Podróże po Imperium Liczb
|
|
- Jolanta Wróbel
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Podróże po Imperium Liczb Część 07 Ciągi rekurencyjne Rozdział Całkowitość wyrazów pewnych ciągów rekurencyjnych Andrzej Nowicki 17 maja 2012, Spis treści 12 Całkowitość wyrazów pewnych ciągów rekurencyjnych Ciąg x n+1 = f(n)x n + g(n) Ciąg x n+2 = f(n)x n+1 + g(n)x n Ciąg x n+2 = (x s n+1 + 1)/x n Ciąg x n+2 = (x 2 n+1 + p)/x n Ciąg x n+3 = (x n+1 x n+2 + p)/x n Ciągi rekurencyjne z pierwiastkami Różne ciągi 167 Wszystkie książki z serii Podróże po Imperium Liczb napisano w edytorze L A TEX Spisy treści tych książek oraz pewne wybrane rozdziały moża znaleźć na internetowej stronie autora:
2
3 12 Całkowitość wyrazów pewnych ciągów rekurencyjnych W rozdziałach 10 i 11 zajmowaliśmy się problemem całkowitości wyrazów pewnych jednorodnych ciągów rekurencyjnych W tym rozdziale zajmujemy się tym samym problemem dla innych ciągów rekurencyjnych 121 Ciąg x n+1 = f(n)x n + g(n) 1211 Niech x 1 = 1 oraz x n = 4n 6 x n 1 n dl 2 Wykazać, że wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami naturalnymi Wsk x n+1 = 1 ( ) 2n ([Bryn] 515b) n + 1 n 1212 Niech x 1 = 1, x n = 4n 2 x n 1 Wtedy x 2000 jest liczbą całkowitą n ([MG] 501(2000) s533) 1213 Niech x 1 = 2 oraz x n = 4n 2 x n 1 n dl 2 Wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami naturalnymi ( ) 2n Dowód = ([OM] Irlandia 1994, [Pa97], [Crux] 1998 s458) n 1214 Niech k N i niech x 1 = 1, x n+1 = nx n + 2(n + 1) 2k n + 2 dl 1 Wszystkie wyrazy ciągu (x n ) są liczbami całkowitymi Ponadto, x n jest nieparzyste wtedy i tylko wtedy, gdy ([MM] 62(3)(1989) 199, [OM] Taiwan 1992, [Pa97]) 1215 Niech x 1 = 0, n 1 (mod 4) lub n 2 (mod 4) (n + 1) 3 x n+1 = 2n 2 (2n + 1)x n + 2(3n + 1) dl 1 Ciąg ten posiadieskończenie wiele wyrazów będących liczbami naturalnymi ([OM] Serbia-Czarnogóra 2004) 159
4 160Andrzej Nowicki, Ciągi rekurencyjne 12 Całkowitość wyrazów pewnych ciągów rekurencyjnych 122 Ciąg x n+2 = f(n)x n+1 + g(n)x n 1221 Niech x 0 = x 1 = 1, (n + 1)x n+1 = (2n + 1)x n + 3nx n 1 Wszystkie wyrazy ciągu (x n ) są liczbami całkowitymi ([KoM] 1997 N149) 1222 Niech x 0 = x 1 = 1, (n + 3)x n+1 = (2n + 3)x n + 3nx n 1 Wszystkie wyrazy ciągu (x n ) są liczbami całkowitymi ([KoM] 2000(3) A233) U ([KoM]) x 2 = 2, x 3 = 4, x 4 = 9, x 5 = 21, x 6 = 51, x 7 = 127, x 8 = 323, x 9 = 835, x 10 = 2188 Można wykazać, że n x n+2 = x n+1 + x k x n k Można wykazać również, że x n = n k=0 k=0 ( n )( 2k ) k k k Niech x 2 = x 3 = 1, (n + 1)(n 2)x n+1 = n(n 2 n 1)x n (n 1) 3 x n 1 Wówczas x n jest liczbą całkowitą wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczbą pierwszą ([Mon] 106(2)(1999) 169) 123 Ciąg x n+2 = (x s n+1 + 1)/x n 1231 Niech s N i niech x 1 = x 2 = 1, x n+2 = xs n Ciąg ten posiadastępujące własności (1) Wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami naturalnymi ([Crux] 1997 s123) (2) Każde dwa sąsiednie wyrazy są względnie pierwsze (3) x n+1 jest podzielnikiem liczby x s n + 1 (4) x n x n+1 jest podzielnikiem liczby x s n + x s n D Liczby x 3 = 2, x 4 = 2 s + 1 są oczywiście naturalne Niech n 2 i załóżmy, że wszystkie wyrazy x 1, x 2,, x n+1, x n+2 są liczbami naturalnymi Wtedy x n+2 x n x s n+1 = 1 i stąd wynika, że liczby x n i x n+1 są względnie pierwsze Mamy wówczas: x n ( x x s s ) n = n s + 1 = γ nx n x s n x n x s n = γ nx n+1 + x n+1 x n 1 x s n = x n+1(γ n + x n 1 ) x s, n gdzie γ n jest pewną liczbą naturalną Ponieważ liczby x n+1 i x s n są względnie pierwsze, więc x s n jest podzielne przez x n+1 Zatem x n+3 jest liczbą naturalną i stąd (na mocy indukcji) wszystkie liczby postaci x n są naturalne Udowodniliśmy własności (1) i (2) Z równości x n+1 x n 1 x s n = 1 wynika (3) i stąd dalej (4)
5 Andrzej Nowicki, Ciągi rekurencyjne 12 Całkowitość wyrazów pewnych ciągów rekurencyjnych Niech s N, a Z i niech x 1 = 1, x 2 = a x n+2 = xs n x n Jeśli wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami całkowitymi, to a { 2, 1, 1, 2} 1233 Niech a 1 = a 2 = 1, +2 = Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą naturalną Ciąg ten jest okresowy z czystym okresem 1, 1, 2, 3, 2 Dowód Jest to wniosek z Niech a 1 = a, a 2 = b, gdzie a, b są danymi liczbami całkowitymi +2 = (1) Ciąg ten jest okresowy z czystym okresem: a, b, b + 1 a, a + b + 1, ab a + 1 b (2) Jeśli a b + 1 i b a + 1 i przy tym a 1 oraz b 1, to każdy wyraz tego ciągu jest liczbą całkowitą 1235 Niech b 1 = b 2 = 1, b n+2 = b2 n Ciąg ten posiadastępujące własności b n (1) Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą naturalną (2) Nie ma wyrazu podzielnego przez 3 (3) Ciąg (b n (mod 10)) jest okresowy z czystym okresem długości 30 (4) b 2 n + b 2 n+1 = 3b nb n+1 1 (5) b n+2 = 3b n+1 b n ([Crux] 1997 s123) (6) b n = u 2(n 2)+1, n 2, gdzie (u n ) jest ciągiem liczb Fibonacciego D Własność (1) jest konsekwencją 1231 Ciąg (b n (mod 3)) jest okresowy i jego okres jest równy 1, 1, 2, 2 Stąd wynika (2) Pozostałe własności sprawdzamy bez trudu Przykłady: n b n n b n n b n
