Podróże po Imperium Liczb

Transkrypt

1 Podróże po Imperium Liczb Część 07 Ciągi rekurencyjne Rozdział Całkowitość wyrazów pewnych ciągów rekurencyjnych Andrzej Nowicki 17 maja 2012, Spis treści 12 Całkowitość wyrazów pewnych ciągów rekurencyjnych Ciąg x n+1 = f(n)x n + g(n) Ciąg x n+2 = f(n)x n+1 + g(n)x n Ciąg x n+2 = (x s n+1 + 1)/x n Ciąg x n+2 = (x 2 n+1 + p)/x n Ciąg x n+3 = (x n+1 x n+2 + p)/x n Ciągi rekurencyjne z pierwiastkami Różne ciągi 167 Wszystkie książki z serii Podróże po Imperium Liczb napisano w edytorze L A TEX Spisy treści tych książek oraz pewne wybrane rozdziały moża znaleźć na internetowej stronie autora:

2

3 12 Całkowitość wyrazów pewnych ciągów rekurencyjnych W rozdziałach 10 i 11 zajmowaliśmy się problemem całkowitości wyrazów pewnych jednorodnych ciągów rekurencyjnych W tym rozdziale zajmujemy się tym samym problemem dla innych ciągów rekurencyjnych 121 Ciąg x n+1 = f(n)x n + g(n) 1211 Niech x 1 = 1 oraz x n = 4n 6 x n 1 n dl 2 Wykazać, że wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami naturalnymi Wsk x n+1 = 1 ( ) 2n ([Bryn] 515b) n + 1 n 1212 Niech x 1 = 1, x n = 4n 2 x n 1 Wtedy x 2000 jest liczbą całkowitą n ([MG] 501(2000) s533) 1213 Niech x 1 = 2 oraz x n = 4n 2 x n 1 n dl 2 Wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami naturalnymi ( ) 2n Dowód = ([OM] Irlandia 1994, [Pa97], [Crux] 1998 s458) n 1214 Niech k N i niech x 1 = 1, x n+1 = nx n + 2(n + 1) 2k n + 2 dl 1 Wszystkie wyrazy ciągu (x n ) są liczbami całkowitymi Ponadto, x n jest nieparzyste wtedy i tylko wtedy, gdy ([MM] 62(3)(1989) 199, [OM] Taiwan 1992, [Pa97]) 1215 Niech x 1 = 0, n 1 (mod 4) lub n 2 (mod 4) (n + 1) 3 x n+1 = 2n 2 (2n + 1)x n + 2(3n + 1) dl 1 Ciąg ten posiadieskończenie wiele wyrazów będących liczbami naturalnymi ([OM] Serbia-Czarnogóra 2004) 159

4 160Andrzej Nowicki, Ciągi rekurencyjne 12 Całkowitość wyrazów pewnych ciągów rekurencyjnych 122 Ciąg x n+2 = f(n)x n+1 + g(n)x n 1221 Niech x 0 = x 1 = 1, (n + 1)x n+1 = (2n + 1)x n + 3nx n 1 Wszystkie wyrazy ciągu (x n ) są liczbami całkowitymi ([KoM] 1997 N149) 1222 Niech x 0 = x 1 = 1, (n + 3)x n+1 = (2n + 3)x n + 3nx n 1 Wszystkie wyrazy ciągu (x n ) są liczbami całkowitymi ([KoM] 2000(3) A233) U ([KoM]) x 2 = 2, x 3 = 4, x 4 = 9, x 5 = 21, x 6 = 51, x 7 = 127, x 8 = 323, x 9 = 835, x 10 = 2188 Można wykazać, że n x n+2 = x n+1 + x k x n k Można wykazać również, że x n = n k=0 k=0 ( n )( 2k ) k k k Niech x 2 = x 3 = 1, (n + 1)(n 2)x n+1 = n(n 2 n 1)x n (n 1) 3 x n 1 Wówczas x n jest liczbą całkowitą wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczbą pierwszą ([Mon] 106(2)(1999) 169) 123 Ciąg x n+2 = (x s n+1 + 1)/x n 1231 Niech s N i niech x 1 = x 2 = 1, x n+2 = xs n Ciąg ten posiadastępujące własności (1) Wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami naturalnymi ([Crux] 1997 s123) (2) Każde dwa sąsiednie wyrazy są względnie pierwsze (3) x n+1 jest podzielnikiem liczby x s n + 1 (4) x n x n+1 jest podzielnikiem liczby x s n + x s n D Liczby x 3 = 2, x 4 = 2 s + 1 są oczywiście naturalne Niech n 2 i załóżmy, że wszystkie wyrazy x 1, x 2,, x n+1, x n+2 są liczbami naturalnymi Wtedy x n+2 x n x s n+1 = 1 i stąd wynika, że liczby x n i x n+1 są względnie pierwsze Mamy wówczas: x n ( x x s s ) n = n s + 1 = γ nx n x s n x n x s n = γ nx n+1 + x n+1 x n 1 x s n = x n+1(γ n + x n 1 ) x s, n gdzie γ n jest pewną liczbą naturalną Ponieważ liczby x n+1 i x s n są względnie pierwsze, więc x s n jest podzielne przez x n+1 Zatem x n+3 jest liczbą naturalną i stąd (na mocy indukcji) wszystkie liczby postaci x n są naturalne Udowodniliśmy własności (1) i (2) Z równości x n+1 x n 1 x s n = 1 wynika (3) i stąd dalej (4)

