, 184, 214, 215, 227, 257, 258, 270, 300, 301, 313, 343, 344, 356, 386, 387, 399, 429, 430, 442, 472, 473, 485, 515, 516, 528, 558, 559, 571, 601, 602, 614, 644, 645, 657, 687, 688, 700, 730, 731, 743, 773, 774, 786, 816, 817, 829, 859, 860, 872, 902, 903, 915, 945, 946, 958, 988, , 46, 47, 66, 93, 94, 113, 140, 141, 160, 187, 188, 207, 234, 235, 254, 281, 282, 301, 328, 329, 348, 375, 376, 395, 422, 423, 442, 469, 470, 489, 516, 517, 536, 563, 564, 583, 610, 611, 630, 657, 658, 677, 704, 705, 724, 751, 752, 771, 798, 799, 818, 845, 846, 865, 892, 893, 912, 939, 940, 986, , 53, 105, 106, 158, 159, 211, 212, 264, 265, 317, 318, 370, 371, 423, 424, 476, 477, 529, 530, 582, 583, 635, 636, 688, 689, 741, 742, 794, 795, 847, 848, 900, 901, 953, , 59, 117, 118, 176, 177, 235, 236, 294, 295, 353, 354, 412, 413, 471, 472, 530, 531, 589, 590, 648, 649, 707, 708, 766, 767, 825, 826, 884, 885, 943, , 61, 121, 122, 182, 183, 243, 244, 304, 305, 365, 366, 426, 427, 487, 488, 548, 549, 609, 610, 670, 671, 731, 732, 792, 793, 853, 854, 914, 915, 975, , 66, 67, 98, 133, 134, 165, 200, 201, 232, 267, 268, 299, 334, 335, 366, 401, 402, 433, 468, 469, 500, 535, 536, 567, 602, 603, 634, 669, 670, 701, 736, 737, 768, 803, 804, 835, 870, 871, 902, 937, 938, , 112, 141, 183, 212, 254, 283, 325, 354, 396, 425, 467, 496, 538, 567, 609, 638, 680, 709, 751, 780, 822, 851, 893, 922, 964, , 68, 73, 78, 141, 146, 151, 214, 219, 224, 287, 292, 297, 360, 365, 370, 433, 438, 443, 506, 511, 516, 579, 584, 589, 652, 657, 662, 725, 730, 735, 798, 803, 808, 871, 876, 881, 944, 949, , 79, 157, 158, 236, 237, 315, 316, 394, 395, 473, 474, 552, 553, 631, 632, 710, 711, 789, 790, 868, 869, 947, , 165, 248, 331, 414, 497, 580, 663, 746, 829, 912, , 178, 267, 356, 445, 534, 623, 712, 801, 890, , 194, 291, 388, 485, 582, 679, 776, 873, , 201, 302, 403, 504, 605, 706, 807, , 103, 205, 206, 308, 309, 411, 412, 514, 515, 617, 618, 720, 721, 823, 824, 926, , 107, 213, 214, 320, 321, 427, 428, 534, 535, 641, 642, 748, 749, 855, 856, 962, , 109, 217, 218, 326, 327, 435, 436, 544, 545, 653, 654, 762, 763, 871, 872, 980, , 226, 339, 452, 565, 678, 791,

23 11 Tablice zbiorów E(p 3 ) Zbiory E(p 3 ) z elementami mniejszymi lub równymi p p 3 cc lb , 13, 20, 27, 34, 41, 48, 55, 62, 69, 76, 83, 90, 97, 104, 111, 118, 125, 132, 139, 146, 153, 160, 167, 174, 181, 188, 195, 202, 209, 216, 223, 230, 237, 244, 251, 258, 265, 272, 279, 286, 293, 300, 307, 314, 321, 328, , 11, 21, 22, 32, 33, 43, 44, 54, 55, 65, 66, 76, 77, 87, 88, 98, 99, 109, 110, 120, 121, 131, 132, 142, 143, 153, 154, 164, 165, 175, 176, 186, 187, 197, 198, 208, 209, 219, 220, 230, 231, 241, 242, 252, 253, 263, 264, 274, 275, 285, 286, 296, 297, 307, 308, 318, 319, 329, 330, 340, 341, 351, 352, 362, 363, 373, 374, 384, 385, 395, 396, 406, 407, 417, 418, 428, 429, 439, 440, 450, 451, 461, 462, 472, 473, 483, 484, 494, 495, 505, 506, 516, 517, 527, 528, 538, 539, 549, 550, 560, 561, 571, 572, 582, 583, 593, 594, 604, 605, 615, 616, 626, 627, 637, 638, 648, 