Magdalena Osińska, Joanna Górka Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu

Transkrypt

1 DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE IX Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 6 8 września 5 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saski, Uniwerse Mikołaja Kopernika w Toruniu Uniwerse Mikołaja Kopernika w Toruniu Idenfikacja nieliniowości w ekonomicznch szeregach czasowch. Analiza smulacjna. Wsęp Współczesna ekonomeria coraz częściej zwraca się ku zasosowaniu modeli nieliniowch opisującch mechanizm generując dane w empircznch szeregach czasowch. Szczególnie prężna sała się pod m względem ekonomeria finansowa por. Doman, Doman 4)). Jedną z osanio powsałch specfikacji modelowch, generującch szeregi czasowe są proces zawierające sochasczn pierwiasek jednoskow STUR por. Granger, Swanson 997)). Są o proces definiowane przez model z losowmi paramerami, kóre znajdują się pomiędz klasą procesów zawierającch dokładn pierwiasek jednoskow np. błądzenie przpadkowe lub ogólnie ARIMA p,,q)) a klasą procesów sacjonarnch np. ARMA p,q)). Modele e poprzez przekszałcenia mogą bć sprowadzone go klas modeli nieliniowch np. dwuliniowch lub GARCH. Z drugiej sron isnieje niewiele możliwości skuecznej idenfikacji rodzaju nieliniowości w rzeczwisch szeregach czasowch. Celem referau jes próba określenia możliwości idenfikacji odpowiadającch sobie procesów: GARCH, zmienności sochascznej, dwuliniowch oraz STUR na podsawie ekspermenu Mone Carlo. Dla porównania pokazane zosaną charakerski szeregów generowanch jako biał szum, SETAR oraz błądzenie przpadkowe. Jako, że zasosowanie omawianch modeli odnosi się najczęściej do finansowch szeregów czasowch, w końcowej części prac pokazane zosał wniki idenfikacji empircznch szeregów finansowch. Praca finansowana przez KBN w ramach granu nr -HB-5-5.

2 38. Charakerska nieliniowch szeregów czasowch W lieraurze znajduje się szereg esów pozwalającch na idenfikację nieliniowości. Ogólnie możem je podzielić na dwie grup. Do grup pierwszej zaliczm wszskie es, kóre esują nieliniowość bez określenia z jakim jej rodzajem mam do cznienia. W ej grupie najbardziej znanm jes es BDS. Zaliczć u można akże es opare na reprezenacji spekralnej momenów wższch rzędów, w m bikowariancji i bispekrum, np. es Hinicha. Z drugiej sron dsponujem szeregiem esów nakierowanch na werfikację konkrenej alernaw, np. es modeli STAR i SETAR, a akże es Lebourne a i innch nakierowane na badanie alernaw w posaci modelu sochascznego pierwiaska jednoskowego. W niniejszej prac wkorzsane zosał: es Hinicha 98) oraz es Lebourne a, McCabe a i Tremane a 996) i Lebourne a. McCabe a i Millsa 996). Za pomocą esu Hinicha, oparego na bispekrum, badam dane ze względu na wsępowanie zależności rzeciego rzędu. Załóżm, że jes realizacją procesu sochascznego o średniej zero, sacjonarnego aż do rzeciego rzędu. 3 Oznacza o, że E = K < oraz momen E, nie zależą od prze-, 3 ) sunięć w czasie. Bispekrum ω ω ) Fouriera funkcji r, s) = E ) c 3 + r + s posaci: B ω ) = c3 r, s) exp[ πi ωr + ω r= s= B szeregu nazwam ransformaę ω s)]. ) ω ω o dziedzinie podsawowej < ω < π ; ω < ω < ω + }. Saska Hinicha opara Funkcja ) jes dwuokresową funkcją dwóch zmiennch ) { 3 π jes na współcznniku bikoherencji, kórego esmaor ma posać: Bˆ ) ω ω Ψ ωω ) = fˆ ω fˆ ω fˆ ω gdzie ) ) ) + ) B ˆ ω ω ) jes esmaorem bispekrum szeregu, zaś f ˆ ω j = {, } oznacza uśrednion periodogram dla częsości ω j. Formuła ) znajduje zasosowanie w werfikacji hipoez dwojako: po pierwsze esuje się normalność rozkładu z kórego pochodzi badan szereg, po drugie naomias liniowość ch szeregów, dla kórch zosała odrzucona hipoeza o normalności. W pierwszm przpadku prz założeniu prawdziwości hipoez zerowej saska H = Ψ ω ω ) 3) ma asmpoczn rozkład χ P), gdzie P jes liczbą par częsości ) ω ω w dziedzinie podsawowej. Przjęcie hipoez zerowej kończ badanie, naomias jej odrzucenie wmaga esowania hipoez o liniowości badanego procesu. Oznacza o, że proces może bć nie-gaussowski ale liniow albo nie- j )