5 Andrzej Nowicki, Ciągi rekurencyjne 12 Całkowitość wyrazów pewnych ciągów rekurencyjnych Niech s N, a Z i niech x 1 = 1, x 2 = a x n+2 = xs n x n Jeśli wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami całkowitymi, to a { 2, 1, 1, 2} 1233 Niech a 1 = a 2 = 1, +2 = Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą naturalną Ciąg ten jest okresowy z czystym okresem 1, 1, 2, 3, 2 Dowód Jest to wniosek z Niech a 1 = a, a 2 = b, gdzie a, b są danymi liczbami całkowitymi +2 = (1) Ciąg ten jest okresowy z czystym okresem: a, b, b + 1 a, a + b + 1, ab a + 1 b (2) Jeśli a b + 1 i b a + 1 i przy tym a 1 oraz b 1, to każdy wyraz tego ciągu jest liczbą całkowitą 1235 Niech b 1 = b 2 = 1, b n+2 = b2 n Ciąg ten posiadastępujące własności b n (1) Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą naturalną (2) Nie ma wyrazu podzielnego przez 3 (3) Ciąg (b n (mod 10)) jest okresowy z czystym okresem długości 30 (4) b 2 n + b 2 n+1 = 3b nb n+1 1 (5) b n+2 = 3b n+1 b n ([Crux] 1997 s123) (6) b n = u 2(n 2)+1, n 2, gdzie (u n ) jest ciągiem liczb Fibonacciego D Własność (1) jest konsekwencją 1231 Ciąg (b n (mod 3)) jest okresowy i jego okres jest równy 1, 1, 2, 2 Stąd wynika (2) Pozostałe własności sprawdzamy bez trudu Przykłady: n b n n b n n b n

6 162Andrzej Nowicki, Ciągi rekurencyjne 12 Całkowitość wyrazów pewnych ciągów rekurencyjnych 1236 Niech c 1 = c 2 = 1, c n+2 = c3 n c n (1) Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą naturalną (2) Każde dwa sąsiednie wyrazy są względnie pierwsze (3) Liczba c 3 n + 1 jest podzielna przez c n+1 (4) Liczba c 3 n + c 3 n jest podzielna przez c nc n+1 (5) Niech x n = c 2 nc n+1, y n = c 2 n+1, z n = c n t n = (c 3 n + c 3 n+1 + 1)/c nc n+1 Wówczas liczby x n, y n, z n są względnie pierwsze oraz ([Mat] 5/1959) x n y n + y n z n + z n x n = t n D Własności (1) (4) wynikają z 1231 Własność (5) jest łatwa do sprawdzenia Dowody znajdziemy np w [Mat] 5/1959 (zadania konkursowe 538, 539) U Wyrazy badanego ciągu szybko rosną Kilka przykładów: c 3 = 2, c 4 = 9, c 5 = 365, c 6 = , c 7 = , c 8 = Niech b 1 = b 2 = 1, b n+2 = b n Wyrazy tego ciągu nie muszą być liczbami b n całkowitymi Przykłady: b 3 = 3, b 4 = 5, b 5 = 7/3, b 6 = 13/15, b 7 = 43/35, b 8 = 339/ Niech k 2 i c 1 będą liczbami naturalnymi Niech x 0 = 1, x 1 = 1, x n+2 x n = cx k n+1 + 1, dl 0 Wykazać, że wszystkie wyrazy ciągu (x n ) są całkowite wtedy i tylko wtedy, gdy c = Ciąg x n+2 = (x 2 n+1 + p)/x n 1241 Ciąg (y n ) spełnia warunki: y 1 0, y 2 0, y n+2 = y2 n+1 + p y n, gdzie p jest daną liczbą Oznaczmy: b = y2 1 + y2 2 + p y 1 y 2 (1) Każdy wyraz ciągu (y n ) jest liczbą całkowitą wtedy i tylko wtedy, gdy liczby y 1, y 2, b są całkowite ([Balk] 1986) (2) W szczególności, jeśli y 1 = y 2 = 1 i p Z, to każdy wyraz ciągu (y n ) jest liczbą całkowitą