6 162Andrzej Nowicki, Ciągi rekurencyjne 12 Całkowitość wyrazów pewnych ciągów rekurencyjnych 1236 Niech c 1 = c 2 = 1, c n+2 = c3 n c n (1) Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą naturalną (2) Każde dwa sąsiednie wyrazy są względnie pierwsze (3) Liczba c 3 n + 1 jest podzielna przez c n+1 (4) Liczba c 3 n + c 3 n jest podzielna przez c nc n+1 (5) Niech x n = c 2 nc n+1, y n = c 2 n+1, z n = c n t n = (c 3 n + c 3 n+1 + 1)/c nc n+1 Wówczas liczby x n, y n, z n są względnie pierwsze oraz ([Mat] 5/1959) x n y n + y n z n + z n x n = t n D Własności (1) (4) wynikają z 1231 Własność (5) jest łatwa do sprawdzenia Dowody znajdziemy np w [Mat] 5/1959 (zadania konkursowe 538, 539) U Wyrazy badanego ciągu szybko rosną Kilka przykładów: c 3 = 2, c 4 = 9, c 5 = 365, c 6 = , c 7 = , c 8 = Niech b 1 = b 2 = 1, b n+2 = b n Wyrazy tego ciągu nie muszą być liczbami b n całkowitymi Przykłady: b 3 = 3, b 4 = 5, b 5 = 7/3, b 6 = 13/15, b 7 = 43/35, b 8 = 339/ Niech k 2 i c 1 będą liczbami naturalnymi Niech x 0 = 1, x 1 = 1, x n+2 x n = cx k n+1 + 1, dl 0 Wykazać, że wszystkie wyrazy ciągu (x n ) są całkowite wtedy i tylko wtedy, gdy c = Ciąg x n+2 = (x 2 n+1 + p)/x n 1241 Ciąg (y n ) spełnia warunki: y 1 0, y 2 0, y n+2 = y2 n+1 + p y n, gdzie p jest daną liczbą Oznaczmy: b = y2 1 + y2 2 + p y 1 y 2 (1) Każdy wyraz ciągu (y n ) jest liczbą całkowitą wtedy i tylko wtedy, gdy liczby y 1, y 2, b są całkowite ([Balk] 1986) (2) W szczególności, jeśli y 1 = y 2 = 1 i p Z, to każdy wyraz ciągu (y n ) jest liczbą całkowitą
7 Andrzej Nowicki, Ciągi rekurencyjne 12 Całkowitość wyrazów pewnych ciągów rekurencyjnych 163 (3) Załóżmy, że każdy wyraz ciągu (y n ) jest liczbą całkowitą Czy wtedy p Z? (4) y n+2 + y n y n+1 = y2 n + y 2 n+1 + p y n y n+1 = b, dla wszystkich n 1 (5) (y n ) jest uogólnionym ciągiem Fibonacciego: ([OM] Bułgaria 1978, [Pa97]) y n+2 = by n+1 y n D Z definicji ciągu (y n ) wynika, że y n+1 y n+3 + y 2 n+1 = y 2 n+2 + p + y 2 n+1 = y 2 n+2 + y n y n+2 Stąd otrzymujemy równości y n+3 + y n+1 y n+2 = y n+2 + y n y n+1 = = y 3 + y 1 y 2 = y 2 2 +p y 1 + y 1 = y2 1 + y2 2 + p = b, y 2 y 1 y 2 z których bez trudu wykażemy wszystkie własności oprócz (3) Nie znam odpowiedzi na pytanie postawione w (3) 1242 Ciąg ( ) jest określony wzorami: a 1 = a 2 = 1, Ciąg ten posiadastępujące własności +2 = a2 n (1) a 3 = 3, a 4 = 11, a 5 = 41, a 6 = 153, a 7 = 571, a 8 = 2131, a 9 = 7953, a 10 = (2) Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą naturalną Dowód Wynika z 1241 ([Dlt] 12/1985) (3) Wszystkie wyrazy ( ) są liczbami nieparzystymi (4) Ciąg ( (mod 5)) jest okresowy z okresem 1, 1, 3 (5) Ciąg ( (mod 100)) jest okresowy Okres ma długość Ciąg (b n ) określony jest wzorami: b 1 = b 2 = 1, Ciąg ten posiadastępujące własności b n+2 = b2 n b n (1) b 3 = 4, b 4 = 19, b 5 = 91, b 6 = 436, b 7 = 2089, b 8 = (2) Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą naturalną Dowód Wynika z 1241 (3) Ciąg (b n (mod 10)) jest okresowy i jego okres jest czysty i ma długość 12 (4) Ciąg (b n (mod 100)) jest okresowy i jego okres jest czysty i ma długość Dany jest ciąg ( ) określony wzorami: a 1 = a 2 = 1, +2 = a2 n Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą całkowitą (Wynika z 1241)
8 164Andrzej Nowicki, Ciągi rekurencyjne 12 Całkowitość wyrazów pewnych ciągów rekurencyjnych 1245 Dany jest ciąg ( ) określony wzorami: a 1 = a 2 = 1, +2 = a2 n+1 2 Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą całkowitą Dokładniej: a 2n 1 = ( 1) n+1, a 2n = ( 1) n Ciąg rekurencyjny (x n ) określony jest wzorami: x 0 = 1, x 1 = 1, x n+2 x n = x 2 n+1 + x n+1 + 1, dl 0 Wykazać, że wszystkie wyrazy ciągu (x n ) są całkowite oraz, że x n+2 + x n (mod x n+1 ) dl Niech a, b będą niezerowymi liczbami całkowitymi takimi, że a = b Ciąg (x n ) określony jest wzorami: x 1 = b, x 2 = b 2 a 2, x n+2 x n = x 2 n+1 a 2(n+1), dl 1 Wykazać, że wszystkie wyrazy ciągu (x n ) są całkowite ([MM] 61(2)(1988) ) 125 Ciąg x n+3 = (x n+1 x n+2 + p)/x n 1251 Niech a 1 = a 2 = a 3 = 1 oraz +3 = dl N Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą całkowitą ([Mon] 68(4)(1961) E1431, [Mock] 1/2004) 1252 Niech a 1 = a 2 = a 3 = 1 oraz +3 = dl N Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą całkowitą ([OM] Irlandia 2002) D Można łatwo sprawdzić, że = 4 1 2, gdy n jest parzyste oraz = 2 1 2, gdy n nieparzyste 1253 Niech a 1 = a 2 = 1 oraz +3 = dl N Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą naturalną ([AnE] s82)