649, 659, 660, 670, 671, 681, 682, 692, 693, 703, 704, 714, 715, 725, 726, 736, 737, 747, 748, 758, 759, 769, 770, 780, 781, 791, 792, 802, 803, 813, 814, 824, 825, 835, 836, 846, 847, 857, 858, 868, 869, 879, 880, 890, 891, 901, 902, 912, 913, 923, 924, 934, 935, 945, 946, 956, 957, 967, 968, 978, 979, 989, 990, , 12, 22, 25, 35, 38, 48, 51, 61, 64, 74, 77, 87, 90, 100, 103, 113, 116, 126, 129, 139, 142, 152, 155, 165, 168, 178, 181, 191, 194, 204, 207, 217, 220, 230, 233, 243, 246, 256, 259, 269, 272, 282, 285, 295, 298, 308, 311, 321, 324, 334, 337, 347, 350, 360, 363, 373, 376, 386, 389, 399, 402, 412, 415, 425, 428, 438, 441, 451, 454, 464, 467, 477, 480, 490, 493, 503, 506, 516, 519, 529, 532, 542, 545, 555, 558, 568, 571, 581, 584, 594, 597, 607, 610, 620, 623, 633, 636, 646, 649, 659, 662, 672, 675, 685, 688, 698, 701, 711, 714, 724, 727, 737, 740, 750, 753, 763, 766, 776, 779, 789, 792, 802, 805, 815, 818, 828, 831, 841, 844, 854, 857, 867, 870, 880, 883, 893, 896, 906, 909, 919, 922, 932, 935, 945, 948, 958, 961, 971, 974, 984, 987, 997, , 18, 27, 37, 46, 56, 65, 75, 84, 94, 103, 113, 122, 132, 141, 151, 160, 170, 179, 189, 198, 208, 217, 227, 236, 246, 255, 265, 274, 284, 293, 303, 312, 322, 331, 341, 350, 360, 369, 379, 388, 398, 407, 417, 426, 436, 445, 455, 464, 474, 483, 493, 502, 512, 521, 531, 540, 550, 559, 569, 578, 588, 597, 607, 616, 626, 635, 645, 654, 664, 673, 683, 692, 702, 711, 721, 730, 740, 749, 759, 768, 778, 787, 797, 806, 816, 825, 835, 844, 854, 863, 873, 882, 892, 901, 911, 920, 930, 939, 949, 958, 968, 977, 987, , 22, 23, 42, 45, 46, 65, 68, 69, 88, 91, 92, 111, 114, 115, 134, 137, 138, 157, 160, 161, 180, 183, 184, 203, 206, 207, 226, 229, 230, 249, 252, 253, 272, 275, 276, 295, 298, 299, 318, 321, 322, 341, 344, 345, 364, 367, 368, 387, 390, 391, 410, 413, 414, 433, 436, 437, 456, 459, 460, 479, 482, 483, 502, 505, 506, 525, 528, 529, 548, 551, 552, 574, 575, 594, 597, 598, 617, 620, 621, 640, 643, 644, 663, 666, 667, 686, 689, 690, 709, 712, 713, 732, 735, 736, 755, 758, 759, 778, 781, 782, 801, 804, 805, 824, 827, 828, 847, 850, 851, 870, 873, 874, 893, 896, 897, 916, 919, 920, 939, 942, 943, 962, 965, 966, 985, 988,

24 Zbiory E(p 3 ) z elementami mniejszymi lub równymi p p 3 cc lb , 28, 56, 57, 85, 86, 114, 115, 143, 144, 172, 173, 201, 202, 230, 231, 259, 260, 288, 289, 317, 318, 346, 347, 375, 376, 404, 405, 433, 434, 462, 463, 491, 492, 520, 521, 549, 550, 578, 579, 607, 608, 636, 637, 665, 666, 694, 695, 723, 724, 752, 753, 781, 782, 810, 811, 839, 840, 868, 869, 897, 898, 926, 927, 955, 956, 984, , 31, 61, 62, 92, 93, 123, 124, 154, 155, 185, 186, 216, 217, 247, 248, 278, 279, 309, 310, 340, 341, 371, 372, 402, 403, 433, 434, 464, 465, 495, 496, 526, 527, 557, 558, 588, 589, 619, 620, 650, 651, 681, 682, 712, 713, 743, 744, 774, 775, 805, 806, 836, 837, 867, 868, 898, 899, 929, 930, 960, 961, 991, , 73, 110, 147, 184, 221, 258, 295, 332, 369, 406, 443, 480, 517, 554, 591, 628, 665, 702, 739, 776, 813, 850, 887, 