7 Andrzej Nowicki, Ciągi rekurencyjne 12 Całkowitość wyrazów pewnych ciągów rekurencyjnych 163 (3) Załóżmy, że każdy wyraz ciągu (y n ) jest liczbą całkowitą Czy wtedy p Z? (4) y n+2 + y n y n+1 = y2 n + y 2 n+1 + p y n y n+1 = b, dla wszystkich n 1 (5) (y n ) jest uogólnionym ciągiem Fibonacciego: ([OM] Bułgaria 1978, [Pa97]) y n+2 = by n+1 y n D Z definicji ciągu (y n ) wynika, że y n+1 y n+3 + y 2 n+1 = y 2 n+2 + p + y 2 n+1 = y 2 n+2 + y n y n+2 Stąd otrzymujemy równości y n+3 + y n+1 y n+2 = y n+2 + y n y n+1 = = y 3 + y 1 y 2 = y 2 2 +p y 1 + y 1 = y2 1 + y2 2 + p = b, y 2 y 1 y 2 z których bez trudu wykażemy wszystkie własności oprócz (3) Nie znam odpowiedzi na pytanie postawione w (3) 1242 Ciąg ( ) jest określony wzorami: a 1 = a 2 = 1, Ciąg ten posiadastępujące własności +2 = a2 n (1) a 3 = 3, a 4 = 11, a 5 = 41, a 6 = 153, a 7 = 571, a 8 = 2131, a 9 = 7953, a 10 = (2) Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą naturalną Dowód Wynika z 1241 ([Dlt] 12/1985) (3) Wszystkie wyrazy ( ) są liczbami nieparzystymi (4) Ciąg ( (mod 5)) jest okresowy z okresem 1, 1, 3 (5) Ciąg ( (mod 100)) jest okresowy Okres ma długość Ciąg (b n ) określony jest wzorami: b 1 = b 2 = 1, Ciąg ten posiadastępujące własności b n+2 = b2 n b n (1) b 3 = 4, b 4 = 19, b 5 = 91, b 6 = 436, b 7 = 2089, b 8 = (2) Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą naturalną Dowód Wynika z 1241 (3) Ciąg (b n (mod 10)) jest okresowy i jego okres jest czysty i ma długość 12 (4) Ciąg (b n (mod 100)) jest okresowy i jego okres jest czysty i ma długość Dany jest ciąg ( ) określony wzorami: a 1 = a 2 = 1, +2 = a2 n Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą całkowitą (Wynika z 1241)

8 164Andrzej Nowicki, Ciągi rekurencyjne 12 Całkowitość wyrazów pewnych ciągów rekurencyjnych 1245 Dany jest ciąg ( ) określony wzorami: a 1 = a 2 = 1, +2 = a2 n+1 2 Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą całkowitą Dokładniej: a 2n 1 = ( 1) n+1, a 2n = ( 1) n Ciąg rekurencyjny (x n ) określony jest wzorami: x 0 = 1, x 1 = 1, x n+2 x n = x 2 n+1 + x n+1 + 1, dl 0 Wykazać, że wszystkie wyrazy ciągu (x n ) są całkowite oraz, że x n+2 + x n (mod x n+1 ) dl Niech a, b będą niezerowymi liczbami całkowitymi takimi, że a = b Ciąg (x n ) określony jest wzorami: x 1 = b, x 2 = b 2 a 2, x n+2 x n = x 2 n+1 a 2(n+1), dl 1 Wykazać, że wszystkie wyrazy ciągu (x n ) są całkowite ([MM] 61(2)(1988) ) 125 Ciąg x n+3 = (x n+1 x n+2 + p)/x n 1251 Niech a 1 = a 2 = a 3 = 1 oraz +3 = dl N Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą całkowitą ([Mon] 68(4)(1961) E1431, [Mock] 1/2004) 1252 Niech a 1 = a 2 = a 3 = 1 oraz +3 = dl N Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą całkowitą ([OM] Irlandia 2002) D Można łatwo sprawdzić, że = 4 1 2, gdy n jest parzyste oraz = 2 1 2, gdy n nieparzyste 1253 Niech a 1 = a 2 = 1 oraz +3 = dl N Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą naturalną ([AnE] s82)

