Prognozowanie i symulacje

Transkrypt

1 Prognozowanie i smulacje

2 Ramow plan wkładu.wprowadzenie w przedmio.rafność dopuszczalność i błąd prognoz 3.Prognozowanie na podsawie szeregów czasowch 4.Prognozowanie na podsawie modelu ekonomercznego 5.Heursczne modele prognosczne 6. Smulacje

3 Wbrana lieraura. Prognozowanie gospodarcze. Meod i zasosowanie red. M. Cieślak PWN Warszawa 00. Zeliaś A. Pawełek B. Wana S. Prognozowanie ekonomiczne. eoria przkład zadania PWN Warszawa Gajda J. Prognozowanie i smulacja a deczje gospodarcze Wd. C.H. Beck Warszawa Prognozowanie gospodarcze red. E. Nowak AW Place Warszawa Prognozowanie i smulacja red. W. Milo Wd. UŁ Łódź 00

4 Przewidwanie przszłości Przewidwanie przszłości Racjonalne Nieracjonalne Zdroworozsądkowe Naukowe PROGNOZOWANIE o przewidwanie przszłości w sposób racjonaln z wkorzsaniem meod naukowch PREDYKCJA o prognozowanie na podsawie modelu ekonomercznego

5 Prognoza jako wnik prognozowania PROGNOZA o sąd sformułowan z wkorzsaniem dorobku nauki odnosząc się do określonej przszłości werfikowaln empircznie niepewn (ale akcepowaln) Eap prognozowania: I. Sformułowanie zadania prognoscznego II. Podanie przesłanek prognoscznch III. Wbór meod prognozowania IV. Ocena dokładności lub dopuszczalności prognoz V. Werfikacja prognoz

6 Funkcje prognoz Wróżnia się rz podsawowe funkcje prognoz: I. PREPARACYJNA (do podejmowania deczji swarza dodakowe przesłanki do podejmowania racjonalnch deczji) II. AKYWIZUJĄCA (pobudzenie do działań sprzjającch realizacji korzsnej prognoz przeciwdziałającch prognozie niekorzsnej) III. INFORMACYJNA (dosarcza informacji o badanm zjawisku)

7 Meoda prognozowania MEODA PROGNOZOWANIA o sposób przeworzenia danch z przeszłości wraz ze sposobem przejścia od przeworzonch danch do prognoz. Isnieją więc dwie faz: faza diagnozowania przeszłości - odbwa się przez budowę modelu formalnego (model ekonomerczn) lub mślowego (w umśle ekspera) faza określania przszłości polega na zasosowaniu odpowiedniej reguł prognoz

8 Reguł prognoz reguła podsawowa prognoza posawiona na podsawie modelu prz założeniu że będzie on akualn w prognozowanm okresie reguła podsawowe z poprawką prognoza posawiona na podsawie modelu z poprawką uwzględniającą że osanio zaobserwowane odchlenia od modelu urzmają się w przszłości reguła największego prawdopodobieńswa (dla zmiennch losowch kórch rozkład prawdopodobieńswa jes znan) prognozą jes warość zmiennej kórej odpowiada największe prawdopodobieńswo dla zmiennch skokowch lub maksmalna warość funkcji gęsości prawdopodobieńswa dla zmiennch ciągłch reguła minimalnej sra przjmuje się że wielkość sra jes funkcją błędu prognoz i poszukuje się minimum ej funkcji. Prognozą jes warość dla kórej a funkcja przjmuje minimum.

9 Meod prognozowania Meod prognozowania Meod maemaczno-sasczne Meod niemaemaczne Meod opare na modelach ekonomercznch Modele jednorównaniowe Klasczne modele rendu Adapacjne modele rendu pros Modele przcznowo-opisowe Modele auoregresjne Meod opare na modelach deerminiscznch Modele wielorównaniowe: rekurencjn o równaniach współzależnch Meod ankieowe Meod inuicjne Meod kolejnch przbliżeń Meoda eksperz Meoda delficka Meoda refleksji Meod analogowe Inne

10 Meod prognozowania Prognozowanie na podsawie modelu maemaczno-sascznego o prognozowanie ilościowe Prognozowanie na podsawie modeli niemaemacznch o zwkle prognozowanie jakościowe Prognoz ilościowe dzielim na: punkowe gdzie dla zmiennej prognozowanej wznacza się jedną warość dla >n przedziałowe w kórch wznacza się przedział w kórm znajdzie się rzeczwisa warość zmiennej prognozowanej w prognozowanm okresie >n.

11 Prognozowanie Bazą danch do modelu zmiennej prognozowanej () F(ε ) lub () F(x x...x k ε ) jes szereg czasow w posaci: x x... x k x x... x k x x... x k n n n n x n x n... x kn Prognoz zmiennej prognozowanej wznaczam na okres > n Prognozę na okres będziem oznaczać Y

12 Horzon czasow prognoz Prognoza krókookresowa o prognoza na aki przedział czasow w kórm zakłada się isnienie lko zmian ilościowch. Prognoz akie wznacza się przez eksrapolację dochczasowch związków (na podsawie modeli ekonomercznch lub rendów) Prognoza średniookresowa docz okresów czasu w kórch oczekuje się zmian ilościowch oraz ewenualnie niewielkich zmian jakościowch. Prognoza musi uwzględniać oba p zmian musi prznajmniej umiarkowanie odchodzić od eksrapolacji Prognoza długookresowa docz przedziału czasu w kórm mogą wsępować zmian ilościowe oraz znaczące zmian jakościowe

13 Modele ilościowe Prognozę na okres > n można posawić wkorzsując model F () lub() jeśli spełnione są nasępujące założenia:. funkcja F wraża pewną prawidłowość ekonomiczną kóra jes sabilna w czasie (nie spodziewam się żadnch zmian jakościowch). składnik losow ε jes sabiln 3. w przpadku modelu ekonomercznego znane są warości zmiennch objaśniającch w okresie > n czli znane są warości prognoz X X...X k 4. dopuszczalna jes eksrapolacja modelu poza próbę czli poza obszar zmienności zmiennch objaśniającch jak i zmiennej (zmiennch) objaśnianej.