3 Idenfikacja nieliniowości w ekonomicznch szeregach czasowch Gaussowski i nieliniow. Prz założeniu prawdziwości hipoez o liniowości χ, λ, gdzie λ jes war- procesu, saska 3) ma nie scenrowan rozkład ) ością średnią ego procesu. Wówczas esmaor ωω ) leżnch warości z rozkładu χ, λ) Ψ dosarcza P nieza- wpadku saska ). Jeżeli zaem badan proces jes liniow, o dspersja próbkowa P warości jes zgodna z m rozkładem. W przeciwnm Ψ ω ω dosarcza P niezależnch warości pochodzącch z nie scenrowanego rozkładu χ ze zmienną warością średnią, kórego dspersja jes oczwiście różna. Tesowanie polega na porównaniu dspersji obu rozkładów, na przkład poprzez rozsęp declow lub rozsęp kwarlow. Ten osani zosał wkorzsan w niniejszej prac. Hipoeza o liniowości szeregu będzie odrzucana wówczas, gd warości empirczna i eoreczna rozsępu kwarlowego będą się znacznie różnic międz sobą. Hinich 98) udowodnił, że zasosowanie powższch esów nie wmaga uprzedniego filrowania ewenualnch zależności liniowch. W celu zbadania cz dan szereg jes realizacja procesu sochascznego zawierającego STUR rozważm nasępując model auoregresjn ze zmiennmi paramerami: = α + 4) gdzie: α = α + δ, δ =, δ = ρδ + η 5) prz czm α = i ρ. Ponado ~ N, σ ) i η ~ N, ω ) są od siebie niezależne. Hipoez w eście LMT Lebourne, McCabe, Tremane) doczą wariancji ω. Jeżeli H : ω =, o model 4) sprowadza się do modelu błądzenia przpadkowego lub w uogólnionm przpadku ARIMAp,,)). Hipoeza alernawna H : ω > oznacza model STUR. W celu uniknięcia wpłwu ewenualnego rendu deerminiscznego, auorz proponują rozszerzenie modelu o rend liniow lub kwadraow. Ponado możliwe jes rozszerzenie specfikacji równania poprzez włączenie do modelu opóźnionch warości zmiennej endogenicznej. Procedura esowania przebiega w nasępując sposób: * * Niech α + 6) * = p gdzie = P ϕ 7) prz czm P i= i i jes składnikiem deerminiscznm, np. rendem, naomias część auoregresjna w 8) jes sacjonarna. Jeżeli w H ρ <, o saskę Z oblicza się na podsawie nasępującej zależności, oszacowanej KMNK

4 4 = P + p i i= Saska Z ma posać: ϕ + σ 3 T Z = T σ κ j = j= ) 9) T T gdzie: σ = T oraz κ = T σ ). = P = Zależnie od wboru posaci rendu liniow) lub kwadraow) oznacza się ją jako Z lub Z. Dla ρ = w H proponuje się przjęcie nasępującej saski por. Lebourne, McCabe, Mills 996)) T T T 4 j σ i= = i j= = i 3 E = T σ ) j = j i, podobnie jak w poprzednim wpadku, zależnie od przjęej funkcji rendu saskę powższą oznacza się przez E lub E. Wniki smulacji pokazują, że moc esu E jes wższa niż esu Z por. Talor, van Dijk 999)) Warości krczne esów Z i E dla wbranch poziomów isoności oraz liczebności prób zosał przedsawione w prac Osińska 4). Generowane oraz empirczne szeregi czasowe zosał akże scharakerzowane za pomocą sascznch miar opisu. Ponado za pomocą sandardowch esów zbadano auokorelację w zakresie poziomów es Boxa-Ljunga) oraz w zakresie zmienności es Engle a i McLeoda-Li). Wniki e nie zosał zaprezenowane w celu oszczędności miejsca, są naomias dosępne u auorów. P 8) 3. Wniki ekspermenu Mone Carlo Celem analiz smulacjnej jes określenie wrażliwości esów wkrwającch sochasczn pierwiasek jednoskow, na różne form hipoez alernawnej, podczas gd H sandardowo oznacza model błądzenia przpadkowego. Podobne badanie dla wbranch alernaw przeprowadzone zosał w prac Talor, van Dijk 999). Ponado wkorzsan zosał es Hinicha w celu określenia na ile generowane szeregi czasowe mogą zosać uznane za Gaussowskie, a nasępnie za nieliniowe. Własności esów oparch na bispekrum bł przedmioem prac Bruzda ) i Doman, Doman 4), jak doąd jednak nie rozważano pod m kąem procesów zawierającch sochasczn pierwiasek jednoskow. Wnika o zapewne z faku, że zasosowanie analiz spekralnej wmaga sacjonarności procesów aż do rzędu badanego momenu. Proces STUR ej własności z definicji nie posiadają. W niniejszm opracowaniu podję-

5 Idenfikacja nieliniowości w ekonomicznch szeregach czasowch... 4 o jednak próbę zasosowania esu Hinicha w celu określenia możliwości idenfikacji liniowości szeregów generowanch przez model STUR. W analizie smulacjnej przjęe zosał nasępujące posaci modeli: WN RW = + BI = σ u BL diag BL nad BL pod ARCH GARCH SV SETAR,,) RCA,) = σ =.5 =.5 =.5 σ + h = u ~ N, ) h =, = h, h =, +.89h +. = h η ln h =, +.95 ln h +.9η <.7 = = b b =.3b +.6η STUR α =, =. 98 STUR α =, =. 95 η ω =. ρ, ω ω =. ω =. ω =. ω =. ω =. ω =. ω =. ω =. ω =. ω =. ρ, =. STUR3 α =. 98, =. 98 STUR4 α =. 98, =. 95 STUR5 α =, =. 98 STUR6 α =, =. 95 STUR7 α =. 98, =. 98 STUR8 α =. 98, =. 95 STUR9 α =, =. 98 STUR α =, =. 95 STUR α =. 98, =. 98 STUR α =. 98, =. 95 ρ, ρ, ρ, 5 ρ, 5 ρ, 5 ρ, 5 ρ, ρ, ρ, ρ, Model BI zosał zdefiniowan w prac Hansen 99). Paramer modelu SV zosał zaczerpnięe z prac Pajor 3).

6 4 Dla każdego z powższch modeli wgenerowano 5 obserwacji i dokonano powórzeń. Wniki esów Z i E oraz esu Hinicha zaprezenowane zosał w ablic. Tablica. Wniki esów Z, E oraz esu Hinicha dla danch generowanch. W abeli podane zosał odseki odrzucenia hipoez zerowej prz poziomie isoności.5. Model Tes Z Tes E Tes Hinicha Z Z E E Normalność Liniowość WN RW BI BL diag BL nad BL pod ARCH GARCH SV SETAR RCA.) STUR STUR STUR STUR STUR STUR STUR STUR STUR STUR STUR STUR Źródło: opracowanie własne. Tes na isnienie sochascznego pierwiaska jednoskowego poprzesają na akcepacji hipoez zerowej w przpadku szeregów generowanch przez sacjonarne proces sochasczne, akich jak biał szum, model współzinegrowan BI), modele dwuliniowe, ARCH, GARCH, model zmienności sochascznej, RCA,) oraz SETAR. W przpadku szeregów niesacjonarnch reprezenowanch przez model błądzenia przpadkowego RW, es STUR wraźnie wskazują na hipoezę zerową, kóra mówi, że mam do cznienia z dokładnm pierwiaskiem jednoskowm. W przpadku szeregów generowanch przez różne p modeli STUR wniki esów Z i E są obiecujące. Zależnie od

7 Idenfikacja nieliniowości w ekonomicznch szeregach czasowch warości paramerów modeli procen odrzucenia hipoez zerowej waha się w granicach od 73% do 96%. Wniki esu Hinicha są dość zróżnicowane. Na przkład dla procesów dwuliniowch diagonalnch i poddiagonalnch w ok. 6% odrzucam hipoezę zerową o normalności rozkładu, naomias w przpadku procesów naddiagonalnch lko w 8.9%. Podobne wniki obserwujem w odniesieniu do modeli zmienności ARCH, GARCH i SV. Jeżeli chodzi o wniki esu Hinicha dla szeregów STUR o niemal w % przpadków obserwujem brak normalności rozkładu i nieliniowość, co może bć obciążone niespełnieniem założenia o sacjonarności. 4. Wniki analiz empircznch Idenfikacja empircznch szeregów czasowch skoncenrowana zosała na badaniu dziennch obserwacji wbranch indeksów noowanch na GPW w Warszawie oraz ich logarmicznch sóp zmian w okresie Wniki esów Z i E oraz esu Hinicha przedsawione zosał w ablic. Tablica. Wniki esowania empircznch szeregów czasowch. Model Tes Z Tes E Tes Hinicha Z Z E E Normalność Liniowość WIG ln s zw WIG WIG.785*.667*.88*.67* ln s zw WIG WIG-BANKI ln s zw WIG-BANKI WIG-BUDOW ln s zw WIG-BUDOW WIG-INFO -.74.* ln s zw WIG-INFO WIG-SPOZYW * ln s zw WIG-SPOZYW WIG-TELKOM.493*.374* ln s zw WIG-TELKOM * oznaczono odrzucenie H o dokładnm pierwiasku jednoskowm. Źródło: opracowanie własne. Z przedsawionch rezulaów empircznch wnika, że indeks WIG, WIG-info, WIG-spożwcz oraz WIG-elkom charakerzują się sochascznm pierwiaskiem jednoskowm. Tes Hinicha dla indeksów, kóre poencjalnie są procesami I) nie zosał policzon. Dla logarmicznch sóp zmian w żadnm przpadku nie bło podsaw do odrzucenia hipoez zerowej.

8 44 Lieraura Bruzda, J. ), Bispekra procesów ekonomicznch kierunki zasosowań i analiza smulacjna, Aca Universiais Nicolai Copernici, Toruń. Doman, M., Doman, R. 4), Ekonomerczne modelowanie dnamiki polskiego rnku finansowego, Wd. AE w Poznaniu, Poznań. Hansen, B. E. 99), Heeroskedasic coinegraion, Journal of Economerics, vol.54. Hinich, M.J. 98), Tesing for Gaussiani and Lineari of a Saionar Time Series, Journal of Time Series Analsis, vol.3. Granger, C.W.J., Swanson, N.R. 997), An inroducion o sochasic uni-roo process, Journal of Economerics, vol.8. Lebourne, S.J., McCabe, B.P.M., Mills, T.C. 996), Randomized uni roo processes for modeling and forecasing financial ime series: heor and applicaions, Journal of Forecasing, vol.5. Lebourne, S.J., McCabe, B.P.M., Tremane, A.R. 996), Can economic ime series be differenced o saionari?, Journal of Business and Economic Saisics, vol.4. Osińska, M. 4), Sochasic uni roos processes - properies and applicaion, w: MACROMODELS 3, red. A. Welfe, W. Welfe, Wd. Uniwerseu Łódzkiego, Łódź. Pajor, A. 3), Proces zmienności sochascznej SV w baesowskiej analizie szeregów czasowch, Wdawnicwo AE, Kraków. Talor, A.M.R, van Dijk, D. 999), Tesing for Sochasic Uni Roos. Some Mone Carlo Evidence, Economeric Insiue Research Repor EI-99/A.