924, 961, Eliminacje Rozpatrzmy wszystkie liczby naturalne z przedziału [2, 100]. Wykażemy, że każda z tych liczb należy do zbioru Ω. Oczywiście 2 Ω. Po odrzuceniu tych liczb naturalnych, które należą do odpowiednich zbiorów postaci E(2 s ), E(3 s ) oraz E(5 s ), zostaną trzy liczby: 31, 32, 33. Liczby 32, 33 należą do zbioru E(121), a liczba 31 należy do zbioru E(67). Każda więc liczba naturalna z przedziału [2, 100] należy do zbioru Ω. Rozpatrzmy teraz przedział [101, 480]. Wykażemy, że wszystkie liczby naturalne z tego przedziału również należą do zbioru Ω. Eliminujemy te liczby naturalnn, które należą do odpowiednich zbiorów postaci E(2 s ), E(3 s ) oraz E(5 s ). Pozostanie 14 liczb: 131, 163, 193, 194, 195, 226, 227, 257, 258, 289, 321, 418, 419, 451. Eliminujemy te liczby naturalne, o których mowa w Twierdzeniu 3.4. Zostały 4 liczby: 195, 227, 257 oraz 289. Za pomocą komputera stwierdzamy, że 195 E(7 3 ), 227 E(19 2 ), 257 E(43 2 ), 289 E(29 2 ). Każda zatem liczba naturalna z przedziału [2, 480] należy do zbioru Ω. Udowodniliśmy: Stwierdzenie Jeśli 2 n 480, to suma n kolejnych bikwadratów nigdy nie jest bikwadratem. Rozpatrzmy teraz przedział [2, 1000]. Robiąc eliminacje podobne do poprzednich zostanie 7 liczb: 481, 514, 544, 546, 833, 931 oraz 994. Za pomocą komputera stwierdzamy, że 514 E(103 2 ), 544 E(109 2 ), 833 E(139 2 ), 931 E(263 2 ), 994 E(199 2 ). 24

25 Pozostały dwie liczby: 481 = oraz 546 = Nie potrafię rozstrzygnąć czy te dwie liczby należą do zbioru Ω. To samo dotyczy następujących liczb naturalnych mniejszych od : 1568 = 2 7 2, 1795 = 5 359, 2371 = 2371, 2657 = 2657, 3169 = 3169, 3458 = , 3683 = , 3939 = , 4801 = 4801, 4802 = 2 7 4, 5089 = 7 727, 5314 = , 5506 = , 5569 = 5569, 5987 = 5987, 6113 = 6113, 6207 = , 6338 = , 6594 = , 6818 = , 7202 = , 7395 = , 7427 = , 7651 = , 7714 = , 7907 = 7907, 7971 = , 8258 = , 8545 = , 9121 = , 9443 = , 9571 = Uwagi i komentarze Przeglądając tablice zbiorów postaci E(p 2 ) zauważmy, że często p 1 E(p 2 ). Tak jest na przykład dla p = 7, 11, 13, 19, 23, 29, 31, 37, 43, 47, 53, 59, 62, 67, 71, 79, 83. Tak nie jest dla p = 17, 41, 73, 89, 97 i w tych przypadkach mamy podzielność: 8 p 1. Sprawdziłem, że to zachodzi dla wszystkich liczby pierwszych większych od 5 i mniejszych od 263. Czy to ma jakieś uogólnienie? Nie potrafię tego udowodnić. Można również zauważyć, że jesli 8 p 1, to liczby 2p 1, 3p 1 i ogólniej liczby postaci kp 1, gdzie p k, należą do zbioru E(p 2 ). Nie potrafię tego udowodnić. Literatura [1] A. Nowicki, Liczby Mersenne a, Fermata i Inne Liczby, Podróże po Imperium Liczb, cz.8. Wydawnictwo OWSIiZ, Toruń, Olsztyn. Wydanie Drugie [2] A. Nowicki, Sześciany, Bikwadraty i Wyższe Potęgi, Podróże po Imperium Liczb, cz.9. Wydanie Drugie, Wydawnictwo OWSIiZ, Toruń, Olsztyn, [3] J. O Flynn, When is the sum of consecutive nth powers an nth power?, Mathematical Gazette 92(523)(2008) Nicolaus Copernicus University, Faculty of Mathematics and Computer Science, Toruń, Poland, ( anow@mat.uni.torun.pl). 25