9 Andrzej Nowicki, Ciągi rekurencyjne 12 Całkowitość wyrazów pewnych ciągów rekurencyjnych 165 D ([AnE]) Mamy dwie równości +1 2 = , 3 = Odejmując stronami otrzymujemy równość 2 ( ) = ( ), czyli an+1+an 1 = Mamy zatem: a 2n+1 + a 2n 1 a 2n a 2n+2 + a 2n a 2n+1 = a 2n 1 + a 2n 3 a 2n 2 = = a 3 + a 1 a 2 = = 200; = a 2n + a 2n 2 a 2n 1 = = a 4 + a 2 a 3 = = 11 Wykazaliśmy więc, że a 2n+1 = 200a 2n a 2n 1, a 2n+2 = 11a 2n+1 a 2n Stąd wynika, że każde jest liczbą całkowitą Jest oczywiste, że każde jest liczbą dodatnią; jest więc liczbą naturalną Powtarzając powyższy dowód, otrzymujemy: 1254 Niech ( ) będzie ciągiem takim, że a 1, a 2, a 3 są liczbami naturalnymi oraz +3 = b dl N, gdzie b jest daną liczbą naturalną Jeżeli liczby a 2a 3 +b naturalne, to każdy wyraz tego ciągu jest liczbą naturalną a 1, a 1+a 3 a 2, a 1a 2 +a 2 a 3 +b a 1 a 3 są 1255 Niech a 1 = a 2 = 1, a 3 = 2 oraz +3 = dl N Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą naturalną ([OM] Niemcy 2002/2003) 1256 Niech a 1 = a 2 = 1, a 3 = u oraz +3 = p dl N, gdzie p, u są względnie pierwszymi liczbami naturalnymi Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą całkowitą wtedy i tylko wtedy, gdy p = ru 1, gdzie r Z ([Mon] 68(4)(1961) s379) 1257 Niech u będzie liczbą naturalną i p liczbą pierwszą Niech a 1 = a 2 = a 3 = p oraz dl N +3 = u (1) Jeśli p 3, to każde jest liczbą całkowitą wtedy i tylko wtedy, gdy p 2 u (2) Jeśli p = 2, to każde jest liczbą całkowitą wtedy i tylko wtedy, gdy p u ([MM] 61(4)(1988) )
10 166Andrzej Nowicki, Ciągi rekurencyjne 12 Całkowitość wyrazów pewnych ciągów rekurencyjnych 126 Ciągi rekurencyjne z pierwiastkami 1261 Niech x 1 = 3 oraz xn+1 = 2 x n + 3(1 + x n ) Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą naturalną ([OM] ZSRR 1986) D Łatwo sprawdzić, że x 2 = 48 oraz, że x n+2 = 14x n+1 x n Niech x 0 = 1 oraz x n+1 = 1 2 ( ) 3x n + 5x 2 n 4 Każdy wyraz tego ciągu jest liczbą naturalną ([OM] WBrytania 2002) 1263 Niech x 1 = c, x n+1 = cx n + (c 2 1)(x 2 n 1) (1) Jeśli c jest liczbą naturalną, to wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami naturalnymi ([Bryn] 59, [OM] RPA 2000) (2) x n = 1 2 (pn + q n ) dl N, gdzie p = c + c 2 1, q = c c 2 1 ([Bryn] s121) 1264 Niech a 0 = 0, +1 = a 2 n + 1 Wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami całkowitymi ([MG] ) 1265 Niech m, p, a Z i niech x 0 = a oraz x n+1 = mx n + (m 2 1)(x 2 n a 2 ) + p 2 Wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami całkowitymi ([MM] 42(1969) ) 1266 Niech a N i niech x 0 = 0 oraz x n+1 = (x n + 1)a + (a + 1)x n + 2 a(a + 1)x n (x n + 1) Wykazać, że każde x n jest liczbą naturalną ([IMO] Shortlist 1983, [Djmp] 166(459)) 1267 Niech x 1 = 603, x 2 = 102 oraz x n+2 = x n + x n x n x n+1 2 Wtedy: (1) każdy wyraz x n jest liczbą naturalną; (2) istnieje nieskończenie wiele wyrazów z końcówką 2003; (3) nie ma wyrazu z końcówką 2004 ([OM] Wietnam 2004) Murray S Klamkin, Perfect squares of the form (m 2 1)a 2 n + t, [MM] 42(3)(1969)
11 Ciągi rekurencyjne 12 Całkowitość wyrazów różnych ciągów rekurencyjnych Różne ciągi 1271 Wyznaczyć liczbę takich ciągów (x n ) liczb całkowitych, że dla dowolnej liczby naturalnej n spełnione są warunki x n 1, x n+2 = x n x n Odp Jet 14 takich ciągów (Czesko-Polsko-Słowackie Zaw Mat 2006, [Zw] 2006) 1272 Niech a 1 = 2, a 2 = 500, a 3 = 2000 oraz dl 2 Wtedy: = +1 1 (1) każdy wyraz ciągu ( ) jest liczbą naturalną; (2) dzieli a 2000 ; (3) +2 = 2 +1 dl N ([OM] Słowenia 1999) 1273 Niech x 0, x 1, x 2 N i niech x n+3 = x n+2 + x n x n, n = 0, 1, 2, Opisać wszystkie takie ciągi, których wszystkie wyrazy są liczbami naturalnymi ([MOc] 2001 z79) O Istnieje pięć typów takich ciągów Są to ciągi okresowe: 1, 1, 1, 3, 5, 9, 5, 3 1, 2, 1, 4, 3, 8, 3, 4 1, 2, 2, 5, 4, 5, 2, 2 1, 4, 1, 6, 2, 9, 2, 6 2, 3, 2, 3, 2, 3, 2, 3 Trójka (x 0, x 1, x 2 ) może rozpoczynać się w każdym miejscu tych okresów 1274 Niech a 0 = 2, a 1 = 5 oraz +1 1 a 2 n = 6 n 1 dl 2 Wykazać, że wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami naturalnymi ([OM] WBrytania 1981) D Indukcyjnie wykazuje się, że = 2 n + 3 n 1275 Istnieje dokładnie jeden ciąg ( ) taki, że a 1 = 1, a 2 > 1, +1 1 = a 3 n + 1 i wszystkie wyrazy są całkowite ([OM] WBrytania 1981)
12 168 Ciągi rekurencyjne 12 Całkowitość wyrazów różnych ciągów rekurencyjnych Literatura [AnE] T Andreescu, B Enescu, Mathematical Olympiad Treasures, Birkhäuser, Boston - Basel - Berlin, 2006 [Balk] Balkan Mathematical Olympiad [Bryn] M Bryński, Olimpiady Matematyczne, tom 7, 31-35, 79/80-83/84, WSiP, Warszawa, 1995 [Crux] Crux Mathematicorum, Canadian Mathematical Society, popolarne matematyczne czasopismo kanadyjskie [Djmp] D Djukić, V Janković, I Matić, N Petrović, The IMO Compendium A Collection of Problems Suggested for the International Mathematical Olympiads: , Problem Books in Mathematics, Springer, 2006 [Dlt] Delta, popularny polski miesięcznik matematyczno-fizyczno-astronomiczny [IMO] Międzynarodowa Olimpiada Matematyczna [KoM] KöMal, Kozepiskolai Matematikai Lapok, węgierskie czasopismo matematyczne, [Mat] [MG] [MM] Matematyka, polskie czasopismo dlauczycieli The Mathematical Gazette, angielskie popularne czasopismo matematyczne Mathematics Magazine, popularne czasopismo matematyczne [MOc] Mathematical Olympiads Correspondence Program, Canada, [Mock] Mock Putnam Exam [Mon] The American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America [OM] Olimpiada Matematyczna [Pa97] H Pawłowski, Zadania z Olimpiad Matematycznych z Całego Świata, Tutor, Toruń, 1997 [Zw] Zwardoń, Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej
Podróże po Imperium Liczb
Podróże po Imperium Liczb Część 09. Sześciany, Bikwadraty i Wyższe Potęgi Rozdział. Sześciany Andrzej Nowicki 24 kwietnia 202, http://www.mat.uni.torun.pl/~anow Spis treści Sześciany 5. Cyfry sześcianów..................................
Bardziej szczegółowoPodróże po Imperium Liczb
Podróże po Imperium Liczb Część 15. Liczby, Funkcje, Ciągi, Zbiory, Geometria Rozdział. Ciągi komplementarne Andrzej Nowicki 16 kwietnia 013, http://www.mat.uni.torun.pl/~anow Spis treści Ciągi komplementarne
Bardziej szczegółowoDwa równania kwadratowe z częścią całkowitą
Dwa równania kwadratowe z częścią całkowitą Andrzej Nowicki Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet M. Kopernika w Toruniu anow @ mat.uni.torun.pl 4 sierpnia 00 Jeśli r jest liczbą rzeczywistą, to
Bardziej szczegółowoPodróże po Imperium Liczb
Podróże po Imperium Liczb Część 06. Podzielność w Zbiorze Liczb Całkowitych Rozdział 3 3. Liczby względnie pierwsze Andrzej Nowicki 10 maja 2012, http://www.mat.uni.torun.pl/~anow Spis treści 3 Liczby
Bardziej szczegółowoPodróże po Imperium Liczb
Podróże po Imperium Liczb Część 05. Funkcje Arytmetyczne Rozdział 4 4. Liczba dzielników naturalnych Andrzej Nowicki 10 maja 2012, http://www.mat.uni.torun.pl/~anow Spis treści 4 Liczba dzielników naturalnych
Bardziej szczegółowoPodróże po Imperium Liczb
Podróże po Imperium Liczb Część 06. Podzielność w Zbiorze Liczb Całkowitych Rozdział 10 10. Sporadyczne ciągi arytmetyczne Andrzej Nowicki 10 maja 2012, http://www.mat.uni.torun.pl/~anow Spis treści 10
Bardziej szczegółowoZadania do samodzielnego rozwiązania
Zadania do samodzielnego rozwiązania I. Podzielność liczb całkowitych 1. Pewna liczba sześciocyfrowa a kończy się cyfrą 5. Jeśli tę cyfrę przestawimy na miejsce pierwsze ze strony lewej, to otrzymamy nową
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania z teorii liczb
Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę
Bardziej szczegółowoPodróże po Imperium Liczb
Podróże po Imperium Liczb Część 03. Liczby Kwadratowe Rozdział 3 3. Sumy dwóch kwadratów Andrzej Nowicki 27 kwietnia 2013, http://www.mat.uni.torun.pl/~anow Spis treści 3 Sumy dwóch kwadratów 49 3.1 Warunki
Bardziej szczegółowoPodróże po Imperium Liczb
Podróże po Imperium Liczb Część 01. Liczby Wymierne Rozdział 9 9. Liczby postaci / + / + + x s / Andrzej Nowicki 7 grudnia 2011, http://www.mat.uni.torun.pl/~anow Spis treści 9 Liczby postaci / + / + +
Bardziej szczegółowoPodzielność w zbiorze liczb całkowitych
Podróże po Imperium Liczb Część 6 Podzielność w zbiorze liczb całkowitych Andrzej Nowicki Wydanie drugie, uzupełnione i rozszerzone Olsztyn, Toruń, 2012 PDZ - 38(890) - 10.05.2012 Spis treści Wstęp 1 1
Bardziej szczegółowoCyfry liczb naturalnych
Podróże po Imperium Liczb Część 2 Cyfry liczb naturalnych Andrzej Nowicki Wydanie drugie, uzupełnione i rozszerzone Olsztyn, Toruń, 2012 CYF - 38(954) - 7.12.2011 Spis treści Wstęp 1 1 Wstępne informacje
Bardziej szczegółowoSumy kolejnych bikwadratów
Sumy kolejnych bikwadratów Znane są następujące dwie równości Andrzej Nowicki 18 maja 2015, wersja bi-12 3 2 + 4 2 = 5 2 3 3 + 4 3 + 5 3 = 6 3. Czy istnieją podobnego typu równości dla czwartych potęg?
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego
Politechnika Gdańska Wydział Fizyki Technicznej i Matematyki Stosowanej Twierdzenie Li-Yorke a Twierdzenie Szarkowskiego Autor: Kamil Jaworski 11 marca 2012 Spis treści 1 Wstęp 2 1.1 Podstawowe pojęcia........................
Bardziej szczegółowoPodróże po Imperium Liczb Część 3 Liczby kwadratowe Andrzej Nowicki
Podróże po Imperium Liczb Część 3 Liczby kwadratowe Andrzej Nowicki Wydanie drugie, uzupełnione i rozszerzone Olsztyn, Toruń, 2012 KWA - 40(1195) - 19.03.2012 Spis treści Wstęp 1 1 Cyfry liczb kwadratowych
Bardziej szczegółowoLiczby Mersenne a, Fermata i inne liczby
Podróże po Imperium Liczb Część 8 Liczby Mersenne a, Fermata i inne liczby Andrzej Nowicki Wydanie drugie, uzupełnione i rozszerzone Olsztyn, Toruń, 2012 MER - 37(980) - 20.05.2012 Spis treści Wstęp 1
Bardziej szczegółowoPodróże po Imperium Liczb
Podróże po Imperium Liczb Część 14. Równanie Pella Rozdział 9 9. Zastosowania równania Pella Andrzej Nowicki 10 kwietnia 013, Spis treści http://www.mat.uni.torun.pl/~anow 9 Zastosowania równania Pella
Bardziej szczegółowoIV Warsztaty Matematyczne I LO im. Stanisława Dubois w Koszalinie
IV Warsztaty Matematyczne I LO im. Stanisława Dubois w Koszalinie Zadania i rozwiązania. Grupa młodsza. Dzień drugi 28.09.2010r. Streszczenie Przygotowując zadania opierałem się o zasoby zadaniowe pochodzące
Bardziej szczegółowoKongruencje pierwsze kroki
Kongruencje wykład 1 Definicja Niech n będzie dodatnią liczbą całkowitą, natomiast a i b dowolnymi liczbami całkowitymi. Liczby a i b nazywamy przystającymi (kongruentnymi) modulo n i piszemy a b (mod
Bardziej szczegółowoIV Warsztaty Matematyczne I LO im. Stanisława Dubois w Koszalinie
IV Warsztaty Matematyczne I LO im. Stanisława Dubois w Koszalinie Zadania i rozwiązania. Grupa starsza. Dzień drugi 28.09.2010r. Streszczenie Przygotowując zadania opierałem się o zasoby zadaniowe pochodzące
Bardziej szczegółowoSześciany, bikwadraty i wyższe potęgi
Podróże po Imperium Liczb Część 9 Sześciany, bikwadraty i wyższe potęgi Andrzej Nowicki Wydanie drugie uzupełnione i rozszerzone Olsztyn, Toruń, 2012 SZB - 41(1028) - 24.04.2012 Spis treści Wstęp 1 1 Sześciany
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.
Bardziej szczegółowoPodróże po Imperium Liczb Część 4 Liczby pierwsze Andrzej Nowicki
Podróże po Imperium Liczb Część 4 Liczby pierwsze Andrzej Nowicki Wydanie drugie, uzupełnione i rozszerzone Olsztyn, Toruń, 2012 PRI - 45(762) - 19.03.2012 Spis treści Wstęp 1 1 Cyfry liczb pierwszych
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, A/15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2016 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 4A/15 Liczby Fibonacciego Spośród ciągów zdefiniowanych rekurencyjnie, jednym z najsłynniejszych jest ciąg Fibonacciego (z roku 1202)
Bardziej szczegółowoObóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów
Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Liga zadaniowa 202/203 Seria VI (grudzień 202) rozwiązania zadań 26. Udowodnij, że istnieje 0 00 kolejnych liczb całkowitych dodatnich nie większych
Bardziej szczegółowon=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa
Równanie Bessela Będziemy rozważać następujące równanie Bessela x y xy x ν )y 0 ) gdzie ν 0 jest pewnym parametrem Rozwiązania równania ) nazywamy funkcjami Bessela rzędu ν Sprawdzamy, że x 0 jest regularnym
Bardziej szczegółowoZnaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:
Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie
Bardziej szczegółowoZadania z arytmetyki i teorii liczb
Zadania z arytmetyki i teorii liczb Andrzej Nowicki 1. Znaleźć największą wartość iloczynu liczb naturalnych, których suma równa się 2010. 2. Z cyfr 1, 2,..., 9 utworzono trzy trzycyfrowe liczby o największym
Bardziej szczegółowoKongruencje i ich zastosowania
Kongruencje i ich zastosowania Andrzej Sładek sladek@ux2.math.us.edu.pl Instytut Matematyki, Uniwersytet Śląski w Katowicach Poznamy nowe fakty matematyczne, które pozwolą nam w łatwy sposób rozwiązać
Bardziej szczegółowoKongruencje oraz przykłady ich zastosowań
Strona 1 z 25 Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań Andrzej Sładek, Instytut Matematyki UŚl sladek@ux2.math.us.edu.pl Spotkanie w LO im. Powstańców Śl w Bieruniu Starym 27 października 2005 Strona
Bardziej szczegółowo1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia
1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy
Bardziej szczegółowoJeśli lubisz matematykę
Witold Bednarek Jeśli lubisz matematykę Część 3 Opole 011 1 Wielokąt wypukły i kąty proste Pewien wielokąt wypukły ma cztery kąty proste. Czy wielokąt ten musi być prostokątem? Niech n oznacza liczbę wierzchołków
Bardziej szczegółowoCiągi komplementarne. Autor: Krzysztof Zamarski. Opiekun pracy: dr Jacek Dymel
Ciągi komplementarne Autor: Krzysztof Zamarski Opiekun pracy: dr Jacek Dymel Spis treści 1 Wprowadzenie 2 2 Pojęcia podstawowe 3 2.1 Oznaczenia........................... 3 2.2 "Ciąg odwrotny"........................
Bardziej szczegółowo1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH
R O Z W I A Z A N I A 1. ODPOWIEDZI DO ZADAŃ TESTOWYCH 1. Dla dowolnych zbiorów A, B, C zachodzi równość (A B) (B C) (C A) = (A B C) (A B C), A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C). 2. Wyrażenie
Bardziej szczegółowoLV Olimpiada Matematyczna
LV Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 15 kwietnia 004 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Punkt D leży na boku AB trójkąta ABC. Okręgi styczne do prostych
Bardziej szczegółowoSumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych
Sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych Andrzej Nowicki 24 maja 2015, wersja kk-17 Niech m < n będą danymi liczbami naturalnymi. Interesować nas będzie równanie ( ) y 2 + (y + 1) 2 + + (y + m 1) 2 =
Bardziej szczegółowoWzory skróconego mnożenia w zadaniach olimpijskich
Wzory skróconego mnożenia w zadaniach olimpijskich Jacek Dymel 17.10.008 Bardzo często uczniowie wyrażają taką opinię, że do rozwiązywania zadań olimpijskich niezbędna jest znajomość wielu skomplikowanych
Bardziej szczegółowoMatematyka Dyskretna 2/2008 rozwiązania. x 2 = 5x 6 (1) s 1 = Aα 1 + Bβ 1. A + B = c 2 A + 3 B = d
C. Bagiński Materiały dydaktyczne 1 Matematyka Dyskretna /008 rozwiązania 1. W każdym z następujących przypadków podać jawny wzór na s n i udowodnić indukcyjnie jego poprawność: (a) s 0 3, s 1 6, oraz
Bardziej szczegółowoIndukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka
Bardziej szczegółowoTreść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów
Treść wykładu Pierścienie wielomianów. Definicja Niech P będzie pierścieniem. Wielomianem jednej zmiennej o współczynnikach z P nazywamy każdy ciąg f = (f 0, f 1, f 2,...), gdzie wyrazy ciągu f są prawie
Bardziej szczegółowoDr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska
Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel. 320-27-40 Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska E-mail: Strona internetowa: robert.wojcik@pwr.edu.pl google: Wójcik
Bardziej szczegółowoCiała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);
Ciała i wielomiany 1 Ciała i wielomiany 1 Definicja ciała Niech F będzie zbiorem, i niech + ( dodawanie ) oraz ( mnożenie ) będą działaniami na zbiorze F. Definicja. Zbiór F wraz z działaniami + i nazywamy
Bardziej szczegółowo. : a 1,..., a n F. . a n Wówczas (F n, F, +, ) jest przestrzenią liniową, gdzie + oraz są działaniami zdefiniowanymi wzorami:
9 Wykład 9: Przestrzenie liniowe i podprzestrzenie Definicja 9 Niech F będzie ciałem Algebrę (V, F, +, ), gdzie V, + jest działaniem w zbiorze V zwanym dodawaniem wektorów, a jest działaniem zewnętrznym
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna
Matematyka dyskretna wykład 1: Indukcja i zależności rekurencyjne Gniewomir Sarbicki Literatura Kenneth A. Ross, Charles R. B. Wright Matematyka Dyskretna PWN 005 J. Jaworski, Z. Palka, J. Szymański Matematyka
Bardziej szczegółowoTreści zadań Obozu Naukowego OMJ
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ JUNIORÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMJ Poziom OM 2017 rok SZCZYRK 2017 Olimpiada Matematyczna Juniorów jest wspó³finansowana
Bardziej szczegółowoWokół Problemu Steinhausa z teorii liczb
Wokół Problemu Steinhausa z teorii liczb Konferencja MathPAD 0 Piotr Jędrzejewicz Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytetu Mikołaja Kopernika w Toruniu Celem referatu jest przedstawienie sposobu wykorzystania
Bardziej szczegółowoLVIII Olimpiada Matematyczna
LVIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2007 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. W trójkącie ostrokątnym A punkt O jest środkiem okręgu opisanego,
Bardziej szczegółowoObóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów
Obóz Naukowy Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów Liga zadaniowa 2012/2013 Seria X (kwiecień 2013) rozwiązania zadań 46. Na szachownicy 75 75 umieszczono 120 kwadratów 3 3 tak, że każdy pokrywa 9 pól.
Bardziej szczegółowoLXII Olimpiada Matematyczna
1 Zadanie 1. LXII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 18 lutego 2011 r. (pierwszy dzień zawodów) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych układ równań { (x y)(x 3 +y
Bardziej szczegółowoIndukcja matematyczna
Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna. 1. Ciągi
Analiza matematyczna 1. Ciągi Definicja 1.1 Funkcję a: N R odwzorowującą zbiór liczb naturalnych w zbiór liczb rzeczywistych nazywamy ciągiem liczbowym. Wartość tego odwzorowania w punkcie n nazywamy n
Bardziej szczegółowoLXI Olimpiada Matematyczna
1 Zadanie 1. LXI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 21 kwietnia 2010 r. (pierwszy dzień zawodów) Dana jest liczba całkowita n > 1 i zbiór S {0,1,2,...,n 1}
Bardziej szczegółowoI Liceum Ogólnokształcące im. Cypriana Kamila Norwida w Bydgoszczy. Wojciech Kretowicz PODZIELNOŚĆ SILNI A SUMA CYFR
I Liceum Ogólnokształcące im. Cypriana Kamila Norwida w Bydgoszczy Wojciech Kretowicz PODZIELNOŚĆ SILNI A SUMA CYFR Opiekun Mariusz Adamczak wojtekkretowicz@gmail.com Bydgoszcz 2017 Spis treści Wstęp...
Bardziej szczegółowoPodstawowe struktury algebraiczne
Maciej Grzesiak Podstawowe struktury algebraiczne 1. Wprowadzenie Przedmiotem algebry było niegdyś przede wszystkim rozwiązywanie równań. Obecnie algebra staje się coraz bardziej nauką o systemach matematycznych.
Bardziej szczegółowoLVIII Olimpiada Matematyczna
Zadanie 1. LVIII Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia pierwszego (11 września 2006 r. 4 grudnia 2006 r.) Rozwiązać w liczbach rzeczywistych x, y, z układ równań x 2 +2yz
Bardziej szczegółowoMatematyka. Justyna Winnicka. Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego.
Matematyka Justyna Winnicka Na podstawie podręcznika Matematyka. e-book M. Dędys, S. Dorosiewicza, M. Ekes, J. Kłopotowskiego. rok akademicki 2017/2018 kontakt, konsultacje, koordynator mail: justa kowalska@yahoo.com,
Bardziej szczegółowoPodróże po Imperium Liczb Część 1 Liczby wymierne Andrzej Nowicki
Podróże po Imperium Liczb Część Liczby wymierne Andrzej Nowicki Wydanie drugie, uzupełnione i rozszerzone Olsztyn, Toruń, 202 WYM - 27(778) 7.2.20 Spis treści Wstęp Równości i wstępne informacje o liczbach
Bardziej szczegółowo1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.
1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.
Bardziej szczegółowoLX Olimpiada Matematyczna
LX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia drugiego 13 lutego 2009 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Liczby rzeczywiste a 1, a 2,..., a n (n 2) spełniają warunek a 1
Bardziej szczegółowoZestaw zadań dotyczących liczb całkowitych
V Zestaw zadań dotyczących liczb całkowitych Opracowanie Monika Fabijańczyk ROZDZIAŁ 1 Cechy podzielności Poniższe zadania zostały wybrane z różnych zbiorów zadań, opracowań, konkursów matematycznych.
Bardziej szczegółowo2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność.
2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność. 11 października 2008 r. 19. Wskazać takie liczby naturalne m,
Bardziej szczegółowoMatematyka Dyskretna Zestaw 2
Materiały dydaktyczne Matematyka Dyskretna (Zestaw ) Matematyka Dyskretna Zestaw 1. Wykazać, że nie istnieje liczba naturalna, która przy dzieleniu przez 18 daje resztę 13, a przy dzieleniu przez 1 daje
Bardziej szczegółowoPierwiastki pierwotne, logarytmy dyskretne
Kongruencje wykład 7 Definicja Jeżeli rząd elementu a modulo n (dla n będącego liczba naturalną i całkowitego a, a n) wynosi φ(n) to a nazywamy pierwiastkiem pierwotnym modulo n. Przykład Czy 7 jest pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoLXIX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2018 r. (pierwszy dzień zawodów)
LXIX Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 18 kwietnia 2018 r. (pierwszy dzień zawodów) 1. Dany jest trójkąt ostrokątny ABC, w którym AB < AC. Dwusieczna kąta
Bardziej szczegółowoJoanna Kluczenko 1. Spotkania z matematyka
Do czego moga się przydać reszty z dzielenia? Joanna Kluczenko 1 Spotkania z matematyka Outline 1 Co to sa 2 3 moje urodziny? 4 5 Jak tworzona jest liczba kontrolna w kodach towarów w sklepie? 6 7 TWIERDZENIE
Bardziej szczegółowoVI. Równania różniczkowe liniowe wyższych rzędów
VI. 1. Równanie różniczkowe liniowe n-tego rzędu o zmiennych współczynnikach Niech podobnie jak w poprzednim paragrafie K = C lub K = R. Podobnie jak w dziedzinie rzeczywistej wprowadzamy pochodne wyższych
Bardziej szczegółowoLiczby, funkcje, ciągi, zbiory, geometria
Podróże po Imperium Liczb Część 15 Liczby, funkcje, ciągi, zbiory, geometria Andrzej Nowicki Wydanie drugie uzupełnione i rozszerzone Olsztyn, Toruń, 2013 XYZ - 43(970) - 7.03.2013 Spis treści Wstęp 1
Bardziej szczegółowoczyli tuzin zadań Wojciech Guzicki Sielpia, 22 października 2016 r.
1 O OBLICZENIACH, czyli tuzin zadań Wojciech Guzicki W. Guzicki: O obliczeniach 2 Zadanie 1.(XVI OM) Znajdź wszystkie takie liczby pierwsze p, że 4p 2 +1i6p 2 +1sąrównieżliczbamipierwszymi. p 4p 2 +1 6p
Bardziej szczegółowoSchemat rekursji. 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej
Schemat rekursji 1 Schemat rekursji dla funkcji jednej zmiennej Dla dowolnej liczby naturalnej a i dowolnej funkcji h: N 2 N istnieje dokładnie jedna funkcja f: N N spełniająca następujące warunki: f(0)
Bardziej szczegółowoFinanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z 21 grudnia 2014)
dr inż. Ryszard Rębowski DEFINICJA CIĄGU LICZBOWEGO Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z grudnia 04) Definicja ciągu liczbowego Spośród
Bardziej szczegółowoZadania z elementarnej teorii liczb Andrzej Nowicki
Zadania z elementarnej teorii liczb Andrzej Nowicki UMK, Toruń 2012 1. Wykazać, że liczba 2222 5555 + 5555 2222 jest podzielna przez 7. 2. Wykazać, że liczba 222222 555555 + 555555 222222 jest podzielna
Bardziej szczegółowoXIV Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2018 r. 15 października 2018 r.)
XIV Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna ( września 0 r. października 0 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych. Liczbę naturalną n pomnożono przez, otrzymując
Bardziej szczegółowoElementy metod numerycznych
Wykład nr 5 i jej modyfikacje. i zera wielomianów Założenia metody Newtona Niech będzie dane równanie f (x) = 0 oraz przedział a, b taki, że w jego wnętrzu znajduje się dokładnie jeden pierwiastek α badanego
Bardziej szczegółowoWielomiany. Kurs matematyki w oratorium autorami materiałów są: dr Barbara Wolnik i Witold Bołt. 17 marca 2006
Wielomiany Kurs matematyki w oratorium autorami materiałów są: dr Barbara Wolnik i Witold Bołt 17 marca 2006 Spis treści 1 Podstawowe pojęcia 1 2 Wykresy i własności 2 2.1 Wielomian trzeciego stopnia....................
Bardziej szczegółowoRównanie Pella Sławomir Cynk
Równanie Pella Sławomir Cynk 22 listopada 2001 roku John Pell ur. 1 marca 1611 w Southwick, Sussex, Anglia zm. 12 grudnia 1685 w Londynie. Matematyk oraz astronom brytyjski, podobno główny (współ-)autor
Bardziej szczegółowoPodróże po Imperium Liczb Część 12 Wielomiany Andrzej Nowicki
Podróże po Imperium Liczb Część 12 Wielomiany Andrzej Nowicki Wydanie drugie, uzupełnione i rozszerzone Olsztyn, Toruń, 2012 WLM - 40(992) - 23.05.2012 Spis treści Wstęp 1 1 Trójmiany kwadratowe 5 1.1
Bardziej szczegółowoEGZAMIN, ANALIZA 1A, , ROZWIĄZANIA
Zadanie 1. Podać kresy następujących zbiorów. Przy każdym z kresów napisać, czy kres należy do zbioru (TAK = należy, NIE = nie należy). infa = 0 NIE A = infb = 1 TAK { 1 i + 2 j +1 + 3 } k +2 : i,j,k N
Bardziej szczegółowoIV Warsztaty Matematyczne I LO im. Stanisława Dubois w Koszalinie
IV Warsztaty Matematyczne I LO im. Stanisława Dubois w Koszalinie Zadania i rozwiązania. Grupa starsza. Dzień pierwszy 27.09.2010r. Streszczenie Przygotowując zadania opierałem się o zasoby zadaniowe pochodzące
Bardziej szczegółowoElementy logiki. Zdania proste i złożone
Elementy logiki Zdania proste i złożone. Jaka jest wartość logiczna następujących zdań: (a) jest dzielnikiem 7 lub suma kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 80. (b) Jeśli sin 0 =, to 5 < 5. (c) Równanie
Bardziej szczegółowoKongruencje. Sławomir Cynk. 24 września Nowy Sącz. Instytut Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego
Instytut Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego 24 września 2008 Nowy Sącz Przykłady W. Sierpiński, 250 zadań z elementarnej teorii liczb, Biblioteczka Matematyczna 17. Zadanie 3. Pokazać, że jeżeli 7
Bardziej szczegółowoWIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE
WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE. RozwiąŜ nierówność.. Dla jakiej wartości parametru a R wielomian W() = ++ a dzieli się bez reszty przez +?. Rozwiązać nierówność: a) 5 b) + 4. Wyznaczyć wartości parametru
Bardziej szczegółowoLI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów)
LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dana jest liczba całkowita n 2. Wyznaczyć liczbę rozwiązań (x 1,x
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowoRzędy Elementów Grupy Abelowej Andrzej Nowicki 16 września 2015, wersja rz-15
Materiały Dydaktyczne 2015 Rzędy Elementów Grupy Abelowej Andrzej Nowicki 16 września 2015, wersja rz-15 Niech G będzie grupą z elementem neutralnym e i niech a G. Załóżmy, że istnieje co najmniej jedna
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, 2019 Zadania 1-100
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl Zadania 1-100 Udowodnij, że A (B C) = (A B) (A C) za pomocą diagramów Venna. Udowodnij formalnie, że (A B i A C) A B C oraz że (A
Bardziej szczegółowo1 + x 1 x 1 + x + 1 x. dla x 0.. Korzystając z otrzymanego wykresu wyznaczyć funkcję g(m) wyrażającą liczbę pierwiastków równania.
10 1 Wykazać, że liczba 008 008 10 + + jest większa od Nie używając kalkulatora, porównać liczby a = log 5 log 0 + log oraz b = 6 5 Rozwiązać równanie x + 4y + x y + 1 = 4xy 4 W prostokątnym układzie współrzędnych
Bardziej szczegółowoXII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2016 r. 17 października 2016 r.)
XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna ( września 06 r. 7 października 06 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych. Liczby wymierne a, b, c spełniają równanie
Bardziej szczegółowoLXV Olimpiada Matematyczna
LXV Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 8 kwietnia 2014 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dane są względnie pierwsze liczby całkowite k,n 1. Na tablicy
Bardziej szczegółowoKONGRUENCJE. 1. a a (mod m) a b (mod m) b a (mod m) a b (mod m) b c (mod m) a c (mod m) Zatem relacja kongruencji jest relacją równoważności.
KONGRUENCJE Dla a, b, m Z mówimy, że liczba a przystaje do liczby b modulo m a b (mod m) m (a b) (a b (mod m) można też zapisać jako: a = km + b, k Z). Liczbę m nazywamy modułem kongruencji. Własności:
Bardziej szczegółowoPrawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Bardziej szczegółowoWarmińsko-Mazurskie Zawody Matematyczne Eliminacje cykl styczniowy Poziom: szkoły ponadgimnazjalne, 10 punktów za każde zadanie
Warmińsko-Mazurskie Zawody Matematyczne Eliminacje cykl styczniowy oziom: szkoły ponadgimnazjalne, 0 punktów za każde zadanie Zadanie Znajdź dwa dzielniki pierwsze liczby - Można skorzystać z artykułu
Bardziej szczegółowoi=0 a ib k i, k {0,..., n+m}. Przypuśćmy, że wielomian
9. Wykład 9: Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach wielomianów. Kryteria rozkładalności wielomianów. 9.1. Jednoznaczność rozkładu w pierścieniach wielomianów. Uwaga 9.1. Niech (R, +, ) będzie pierścieniem
Bardziej szczegółowoRegionalne Koło Matematyczne
Regionalne Koło Matematyczne Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu Wydział Matematyki i Informatyki http://www.mat.umk.pl/rkm/ Lista rozwiązań zadań nr 3 (2-26.0.2009) Omówienie zadań I serii zawodów
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /14
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2019 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 4/14 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2013/14. Czwartek 21 listopada zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2.
Czwartek 21 listopada 2013 - zaczynamy od omówienia zadań z kolokwium nr 2. Uprościć wyrażenia 129. 4 2+log 27 130. log 3 2 log 59 131. log 6 2+log 36 9 log 132. m (mn) log n (mn) dla liczb naturalnych
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15
Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/15 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.
Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu
Bardziej szczegółowoTreści zadań Obozu Naukowego OMG
STOWARZYSZENIE NA RZECZ EDUKACJI MATEMATYCZNEJ KOMITET GŁÓWNY OLIMPIADY MATEMATYCZNEJ GIMNAZJALISTÓW Treści zadań Obozu Naukowego OMG Poziom OM 2015 rok SZCZYRK 2015 Pierwsze zawody indywidualne Treści
Bardziej szczegółowoMaciej Grzesiak. Wielomiany
Maciej Grzesiak Wielomiany 1 Pojęcia podstawowe Wielomian definiuje się w szkole średniej jako funkcję postaci f(x) = a 0 + a 1 x + a 2 x + + a n x n Dogodniejsza z punktu widzenia algebry jest następująca
Bardziej szczegółowo