9 Andrzej Nowicki, Ciągi rekurencyjne 12 Całkowitość wyrazów pewnych ciągów rekurencyjnych 165 D ([AnE]) Mamy dwie równości +1 2 = , 3 = Odejmując stronami otrzymujemy równość 2 ( ) = ( ), czyli an+1+an 1 = Mamy zatem: a 2n+1 + a 2n 1 a 2n a 2n+2 + a 2n a 2n+1 = a 2n 1 + a 2n 3 a 2n 2 = = a 3 + a 1 a 2 = = 200; = a 2n + a 2n 2 a 2n 1 = = a 4 + a 2 a 3 = = 11 Wykazaliśmy więc, że a 2n+1 = 200a 2n a 2n 1, a 2n+2 = 11a 2n+1 a 2n Stąd wynika, że każde jest liczbą całkowitą Jest oczywiste, że każde jest liczbą dodatnią; jest więc liczbą naturalną Powtarzając powyższy dowód, otrzymujemy: 1254 Niech ( ) będzie ciągiem takim, że a 1, a 2, a 3 są liczbami naturalnymi oraz +3 = b dl N, gdzie b jest daną liczbą naturalną Jeżeli liczby a 2a 3 +b naturalne, to każdy wyraz tego ciągu jest liczbą naturalną a 1, a 1+a 3 a 2, a 1a 2 +a 2 a 3 +b a 1 a 3 są 1255 Niech a 1 = a 2 = 1, a 3 = 2 oraz +3 = dl N Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą naturalną ([OM] Niemcy 2002/2003) 1256 Niech a 1 = a 2 = 1, a 3 = u oraz +3 = p dl N, gdzie p, u są względnie pierwszymi liczbami naturalnymi Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą całkowitą wtedy i tylko wtedy, gdy p = ru 1, gdzie r Z ([Mon] 68(4)(1961) s379) 1257 Niech u będzie liczbą naturalną i p liczbą pierwszą Niech a 1 = a 2 = a 3 = p oraz dl N +3 = u (1) Jeśli p 3, to każde jest liczbą całkowitą wtedy i tylko wtedy, gdy p 2 u (2) Jeśli p = 2, to każde jest liczbą całkowitą wtedy i tylko wtedy, gdy p u ([MM] 61(4)(1988) )

10 166Andrzej Nowicki, Ciągi rekurencyjne 12 Całkowitość wyrazów pewnych ciągów rekurencyjnych 126 Ciągi rekurencyjne z pierwiastkami 1261 Niech x 1 = 3 oraz xn+1 = 2 x n + 3(1 + x n ) Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą naturalną ([OM] ZSRR 1986) D Łatwo sprawdzić, że x 2 = 48 oraz, że x n+2 = 14x n+1 x n Niech x 0 = 1 oraz x n+1 = 1 2 ( ) 3x n + 5x 2 n 4 Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą naturalną ([OM] WBrytania 2002) 1263 Niech x 1 = c, x n+1 = cx n + (c 2 1)(x 2 n 1) (1) Jeśli c jest liczbą naturalną, to wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami naturalnymi ([Bryn] 59, [OM] RPA 2000) (2) x n = 1 2 (pn + q n ) dl N, gdzie p = c + c 2 1, q = c c 2 1 ([Bryn] s121) 1264 Niech a 0 = 0, +1 = a 2 n + 1 Wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami całkowitymi ([MG] ) 1265 Niech m, p, a Z i niech x 0 = a oraz x n+1 = mx n + (m 2 1)(x 2 n a 2 ) + p 2 Wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami całkowitymi ([MM] 42(1969) ) 1266 Niech a N i niech x 0 = 0 oraz x n+1 = (x n + 1)a + (a + 1)x n + 2 a(a + 1)x n (x n + 1) Wykazać, że każde x n jest liczbą naturalną ([IMO] Shortlist 1983, [Djmp] 166(459)) 1267 Niech x 1 = 603, x 2 = 102 oraz x n+2 = x n + x n x n x n+1 2 Wtedy: (1) każdy wyraz x n jest liczbą naturalną; (2) istnieje nieskończenie wiele wyrazów z końcówką 2003; (3) nie ma wyrazu z końcówką 2004 ([OM] Wietnam 2004) Murray S Klamkin, Perfect squares of the form (m 2 1)a 2 n + t, [MM] 42(3)(1969)