14 Analiza danch w szeregu czasowm Analiza danch polega na:. Wodrębnieniu obserwacji odsającch. Swierdzeniu braku lub isnienia rendu Y A

15 Obserwacje odsające Po wodrębnieniu obserwacji odsającch należ usalić:. Cz dana obserwacja pojawiła się w skuek błędu rejesracji danch. Cz obserwacja pojawiła się w skuek jednokronego zjawiska zewnęrznego wpłwu (np. realizacja pewnego dużego jednokronego zamówienia o kórm wiem że nie nasąpi już w przszłości) 3. Cz obserwacja pojawiła się jako normalne wahanie losowe (przpadkowe) w próbie. W przpadku. oraz. obserwację A można pominąć a brakującą warość uzupełnić średnią armeczną z obserwacji poprzedniej i nasępnej. W przpadku 3. obserwacja powinna pozosać w bazie danch sascznch.

16 Błąd prognoz Po wborze modelu prognoscznego F można wznaczć prognoz dla >n: () Y F() lub () Y F(x x...x k ) wraz z prognozą Y należ wznaczć miernik dokładności prognoz Prz wborze modelu prognoscznego należ dążć do osiągnięcia zadowalającego poziomu miernika dokładności Wróżniam dwa p mierników:. błąd ex pos. błąd ex ane Błąd prognoz można zapisać jako B Y gdzie Y o warość prognoz zmiennej Y na okres wznaczona na podsawie modelu F a o rzeczwisa warość zmiennej prognozowanej w okresie.

17 Dopuszczalność prognoz: błąd ex ane Błąd ex ane wznacza się dla modeli liniowch kórch paramer oszacowano Meodą Najmniejszch Kwadraów (MNK). Niech model ma posać: dla n. o po oszacowaniu MNK jego paramerów model eoreczn przjmuje posać: dla n. w zapisie macierzowm: α + α X + α X α X + ε 0 0 Ŷ a + a X + a X Ŷ Xa k a k k X k

18 Dopuszczalność prognoz () Gdzie w zapisie macierzowm: oraz kn n n k k n X X X X X X X X X X Y Xa Ŷ Y X ) X X ( a... a a a k 0

19 Dopuszczalność prognoz (3) Prognozę na okres > n można wznaczć ze wzoru: gdzie: X X X k o prognoz zmiennch objaśniającch X X X k w okresie >n co w zapisie macierzowm: Y ( X ) a gdzie: Y α α α + α 0 + X + X +... k X k X X X... X k

20 Błąd ex ane Błąd ex ane o odchlenie sandardowe błędu B prognoz Y na okres. Błąd ex ane oznacza się przez V : V Se ( X ) ( X X ) X + gdzie S e o odchlenie sandardowe resz modelu liniowego. Względn błąd ex ane prognoz Y : W V ( 00%) Y kór informuje jaką część prognoz sanowi błąd ex ane

21 rafność prognoz błąd ex pos () Błąd ex pos może bć wznaczon dla wszskich modeli ilościowch. Jeśli będzie okresem na kór posawiono prognozę Y i okres en już minął o znana jes warość rzeczwisa Y zmiennej prognozowanej. aką prognozę Y nazwać będziem prognozą wgasłą. Dla prognoz wgasłch można wznaczć błąd ex pos. Rozróżniam:. względn błąd prognoz (procenow):. absolun błąd prognoz: 3. względn absolun błąd prognoz (procenow): 4. kwadraow błąd prognoz: AE 5. względn kwadraow błąd prognoz: SE PE ( ) PSE APE ( ( 00%) ) ( 00%)

22 rafność prognoz błąd ex pos () Do ocen rafności prognoz wgasłch (a a więc dopasowania modelu prognoscznego F do danch o zmiennej prognozowanej Y można wkorzsać nasępujące błęd:. średni absolun błąd ex pos prognoz wgasłch. średni względn absolun błąd ex pos prognoz wgasłch 3. średni błąd ex pos prognoz wgasłch 4. średni względn błąd ex pos prognoz wgasłch 5. średni kwadraow błąd ex pos prognoz wgasłch 6. pierwiasek średniego kwadraowego błędu ex pos prognoz wgasłch 7. współcznnik heila Do badania akualności modelu prognoscznego możem użć współcznnika Janusowego

23 Oznaczm przez M {... n} zbiór numerów okresów/momenów w kórch werfikujem rafność prognoz wgasłch wznaczonch za pomocą modelu card M liczebność zbioru M.

24 Średni absolun błąd ex pos prognoz wgasłch MAE MAE M card Y M

25 Średni względn absolun błąd ex pos prognoz wgasłch MAPE(procenow) Y MAPE M ( 00%) card M

26 Średni błąd ex pos prognoz wgasłch ME ME M ( Y ) card M

27 Średni względn błąd ex pos prognoz wgasłch MPE MPE M card M

28 Średni kwadraow błąd ex pos prognoz wgasłch MSE MSE M ( Y ) card M

29 Pierwiasek średniego kwadraowego błędu ex pos prognoz wgasłch RMSE RMSE MSE

30 Współcznnik heila () I M ( M Y ) I I + I + I 3

31 Współcznnik heila () I ( Y Y ) M card M Wraża wielkość błędu z powodu nieodgadnięcia średniej warości zmiennej prognozowanej (nieobciążoności prognoz). YY Warości średnie wznaczane są dla warości akich że Iˆ I I 00 % M

32 Współcznnik heila (3) card M S S I M Y Y ) ( Wraża wielkość błędu z powodu nieodgadnięcia wahań zmiennej prognozowanej (niedosaecznej elasczności) 00% ˆ I I I M card Y S M Y ) ( card M Y Y S M Y ) (

33 Współcznnik heila (4) I 3 S Y S Y M card ( M r Y Y ) Wraża wielkość błędu z powodu nieodgadnięcia kierunku endencji rozwojowej zmiennej prognozowanej (niedosaecznej zgodności prognoz z rzeczwism kierunkiem zmian zmiennej prognozowanej) r YY o współcznnik korelacji pomiędz warościami i Y dla Iˆ I 3 I 00% M

34 Współcznnik Janusow J P K ( card ( card P zbiór numerów okresów/momenów dla kórch posawiono prognoz za pomocą modelu i sał się one prognozami wgasłmi card P liczebność zbioru P {... n} K o zbiór numerów okresów/momenów dla kórch zbudowano model i wznaczono prognoz wgasłe Card K liczebność zbioru K Jeżeli J o model jes nadal akualn i może bć uż do prognozowania na nasępne okres. Y P Y K ) )

35 Prognozowanie na podsawie szeregów czasowch Składowe szeregu czasowego: I. Składowa ssemaczna II. Składowa przpadkowa Składowa ssemaczna:. rend (endencja rozwojowa) długookresowa skłonność do jednokierunkowch zmian warości badanej zmiennej. Sał przecięn poziom prognozowanej zmiennej warości osclują wokół sałego poziomu 3. Wahania ckliczne długookresowe powarzające się rmicznie w przedziałach czasu dłuższch niż rok wahania warości zmiennej wokół rendu lub sałego poziomu 4. Wahania sezonowe wahania warości zmiennej wokół rendu lub sałego poziomu w przedziałach czasu nie przekraczającch roku.

36 Dekompozcja szeregu czasowego Proces wodrębniania poszczególnch składowch szeregu czasowego Ocena wzrokowa sporządzonego wkresu Idenfikacja poszczególnch składowch szeregu czasowego na podsawie wkresów szeregu czasowego Analiza auokorelacji Oblicza się warości współcznników korelacji międz oraz -i (dla i...k) czli współcznniki auokorelacji różnch rzędów. Bada się sasczną isoność ch współcznników. Jeśli współcznniki dla kilku pierwszch rzędów są duże i sascznie isone o wskazuje o na wsępowanie rendu. Jeśli wsępuje sascznie ison współcznnik auokorelacji rzędu równego liczbie faz cklu sezonowego o wskazuje o na wsępowanie wahań sezonowch.

37 Ocena wzrokowa ()

38 Ocena wzrokowa ()

39 Ocena wzrokowa (3)

40 Ocena wzrokowa (4)

41 Modele szeregów czasowch ze sałm poziomem zmiennej prognozowanej bez wahań okresowch () Meoda naiwna Y meodę można sosować w przpadku niskiej zmienności zmiennej prognozowanej zazwczaj w suacjach gd współcznnik zmienności nie przekracza 0% Meoda średniej ruchomej ważonej k-elemenowej k Y i w i+ k + wi wi > 0dlai i k i Sałą wgładzania k usala się na podsawie najmniejszego błędu prognoz wgasłch wagi w i usala prognosa na podsawie wiedz o zmiennej prognozowanej Y. Jeśli przjmie się średniej ruchomej k-elemenowej. w i k... k. o meodę nazwam meodą

42 Modele szeregów czasowch ze sałm poziomem zmiennej prognozowanej () Pros model wgładzania wkładniczego Y α + ( α) Y dla 3 n. α (0]. model można sosować jeśli szereg nie cechuje zb silna zmienność (wahania przpadkowe nie są zb duże). Sałą wgładzania α wznacza się ekspermenalnie na podsawie wbranego krerium jakie powinn spełniać prognoz wgasłe. Do wboru modelu prognoscznego (prognoz) można wkorzsać analizę błędów ex pos prognoz wgasłch

43 Modele szeregów czasowch z endencją rozwojową zmiennej prognozowanej bez wahań okresowch() Modele analiczne Y ( ) sosuje się do prognozowana zjawisk kóre charakerzował się w przeszłości regularnmi zmianami kóre można opisać za pomocą funkcji czasu i wobec kórch zakłada się niezmienność kierunku rendu. f Wbór posaci analicznej modelu dokonuje się na podsawie: przesłanek eorecznch doczącch mechanizmu rozwojowego prognozowanego zjawiska ocen wzrokowej wkresu przeszłch warości zmiennej dopasowania modelu do warości rzeczwisch zmiennej prognozowanej.

44 Modele szeregów czasowch z endencją rozwojową zmiennej prognozowanej () Do ocen dopasowania modelu liniowego kórego paramer oszacowano MNK do warości empircznch można się posłużć: a) współcznnikiem deerminacji: b) sandardowm błędem szacunku modelu (odchleniem sandardowm resz): gdzie: k oznacza liczbę zmiennch objaśniającch w modelu [ ] 0 ) ( ) ˆ ( ) ˆ ( R ns R n n Y n ϕ n e k n S ) ˆ (

45 Modele szeregów czasowch z endencją rozwojową zmiennej prognozowanej (3) Model rendu liniowego (lub zlinearzowanego) przedsawia się w nasępując sposób: Y a0 + a Paramer srukuralne modelu można oszacować meodą najmniejszch kwadraów : cov( Y ) a S n ( ) ( n ( ) Prognozę na okres >n wznacza się z wzoru: ) a 0 a Y a0 + a

46 Modele szeregów czasowch z endencją rozwojową zmiennej prognozowanej (4) ~ Do ocen dopuszczalności zbudowanch prognoz użwa się błędów ex ane: a) dla modelu liniowego: V S e ( n ) ) + + n b) dla modeli nieliniowch sprowadzalnch do liniowch poprzez ransformację g: V ~ V d ~ d ( zmienna określona ransformacją liniową g() o błąd ex ane prognoz zmiennej ~ na okres a pochodna jes liczona w punkcie ~ V ~

47 Modele szeregów czasowch z endencją rozwojową zmiennej prognozowanej (5) k k X X X... Model rendu wielomianowego: Przekszałcenie do posaci liniowej: podsawienie: Prognoza: k k 0 a... a a a k k X a X a X a a Y ) ( ) ( 4 + X X X X S e V k X k n n n k X M L M O M M M L L

48 Modele szeregów czasowch z endencją rozwojową zmiennej prognozowanej (6) Model rendu wkładniczego: Przekszałcenie do posaci liniowej: e a a 0 ξ ~ 0 ~ Y e Y b b Y a ln b lna b ln ~ + + ) ( ) ( ~ ln ln ln ~ 3 n S Y V n X n e n M M M

49 Modele szeregów czasowch z endencją rozwojową zmiennej prognozowanej (7) Model rendu poęgowego: Przekszałcenie do posaci liniowej: e a a 0 ξ ~ 0 ~ ~ Y e Y b b Y a b lna ln b ~ ln ~ ] ~ ) ~ ~ ( ) ~ [( ~ ln ln ln ln ~ ln ln3 ln ln ~ 3 + e n X X X X S Y V n X M M M

50 Modele szeregów czasowch z endencją rozwojową zmiennej prognozowanej (8) Model rendu logarmicznego: Przekszałcenie do posaci liniowej: a a Y ln 0 + a a Y ~ 0 + ln ~ ] ~ ) ~ ~ ( ) ~ [( ln ln 3 ln ln ~ 3 + e n X X X X S V n X M M M

51 Modele szeregów czasowch z endencją rozwojową zmiennej prognozowanej (9) Model rendu hiperbolicznego: Przekszałcenie do posaci liniowej: ~ a a 0 + ~ a a 0 + ] ~ ) ~ ~ ( ) ~ [( 3 ~ 3 + e n X X X X S V n X M M M

52 Przkład obliczeniow () Wielkość sprzedaż rowerów sacjonarnch firm Weler u przedsawiciela na Górn Śląsk w osanich kwarałach przedsawiała się nasępująco [w sz.]: Przjmując że cznniki kszałujące sprzedaż nie ulegną zmianie: a) posawić prognozę sprzedaż na kolejn kwarał (3)

53 Przkład obliczeniow (rend liniow) () x R

54 Przkład obliczeniow (rend logarmiczn) (3) Ln(x) + 04 R

55 Przkład obliczeniow (4) ln Y ln W kolejnm kwarale prognozowana sprzedaż wnosi 9 szuk rowerów.

56 Przkład obliczeniow (błąd ex ane) (5) b) przjmując że błąd prognoz nie może sanowić więcej niż % jej warości zbadaj dopuszczalność prognoz ln Y ln ( -Y )

57 Przkład obliczeniow (błąd ex ane) (6) S e n ( n k Y ) X ~ 5649 X ~

58 Przkład obliczeniow (błąd ex ane) (7) V S e ~ [( X ) ~ ( X ~ X ) ~ X + ] 0548 (00+ ) 0850 V η 00% 0633% Prognozę na kolejn kwarał (3) można uznać za dopuszczalną.

59 Przkład obliczeniow (8) c) posaw prognoz na nasępne dwa kwarał (4 i 5) oraz oceń ich dopuszczalność ln Y ln

60 Przkład obliczeniow (9) X ~ 4 X ~ ~ ~ ~ ~ V4 Se [( X ) ( X X ) X + ] 0548 (034+ ) ~ ~ ~ ~ V5 Se [( X ) ( X X ) X + ] 0548 (0563+ ) η 0635% η % 4 Obie prognoz (na kwarał 4 oraz 5) można uznać za dopuszczalne.

61 Modele szeregów czasowch z endencją rozwojową zmiennej prognozowanej (0) Jeżeli zaobserwuje się odchodzenie warości zmiennej prognozowanej od dochczasowej endencji rozwojowej (spowodowane zmianą jakościową) o można wkorzsać prognozę w formie reguł podsawowej z poprawką: ( w) Y Y + p

62 x R x + 6 R x + 64 R

63 z poprawką x + 64 R x + 6 R średnia:

64 Modele szeregów czasowch z endencją rozwojową zmiennej prognozowanej () Prognozę przedziałową dla z gór zadanej wiargodności p (dla z gór zadanego prawdopodobieńswa że warość rzeczwisa zmiennej prognozowanej w okresie >n znajdzie się w danm przedziale) konsruuje się w nasępując sposób: P u współcznnik związan z wiargodnością prognoz p rozkładem resz modelu oraz długością szeregu czasowego. Jeśli rozkład resz modelu nie jes zgodn z rozkładem normalnm lub hipoeza o normalności nie bła werfikowana o u zależ włącznie od wiargodności prognoz a obliczając u korzsa się z nierówności Czebszewa: Jeśli rozkład resz modelu jes zgodn z rozkładem normalnm o u odczuje się z ablic rozkładu normalnego dla dużej prób dla prawdopodobieńswa + p lub z ablic rozkładu -Sudena dla małej prób (n<30) dla prawdopodobieńswa (-p) oraz n-k- sopni swobod. { Y u V Y + u V } p u p

65 Przkład obliczeniow () Wielkość sprzedaż rowerów sacjonarnch firm Weler u przedsawiciela na Górn Śląsk w osanich kwarałach przedsawiała się nasępująco [w sz.]: Przjmując że cznniki kszałujące sprzedaż nie ulegną zmianie posawić prognozę przedziałową na kolejn kwarał na poziomie wiargodności 095. a) rozkład resz modelu nie jes badan lub nie jes zgodn z rozkładem normalnm u b) jeśli rozkład resz jes zgodn z rozkładem normalnm o u 3

66 Przkład obliczeniow () a) rozkład resz modelu nie jes badan lub nie jes zgodn z rozkładem normalnm wed 3 [ ; ] [5;33] b) jeśli rozkład resz jes zgodn z rozkładem normalnm o 3 3 [ ; ] 3 [7;3] z prawdopodobieńswem p0.95.

67 Modele szeregów czasowch z endencją rozwojową zmiennej prognozowanej () Model liniow Hola gdzie dla 3 n. Paramer wgładzania α i β dobiera się ekspermenalnie na podsawie wbranego krerium kóre powinn spełniać prognoz wgasłe. Ponado α i β należą do przedziału [0;]. Model wmaga warości począkowch F oraz S. Można przjąć: n n S n ) ( F + ) S F ( ) ( F + + α α S ) ( ) F ( F S β + β liniowego z modelu lub lub 0 0 a S a F S F S F

68 Przkład obliczeniow () Wielkość sprzedaż pralek auomacznch firm Kolar u jednego z przedsawicieli w osanich miesiącach przedsawiała się nasępująco [w sz.]: Przjmując że cznniki kszałujące sprzedaż nie ulegną zmianie: 90 a) posaw prognozę na nasępn miesiąc

69 Przkład obliczeniow () Począkowe rozwiązanie dla α05 oraz β05 F S F - +S - ( - )

70 Przkład obliczeniow (3) α oraz β F S F - +S - ( - )

71 Przkład obliczeniow (4) α oraz β F S F - +S - ( - )

72 Przkład obliczeniow (5) α oraz β0 F a 0 oraz S a na podsawie wszskich obserwacji F S F - +S - ( - )

73 Przkład obliczeniow (6) α oraz β F a 0 oraz S a na podsawie 3 pierwszch obserwacji F S F - +S - ( - )

74 Przkład obliczeniow (7) α oraz β F oraz S na podsawie najmniejszego błędu prognoz wgasłch F S F - +S - ( - )

75 Model rendu pełzającego z wagami harmonicznmi Procedura meod jes nasępująca: I. Usalenie sałej wgładzania k < n; II. III. IV. Oszacowanie na podsawie kolejnch fragmenów szeregu o długości k liniowch funkcji rendu Obliczenie warości eorecznch wnikającch z poszczególnch funkcji rendu; Obliczenie warości rendu pełzającego dla każdego okresu (średnia armeczna z warości eorecznch adekwanch funkcji rendu dla danego okresu); V. Obliczenie przrosów funkcji rendu: VI. Nadanie wag poszczególnm przrosom: VII. Określenie średniego przrosu rendu jako średniej ważonej wszskich n obliczonch przrosów n + VIII. Wznaczenie prognoz punkowej na okres : w w C w w w + C n + Y n i n i w n + ( n) w

76 Przkład obliczeniow () Na podsawie danch z poprzedniego przkładu (sprzedaż pralek firm Wolar ) posaw prognozę na nasępn miesiąc prz zasosowaniu modelu rendu pełzającego z wagami harmonicznmi. I. Niech k3 im wższa warość sałej k m większe wgładzenie szeregu i m słabsze reagowanie na zmian zachodzące w szeregu czasowm a a0 "-3" "-4" 36 3 "3-5" "4-6" "5-7" "6-8" "7-9" "8-0" "9-" "0-"

77 Przkład obliczeniow () Warości eoreczne

78 Przkład obliczeniow (3) Warości wgładzone- rend pełzając średnie waroście eoreczne

79 Przkład obliczeniow (4) Przros funkcji rendu pełzającego przros

80 Przkład obliczeniow (5) Nadanie wag przrosom Wagi realizują posula posarzania informacji najnowsze przros mają największe znaczenia. Suma wag wnosi. wagi

81 Przkład obliczeniow (6) wagi przros iloczn Y (3 )

82 Modele szeregów czasowch z wahaniami okresowmi zmiennej prognozowanej () Meoda wskaźników gd wsępują wahania sezonowe wraz z endencją rozwojową lub sałm przecięnm poziomem prognozę wznacza się na podsawie warości funkcji rendu skorgowanej o wskaźnik sezonowości prz wahaniach bezwzględnie sałch (gd ampliud wahań w analogicznch okresach są sałe) może bć model addwn: ( w) i + prz wahaniach względnie sałch (wielkości ampliud zmieniają się mniej więcej w m samm sosunku) może bć model muliplikawn: (w) i ( w) gdzie o wielkość prognoz wznaczona z funkcji rendu lub sałego przecięnego poziomu c c i i

83 Modele szeregów czasowch z wahaniami okresowmi zmiennej prognozowanej ().Oblicza się nasępujące warości (eliminacja rendu):.oblicza się surowe wskaźniki sezonowości (eliminacja oddziałwania składnika losowego): k liczba jednoimiennch faz w szeregu; r liczba faz w cklu 3.Wznacza się czse wskaźniki sezonowości (informują o naężeniu wahań sezonowch): r q 4.Wznacza się warość prognoz: c i z i lub c i z ŷ lub z z i i k i z i + j r i k j 0 zi q gdzie q r i i z i ŷ i i ( w) + c i lub i ( w) c i

84 Przkład obliczeniow () Firma Czarn diamen prowadzi sprzedaż paliwa opałowego klienom indwidualnm. Dochod firm zależą prakcznie od wielkości sprzedaż miału opałowego. Dane doczące kwaralnej wielkości sprzedaż miału [] z osanich la przedsawiono w poniższej abeli. Należ wznaczć prognozę na kolejne kwarał

85 Przkład obliczeniow () Analiza ampliud wahań dopuszcza sosowanie modelu addwnego jak i muliplikawnego.

86 Przkład obliczeniow (3) Model addwn ^ ^ i z i c i ( ) ( )

87 Przkład obliczeniow (4) Model muliplikawn ^ /^ i z i c i

88 Modele szeregów czasowch z wahaniami okresowmi zmiennej prognozowanej (3) Meoda rendów jednoimiennch okresów gd wsępują wahania sezonowe wraz z endencją rozwojową lub sałm przecięnm poziomem polega na szacowaniu paramerów analicznej funkcji rendu oddzielnie dla poszczególnch faz cklu prognozę sawia się przez eksrapolację odpowiedniej funkcji rendu

89 Przkład obliczeniow Należ wznaczć prognozę sprzedaż miału przez firmę Czarn diamen na kolejne kwarał meodą rendów jednoimiennch okresów. I II III IV

90 Modele szeregów czasowch z wahaniami okresowmi zmiennej prognozowanej (4) Model Winersa gd wsępują wahania sezonowe wraz z endencją rozwojową lub sałm przecięnm poziomem jes modelem z rzema równaniami może bć muliplikawn wed prognoza wnosi: [ F n + S n ( n )] C r może bć addwn wed prognoza wnosi: F n + S n ( n ) + C r

91 Modele szeregów czasowch z wahaniami okresowmi zmiennej prognozowanej (5) Model Winersa muliplikawn ] ; [ )C ( F C )S ( ) F F ( S ) S F )( ( C F r r γ β α γ γ β β α α

92 Modele szeregów czasowch z wahaniami okresowmi zmiennej prognozowanej (6) Model Winersa addwn ] ; [ )C ( ) F ( C )S ( ) F F ( S ) S F )( ( ) C ( F r r γ β α γ γ β β α α

93 Modele szeregów czasowch z wahaniami okresowmi zmiennej prognozowanej (7) Propozcje warości począkowch F S C (w pierwszm cklu) I II Warość zmiennej z pierwszej faz drugiego cklu Średnia warość zmiennej prognozowanej z pierwszego cklu Różnica średnich warości z drugiego i pierwszego cklu 0 Dowolne kombinacje Iloraz warości rzeczwisch do warości średniej (w pierwszm cklu)

94 Przkład obliczeniow () Firma Save Lock prowadzi sprzedaż wkładek bębenkowch wsokiej klas bezpieczeńswa. Dane doczące miesięcznej wielkości sprzedaż [j.p.] z osanich la przedsawiono w poniższej abeli. Należ wznaczć prognozę na kolejne kwarał

95 Przkład obliczeniow ()

96 Przkład obliczeniow (3) szereg cechuje sezonowość osanie obserwacje wskazują na zmianę endencji najlepiej wkorzsać model adapacjn można wkorzsać model Winersa Zosanie wkorzsan muliplikawn model Winersa

97 Przkład obliczeniow (4) Rozwiązanie począkowe dla αβγ05 F S C ( -^ )

98 Przkład obliczeniow (5)

99 Przkład obliczeniow (6) α08; β053; γ00 F S C ( -^ )

100 Przkład obliczeniow (7)

101 Modele szeregów czasowch z wahaniami okresowmi zmiennej prognozowanej (8) Analiza harmoniczna gd wsępują wahania sezonowe wraz z endencją rozwojową lub sałm przecięnm poziomem model buduje się w posaci sum zw. harmonik funkcji sinusoidalnch lub cosinusoidalnch o danm okresie pierwsza harmonika ma okres równ n druga n/ rzecia n/3 id.. liczba wszskich harmonik wnosi n/ prognozę sawia się na podsawie modelu: ( w ) + n / i α i sin π i n + βi cos π i n

102 Modele szeregów czasowch z wahaniami okresowmi zmiennej prognozowanej (9). Jeśli wsępuje rend o oblicza się nasępujące warości (eliminacja rendu):. Szacuje się paramer α 0 α i β i modelu: korzsając z zależności: ŷ ' n... i i n cos ' n b n... i i n sin ' n a ' n a n i n i n dla dla 0 π π n / i i i i n cos i n sin ' π β π α α

103 Modele szeregów czasowch z wahaniami okresowmi zmiennej prognozowanej (0) 3. Z modelu można weliminować harmoniki kórch udział w wjaśnianiu wariancji rozparwanej zmiennej jes najmniejsz. Udział w wariancji zmiennej prognozowanej dla wszskich oprócz osaniej harmoniki wnosi: naomias dla osaniej: gdzie: i ω i ω i c i s c i s jes szacunkiem wariancji zmiennej prognozowanej i s c a + b i

104 Przkład obliczeniow () Firma Save Lock prowadzi sprzedaż wkładek bębenkowch wsokiej klas bezpieczeńswa. Dane doczące miesięcznej wielkości sprzedaż [j.p.] z osanich la przedsawiono w poniższej abeli. Należ wznaczć prognozę na kolejne kwarał za pomocą analiz harmonicznej

105 Przkład obliczeniow () Wsępuje rend wielomianow

106 Przkład obliczeniow (3) eliminacja rendu ^ '( -^)

107 Przkład obliczeniow (4) Szacowanie warości paramerów α 0 α β '(-^) x(p/6) sinx cosx sin x cos x E E E E E-6 8E Σ 7374E-3 Σ α 0 409E-4 α β

108 Przkład obliczeniow (5) Szacowanie warości paramerów α β x sinx cosx sin x cos x E E E E E E E E E E E E Σ α β

109 Przkład obliczeniow (6) Szacowanie warości paramerów α 3 β 3 3x sinx cosx sin x cos x E E E E E E Σ α β 3

110 Przkład obliczeniow (7) Szacowanie warości paramerów α 4 β 4 4x sinx cosx sin x cos x 57 63E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E E Σ α β 4

111 Przkład obliczeniow (8) Szacowanie warości paramerów α 5 β 5 5x sinx cosx sin x cos x E E E E E E Σ α β 5

112 Przkład obliczeniow (9) Szacowanie warości paramerów α 6 β 6 6x sinx cosx sin x cos x E E E E E E E E E E E E Σ α β 6

113 Przkład obliczeniow (0) Szacowanie warości paramerów α 7 β 7 7x sinx cosx sin x cos x E E E E E E Σ α β 7

114 Przkład obliczeniow () Szacowanie warości paramerów α 8 β 8 8x sinx cosx sin x cos x E E E E E E E E E E E E E E E E Σ -6E α 8-35E β 8

115 Przkład obliczeniow () Udział harmonik w wariancji Nr harmoniki a i b i c i c i ω i [%] % % % % % % % 8-35E % % Σ 6496 s 348 Ponieważ harmonika 4 wjaśnia prawie 94% zmienności zmiennej prognozowanej o do prognozowania wkorzsan będzie model lko z ą harmoniką

116 Przkład obliczeniow (3) Model prognosczn Posać analiczna funkcji rendu ( w ) f ( ) Posać modelu π ŷ sin cos π

117 π π π π π π π π cos sin cos sin cos sin cos sin Przkład obliczeniow (4) Prognoza

118 Prognozowanie na podsawie modelu ekonomercznego WIELORÓWNANIOWEGO. Model pros: każde równanie można porakować jako oddzieln model prognozowanie jak w przpadku modelu jednorównaniowego.. Model rekurencjn: wsępują jednokierunkowe powiązania międz nie opóźnionmi zmiennmi endogenicznmi. Sosuje się prognozowanie łańcuchowe kóre polega na określeniu warości prognoz pierwszej zmiennej endogenicznej i obliczeniu prz jej wkorzsaniu prognoz nasępnch zmiennch w kolejności zgodnej z uporządkowaniem przcznowm. Błęd ex ane wznacza się dla każdego równania oddzielnie analogicznie jak w modelu jednorównaniowm.

119 Przkład obliczeniow () Przedsiębiorswo Urban produkujące sprzę wędkarski zleciło wznaczenie wielkości produkcji i zarudnienia na nasępn okres. Prognoz e będą służł wspomaganiu deczji doczącej przjmowanej sraegii markeingowej w najbliższm czasie. Przjęo że prognoz będą użeczne jeśli nie będą obarczone błędem większm niż 5%. Rozwiązanie. Wielkość produkcji (Y ) oraz zarudnienia (Y ) opisano modelem: Y Y α 0 + αx β + β Y gdzie X oznacza wielkość sprzedaż z poprzedniego roku 0 + ξ + ξ

120 Przkład obliczeniow () x

121 Przkład obliczeniow (3) REGLINP dla pierwszego równania: Y X ξ

122 Przkład obliczeniow (4) Y Obliczanie warość eorecznch Y kóre będą wkorzsane do szacowania drugiego równania: x X

123 Przkład obliczeniow (5) REGLINP dla drugiego równania: Y Y + ξ

124 Przkład obliczeniow (6) Macierze wariancji i kowariancji: Y X D ( a) ξ Y D ( a) Y + ξ

125 Przkład obliczeniow (7) Warości prognoz i błęd ex ane: Y Y V η % V η % Prognozowana wielkość produkcji wnosi jes obarczona błędem względnm % naomias prognozowane zarudnienie wnosi 304 jes obarczone błędem względnm 0009%. W obu przpadkach prognoz są dopuszczalne.

126 Prognozowanie przez analogie () Analogie hisorczne Polegają na przenoszeniu prawidłowości hisorcznch wkrch w jednch zmiennch (wiodącch wprzedzającch służące do budow prognoz) na inne zmienne (opóźnione naśladujące prognozowane) doczące ego samego obieku prognoscznego Doczą prognoz średnio- i długookresowch. Prognosa przjmuje posawę akwną Analogie przesrzenno-czasowe Polegają na przenoszeniu prawidłowości hisorcznch wkrch w jednch obiekach na inne obiek Doczą prognoz średnio- i długookresowch. Prognosa przjmuje posawę akwną

127 Analogie hisorczne Przkład Przedsiębiorswo Podwiązka sp. z o.o. produkuje dwa rodzaje pończoch: wzorzse i ażurowe. Wzorzse są sprzedawane od kilku la a ażurowe od kilku miesięc. Wielkość sprzedaż obu rodzajów pończoch podano w kolejnej abeli. Należ wznaczć przewidwaną wielkość sprzedaż pończoch ażurowch na najbliższe miesiące wiedząc że wmagania menedżerów zosaną spełnione gd względn błąd ex ane nie przekrocz 5%.

128 Sprzedaż w siącach szuk Wzorzse Ażurowe x wlk sprzedaż pończoch ażurowch w okresie [s. sz.] X -3 wlk sprzedaż pończoch wzorzsch w okresie nr -3 [s. sz.]

129 Prognozowana wielkość sprzedaż pończoch ażurowch na kolejne 3 okres: x x x Bezwględn Wględn błąd błąd ex ane ex ane % % %

130 Heursczne meod prognozowania Heurska (grec. heurisko znajduję odkrwam) umiejęność wkrwania nowch faków i związków międz fakami prowadząca do poznania nowch prawd. Heursczne meod prognozowania o meod wkorzsujące do budow prognoz opinie eksperów czli osób wbranch ze względu na ich wiedzę doświadczenie auore. Opinie eksperów są opare na ich inuicji i doświadczeniu MEODA DELFICKA Do prognozowania zjawisk nowch dla kórch ilość informacji hisorcznch jes niewielka. Polega na badaniu opinii niezależnch i kompeennch eksperów na określon prognosczn ema. Opinie e najczęściej doczą prawdopodobieńswa lub czasu zaisnienia przszłch zdarzeń kórą wznacza się przez zasosowananie reguł największego prawdopodobieńswa

131 SYMULACJA () similis (łac.) - podobieńswo podobn similo (łac.) - podobn simulare (łac.) - udawać upodabniać się mimeishai (grec.) - naśladować grać rolę imiaio (łac.) - naśladowanie

132 Wikipedia (hp://pl.wikipedia.org): SYMULACJA () Smulacja - ekspermen prowadzon na pewnego rodzaju modelu - maemacznm informacznm lub rzeczwism celem określenia znaczenia zmian warości paramerów lub warości zmiennch objaśniającch dla warości zmiennch prognozowanch. Smulacja kompuerowa o echnika polegająca na sprawdzaniu jak zachowuje się dan ssem w różnch okolicznościach a więc jaka jes warość zmiennej wjściowej prz założeniu różnch warości zmiennch wejściowch. Smulacje kompuerowe polegają na zbudowaniu odpowiedniego modelu maemacznego zapisanego w kompuerze (np. w arkuszu kalkulacjnm lub w dowolnm jęzku programowania) kór zawiera powiązania międz zmiennmi wejściowmi a ineresującą nas zmienną wjściową. echniki smulacjne są szczególnie przdane am gdzie analiczne wznaczenie rozwiązania błob bardzo pracochłonne a niekied nawe niemożliwe.

133 SYMULACJA DEERMINISYCZNA Smulacja z wkorzsaniem meod ieracjnej Gaussa-Seidela jako narzędzie do rozwiązwania (prognozowania) modeli ekonomercznch liniowch i nieliniowch Meoda ieracjna Gaussa-Seidela na przkładzie prognozowania na podsawie ekonomercznego modelu wielorównaniowego o równaniach współzależnch ) ( ) ( ) ( x x x f x x f x x f 3

134 Meoda Gaussa-Seidela () Znane są posaci analiczne: f f f 3 warości paramerów srukuralnch oraz prognozowane warości zmiennch egzogenicznch. 0 Przjmuje się 3 30 jako warość począkową (może bć warością hisorczną lub wsmulowaną wcześniej) ) ( ) ( ) ( x x x f x x f x x f 0

135 Meoda Gaussa-Seidela () ) ( ) ( ) ( x x x f x x f x x f 3 0 ) ( ) ( ) ( x x x f x x f x x f r r r r r r r (r+) 0

136 Meoda Gaussa-Seidela (3) Proces ieracjn jes konnuowan do momenu gd warości zmiennch endogenicznch ( 3 ) międz kolejnmi ieracjami nie różnią się w sposób znacząc. Najczęściej w celu swierdzenia cz proces można zakończć sosuje się krerium różnic względnch: r i r i r i ε lub krerium różnic bezwzględnch: Wsarczająco (arbiralnie) mała liczba np. 0000; ; r i r i ε PRZYKŁAD

137 Wznaczenie przbliżonej warości π () Y a a a a a X P P kw o a π a 4 P P o kw. Wbrać losowo punk ( x ) R x π π 4 [ 0;a] [ 0;a] 4. Cz wbran punk (x) należ do okręgu? Jeżeli AK o zwróć warość w przeciwnm wpadku 0 3. Punk powórzć n raz ( x a ) + ( a ) a P P o kw generaor 4. Warość p wnosi 4suma(ile raz AK w punkcie )/n

138 Obliczanie powierzchni figur Y a a. Wbrać losowo punk. Cz wbran punk (x) należ do figur? Jeżeli AK o zwróć warość w przeciwnm wpadku 0 3. Punk powórzć n raz 4. Pole figur wnosi a suma(ile raz AK w punkcie )/n