11 Ciągi rekurencyjne 12 Całkowitość wyrazów różnych ciągów rekurencyjnych Różne ciągi 1271 Wyznaczyć liczbę takich ciągów (x n ) liczb całkowitych, że dla dowolnej liczby naturalnej n spełnione są warunki x n 1, x n+2 = x n x n Odp Jet 14 takich ciągów (Czesko-Polsko-Słowackie Zaw Mat 2006, [Zw] 2006) 1272 Niech a 1 = 2, a 2 = 500, a 3 = 2000 oraz dl 2 Wtedy: = +1 1 (1) każdy wyraz ciągu ( ) jest liczbą naturalną; (2) dzieli a 2000 ; (3) +2 = 2 +1 dl N ([OM] Słowenia 1999) 1273 Niech x 0, x 1, x 2 N i niech x n+3 = x n+2 + x n x n, n = 0, 1, 2, Opisać wszystkie takie ciągi, których wszystkie wyrazy są liczbami naturalnymi ([MOc] 2001 z79) O Istnieje pięć typów takich ciągów Są to ciągi okresowe: 1, 1, 1, 3, 5, 9, 5, 3 1, 2, 1, 4, 3, 8, 3, 4 1, 2, 2, 5, 4, 5, 2, 2 1, 4, 1, 6, 2, 9, 2, 6 2, 3, 2, 3, 2, 3, 2, 3 Trójka (x 0, x 1, x 2 ) może rozpoczynać się w każdym miejscu tych okresów 1274 Niech a 0 = 2, a 1 = 5 oraz +1 1 a 2 n = 6 n 1 dl 2 Wykazać, że wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami naturalnymi ([OM] WBrytania 1981) D Indukcyjnie wykazuje się, że = 2 n + 3 n 1275 Istnieje dokładnie jeden ciąg ( ) taki, że a 1 = 1, a 2 > 1, +1 1 = a 3 n + 1 i wszystkie wyrazy są całkowite ([OM] WBrytania 1981)

12 168 Ciągi rekurencyjne 12 Całkowitość wyrazów różnych ciągów rekurencyjnych Literatura [AnE] T Andreescu, B Enescu, Mathematical Olympiad Treasures, Birkhäuser, Boston - Basel - Berlin, 2006 [Balk] Balkan Mathematical Olympiad [Bryn] M Bryński, Olimpiady Matematyczne, tom 7, 31-35, 79/80-83/84, WSiP, Warszawa, 1995 [Crux] Crux Mathematicorum, Canadian Mathematical Society, popolarne matematyczne czasopismo kanadyjskie [Djmp] D Djukić, V Janković, I Matić, N Petrović, The IMO Compendium A Collection of Problems Suggested for the International Mathematical Olympiads: , Problem Books in Mathematics, Springer, 2006 [Dlt] Delta, popularny polski miesięcznik matematyczno-fizyczno-astronomiczny [IMO] Międzynarodowa Olimpiada Matematyczna [KoM] KöMal, Kozepiskolai Matematikai Lapok, węgierskie czasopismo matematyczne, [Mat] [MG] [MM] Matematyka, polskie czasopismo dlauczycieli The Mathematical Gazette, angielskie popularne czasopismo matematyczne Mathematics Magazine, popularne czasopismo matematyczne [MOc] Mathematical Olympiads Correspondence Program, Canada, [Mock] Mock Putnam Exam [Mon] The American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America [OM] Olimpiada Matematyczna [Pa97] H Pawłowski, Zadania z Olimpiad Matematycznych z Całego Świata, Tutor, Toruń, 1997 [Zw] Zwardoń, Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej